Unidad 1: Teoría - Números Reales - Facultad de Ingeniería

Universidad acional de Salta – Facultad de Ingeniería
Ciclo de Introducción a los Estudios Universitarios (CILEU 2010)
Prof. Beatriz Copa
Coordinadora del Área Matemática
UIDAD 1
ÚMEROS REALES
Conjuntos
Definición: Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Denotaremos los conjuntos con
letras mayúsculas A, B, C, etc. Los objetos que componen el conjunto reciben el nombre de elementos o
miembros del conjunto y los denotaremos por letras minúsculas a, b, c, etc.
ota: Existen dos formas de escribir un conjunto:
Por extensión por la que podemos determinar el conjunto listando todos sus elementos.
Por comprensión por la que podemos determinar un conjunto, identificando sus elementos
mediante una propiedad común de ellos.
Para escribir un conjunto por extensión, listamos todos sus elementos separados por comas, y
finalmente, encerrados entre llaves. Por ejemplo A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}.
Para escribir un conjunto por comprensión elegimos un elemento arbitrario x y señalamos que cumple
una determinada propiedad P(x). Finalmente, encerramos toda la expresión entre llaves: A= {x: P(x)}, se
lee “A es el conjunto de todos los elementos x tales que cumplen la propiedad P(x)”. (ota “ : es una
manera simbólica de escribir tal que”).
Ejemplos
1. El conjunto A={a, e, i, o, u} está expresado por extensión. Si deseamos expresar el conjunto A
por comprensión debemos buscar una propiedad ó característica en común que contengan cada
uno de sus elementos, en este caso sabemos que los elementos son vocales, por lo tanto el
conjunto A se puede expresar por comprensión como sigue: A={x : x es una vocal}.
2. Sea B={x : x es un número entero positivo menor que cinco}, este conjunto está expresado por
comprensión, para expresar B por extensión debemos determinar el conjunto listando todos sus
elementos, es decir B={1,2,3,4}.
Igualdad de Conjuntos: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.
Para denotar que A y B son iguales, escribimos: A=B
Conjunto Vacío
Dado el conjunto C, C ={x: x es un profesor de matemática con más de trescientos años de edad}
expresado por comprensión, se desea expresar el conjunto por extensión, entonces debemos encontrar
todos los elementos del conjunto; es evidente que C carece de elementos, debido a que no existe
actualmente un profesor con dicha característica. Por lo tanto, C es un conjunto que carece de elementos,
el cual es llamado conjunto vacío. El conjunto vacío se denota por {} o Φ.
Por lo que C ={} ó C =Φ.
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen
usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal (U)
Inclusión de conjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un
subconjunto de B. Se dice también que A está contenido en B o que B contiene a A. La relación de
subconjunto viene dada por: A ⊂ B
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Ejemplo
Consideremos los siguientes conjuntos A={1,3,4,5,8,9}, B={1,2,3,5,7} y C={1,5}. Podemos observar
que todos los elementos del conjunto C están en el conjunto A, por tanto C ⊂ A. De la misma manera
podemos observar que C ⊂ B. Sin embargo, no todos los elementos del conjunto B están en A, por lo
que podemos decir que B no está incluido en A.
Propiedades: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se cumple siempre:
1. Φ ⊂ A ⊂ U (el conjunto vacío está contenido en el conjunto A )
2. A ⊂ A (cualquier conjunto está incluido en sí mismo)
3. Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C
4. A=B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A
Operaciones entre Conjuntos
Cuando trabajamos con ecuaciones, problemas, etc. podemos llegar a encontrarnos con distintas
situaciones al querer determinar las soluciones de los mismos, es por ello, que a continuación se definirá
las operaciones entre conjuntos, las cuales constituyen una herramienta necesaria en la resolución de
diferentes ejercicios matemáticos.
Unión de Conjuntos
Ejemplo: Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés
estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican natación. José,
Mario, Alfredo, Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. ¿Cuáles estudiantes practican algún deporte ?
