UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER No 12 COMBINACIONES Y PROBABILIDAD
BIOGRAFÍA:
Leonard Euler: ( 1707-1783).
Hijo de clérigo. Estudió anatomía, química y botánica. Su talento natural para las matemáticas se
evidenció pronto por el afán y la facilidad con que dominaba sus elementos. A una edad temprana fue
enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Jean Bernoulli. Inspirado por un
maestro así, maduro rápidamente. A los 17 años de edad, cuando se graduó Doctor, provocó grandes
aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los sistemas
cartesiano y newtoniano.
A los diecinueve años, envió disertaciones a la academia de París, una sobre arboladura de barcos, y
la otra sobre la filosofía del sonido. Obtuvo la cátedra de filosofía natural en 1730 y en 1733 sucedió a
su amigo Daniel Bernoulli. En 1735 dio una muestra insigne de su talento cuando efectuó en tres días
la resolución de un problema que la academia necesitaba urgentemente, pese a que se juzgaba
insoluble en menos de varios meses de labor, este esfuerzo le trajo como consecuencia la perdida de
la vista en un ojo. A los 30 años, por sus disertaciones sobre el flujo y reflujo de las mareas, fue
honrado por Daniel Bernoulli y Collin Maclaurin lo que le valió un nombramiento por parte de la misma
academia. La obra de Maclaurin contenía un celebre teorema sobre equilibrio de esferoides elípticos;
la de Euler acercaba la esperanza de resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los
cuerpos celestes.
Euler intimo con M de Maupertius, quien favorecía especialmente a la filosofía Newtoniana, de
preferencia cartesiana y su principio favorito del mínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos
resultados en sus problemas mecánicos.
En 1766 cuando se instala en San Petersburgo pierde la vista de su otro ojo, por lo cual se ve obligado
a emplear una pizarra sobre la cual realizaba sus cálculos en grandes caracteres. No obstante, sus
discípulos e hijos copiaron luego su obra, escribiendo las memorias exactamente como se las dictaba
Euler. Una obra magnífica, que era en extremo sorprendente, tanto por su esfuerzo como por su
originalidad.
Euler poseyó una asombrosa facilidad para los números y el raro don de realizar mentalmente
cálculos de largo alcance. Podría repetir la Eneida, del principio hasta el fin, e incluso podría recordar
las primeras y últimas líneas de cada página de la edición que solía utilizar. Euler seguramente es un
héroe de los matemáticos. Su labor en problemas de física fue grande, pero solo porque sus modelos
matemáticos atraían y retenían su atención. Su último y constante objetivo fue el perfeccionamiento
del cálculo y del análisis.
En las obras de Euler se desplegaba todo el esplendor de los primeros comienzos griegos y de las
obras posteriores de Napier, Newton y Leibniz.
OBJETIVO GENERAL:
Promover en los alumnos el desarrollo del razonamiento lógico.
GLOSARIO:
combinación, probabilidad, evento, suceso, experimento, espacio muestral.
ELEMENTOS TEÓRICOS
El termino combinación, se refiere a las distintas formas como se pueden agrupar los elementos en un
conjunto sin importar el orden.
NOTACIÓN:
C mn : Combinaciones de m elementos tomados de a n.
m: Número de elementos del conjunto
n: La forma como van a ser tomados.
C mn = ( mn ) =
m!
n! (m − n)!
Ejemplo : Si m es 7 elementos y los tomamos de a 3
1)
C
3
7
=
2) C 7 =
3
P
3
7
3!
=
(7 − 3 + 1)! *1* . . . * 7
1* 2 * 3
=
5*6*7
= 35
1* 2 * 3
( ) = (7 − 37)!! * 3! = (11**22 ** 33** 44 *) (51**62**73 ) = 35
7
3
Pr obabilidad : Es darle un valor númerico a la posibilida d de que
se de un evento , suceso , acontecimi ento o exp erimento .
La probabilid ad se define como :
p
r
p
r
(A) =
Número de casos favorables
Número de casos posibles
( A) : babilidad de que se de un evento A.
Los casos favorables son aquellos que se dan en el exp erimento .
Los casos posibles son todas las salidas del exp erimento . ( es decir ,
todos los posibles resultados que se dan en el exp erimento ).
0≤
El valor de la probabilid ad " está entre 0 y 1"
p
r
( A) ≤ 1
La probabilid ad de dos eventos A y B se define como :
p
r
( A∪ B)=
p
r
( A) +
p
r
(B)−
p
r
( A∩ B)
Nota : Los casos favorables y posibles pueden ser combinacio nes.
