INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD José Luis Quintero Experimento aleatorio Teoría de Conjuntos Experimento Binomial Probabilidad Teorema de Bayes Técnicas de Conteo Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Postgrado de Investigación de Operaciones Serie: Probabilidad y Estadística INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD José Luis Quintero Experimento aleatorio Teoría de Conjuntos Experimento Binomial Probabilidad Teorema de Bayes Técnicas de Conteo Universidad Central de Venezuela Asignatura: Estadística Caracas, Diciembre 2013 PRÓLOGO ROBABILIDADES (ITEL-30205) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva Distribución de frecuencias y medidas de localización Lo malo de escribir libros es que se nos va la vida en rehacerlos Alfonso Reyes El presente material ha tenido un proceso de actualización permanente, iniciado ya hace algunos años. En cada una de ellas, se han incluido nuevos temas y ejercicios, con lo cual se ha venido enriqueciendo y mejorando su contenido, ajustándolo a las necesidades, para la formación de profesionales y para estudiosos de la materia, que requieren de esta materia. En esta edición, se han mejorado sustancialmente aspectos tales como su diagramación, haciendo más agradable y hábil la presentación de los diferentes tópicos, además en su contenido se han incluido, actualizado y revisado tópicos nuevos y problemas de aplicación a fin de atender a las necesidades y consultas exigidas por estudiantes, profesionales o personas que sin formación académica requieren de su utilización. José Luis Quintero José Luis Quintero OBJETIVOS A LOGRAR ROBABILIDADES (ITEL-30205) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva Distribución de frecuencias y medidas de localización • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Definir experimento aleatorio, su propósito y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos Definir espacio muestral y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos Definir eventos y dar ejemplos de ciertos eventos característicos Destacar ciertos experimentos aleatorios de interés Destacar el uso de Diagramas de Venn para la comprensión del uso de eventos Definir probabilidad Discutir los dos enfoques hasta ahora conocidos para ilustrar el concepto de probabilidad Trabajar mediante demostraciones y ejemplos algunos axiomas de la probabilidad Definir combinatoria Definir principio aditivo y principio multiplicativo e ilustrar con ejemplos Definir permutaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos Definir variaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos Definir combinaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos Trabajar mediante ejemplos los principios y usos de las técnicas de conteo Definir probabilidad condicional, eventos independientes y probabilidad total Definir diagrama de árbol y establecer su utilidad en el cálculo que involucra probabilidades condicionales Definir y aplicar el Teorema de Bayes Definir y aplicar un Experimento de Bernoulli Definir y aplicar un Experimento Binomial Definir y aplicar un Experimento Multinomial Definir y aplicar un Experimento Geométrico Definir y aplicar un Experimento Binomial Negativo de orden r Definir y aplicar un Experimento Hipergeométrico Definir y aplicar un Experimento Multihipergeométrico Definir y aplicar un Experimento de Poisson Trabajar mediante problemas los principios y usos de la probabilidad condicional José Luis Quintero INDICE GENERAL ROBABILIDADES (ITEL-30205) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva Distribución defrecuencias y medidas de localización 1. Experimento aleatorio 1 1.1. Definición 1.2. Clasificación 1 1 1.3. Propósito de un experimento aleatorio 3 2. Espacio muestral de un experimento aleatorio 2.1. Definición 3 3 2.2. Clasificación 3 2.3. Cardinalidad de un conjunto C 2.4. Cardinalidad del espacio muestral 5 5 3. Eventos o sucesos 5 3.1. Definición 3.2. Algunos eventos de interés 5 6 3.3. Diagramas de Venn 6 4. Experimentos aleatorios de interés 4.1. Experimento de Bernoulli 7 7 4.2. Ejemplo ilustrativo 7 4.3. Experimento Binomial 4.4. Ejemplo ilustrativo 7 7 4.5. Experimento Multinomial 8 4.6. Ejemplo ilustrativo 4.7. Experimento Geométrico 8 8 4.8. Ejemplo ilustrativo 8 4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden r 4.10. Ejemplo ilustrativo 8 8 4.11. Experimento Hipergeométrico 9 4.12. Ejemplo ilustrativo 4.13. Experimento Multihipergeométrico 9 9 4.14. Ejemplo ilustrativo 9 5. Probabilidad 5.1. Definiciones 5.2. Probabilidad (versión frecuencias relativas) 9 9 9 5.3. Ejemplos ilustrativos 5.4. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral discreto y finito) 10 11 5.5. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral continuo) 11 5.6. Axiomas de la probabilidad 6. Problemas resueltos 11 12 7. Principios de las técnicas de conteo 20 José Luis Quintero 7.1. Combinatoria 7.2. Prinicipio aditivo 20 20 7.3. Ejemplos ilustrativos 21 7.4. Principio multiplicativo 7.5. Ejemplos ilustrativos 21 21 8. Permutaciones 22 8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición 8.2. Ejemplos ilustrativos 22 22 8.3. Permutaciones de n elementos con repetición 23 8.4. Ejemplo ilustrativo 9. Variaciones 23 23 9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones 23 9.2. Ejemplos ilustrativos 9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones 24 24 9.4. Ejemplos ilustrativos 24 10. Combinaciones 10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones 25 25 10.2. Ejemplos ilustrativos 25 10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones 10.4. Ejemplos ilustrativos 25 25 11. Problemas resueltos 26 12. Probabilidad condicional 12.1. Definición 40 40 12.2. Ejemplo ilustrativo 13. Eventos independientes 13.1. Dos eventos independientes 13.2. N eventos independientes 13.3. Ejemplos ilustrativos 14. Probabilidad total 14.1. Definición 14.2. Ejemplo ilustrativo 15. Diagrama de árbol 15.1. Definición 15.2. Ejemplos ilustrativos 16. Teorema de Bayes 16.1. Definición 16.2. Ejemplos ilustrativos 17. Experimento de Bernoulli 17.1. Definición 17.2. Ejemplos ilustrativos 18. Experimento Binomial 18.1. Definición 18.2. Ejemplos ilustrativos 19. Experimento Multinomial 19.1. Definición José Luis Quintero 41 41 41 41 42 43 43 44 44 44 44 50 50 50 51 51 51 52 52 52 53 53 19.2. Ejemplo ilustrativo 20. Experimento Geométrico 20.1. Definición 20.2. Ejemplos ilustrativos 21. Experimento Binomial Negativo de Orden r 21.1. Definición 21.2. Ejemplos ilustrativos 22. Experimento Hipergeométrico 22.1. Definición 22.2. Ejemplo ilustrativo 23. Experimento Multihipergeométrico 23.1. Definición 23.2. Ejemplo ilustrativo 24. Experimento de Poisson 24.1. Definición 53 54 54 54 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 57 24.2. Ejemplo ilustrativo 25. Problemas resueltos 57 58 26. Problemas propuestos 71 José Luis Quintero Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 1. EXPERIMENTO ALEATORIO 1.1. Definición (Experimento aleatorio). Experimento en el cual no se puede predecir el resultado antes de realizarlo. Para que un experimento sea aleatorio debe tener al menos dos resultados posibles. 1.2. Clasificación: a. Simple. Ejemplos: • Lanzamiento de una moneda Observación • Lanzamiento de un dado aleatorio no está radicado en el • Escogencia al azar de una pelota de una caja que contiene n pelotas negras y v fenómeno, sino que es parte del modelo que se construye para 1. El carácter estudiarlo. Cuando se lanza una pelotas verdes • Escogencia al azar de una persona • Inspección de calidad de un producto moneda con el propósito de observar si se obtiene cara o sello, si fabricado • Anotación del sexo de un recién nacido • Anotación de la duración de una llamada consideran todas las condiciones mecánicas que determinan el lanzamiento y la caída de telefónica se la moneda (velocidad inicial, • Medición de la temperatura interna de un tanque que contiene un fluido peso, distribución de densidad, forma y elasticidad del piso y de la • Medición que moneda, etc) es probable predecir el ingresan a una entidad bancaria en una hora resultado. Sin embargo, es sabido que lo más frecuente es pensar el del número de personas • Medición del tiempo entre llegadas de los experimento usuarios de un aeropuerto • Elegir al azar una placa de un automóvil resultados posibles (cara y sello), a cada uno de los cuales se le asigna compuesta por tres letras y tres números asociándole dos una cierta medida. • Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17 personas • Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999 • Elegir al azar una forma de colocar 12 libros en una estantería • Elegir al azar un código de área de cinco dígitos del 1 al 5 sin repeticiones b. Compuesto. Implica la realización de varios experimentos simples de forma simultánea o de forma sucesiva. Ejemplos: • Lanzamiento de un dado n veces José Luis Quintero 1 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad • Lanzamiento de n dados de forma simultánea • Lanzamiento de un dado y dos monedas • Anotación de las n pelotas escogidas al azar Observación 2. Un de forma sucesiva de una caja que contiene experimento n pelotas negras y v pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una ejecutado varias veces. El número de resultados de este experimento pelota, ésta es devuelta a la caja simple pudiera no ser el mismo cada • Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja que contiene n pelotas negras y v pelotas verdes donde simple mismo puede ser vez que se realiza. Esta observación da origen a una clasificación de un experimento compuesto. cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta no es devuelta a la caja • Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que contiene n pelotas negras y v pelotas verdes • Inspección de calidad de varios productos fabricados b.1. Compuesto con independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias veces bajo las mismas condiciones sin alterar en cada ejecución el número de resultados posibles Ejemplos: • Lanzamiento de un dado n veces • Lanzamiento de n dados de forma Observación 3. Un caso particular simultánea • Lanzamiento de un experimento compuesto con dos independencia ocurre cuando se realiza un MUESTREO ALEATORIO • Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja CON REPOSICIÓN (MACR). Esta de un dado y monedas que contiene n pelotas negras y v situación es ilustrada en el ejemplo de las pelotas negras y verdes. pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta es devuelta a la caja • Inspección de varios productos fabricados b.2. Compuesto sin independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias veces alterando en algunas o en todas las ejecuciones el número de resultados posibles Ejemplos: Observación 4. Un caso particular • Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de una caja de un experimento compuesto con independencia ocurre cuando se que contiene n pelotas negras y v realiza un MUESTREO ALEATORIO pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta no SIN REPOSICIÓN (MASR). Esta situación es ilustrada en el ejemplo es devuelta a la caja de las pelotas negras y verdes. José Luis Quintero 2 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad • Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que contiene n pelotas negras y v pelotas verdes 1.3. Propósito de un Experimento Aleatorio. Define lo que se persigue observar después de ejecutado el experimento aleatorio. Ejemplos: • Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras sobre una mesa circular. Algunos propósitos que pudieran ser definidos sobre este experimento: Propósito 1. Determinar el número obtenido en la cara superior del dado Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado Propósito 3. Determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la cara inferior del dado • Experimento aleatorio: Escogencia al azar de un estudiante de Ingeniería de una universidad específica. Algunos propósitos que pudieran ser definidos sobre este experimento: Propósito 1. Determinar la edad de la persona Propósito 2. Determinar el tipo de Ingeniería que estudia Propósito 3. Determinar el último dígito de su cédula 2. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO d 2.1. Definición (Espacio muestral de un experimento aleatorio). Es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento. Se denotará con la letra S. 2.2. Clasificación: a. Discreto y finito. El número total de resultados de ese experimento es un número finito. Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo que ocurrió en la cara superior, los posibles resultados son cara y sello. Luego el espacio muestral puede escribirse como S = {cara, sello} . Este espacio muestral tiene dos posibles resultados (Experimento de Bernoulli) • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, los posibles resultados son cada una de las seis caras del dado. Este espacio muestral puede escribirse como S = {1, 2, 3, 4,5, 6} con seis resultados José Luis Quintero 3 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad • En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, los posibles resultados son blanco y negro. El espacio muestral se escribe como S = {blanco,negro} . Este espacio muestral tiene dos posibles resultados (Experimento de Bernoulli) • En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el número obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara superior del segundo dado, los posibles resultados son todos los pares al considerar cada una de las seis caras de cada dado. Luego el espacio muestral puede escribirse como S = {(i, j) / i, j = 1, 2, 3, 4,5, 6} . Este espacio muestral tiene treinta y seis posibles resultados y es un espacio bidimensional b. Discreto e infinito numerable. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito pero se pueden ordenar en una sucesión. Ejemplos: • En el experimento aleatorio de observar el número de personas que entran a un banco durante un período de una hora, el espacio muestral puede escribirse como S = {0,1,2,...} Este espacio muestral tiene infinitos resultados • En el experimento aleatorio de lanzar un dado tantas veces como sea necesaria hasta que salga seis por primera vez con el propósito de determinar el lanzamiento donde ocurre esto por primera vez, el espacio muestral puede escribirse como S = {1, 2,...} Este espacio muestral tiene infinitos resultados (Experimento Geométrico) c. Continuo. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que no se puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene dado por intervalos. Ejemplos: • En el experimento aleatorio de medir el voltaje entre un cierto punto y tierra en el circuito de un receptor de radio, el espacio muestral puede escribirse como S = {v : 0 ≤ v ≤ vMAX } . Este espacio muestral tiene infinitos resultados • En el experimento aleatorio de escoger un número aleatorio entre cero y uno en un computador, el espacio muestral puede escribirse como S = {r : 0 ≤ r ≤ 1} . Este espacio muestral tiene infinitos resultados • En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal sobre una mesa circular con el propósito de determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la cara inferior del dado, el espacio muestral puede escribirse como S = {r : 0 ≤ r ≤ R} , donde R representa el radio de la mesa. Este espacio muestral tiene infinitos resultados d. Mixto. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que no se puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene expresado por números puntuales y también por intervalos José Luis Quintero 4 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Ejemplo: • Suponga que se tiene un sensor asociado a un medidor de temperatura del interior de un tanque que contiene un fluido que debe apagar el sistema y marcar en el medidor la temperatura de 0° C si la temperatura medida en el interior del tanque es menor que 10° C . De igual manera debe apagar el sistema y marcar en el medidor la temperatura de 25° C si la temperatura medida en el interior del tanque supera los 20° C . En caso contrario se debe reportar la temperatura real en el interior del tanque. El espacio muestral puede escribirse como S = {T : 0,10 ≤ T ≤ 20, 25} . Este espacio muestral tiene dos resultados puntuales y un intervalo, por lo tanto tiene infinitos resultados 2.3. Cardinalidad de un conjunto C. Es el número de elementos que posee el conjunto C. Se denotará por NC . 2.4. Cardinalidad del espacio muestral. Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo que ocurrió en la cara superior, el espacio muestral S = {cara, sello} tiene cardinalidad 2, es decir NS = 2 • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, el espacio muestral S = {1,2, 3, 4,5, 6} tiene cardinalidad 6, es decir NS = 6 • En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, el espacio muestral S = {blanco,negro} tiene cardinalidad 6, es decir NS = 6 . En este ejemplo se puede afirmar que Nblanco = 2 y Nnegro = 4 • En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el número obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara superior del segundo dado, el espacio muestral S = {(i, j) / i, j = 1, 2, 3, 4,5, 6} tiene cardinalidad 36, es decir NS = 36 3. EVENTOS O SUCESOS 3.1. Definición (Evento o suceso). Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se denotan con las letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C. José Luis Quintero 5 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 3.2. Algunos eventos de intéres: a. Evento complemento de A. Es un subconjunto del espacio muestral que contiene elemental. contiene solamente Es un un 5. Consideraciones acerca de los eventos o sucesos: • Las notaciones más comunes para el evento complemento de A los resultados que no están en el evento A. b. Evento Observación evento que resultado del experimento aleatorio. son A’, A c y A • El evento seguro es el espacio muestral S que • El evento imposible es el conjunto vacio ∅ contiene más de un resultado del experimento aleatorio. • Todos los eventos elementales son mutuamente excluyentes d. Evento seguro. Es un evento que contiene todos los resultados del experimento aleatorio. • Todos los resultados posibles de un espacio muestral son mutuamente excluyentes e. Evento imposible. Es un evento que no contiene ningún resultado del experimento • Los eventos mutuamente disjuntos c. Evento compuesto. Es un evento aleatorio. f. Eventos mutuamente disjuntos). Son excluyentes eventos de (o intersección vacía, es decir, que no poseen elementos comunes. g. k eventos colectivamente exhaustivos. Son los eventos A1 , A2 , …, Ak del espacio A y Ac excluyentes son o • Los eventos A y son Ac colectivamente exhaustivos • Todo evento elemental tiene cardinalidad uno • El evento imposible cardinalidad cero tiene • El evento complemento de A tiene cardinalidad igual a NS − NA muestral S tales que A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak = S . Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, algunos eventos compuestos que se pueden definir son: A = {cara i / i par} = {2, 4, 6} , B = {cara i / i primo} = {2, 3,5} • En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número obtenido en la cara superior del dado, el evento complemento de A viene dado por A c = {cara i / i impar} = {1, 3,5} 3.6. Diagramas de Venn. Son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos. Se usan para mostrar gráficamente conjuntos, representando cada uno mediante un círculo o un óvalo. La figura 1 muestra Diagramas de Venn que ilustran cuatro situaciones de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. José Luis Quintero 6 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Figura 1. Cuatro situaciones ilustradas usando Diagramas de Venn 4. EXPERIMENTOS ALEATORIOS DE INTERÉS 4.1. Experimento de Bernoulli. Es un experimento aleatorio que posee solo dos resultados posibles. 4.2. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae una pelota al azar y se tiene como propósito determinar su color. 4.3. Experimento Binomial. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición sucesiva de n veces el Experimento de Bernoulli bajo las mismas condiciones. 4.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae una pelota al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Este procedimiento se ejecuta n veces. El propósito final es determinar la cantidad de pelotas negras registradas y por ende la cantidad de pelotas verdes. José Luis Quintero 7 Probabilidad y Estadística 4.5. Experimento experimento Introducción a la Probabilidad Multinomial. aleatorio que Es consiste un en la Observación 6. acerca los de Consideraciones experimentos repetición sucesiva de n veces un experimento aleatorio simple que tiene m resultados bajo aleatorios de interés: las mismas condiciones. • Si se asume el Experimento de 4.6. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas. Se extrae una pelota al azar, se anota su color y se devuelve. Este proceso se ejecuta n veces. El propósito es hallar la cantidad de pelotas negras, pelotas blancas y pelotas rojas registradas. Bernoulli como un experimento aleatorio simple, entonces los Experimentos Binomial, Mutinomial, Geométrico Binomial Negativo pueden y ser considerados como experimentos compuestos con independencia • En los Experimentos Binomial y 4.7. Experimento Geométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición sucesiva del Experimento de Multinomial se sabe de antemano la cantidad de veces que se repetirá el Experimento de Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta que se determina la ocurrencia de un evento Bernoulli mientras que en Experimentos Geométrico (previamente definido como éxito) por primera Binomial Negativo de orden r esto vez. no se sabe a priori ya que la ocurrencia del evento 4.8. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal tantas veces como sea necesario hasta que se obtenga seis por primera vez. Luego de ocurrido lo anterior se detiene el proceso. previamente definido los y es considerada aleatoria o fortuita • El Experimento considerado un Binomial es Experimento Multinomial donde m = 2 4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden r. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición sucesiva de del Experimento de Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta que se determina la ocurrencia de un evento (previamente definido como éxito) por r-ésima vez. • El Experimento Geométrico es considerado un Experimento Binomial Negativo de orden 1 • El propósito del experimento aleatorio para los experimentos Geométrico y Binomial Negativo de orden r es determinar en que 4.10. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal tantas veces como sea necesaria hasta que salga seis por tercera vez. Luego de ocurrido lo anterior se detiene el proceso. intento se detiene el proceso • En los experimentos Geométrico y Binomial Negativo de orden r el espacio muestral tiene cardinalidad infinita José Luis Quintero 8 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 4.11. Experimento Hipergeométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición sucesiva de n veces el Experimento Observación 7. acerca los de Consideraciones experimentos aleatorios de interés: de Bernoulli bajo condiciones distintas. • Los 4.12. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae una muestra de k pelotas. El propósito es hallar la cantidad de pelotas negras y de pelotas blancas contenidas en la muestra de tamaño k. repetición sucesiva de n veces considerados como experimentos compuestos sin independencia • En 4.13. Experimento Multihipergeométrico. Es un experimento aleatorio que consiste en la un experimento simple de m resultados posibles bajo condiciones distintas. 4.14. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas. Se extrae una muestra de k pelotas. El Experimentos Hipergeométrico y Multihipergeométrico pueden ser los Experimentos Binomial, Multinomial, Geométrico y Binomial Negativo de orden r se realiza un MUESTRO ALEATORIO CON REPOSICIÓN • En los Hipergeométrico Experimentos y Multihipergeométrico se realiza un MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓN propósito es hallar la cantidad de pelotas negras, de pelotas blancas y de pelotas rojas contenidas en la muestra de tamaño k. 5. PROBABILIDAD 5.1. Definiciones (Probabilidad) • Es una manera de cuantificar la incertidumbre que existe en un experimento aleatorio • Medida numérica del chance de ocurrencia de un evento • Es una relación matemática que asigna a cada resultado del experimento aleatorio un número real que se encuentra en el intervalo [0,1] 5.2. Probabilidad (Versión frecuencias relativas). Sea un experimento aleatorio que se va a repetir n veces y sea nA el número de esas veces que Observación 8. Consideraciones ocurre el evento A, entonces la probabilidad del acerca de la probabilidad: • La probabilidad de un evento A se evento A es el límite cuando n tiende a infinito de la frecuencia relativa de A. denotará P(A) • Posibilidad ≠ Probabilidad José Luis Quintero 9 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad La probabilidad del evento A se define como nA . n →∞ n P(A) = lím fA = lím n →∞ La ecuación anterior no es práctica para calcular la probabilidad de A. En su defecto, se usa la ecuación nA , cuando n es grande. n Este enfoque se le conoce como probabilidad a posteriori. P(A) ≈ 5.3. Ejemplos ilustrat¡vos: Ejemplo 1. Se lanza una moneda 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A definido como “sale cara”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 2 Probabilidad de que salga cara LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 1 SIMULACIÓN 1 0.8 0.6 0.4 0 200 400 600 800 1000 Intentos 1200 1400 1600 1800 2000 1600 1800 2000 Probabilidad de que salga cara LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 4 SIMULACIONES 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 Intentos 1200 1400 Figura 2. Experimento de la moneda usando la versión de frecuencias relativas Ejemplo 2. Se lanza un dado 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A definido como “sale tres”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 3 Probabilidad de que salga tres LANZAMIENTO DE UN DADO - 1 SIMULACIÓN 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 200 400 600 800 1000 Intentos 1200 1400 1600 1800 2000 1600 1800 2000 Probabilidad de que salga tres LANZAMIENTO DE UN DADO - 4 SIMULACIONES 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 Intentos 1200 1400 Figura 3. Experimento del dado usando la versión de frecuencias relativas José Luis Quintero 10 Probabilidad y Estadística 5.4. Probabilidad Introducción a la Probabilidad (Versión clásica – Espacio muestral discreto y finito). Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es discreto y finito de cardinalidad NS y sea un evento A con cardinalidad NA , entonces se conocerá como probabilidad del evento A a la relación entre NA y NS dada por P(A) = 5.5. Probabilidad muestral (Versión NA . NS 9. • Para establecer la definición clásica no es necesario realizar el experimento, sólo analizar los posibles resultados • Si A es un evento elemental, P(A) = 1 / NS . En entonces clásica Sea continuo). Consideraciones acerca de la probabilidad: Observación un – Espacio experimento aleatorio cuyo espacio muestral es continuo, sea L S la longitud del espacio muestral y sea L A la longitud del evento A, entonces se conocerá como probabilidad del evento A a la relación entre L A y consecuencia los eventos elementales son equiprobables • La longitud del espacio muestral continuo debe ser finita L S dada por P(A) = LA . LS 5.6. Axiomas de la probabilidad: • Para cualquier evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 • • P(S) = 1 P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) − P(∩ dos eventos) + P(∩ tres eventos) + ... + (−1)n +1P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) Si n = 2 : P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ) ⇒ P(A1 ∪ A2 ) ≤ P(A1 ) + P(A2 ) Si n = 3 : P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P(A1) + P(A2 ) + P(A3 ) − P(A1 ∩ A2 ) − P(A1 ∩ A3 ) − P(A2 ∩ A3 ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) • Si A1 , A2 , ..., An son eventos mutuamente excluyentes, n P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) ⇒ P Ai = i =1 ∪ • P(A) + P(A) = 1 • • P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) + P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = 1 n ∑ P(A ) i i =1 P(∅) = 0 José Luis Quintero 11 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 6. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente. a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un V F resultado del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las V F c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento vacio es igual a cero V F d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad V F e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables V F probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno SOLUCIÓN. a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un resultado V F del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las probabilidades V F c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento vacio es igual a cero V F d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad V F e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables V F de un evento y su complemento es igual a uno PROBLEMA 2. Encierre en un círculo la letra que usted considere corresponde a la respuesta correcta. 1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se puede afirmar que P(A ∩ B) : a. 0 b. 0.19 c. 0.81 d. 1 2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a a. 1/12 b. 1/6 c. 5/36 d. 5/6 3. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se expresa como: a. A1 ∩ A2 ∩ A3 b. A1 ∪ A2 ∪ A3 c. A1 ∩ A2 ∩ A3 d. Ninguna de las anteriores José Luis Quintero 12 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al azar”. Sean los sucesos: M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”. A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el diagrama D1 a. D1 D2 b. D2 D3 c. D3 D4 d. D4 SOLUCIÓN. 1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se puede afirmar que P(A ∩ B) : a. 0 b. 0.19 c. 0.81 d. 1 2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a a. 1/12 b. 1/6 c. 5/36 d. 5/6 3. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se expresa como: a. A1 ∩ A2 ∩ A3 b. A1 ∪ A2 ∪ A3 c. A1 ∩ A2 ∩ A3 d. Ninguna de las anteriores 4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al azar”. Sean los sucesos: M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”. A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el diagrama D1 a. D1 José Luis Quintero D2 b. D2 D3 c. D3 D4 d. D4 13 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determine: a. P(A) b. P(B) c. P(A ∪ B) d. P(A ∩ B) e. P(A ∩ B) f. P(A ∩ B) SOLUCIÓN. a. P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.37 = 0.63 b. P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0.44 = 0.56 c. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.37 + 0.44 = 0.81 d. P(A ∩ B) = 0 e. P(A ∩ B) = P(A) = 0.37 f. P(A ∩ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.81 = 0.19 PROBLEMA 4. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor o igual a 9? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado dos veces Propósito: Determinar en cada lanzamiento el número obtenido en la cara superior del dado Aquí se tiene un experimento compuesto que resulta de llevar a cabo dos veces el experimento simple del lanzamiento de un dado. De modo que NS = 6 × 6 = 36 . Por otro lado el evento A: La suma de los resultados es mayor o igual a 9, ocurre si sucede alguna de las siguientes situaciones: El resultado del dado 1 es 3 y el resultado del dado 2 es 6 El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 5 El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 6 El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 4 El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 5 El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 6 El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 3 El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 4 El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 5 El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 6 Se puede apreciar entonces que NA = 10 . Por lo tanto P(A) = NA 10 5 = = NS 36 18 PROBLEMA 5. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el premio? SOLUCIÓN. José Luis Quintero 14 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dardo Propósito: Determinar si cae o no en la zona circular Aquí se tiene un experimento donde el espacio muestral es continuo. Para determinar su cardinalidad se procede a calcular el área del cuadrado, de modo que NS = L2 . Por otro lado, si se define el evento A: el dardo cae en la zona circular, su cardinalidad es NA = πR 2 . En tal sentido, 2 P(A) = NA πR 2 R = 2 = π NS L L PROBLEMA 6. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Administración (A) Operación de planta (O) 20 60 30 140 50 200 Ventas (V) 100 50 150 Totales 180 220 400 a. Si se elige aleatoriamente un empleado: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? • ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? b. Determine las siguientes probabilidades: P(A ∪ M) , P(A ∪ M) y P(O ∩ H) SOLUCIÓN. a. Si se elige aleatoriamente un empleado: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? SOLUCIÓN. 180 9 P(M) = = 400 20 • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? SOLUCIÓN. 150 3 P(V) = = 400 8 • ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? SOLUCIÓN. 30 3 P(H ∩ A) = = 400 40 b. Determine las siguientes probabilidades: • P(A ∪ M) SOLUCIÓN. P(A ∪ M) = P(A) + P(M) − P(A ∩ M) = José Luis Quintero 50 180 20 210 21 + − = = 400 400 400 400 40 15 Probabilidad y Estadística • Introducción a la Probabilidad P(A ∪ M) SOLUCIÓN. P(A ∪ M) = P(A) + P(M) − P(A ∩ M) = • 50 220 30 240 3 + − = = 400 400 400 400 5 P(O ∩ H) SOLUCIÓN. 140 7 P(O ∩ H) = = 400 20 PROBLEMA 7. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un paciente de la clínica Propósito: Determinar el padecimiento o los padecimientos que tiene (si lo tiene o los tiene) Espacio muestral: Todos los pacientes de la clínica. Cardinalidad = 150 Eventos: A: Paciente tiene enfermedad cardíaca B: Paciente tiene diabetes 90 50 30 110 11 . P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = + − = = 150 150 150 150 15 En consecuencia, el porcentaje de los pacientes que tenían uno u otro de los padecimientos es 11 × 100 % ≈ 73.33% . 15 PROBLEMA 8. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas? SOLUCIÓN. a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una tarjeta de registro de un estudiante Propósito: Determinar el idioma o los idiomas que aprende (en caso de aprenderlo) Espacio muestral: Todas las tarjetas de registro de los estudiantes. Cardinalidad = 200 Eventos: F: Estudiante aprende francés. E: Estudiante aprende español 100 80 60 120 3 P(F ∪ E) = P(F) + P(E) − P(F ∩ E) = + − = = . 200 200 200 200 5 b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas? SOLUCIÓN. P(F ∩ E) = 1 − P(F ∪ E) = 1 − José Luis Quintero 3 2 = . 5 5 16 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 9. Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado con tres caras negras numeradas 1, 2 y 3 y tres caras blancas numeradas 4, 5 y 6. Propósitos: Propósito 1. Determinar si en la cara superior del dado aparece un número par o un número impar Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado Espacio muestral: Referido al propósito 1: S1 = {par,impar} . Referido al propósito 2: S2 = {negro,blanco} NS1 = 6, NPAR = 3, NIMPAR = 3 . NS2 = 6, NNEGRO = 3, NBLANCO = 3 Eventos A: Cara con un número par B: cara de color blanco 3 3 2 4 2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = + − = = 6 6 6 6 3 PROBLEMA 10. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos: a. El resultado de arrojar el dado es un número par b. El resultado es menor que 6 SOLUCIÓN. a. El resultado de arrojar el dado es un número par. SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado Propósito: Determinar el número ocurrido en la cara superior del dado Espacio muestral: S = {Ai : i = 1,..., 6} , donde Ai : Aparece la cara i. Evento de interés: P = A2 ∪ A 4 ∪ A6 : Aparece un número par. Entonces P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 ⇒ k + 2k + ... + 6k = 1 ⇒ 21k = 1 ⇒ k = 1 21 De modo que: NS = 21 . NA1 = 1, NA2 = 2, NA3 = 3, NA4 = 4, NA5 = 5, NA6 = 6 . Por lo tanto P(P) = P(A2 ∪ A 4 ∪ A6 ) = P(A2 ) + P(A 4 ) + P(A 6 ) = 2 4 6 12 4 + + = = 21 21 21 21 7 b. El resultado es menor que 6. SOLUCIÓN. Evento de interés: B = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A 4 ∪ A5 = S − A6 : El resultado es menor que seis. El evento A6 es el evento complemento de B. Por lo tanto P(B) = 1 − P(A 6 ) = 1 − José Luis Quintero 6 15 5 = = 21 21 7 17 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 11. Suponga que A, B y C son eventos para los cuales se tiene: P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 y P(A ∩ C) = 1 8 P(A) = P(B) = P(C) = 1 4 , . Halle la probabilidad de que al menos uno de los eventos, A, B o C ocurra. SOLUCIÓN. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 1 1 1 1 3 1 5 = + + −0− −0+0 = − = 4 4 4 8 4 8 8 PROBLEMA 12. Se selecciona al azar una pelota de una caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde. SOLUCIÓN: Experimento aleatorio: Elegir al azar una pelota de una caja Propósito: Determinar el color de la pelota seleccionada Espacio muestral: S = {ROJO,BLANCO, AZUL, AMARILLO, VERDE} Eventos de interés: AM: La pelota seleccionada es amarilla VE: La pelota seleccionada es verde AZ: La pelota seleccionada es azul BL: La pelota seleccionada es blanca RO: La pelota seleccionada es roja Se desea calcular P(AM ∪ AZ ∪ VE) . Como los eventos AM, AZ y VE son disjuntos o mutuamente excluyentes, entonces P(AM ∪ AZ ∪ VE) = P(AZ) + P(AM) + P(VE) . Por otro lado se sabe que los eventos AM, AZ, VE, BL y RO son colectivamente exhaustivos, de modo que P(AZ) + P(AM) + P(VE) + P(BL) + P(RO) = 1 . En consecuencia P(AZ) + P(AM) + P(VE) = 1 − P(BL) − P(RO) = 1 − 2 1 2 − = . 5 5 5 PROBLEMA 13. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 , P(A ∩ B) = 0.1 , P(A ∩ C) = 0.1 , P(B ∩ C) = 0, P(A ∪ C) = 0.7 . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de dichos eventos. SOLUCIÓN. P(A) = P(A solamente ) + P(A ∩ B) + P(A ∩ C) ⇒ P(A solamente ) = P(A) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) = 0.4 − 0.1 − 0.1 = 0.2 P(B) = P(Bsolamente ) + P(B ∩ A) + P(B ∩ C) ⇒ P(Bsolamente ) = P(B) − P(B ∩ A) − P(B ∩ C) = 0.3 − 0.1 − 0 = 0.2 P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) ⇒ P(C) = P(A ∪ C) + P(A ∩ C) − P(A) = 0.7 + 0.1 − 0.4 = 0.4 José Luis Quintero 18 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad P(C) = P(Csolamente ) + P(C ∩ A) + P(C ∩ B) ⇒ P(Csolamente ) = P(C) − P(C ∩ A) − P(C ∩ B) = 0.4 − 0.1 − 0 = 0.3 P(A solamente ) + P(Bsolamente ) + P(Csolamente ) = 0.2 + 0.2 + 0.3 = 0.7 PROBLEMA 14. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes resultados: • Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 % • Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 % • Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 % • Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 % • Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 % • Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 % • Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 % a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría? SOLUCIÓN. a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Inspección al azar de un aparato de televisión Propósito: Determinar el tipo o tipos de defectos que posee (si los tiene) Espacio muestral: Todos los aparatos del sitio objeto de la inspección Evento de interés: B: Aparatos sin defectos P(B) × 100% = 100% − (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% = 75% b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría? SOLUCIÓN. Eventos de interés: C: Aparatos con defectos críticos M: Aparatos con defectos mayores P(C ∪ M) × 100% = (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% − 7% = 18% PROBLEMA 15. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea a. mujer no rubia y de ojos oscuros b. hombre no rubio y de ojos oscuros c. persona rubia o de ojos claros José Luis Quintero 19 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad SOLUCIÓN. a. mujer no rubia y de ojos oscuros SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona de una determinada población Propósitos: Propósito 1. Determinar si la persona es hombre o mujer Propósito 2. Determinar si la persona es o no es rubia Propósito 3. Determinar si la persona tiene los ojos claros u oscuros Espacio muestral: Referido al propósito 1: S1 = {hombre, mujer} . Referido al propósito 2: S2 = {rubia,no rubia} Referido al propósito 3: S3 = {ojos claros, ojos oscuros} Eventos de interés: M: la persona elegida es mujer R: la persona elegida es rubia C: la persona elegida tiene los ojos claros P(M ∩ R ∩ C) = P(M) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) + P(M ∩ C ∩ R) = 60 10 20 5 35 − − + = = 0.35 100 100 100 100 100 b. hombre no rubio y de ojos oscuros SOLUCIÓN. P(M ∪ R ∪ C) = P(M) + P(R) + P(C) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) − P(C ∩ R) + P(M ∩ C ∩ R) 60 25 35 10 20 15 5 80 = + + − − − + = = 0.8 100 100 100 100 100 100 100 100 P(M ∩ R ∩ C) = 1 − P(M ∪ R ∪ C) = 1 − 0.8 = 0.2 c. persona rubia o de ojos claros SOLUCIÓN. P(R ∪ C) = P(R) + P(C) − P(R ∩ C) = 7. 9 25 35 15 45 + − = = 0.45 100 100 100 100 PRINCIPIOS DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO 7.1. Combinatoria. Es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez. 7.2. Principio aditivo. Sean k conjuntos A1 , A2 , …, Ak , con R1 , R2 , …, Rk elementos distintos respectivamente. Si se desea escoger un único elemento, el número de formas distintas será, empleando el principio aditivo, k Ra = ∑ Ri . i =1 José Luis Quintero 20 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 7.3. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos descritos anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar? Solución. Aplicando el principio aditivo se tiene que 3 Ra = ∑ Ri = 3 + 2 + 3 = 8 . i =1 Por lo tanto se pueden realizar 8 elecciones distintas. Ejemplo 2. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos descritos anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar? Solución. De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio aditivo se tiene que 3 Ra = ∑ Ri = 1 + 2 + 2 = 5 . i =1 Por lo tanto se pueden realizar 5 elecciones distintas. 7.4. Principio multiplicativo. Sean k conjuntos A1 , A2 , …, Ak , con R1 , R2 , …, Rk elementos distintos respectivamente. Si se desea escoger un elemento de cada uno de los k conjuntos, el número de grupos distintos que se pueden formar será, empleando el principio multiplicativo, ∏ k Rm = Ri . i =1 7.5. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que ∏ 3 Rm = Ri = 3 × 2 × 3 = 18 . i =1 José Luis Quintero 21 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Por lo tanto se pueden elegir 18 grupos distintos. Ejemplo 2. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos? Solución. De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio multiplicativo se tiene ∏ 3 Rm = Ri = 1 × 2 × 2 = 4 . i =1 Por lo tanto se pueden elegir 4 grupos distintos. 8. PERMUTACIONES 8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición. Sea A un conjunto con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de las n posiciones, el número de formas distintas define las permutaciones de n elementos. Esto es, empleando el principio multiplicativo, n −1 Pn = ∏ (n − i) = n! . i=0 8.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que ∏ 4 Rm = Ri = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 . i =1 Por lo tanto se pueden construir 24 números de cuatro cifras distintas. Ejemplo 2. Se tiene el número de 3 dígitos distintos dado por 123. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que José Luis Quintero 22 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad ∏ 3 Rm = Ri = 3 × 2 × 1 = 3! = 6 . i =1 Por lo tanto se pueden construir 6 números de tres cifras distintas. 8.3. Permutaciones de n elementos con repetición. Dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes ( n1 iguales, n2 iguales, …, nk iguales, tal que n1 + n2 + ... + nk = n ), el número de secuencias ordenadas de estos elementos es n! n! . = k PRn,k = n1 !.n2 !.⋯ .nk ! (ni )! ∏ i =1 8.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de ocho cifras se pueden construir usando el número anterior? Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 8! 8.7.6.5 = = 1680 . PR 8,4 = 1!.2!.2!.3! 1 Por lo tanto se pueden construir 1680 números de ocho cifras distintas. 9. VARIACIONES 9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un conjunto con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de las r posiciones (r ≤ n) , el número de formas distintas como se puede realizar esto define las variaciones de n elementos tomados de r en r. Esto es, empleando el principio multiplicativo, n −1 r −1 Vn,r = ∏ i=0 (n − i) = ∏ ∏ (n − i) i=0 n −1 = n! = n.(n − 1).(n − 2).....(n − (r − 1)) . (n − r)! (n − i) i =r José Luis Quintero 23 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 9.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que 4! 4! V4,2 = = = 4 × 3 = 12 . (4 − 2)! 2! Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas. Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior? Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 4! 4! V4,2 = = = 4 × 3 = 12 (4 − 2)! 2! Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas. 9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es VRn,r = nr . 9.4. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden construir usando el número anterior? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que VR 4,2 = 42 = 16 . Por lo tanto se pueden construir 16 números de dos cifras. Ejemplo 2. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de seis cifras se pueden construir usando el número anterior? Solución. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que VR 4,6 = 46 = 4096 . Por lo tanto se pueden construir 4096 números de seis cifras. Ejemplo 3. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden construir usando el número anterior? Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que VR 4,2 = 42 = 16 . Por lo tanto se pueden construir 16 números de dos cifras. José Luis Quintero 24 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 10. COMBINACIONES 10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un conjunto con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un grupo de r elementos (r ≤ n) , el número de formas distintas como se puede realizar esto define las combinaciones de n elementos tomados de r en r. En tal sentido n n! . Cn,r = = r !(n − r)! r 10.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de dos números distintos se pueden construir usando el número anterior? Solución. 4 4! 4! C4,2 = = = = 6. 2!(4 − 2)! 2!2! 2 Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos. Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos números distintos se pueden construir usando el número anterior? Solución. Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 4 4! 4! C4,2 = = = = 6. − 2!(4 2)! 2!2! 2 Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos. 10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, sin tener presente el orden y pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es n + r − 1 (n + r − 1)! (n + r − 1)! CRn,r = . = = r !(n − 1)! r r !(n + r − 1 − r)! 10.4. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de dos números se pueden construir usando el número anterior? Solución. José Luis Quintero 25 Probabilidad y Estadística 4 + 2 − 1 5 5! CR 4,2 = = 10 . = = 2!3! 2 2 Introducción a la Probabilidad Observación 10. Consideraciones dos números. acerca de las técnicas de conteo: • Vn,n = Pn • Cn,n = 1 Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado • Cn,1 = n por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos números se pueden construir usando el número anterior? • En las variaciones, importa la posición de los elementos en las r Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de Solución. posiciones mientras que en las Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces. combinaciones no. Hay menos combinaciones que variaciones El número 9 aparece 2 veces. El número 8 • Si se toma una combinación y se permutan todos los elementos del grupo se hallan las variaciones de aparece 3 veces. De modo que 4 + 2 − 1 5 5! CR 4,2 = = 10 . = = 2!3! 2 2 Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de dos números. ese grupo. De modo que Vn,r n n! Cn,r = = = Pr r !(n − r)! r n! n! • PRn,2 = = = Cn,r n1 !.n2 ! r !.(n − r)! 11. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número total de formas posibles para ocupar estos cargos? SOLUCIÓN. Número de formas posibles para ocupar estos cargos: 25! 25 × 24 × 23! V25,2 = = = 25 × 24 = 600 23! 23! PROBLEMA 2. Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos libros? SOLUCIÓN. Número de formas distintas en que se pueden ordenar estos libros: V6,6 = P6 = 6! = 720 José Luis Quintero 26 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 3. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer? SOLUCIÓN. Número de grupos distintos que se pueden hacer: 20 20! C20,8 = = = 125970 8! × 12! 8 PROBLEMA 4. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras. Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer: a. si la extracción es de forma simultánea b. si la extracción es de forma serial con reposición c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de igual color SOLUCIÓN. a. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma simultánea? SOLUCIÓN. 18 18! 18 × 17 × 16 C18,3 = = = = 816 6 3 3!× 15! b. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma serial con reposición? SOLUCIÓN. 18 + 3 − 1 20 20! 20 × 19 × 18 = = 1140 CR18,3 = = = 3! × 17! 6 3 3 c. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con una pelota de cada color? SOLUCIÓN. Aplicando principio multiplicativo se tiene que ∏ 3 Nm = Ni = 3 × 10 × 5 = 150 i =1 d. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con tres pelotas de igual color? SOLUCIÓN. 3 10 5 3! 10! 5! C3,3 + C10,3 + C5,3 = + + = + + = 1 + 120 + 10 = 131 3 3 3 3!× 0! 3!× 7! 3!× 2! PROBLEMA 5. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si hombres y mujeres deben quedar alternados? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres José Luis Quintero 27 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de interés: A: Se sientan tres hombres y cuatro mujeres de forma alternada NS : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = P7 = 7! = 5040 Cálculo de NA : Se quiere estudiar el caso donde se sientan de la forma MHMHMHM. Se escoge la primera mujer de un grupo de 4 mujeres, luego un hombre de un grupo de 3 hombres, luego la otra mujer de un grupo de 3 mujeres, luego otro hombre de un grupo de 2 hombres y asi sucesivamente. Aplicando el principio multiplicativo: NA = 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = P3 × P4 = 144 . Por lo tanto P(A) = NA 144 = ≈ 0.0286 NS 5040 PROBLEMA 6. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si los hombres se sientan juntos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de interés: A: Se sientan 3 hombres y 4 mujeres donde todos los hombres están juntos NS : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = P7 = 7! = 5040 Cálculo de NA : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen: HHHMMMM MHHHMMM MMHHHMM MMMHHHM MMMMHHH En cualquier secuencia que ocurra se debe realizar el siguiente cálculo con un razonamiento similar al del problema anterior: 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144 . Como se trata de 5 secuencias entonces NA = 144 × 5 = 720 . Otra manera de calcular NA viene dada como NA = P3 × P5 . Finalmente P(A) = P × P5 1 NA = 3 = ≈ 0.1429 NS P7 7 PROBLEMA 7. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas de 3 números Propósito: Determinar las letras y los números que componen la placa José Luis Quintero 28 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Espacio muestral: Todas las placas de 3 letras y 3 números que se pueden construir Evento de interés: A: Las letras son distintas y los números son distintos NS : Número de formas distintas en las que se puede escoger una placa NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Aplicando principio multiplicativo (27 letras y 10 digitos), NS = 27 × 27 × 27 × 10 × 10 × 10 = 19683000 Cálculo de NA : El evento A se produce si tomo una letra entre 27, luego otra en 26 y por último una entre 25. Analogamente para los digitos, elijo uno de 10, luego otro de 9 y finalmente uno de 8. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que NA = 27 × 26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 12636000 . Finalmente P(A) = NA 12636000 = ≈ 0.64198 NS 19683000 PROBLEMA 8. Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17 personas Propósito: Determinar el sexo de cada persona que conforma el grupo Espacio muestral: Todos los grupos de 5 personas que se pueden formar Evento de interés: A: El comité está formado por dos hombres y tres mujeres NS : Número de grupos distintos que pueden conformar el comité NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Se desean tomar grupos de 5 de un grupo de 17 elementos, de modo que, 17 17! 17 × 16 × 15 × 14 × 13 = = 6188 NS = C17,5 = = 5× 4 × 3× 2 ×1 5 5!12! Cálculo de NA : El evento A se produce si dentro del comité se tiene un grupo de dos hombres tomados del grupo de 7 y un grupo de 3 mujeres tomadas de un grupo 10. Por lo tanto 7 10 7! 10! NA = = . = 2520 2 3 2!5! 3!7! Finalmente P(A) = NA 2520 = ≈ 0.4072 NS 6188 PROBLEMA 9. Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 pelotas blancas queden juntas? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una alineación de las 8 pelotas José Luis Quintero 29 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Propósito: Determinar el color de la pelota que ocupa una posición determinada Espacio muestral: Todas las formas de alinear las 8 personas Evento de interés: A: En las 8 pelotas alineadas las 2 pelotas blancas quedaron juntas NS : Número de formas distintas en las que se pueden alinear las pelotas NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Se desean alinear 8 pelotas, por lo tanto NS = P8 = 8! = 40320 . Cálculo de NA : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen: BBNNNNNN NBBNNNNN NNBBNNNN NNNBBNNN NNNNBBNN NNNNNBBN NNNNNNBB Por lo tanto NA = 7 × 2!× 6! = 10080 . Finalmente P(A) = NA 10080 = = 0.25 NS 40320 PROBLEMA 10. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999 Propósito: Determinar los dígitos que comprenden al número elegido Espacio muestral: Todas los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999 Evento de interés: A: El número escogido tiene al menos un uno NS : Todos los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999 NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Se desea escoger un número de tres cifras, por lo tanto se tiene que NS = 9 × 10 × 10 = 900 . Cálculo de NA : El evento complemento de A (A) se define como: “el número escogido no tiene ningún uno”. De modo que: NA = NS − NA = 8 × 9 × 9 = 648 ⇒ NA = NS − NA = 900 − 648 = 252 Finalmente P(A) = NA 252 = = 0.28 NS 900 PROBLEMA 11. Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contiene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna, calcule la probabilidad de que sean pelotas de igual color. SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de dos pelotas, donde una pelota es escogida aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida José Luis Quintero 30 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color Cálculo de NS : Aplicando principio multiplicativo se tiene que NS = 12 × 12 = 144 Cálculo de NIC : Sean los eventos BB: Se obtienen dos pelotas blancas, donde NBB = 5 × 3 = 15 RR: Se obtienen dos pelotas rojas, donde NRR = 4 × 4 = 16 NN: Se obtienen dos pelotas negras, donde NNN = 3 × 5 = 15 Se puede ver que IC = BB ∪ RR ∪ NN . Como los eventos son disjuntos se tiene que NIC = NBB + NRR + NNN = 15 + 16 + 15 = 46 Por lo tanto P(IC) = 46 144 PROBLEMA 12. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabilidad de que: a. ninguna sea defectuosa b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa SOLUCIÓN. a. ninguna sea defectuosa SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar cinco resistencias de una caja que tiene 30 resistencias Propósito: Determinar las resistencias defectuosas del grupo elegido y las que no lo son Espacio muestral: Todos los grupos de 5 resistencias que pueden ser elegidos Evento de interés: A: Las cinco resistencias del grupo no son defectuosas NS : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la caja, por lo tanto se tiene que 30 30! NS = C30,5 = = = 142506 5! × 25! 5 Cálculo de NA : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias en buen estado de las 23 que están en la caja, por lo tanto se tiene que 23 23! NA = C23,5 = = = 33649 5! × 18! 5 Finalmente P(A) = NA 33649 = = 0.2361 NS 142506 b. se escojan dos defectuosas SOLUCIÓN. Evento de interés: A: El grupo tiene dos resistencias defectuosas y tres no defectuosas José Luis Quintero 31 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad NS : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la caja, por lo tanto se tiene que 30 30! NS = C30,5 = = = 142506 5! × 25! 5 Cálculo de NA : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las cuales dos son defectuosas y tres se encuentran en buen estado 7 23 7! 23! 7 × 6 23 × 22 × 21 NA = C7,2 × C23,3 = × = × = × = 37191 2! × 5! 3! × 20! 2 6 2 3 Finalmente P(A) = NA 37191 = = 0.2610 NS 142506 c. por lo menos una sea defectuosa SOLUCIÓN. Evento de interés: A: Por lo menos una resistencia del grupo es defectuosa A se define como: “ninguna resistencia del grupo es defectuosa”. La probabilidad del evento complemento ya fue calculada, de modo que P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.2361 = 0.7639 PROBLEMA 13. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que a. los libros de cada materia queden juntos b. solo los libros de matemática queden juntos c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos SOLUCIÓN. a. los libros de cada materia queden juntos SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de colocar los 12 libros en una estantería Propósito: Determinar el tipo de libro que ocupa una determinada posición Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden colocar los 12 libros en la estantería Evento de interés: A: Los libros de cada materia quedan juntos NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA : Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas Los libros de física se pueden colocar de 6! formas distintas Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Estos tres grupos se pueden colocar de 3! formas distintas Por lo tanto NA = 4!× 6!× 2!× 3! . Finalmente P(A) = José Luis Quintero NA 4!× 6!× 2!× 3! 1 = = NS 12! 2310 32 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad b. solo los libros de matemática queden juntos SOLUCIÓN. Evento de interés: A: Solo los libros de matemática quedan juntos NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA : Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas Si se considera el grupo de libros de matemática como un solo libro entonces se tendrían 9 libros y se pueden disponer de 9! formas distintas Por lo tanto NA = 9!× 4! . Finalmente P(A) = NA 9!× 4! 1 = = NS 12! 55 c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos SOLUCIÓN. Evento de interés: A: Los libros de química quedan juntos y en uno de los extremos NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA : Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas Como se tienen 2 extremos entonces se tienen 2 formas distintas de que el grupo de libros de química se pueda ubicar Si se considera el grupo de libros de química como un solo libro entonces se tendrían 11 libros pero uno de ellos ya tiene posición fija por lo tanto los otros libros tienen 10! formas distintas de ubicación Por lo tanto NA = 2 × 2!× 10! . Finalmente P(A) = NA 2 × 2!× 10! 1 = = NS 12! 33 PROBLEMA 14. El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados b. El código es un número par c. El código no debe tener ni 1 ni 4 d. El digito 3 no aparece en el código e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código SOLUCIÓN. a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar un código de área de cinco digitos con dígitos del 1 al 5 sin repeticiones José Luis Quintero 33 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Propósito: Determinar el número que ocupa cada posición Espacio muestral: Todas las formas en que se pueden construir los códigos con las condiciones antes mencionadas Evento de interés: A: el código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados. Por dígitos sucesivos se entienden tres posibles casos: que en el código aparezcan los dígitos 1,2,3 o los dígitos 2,3,4 o los dígitos 3,4,5 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería: NA : 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 18 Por otro lado se tiene que el número total de formas como se escogen 3 dígitos de 5 disponibles viene dado por 5 × 4 × 3 = 60 , de modo que NS = 60 . Por lo tanto NA 18 3 = = NS 60 10 P(A) = b. El código es un número par SOLUCIÓN. Evento de interés: B: el código es un número par Para que el código sea un número par debe terminar en 2 o en 4. Luego el número de casos a favor sería: NB : 4 × 3 × 1 + 4 × 3 × 1 = 24 . Por lo tanto NB 24 2 = = NS 60 5 P(B) = c. El código no debe tener ni 1 ni 4 SOLUCIÓN. Evento de interés: C: el código no debe tener ni 1 ni 4 Si el código no debe tener ni 1 ni 4 implica que tenga entonces 5, 2 y 3 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería: NC = 3! = 6 . Por lo tanto NC 6 1 = = NS 60 10 P(C) = d. El digito 3 no aparece en el código SOLUCIÓN. Evento de interés: D: El dígito 3 no aparece en el código. ND = 4 × 3 × 2 = 24 . Por lo tanto P(D) = ND 24 2 = = NS 60 5 e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código SOLUCIÓN. Evento de interés: E: El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código Se tiene que NE = 60 − 3 × 2 × 1 = 54 . Por lo tanto P(E) = NE 54 9 = = NS 60 10 PROBLEMA 15. (PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS) ¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas, al menos dos cumplan años el mismo día? SOLUCIÓN. Suposisión: Se trabajará con un año no bisiesto, es decir, de 365 días Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona José Luis Quintero 34 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Propósito: Determinar el día del año en el cual la persona cumple años Espacio muestral: Todas las formas de respuestas posibles considerando el universo de r personas Evento de interés: A: al menos dos personas cumplen año el mismo día Consideraciones de interés: Si r < 2 , entonces la probabilidad buscada es igual a cero. Si r > 365 , entonces la probabilidad buscada es igual a uno. Por lo tanto se trabajara con 2 ≤ r ≤ 365 . Como el espacio muestral S viene dado por el conjunto de todas las r-uplas de fechas posibles, se tiene que NS = VR 365,r = (365)r . Se define el evento complementario como A : ninguna persona cumple años el mismo día. En tal sentido se tiene que 365! NA = V365,r = . (365 − r)! En consecuencia se tiene que P(A) = NA NS = V365,r VR 365,r 1 2 r − 1 = = 1 − 1− ..... 1 − = 365 365 365 (365 − r)!.(365)r 365! r −1 ∏ i =1 i 1 − 365 Aplicando uno de los axiomas de la teoría de la probabilidad se tiene que r −1 P(A) = 1 − P(A) = 1 − ∏ i =1 i 1 − 365 . Usando los resultados obtenidos, a modo de ilustración, se presentan las gráficas 4 y 5 para 2 ≤ r ≤ 365 y para 2 ≤ r ≤ 100 respectivamente. Prob. de que 2 o más personas cumplan año el mismo dia PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 50 100 150 200 250 Número de personas 300 350 400 Figura 4. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés José Luis Quintero 35 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Prob. de que 2 o más personas cumplan año el mismo dia PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Número de personas 70 80 90 100 Figura 5. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés PROBLEMA 16. Cinco personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de ocho plantas (0,1,2,…,7,8). Cada persona selecciona el piso en donde se bajará, entre el 1 y el 8. Nadie más se subirá. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso b. En ningún piso se baja más de una persona c. En los pisos seis y siete no se baja nadie SOLUCIÓN. a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar cada piso donde debe bajarse cada una de las cinco personas Propósito: Determinar el número del piso donde se bajará cada persona Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cinco personas Evento de interés: A: Todas las personas se bajan antes del quinto piso NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Se tiene que NS = VR 8,5 = (8)5 y NA = VR 4,5 = (4)5 . Por lo tanto 5 P(A) = NA (4)5 1 1 = = = 5 NS (8) 32 2 b. En ningún piso se baja más de una persona SOLUCIÓN. Evento de interés: B: Todas las personas se bajan en pisos distintos José Luis Quintero 36 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B Se tiene que NS = VR 8,5 = (8)5 y NB = V8,5 = 8! . 3! Por lo tanto P(B) = 8! NB 8! 7.3.5 105 = 3!5 = = = NS (8) 3!(8)5 8.8.8 512 c. En los pisos seis y siete no se baja nadie SOLUCIÓN. Evento de interés: C: En los pisos seis y siete no se baja nadie NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas NC : Número de formas distintas en las que se produce el evento C Se tiene que NS = VR 8,5 = (8)5 y NC = VR 6,5 = (6)5 . Por lo tanto 5 P(A) = NA (6)5 3 = = NS (8)5 4 PROBLEMA 17. (PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en alguna de las modalidades en el sorteo del KINO TÁCHIRA? SOLUCIÓN. Suposición: Se asumirá que el día del sorteo se vendieron todos los cartones Experimento aleatorio: Elegir al azar un cartón de juego Propósito: Determinar los números que se encuentran en el cartón Espacio muestral: Todos los grupos de 25 números dispuestos de forma ascendente en un cartón Evento de interés: A: Se obtiene el cartón que coincide en al menos 12 números con el grupo de de 15 números ganadores. Se definen los eventos dados por An : Se obtuvo una coincidencia de n números ganadores, con 5 ≤ n ≤ 15 Se puede ver que A = A12 ∪ A13 ∪ A14 ∪ A15 . Como los eventos anteriores son disjuntos, se tiene que NA = NA + NA + NA + NA 12 13 14 15 . La fórmula para obtener la probabilidad de que el cartón elegido tenga n de los 15 números ganadores viene dada por P(An ) = NAn C15,n × C10,15 −n C15,n × C10,15 −n = = , 5 ≤ n ≤ 15 NS C25,15 3268760 De modo que José Luis Quintero 37 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad P(A) = P(A12 ) + P(A13 ) + P(A14 ) + P(A15 ) = = = NA12 NA13 NA14 NA15 + + + NS NS NS NS C15,12 × C10,3 C25,15 + C15,13 × C10,2 C25,15 + C15,14 × C10,1 C25,15 + C15,15 × C10,0 C25,15 54600 4725 150 1 59485 ≈ 0.0182 + + + = 3268760 3268760 3268760 3268760 3268760 En términos porcentuales se tiene un 1.82% de probabilidad de ganar el KINO TÁCHIRA en alguna de sus modalidades. Usando los resultados obtenidos, se presenta la gráfica 6. PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA 0.35 Probabilidaddeacierto 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 5 6 7 8 9 10 11 12 Cantidad de números acertados 13 14 15 Figura 6. Problema del KINO TÁCHIRA PROBLEMA 18. Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas. El examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que será oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el examen escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10 b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudiante se sabe c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito SOLUCIÓN. a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10 SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados 14! Cálculo de Ns : Ns = V14,2 = = 14 × 13 = 182 12! José Luis Quintero 38 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Evento A: En los dos temas seleccionados azar siempre aparece el tema 2 y nunca el tema 10 Cálculo de NA : NA = 2 × C12,1 = 24 . Por lo tanto P(A) = NA 24 12 = = Ns 182 91 b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudiante se sabe SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados 14! = 14 × 13 = 182 Cálculo de Ns : Ns = V14,2 = 12! Evento B: En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que 9! el estudiante se sabe. Cálculo de NB : NB = NS − NB = 182 − V9,2 = 182 − = 182 − 72 = 110 . Por 7! lo tanto N 110 55 P(B) = B = = Ns 182 91 c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar distinto para el examen oral Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados 14! Cálculo de Ns : Ns = V14,2 = = 14 × 13 = 182 12! Evento C: El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito. Cálculo de NC : NC = 13 . Por lo tanto P(C) = NC 13 1 = = Ns 182 14 PROBLEMA 19. En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos: a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero SOLUCIÓN. a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes SOLUCIÓN. Sean A: las cuatro personas utilizan cajeros diferentes José Luis Quintero 39 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625 Cálculo de NA : NA = V5,4 = 5! = 120 Por lo tanto P(A) = NA 120 24 = = NS 625 125 b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero SOLUCIÓN. Sean B: sólo dos de estas personas utilizan el mismo cajero NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625 Cálculo de NB : NB = 5 × V4,2 × C4,2 = 360 Por lo tanto P(B) = NB 360 72 = = NS 625 125 c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero SOLUCIÓN. Sean C: las cuatro personas utilizan el mismo cajero NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros NC : Número de formas distintas en las que se produce el evento C Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625 Cálculo de NC : NC = 5 Por lo tanto P(C) = 9 12. NC 5 1 = = NS 625 125 PROBABILIDAD CONDICIONAL 12.1. Definición (Probabilidad condicional). La probabilidad condicional de un evento A condicionado a que ocurrió un evento B, es decir, P(A/B), se define como la relación entre las probabilidades de la intersección de los eventos A y B y la probabilidad del evento condicionante B. De modo que P(A / B) = José Luis Quintero P(A ∩ B) , P(B) ≠ 0 . P(B) 40 Probabilidad y Estadística 12.2. Ejemplo Introducción a la Probabilidad ilustrativo. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Administración (A) Operación de planta (O) Ventas (V) Totales Mujer (M) Hombre (H) 20 60 100 180 30 140 50 220 Totales 50 200 150 400 Determine las siguientes probabilidades: Observación 11. Consideraciones acerca de la condicional: • P(A / S) = P(A) probabilidad P(A) ≥ P(A) P(B) P(B) • Si B ⊂ A , P(A / B) = =1 P(B) • Si A ∩ B = ∅ , P(A / B) = 0 P(A ∩ B) = P(B).P(A / B) • = P(A).P(B / A) • Si A ⊂ B , P(A / B) = a. P(A/M) Solución. P(A / M) = P(A ∩ M) = P(M) 20 400 180 400 = 20 1 = 180 9 = 20 2 = 50 5 b. P(M/A) Solución. P(M / A) = P(M ∩ A) = P(A) P(H / V) = P(H ∩ V) = P(V) 20 400 50 400 c. P(H/V) Solución. 50 400 150 400 = 50 1 = 150 3 13. EVENTOS INDEPENDIENTES 9 13.1. Dos eventos independientes. Sean dos eventos A y B definidos en el espacio muestral S. Si la probabilidad de la intersección de los dos eventos es igual al producto de sus probabilidades, entonces esos dos eventos son independientes. En tal sentido, P(A ∩ B) = P(A).P(B) . 13.2. N eventos independientes. Sean n eventos Ai , i = 1,...,n definidos en el espacio muestral S. Estos eventos son independientes siempre y cuando ellos sean independientes tomados dos a dos. En tal sentido, P José Luis Quintero n ∩ i =1 Ai = P(A1 ∩ ... ∩ An ) = n ∏ P(A ) . i i =1 41 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 13.3. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contiene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna, calcule la probabilidad de que sean pelotas de igual color. Solución. Experimento aleatorio: Elegir al azar dos pelotas, donde una pelota es escogida aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color Sean los eventos B1: Se escoge una pelota blanca de la primera urna B2: Se escoge una pelota blanca de la segunda urna R1: Se escoge una pelota roja de la primera urna R2: Se escoge una pelota roja de la segunda urna N1: Se escoge una pelota negra de la primera urna N2: Se escoge una pelota negra de la segunda urna IC: Se escogen dos pelotas de igual color Por lo tanto P(IC) = P(B1 ∩ B2) + P(R1 ∩ R2) + P(N1 ∩ N2) = 5 3 4 4 3 5 46 . + . + . = 12 12 12 12 12 12 144 Ejemplo 2. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? Solución. Sean los eventos: A: el jugador A gana , B: el jugador B gana GAi : el jugador A gana en el intento i-ésimo GBi : el jugador B gana en el intento i-ésimo Ai : el jugador A obtiene cara en el intento i-ésimo Bi : el jugador B obtiene cara en el intento i-ésimo GAi = A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai . En consecuencia P(GAi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ) = P(A1 ).P(B1 ).⋯ .P(Ai −1 ).P(Bi −1 ).P(Ai ) 2(i −1) 1 = 2 2i −1 × 1 1 = 2 2 GBi = A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ∩ Bi . En consecuencia P(GBi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ∩ Bi ) = P(A1 ).P(B1 ).⋯ .P(Ai −1 ).P(Bi −1 ).P(Ai ).P(Bi ) 2(i −1) +1 1 = 2 2i × 1 1 = 2 2 Entonces (ver figura 7) José Luis Quintero 42 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad ∞ P(A) = ∑ ∑ ∞ P(GAi ) = i =1 ∞ P(B) = ∑ ∑ i =1 ∞ P(GBi ) = i =1 i =1 ∞ 2i −1 1 2 ∑ ∑ =2 i =1 ∞ 2i 1 2 = i =1 i 2× 1 4 = 1− i 1 4 1 4 = 1 2 3 4 = = 1 4 3 4 = 4 1 = 12 3 1 1 4 = 4 1− 1 4 4 2 = 6 3 Por otro lado P(B) = 1 − P(A) = 1 − 2 1 = 3 3 PROBLEMA DE LOS DOS JUGADORES 0.5 Jugador A Jugador B Probabilidad de ganar en el intento i-ésimo 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Intento Figura 7. Problema de los dos jugadores 14. 9 PROBABILIDAD TOTAL 14.1. Definición (Probabilidad total). Sea una partición del espacio muestral en un grupo de eventos Bi , i = 1,...,n . La probabilidad total de un evento A se puede expresar como la suma de las probabilidades de A intersectado con el evento Bi , i = 1,...,n . De modo que n P(A) = ∑ i =1 José Luis Quintero n ∑ P(A ∩ Bi ) = P(Bi ).P(A / Bi ) . i =1 43 Probabilidad y Estadística 14.2. Ejemplo ilustrativo. Introducción a la Probabilidad Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las Observación Bi , i = 1,...,n 12. Los deben eventos ser acciones en la bolsa, durante los seis meses mutuamente excluyentes. anteriores, es de interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. Solución. Sean los eventos A: las acciones aumentan su valor en los próximos seis meses PNB+: el PNB aumenta PNB=: el PNB es el mismo PNB-: el PNB disminuye Entonces P(A) = P(A ∩ PNB+) + P(A ∩ PNB =) + P(A ∩ PNB−) = P(PNB+).P(A / PNB+) + P(PNB =).P(A / PNB =) + P(PNB−).P(A / PNB −) = 0.4 × 0.8 + 0.3 × 0.2 + 0.3 × 0.1 = 0.32 + 0.06 + 0.03 = 0.41 15. 9 DIAGRAMA DE ÁRBOL 15.1. Definición (Diagrama de árbol). Es una herramienta gráfica que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. 15.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Una universidad está formada por Observación 13. Consideraciones tres facultades: La primera facultad tiene el 50% acerca de un diagrama de árbol: de estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga • El número de elementos que conforman el espacio muestral se el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están pueden determinar construyendo repartidas uniformemente, siendo 60% del total en cada facultad. un diagrama de árbol • Se partirá asignando una rama para cada uno de los resultados, a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? Solución. José Luis Quintero acompañado de su probabilidad (rama de primera generación) 44 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Experimento aleatorio: Elegir al azar un estudiante de la universidad Propósito 1: Determinar la facultad donde estudia Propósito 2: Determinar el sexo de la persona Referido al propósito 1: S1 = {Facultad 1,Facultad 2,Facultad 3} . Referido al propósito 2: S2 = {hombre, mujer} Evento de interés: A: Se selecciona una mujer de la facultad 1 Sean los eventos F1: La persona seleccionada pertenece a la primera facultad M: La persona seleccionada es mujer Bajo esta notación se solicita calcular P(A) = P(M ∩ F1) = P(F1).P(M / F1) = P(M).P(F1 / M) La figura mostrada a continuación (figura 8) representa el diagrama de árbol que ilustra la Observación 14. Consideraciones acerca de un diagrama de árbol: • Al final de cada rama de primera generación se coloca un nodo del cual parten nuevas ramas (ramas de segunda generación), de ser necesario • La suma de probabilidades de las ramas de cada nodo es igual a 1 • Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: se multiplican las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien se suman si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto situación planteada. La pregunta de interés en este apartado aparece analizada en el árbol presentado en la figura 9. Figura 8. Diagrama de árbol para el problema de la universidad José Luis Quintero 45 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Figura 9. Diagrama de árbol que ilustra el primer apartado Lo anterior se puede escribir como P(M ∩ F1) = P(F1).P(M / F1) = 0.5 × 0.6 = 0.3 . b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón? Solución. Evento de interés: B: Se selecciona un varón Sean los eventos F1: La persona seleccionada pertenece a la primera facultad F2: La persona seleccionada pertenece a la segunda facultad F3: La persona seleccionada pertenece a la tercera facultad Bajo esta notación se solicita calcular P(B) = P(B ∩ F1) + P(B ∩ F2) + P(B ∩ F3) = P(F1).P(B / F1) + P(F2).P(B / F2) + P(F3).P(B / F3) La pregunta de interés en este apartado aparece analizada en el árbol presentado en la figura 10. Figura 10. Diagrama de árbol que ilustra el segundo apartado José Luis Quintero 46 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Lo representado anteriormente se puede escribir como: P(B) = P(B ∩ F1) + P(B ∩ F2) + P(B ∩ F3) = P(F1).P(B / F1) + P(F2).P(B / F2) + P(F3).P(B / F3) = 0.5 × 0.4 + 0.25 × 0.4 + 0.25 × 0.4 = 0.4 Ejemplo 2. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento donde se obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? Solución. Eventos: Ci : ocurrió cara en el lanzamiento i, i = 1, 2 Si : ocurrió sello en el lanzamiento i, i = 1, 2 Bi : se obtiene una bola blanca en la extracción i, i = 1, 2 Ni : se obtiene una bola negra en la extracción i, i = 1, 2 D: las dos bolas extraidas al final son de distinto color Todos los escenarios posibles aparecen reflejados en el diagrama de árbol de la figura 11. Los números entre paréntesis indican la probabilidad de ocurrencia del evento. La figura 12 representa las ramas del árbol que indican la ocurrencia del evento D en azul. Se tiene que P(D) = P(C1 ∩ S2 ).P(B1 (C1 ∩ S2 ).P(N2 (C1 ∩ S2 ∩ B1 ) + P(C1 ∩ S2 ).P(N1 (C1 ∩ S2 ).P(B2 (C1 ∩ S2 ∩ N1 ) + P(S1 ∩ C2 ).P(B1 (S1 ∩ C2 ).P(N2 (S1 ∩ C2 ∩ B1 ) + P(S1 ∩ C2 ).P(N1 (S1 ∩ C2 ).P(B2 (S1 ∩ C2 ∩ N1 ) = José Luis Quintero 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 16 4 1 1 4 1 1 = . .1 + . + .1 + . = . + + + = . + = . 4 5 5 4 3 3 2 4 5 5 3 3 4 5 3 4 15 15 47 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Figura 11. Diagrama de árbol José Luis Quintero 48 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Figura 12. Diagrama de árbol recortado mostrando los casos de interés José Luis Quintero 49 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 16. TEOREMA DE BAYES 9 16.1. Definición (Teorema de Bayes). Sea una partición del espacio muestral en un grupo de eventos Bi con i = 1,...,n . La probabilidad condicional de un evento Bi dado que ocurrió un evento A se puede expresar como la probabilidad del evento A dado que ocurrió ese elemento de la partición por la relación de las probabilidades entre Bi y A respectivamente. En tal sentido P(Bi / A) = P(Bi ∩ A) = P(A) P(Bi ).P(A / Bi ) n ∑ P(B ).P(A / B ) i i i =1 16.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son mujeres, respectivamente. Se escoge Observación 15. Consideraciones acerca de condicional: una sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál evento sucursal que tiene 12 empleados? Solución. sucursal Propósito: Determinar la sucursal elegida Elegir al azar denomina • El denominador en el término a la derecha de la ecuación anterior se denomina probabilidad total Definición de eventos: del evento A M: “El empleado es una mujer” S1: “La sucursal escogida es la 1” S2: “La sucursal escogida es la 2” 1 3 se a priori un empleado de una tienda Propósito: Determinar el sexo de la persona Se sabe que P(S1) = P(S2) = P(S3) = A probabilidad a posteriori • Las probabilidades del evento A dado que ocurrió cada elemento Bi se denominan probabilidades Experimento aleatorio 1: Elegir al azar una aleatorio: probabilidad • La probabilidad condicional de un evento Bi dado que ocurrió el es la probabilidad de que ella trabaje en la Experimento la S3: “La sucursal escogida es la 3” , P(M / S1) = 4 8 , P(M / S2) = 7 12 , P(M / S3) = 10 14 . De modo que P(M) = P(M ∩ S1) + P(M ∩ S2) + P(M ∩ S3) = P(S1).P(M / S1) + P(S2).P(M / S2) + P(S3).P(M / S3) = 1 4 . 3 8 7 + 13 . 12 + 13 . 10 = 14 P(S2 / M) = José Luis Quintero 1 1 .( 3 2 + 7 12 + 57 ) = 1 42 + 49 + 60 . 3 84 = 1 151 . 3 84 P(M ∩ S2) P(S2).P(M / S2) = = P(M) P(M) 1. 7 3 12 1 . 151 3 84 = 84×7 12 ×151 = 49 151 50 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Ejemplo 2. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo III. Solución. Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica Propósito: Determinar el tipo de formación geológica Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo Propósito: Determinar si existe o no petróleo Eventos: P: “Se encuentra petróleo” T1: “La formación es de tipo I” T2: “La formación es de tipo II” T3: “La formación es de tipo III” P(T1) = 0.35 P(T2) = 0.40 P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4 P(P/T2) = 0.2 P(P/T3) = 0.4 Se pide calcular P(T3/P). P(T3 ∩ P) P(T3).P(P / T3) = P(T3 / P) = P(P) P(T1).P(P / T1) + P(T2).P(P / T2) + P(T3).P(P / T3) 0.25 × 0.40 0.25 = = 0.35 × 0.40 + 0.40 × 0.20 + 0.25 × 0.40 0.35 + 0.20 + 0.25 0.25 = = 0.3125 0.80 17. 9 EXPERIMENTO DE BERNOULLI 17.1. Definición (Experimento de Bernoulli). Es un experimento aleatorio cuyo espacio Observación 16. Consideraciones muestral se puede expresar en términos de la • La probabilidad de que ocurra el evento se denota por p ocurrencia o no de un determinado evento. 17.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Considere el experimento aleatorio de tener un hijo. Sea el evento A: nació un hijo acerca del Experimento de Bernoulli: • La probabilidad de que no ocurra el evento se denota por q = 1 − p • El evento y su complemento forman una partición del espacio muestral varón. Este experimento es un Experimento de Bernoulli con parámetro p = 1 / 2 José Luis Quintero 51 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Ejemplo 2. Considere el experimento aleatorio de extraer una pelota de una caja con R pelotas rojas y V pelotas verdes. Sea el evento A: se extrae una pelota roja. Este experimento aleatorio es un Experimento de Bernoulli con parámetro R p= R+V Observación 17. Consideraciones acerca del Experimento de Bernoulli: • La probabilidad p es el parámetro importante para conocer un Experimento de Bernoulli • El Experimento de Bernoulli se denota por B(p) • El cálculo de las probabilidades en Ejemplo 3. Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado. Sea el evento A: ocurre un un Experimento de Bernoulli se número mayor que 4. Este experimento aleatorio si el evento ocurre p P B(p) = − 1 p si el evento no ocurre es un Experimento de Bernoulli con parámetro p =1/3 18. 9 hace de la forma EXPERIMENTO BINOMIAL 18.1. Definición (Experimento Binomial). Es un experimento aleatorio que consiste en la Observación 18. Consideraciones acerca del Experimento Binomial: Bernoulli con parámetro p. En este conjunto • El número de veces que ocurrió el evento de interés (k veces) es de n repeticiones se contabiliza el número de incierto, por tanto, es un número veces (denotado por k) que ocurrió el evento aleatorio y se encuentra en el intervalo [0,n] repetición de n veces de un Experimento de de interés. • El Experimento Binomial se denota por Bi(n,p) • El cálculo de las probabilidades en 18.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Una familia tiene ocho hijos. ¿Cuál un Experimento Binomial se hace es la probabilidad de que, exactamente, dos de de la forma n P Bi(n,p) = k = (1 − p)n −k pk , k k = 0,1, 2,...,n los hijos sean varones? Solución. Experimento aleatorio: Tener ocho hijos Propósito: Determinar el sexo de cada uno Evento: Dos de los hijos son varones 8 −2 8 1 P Bi(8, 12 ) = 2 = 1 − 2 2 José Luis Quintero 2 8 8! 1 28 22.7 7 1 2 = 2!.6! . 