Solución:
Llamamos A al conjunto de los estudiantes que nadan, es decir:
A={Juan , Luis, Mario, Rubén, Roberto}
Y B al de los estudiantes que juegan fútbol:
B={José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés}
Ahora formamos la colección de estudiantes que practican algún deporte:
{Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Alfredo, Bruno, Andrés}.
Los elementos de este conjunto son los estudiantes que practican algún deporte. Notar que a Mario y a
Roberto no lo colocamos dos veces en el conjunto, por más que practiquen dos deportes a la vez.
Cuando deseamos, como en el problema anterior reunir los elementos de dos conjuntos A y B,
escribimos:
C=A∪B
En este caso decimos que C es la unión de los conjuntos A y B, y para describir sus elementos:
∪ = { / ∈ ∈ }
Y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es
decir, x pertenece a A o x pertenece a B.
Notemos que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir:
A⊂A∪B y B⊂A∪B
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Gráficamente se representa:
Observaciones:
•
•
•
Si A ⊂ B entonces A ∪ B = B.
Si A = B entonces A ∪ B = A = B.
Si x ∈ A ∪ B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos.
Ejemplo: Si A ={3,4,5,6} y B ={3,6}, encontrar A ∪ B.
Solución: Como todos los elementos de B pertenecen al conjunto A (B⊂A) entonces la unión será el
conjunto A.
A ∪ B = {3,4,5,6}
Intersección de Conjuntos
Ejemplo: Los miembros del consejo de seguridad de la ONU durante 1997 son Japón, Kenia, Polonia,
Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica,
Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos Federación Rusa, Reino Unido,
Estados Unidos de Norteamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal,
Chile, Costa Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. ¿Qué países
son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma?
Solución:
Llamamos A al conjunto de miembros permanentes del Consejo de Seguridad de la ONU, es decir:
A = {Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China, Francia}
Y B al conjunto de países cuyo idioma una lengua romance, o sea:
B = {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau}
Los países que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua romance son los que están en
ambos conjuntos, llamemos C a dicho conjunto, entonces:
C = {Francia}
Francia es el único país que es miembro permanente y tiene como idioma una lengua romance.
En general, cuando deseamos obtener los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al
conjunto B, escribimos:
C = A ∩ B,
En este caso decimos que C es la intersección de los conjuntos A y B, o sea:
∩ / ∈ ∈ Y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B.
De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A ∩ B es un elemento de A y también de B, es
decir:
(A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B.
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A∩B
Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es
vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío.
Observaciones:
•
•
Si A ⊂ B entonces A ∩ B = A.
Si A = B entonces A ∩ B = A =B.
COJUTOS UMÉRICOS
El conjunto de los úmeros aturales ( N )
Los números que se emplean para contar 1,2,3,4,... constituyen el conjunto de los Números Naturales (o
enteros positivos). Lo simbolizamos con N .
El conjunto se puede escribir como N = {1, 2, 3, 4,....}
Propiedades de N
1) El conjunto N es infinito.
2) Tiene primer elemento (el 1) y no tiene último elemento
3) Todo número natural tiene sucesor: ∀ n ∈ N , ∃ n + 1 ∈ N , donde n + 1 es el sucesor de n .
4) Todo número natural tiene antecesor excepto el 1: , 1, 1 , donde n − 1 es el
antecesor de n .
5) Entre dos números naturales no consecutivos hay un número finito de números naturales. Se dice
que N es discreto.
ota: En este conjunto la suma de dos números naturales da como resultado otro número natural (esto
quiere decir que el conjunto cumple la ley de cierre para la suma), pero no ocurre lo mismo para la
diferencia (no vale la ley de cierre), por ejemplo 3 − 5 no tiene solución en este conjunto, por lo tanto
ecuaciones del tipo 5 + x = 3 no tienen solución en el conjunto N, de allí la necesidad de introducir un
nuevo conjunto de números.
