L-S . (R!. Po =

MATEMÁTICAS BÁSICAS
9. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, para las variables que se indican: ii) - 2x 4 + 10x + 132;
iv)
x 4 + 5x 3
-
X2 + 5;
x- 3
x+2
i)
ii)
, iv) y v): - 10/3, O, - 65, - 23, O , respectivamente)
polinomio p{X)=3 X5 +3x 4 -14x 3 +4x 2 -24x y
a- S
a - S + Sr , L=.
)
L-S
.
r
2
10000P
P = Po ( 1 + R/IOO) para Po Y luego para R (R!. Po =
)2 '
(100+ R
S = (a -rL )/ (1- r ) para r y luego para L (R!. r =
R
= 100(-1 ±
P Po
2z+a
9z+a
z- a
3x
6x
2x
1_. \
r
4
- -
4a
10. Resolver para a: - - - - - = - - + -
esultado (Dos factores).
,
».
3x (R!. a = -2z). 11. Hallar la solución de ~ = x (Ayuda: O ~ x ~ 2. ¿Por qué?) (R!. x =1).
>
12. Hallar las raÍCes de p(x)= 8x 4 + 6x 3 -19x 2 + 3x + 2 (R!. 1,1/2, - 2, - 1/4).
13. Un área rectangular de trabajo debe ser 3 .metros más larga que ancha y medir
46.75 m 2 . ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo? (R!. 5.5 Y 8.5 metros)
14. La velocidad v de un objeto que cae únicamente bajo el efecto de la gravedad g está
dada por v =
~ v~
- 2g h donde
Despejar h (R!. h =
(v~
- v
2
)
Vo
es la velocidad inicial y h la altura de la caída.
(2g).
15. La fórmula para convertir temperatura Celsius a temperatura · Fahrenheit es
F=
2c + 32, donde F representa la temperatura Fahrenheit y C la temperatura Celsius .
5
Obtener C en términos de F (R!. C = 5 (F - 32) )'. 9
16. Para que una columna cilíndrica de longitud L resista una fuerza de compresión F, debe
2
tener un diámetro d dado por la siguiente expresión: d = 1.12 (10- }VFL. Determinar F
cuando d = 1.2 metros y L = 5 metros (R!. F ~ 245991.25).
17. Un laboratorista dispone de 50 mI. de una solución al 86 % de ácido sulfúrico.
¿Cuántos mI. de agua debe agregarle para diluirla y obtener una solución al 40 % de
ácido sulfúrico que es la necesaria para generar hidrógeno? (R!. 57.5 ml.).
3) (Ayuda: si x es el número de mI de agua, entonces 40 (x + 50) = 86 (50). O también
lOO
100
60
,
14
x+
(50) =
(50 + x) ¿por que?).
lOO
lOO 18. Una asignatura se evalúa con tres parciales del 30 % cada uno y un seguImIento
(trabajos y/o quices) del lO %. Un estudiante obtuvo en dos parciales calificaciones 2.1
37 MATEMÁTICAS BÁSICAS
y 3.2 Y en el seguimiento 4.6. ¿Qué nota debe sacar en el último parcial para obtener una calificación definitiva de 2.95? ( RJ. 3.0 ).
19. Un tanque vacío se puede llenar por una tubería en 4 horas y por otra en 3 horas. El
tanque tiene un desagüe por donde sale el agua y se desocupa en 2 horas si estuviese
lleno. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque si estando vacío se abren simultáneamente
las dos tuberías y el desagüe? ( RJ. 12 h.).
POTENCIACIÓN En lo que sigue a y b denotan números reales.
1. Potencias enteras
Empezamos definiendo a n para n
20. Un avión de una compañía tiene cupo para 100 pasajeros. La compañía cobra, para una
excursión, $800000 a cada pasajero más $10000 por cada puesto que vaya vacío. Si
viajan x pasajeros, cuánto dinero pagará cada uno? ¿Cuánto pagarán todos los x
pasajeros? (RJ. 800000 + 10000(100 - x) y [800000 + 10000(100 - x )]x ).
Ahora,
21. Un avión de cierta compañía sale de un aeropuerto internacional cada 3 días para
Estados Unidos, otro sale ,cada 7 días para Argentina y otro sale cada 9 días para el
Brasil, a partir del primero de enero. ¿Cuándo deben salir los tres aviones
simultáneamente, por segunda vez? ¿Cuántos viajes habrá realizado cada uno? (RJ. 63
días después del primero de enero; 21, 9 y 7 viajes, respectivamente).
22. Un muro tiene 3.6m de largo y l.08m de ancho. Se trata de colocarle baldosas
cuadradas de mayor área posible. ¿Cuál es la medida del lado de cada baldosa? ¿Cuántas
baldosas son necesarias? (RJ. 0.36m, 30 baldosas).
Pr
i)
ii)
a"
a
a
2.
