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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELACIÓN NUMÉRICA DE MUROS DE MAMPOSTERÍA SUJETOS A HUNDIMIENTO
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Leonel Campos-Rodríguez , Ramsés Rodríguez-Rocha , Esteban Flores-Méndez
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RESUMEN
Uno de los problemas más comunes en casas de interés social en la ciudad de México es el agrietamiento en
los muros de mampostería provocados por los hundimientos diferenciales. El hundimiento puede ocasionar la
disminución de la capacidad de los elementos estructurales, aparición de grietas y el incumplimiento del
estado límite de servicio poniendo en riesgo su funcionalidad. Lo anterior puede ocasionar, además, pérdidas
económicas significativas. Por lo tanto, existe la necesidad de estudiar la relación entre el hundimiento y el
agrietamiento en los muros de mampostería para prevenir daños y pérdidas de vidas humanas y económicas.
El objetivo de este trabajo es determinar la ubicación del agrietamiento inicial en muros de mampostería,
utilizados en casas habitación. Para esto, se definió un modelo numérico utilizando ANSYS® y se calibró con
datos numéricos y experimentales de la literatura.
Se estudiaron nuevas geometrías típicas en las casas habitacionales de la ciudad de México con diferentes
relaciones altura-longitud, sometidas a condiciones típicas de hundimientos. Adicionalmente se corroboraron
los patrones de agrietamiento típico por hundimiento. Los resultados demuestran la eficacia del modelo
numérico propuesto.
ABSTRACT
One of the most common problems in low income housing in Mexico City is cracking in masonry walls
caused by differential ground settlements. This might cause a decreased capacity of structural elements,
cracking and failure of the serviceability limit state threatening functionality. This may cause further and
significant economic losses. Therefore, it is needed to study the relationship between settlements and cracking
in masonry walls to prevent structural damage, human and economic losses.
The objective of this work is to determine the location of initial cracking in masonry walls used in houses. For
this, a numerical model was defined using ANSYS® and calibrated with numerical and experimental data
from literature.
New typical geometries for residential houses in the city of Mexico were also studied with different heightlength relationships, under typical settlement conditions. Additionally typical cracking patterns due to
settlements were corroborated. Results demonstrate the effectiveness of the proposed numerical model.
INTRODUCCIÓN
El hundimiento es un movimiento descendente irreversible del suelo. Éste es continuo en la ciudad de México
y se puede originar por el tipo de suelo, cimentación, geometría de la estructura, peso y a la extracción de
agua.
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Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIA-UZ, leonel.campos.rodriguez@gmail.com
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Profesor e Investigador, Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIA-UZ, rrodriguezr@ipn.mx
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Profesor e Investigador, Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIA-UZ, efloresm@ipn.mx
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Acapulco, Guerrero 2012
La Ciudad de México cuenta con un subsuelo complejo, físicas, mecánica y químicamente; por tal motivo es
vulnerable, y un pequeño cambio en sus propiedades, podría modificar su entorno y todo lo que dependa de
él. Por ejemplo; el exceso de humedad, la extracción de agua en el subsuelo, la consolidación de estratos y
grandes oquedades originan cambios como asentamientos diferenciales, colapso parcial o total de una
estructura. Una señal que no puede pasar desapercibida es la aparición de grietas en mampostería debidas al
asentamiento del suelo.
Con el propósito de definir un modelo numérico que represente la relación entre el hundimiento y el
agrietamiento es necesario partir de un modelo del comportamiento mecánico del material. Para esto se
presenta el modelo constitutivo de Meli y Reyes (1971).
MODELO CONSTITUTIVO DE LA MAMPOSTERÍA
Para incorporar la función constitutiva de la mampostería al modelo homogeneizado propuesto se tomaron los
datos experimentales de Meli y Reyes (1971), para tabique rojo recocido con mortero 1:0:3 (cemento-calarena), Figura 1.
Figura 1. Función constitutiva de la mampostería de tabique rojo recocido (Meli y Reyes, 1971)
Se incorporó esta función al modelo numérico en ANSYS®, igualando las condiciones como se llevaron a
cabo en el laboratorio. La Figura 2 muestra una adecuada aproximación entre los resultados del modelo
numérico con los experimentales.
Figura 2. Comparación de resultados
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CALIBRACIÓN PARA LA ENERGÍA DE FRACTURA DE LA MAMPOSTERÍA.
Con el fin de relacionar el hundimiento con el agrietamiento inicial es necesario conocer el valor en el que la
mampostería comienza a agrietarse. Existen dos mecanismos diferentes de falla para muros ensayados a
tensión (López et al., 1998). El primero presenta falla por fisuración en las juntas verticales y horizontales en
forma de zigzag el segundo muestra agrietamiento perpendicular a la fuerza de tensión siguiendo las juntas
verticales de mortero y atravesando los tabiques. En este trabajo se consideró este último y se relacionó con la
energía de fractura (Gf).