El conjunto de los números enteros ( Z )
Si al conjunto N se agrega el número 0 y los enteros negativos se obtiene un nuevo conjunto llamado
conjunto de los números Enteros. Lo simbolizamos con Z .
Z = {..., − 3,−2,−1, 0,1, 2, 3,...}
Z = N ∪ {0} ∪ Z −
Propiedades de Z :
1) El conjunto Z es infinito.
2) El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento.
3) Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
4) Entre dos números enteros no consecutivos hay un número finito de números enteros. Se dice que
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Z es discreto.
ota: La suma, diferencia y producto de dos números enteros es otro número entero (esto quiere decir
que valen las leyes de cierre para suma, diferencia y producto), pero no ocurre lo mismo con la división
de dos números enteros, por ejemplo 2 : 5 no tiene solución en este conjunto (no vale la ley de cierre
para la división), por lo tanto ecuaciones del tipo 4.x + 1 = 6 no tienen solución en Z , de allí la
necesidad de introducir un nuevo conjunto de números.
El conjunto de los números Racionales ( Q )
Es el conjunto de números formado por aquellos números que pueden expresarse como cociente de dos
números enteros, como una fracción. Es decir:
a ∈ Q si a = bc con b , c ∈ Z ∧ c ≠ 0
A este conjunto lo simbolizamos con Q .
Q = Z ∪ Fraccionarios
Los números naturales y enteros son números racionales con denominador 1.
Propiedades de Q :
1) El conjunto Q es infinito.
2) El conjunto Q no tiene ni primero ni último elemento.
3) Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice que Q es
denso.
Transformación de una fracción en una expresión decimal: Se divide numerador por denominador.
Si el resto es 0 , la expresión será decimal exacta (por ejemplo 52 = 0, 4 ), caso contrario, la expresión
será periódica, en la cual se repiten indefinidamente alguna o algunas cifras decimales llamadas
“periodo” (por ejemplo 13 = 0, 333..., se expresa 0,3̂ ).
Existen dos tipos de expresiones decimales periódicas:
• Expresión decimal periódica pura: el período aparece inmediatamente después de la coma.
)
Ejemplo: 2,33333 ... = 2,3
• Expresión decimal periódica mixta: el período aparece luego de una parte no periódica que
)
también está detrás de la coma. Ej: 1,3466666 ... = 1,346
Transformación de una expresión decimal en una fracción
A continuación se presenta algunos ejemplos del procedimiento que se realiza para determinar la
fracción correspondiente a una expresión decimal:
)
1) Sea x = 0,6
x = 0, 666 ...
Multiplicando por 10 ⇒ 10 x = 6,666 ....
restando
x = 0, 666 ...
9 x = 6 ⇒ x = 96 ⇒ x = 23
2) Sea 3,128
y = 3, 128282828 ....
multiplicando por 1000 ⇒ 1000 = 3128, 28
restando
10 = 31, 28
990 = 3097 ⟹ =
!"#
""!
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Para facilitar esta transformación podemos ocupar la siguiente regla:
Regla Toda expresión decimal periódica pura se puede transformar en una fracción tal que:
• El numerador se obtiene restando al número sin la coma la parte entera.
• El denominador se obtiene colocando tantos 9 como cifras periódicas tenga.
Ejemplo:
% &%
%'
#
2, 3$ =
= =
"
"
= * +&* = * %
4, 36
""
""
Regla Toda expresión decimal periódica mixta se puede transformar en una fracción tal que:
• El numerador se obtiene restando al número decimal sin la coma la parte entera seguida
de la parte no periódica.
• El denominador se obtiene con tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de
tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Ejemplo:
.*&
3,54- = "!
.
= *'
4,13678
'"
=
"!
+#/&*' +
""!!!
=
*!".*%
""!!!
Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, por
'
.
ejemplo , y
son equivalentes porque todas representan el número 0,25. Para pasar de la primera a
* '%
%!
la segunda se multiplica el numerador y el denominador por 3, o por el contrario si se quiere reducir la
tercera fracción a la primera se divide numerador y denominador por 5.
Operaciones en Q
• Suma o resta: ba ± dc = adbd± bc
Ejemplos:
1) Fracciones de igual denominador: se pone el mismo denominador y se suman o restan los
numeradores.
3
+ 54 = 75
5
2) Fracciones de distintos denominadores: si tenemos distintos denominadores, debemos encontrar el
Mínimo Común Múltiplo de los denominadores, el mismo pasa a ser el denominador de la suma,
en el ejemplo los denominadores son 4 y 5 y el mínimo común múltiplo es 20. Para calcular el
numerador dividimos el denominador de la suma por el denominador de la primera fracción, en este
caso 20:4=5, a este resultado lo multiplico por el numerador correspondiente a la primera fracción,
en el ejemplo 5.1=5, y realizando el mismo procedimiento, es decir, dividimos el denominador de la
suma por el denominador de la segunda fracción, en este caso 20:5=4, a este resultado lo multiplico
por el numerador correspondiente a la segunda fracción, en el ejemplo 4.2=8, y así siguiendo, si
tuviera más sumandos, sumamos estos resultados y obtenemos el numerador de la suma.
'
%
..'2*.%
.2/
'
Por ejemplo: + *
.
%!
%!
%!
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ac
• Producto: ab × dc = bd
El producto de varios números racionales es igual a otro número racional cuyo numerador y
denominador son los productos de los numeradores y denominadores de los factores.
Es conveniente simplificar las fracciones y llevarlas a su mínima expresión y recién realizar el producto.
Siempre se puede simplificar numerador y denominador de la misma fracción. En el producto además
se puede simplificar numerador y denominador de fracciones distintas.
3456789:7'
3456789:7%
Dado el siguiente producto de fracciones
⋅
963:5;389:7 '
963:5;389:7%
Podemos simplificar numerador1 con denominador 1, numerador2 con denominador2, por ser
numerador y denominador de la misma fracción, numerador1 con denominador2 ó numerador2 con
denominador1 por ser producto de fracciones.
+ %' '
'
' ' '
Ejemplo: # ∙ % ∙ " ' ∙ ' ∙ " ' ∙ ' ∙ ' 1
• Cociente: ba : dc = ad
bc
En este caso la simplificación se realiza entre numeradores o bien entre denominadores. Es decir se
puede simplificar numerador1 con numerador2, denominador1 con denominador2, además, como
siempre se puede simplificar numerador con denominador de la misma fracción, también podemos
simplificar numerador1 con denominador1 ó numerador2 con denominador2.
Ejemplo: 23 : 54 = 13 : 52 = 13..52 = 56
El conjunto de los números racionales no es cerrado para la radicación, por ejemplo 2 = 1,414213 ... no
es un número racional porque es un número decimal no periódico, no se puede expresar como una
fracción, por lo tanto ecuaciones del tipo x 2 − 2 = 0 no tienen solución en Q . De allí la necesidad de
introducir un nuevo conjunto de números.
El conjunto de los números Irracionales ( I )
Es el conjunto formado por los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Lo
simbolizamos con I .
Ejemplos:
2 = 1,414213 ...
π = 3,14.....
3 = 1,7320508 ...
Propiedades de I :
1) El conjunto I es infinito.
2) El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento.
El conjunto de los números Reales ( R )
Es el conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales.
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R = Q ∪I
N ∪ {0} ∪ Z −
Enteros Z
U
Fracciones
Racionales Q
U
Reales R
Irracionales I
Representación Gráfica de >: Los números reales se pueden representar sobre una recta, llamada recta
real, de modo que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le
corresponde un número real.
