FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 30 mayo 2006 Tema 1 Apellido y nombres: ........................................................................... Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Dadas las rectas : 3x − y + z = 2 r2 : ( x, y , z ) = (1,−1,2) + λ (0,1,−1) r1 : − x − z + k = 0 a) Determine k ∈ ℜ para que las rectas sean coplanares. b) Encuentre la proyección de (1, 0 , 2) sobre el plano que contiene a ambas rectas, siendo k = 1 2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( justifique su respuesta demostrando la proposición en caso de ser verdadera o exhibiendo un contraejemplo si es falsa) A ∈ ℜ 4 x 4 inversible ⇒ ∃ B −1 ∈ ℜ 4 x 4 , siendo B = ( A2 − A3 , 2 A3 , A4 , A1 + A2 ) , con Ai i-ésima columna de la matriz A a) Siendo A , B∈ ℜn x n b) Si / A es ortogonal y B = 1 ⇒ A3 + A 2 = A.B + B nota: A es ortogonal ⇔ A. A = I T 3) Sea S ∈ (ℜ 2 x 2 , + , ℜ , ⋅ ) . Halle el subespacio generado por 0 2 1 1 , obteniendo su expresión analítica S = 1 1 − 1 0 T : ℜ 3 → ℜ3 → → → B2 = v 1 , v 2 , v 3 4) Sea la transformación lineal B1 = u 1 , u 2 , u 3 → → → , y las bases a) Encuentre la matriz asociada a la transformación lineal respecto de las bases dadas si → b) → → → a ∈ℜ → → M (T ) B 1B 2 y se verifica: → → → → → → T ( u 1 ) = a v 1 + v 2 + v 3 ; T (u 2 ) = v 1 + a v 2 + v 3 ; T (u 3 ) = v 1 + v 2 + a v 3 Halle a tal que T sea un monomorfismo ( T inyectiva) σ : Ax 2 + By 2 = Cz . Clasifique la superficie para todos los valores posibles de A, B , C ∈ ℜ . Grafique e identifique la superficie cuando 5) a) Sea la superficie C =1 y A = B = -1 b) Halle k ∈ℜ tal que la matriz B = 1 5 − k + 2 2k + 1 sea diagonalizable y con 1 autovectores ortogonales. Para el valor hallado de (x x y )B = 1 y . Grafique la curva. k , identifique la curva FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 agosto 2006 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1 Corrigió: Revisó: La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sea el haz de planos α ( x + y − z − 1) + β (−2 x + z ) = 0 . Sea la recta → r : x = A + λ (−1,1, a ) a) Halle todos los valores de a ∈ ℜ tales que la recta r sea perpendicular a algún plano del haz. Justifique su respuesta. b) Para a = 0 , obtenga el plano del haz que es perpendicular a la recta. Grafique el plano hallado y la recta r , siendo A(0,0,0) 2) a) Sea la superficie σ : A( x − 1) 2 + By 2 + Cz 2 = 1 Halle los valores de A,B,C∈ ℜ tales que se verifique simultáneamente : i) La intersección de la superficie con el plano x = 1 sea una circunferencia de radio 4 ii) La intersección de la superficie con el plano z = 0 sea una hipérbola de semiejes de longitudes 2 y 3 Grafique e identifique la superficie b) Identifique la cónica, y obtenga una parametrización que la recorra en sentido contrario a las agujas del reloj. Grafique. x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 4 = 0 3) Halle una transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que verifica : Nu T = S ⊥ , siendo S el subespacio vectorial de ℜ 3 cuyos elementos son los vectores r posición del plano que contiene a la recta r : X = (1,2,3) + λ (1,0,1) T (1,0,0) = (1,0,1) ; T (0,0,2) = (0,0,1) Nota: ¿ qué condición debe cumplir el plano para ser subespacio vectorial de ℜ 3 ? 