Cálculo Diferencial Taller 4

Universidad de los Andes
2015-II
Cálculo Diferencial
Taller 4 - Prof. Sandor Ortegón
1. (Derivación logarı́tmica) El método de derivación logarı́tmica es una variación del método
de derivación implı́cita que sirve para derivar expresiones que tienen exponenciales, cocientes
o productos largos. La idea es que se parte de y = f (x), se toma logaritmos a ambos lados de
la ecuación, se usan propiedades de logaritmos (regla de exponentes, o logaritmo de producto
o logaritmo de cociente) para simplificar el lado derecho de la igualdad y luego se deriva
implı́citamente. Generalmente al lado izquierdo queda y1 y 0 ası́ que se pasa la y a multiplicar
al otro lado y se despeja y 0 . Finalmente se reemplaza y por lo que era originalmente en
términos de x.
(a) Calcule la derivada de f (x) = 3(x
2)
(asumiendo que a es una constante positiva)
2
Respuesta: f 0 (x) = 3x (2x ln 2)
(b) Hallar la derivada de xx respecto de x.
Respuesta: xx (ln x + 1)
(c) Sea f (x) = (x + 1)5 (cos x)7 (x2 − 1)4 . Halle el valor de f 0 (0).
Respuesta: f 0 (0) = 5
xln x
.
(x2 + 1)2
xln x
2 ln x
4x
0
Respuesta: f (x) = 2
− 2
(x + 1)2
x
x +1
(d) Calcule f 0 (x) donde f (x) =
2. (Crecimiento exponencial) Aquı́ la fórmula básica es que si se dice “la tasa a la que
crece (o decrece) una cantidad P es proporcional a la cantidad existente”, entonces se cumple
dP
la siguiente ecuación
= kP (k una constante). Esto sucede cuando P = Cekt siendo C
dt
alguna constante). Generalmente se mencionan condiciones iniciales para hallar las constantes
involucradas en esa fórmula (a veces una ecuación para una incógnita o dos ecuaciones para
dos incógnitas) y todo se reduce a manipular correctamente exponenciales y logaritmos.
(a) Un cultivo de bacterias contiene inicialmente 200 células y además crece con una razón
proporcional a su tamaño. Después de media hora, la población se ha incrementado a
400 células. Traduzca la afirmación dada al comienzo del enunciado a una ecuación en el
lenguaje matemático de derivadas. Establezca una fórmula para el número de bacterias
después de t horas.
Respuesta: P (t) = 200 · 4t
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(b) Un cultivo de bacterias crece con una razón proporcional a su tamaño. Después de 2
horas existen 600 bacterias y después de 8 horas la cuenta es de 75000. Determine la
población inicial de dicho cultivo y establezca una fórmula para la población después de
t horas.
Respuesta: P (t) = 120 · 5t/2 , población inicial 120 bacterias.
(c) El Carbono-14, uno de los tres isótopos del carbono, se desintegra a una razón proporcional a su masa. Su vida media (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de una
cantidad dada) es de 5735 años. Halle el tiempo que tarda en desintegrarse el 75% de
una cantidad original de 100 miligramos de Carbono-14.
Respuesta: La ecuación se plantea como antes; la única diferencia es que si se halla
P = Cekt , nos dan el valor de t para el cual P (t) = C/2 (ese valor de t es la vida media);
dP
de allı́ sale una ecuación para despejar k (que será negativo, pues
< 0. Y luego nos
dt
piden el valor de t para el cual P (t) = C/4. La respuesta será 11470 años.
3. (Razones de Cambio Relacionadas) Este es el nuevo tema que se trabajará el resto de
la semana. Lo más importante en este tema es lo siguiente (metodologı́a recomendada):
• Hacer un dibujo de la situación.
• En el dibujo colocar los nombres de variables (no colocarle nombre de variable a algo
que no está cambiando).
• Traducir frases del estilo “la tasa a la que cambia la variable x es de ...” a la expresión
dx
matemática
= . . .”.
dt
• Escribir la derivada que se quiere hallar e indicar en qué instante se quiere hallar (los
problemas vienen con enunciados del estilo: “hallar la tasa a la que cambia x cuando
...”)