Ley de Tricotomía: Si ? > entonces a cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
@A ? B 0
@@A ? 0
@@@A ? C 0
Orden en > Si ? D >, ? es menor que D si se cumple que D ? es positivo. En símbolos:
? C D ED? B0
Operaciones en >. Propiedades
Habitualmente operamos con números reales (sumamos, restamos, etc.), pero existen ciertas reglas que
debemos respetar, este conjunto de reglas reciben el nombre de propiedades. Las mismas se pueden
comparar con el reglamento de un deporte, si se desconoce el mismo no se puede practicar el deporte en
un campo de juego pues seguramente no sabríamos como desenvolvernos.
Propiedades de la adición (Suma): Sean ? D >
1. Ley de cierre: Para todo par de números a y b que pertenecen a los reales se cumple que la suma
? + D pertenece a los reales. En símbolos: ? , D > : ? + D >
2. Propiedad Conmutativa: ? , D > F ? + D D + ?
3. Propiedad Asociativa: ? , D, G > F H? + DA + G ? + HD + GA
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4. Existencia del elemento neutro para la suma: Para todo número a que pertenece a los reales,
existe el número 0 que pertenece a los reales tal que se cumple que el número a más 0 es igual al
mismo número a.
? ∈ ℝ, ∃ 0 ∈ ℝ: ? + 0 = 0 + ? = ?
5. Existencia del elemento opuesto:
? ∈ ℝ ∧ ? ≠ 0, ∃H−?A ∈ ℝ: ? + H−?A = H−?A + ? = 0
Propiedades del producto (Multiplicación):
1.
2.
3.
4.
Ley de cierre: ∀ ? , D ∈ ℝ : ?. D ∈ ℝ
Propiedad Conmutativa: ? , D ∈ ℝ ∶ ?. D = D. ?
Propiedad Asociativa: ? , D, G ∈ ℝ: H?. DA. G = ?. HD. GA
Existencia del elemento neutro para el producto: ? ∈ ℝ, ∃ 1 ∈ ℝ: ?. 1 = 1. ? = ?
5. Existencia del elemento inverso: ? ∈ ℝ ∧ ? ≠ 0, ∃?&' ∈ ℝ: ?. ?&' = ?&' . ? = 1
6. Distributiva del Producto respecto de la suma: G. H? + DA G. ? + G. D
ota: Todo conjunto que cumple con las propiedades anteriores se denomina “Campo”, por lo tanto el
conjunto de los números reales con las operaciones de suma y producto usuales constituyen un campo
numérico. Otros campos numéricos son los Racionales y los Complejos.
Leyes Cancelativas y Uniformes:
1) De la Adición
Ley uniforme para la suma: ∀a, b, c ∈ R : a = b ⇒ a + c = b + c
Ley cancelativa para la suma: ∀a, b, c ∈ R : a + c = b + c ⇒ a = b
2) Del Producto:
Ley uniforme: ∀a, b, c ∈ R : a = b ⇒ a.c = b.c :
Ley cancelativa: ∀a, b, c ∈ R, c ≠ 0 : a.c = b.c ⇒ a = b
Propiedad: Sean a , b ∈ R , a.b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Propiedades de las operaciones sobre desigualdades
1) ?, D, G ∈ K: ? < D ⟹ ? + G < D + G
2) ?, D, G ∈ K: ? < D, G > 0 ⟹ ?. G < D. G
3) ?, D, G ∈ K: ? < D, G < 0 ⟹ ?. G > D. G
4) ?, D, G ∈ K: ? + G < D + G ⟹ ? < D
5) ∀ ?, D, G ∈ K: ?. G < D. G, G > 0 ⟹ ? < D
6) ∀ ?, D, G ∈ K: ?. G < D. G, G < 0 ⟹ ? > D
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A continuación se enunciará algunas reglas que te permitirán resolver ejercicios combinados.
• Reglas de la supresión de paréntesis:
? + HD + G A ? + D + G
? HD + G A ? D G
? HD G A ? D + G
Si tenemos un signo menos delante del paréntesis, cambian de signo los términos que se
encuentran dentro del mismo.
