La potencia de las TIC para el cálculo simbólico

Junio 2009, pp. 55-61
La potencia de las TIC para el cálculo
simbólico
D
esde esta sección MatemásTIC intentamos en cada
número dar a conocer alguna herramienta informática relacionada con las matemáticas a la que poder sacarle partido en
el aula. Dada la apuesta que desde distintas comunidades
autónomas se ha hecho o se está haciendo por el software
libre, las herramientas que damos a conocer son para este tipo
de sistemas, existiendo en algunos casos la réplica de la
misma aplicación para sistemas propietarios.
En nuestro propósito de, por un lado, dar a conocer estas aplicaciones, y por otro, intentar que las mismas incidan de forma
directa en el proceso de enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en el aula, debemos tener en cuenta que la utilización de
estas herramientas debe ir acompañada de un cambio de
metodología en la que los alumnos sean partícipes del propio
proyecto.
Para que pueda servirnos de reflexión y como curiosidad, os
aconsejamos que visualicéis el vídeo que se encuentra en la
siguiente dirección del portal Youtube:
Imagen 1: Las TIC sin metodología
http://www.youtube.com/watch?v=IJY-NIhdw_4
En la imagen 1 observamos un fotograma del mencionado
vídeo.
Mariano Real Pérez
CEP de Sevilla
matemastic@revistasuma.es
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MatemásTIC
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De nada nos servirá todo el equipamiento de que podamos
disponer en nuestras aulas y el conocimiento de múltiples
aplicaciones que podamos utilizar en nuestra materia si no
incidimos en un cambio de metodología. Sirvan estas líneas
para invitar a la reflexión sobre las aportaciones que un uso
adecuado de las TIC pueden reportar a la labor que desarrollamos diariamente. Más aún pensando en la sociedad tecnológica en la que nosotros, los docentes, hemos entrado pero
en la que nuestros alumnos han nacido.
Con el fin de facilitar esta tarea, comenzamos en este número
el recorrido por una aplicación de software libre con la que
realizar cálculo simbólico. Una aplicación que se podría utilizar a partir de cuarto de ESO, incluyendo este curso como un
nivel ideal para la introducción de la misma, siendo los cursos
del bachillerato y universitarios en los que más partido se le
puede sacar. El recorrido por la misma lo vamos a realizar en
tres entregas siendo este número de Suma la primera de ellas.
El software que vamos a tratar se llama Maxima.
Una vez hecha esta pequeña invitación a la reflexión y entrando de lleno en el trabajo que nos ocupa, hemos pensado para
esta vez, analizar un software que, aunque no es tan atractivo,
visualmente hablando, sí lo es por el potencial que el mismo
nos ofrece. Un software que podríamos denominar generalista y que podemos localizar tanto para sistemas libres como
propietarios.
Maxima es una evolución de
Macsyma, el que fuera innovador
sistema de álgebra computacional
desarrollado a finales de 1960 en
el instituto tecnológico de
Massachusetts (MIT)
De entre las aplicaciones generalistas o de cálculo simbólico
podemos localizar en el mercado algunas como Derive o
Mapple a las que nada tienen que envidiar la que aquí presentamos en este número.
Dado lo extensa que es y la gran cantidad de herramientas que
tiene, sería imposible hacer un recorrido completo por la
misma, por lo que hemos decidido hacer este recorrido en
tres pasos diferentes, siendo el de este número de SUMA el
primero de ellos.
Cálculo simbólico I: Comenzando con Maxima
A medida que los alumnos van avanzando en el sistema educativo se le exige un mayor razonamiento y nivel de abstracción. En matemáticas esto se traduce en la resolución de ejercicios matemáticos en los que el nivel de simbolismo es creciente o en la generalización de problemas ya resueltos con el
consiguiente aumento de las variables que intervienen en el
original. En otras ocasiones, la resolución de determinados
problemas conlleva la realización de múltiples y repetitivas
operaciones con gran cantidad de variables que, lejos de profundizar y agilizar la resolución del mismo, propicia el alejamiento del objetivo final y del razonamiento inicial.