• Encontrar una ecuación que relacione las variables involucradas. En esta parte se requieren conocimientos básicos de geometrı́a.
• Derivar implı́citamente esa ecuación respecto de t.
• Reemplazar las derivadas y variables conocidas y despejar la derivada que hace falta
hallar.
Resuelva los siquientes ejercicios:
(a) El lado de un cuadrado aumenta a razón de 3 centı́metros por minuto. Hallar la tasa a
la que cambia el área del cuadrado cuando ésta es de 25 centı́metros cuadrados.
Respuesta: El área aumenta en ese instante a razón de 30 centı́metros cuadrados
(b) Un barco zarpa de un puerto a mediodı́a y se dirige al norte a 40 km/h. Dos horas
después un barco zarpa del mismo puerto y se dirije hacia el este a razón de 50km/h.
¿Qué tan rápido se están alejando uno del otro cuando sean las tres de la tarde?
Respuesta: Se están alejando a razón de
730
kilómetros por hora.
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(c) Un cateto de un triángulo rectángulo está aumentando a razón de 2 centı́metros por
segundo, mientras el segundo cateto está disminuyendo a razón de 3 centı́metros por
segundo. En un instante en que el primer cateto mide 30 centı́metros y el segundo
cateto mide 40 centı́metros,
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i. Determine la velocidad con que cambia el ángulo opuesto al primer cateto.
ii. Determine si la hipotenusa está aumentando o disminuyendo y a qué tasa lo hace.
iii. Determine si el área del triángulo está aumentando o disminuyendo y a qué tasa lo
hace.
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radianes por segundo. La
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hipotenusa está disminuyendo (esto se sabe porque la derivada dará negativa) a razón
6
de centı́metros por segundo. El área del triángulo está disminuyendo y lo hace a razón
5
de 5 centı́metros cuadrados por segundo.
Respuesta: El ángulo está aumentando a razón de
(d) Juan, que mide 6 pies de alto, está alejándose en lı́nea recta de un poste de luz que mide
30 pies de alto, a una tasa de 2 pies por segundo.
i. Qué tan rápido aumenta la sombra de longitud cuando Juan está a 24 pies del poste?
ii. Qué tan rápido se está moviendo la punta de su sombra en ese mismo instante?
(e) A las 7:00 a.m. cierto barco A está 90 Km al oeste del barco B. El barco A está
navegando a 25 Km/h hacia el este y el barco B a 15 Km/h hacia el norte.
i. Determine la distancia entre los barcos a las 9:00am.
ii. Calcule la razón a la que está cambiando la distancia entre los dos barcos a las
9:00am.
(f) Una persona oprime un dispensador de gaseosas para llenar un recipiente en forma de
cono de 6 centı́metros de radio y 15 centı́metros de altura. Asuma que la gaseosa cae a
razón constante de 5 centı́metros cúbicos por segundo. En el instante en el que el nivel
de gaseosa (altura) en el recipiente es de 10 centı́metros, calcule:
i. La cantidad de gaseosa que hay en el recipiente.
ii. La razón a la que está aumentando el nivel de gaseosa en el recipiente.
(g) Un avión vuela horizontalmente a una altura de 5 kilómetros y pasa directamente sobre
π
un telescopio ubicado a nivel del suelo. Cuando el ángulo de elevación es de , dicho
3
π
ángulo está decreciendo a una razón de , radianes por minuto. ¿A qué velocidad se
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está moviendo el avión en dicho instante?
(h) Una escalera de 5 metros de largo tiene la parte superior recostada contra una pared
vertical. Si la parte inferior de la escalera comienza a resbalarse alejándose de la pared
a 1 m/s,
i. ¿A qué velocidad está disminuyendo el ángulo θ que hace la escalera con el suelo,
cuando la parte inferior está a 3 m de la pared? ¿Cuáles son las unidades?
ii. ¿A qué velocidad está bajando la parte superior de la escalera en ese mismo instante?