UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora cientı́fica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a y 2a se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a y 4a sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. x=0 −1 ax − b 0<x≤1 a) (2 puntos) Determinar los valores a, b, c para que la función f (x) = 2 x + bx + c 1 < x ≤ 2 sea continua en el intervalo [0, 2] y derivable en (0, 2). b) (1 punto) Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a la función g(x) = x2 + x en el intervalo [1, 2] y calcular, en tal caso, un punto de dicho intervalo en el que g 0 (x) tome el valor predicho por el Teorema del Valor Medio. Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. ( x − y + az = 0 Dados la recta r ≡ , con a ∈ R, y el plano π ≡ x + y + z − 2 = 0, se pide: ay − z = 4 a) (1 punto) Hallar todos los valores de a para los que la recta r es paralela al plano π. b) (1 punto) Para a = 2, determinar la distancia de la recta r al plano π. c) (1 punto) Para a = 1, hallar el seno del ángulo que forman r y π. Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. 1 1 0 0 3 0 eI= 0 Dadas las matrices: L = 1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 , se pide: 1 a) (1 punto) Calcular la matriz inversa de L. b) (1 punto) Buscar la matriz A, tal que LALt = I, donde Lt es la traspuesta de L. Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. m −2 0 Dada la matriz A = 0 −2 0 , se pide: 0 1 m a) (1 punto) Estudiar el rango de A, según los valores de m, e indicar para qué valores de m admite inversa la matriz A. b) (1 punto) Sin calcular A−1 , hallar m para que det(A) = det(4A−1 ). OPCIÓN B Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. y = 5 2x + x + my = 7 , en función de los valores a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones x − y = 4 del parámetro m y hallar la solución del sistema anterior en los casos en los que ésta sea única. b) (1 punto) Encontrar el valor o valores de k que hacen incompatible el sistema x − y + kz = 2 kx − ky + 4z = −4 Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función f (x) = x2 e−x , se pide: a) (1 punto) Determinar su dominio, ası́ntotas y cortes con los ejes. b) (1 punto) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. c) (1 punto) Determinar los puntos de inflexión y dibujar la curva y = f (x). Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las rectas x=3+λ y = 2 − 2λ r≡ z = 3 + 3λ y s≡ x+1 = y − 5 = −(z + 2), 2 se pide: a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de r y s. b) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 6, −3), está contenida en el plano que determinan r y s y es perpendicular a r. Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dados el plano π ≡ x + y − z + 1 = 0 y la recta r ≡ (x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(2, 1, 0), se pide: a) (00 5 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (1, 0, −1) y es paralelo a π. b) (1 punto) Determinar la distancia del origen de coordenadas a la recta r. c) (00 5 puntos) Determinar la distancia del origen de coordenadas al plano π. MATEMÁTICAS II CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. OPCIÓN A Ejercicio 1. a) Planteamiento: 1 punto. Resolución: 1 punto. b) Aplicar el Teorema del valor medio: 00 5 puntos. Encontrar el punto pedido: 00 5 puntos. Ejercicio 2. a) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. No es necesario comprobar que la recta no está contenida en el plano. b) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. c) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. Ejercicio 3. a) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos. b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos. Ejercicio 4. a) Por la obtención del valor crı́tico m = 0: 00 25 puntos. Por determinar el rango en cada caso ([m = 0], [m 6= 0]): 00 25 puntos. Por indicar cuando hay inversa: 00 25 puntos. b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos. OPCIÓN B Ejercicio 1. a) Por obtener correctamente el valor crı́tico m = −4: 00 5 puntos (repartidos en planteamiento: 00 25, resolución: 00 25). Por discutir correctamente cada caso ([m = −4], [m 6= −4]): 00 5 puntos (repartidos en planteamiento: 00 25, resolución: 00 25). Por resolver el sistema 00 5 puntos (repartidos en procedimiento: 00 25, cálculos: 00 25). b) Por obtener los valores k = ±2: 00 5 puntos. Por estudiar cada uno de los dos casos: 00 25 puntos. Ejercicio 2. a) Dominio: 00 25 puntos. Ası́ntotas: 00 5 puntos. Cortes con los ejes: 00 25 puntos. b) Derivada: 00 25 puntos. Puntos crı́ticos 00 25 puntos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 00 25 puntos. Extremos relativos 00 25 puntos. c) Derivada segunda: 00 25 puntos. Puntos de inflexión: 00 25 puntos. Gráfica: 00 5 puntos. Ejercicio 3. a) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. b) Planteamiento: 00 5 puntos. Resolución: 00 5 puntos. Ejercicio 4. a) Planteamiento: 00 25 puntos. Resolución: 00 25 puntos. b) Procedimiento: 00 5 puntos. Cálculos: 00 5 puntos. c) Procedimiento: 00 25 puntos. Cálculos: 00 25 puntos.