Van der Pluijin (López et al., 1998) determinó que la Gf para probetas de mampostería ensayadas a tensión
variaba entre 0.005 y 0.02 N-mm/mm2. En este trabajo, para efectos de seguridad, se consideró el valor más
pequeño y se igualó con el área debajo de la curva de la Figura 3 para así determinar el valor de esfuerzo
cuando inicia el agrietamiento. Con base en lo anterior se calculó un valor de 0.147 N/mm2 igual a 0.0147
kgf/mm2.
Figura 3. Curva experimental tensión-desplazamiento. Falla vertical. (López et al., 2008)
CALIBRACIÓN DEL MODELO HOMOGENEIZADO
Se utilizó el elemento PLANE183 de ANSYS® para modelar en 2D. Para 3D se utilizó un elemento
SOLID65 de 8 nodos. Se utilizaron los coeficientes de transferencia de cortante para grieta abierta y cerrada
propuestos por Uday y Venkatarama (2008):
•
•
•
•
•
Coeficiente de transferencia de cortante para una grieta cerrada 0.2
Coeficiente de transferencia de cortante para una grieta abierta 0.5
Esfuerzo de tensión uniaxial de formación de grietas, 0.0147 Kg/mm2
Esfuerzo de compresión unixial de trituración, 0.328 Kg/mm2
Esfuerzo de compresión biaxial de trituración, 0.500 Kg/mm2
El muro de mampostería se considera un material isotrópico con un módulo de elasticidad de E= 75 kg/mm2,
energía de fractura de Gf =0.005 N-mm/mm2, y un coeficiente de Poisson PRXY= 0.167. El módulo de
elasticidad de la trabe de concreto es de E = 210 Kg/mm2. Se usó la técnica de homogeneización.
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MODELO CONSTITUTIVO DE LA MAMPOSTERÍA
Se propone un modelo constitutivo de la mampostería considerando las funciones a compresión y tensión de
Meli y Reyes (1971); López et al. (1998), para incluirlos en el modelo numérico, Figura 4.
Figura 4. Modelo constitutivo de la mampostería
CALIBRACIÓN DEL MODELO HOMOGENEIZADO
Para la calibración del modelo se estudiaron dos geometrías de muro (Fathy et al., 2009) mostrados en la
Figura 5 y cuatro casos de desplazamiento impuesto (Figura 6). La Figura 5 sólo muestra la mitad del muro
modelado pues es simétrico y la única diferencia entre las dos geometrías es los huecos de ventana. La Figura
6 también aplica para la geometría 1. Las líneas en rojo obedecen a las condiciones de apoyo simuladas.
Figura 5. Geometrías (Fathy et al., 2009).
Figura 6. Casos de carga (Fathy et al., 2009).
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Las Figuras 7 a 11 muestran los resultados numéricos de esfuerzos para las geometrías y casos de carga
estudiados. Las gráficas de σx, σy (esfuerzos ortogonales) muestran sólo esfuerzos de tensión; el color azul
indica esfuerzo nulo y el rojo la presencia de esfuerzos de mayor magnitud (0.0147 kgf/mm2), que se
relaciona con el comienzo de agrietamiento. Las gráficas de σxy (esfuerzos cortantes) muestran esfuerzos de
tensión y comprensión; el color rojo indica la presencia de esfuerzos de tensión de mayor magnitud y de
forma similar el color azul pero para esfuerzos de compresión. Además se muestra el esquema de
agrietamiento de referencia (Fathy et al., 2009) para fines comparativos. Las hipótesis consideradas son: 1)
los esfuerzos provocan grietas perpendiculares a su línea de acción (ej. σx, horizontal, provocará grietas
verticales); 2) los esfuerzos cortantes, σxy, causan grietas diagonales; 3) la superposición de esfuerzos
ortogonales (σx, σy) resultan en grietas diagonales.
Con base en lo anterior, se puede observar en la Figura 7 el inicio de agrietamiento en las esquinas inferiores
de la ventana para σx, σy , lo que corresponde con la ubicación de grieta diagonales de referencia. En la
subgráfica σy se muestran esfuerzos en rojo debajo del centro de la ventana que se relacionan con las grietas
horizontales de referencia. Algunas grietas de referencia arriba de la ventana se pueden relacionar con los σx,
σxy. Cabe mencionar que sólo se presentan resultados en una mitad del muro, porque es simétrico.
σx
σy
σxy
Agrietamiento (Fathy et al., 2009).