4) a) Sean las matrices A , B ∈ ℜ Demuestre que ∃ /A b) Sea las matrices −1 ∨ ∃/B n xn , con n impar, tales que A.B = − A.B −1 A, P ∈ ℜ n x n tales que P. A = P , calcule 5) Identifique y grafique la curva 5 x − 2 xy + 5 y = 1 2 2 A FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 agosto 2006 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1C Corrigió: Revisó: La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sea el haz de planos α (−2 x + z ) + β ( x + y − z − 1) = 0 . Sea la recta → r : x = B + γ (−1,1, b ) a) Halle todos los valores de b ∈ ℜ tales que la recta r sea perpendicular a algún plano del haz. Justifique su respuesta. b) Para b = 0 , obtenga el plano del haz que es perpendicular a la recta. Grafique el plano hallado y la recta r , siendo B(0,0,0) 2) a) Sea la superficie σ : Ax 2 + B( y − 1) 2 + Cz 2 = 1 Halle los valores de A,B,C∈ ℜ tales que se verifique simultáneamente : a. La intersección de la superficie con el plano y = 1 sea una circunferencia de radio 4 b. La intersección de la superficie con el plano z = 0 sea una hipérbola de semiejes de longitudes 2 y 3 Grafique e identifique la superficie b) Identifique la cónica, y obtenga una parametrización que la recorra en sentido contrario a las agujas del reloj. Grafique. x 2 + y 2 + 4x − 2 y + 4 = 0 3) Halle una transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que verifica : Nu T = S ⊥ , siendo S el subespacio vectorial de ℜ 3 cuyos elementos son los vectores r posición del plano que contiene a la recta r : X = (2,1,3) + λ (0,1,1) T (2,0,0) = (1,0,1) ; T (0,0,1) = (0,0,1) Nota: ¿ qué condición debe cumplir el plano para ser subespacio vectorial de ℜ 3 ? 4) a) Sea las matrices B, P ∈ ℜ n x n tales que P.B = P , calcule b) Sean las matrices B , C ∈ ℜ Demuestre que ∃ /A −1 ∨ ∃/B nxn , con n impar, tales que B.C = − B.C −1 5) Identifique y grafique la curva 5 x − 2 xy + 5 y = 1 2 B 2 FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 15-02-06 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1 Corrigió: ... La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Dada la superficie S: x2 – 4y2 + z2 = 1 y x + z = 0 x − y = k r: a) Determine todos los valores de k para los cuales la recta corta a la superficie en un único punto. Indique en cada caso las coordenadas del mismo. b) Obtenga todos los plano paralelos a algún plano coordenado, tales que su intersección con S es una circunferencia de radio 2 . Identifique y grafique la superficie, señalando dichos planos en el gráfico. 2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta ( demostrando la proposición en caso de que sea verdadera y exhibiendo un contraejemplo en caso de que sea falsa ). Si T: V → W es una transformación lineal y { v1 , v 2 , v 3 } es base de V, entonces: 2.1) { T(v1 ), T(v 2 ), T(v 3 ) } es una base de W 2.2) { T(v1 ), T(v 2 ), T(v 3 ) } es una base de la imagen de T 3) Sea la T.L. T: P1 → R 3 1 0 cuya matriz asociada es M (T) B,B’ = 2 1 1 2 Si B = { 1 , x } y B’ = { (1, 0, 0) , (1, 1, 1) , (0, 0, 1) } , halle todos los p ∈ P1 tales que T (p) = (2, 1, 0) 4) Sea { v1 , v2 , v3 , v4 } base de R4. Si A = ( v1 + 2 v3 , v1 – v2 + v4 , v3 , v2 + 2 v3 – v4 ) ∈ R4x4 , obtenga la dimensión del espacio solución del sistema de ecuaciones A.X = N , X ∈ R4x1 Sugerencia: determine el rango de la matriz A. Justifique su respuesta 5) Sea f: R3 → R3 la T.L. que verifica: f(1, 0, 0) = (2, 0, 0) , f(0, 1, 0) = (a, 3, 1) , f(2, 0, 1) = (7, 1, 3) Determine los valores de a para los cuales la matriz asociada a f resulta diagonalizable. Justifique su respuesta. FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 marzo 2006 