Contrast d Hipótesi

Anuncio
LLIÇÓ 7. CONTRAST D’HIPÒTESI
Importància
En tot el món científic, especialment en les ciències experimentals.
Definició d’hipòtesi
És una proposició o afirmació sobre els valors dels paràmetres d’una població
(µ, π).
Exemple:
Edat mitjana de la classe: 21 anys. Proporció de dones: 60 %.
µ = 21
π = 60 %
Se’n diuen hipòtesis perquè fan referència a aspectes que poden ser certs,
però que no coneixem amb certesa.
Contrast d’hipòtesi
Determinar si la proposició feta sobre la població pot ser mantinguda o
confirmada mitjançant l’estudi de la informació mostral. És a dir, decidir si el
resultat és fruit de l’atzar o s’ha produït una modificació.
En les ciències experimentals, basant-nos en la inferència estadística, es pot
comprovar amb uns marges d’errors prefixats si hipòtesis relatives a valors de
certs paràmetres d’una població són admesos o rebutjats.
Per saber amb tota certesa si és veritat s’hauria d’examinar tota la població.
Com que això no és possible, normalment s’agafen mostres representatives de
la població i, a partir de la informació de la mostra, es pren una decisió sobre la
veritat o falsedat de la hipòtesi establerta.
Hipòtesi nul·la
És la hipòtesi que s’ha de contrastar que considerem provisionalment com a
vertadera.
Els resultats de les dades mostrals faran que l’acceptem com a vertadera o que
la rebutgem com a falsa.
Se’n diu així perquè se suposa que és nul·la la diferència entre el vertader valor
del paràmetre i la hipòtesi.
També indica que la diferència observada pot ser explicada per fluctuacions
aleatòries del mostreig i no que la diferència hagi de ser exactament igual a
zero.
L’essència del contrast hipòtesi és poder controlar i avaluar el risc que correm.
Actua com un filtre que fa augmentar la quantitat relativa d’hipòtesis correctes,
rebutja les falses i deixa de rebutjar les correctes.
Hipòtesi alternativa
Resta d’estats de la naturalesa possibles o admesos com a possibles en una
situació experimental donada.
H0:µ = 21
H0:µ = 21
H0:µ = 21
H1:µ ≠ 21
H1:µ < 21
H1:µ > 21
68
Errors
• Error de primera espècie o de tipus I (α). És la probabilitat de rebutjar la
hipòtesi nul·la sent certa. S’anomena nivell de significació.
• Error de segona espècie o de tipus II (β). És la probabilitat d’acceptar la
hipòtesi nul·la sent falsa.
No hi ha cap relació entre l’un i l’altre, però si un tipus disminueix l’altre
augmenta.
Un cop fixat el nivell de significació, s’elegeix el contrast que tingui la β mínima.
Estats de la naturalesa
Decisió
H0 és certa
H0 és falsa
S’accepta H0
1-α
β
Dec. correcta
Dec. incorrecta
Es rebutja H0
α
1-β
Dec. incorrecta
Dec. correcta
Estadístic de contrast
Tot contrast es basa en el càlcul del valor que pren un determinat estadístic a la
mostra seleccionada (ξ, p).
Valor crític (zα, zα/2)
A partir de la distribució en el mostreig de l’estadístic, es calcula un número que
s’anomena valor crític.
Es compara l’estadístic de contrast amb el valor crític i, segons quin sigui més
gran, s’accepta o es rebutja la hipòtesi nul·la.
Regió critica o de rebuig
És el conjunt de valors de l’estadístic de contrast pel qual es rebutja la hipòtesi
nul·la.
Regió d’acceptació
Conjunt de valors de l’estadístic de contrast pel qual s’accepta la hipòtesi nul·la.
Tipus de contrast
Alternativa simple:
Alternativa múltiple
Bilateral
Unilateral per l’esquerra
Unilateral per la dreta
H0: µ = µ0
H1: µ = µ1
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
H0: µ = µ0
H1: µ < µ0
H0: µ = µ0
H1: µ > µ0
69
Relació amb els intervals
Si el valor que s’ha de comprovar (H0) està dintre de l’interval, s’accepta la
hipòtesi nul·la. Si està fora, es rebutja.
Valor p
Valor màxim pel qual es pot rebutjar la hipòtesi nul·la.
Mitjana poblacional
Població
σ conegut
Normal
σ desconegut
Normal i valors
grans de n (n>30)
H0
µ = µ0
H1
µ ≠ µ0
µ = µ0
µ < µ0
-z < -zα
µ = µ0
µ > µ0
µ ≠µ0
µ < µ0
z >zα
µ = µ0
µ = µ0
µ = µ0
µ > µ0
µ ≠ µ0
µ = µ0
µ < µ0
Estadístic prova
z=
x -µ0
σ
n
z>zα/2 o -z<-zα/2
z=
-z< -zα
µ = µ0
σ desconegut
Normal i valors
petits de n (n ≤ 30)
Rebuig de H0
z>zα/2 o -z<-zα/2
x -µ0
s
n
z >zα
t>tα/2,n-1 o
-t<-tα/2,n-1
t=
-t < -tα,n-1
x -µ0
s
n
µ = µ0
µ > µ0
Proporció poblacional
H0
H1
π = π0
π ≠π0
t > tα,n-1
Rebuig de H0
Estadístic prova
z>zα/2 o -z<-zα/2
π =π0
π <π0
-z < -zα
π =π0
π >π0
z >zα
z=
p - π0
π0 (1-π0) / n
Diferència de mitjanes
Poblacions
σ desconegut
Normal i valors
grans de les n
(n>30)
σ1 = σ2
σ desconegut
Normal i valors
petits de n (n ≤ 30)
H0
µ 1 = µ2
µ 1 = µ2
H1
Rebuig de H0
µ 1 ≠ µ2
µ 1 < µ2
z>zα/2 o -z<-zα/2
-z< -zα
Estadístic contrast
z=
X1 - X2
2
2
s1 + s2
n1 n2
µ 1 = µ2
µ 1 = µ2
µ 1 > µ2
µ 1 ≠ µ2
µ 1 = µ2
µ 1 < µ2
z >zα
t>tα/2,m o
-t<-tα/2,m
-t < -tα,m
70
tm =
X1 - X2
Sp 1 + 1
n1 n2
σ1 = σ2
µ1= µ2
Diferència de proporcions
Poblacions
H0
π poblacionals
desconeguts
n≤30
π1 = π2
π1 = π2
H1
π1 ≠ π2
π1 < π2
t > tα,m
Rebuig de H0
Caràcters qualitatius
Població
H0
Són indep.
2
2
(n1-1) s1 + ( n2-1) s2
m
m= n1 + n2 - 2
S p=
Estadístic prova
z>zα/2 i -z<-zα/2
-z< -zα
π1 = π2
Dues poblacions de
modalitats h i k
µ 1 > µ2
π1 >π2
z >zα
p1 - p2
pq(1 + 1)
n1 n2
n1 p1 +n2 p2
p=
n1 +n2
z=
H1
Rebuig de H0
Estadístic prova
No són ind.
χ2> χ2α, (h-1). (k-1)
χ = ∑∑
h
k
2
i =1 j =1
71
(n
´
ij
− nij
n´ij
)
2
Descargar