Figura 7. Distribución de esfuerzos. Geometría 1, caso 1.
En la Figura 8 el agrietamiento de referencia muestra tres grietas; dos (casi verticales) que parten de esquinas
de ventana que corresponden adecuadamente con las localidades rojas en las esquinas de la ventana derecha
en las gráficas σx (mayormente), σy.
σx
σy
σxy
Agrietamiento (Fathy et al., 2009).
Figura 8. Geometría 1, caso 2
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Los resultados numéricos no indican la presencia de esfuerzos en la zona donde se ubica la tercer y pequeña
grieta de referencia.
Para la geometría 1 caso de carga 3, el modelo numérico reprodujo adecuadamente el inicio de agrietamiento;
ya que las dos grietas de esquina en el patrón de agrietamiento de referencia se relacionan con manchas rojas
(esfuerzos de tensión de agrietamiento) en los modelos numéricos, principalmente σx y menormente en σy.
Cabe resaltar que también se observa congruencia en la deformación entre la referencia y los modelos
numéricos.
σx
σxy
σy
Agrietamiento (Fathy et al., 2009).
Figura 9. Geometría 1, caso 3.
En la Figura 10 se pueden observar tres grietas en el patrón de agrietamiento de referencia. La más pequeña
(mayormente horizontal) se relaciona adecuadamente en posición con los esfuerzos en rojo en σy. La grieta
vertical se relaciona con un anillo rojo en σx en la misma posición. Finalmente la grieta diagonal se pudo
deber a la superposición de esfuerzos σx, σy en la misma posición.
σx
σy
σxy
Agrietamiento (Fathy et al., 2009).
Figura 10. Geometría 1, caso 4.
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El modelo numérico también se calibró con un caso de estudio sin trabes. Las líneas punteadas muestran la
relación entre el resultado numérico con las grietas de referencia. Cabe mencionar que el modelo numérico no
fue capaz de reproducir la grieta pequeña (horizontal) en el costado derecho.
σx
σxy
σy
Agrietamiento (Fathy et al., 2009).
Figura 11. Geometría 2 sin trabes; caso 1, magnitud 2mm.
Con base en los resultados anteriores se puede decir que el modelo numérico calibrado reprodujo
satisfactoriamente la mayoría de las grietas de referencia.
Adicionalmente y de acuerdo con el CICER (2008), existen patologías en los muros de mampostería donde se
conocen las grietas típicas con desplazamientos conocidos. Uno de estos patrones típicos de agrietamiento con
hundimiento parabólico se muestra en la Figura 12 (CICER). Con el fin de comprobarlo, se modeló un muro
con L=3.5m, H=2.40m y un desplazamiento parabólico con valor máximo al centro de 10 mm. Se puede
observar cierta similitud entre ambas gráficas (CICER contra resultados numéricos). El agrietamiento
diagonal se puede deber también a la superposición de los esfuerzos en las tres direcciones, no sólo σy.
CICER (2008)
σy
Figura 12. Agrietamiento típico por hundimiento parabólico.
CASOS DE ESTUDIO
Con el fin de determinar el desplazamiento mínimo requerido para inicio de agrietamiento en un muro de
2.4m de altura sin huecos y en otro con hueco (2.1m x 0.9m al centro) para puerta, se realizaron experimentos
numéricos con los modelos calibrados. Se varió la relación de H/L (esbeltez vertical) y el desplazamiento con
base en los cuatro casos de carga estudiados.
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La Figura 13, presenta los resultados para el muro sin huecos. Se puede observar que los desplazamientos son
mayores para el caso de carga 4, lo cual indica que se requiere un mayor desplazamiento para producir inicio
de agrietamiento en este tipo de configuración con carga puntual en un extremo y apoyo empotrado en el otro
y al centro que para cualquiera de los otros tres estudiados. Por el contrario, los desplazamientos son menores
para el caso de carga 3, lo cual indica que este es el caso desfavorable de los cuatro estudiados. También se
observa que a medida que aumenta la relación H/L disminuye el desplazamiento mínimo requerido para
iniciar el agrietamiento, es decir, a medida que el muro es más esbelto verticalmente el agrietamiento inicia
con desplazamientos menores (caso desfavorable). La relación pues desfavorable es H/L=2 y la favorable es
0.5. (muros con longitud del doble de su altura).
Figura 13. Desplazamiento mínimo para inicio de agrietamiento. Muro sin huecos.