Ejemplo : Se lanzan 3 dados una sola vez ¿ Cuál es la probabilid ad de que
al caer sean las caras ( 5 , 5, 5 ) ? .
Casos favorables 1
Solución : El primer dado
=
6
Casos posibles
El segundo dado
Casos favorables 1
=
6
Casos posibles
El tercer dado
Casos favorables 1
=
6
Casos posibles
1
1 1
1
p ( 5, 5, 5 ) = 6 * 6 * 6 = 216
r
COMBINACIONES
1. Con 7 personas, ¿cuántos comités
distintos
de 5 personas se pueden
formar?
A. 42
B. 21
C. 5040
D. 720
2. De 12 libros. ¿Cuántas selecciones
de 5 libros pueden hacerse?
A. 792
B. 60
C. 720
D. 24
3. ¿Cuántas selecciones de cuatro
letras pueden hacerse con las letras
de la palabra ALFREDO?
A. 42
B. 35
C. 5040
D. 210
4. ¿Cuántas selecciones de 3 monedas
pueden hacerse con una pieza de 5
centavos, una de 10, una de 20, una
de 40 y una de a peso?
A. 10
B. 60
C. 120
D. 24
5. De entre 8 candidatos, ¿Cuántas
ternas se pueden escoger?
A. 336
B. 56
C. 120
D. 40320
6. Para ir al mundial de Francia, la
selección COLOMBIA de fútbol
dispondrá de 20 jugadores: 18 de
campo y dos arqueros. ¿cuántas
selecciones podrán hacerse para
jugar un partido, si Asprilla,
Valderrama y Mondragón siempre
juegan. Además los jugadores de
campo pueden ocupar cualquier
puesto menos el de arquero, y los
arqueros no pueden jugar en el
campo? Conociendo que un equipo
de fútbol consta de 1 arquero y 10
jugadores de campo.
A. 24310
B. 12870
C. 1430
D. 11440
7. Encontrar el número de comités que
se pueden formar con 4 químicos y 3
físicos y comprenden de 2 químicos
y 1 físico.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
A. 144
B. 4
C. 18
D. 36
Un colegio participa en 12 partidos
de fútbol en una temporada; ¿de
cuántas maneras puede el equipo
terminar una temporada con 7
victorias?
A. 792
B. 124
C. 5040
D. 64
Un colegio participa en 12 partidos
de fútbol en una temporada. ¿de
cuántas maneras puede el equipo
terminar la temporada con 2
empates?
A. 124
B. 66
C. 720
D. 5040
Un colegio participa en 12 partidos
de fútbol en una temporada. ¿de
cuántas maneras puede el equipo
terminar la temporada con 3
derrotas?
A. 220
B. 64
C. 720
D. 3604
Un colegio participa en 12 partidos
de fútbol en una temporada. ¿de
cuántas maneras puede el equipo
terminar la temporada con 7
victorias, 3 derrotas, y 2 empates?
A. 7920
B. 720
C. 792
D. 330
Hay 9 árboles disponibles para
plantar a lo largo de la línea divisoria
de una propiedad ¿Cuántas zanjas
de 4 árboles se pueden formar?
A. 36
B. 126
C. 21
D. 48
Del ejercicio 12. ¿cuántas zanjas de
2 árboles se pueden formar?
A. 36
B. 72
C. 123
D. 21
14. Del ejercicio 12. ¿cuántas zanjas de
3 árboles se pueden formar?
A. 36
B. 84
C. 123
D. 21
15. Siete viejos amigos se reúnen para
celebrar el cumpleaños de uno de
ellos. Al encontrarse los siete, cada
uno le da la mano a otro, ¿cuántos
apretones de mano se dan en total?
A. 42
B. 21
C. 7
D. 14
16. Una bolsa contiene 6 balotas
blancas y 4 negras. ¿de cuántas
formas diferentes se pueden extraer
3 balotas y que éstas sean de un
mismo color?
A. 10
B. 120
C. 210
D. 24
17. ¿Cuántas formas hay de seleccionar
a 5 candidatos de un total de 10
recién graduados y con las mismas
capacidades para ocupar vacantes
en una firma contable?
A. 120
B. 240
C. 252
D. 184
18. En un examen se ponen 8 temas
para que el alumno escoja 5.
¿cuántas selecciones puede hacer el
alumno?
A. 56
B. 81
C. 124
D. 520
19. ¿De cuántas formas se pueden
sacar 2 balotas de una bolsa que
contiene 4 amarillas y 3 rojas?
A. 36
B. 12
C. 21
D. 7
20. ¿De cuántas formas se pueden sacar 3
balotas amarillas de una bolsa que
contiene 8 amarillas y 5 rojas?