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1 Corrigió: Revisó: La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) a) Encuentre los valores de a ∈ ℜ tal que los planos π 1 : ax − 2 y = 0 ; π 2 : 2 x − 2 y − z = 0 ; π 3 : −2 x + ay − z = 0 pertenezcan al mismo haz de planos. b) Para a = 1 , obtenga la intersección en6-77.p/F6 11.z[(2)] 4e9.19 9 70.72 ga FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 marzo 2006 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1C Corrigió: Revisó: La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) a) Encuentre los valores de b ∈ ℜ tal que los planos δ 1 : 2 x − 2 y − z = 0 ; δ 2 : z = −2 x + by ; δ 3 : bx = 2 y pertenezcan al mismo haz de planos. b) Para b = 1 , obtenga la intersección entre la recta r1 : δ 1 ∩ δ 3 y el plano δ 2 . Grafique la recta r1 y el plano δ 2 , indicando el punto de intersección. 2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta ( demostrando la proposición en caso de que sea verdadera y exhibiendo un contraejemplo en caso de que sea falsa ). 2.1 Si M es una matriz asociada a una transformación lineal respecto de la base canónica y D es la matriz asociada a la misma transformación lineal respecto de los vectores propios indique si det (M)= det (D) . Es decir : Si D = P .M .P-1 ⇒ det(M)= det(D) 2.2 Sea A ∈ ℜ → nxn → → , tal que u , v son autovectores correspondientes al mismo autovalor λ ⇒ → → → → α u + β v es autovector correspondiente la autovalor λ ( ∀α , β ∈ ℜ / α u + β v ≠ 0 ) 3) Encuentre los valores de a ∈ ℜ / W1 y W2 sean el mismo subespacio , siendo W1 = gen{(1,2,1) (2,1,−1)} y W2 = gen{(0, a, a) (1,1,0) (a,0,−1)} . Justifique 4) Sea la transformación lineal T: ℜ → ℜ 3 → → → y las bases B1 = u 1 , u 2 , u 3 y 3 → → → B2 = v 1 , v 2 , v 3 a) encontrar la matriz asociada M(T) B B ( en función de a ) respecto de las bases 1 2 → → → → y se verifica T ( u 1 ) = v 1 + a v 2 + v 3 , → y calcule T ( w) [ ]B1 siendo w → → → → → dadas si a ∈ ℜ → 2 = − 1 4 ( coordenadas de w en B1 ) b) encontrar todos los a ∈ ℜ tales que la TL sea un monomorfismo ( es decir, T inyectiva) 5) a) Identifique la superficie : σ : Ax + By + Cz = 1 sabiendo que: La intersección de la superficie con el plano z = 2 → → T (u 2 ) = v 1 + v 2 + a v 3 , T ( u 3 ) = a v 1 + v 2 + v 3 , 2 2 FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 21 febrero 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) a) Halle la intersección entre la recta r y el plano π , siendo: r : recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y que es perpendicular a las rectas: r1 : x , y , z = 2,7 ,−1 + α 3,−1,0 y r2 : x , y , z = 0,3,4 + β 0,2,−1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π : x − y + 2 z = −7 b) Grafique el plano π y calcule su distancia al origen. 2) Sea la superficie σ : x + 2 x + By + Cz = 1 2 2 a) Halle los valores de B ,C ∈ ℜ tales que sea un paraboloide cuya traza con el plano y = 0 sea una circunferencia de radio 2 , y la traza con el plano z = 0 sea una parábola de vértice en (− 1,2 ,0) b) Identifique y grafique la superficie B = 0 ∧ C = −1 . Grafique la superficie. 