2 = 8 = 8 = 64 2 2 52 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Ejemplo 2. Se lanzan al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente. Calcule la probabilidad de obtener a. por lo menos dos caras Solución. Experimento aleatorio: Lanzar al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente Propósito: Determinar si la parte superior indica cara o sello Sea el evento A: salen por lo menos dos caras. Entonces P(A) = P Bi(4, 12 ) = 2 + P Bi(4, 12 ) = 3 + P Bi(4, 12 ) = 4 2 2 1 3 0 4 4 1 1 4 1 1 4 1 1 11 = + + = 16 2 2 2 3 2 2 4 2 2 b. exactamente tres caras Solución. Sea el evento A: salen exactamente tres caras. Entonces 1 3 4 1 1 1 P(A) = P Bi(4, 12 ) = 3 = = 4 3 2 2 c. a lo sumo dos caras Solución. Sea el evento A: salen a lo sumo dos caras. Entonces P(A) = P Bi(4, 12 ) = 0 + P Bi(4, 12 ) = 1 + P Bi(4, 12 ) = 2 4 0 3 1 2 2 4 1 1 4 1 1 4 1 1 11 = + + = 2 2 2 2 2 2 16 0 1 2 d. exactamente una cara Solución. Sea el evento A: salen exactamente una cara. Entonces 3 1 4 1 1 1 P(A) = P Bi(4, 12 ) = 1 = = 2 2 4 1 19. 9 EXPERIMENTO MUTINOMIAL 19.1. Definición (Experimento Multinomial). Es un experimento aleatorio que consiste en la Observación 19. Consideraciones acerca del Experimento Multinomial: repetición de n veces de un experimento aleatorio con m resultados posibles. 19.2. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal 10 veces y se desea calcular la probabilidad de • El Experimento Multinomial denota por M(n,p1 ,p2 ,...,pm ) se • Si m = 2 , se trata Experimento Binomial un de que salga la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces. José Luis Quintero 53 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Solución. Experimento aleatorio: Lanzar un dado 10 veces Propósito: Determinar la cara ocurrida en la Observación 20. Consideraciones acerca del Experimento Multinomial: parte superior del dado Sea el evento A: sale la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces P(A) = P M(10, 16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 ) = (2, 0, 0, 3, 4,1) 2 0 0 3 4 • El cálculo de las probabilidades en un Experimento Multinomial se hace de la forma P M(n,p1,p2 ,...,pm ) = (k1,k2 ,...,km ) = n! k k p 1p 2 .⋯.pkmm , k1 !k2 !...km ! 1 2 1 10! 1 1 1 1 1 1 = 2!0!0!3!4!1! 6 6 6 6 6 6 12600 = 60466176 20. 9 p1 + p2 + ... + pm = 1 , k1 + k2 + ... + km = n EXPERIMENTO GEOMÉTRICO 20.1. Definición (Experimento Geométrico). Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición de un Experimento de Bernoulli con parámetro p. Esta repetición se realiza hasta que ocurre el evento de interés por primera vez. 20.2. Ejemplos ilustrativos: Ejemplo 1. Un estudiante tiene probabilidad de 0.4 de aprobar una asignatura. Si reprueba la asignatura debe repetir el curso el siguiente Observación 21. Consideraciones acerca del Experimento Geométrico: semestre hasta que lo apruebe. Si se considera • El número de repeticiones hasta conseguir que ocurra el evento de interés es incierto, por tanto, es que la probabilidad de aprobar el curso no cambia semestre tras semestre, entonces se tiene un Experimento Geométrico. Calcule las probabilidades de aprobar la asignatura en la primera, segunda y tercera oportunidad que la un número aleatorio y se encuentra en el intervalo [1, ∞) curse. • El Experimento denota por G(p) Solución. Probabilidad de aprobar la asignatura la primera • Si es necesario realizar k Experimentos de Bernoulli hasta Geométrico se que ocurra el evento de interés, vez que la curse: 1 −1 P G(0.4) = 1 = (1 − 0.4) 0.4 = 0.4 Probabilidad de aprobar la asignatura la segunda el cálculo de las probabilidades en un Experimento Geométrico se vez que la curse: hace de la forma P G(0.4) = 2 = (1 − 0.4)2 −1 0.4 = 0.6 × 0.4 = 0.24 José Luis Quintero P G(p) = k = (1 − p)k −1p , k = 1, 2,... 54 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Probabilidad de aprobar la asignatura la tercera vez que la curse: P G(0.4) = 3 = (1 − 0.4)3 −1 0.4 = 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.144 Ejemplo 2. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento? Solución. P G( 12 ) = k = (1 − 12 )k −1 12 = ( 12 )k −1 12 = ( 12 )k , k = 1, 2,... 21. 9 EXPERIMENTO BINOMIAL NEGATIVO DE ORDEN R 21.1. Definición (Experimento Binomial Observación 22. Consideraciones Negativo de Orden r). Es un experimento acerca del Experimento Binomial de Orden r: aleatorio que consiste en la repetición de un Experimento de Bernoulli con parámetro p. Esta repetición se realiza hasta que ocurre el evento de interés por r-ésima vez. • El Experimento Geométrico es un Experimento Binomial Negativo de orden 1, es decir, G(p)=BiN(p,1) • El número de repeticiones hasta conseguir que ocurra el evento de 21.2. Ejemplos ilustrativos: interés es incierto, por tanto, es Ejemplo 1. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara por tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento? Solución. k − 1 1 k −3 1 3 P BiN( 12 , 3) = k = (1 − 2 ) ( 2 ) 2 un número aleatorio y se encuentra en el intervalo [r, ∞) • El Experimento Binomial Negativo de orden r se denota por BiN(p,r) es necesario realizar k • Si Experimentos de Bernoulli hasta = (k −1)! ( 1 )k − 3 ( 12 )3 2!(k − 3)! 2 que ocurra el evento de interés, el cálculo de las probabilidades en = (k −1)(k − 2) 1 k (2) 2 un , k = 3, 4,... la probabilidad de necesitar k intentos para obtener la ocurrencia del evento de interés r veces viene dada por la expresión José Luis Quintero 1 r! Binomial Negativo de orden r se hace de la forma k − 1 k −r r P BiN(p,r) = k = (1 − p) p , r − 1 Ejemplo 2. Una manera equivalente de calcular P BiN(p,r) = k = Experimento k = r,r + 1,... r −1 ∏ (k − i)(1 − p) k −r r p , k = r,r + 1,... i =1 55 Probabilidad y Estadística 22. 9 Introducción a la Probabilidad EXPERIMENTO HIPERGEOMÉTRICO 22.1. Definición (Experimento Hipergeométrico). Experimento cuyas características se describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en dos grupos de N1 elementos y N2 elementos respectivamente, con N1 + N2 = N . Se extrae aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de elementos n1 del grupo 1 y la cantidad de elementos n2 , con n1 + n2 = n presentes en la muestra. 22.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 15 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6 Observación 23. Consideraciones pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la acerca muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2 negras? Hipergeométrico: Solución. Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6 pelotas de la caja Propósito: Determinar la cantidad de pelotas blancas y la cantidad presentes en la muestra de pelotas del Experimento • El Experimento Hipergeométrico se denota por HG(N,N1,N2 ,n) • El cálculo de las probabilidades en un Experimento Hipergeométrico se hace de la forma negras P HG(N,N1,N2 ,n) = (n1,n2 ) = Evento: la muestra contiene 4 pelotas blancas y 2 pelotas negras Cálculo de la probabilidad solicitada: N1 N2 n1 n2 N n N1 + N2 = N , n1 + n2 = n 15 5 4 2 455 ≈ 0.3222 P HG(20,15,5, 6) = (4, 2) = = 1292 20 6 9 23. EXPERIMENTO MULTIHIPERGEOMÉTRICO 23.1. Definición (Experimento Multihipergeométrico). Experimento cuyas características se describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en k grupos de N1 , N2 , …, Nk elementos respectivamente, con N1 + N2 + ... + Nk = N . Se extrae aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de elementos n1 , n2 , …, nk correspondientes a los grupos 1, 2, …, k respectivamente con n1 + n2 + ... + nk = n presentes en la muestra. José Luis Quintero 56 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 23.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 8 Observación 24. Consideraciones del Experimento pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la acerca probabilidad de que en la muestra se encuentren Multihipergeométrico: 3 pelotas blancas, 2 negras y 1 roja? Solución. Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6 pelotas de la caja Propósito: Determinar la cantidad de pelotas blancas, negras y rojas presentes en la muestra Evento: la muestra contiene 3 pelotas blancas, 2 pelotas negras y 1 pelota roja. • El Experimento Multihipergeométrico se denota por MHG(N,N1,N2 ,...,Nk ,n) • Si se trata de k = 2, Experimento Hipergeométrico • El cálculo de las probabilidades en un Experimento Multihipergeométrico es P HG(N,N1,N2 ,...,Nk ,n) = (n1,n2 ,...,nk ) = Cálculo de la probabilidad solicitada: P MHG(20, 8, 7,5, 6) = (3,2,1) = N1 N2 Nk ... n1 n2 nk N n 8 7 6 3 2 1 = 294 ≈ 0.182 1615 20 6 24. 9 un N1 + N2 + ... + Nk = N , n1 + n2 + ... + nk = n EXPERIMENTO DE POISSON 24.1. Definición (Experimento de Poisson). Sea un experimento Binomial con parámetros n y p. Considere que el número de experimentos de Bernoulli es muy grande (n → ∞) , y que la probabilidad del evento de interés es muy pequeña (p → 0) , pero son tales que el producto np tiende a un valor finito, entonces el Experimento Binomial resultante se puede expresar como un Experimento de Poisson. 24.2. Ejemplo ilustrativo. En una empresa se revisan defectos de los productos terminados. La probabilidad de hallar un defecto en un producto es 0.001. Se revisan 4000 productos. ¿Cuál es la probabilidad de hallar a lo sumo 6 defectuosos? Solución. 6 P= ∑ k =0 4000 4000 − k (0.001)k (1 − 0.001) k Observación 25. Consideraciones acerca del Experimento de Poisson: • El Experimento de Poisson se denota por P(λ) • El cálculo de las probabilidades se hace de la forma λk e−λ P P(λ) = k = , k = 0,1,2,... k! Se puede ver que los cálculos para obtener p son muy engorrosos, por lo que se utiliza una aproximación mediante un Experimento de Poisson con parámetro λ = 4 . 6 P≈ ∑ k =0 José Luis Quintero 6 P P(4) = k = ∑ k =0 4k e−4 = e−4 k! 6 ∑ k =0 4k e−4 = 0.1144 k! 57 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 25. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente. a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la V F b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B) respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son V F c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de V F V F unión de ellos es la suma de sus probabilidades tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es X3 / (X + Y)3 d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a ( 12 )k −1 SOLUCIÓN. a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades V F b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B) V F respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de V F V F tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es X3 / (X + Y)3 d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a ( 12 )k −1 PROBLEMA 2. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es a. F1 José Luis Quintero b. F2 c. F3 d. F4 58 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad SOLUCIÓN. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es a. F1 b. F2 c. F3 d. F4 PROBLEMA 3. Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) = 1 , con tal de que P(B) ≠ 0 . SOLUCIÓN. P(A B) + P(A B) = P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B) + = =1 P(B) P(B) P(B) PROBLEMA 4. Pruebe que si P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son independientes. SOLUCIÓN. P(B / A) = P(B / A) ⇒ P(A ∩ B) P(A ∩ B) (1 − P(A))P(A ∩ B) = ⇒ = P(A ∩ B) P(A) P(A) P(A) ⇒ P(A ∩ B) P(A ∩ B) − P(A ∩ B) = P(A ∩ B) ⇒ = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) P(A) P(A) ⇒ P(A ∩ B) = P(B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B) P(A) PROBLEMA 5. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son A c y Bc . SOLUCIÓN. P(A c ∩ Bc ) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − P(A) − P(B) + P(A).P(B) = 1 − P(A) − P(B)(1 − P(A)) = (1 − P(A)).(1 − P(B)) = P(A c ).P(Bc ) José Luis Quintero 59 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 6. Sean A y B eventos independientes, tales que con probabilidad 1/6 ocurren simultáneamente, y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B). SOLUCIÓN. Información : P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 1 6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ⇒ 2 3 = ⇒ 5 6 = P(B) = 5 ± 25 − 4 × 6 ×1 12 Por lo tanto P(A) = = 1 2 5 ±1 12 ⇒ P1(B) = , P(B) = 1 3 1 2 1 − P(A ∪ B) = , 1 6P(B) , P2 (B) = 2 3 = 2 3 1 6P(B) 2 + P(B) − 1 6 2 ⇒ 5P(B) = 1 + 6 P(B) ⇒ 6 P(B) − 5P(B) + 1 = 0 6P(B) 1 3 ⇒ P(A ∪ B) = + P(B) − P(A).P(B) ⇒ 2 1 + 6 P(B) ó P(A) = 1 3 1 3 , P(B) = 1 2 . PROBLEMA 7. Los eventos A1 , A2 ,..., An son eventos independientes y p(A j ) = p , j = 1, 2,...,n . Halle el menor n para el cual n P Ai ≥ H , i =1 ∪ donde H es un número fijo. SOLUCIÓN. n n P Ai = 1 − P Aic = 1 − i =1 i =1 ∪ ∩ n ∏ P(A ) = 1 − (1 − p) c i n ≥ H ⇒ (1 − p)n ≤ 1 − H ⇒ nln(1 − p) ≤ ln(1 − H) i =1 PROBLEMA 8. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ? SOLUCIÓN. Sea Ai : se obtiene un 6 en el i-ésimo lanzamiento. Se quiere determinar el menor n para el cual n 3 P Ai > . 4 i =1 ∪ Como n P Ai = 1 − i =1 ∪ n ∏ i =1 n 5 P(Aic ) = 1 − , 6 se quiere hallar el menor n para el cual n 1 5 6 < 4 es decir 5 1 n.ln < ln 6 4 José Luis Quintero 60 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad con lo cual se obtiene n = 8 . PROBLEMA 9. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A) . Obtenga P(A), P(B) y P(C). SOLUCIÓN. P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A).P(B) − P(A).P(C) − P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) 2 2 2 4P(A) = P(A) + 2P(A) + 4P(A) − 2 P(A) − 4 P(A) − 8 P(A) + 8 P(A) 3 2 3 2 3P(A) − 14 P(A) + 8 P(A) = 0 ⇒ P(A) 8 P(A) − 14.P(A) + 3 = 0 2 8 P(A) − 14.P(A) + 3 = 0 ⇒ P(A) = 1 4 Usando las relaciones dadas se tiene que P(A) = 1 4 , P(B) = 1 2 , P(C) = 1 . PROBLEMA 10. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MASR de tamaño tres. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Escoger al azar tres pelotas de una caja Propósito: Determinar el color de cada pelota Sea el evento Ri : sale una pelota roja en el i-ésimo intento. De modo que P(R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) = P(R1 ).P(R 2 / R1 ).P(R 3 / R1 ∩ R 2 ) = R R −1 R −2 . . R + A R + A −1 R + A −2 PROBLEMA 11. En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Extracción al azar de dos bombillos de una caja Propósito: Determinar si se encuentran o no funcionando Sean los eventos B1 : el primer bombillo sale bueno B2 : el segundo bombillo sale bueno Entonces P(B1 ∩ B2 ) = P(B1 ).P(B2 / B1 ) = 6 5 30 1 . = = 10 9 90 3 PROBLEMA 12. Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1 y se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esa pelota sea blanca? José Luis Quintero 61 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Escoger al azar una pelota de la caja 1 y colocarla en la caja 2. Posteriormente se escoge una pelota al azar de la caja 2 Propósito: Determinar el color de la última pelota escogida Sean los eventos B1 : se pasa una pelota blanca de la caja 1 a la caja 2 B2 : se pasa una pelota roja de la caja 1 a la caja 2 A: se selecciona una pelota blanca de la caja 2 Entonces P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) = P(B1 ).P(A / B1 ) + P(B2 ).P(A / B2 ) = X Z+1 Y Z + . . X + Y Z + W +1 X + Y Z + W +1 PROBLEMA 13. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 1000 transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de ella se toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Escoger al azar una caja y luego de esta caja tomar al azar un transistor Propósito: Determinar el estado del transistor elegido Sean los eventos B: el transistor escogido es bueno Ci : se escoge la caja i, i = 1,..., 4 B : el transistor escogido es defectuoso Entonces P(B) = 1 − P(B) = 1 − P(B ∩ C1 ) + P(B ∩ C2 ) + P(B ∩ C3 ) + P(B ∩ C4 ) = 1 − P(C1 ).P(B / C1 ) + P(C2 ).P(B / C2 ) + P(C3 ).P(B / C3 ) + P(C4 ).P(B / C4 ) = 1 − (0.25 × 0.05 + 0.25 × 0.40 + 0.25 × 0.10 + 0.25 × 0.10) = 1 − 0.25 × (0.05 + 0.40 + 0.10 + 0.10) = 1 − 0.25 × 0.65 = 0.8375 PROBLEMA 14. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4 se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se lanza un dado y de acuerdo al resultado se extraen 2 pelotas con o sin reposición de una caja Propósito: Determinar el color de cada pelota extraida Sean los eventos A: se seleccionan dos pelotas amarillas José Luis Quintero 62 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad N1 : se obtiene un número menor que 4 al lanzar el dado N2 : se obtiene un número mayor o igual que 4 al lanzar el dado P(A) = P(A ∩ N1 ) + P(A ∩ N2 ) = P(N1 ).P(A / N1 ) + P(N2 ).P(A / N2 ) 1 A A −1 1 A A 1 A A A −1 × × + × × = × × + 2 R + A R + A − 1 2 R + A R + A 2 R + A R + A − 1 R + A = PROBLEMA 15. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? SOLUCIÓN. Sean los eventos: A: el jugador A gana , B: el jugador B gana , C: el jugador C gana GAi : el jugador A gana en el intento i-ésimo GBi : el jugador B gana en el intento i-ésimo GCi : el jugador C gana en el intento i-ésimo Ai : el jugador A obtiene un número par en el intento i-ésimo Bi : el jugador B obtiene un número par en el intento i-ésimo Ci : el jugador C obtiene un número par en el intento i-ésimo GAi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai . En consecuencia P(GAi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ) i −1 ∏ = P(Ai ). j =1 3(i −1) 1 P(A j ).P(B j ).P(C j ) = 2 3i − 2 1 1 2 = 2 GBi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi . En consecuencia P(GBi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi ) i −1 ∏ = P(Ai ).P(Bi ). j =1 3(i −1) 1 P(A j ).P(B j ).P(C j ) = 2 3i −1 2 1 1 2 = 2 GCi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi ∩ Ci . En consecuencia P(GCi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi ∩ Ci ) i −1 ∏ = P(Ai ).P(Bi ).P(Ci ) j =1 3(i −1) 1 P(A j ).P(B j ).P(C j ) = 2 3 3i 1 1 2 = 2 Entonces ∞ P(A) = ∑ ∑ ∞ P(GAi ) = i =1 ∞ P(B) = ∑ ∑ i =1 ∞ P(GBi ) = i =1 i =1 ∑ i =1 José Luis Quintero ∑ ∑ ∑ ∑ =4 ∞ P(GCi ) = i =1 ∞ 3i −1 1 2 ∞ P(C) = ∞ 3i − 2 1 2 i =1 =2 i =1 = i =1 = 4. 