Los resultados para el caso de muro con hueco se muestran en la Figura 14. Se puede inferir nuevamente que
el caso de carga favorable es el 4 (desplazamientos mayores necesarios para inicio de agrietamiento) y el
desfavorable es 3 a excepción para H/L=1.5 (caso de carga 1). Es interesante notar que para este caso de
estudio a mayor esbeltez vertical menor desplazamiento sólo hasta valores de H/L=1.5, para relaciones H/L=2
el desplazamiento aumenta. Con base en lo anterior la relación H/L=1.5 es la desfavorable.
Figura 14. Desplazamiento mínimo para inicio de agrietamiento. Muro con hueco para puerta.
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Comparando los resultados con el muro sin huecos, se calculó una disminución hasta de un 78% en la
capacidad de deformación para los caso de carga 1,2,3 debida a la eliminación de área de muro, sin embargo
su capacidad se vio reducida sólo un 22%.
En este trabajo también se aplicó la metodología a un caso real (periódico Reforma
http://www.terra.com.mx/noticias/articulo/1138828/) del 20 de junio del 2011 con evidencia gráfica de
agrietamiento en la colonia Iztapalapa (Figura 15). Debido a que las dimensiones del muro fueron obtenidas
de manera gráfica aproximada, los resultados presentan evidencia solo cualitativa del fenómeno. Se supuso
empotrado un extremo y articulado en otro.
Se puede observar en esta figura que existe cierta correspondencia entre los esfuerzos numéricos con las
grietas. Se puede decir que la grieta principal (vertical) cerca de la persona se pudo deber a esfuerzos
horizontales (σx). También se observa que todos los esfuerzos contribuyeron de alguna forma para las grietas
en esquinas de ventana. Posiblemente las grietas que parten del nivel de suelo se debieron a esfuerzos de
cortante (σxy). Cabe mencionar que pudo existir contribución de fuerzas laterales o de volcamiento las cuales
están fuera de los alcances de este trabajo.
σx
σxy
σy
(Periódico Reforma, 20/junio/2012)
Figura 15. Caso Iztapalapa
CONCLUSIONES
Se presenta un modelo de muro de mampostería basado en un programa comercial de elementos finitos, con
un análisis estático no lineal, con carga monótona. Este modelo utiliza una función constitutiva de la
literatura. El modelo se calibró con resultados experimentales de la literatura. Se estudió la ubicación del
agrietamiento inicial por hundimiento basado en la energía de fractura. Además se estudió el desplazamiento
mínimo necesario para provocar agrietamiento en el muro para dos geometrías y 4 casos de carga.
Se concluye que la técnica de homogenización para modelado resultó adecuada, ya que se pudieron
comprobar algunos patrones típicos de agrietamiento de la literatura.
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Con respecto al caso de muro sin huecos se concluye que la condición de carga puntual en un extremo libre y
los otros dos empotrados es favorable, y con ambos extremos libres y empotrado al centro es desfavorable
puesto que el agrietamiento iniciaría antes que en los otros casos de carga estudiados. Además es desfavorable
la condición de agrietamiento para muros con altura del doble de su longitud y es favorable para muros con
longitud del doble de su altura.
En cuanto al caso de muro con hueco para puerta se concluye lo mismo que el caso sin huecos excepto que
también es desfavorable el caso de carga uno (carga al centro de la mitad del muro) para H/L=1.5.
Comparando los resultados con el muro sin huecos, se calculó una disminución hasta de un 78% en la
capacidad de deformación para los caso de carga 1,2,3 y de 22% con respecto a capacidad.
Por último se concluye que la metodología propuesta fue capaz de reproducir el patrón de agrietamiento
observado para el caso real estudiado.
REFERENCIAS
ANSYS Release 11.0, (2007), “ANSYS, Inc. Theory Reference”.
Fathy, A. M., Planas, J., & Sancho, J. M. (2009), “A numerical study of masonry cracks. Engineering
Failure Analysis”, vol. 16, No. 2, pp. 675–689.
Kim, J.T., and N. Stubbs (1993), “Assessment of the relative impact of model uncertainty on the accuracy
of global nondestructive damage detection in structures”, report prepared for New Mexico State
University.
López, J., Oller, S. y Oñate, E. (1998), “Cálculo del comportamiento de la mampostería mediante
elementos finitos”, Monografía CIMNE, M46, España.
Meli, R. y Reyes, A. (1971), “Propiedades mecánicas de la mampostería”, UNAM, Instituto de Ingeniería,
Series del Instituto de Ingeniería 288, México.
Patologias en mampostería de ceramica roja (2008), “Cámara Industrial de Ceramica Roja (CICER) ”,
Ficha técnica No. 3, Argentina.
Uday, Ch. y Venkatarama, B. (2008), “Prediction of solid block masonry prism compressive strength
using FE model” , Materials and Structures, vol. 43, pp. 719–735.
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