3) Justifique si cada una de las siguientes afirmaciones son V o F ( si es verdadera, debe demostrarlo, si es falsa es suficiente con un contraejemplo) a) ⎧→ ⎩ → → ⎫ ⎭ Si A = ⎨u , v , w⎬ es un conjunto de vectores linealmente independientes en un ( ) → → → → → → ⎧→ ⎫ , + ,ℜ ,⋅ ⇒ B = ⎨u − 2 w , u + v , k w− u + v ⎬ es un conjunto ⎩ ⎭ linealmente independiente ∀k ∈ ℜ nxn b) Sean A, B ∈ ℜ / B ≠ 0 ⇒ B −1 AB T = A espacio vectorial ℜ 16 4) Sea T : ℜ → ℜ una transformación lineal tal que: Nu (T ) = S , 3 ( ⊥ 3 ) ( ) { } T (2,0,0) = (− 1,0,1) T 0,1,0 = 0,0,3 , siendo S = ( x , y , z ) ∈ ℜ / x + y − z = 0 y a) Halle la expresión analítica de la transformación lineal b) Halle la imagen, una base y su dimensión.Verifique el Teorema de las Dimensiones. 3 ⎛ k 3 − 2⎞ ⎟ ⎜ 5⎟ 5) Sea A = ⎜ 0 1 ⎜0 0 2 ⎟⎠ ⎝ a) Halle todos los k ∈ ℜ tales que A es diagonalizable b) Para k = 0 obtenga, si existe, una matriz P tal que matriz diagonal. P −1 AP = D , siendo D una FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 21 febrero 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1C Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) a) Halle la intersección entre la recta r y el plano π , siendo: r : recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y que es perpendicular a las rectas: r1 : x , y , z = 2,7 ,−1 + α 3,−1,0 y r2 : x , y , z = 0,3,4 + β 0,2,−1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π : x − y + 2 z = −7 b) Grafique el plano π y calcule su distancia al origen. σ : x 2 + 2 x + By + Cz 2 = 1 a) Halle los valores de B ,C ∈ ℜ tales que sea un paraboloide cuya traza con el plano 2) Sea la superficie y = 0 sea una circunferencia de radio 2 , y la traza con el plano z = 0 sea una parábola de vértice en (− 1,2 ,0) b) Identifique y grafique la superficie B = 0 ∧ C = −1 . Grafique la superficie. 3) Justifique si cada una de las siguientes afirmaciones son V o F ( si es verdadera, debe demostrarlo, si es falsa es suficiente con un contraejemplo) b) ⎧→ ⎩ → → ⎫ ⎭ Si A = ⎨u , v , w⎬ es un conjunto de vectores linealmente independientes en un ⎧→ → → → → → → ⎫ , + ,ℜ ,⋅) ⇒ B = ⎨u − w , u − 2 v , k w+ u − v ⎬ es un conjunto ⎭ ⎩ linealmente independiente ∀k ∈ ℜ nxn b) Sean A, B ∈ ℜ / B ≠ 0 ⇒ B −1 AB T = A espacio vectorial (ℜ 16 Nu (T ) = S ⊥ , T (1,0,0) = (1,0,−1) T (0,1,0) = (0,0,2) , siendo S = {( x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x + y − z = 0} 4) Sea T : ℜ → ℜ una transformación lineal tal que: 3 3 y a) Halle la expresión analítica de la transformación lineal b) Halle la imagen, una base y su dimensión.Verifique el Teorema de las Dimensiones. ⎛k − 2 ⎜ 2 5) Sea A = ⎜ 0 ⎜0 0 ⎝ c) Halle todos los 3⎞ ⎟ 5⎟ 1 ⎟⎠ k ∈ ℜ tales que A es diagonalizable d) Para k = 0 obtenga, si existe, una matriz P tal que matriz diagonal. P −1 AP = D , siendo D una FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 28 febrero 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sean las rectas: r1 : pasa por el punto A (1 2 3) FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 28 febrero 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2C Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sean las rectas: r1 : pasa por el punto A (0,1,−1) y es normal al plano π : x + y − 2 z = 1 r2 : paralela al plano π y perpendicular al eje y , tal que pasa por el origen de coordenadas c) Halle la distancia entre las rectas d) Halle la ecuación del plano que determinan la recta 2) Sea la superficie r2 y el eje y. Grafique el plano σ : Mx + Ky + z = 0 2 2 a) Identifique y grafique la superficie, sabiendo que su intersección con el plano y = 0 es la parábola z = 2x 2 y que la intersección de la superficie con el plano z = 0 es el par de rectas y = 2 x ; y = −2 x , b) Si M = -1 y K = 0, identifique y grafique la superficie. 