• Regla de los signos para el producto y la división:
+. + +
−. −= +
−: += −
+. −= −
+: += +
−: −= +
−. += −
+: −= −
Si multiplicamos o dividimos dos números con signos iguales el resultado es positivo,
mientras que, si multiplicamos o dividimos dos números de distintos signos el resultado
en negativo.
• Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta las siguientes prioridades:
a) Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves
b) Calcular las potencias y raíces.
c) Efectuar los productos y cocientes.
d) Y por último realizar las sumas y restas.
Potencia y Radicación de úmeros Reales
Definición de Potencia
Si a es un número real, distinto de 0, y n es un número natural, se define potencia n-ésima de a:
?3 MN
?. ?.
NON
?…
NP
?
3 Q6R6S
an se lee: “a elevado a la n”; a se denomina base y n el exponente. Además se establece, por
convención:
1
1A ?! = 1
2A ?&' =
?
Por lo tanto se cumple también que:
1
?&3 = 3
?
Propiedades de la potencia:
1. Producto de potencias de igual base: a n. a m = a n + m
2. Cociente de potencias de igual base: a n : a m = a n − m
3. Potencia de potencia: (a n ) m = a n.m
4. Distributiva de la potencia respecto del producto y del cociente:
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(a . b ) n
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n
an
a 
  = n
b 
b
=a n .b n
si b ≠ 0
Observación
La potenciación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir
( a ± b) n ≠ a n ± b n
Radicación
U
La expresión √? se lee “la raíz enésima de un número a”, con y > 1, n se denomina
índice y a radicando.
Y se define de la siguiente forma:
Si n es par, la raíz solo está definida para números positivos, es decir:
Dado a > 0 n a = b ⇔ b n = a, b ≥ 0
Si n es impar, la raíz está definida para cualquier real, es decir:
Dado a∈R n a = b ⇔ b n = a
Ejemplos:
4=2
•
− 25 ∉ R
5
− 32 = −2
4
16 = 2
3
4
8=2
−4∉R
Una raíz se puede escribir como potencia de exponente racional, por convección:
a = a1 / n
Propiedades de la Radicación
n
1. Distributiva respecto del producto y del cociente:
a na
n
n
a.b = n a .n b
=
,b ≠ 0
b nb
2. Raíz de raíz:
m n
a = n.m a
3. Amplificación y simplificación de índices (r≠0):
n
a m = n. r a m . r
n
a m = n:r a m:r
La radicación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir:
n
a±b ≠ n a ±n b
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¡Cuidado al simplificar!
Si tenemos una potencia, como radicando en una raíz de índice par, podemos escribir:
(−2) 2 = (−2) 2.1 / 2 = −2 que es equivalente a simplificar índice con exponente y esto no es correcto
porque si operamos sin simplificar, el resultado obtenido es 2 (positivo)
Valor Absoluto o Módulo
Hemos visto que los números reales se representan en la recta numérica.
Se puede observar que la distancia del
número 4 hasta el 0 es igual a 4 y que la
distancia del número -4 hasta el 0,
también es igual a 4.. O sea, la distancia
de un punto al cero no tiene en cuenta de qué lado del cero esté el número.
Si consideramos a la distancia de un número hasta cero como un valor positivo, definimos a ésta como
el valor absoluto o módulo del número. El módulo de un número se indica con dos barras que abarcan
al mismo.
−4 = 4
3 =3
−3 = 3
Por ejemplo: 4 = 4
Podemos apreciar que el valor absoluto de un número es el m
mismo
ismo número, si éste es positivo, y el
opuesto, si es negativo.
Esto se puede formalizar mediante la siguiente definición:
si x ≥ 0
 x
x =
si x < 0
− x
Absoluto
Propiedades del Valor Absoluto:
@A || X 0 El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero.
@@A || || El valor absoluto de un número es igual al de su opuesto.