1 8 1− 3i 1 2 ∞ 3i 1 2 3i 1 2 = 2. 1 8 1− 3i 1 2 1 8 = 1 8 1 8 1− 1 8 = 4. = 2. = 1 4 = 7 7 1 2 = 7 7 1 7 63 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 16. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en serie hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente que tiene probabilidad p (0 < p < 1) . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? SOLUCIÓN. Sean los eventos: Ji : el jugador i-ésimo gana , i = 1,...,N GJik : el jugador i-ésimo gana en el intento k-ésimo Jik : el jugador i-ésimo obtiene el evento de interés en el intento k-ésimo Se tiene que GJik = J11 ∩ J21 ∩ ... ∩ JN1 ∩ J12 ∩ J22 ∩ ... ∩ JN2 ∩ ... ∩ J1k −1 ∩ J2k −1 ∩ ... ∩ JNk −1 ∩ J1k ∩ J2k ∩ ... ∩ Jik . En consecuencia P(GJik ) = P(J11 ∩ J21 ∩ ... ∩ JN1 ∩ J12 ∩ J22 ∩ ... ∩ JN2 ∩ ... ∩ J1k −1 ∩ J2k −1 ∩ ... ∩ JNk −1 ∩ J1k ∩ J2k ∩ ... ∩ Jik ) = (1 − p)N(k −1)(1 − p)i−1p = (1 − p)N(k −1)+i−1p Entonces ∞ P(Ji ) = ∑ ∞ P(GJik ) = k =1 ∑ ∞ N(k −1) + i −1 (1 − p) i − N −1 p = p(1 − p) k =1 = p(1 − p)i −N −1 PROBLEMA 17. Sea S = {a,b, c, d, e} , con P(a) = 1 − (1 − p)N , P(b) = (1 − p)Nk k =1 (1 − p)N 1 8 ∑ 1 16 A = {a, d, e} y B = {c, d, e} . Calcule P(B / A) . = p(1 − p)i −1 1 − (1 − p)N , P(c) = 3 16 , i = 1,...,N , P(d) = 5 16 , P(e) = 5 16 . Sean los eventos SOLUCIÓN. 3 P(B / A) = P(B ∩ A) P(B ∩ A) 16 = = 2 − 5 − 1 − P(A) 1 − 16 P(A) 16 5 16 = 3 16 4 16 = 3 4 PROBLEMA 18. Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Selección al azar de una bola de una caja Propósito: Tras saber que la bola seleccionada es negra se desea saber de que caja se obtuvo CAJA 1 (C1): Contiene 1 bola blanca (B) y 4 bolas negras (N) CAJA 2 (C2): Contiene 2 bolas blancas(B) y 3 bolas negras (N) CAJA 3 (C3): Contiene 3 bolas blancas (B) y 2 bolas negras (N) CAJA 4 (C4): Contiene 4 bolas blancas (B) y 1 bolas negras (N) José Luis Quintero 64 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad CAJA 5 (C5): Contiene 5 bolas blancas (B) y 0 bolas negras (N) P(Ci / N) = P(Ci ∩ N) P(Ci).P(N / Ci) = = P(N) P(N) P(Ci).P(N / Ci) = 5 ∑ P(Ci).P(N / Ci) ∑ i =1 CAJA 1 (i=1): 4 10 = CAJA 4 (i=4): 1 10 . CAJA 5 (i=5): 2 5 . CAJA 2 (i=2): 0 10 3 10 1 . 5 −i 5 5 5 1 . 5 −i 5 5 i =1 . CAJA 3 (i=3): 2 10 = 1 5 = 5 −i 5 5 5 −i 5 i =1 ∑ = 5 −i 5 10 5 = 5 −i 10 . = 0. PROBLEMA 19. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo I. SOLUCIÓN. Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica Propósito: Determinar el tipo de formación geológica Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo Propósito: Determinar si hay o no petróleo Eventos: P: “Se encuentra petróleo” T1: “La formación es de tipo I” T2: “La formación es de tipo II” T3: “La formación es de tipo III” P(T1) = 0.35 P(T2) = 0.40 P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4 P(P/T2) = 0.2 P(P/T3) = 0.4 Se pide calcular P(T1/P). P(T1 ∩ P) P(T1).P(P / T1) = P(T1 / P) = P(P) P(T1).P(P / T1) + P(T2).P(P / T2) + P(T3).P(P / T3) 0.35 × 0.40 0.35 = = 0.35 × 0.40 + 0.40 × 0.20 + 0.25 × 0.40 0.35 + 0.20 + 0.25 0.35 = = 0.4375 0.80 PROBLEMA 20. Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al culpable? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Emisión de una señal de una máquina José Luis Quintero 65 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad Propósito: Determinar el tipo de señal emitida Eventos: S+ : “La señal es positiva” I: “Es inocente” C: “Es culpable” P(S+/I) = 0.1; P(S+/C) = 0.95; P(I)=0.5; P(C) = 0.5; P(C/S+) = ? P(C ∩ S+) P(C ∩ S+) P(C).P(S + /C) P(C / S+) = = = P(S+) P(S + ∩I) + P(S + ∩C) P(I).P(S + /I) + P(C).P(S + /C) = 1 .0.95 2 1 .0.1 + 1 .0.95 2 2 = 0.95 ≈ 0.905 1.05 PROBLEMA 21. Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio 1: Seleccionar al azar una pregunta Propósito: Determinar si conozco o no su respuesta Experimento aleatorio 2: Responder dicha pregunta Propósito: Determinar si la respuesta es correcta o incorrecta Eventos: C: ”El estudiante conoce la respuesta” A: “El estudiante adivina la respuesta” B: “El estudiante acierta la respuesta” Datos e incógnita: P(C) = 0.8 , P(A) = 0.2 , P(B / A) = 0.25 , P(B / C) = 1 , P(C / B) = ? Aplicación del Teorema de Bayes: P(C ∩ B) P(C).P(B / C) 0.8 × 1 0.8 P(C / B) = = = = ≈ 0.941 P(B) P(A).P(B / A) + P(C).P(B / C) 0.2 × 0.25 + 0.8 × 1 0.85 PROBLEMA 22. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Escoger una persona al azar Propósito: Determinar si se encuentra sana o se encuentra enferma Eventos: E: Hubo exposición al virus que produce una enfermedad José Luis Quintero 66 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad A: El empleado vacunado contrae la enfermedad B: El empleado no vacunado contrae la enfermedad Información suministrada: P(E) = 0.6 , P(A / E) = 0.2 , P(B / E) = 0.9 Se pide: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 − P(Ac ∩ Bc ) = 1 − P(Ac ).P(Bc ) P(A c ) = P(A c ∩ Ec ) + P(A c ∩ E) = P(Ec ).P(A c / Ec ) + P(E).P(A c / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.8 = 0.88 P(Bc ) = P(Bc ∩ Ec ) + P(Bc ∩ E) = P(Ec ).P(Bc / Ec ) + P(E).P(Bc / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.1 = 0.46 De modo que P(A ∪ B) = 1 − P(A c ).P(Bc ) = 1 − 0.88 × 0.46 = 1 − 0.4048 = 0.5952 PROBLEMA 23. Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X. SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Se escoge al azar un artículo de la caja X y otro de la caja Y Propósito: Determinar el estado de cada artículo extraído Definición de eventos de interés: DX − Y : El lunes en la noche se pasó un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y D1 : El primer artículo extraído el martes es defectuoso D2 : El segundo artículo extraído el martes es defectuoso P(DX − Y / (D1 ∩ D2 )) = P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 ) P(D1 ∩ D2 ) n n −1 3 . . 8 7 8 ∩ D1 ) + P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 ) P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 ) = P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 ) = P(D1 ∩ D2 ) = P(BX − Y ).P(D1 / BX − Y ).P(D2 / (BX − Y = P(DX − Y 8 −n n 2 n n−1 3 . . + . . 8 7 8 8 7 8 n n −1 3 . . P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 ) 8 7 8 = / (D1 ∩ D2 )) = 8 −n n 2 n n −1 3 P(D1 ∩ D2 ) . . + . . 8 7 8 8 7 8 3n(n − 1) 3(n − 1) 3 = = = 2n(8 − n) + 3n(n − 1) 2(8 − n) + 3(n − 1) 8 ⇒ 24(n − 1) = 6(8 − n) + 9(n − 1) ⇒ 24n − 24 = 48 − 6n + 9n − 9 ⇒ 21n = 63 ⇒ n = 3 José Luis Quintero 67 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 24. Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la caja 2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas sin reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2. Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja. SOLUCIÓN. Sean los eventos N5 − : El resultado obtenido en el dado es menor que 5 N5 + : El resultado obtenido en el dado es mayor o igual que 5 Ri : Se extrae una pelota roja en el i-ésimo intento , i = 1, 2 Ai : Se extrae una pelota amarilla en el i-ésimo intento , i = 1, 2 R : Se obtienen dos pelotas rojas El diagrama de árbol correspondiente se visualiza en la figura 1. Por lo tanto P(R) = 1 − P(R) = 1 − P(N5 − ).P(R1 / N5 − ).P(R 2 / (N5 − ∩ R1 )) − P(N5 + ).P(R1 / N5 + ).P(R 2 / (N5 + ∩ R1 )) R: Se obtiene a lo sumo una pelota roja =1− 4 7 6 2 8 8 7 4 190 . . . − . =1− − = ≈ 0.6397 6 12 11 6 12 12 33 27 297 Figura 1. Diagrama de árbol José Luis Quintero 68 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad PROBLEMA 25. De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información: • A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes • De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos • A ∪ B ∪ C y D son mutuamente excluyentes • A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 < p < 1) • El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5 a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro eventos anteriores sea máxima. b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta SOLUCIÓN. a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro eventos anteriores sea máxima. SOLUCIÓN. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) = p + p + p − p2 − p2 − p2 + 0 = 3p − 3p2 Por lo tanto P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = P(A ∪ B ∪ C) + P(D) = 3p − 3p2 + Para que 1 5 la probabilidad anterior sea máxima se tiene que P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = f(p) = 3p − 3p2 + f '(p) = 3 − 6p = 0 ⇒ p = Lo que implica que si p = 1 2 1 5 1 2 ⇒ f '(p) = 3 − 6p ⇒ f ''(p) = −6 ⇒ f ''( 12 ) = −6 < 0 , entonces P(A ∪ B ∪ C ∪ D) es máxima y su valor es 3 1 15 + 4 19 + = = 4 5 20 20 b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta SOLUCIÓN. Como P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = 19 < 1 , se concluye que los eventos A, B, C y D no son colectivamente 20 exhaustivos. PROBLEMA 26. Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel jugador que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro caso, ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de su tercer intento. SOLUCIÓN. Definición de eventos: Ai : el jugador A extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i = 1,2,... ARi : el jugador A extrae 2 pelotas rojas en el intento i, i = 1,2,... AVi : el jugador A extrae 2 pelotas verdes en el intento i, i = 1, 2,... José Luis Quintero 69 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad ABi : el jugador A extrae 2 pelotas blancas en el intento i, i = 1, 2,... Bi : el jugador B extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i = 1, 2,... GAi : el jugador A gana en el intento i, i = 1,2,... A: el jugador A gana antes de su tercer intento 2 2 2 12 1 2 2 2 P(Ai ) = P(ARi ∪ AVi ∪ ABi ) = + + = = = P(Bi ) , i = 1, 2,... 6 6 6 36 3 1 2 2 ; P(GA1 ) = P(A1 ∩ B1 ) = . = 3 3 9 P(GA2 ) = P(((A1 ∩ B1 ) ∪ (A1 ∩ B1 )) ∩ (A2 ∩ B2 )) = P((A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) ∪ (A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 )) 3 3 10 1 2 1 2 = P(A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) + P(A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) = . + . = 81 3 3 3 3 Por lo tanto P(A) = P(GA1 ∪ GA2 ) = P(GA1 ) + P(GA2 ) = 2 10 18 + 10 28 + = = 9 81 81 81 PROBLEMA 27. Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de 0.3 de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio 1: Escogencia al azar de una moneda Propósito: Determinar cuál de las monedas fue escogida Experimento aleatorio 2: Lanzamiento por primera vez de la moneda Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda Experimento aleatorio 3: Lanzamiento por segunda vez de la moneda Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda Definición de eventos: Mi : se seleccionó la moneda i, i = 1, 2, 3 Ci : ocurrió cara en el primer lanzamiento i, i = 1, 2 Se pide: P(C1 ∩ C2 ) = P(M1 ).P(C1 ∩ C2 / M1 ) + P(M2 ).P(C1 ∩ C2 / M2 ) + P(M3 ).P(C1 ∩ C2 / M3 ) = José Luis Quintero 1 1 1 × (0.3)2 + × (0.6)2 + × (0.4)2 ≈ 0.203 3 3 3 70 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 26. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente. a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un V F resultado del experimento aleatorio b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las V F c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento vacio es igual a cero V F d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad V F e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables V F probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno 2. Marque con una X la respuesta que considere correcta. a. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se puede afirmar que P(A ∩ B) : ( )0 ( ) 0.19 ( ) 0.81 ( )1 b. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a ( ) 1/12 ( ) 1/6 ( ) 5/36 ( ) 5/6 c. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se expresa como: ( ) A1 ∩ A2 ∩ A3 ( ) A1 ∪ A2 ∪ A3 ( ) A1 ∩ A2 ∩ A3 ( ) Ninguna de las anteriores d. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al azar”. Sean los sucesos: M: “la persona es mujer”, R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”. A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el diagrama D1 ( 3. ) D1 D2 ( ) D2 D3 ( ) D3 ( D4 ) D4 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determine: a. P(A) b. P(B) c. P(A ∪ B) José Luis Quintero 71 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad d. P(A ∩ B) e. P(A ∩ B) f. P(A ∩ B) 4. Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral. Emplee un diagrama de Venn para demostrar que P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B). 5. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. Dibuje mediante diagramas de Venn, los siguientes eventos: a. Los tres eventos ocurren b. Ocurre sólo A1 c. Ocurren A1 y A2 pero no A3 d. Ocurre al menos uno de los tres eventos e. No ocurre ninguno f. Ocurren al menos dos g. Ocurren a lo sumo dos 6. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Administración (A) 20 30 50 Operación de planta (O) 60 140 200 Ventas (V) 100 50 150 Totales 180 220 400 a. Si se elige aleatoriamente un empleado: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? • ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? b. Determine las siguientes probabilidades: • P(A ∪ M) 7. • P(A ∪ M) • P(O ∩ H) De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? 8. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, José Luis Quintero 72 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas? 9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor o igual a 9? 10. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el premio? 11. Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca? 12. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos: a. El resultado de arrojar el dado es un número par. b. El resultado es menor que 6. 13. Se sabe de los eventos A, B y C lo siguiente: P(A) = P(B) = P(C) = P(A ∩ C) = 1 8 1 4 , P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 y . Halle la probabilidad de que al menos uno de los eventos, A, B o C ocurra. 14. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes resultados: • Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 % • Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 % • Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 % • Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 % • Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 % • Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 % • Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 % a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría? 15. Se escoge al azar una pelota de 1 caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde. 16. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 , P(A ∩ B) = 0.1 , P(A ∩ C) = 0.1 , P(B ∩ C) = 0, P(A ∪ C) = 0.7 . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de dichos eventos. José Luis Quintero 73 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 17. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea a. mujer no rubia y de ojos oscuros b. hombre no rubio y de ojos oscuros c. persona rubia o de ojos claros 18. Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número total de formas posibles para ocupar estos cargos? 19. Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos libros? 20. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer? 21. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras. Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer si a. la extracción es de forma simultánea b. la extracción es de forma serial con reposición c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de igual color 22. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? 23. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Determine el número de maneras en las que puede hacerse si a. los premios son diferentes y la persona no puede recibir más de un premio b. los premios son iguales y la persona no puede recibir más de un premio c. los premios son diferentes y la persona puede recibir más de un premio d. los premios son iguales y la persona puede recibir más de un premio 24. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? 25. Determine la cantidad de números de 4 dígitos que se pueden formar con las cifras 0,1,…,9 (no permitiendo que el primer dígito sea cero) a. permitiendo repeticiones b. sin repeticiones c. si el último dígito ha de ser cero y no se permiten repeticiones 26. En un grupo de 10 amigos, determine todas las distribuciones de sus fechas de cumpleaños que pueden darse al año. José Luis Quintero 74 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 27. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si hombres y mujeres deben quedar alternados? 28. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si los hombres se sientan juntos? 29. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos? 30. Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres? 31. Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 pelotas blancas queden juntas? 32. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido tenga al menos un uno? 33. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabilidad de que: a. ninguna sea defectuosa b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa 34. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que a. los libros de cada materia queden juntos b. solo los libros de matemática queden juntos c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos 35. El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados b. El código es un número par c. El código no debe tener ni 1 ni 4 d. El número 3 no aparece en el código e. El dígito 2 ó 3 aparece al menos una vez en el código 36. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias? José Luis Quintero 75 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 37. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. Determine las formas en las que puede hacerse si a. todos son elegibles b. un físico en particular ha de estar en esa comisión 38. En la síntesis de proteínas hay una secuencia de tres nucleótidos sobre el ADN que decide cuál es el aminoácido a incorporar. Existen cuatro tipos distintos de nucleótidos según la base, que puede ser A (adenina), G (guanina), C (citosina) y T (timina). ¿Cuántas secuencias distintas se podrán formar si se pueden repetir nucleótidos? 39. ¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas al menos dos cumplan años el mismo día? 40. En el juego del KINO TÁCHIRA, calcule la probabilidad porcentual de lograr al menos 12 aciertos en un cartón participante. 41. Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas. El examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que será oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el examen escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10 b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudiante se sabe c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito 42. En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos: a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero 43. Una caja contiene 10 bombillos, cuatro malos y seis buenos. Los bombillos se prueban de la siguiente manera: se extraen al azar y se prueban sin reemplazarlos. Este proceso se repite hasta localizar los cuatro en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal estado se identifique en la quinta prueba?, ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal estado se identifique en la décima prueba? 44. Una máquina produce un total de 12000 tornillos cada día, de los cuales el 3% en promedio es defectuoso. Encuentre la probabilidad de que de 600 tornillos tomados al azar, haya 12 defectuosos. José Luis Quintero 76 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 45. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Administración (A) 20 30 50 Operación de planta (O) Ventas (V) 60 100 140 50 200 150 Totales 180 220 400 Determine las siguientes probabilidades: a. P(A/M) b. P(M/A) c. P(H/V) 46. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? 47. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. 48. Una universidad está formada por tres facultades: La primera facultad tiene el 50% de estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo 60% del total en cada facultad. a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón? 49. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento donde se obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? 50. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son mujeres, respectivamente. Se escoge una sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella trabaje en la sucursal que tiene 12 empleados? José Luis Quintero 77 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 51. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo III. 52. Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) = 1 , con tal de que P(B) ≠ 0 . 53. Pruebe que si P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son independientes. 54. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son A c y Bc . 55. Si A1 ,..., An son eventos independientes, demuestre que n P Ai = 1 − i =1 ∪ 56. Sean A y B eventos n ∏ (1 − P(A )) . i i =1 independientes, tales que con probabilidad 1/6 ocurren simultáneamente, y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B). 57. Los eventos A1 , A2 ,..., An son eventos independientes y p(A j ) = p , j = 1,2,...,n . Halle el menor n para el cual n P Ai ≥ H , i =1 ∪ donde H es un número fijo. 58. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ? 59. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A) . Obtenga P(A), P(B) y P(C). 60. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?, ¿cuál es la probabilidad de que en el undécimo lanzamiento el resultado sea cruz? 61. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes. José Luis Quintero 78 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad a. Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes.) b. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? 62. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MSR de tamaño tres. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas? 63. En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos? 64. Se lanza un par de dados balanceados. Calcule la probabilidad de que la suma sea 7, dado que: a. La suma es impar b. La suma es mayor que 6 c. El resultado del primer dado fue impar d. El resultado del segundo dado fue par e. El resultado de al menos un dado fue impar f. Los dos dados tuvieron el mismo resultado g. Los dos dados tuvieron distintos resultados h. La suma de los dados fue 13 65. Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1 y se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esa pelota sea blanca? 66. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 1000 transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de ella se toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno? 67. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4 se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas? 68. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? 69. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en serie hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente que tiene probabilidad p (0 < p < 1) . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? José Luis Quintero 79 Probabilidad y Estadística 70. Sea S = {a,b, c, d, e} , con P(a) = Introducción a la Probabilidad 1 8 , P(b) = 1 16 , P(c) = 3 16 , P(d) = 5 16 , P(e) = 5 16 . Sean los eventos A = {a, d, e} y B = {c, d, e} . Calcule P(B / A) . 71. Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro? 72. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo I. 73. Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al culpable? 74. Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta? 75. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? 76. Una bolsa contiene cuatro metras blancas y dos negras, y una segunda bolsa contiene tres de cada color. Se escoge una bolsa al azar y luego se selecciona una metra, también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la metra sea blanca? 77. Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. José Luis Quintero 80 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X. 78. Tres cajas contienen dos monedas cada una. En la primera, C1 , ambas son de oro; en la segunda, C2 , ambas son de plata y en la tercera, C3 , una es de oro y otra es de plata. Se escoge una caja al azar. Si la moneda es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que venga de la caja que contiene dos monedas de oro? 79. Tres enfermedades distintas y excluyentes A, B y C producen el mismo conjunto de síntomas H. Un estudio clínico muestra que las probabilidades de contraer las enfermedades son 0.01, 0.005 y 0.02 respectivamente. Además, la probabilidad de que el paciente desarrolle los síntomas H para cada enfermedad son 0.90; 0.95 y 0.75 respectivamente. Si una persona enferma tiene los síntomas H, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad A? 80. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 81. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2 3 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja? 82. Se lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, justificando en cada caso su respuesta: a. En cada cara aparece el mismo número b. En dos caras aparece el mismo número y en la otra un número distinto c. En todas las caras aparecen números distintos 83. De entre 20 tanques de combustible fabricados para un transbordador especial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques: a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos? 84. Se arrojan simultáneamente 4 monedas. a. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener? b. ¿Cuántos casos hay en los que salgan 2 caras y 2 sellos? 85. Sean A y B eventos independientes tales que P(A) = 1 / 3 y P(A ∪ B) = 2 / 3 . Calcule P(B), P(A / B) y P(B / A) . José Luis Quintero 81 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 86. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque? 87. Una urna contiene 10 bolas negras y 5 bolas rojas. Se extraen 3 bolas al azar, con reposición. a. Calcule la probabilidad de que sean 2 negras y 1 roja b. Calcule la probabilidad de que sean las 3 negras c. Repita los dos cálculos anteriores, suponiendo que la extracción es sin reposición 88. Las probabilidades de que un marido y su esposa estén vivos durante 20 años a partir de ahora está dada por 0.8 y 0.9 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en 20 años estén vivos a. ambos b. ninguno c. al menos uno 89. Un estudiante no preparado responde a un parcial de 10 preguntas de verdadero-falso y adivina todas las respuestas. Determine la probabilidad de que el estudiante apruebe el parcial si se sabe que si se tienen más de 2 respuestas incorrectas se reprueba el examen. 90. Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa respectivamente. a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades V F b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B) V F respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de V F V F tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es X3 / (X + Y)3 d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a ( 12 )k −1 91. De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información: • A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes • De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos • A ∪ B ∪ C y D son mutuamente excluyentes • A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 < p < 1) • El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5 a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro eventos anteriores sea máxima. b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta José Luis Quintero 82 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad 92. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es a. F1 b. F2 c. F3 d. F4 93. Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la caja 2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas sin reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2. Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja. 94. Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel jugador que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro caso, ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de su tercer intento. 95. Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de 0.3 de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? 96. Se lanza un dado normal 10 veces y se desea calcular la probabilidad de que salga la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces. 97. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento? 98. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara por tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento? 99. En una caja se tienen 15 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2 negras? 100. En una caja se tienen 8 pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren 3 pelotas blancas, 2 negras y 1 roja? José Luis Quintero 83 Probabilidad y Estadística Introducción a la Probabilidad RESPUESTAS [2] a. 0.19 b. 1/6 c. A1 ∩ A2 ∩ A3 d. D4 [1] a. F b. V c. V d. V e. F [3] a. 0.63 b. 0.56 c. 0.81 d. 0 e. 0.37 f. 0.19 [6] a. [11] 9 20 2 3 3 8 , 3 40 , 21 40 b. 4 7 [12] a. , 3 , 5 5 7 b. 7 20 [7] 73.33% 5 8 [13] [8] a. 3 5 2 5 b. [14] a. 75% b. 18% [9] [15] [10] π(RL )2 5 18 2 5 [16] 0.7 [17] a. 0.35 b. 0.2 c. 0.45 [18] 600 [19] 720 [20] 125970 [21] a. 816 b. 1140 c. 150 d. 131 [22] 5040 [23] a. 720 b. 120 c. 1000 d. 220 [24] 2880 [25] a. 9000 b. 4536 c. 504 [26] 36510 [27] 0.0286 [28] 0.1429 [29] 0.64128 [30] 0.4072 [31] 0.25 [32] 0.28 1 [33] a. 0.2361 b. 0.2610 c. 0.7639 [34] a. 2310 b. 3 10 [35] a. r −1 [39] 1 − c. 1 10 [47] 0.41 2 5 e. 9 10 [36] 120 20 i b. 72 125 1 125 c. [63] 1 3 [67] 1 A 2 R+A [71] 5 −i , 10 [78] 2 3 [85] 1 2 [89] 7 128 1 4 , P(B) = [64] a. 1 3 (R A+ A−1−1 + A ) R+A 1 2 1 6 [68] 1 6 d. 4 7 , [82] a. [86] 0.8053 1 36 [99] 0.3222 [96] 1575 7558272 [50] 2 7 , f. 0 g. 1 7 [69] 5 12 c. 5 9 4 9 b. [91] a. 1 33 b. 2 5 12 91 b. 1 5 55 91 [51] 0.3125 h. 0 p(1 − p)i −1 1 − (1 − p)N [65] c. 1 14 [56] [62] R R+A 1 2 c. 45 , 91 b. No [97] ( 12 )k , k = 1, 2,... 24 91 1 3 P(B) = 1 3 [58] 8 [66] 0.8375 3 4 [75] 0.5952 [77] 3 [84] a. 16 b. 6 [88] a. 0.72 b. 0.02 c. 0.98 [92] c [98] , 2 , 3 . R R+ A−1−1 . R R+ A− 2− 2 [70] [83] a. 0.4912 b. 0.4211 8 27 1 2 (X + Y)Z + X (X + Y)(Z + W +1) , i = 1,...,N [74] 0.941 [38] 64 [46] P(A) = 1 3 c. [61] b. 0.99 [73] 0.905 b. 1 9 49 151 1 2 2 9 [87] a. [90] a. F b. V c. F d. F [95] 0.203 e. [41] a. [45] a. [60] ( 12 )10 , [72] 0.4375 [79] 0.313 , c. 2 5 4 15 [49] , P(C) = 1 2 7 b. i = 1,...,5 1 3 1 2 , c. [37] a. 350 b. 150 [40] 1.82% 2 105 [43] [48] a. 0.3 b. 0.4 [59] P(A) = , d. ∏ 1 − 365 , 2 ≤ r ≤ 365 i =1 24 125 [42] a. 2 5 b. 1 55 [93] 190 297 (k −1)(k − 2) 1 k (2) , 2 [94] 28 81 k = 3, 4,... [100] 0.182 José Luis Quintero 84 BIBLIOGRAFÍA GENERAL ROBABILIDADES (ITEL-30205) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva Distribución defrecuencias y medidas de localización [1] CANAVOS, GEORGE. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Mc Graw Hill (1995) [2] DEVORE, JAY. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Quinta edición. Thomson Learning (2001) [3] DÍAZ, RAFAEL. Introducción a la Probabilidad y a los Procesos Estocásticos en Ingeniería. Disponible en Módulo 7 Universidad Católica Andrés Bello (2011) [4] [5] HINES, WILLIAM y MONTGOMERY, DOUGLAS. Probabilidad y Estadística para Ingeniería. Tercera edición. CECSA (1999) LÓPEZ, RAFAEL. Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística con tópicos de Econometría. Quinta edición. Publicaciones UCAB (2009) [6] MARTÍNEZ, CIRO. Estadística y Muestreo. Ecoe Ediciones (2003) [7] MEYER, PAUL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addison-Wesley Iberoamericana (1986) [8] [9] MONTGOMERY, DOUGLAS y RUNGER, GEORGE. Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. Mc Graw Hill (1998) NIEVES, ANTONIO y DOMÍNGUEZ, FEDERICO. Probabilidad y Estadística para Ingeniería. Un enfoque moderno. Mc Graw Hill (2010) [10] ORTEGA, JOAQUIN y WSCHEBOR, MARIO. Introducción a la Probabilidad. Universidad Nacional Abierta (1993) [11] SPIEGEL, MURRAY; SCHILLER, JOHN y SRINIVASAN, ALU. Probabilidad y Estadística. Segunda edición. Serie Schaum (2001) [12] TRIOLA, MARIO. Probabilidad y Estadística. Novena edición. Pearson Addison Wesley (2004) [13] WACKERLY, DENNIS; MENDENHALL; WILLIAM y SCHEAFFER, RICHARD. Estadística Matemática con Aplicaciones. Séptima edición. Cengage Learning Editores (2010) [14] WALPOLE, RONALD; MYERS, RAYMOND; MYERS, SHARON y YE, KEYING. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Onceava edición. Pearson (2012) José Luis Quintero José Luis Quintero Ingeniero de Sistemas (I.U.P.F.A.N.) – Magister Scientiarum en Investigación de Operaciones (U.C.V.) – Doctor en Ciencias de la Computación: Área de interés: Cálculo Numérico y Optimización (U.C.V.). Postdoctor en Ciencias Gerenciales (U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando el Doctorado en Ingeniería: Área de interés: Estadística (U.S.B.). Investigador y profesor de pregrado y postgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela. Profesor de la Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones de la Universidad Católica Andrés Bello. Introducción a la Probabilidad reúne en un solo material los puntos de interés de este primer tema para el curso de Probabilidades que forma parte del conjunto de asignaturas del programa de estudios de Ingeniería de Telecomunicaciones. Aspectos de interés como experimento aleatorio, teoría de conjuntos, técnicas de conteo, probabilidad condicional y experimentos notables forman parte del contenido del tema. Se resuelven y proponen problemas a distintos niveles que buscan ilustran con situaciones sencillas los aspectos teóricos desarrollados en el tema. Determinados gráficos están generados con el programa MATLAB. El presente material se encuentra disponible para descargar de forma gratuita del sitio web http://www.joseluisquintero.com/