UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA ESCUELA DE MATEMATICAS PRIMER PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES Nombre y carné: Profesor: Septiembre 15, 2007. 1. (25%) Resolver el problema de valor inicial (PVI): dx + ( x − sen y)dy = 0, y y(0) = π . Sugerencia. Buscar un factor integrante de la forma µ(y). 2. (25%) Para el PVI: dN = N (1 − N ), dt N (0) = N0 ≥ 0 : (i) (8%) Encontrar las soluciones de equilibrio (puntos de equilibrio) de la ecuación diferencial; (ii) (10%) Dibujar la gráfica de dN dt contra N . Dibujar en el plano N contra t dos curvas integrales de la ecuación: una entre las soluciones de equilibrio y otra por encima de la mayor solución de equilibrio; (iii) (7%) Clasificar las soluciones de equilibrio en estables e inestables. 3. (20%) Hallar la solución general de la ecuación dy = y(xy 3 − 1) . dx Sugerencia. Darle a la ecuación la forma de una ecuación de Bernoulli. 4. (30%) Dada la familia de circunferencias x2 + (y − c)2 = c2 , encontrar la familia de trayectorias ortogonales. Sugerencia. Hallar una E.D. de primer orden satisfecha por la familia dada, utilizar la definición de la familia dada para remplazar el parámetro c en la E.D. por una expresión de x y y, plantear la E.D. satisfecha por las trayectorias ortogonales, y resolverla.