38
iii)
(a
iv)
(
v)
(
E
N:
MATEMÁTICAS BÁSICAS
nota debe sacar en el último parcial para obtener
'J. 3.0 ).
una tubería en 4 horas y por otra en 3 horas. El
de el agua y se desocupa en 2 horas si estuviese
.anque si estando vacío se abren simultáneamente
.).
para 100 pasajeros. La compañía cobra, para una
ás $10000 por cada puesto que vaya vacío. Si
gará cada uno? ¿Cuánto pagarán todos los x
x) y [800000 + 10000(100 - x)]x ).
e un aeropuerto io tem cional
I'l:ul
".,\í
para
POTENCIACIÓN En lo que sigue a y b denotan números reales. 1. Potencias enteras
Empezamos definiendo a n para n E N : ... ,
a
n
=aa ... a '--y-----'
n-veces
Ahora, si a *- O definimos a o y a - n con n E N como sigue:
a el
les
a o = 1 Y a- n
b3
I
-n
N. Para a = O no se de fime a o·
nI a
, nE
s
Propiedades. Para n, m E Z se tiene: i)
ana m =a n+ m ii)
n-m
an
-m
=a
a
iii)
(a n
iv)
(ab)" = a n b n t
.
= a nm (Teniendo presente las correspondientes restricciones)
Observación: En general (a n
Cuando se escribe a
nm
r
*- a (n
3
111 ) .
Por ejemplo, (52) = 56 Y 5(2 ) = 58.
m
se entiende que se trata de a (n
2. Potencias racionales
Ahora definiremos a r para r E Q :
39
).
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Empezamos definiendo el concepto de raíz n-ésima de un número real dado a, concepto
que usaremos para definir a I/n y posterionnente usaremos a I/n para definir a r , r E Q .
Sea n
E
= a , se dice una raíz n-ésima real de a.
N . Todo número real x tal que x n
Definición de a I/n para a > O Y n
Supongamos a > O Y n
E
E
N
en el caso a > O Y n
N. En este caso se puede probar que existe una única raíz n­
Ejemplo: 321/5 =
N .
E
?J32 = 2, ya que
Definición de Ol/n para n
E
n-ésimas reales. En este caso a
E
2 5 = 32 .
Definición de a r , r E Q
Q , entonces r e
Si r
E
n
N Y m Y n sin di
E
entonces se define a f
=
N
N dado. Es claro que x = O es la única solución de la ecuación x n
= O es la única
raíz; así que Ol/n = O .
palabras, x
o.
raíz n-ésima de
Definición de a I/n para a < O Y n
E
= O;
en otras
Con el símbolo Ol/n denotamos esa única
.
tiene
que a m/n = (m
a )1/
denota la raíz n-ésima d
Ejemplo:
N, n impar
(- 8
Supongamos a < O Y que n es un número natural impar ( n E { 1, 3, 5, ... }). En este caso a
tiene una única raíz n-ésima real,la cual es negativa. Es dicha raíz el número que se denota
a I/n o también
Va
(8r/3 = (8 1/
y/3 = ((- 8?
r.
Si a I/n no está definido
cuando a < O Y n es impar.
si a > O, entonces a r est
v- 8 = - 2,
Propiedades. Para r y s
Ejemplo: (_8)1/3 =
ya que (- 2?
y
no está defin
En resumen: Cuando un número a tiene alguna
es dicha raíz n-ésima la que se denota a I/n o n
Tenemos así que a m/n
Sea n
n
a I/n esté definido, se tiene que (a I/n)" =
ésima real de a, la cual es positiva. Es dicha raíz el número que se denota a I/n o también
Va
Nótese que si a < O Y n es par, no existe
= -8.
3
y=x
3
·2
x
............ - 8
= a r +s
i)
a f as
ii)
r .. s
ar
- ==a
aS
iii)
(a f
iv)
(abY==afb
y== a
rs
(-2) =-8
f
(Teniendo en cuenta las re
40
(rif;f
MATEMÁTICAS BÁSICAS
ra íz n-ésima de un número real dado a, concepto
mente usaremos a 1/n para definir a r , r E Q .
Nótese que si a < O Y n es par, no existe x E R tal que x n = a , es decir, a no tiene raíces
"n = a , se dice una raíz n-ésima real de a.
En resumen: Cuando un número a tiene alguna raíz n-ésima real, entonces tiene sólo una y
es dicha raíz n-ésima la que se denota a I/n o na. Así que en todos los casos en los cuales
n-ésimas reales. En este caso a 1/n no está definido en R.
(V;)" = a .
a I/n esté definido, se tiene que (a 1/n)" =
" o se puede probar que existe una única raíz nha raíz el númprl' ~
I/n o también
Definición de a r , r E Q
m
Si rE Q , entonces r se puede escribir de manera única en la forma r = -
n
con m E Z ,
n E N Y m Y n sin divisores comunes mayores que l. Pues bien, si a I/n está definido,
entonces se define a r = (a I/n
r (V;r '
Tenemos así que a m/n = (a I/n
t
tiene que a m/n = (a m
n
=
=
t
exceptuando el caso en que a l n
= O Y m ~ O.
= (v;)m con las restricciones ya indicadas.
~a m ,
También se
siempre y cuando estén definidos tanto (a m) n (que
denota la raíz n-ésima de a m) como a 1/n .
Ejemplo:
(8y/3 = (8 1/3 )2 = 2 2 = 4;
(_ 8)2/3 = ((_ 8)2)1/3 .
Si a I/n no está definido o al n = O Y m ~ O , entonces a f no está definido . Señalamos que
si a > O, entonces a r está definido para todo r E Q .
Propiedades. Para r y s números racionales, se tiene que :
= a r+s
i)
ara s
ii)
a = a r-s·
aS
iii)
(a r ) = a rs
iv)
(ab)' =a rb f
f
(Teniendo en cuenta las restricciones respectivas)
4\