3) Sean las matrices B ∈ ℜ 3x3 ⎛ 0 h 0⎞ ⎜ ⎟ / B .B = I , y A = ⎜ 2 − 1 1 ⎟ ⎜ −1 0 0⎟ ⎝ ⎠ T a) Obtenga todos los valores de h ∈ ℜ , si existen, tales que 2(B T ) A 2 = 8 b) Obtenga todos los valores de h ∈ ℜ , si existen, tales que la transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 / ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ⎜ y ⎟ = B⎜ y ⎟ ⎜z⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 no sea un isomorfismo ( T no biyectiva). Justifique su respuesta 4) a) Halle la expresión analítica de una transformación lineal T : ℜ → ℜ tal que : 3 3 Nu (T ) = {(x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x − y = 0 ∧ x + y = z }, T (0,0,2) = (2,0,0) ∧ T (1,0,0) = (0,1,0) b) Halle una base del núcleo y de la imagen y verifique el teorema de las dimensiones. 5) Sea la curva : − x + 6 xy − y = 1 a) mediante una rotación lleve a la forma canónica e identifique la curva b) grafique la curva en el nuevo sistema de coordenadas, superpuesto al sistema original. 2 2 FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 6 de marzo de 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 3 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Calcule la distancia del punto P al plano π siendo: π : plano paralelo a las rectas r , s , y que contiene al punto A(2,0,−1) P : s ∩ l (P punto intersección de las rectas s , l ) Siendo: r : ( x , y , z ) = (1,−3,0) + λ(2,1,−3) s : ( x , y , z ) = (1,7 ,−1) + γ (0,3,1) l : ( x , y , z ) = (0,4,1) + δ(− 1,0,3) 2) a) Identifique y grafique la curva parametrizada por: → c : r (t ) = (1 + 2 cos t , − 3 + sent ) ; t ∈ [0,2π] b) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 . Halle los valores de A, B ,C ∈ ℜ , identifique y grafique la superficie, sabiendo que: x2 + y2 = 1 ii) σ ∩ ( y = 0) : hipérbola de eje focal x , y semiejes de i) σ ∩ ( z = 0 ) : 4 valores 2 y 1 ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3) Sea la matriz A = ⎜ 0 h 0 ⎟ ⎜ −1 1 1⎟ ⎝ ⎠ a) Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que la matriz A no sea diagonalizable. b) Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que el sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga T infinitas soluciones, y obtenga el espacio solución , siendo B = (4 ,0 ,1) 4) Sea T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que: T (1,0,1) = (0,0,0) ; T (2,0,0) = (0,0,0) ; T (0,1,0) = (− 3,2,4) a) Justifique si T es una transformación lineal, enunciando las definiciones y/o teoremas con que fundamente su respuesta. (Sin hallar la expresión analítica de T ) b) Si T es una transformación lineal, obtenga su expresión analítica y una base y la dimensión de su núcleo e imagen. 5) Sea x 2 + 2kxy + y 2 = 2 .Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la ecuación represente un par de rectas. Grafique las rectas en el sistema de ejes original superpuesto al nuevo sistema de ejes, para alguno de los valores de h obtenidos. FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 6 de marzo de 2008 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 3C Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Calcule la distancia del punto P al plano π siendo: π : plano paralelo a las rectas r , s , y que contiene al punto B(1,−2,2) P : s ∩ l , (P punto intersección de las rectas s , l ) Siendo: r : (x , y , z ) = (2,3,1) + λ(2,1,−3) s : ( x , y , z ) = (1,1,−3) + γ (0,3,1) l : (x , y , z ) = (− 1,4,4) + δ(− 1,0,3) 2) a) Identifique y grafique la curva parametrizada por: → c : r (t ) = (− 3 + cos t , 1 + 2sent ) ; t ∈ [0 ,2π] b) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 . Halle los valores de A, B ,C ∈ ℜ , identifique y grafique la superficie, sabiendo que: y2 =1 ii) σ ∩ ( y = 0) : hipérbola de eje focal x , y semiejes de i) σ ∩ ( z = 0 ) : x 2 + 4 valores 1 y 1 ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3) Sea la matriz B = ⎜ 0 k 0 ⎟ ⎜ −1 1 1⎟ ⎝ ⎠ a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la matriz B sea diagonalizable. b) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que el sistema de ecuaciones lineales BX = C tenga T infinitas soluciones, y obtenga el espacio solución , siendo C = (4 ,0 ,1) 4) Sea T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que: T (1,0,1) = (0,0,0) ; T (2,0,0) = (− 3,1,2) ; T (0,1,0) = (0,0,0) a) Justifique si T es una transformación lineal, enunciando las definiciones y/o teoremas con que fundamente su respuesta. (Sin hallar la expresión analítica de T ) b) Si T es una transformación lineal, obtenga su expresión analítica y una base y la dimensión de su núcleo e imagen. 5) Sea x 2 + hxy + y 2 = 2 .Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que la ecuación represente un par de rectas. Grafique las rectas en el sistema de ejes original superpuesto al nuevo sistema de ejes, para alguno de los valores de h obtenidos. FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 19 febrero de 2009 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. ⎧x + y − z = 1 ⎩ 2y − z = 0 a) Halle a ,b , c , k ∈ ℜ , si existen, tales que el plano π : ax + by + cz = k sea perpendicular a la recta r y el punto P(3,2,−1) ∈ π 1) Sea la recta r : ⎨ b) Grafique los planos que definen la recta r , y la recta como intersección de tales planos 2) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 . a) Halle A, B ,C ∈ ℜ , si existen, tales que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: i) La traza de la superficie con el plano z = 0 es la curva c, siendo: ⎧ x = 2 cos t c:⎨ ⎩ y = 3 sent ; 0 ≤ t ≤ 2π ii) La traza de la superficie con el plano x = 0 es la hipérbola y 2 − z 2 = 9 Identifique y grafique la superficie con los valores hallados de A, B ,C b) Halle las ecuaciones paramétricas de la traza de la superficie σ con el plano y = 0 . 3) Sea la transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que su matriz asociada en la base canónica es: 0⎞ ⎛2 1 ⎟ ⎜ M E = ⎜ 3 0 − 1⎟ ⎜1 2 k ⎟⎠ ⎝ a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que Nu (T ) = {(0,0,0)}. Justifique su respuesta b) Si k = 1 halle la dimensión de la Im(T ) y una base de ella. 4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F a) Sea A ∈ ℜ n x n no inversible ⇒ A . Adj( A) = N ( N matriz nula ) ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ b) A = ⎜ 3 7 0 ⎟ es diagonalizable ∀k ∈ ℜ ⎜−2 4 k⎟ ⎠ ⎝ 5) Mediante una rotación, identifique la curva y grafíquela en el nuevo sistema de coordenadas superpuesto al sistema de coordenadas original. xy = 1 FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 26 febrero de 2009 Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sea el haz de planos α ( x + 3 y − z ) + β (2 x − y + z + k ) = 0 a) Halle el plano del haz, si existe, que es perpendicular a la recta y obtenga todos los valores de 2 disten r : ( x , y , z ) = (2,1,3) + λ(3,−5,3) k ∈ ℜ tales que los planos del haz perpendiculares a la recta r del origen. 