A. 36
B. 56
C. 72
D. 12
21. Al reunirse cierto número de personas
se
dan la mano para saludarse, si
en total se dieron 105 apretones de
mano. ¿cuántas personas se saludaron?
A. 52
B. 35
C. 51
D. 15
PROBABILIDADES
22. Una bolsa contiene 4 bolas , 3
blancas y 1 amarilla. ¿cuál es la
probabilidad de que al sacar una bola,
esta sea amarilla?
A. 0
B. 3/4
C. 1
D. 1/4
23. Una bolsa contiene 3 bolas rojas y
una negra; ¿cuál es la probabilidad
de que al sacar 2 bolas, las 2 sean
rojas?
A. 1/6
B. 3/4
C. 1/2
D. 1/4
24. Al lanzar 2 dados, ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de los
puntos que aparezcan en sus caras
sea 12 o menor?
A. 5/36
B. 1/12
C. 3/12
D. 1
25. En el ejemplo anterior ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de sus
caras sea 1?
A. 1/36
B. 1
C. 0
D. 3/36
26. Una caja contiene 100 arandelas
entre las cuales hay 10 defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que al
sacar una muestra de 3 arandelas,
las tres sean defectuosas?
A. 5/2745
B. 2/2695
C. 2/4720
D. 4/720
27. Una caja contiene 100 arandelas
entre las cuales hay 10 defectuosas,
¿cuál es la probabilidad de que al
sacar una muestra de tres, por lo
menos una sea defectuosa?
A. 13/2695
B. 2/2695
C. 67/245
D. 4/4720
28. Se lanzan 2 monedas al aire ¿cuál
es la probabilidad de que caigan
alternadas?
A. 1/2
B. 3/4
C. 1
D. 0
29. Se lanzan 3 monedas, ¿cuál es la
probabilidad de que las 3 caigan
caras?
A. 1/2
B. 7/8
C. 1/4
D. 1/8
30. Si se saca una carta de una baraja
de póker, ¿cuál es la probabilidad de
que sea un AS o un SEIS? (hay 4
cartas de una misma especificación;
la baraja tiene 52 cartas)
A. 1/169
B. 2/13
C. 1/13
D. 5/13
31. En un baile de disfraces se reúnen
10 matrimonios. Si se eligen 2
personas al azar, entonces la
probabilidad de que las dos sean
esposos es .
A. 1/10
B. 1/100
C. 1/190
D. 1/200
32. Hay 10 obreros y 3 empleados, si se
eligen 3 de ellos, indistintamente,
¿cuál es la probabilidad de que sean
los tres empleados?
A. 2/13
B. 1/13
C. 3/13
D. 1/286
33. Al lanzar tres dados, ¿cuál es la
probabilidad de obtener 15 puntos o
más?
A. 7/216
B. 13/216
C. 5/54
D. 5/36
34. Se lanzan 2 dados y una moneda.
¿cuál es la probabilidad de que salga
6 y 6 en los dados y sello en la
moneda?
A. 1/71
B. 1/72
C. 1/73
D. 1/74
35. Del ejercicio 14 al 17, responda
según el enunciado.
Un recipiente
tiene 12 bombillas, entre las cuales
hay 2 defectuosas, ¿cuál es la
probabilidad de que al sacar una
muestra de 3…. Tres sean buenas?.
A. 6/11
B. 3/12
C. 17/12
D. 1/16
36. ¿Cuál es la probabilidad de que 2
sean defectuosas?
A. 6/11
B. 3/11
C. 1/22
D. 2/11
37. ¿Cuál es la probabilidad de que al
menos una sea defectuosa?
A. 5/22
B. 8/11
C. 5/11
D. 3/11
38. ¿Cuál es la probabilidad de que
exactamente una sea defectuosa?
A. 5/22
B. 9/22
C. 9/11
D. 3/22
39. Si se lanza un dado, ¿cuál es la
probabilidad de que no salga 6?
A. 5/6
B. 1
C. 1/6
D. 1/3
40. Si se lanzan 2 dados y su suma es 6,
¿cuál es la probabilidad de que el
resultado se haya sacado mediante
un 3 en cada dado?
A. 5/36
B. 1/36
C. 1/5
D. 1/18
41. Se tiene una bolsa con fichas
numeradas
con todos los
números de dos cifras distintas que
se
pueden
escribir
con
los
dígitos1,2,3. ¿cuál es la probabilidad
de que al sacar una ficha, el número
sea par?
A. 1/3
B. 2/3
C. 1/6
D. 5/6