@@@A |. | |||| El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos.
[
|[|
@YA Z Z |\| El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores
valores absolutos.
\
YA | + | ] || + ||
A ] |3| 0 |2|, `a Gbcdea fba |1| ] 3 0 2,
Ejemplo: |3 0 HH2A|
2 h `a? 1 ] 5
Y@A | | X || ||
Y@@A || ] ?, ^@ ? B 0 _ ? ] ] ?
Y@@@A || X ?, ^@ ? B 0 _ ] ?
? g X?
Igualdad importante:
Con el concepto de valor absoluto de un número real, podemos volver sobre el problema planteado
sobre la simplificación de radicales y directamente escribir la siguiente igualdad, válida para todo
número real, con n par:
x = n xn
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Intervalos en R
Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, a los cuales
llamaremos intervalos.
Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biunívoca, entre los
puntos de una recta (recta numérica), y el Conjunto de los Números Reales. Así, para cada número real
corresponde uno y sólo un, punto de la recta numérica, e inversamente cada punto de la recta numérica
representa uno, y sólo un número real.
Definiciones:
• Sean a y b números reales tales que a es menor que b H? C DA . Se llama intervalo abierto
de extremos a y b, al conjunto cuyos elementos son los números reales x que cumplen la
condición de que: ? C y C D
otación:
i.) El intervalo abierto de extremos a y b lo denotaremos por H?, DA
ii.) Si ? C y C D escribimos ? C C D , por ejemplo, la expresión 3 C C 5, significa que
3 C y C 5 .
De esta manera se tiene que:
H?, DA >/ ? C C D El intervalo abierto de extremos a y b se puede representar gráficamente de la siguiente manera:
•
Sean a y b un par números reales tales que ? C D . Se llama intervalo cerrado de extremos a
y b, al conjunto cuyos elementos son los números reales x que cumplen la siguiente
condición:
? ] y ] D
otación:
i) El intervalo cerrado de extremos a y b lo denotaremos por i?, Dj
ii) Si ? ] y ] D escribimos ? ] ] D , por ejemplo, la expresión -7] ] 2 , significa que
7 ] y ] 2 .
De esta manera se tiene que:
i?, Dj >/ ? ] ] D El intervalo cerrado de extremos a y b se lo puede representar graficamente de la siguiente manera:
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Observación: Notar que en el intervalo abierto de extremos a y b no se incluyen extremos, mientras que
en el intervalo cerrado se incluyen los extremos.
Sean a y b un par de números reales tales que ? C D . Se llama intervalo semi-abierto de
extremos a y b, "abierto" en a y "cerrado" en b, al conjunto cuyos elementos son los números
reales x que cumplen la siguiente condición:
? C y ] D
k
Este intervalo lo denotaremos: H?, Dj
•
otación:
Si ? C y ] D escribimos ? C ] D
De esta manera se tiene que:
H?, Dj >/ ? C ] D Gráficamente el intervalo semi-abierto, de extremos a y b, "abierto" en a y "cerrado" en b, lo
representamos de la manera siguiente:
En forma similar se define el intervalo "semi-abierto" de extremos a y b, "cerrado" en a y "abierto" en b,
y se denota i?, DAde la manera siguiente:
i?, DA >/ ? ] C D Gráficamente este intervalo se representa de la siguiente manera:
•
Sea a un número real. El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que B ? lo
denotaremos por H?, +∞A y lo representamos gráficamente de la siguiente manera:
El símbolo " + ∞" se lee "más infinito" así:
H?, +∞A >/ B ?
En forma similar:
i) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que X ? , lo denotaremos por i?, +∞A y
lo representaremos gráficamente de la siguiente manera:
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Así:
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i?, +∞A >/ X ?}
ii) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que C ?, lo denotaremos por H∞, ?A
y lo representaremos gráficamente de la siguiente manera:
Así:
H−∞, ?A >/ < ?}
El símbolo " − ∞" se lee "menos infinito"
iii) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que ] ? , lo denotaremos por H∞, ?j
y lo representaremos gráficamente de la siguiente manera:
Así:
H∞, ?j >/ ] ?