43 b) Para k = −1 grafique los planos que definen el haz y su recta intersección. Halle la ecuación de tal recta 2) Sea la superficie σ : Ax + By + Cz = k 2 2 a) Halle A, B ,C , k ∈ ℜ sabiendo que se verifican simultáneamente: i) σ ∩ ( y = 0) : x 2 + z 2 = 4 ; ii) σ ∩ (x = 0) : y = 4 − z 2 ( → ) ( ) iii) σ ∩ z = 0 : curva c : r (t ) = t , 4 − t ;−∞ <t < ∞ Grafique e identifique la superficie para los valores hallados b) Identifique y grafique la superficie σ en cada uno de los siguientes casos: i) A = C = 1 ; B = 0 ; k = 9 ii) C = 0 ; A = B = 1 ; k = 1 3) Sea T : ℜ → ℜ / Nu (T ) = S , siendo 3 ⊥ 4 T (1,0,0) = (2,0,0,1) ; T (0,0,1) = (0,1,0,0) 2 S = {( x , y , z ) ∈ ℜ / x + y − z = 0} a) Justifique que las condiciones dadas definen una transformación lineal única. ¿Cuál es la dimensión de la imagen de T ? Justifique su respuesta sin hallar la expresión analítica de T. b) Halle la expresión analítica de T. 4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F: ⎛3 0 0⎞ ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ es su matriz asociada en la base canónica ⇒ ∀k ∈ ℜ a) Sea T : ℜ → ℜ / M E = ⎜ 0 ⎜ 4 −1 k ⎟ ⎠ ⎝ dim Nu(T ) = 0 3 b) Si A ∈ ℜ nxn 5) Sea la ecuación: 3 tiene n autovalores distintos ⇒ B = 3 A es diagonalizable 6 x + 2kxy − 6 y + 7 = 0 . 2 2 Mediante una rotación, halle todos los valores de una hipérbola. Justifique. k ∈ ℜ , si existen, tales que el gráfico de la ecuación sea FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 5 de marzo de 2009 Apellido y nombres: ......................................................................................................Tema 3 Corrigió:……………………………………… Revisó:………………………………… La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. y=x ⎩ x + y + 2z = 2 ⎧ 1) Sea la recta r : ⎨ a) Halle su ecuación vectorial y grafique los planos que la determinan y la recta como intersección de tales Planos b) Halle la ecuación de todos los planos perpendiculares a la recta hallada tales que su distancia al origen es d =2 → 2) a) Sean las curvas: c1 : r 1 (t ) = (3 cos t , 2 sent ) c2 : ; 0 ≤ t ≤ 2π x2 − z2 =1 9 Halle la ecuación, identifique y grafique la superficie σ : Ax + By + Cz = 1 sabiendo que 2 2 2 c1 , y su traza con el plano y = 0 es la curva c2 2 2 b) Sea la superficie σ : Ax + By + Cz = 1 Identifique y grafique la superficie cuando: su traza con el plano z = 0 es la curva i) A = 1 , B = 0 y C = - 1 ii) A = 0 , B = 1 y C = - 1 T (0,0, a ) = (b ,0,0,0) ; T (1,1,1) = (b ,0,0,1) ; T (a ,1,1) = (0,0,0,b ) a) Obtenga todos los valores de a ∈ ℜ tales que las condiciones dadas definan una transformación 3) Sea T : ℜ → ℜ 3 4 tal que lineal única. Justifique su respuesta. b) Para a = 2 obtenga todos los b ∈ ℜ tales que la dimensión de la imagen de T sea 1. Justifique su respuesta y obtenga la expresión analítica de la transformación lineal 4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F: a) Si A = ( A1 , A2 , A3 ) ∈ ℜ 3x3 / A es inversible ⇒ B ∈ ℜ siendo B = (3 A2 , − A1 + A3 , 2 A1 − kA3 ) 3x3 es inversible ∀k ∈ ℜ (Nota Ai : i-ésima columna de la matriz A ) .X 3 x 1 = B 4 x 1 tal que la dimensión del espacio columna 4 x3 de la matriz C es 2 ⇒ el sistema homogéneo asociado C .X 3 x 1 = N 4 x 1 es incompatible. 5) a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la matriz A sea diagonalizable y sus autovectores b) Sea el sistema de ecuaciones lineales C ortogonales b) Para el menor valor de a) 4 x3 k hallado en a), y para a = b = 0 , identifique la cónica mediante una rotación. ⎛ a A = ⎜⎜ 2 ⎝ − 2k + 25k + 20 3k 2 − 10 ⎞ ⎟ ; ⎟ b ⎠ b) (x y )A⎛⎜⎜ x⎞ ⎟⎟ = 1 ⎝ y⎠