Operaciones con Radicales
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser semejantes, es decir, deben tener el
mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) 5 + 2 5 − 6 5 = −3 5 Como los radicales son semejantes podemos sumar y restar los números que
están multiplicando a √5 , es decir H1 + 2 6A√5 3√5 .
b) 8 20 + 3 45 − 5 Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, es decir
20,45 y 5 son distintos. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan operando
de la siguiente manera:
8 20 + 3 45 − 5 = 8 22.5 + 3 32.5 − 5 = 16 5 + 9 5 − 5
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
16 5 + 9 5 − 5 = 24 5
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3
3
3
3
3
c) 7 2 + 2 16 − 5 54 + 6 + 48 No son semejantes
7 3 2 + 2 3 16 − 5 3 54 + 3 6 + 3 48 = 7 3 2 + 2 3 24 − 5 3 2.33 + 3 6 + 3 24.3 =
7 3 2 + 4 3 2 − 15 3 2 + 3 6 + 2 3 6 se suman los que son semejantes
7 3 2 + 4 3 2 − 15 3 2 + 3 6 + 2 3 6 = −4 3 2 + 3 3 6 y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
5. 2 = 10
d)
3
12 3 12 3
=
= 2
6
6
3
e)
3
5
f) 2. 2 no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a
denominador común.
3
2. 5 2 = 15 25 .15 23 ahora si se pueden multiplicar
15
25 .15 23 = 15 25.23 = 15 28 = 15 256
g)
6 4 62 4 62 4
= 4 =
= 6
4
6
6
6
Racionalización de Radicales
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes
pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de
radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es
diferente.
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Se pueden dar varios casos:
1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso
basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción
denominador por 2
5
2
, multiplicaremos numerador y
5
5 2
5 2 5 2
=
=
=
2
2
2. 2
22
2 3
18
Otro ejemplo. Racionalizar
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:
2 3
2 3
2 3
=
=
2
18
3 2
2.3
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
2 para eliminar la raíz del denominador:
2 3 2 3. 2 2 6
6
=
=
=
3.2
3
3 2 3 2 2
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18
2 3 2 3. 18 2 54
54
=
=
=
18
9
18
18. 18
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
54
2.33 3 2.3
6
=
=
=
9
9
9
3 , como vemos da el mismo resultado.
2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay
una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del
denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo
7
=
5− 3
7
5− 3
7
(
(
, multiplicamos numerador y denominador por 5 + 3
5+ 3
5− 3
)(
)
5+ 3
)
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una
2
2
expresión del tipo ( a + b )( a − b ) = a − b
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7
=
5− 3
7
(
(
5+ 3
5− 3
)(
2
3+ 7
Otro ejemplo:
(
)
)
3) ( 5) − ( 3)
7
=
5+
(
5+ 3
2
7
2
=
(
5+ 3
5−3
) = 7(
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5+ 3
)
2
, ahora multiplicamos numerador y denominador por 3 − 7
)
(
) (
)
2 3− 7
2 3− 7
2 3− 7
2
=
=
=
= 3− 7
9−7
2
3+ 7
3+ 7 3− 7
(
)(
)
3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica
numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente
n.
Por ejemplo:
3
1
25
1
1
=
25 3 52
Factorizamos el radicando del denominador:
y como
3
5
denominador por
para completar la potencia de 5
3
3
53 = 5 ,
vamos a multiplicar numerador y
3
3
3
1
1
5
5
5
=
=
=
=
3
3 2
3 2 3
3 3
5
25
5
5 5
5
2
2
4
Otro ejemplo:
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por
4
23
2
2 4 23
2 4 23 2 4 23 4 3
=
=
=
= 2
4
4 4
2
2 4 2 4 23
2
18