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Maxima es una evolución de Macsyma (MAC’s SYmbolic
MAnipulation System, donde MAC, Machine Aided
Cognition, era el nombre del Laboratory for Computer
Science del MIT durante la fase inicial del proyecto
Macsyma), el que fuera innovador sistema de álgebra computacional desarrollado a finales de 1960 en el instituto tecnológico de Massachusetts (MIT). Mapple y Matemática son software que también está basado en el que fuera revolucionario
sistema Macsyma.
Maxima es un Sistema de Computación Algebraica (CAS), es
decir, un programa informático que nos permite realizar
manipulaciones algebraicas como, por ejemplo, operar con
números en forma exacta, manejar expresiones con variables,
factorizar enteros o polinomios, resolver ecuaciones de forma
exacta, calcular derivadas y primitivas, operar con matrices y
calcular determinantes que contienen parámetros, etc.
También permite el empleo de enteros de longitud arbitraria
y realizar cálculos aproximados con un número arbitrario de
dígitos.
William Schelter fue quien mantuvo Maxima desde 1982
hasta su muerte en 2001. En 1998 obtuvo permiso para liberar el código fuente bajo la licencia pública general (GPL) de
GNU, cosa que influyó definitivamente sobre este software
para conseguir la espectacular evolución que presenta en la
actualidad. Esto mismo ha influido para que este software se
pueda compilar para cualquier sistema, no sólo sistemas
libres como Linux, sino además para los sistemas propietarios. En un principio, los paquetes del sistema se encuentran
en el repositorio de cada una de las distribuciones Linux. Pero
estos mismos paquetes se pueden localizar en la web del proyecto Maxima (http://maxima.sourceforge.net) para todos
los demás sistemas, incluido el propio Linux. Es fácil también
encontrar en Internet otros sitios que ofrezcan Maxima para
los sistemas propietarios. Entre esos sitios podemos destacar
la web de CdLibre
www.cdlibre.org/consultar/catalogo/Matematicas_Calculo-simbolico.html
Como venimos haciendo en los distintos números de esta sección, el recorrido por la aplicación lo vamos a realizar sobre
Linux.
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Podemos decir que el sistema de álgebra computacional
Maxima es un motor de cálculo simbólico escrito en lenguaje Lisp publicado bajo licencia GNU GPL como hemos mencionado anteriormente. Maxima cuenta con un amplio conjunto de funciones para hacer manipulación simbólica de
polinomios, matrices, funciones racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D, manejo de números de
coma flotante muy grandes, expansión en series de potencias
y de Fourier, entre otras funcionalidades.
Maxima funciona en modo consola, sin embargo vamos a ver
que en su evolución también ha ido mejorando su aspecto
gráfico conservando su potencia.
Una vez que hemos instalado en nuestro equipo Maxima
mediante apt-get o bien utilizando la aplicación gráfica
Synaptic (Linux) debemos ejecutarlo mediante consola, tecleando únicamente maxima.
Si realizamos lo anterior, nos aparecerá la información sobre
la versión de Maxima que estamos utilizando. Al final de esta
información encontramos el símbolo:
(%i1)
Observamos el siguiente texto que se nos muestra en la consola una vez que ejecutamos Maxima:
Maxima 5.13.0 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function
bug_report()
provides bug reporting information.
(%i1)
En el caso anterior nos dice que la versión que estamos utilizando es la 5.13.0, aunque en los enlaces que propusimos
anteriormente encontraréis versiones posteriores.
De forma general en la aplicación, debemos conocer que (%ik)
pide que introduzcamos (i=input) la expresión numérica k y
de forma análoga (%oj) nos indica que la expresión resultante
(o=output) numérica j es la que se muestra. Para familiarizarnos con este funcionamiento vamos a realizar operaciones
sencillas con números y expresiones. En la Imagen 2 podemos
observar varias operaciones que hemos realizado con
Maxima, tanto con números como con expresiones algebraicas. La forma que tenemos de indicarle a la aplicación que
hemos acabado de introducir una determinada operación o
expresión es escribir punto y coma (;) y pulsar enter.
Es importante tener presente que debemos indicar todas las
operaciones a la hora de escribir las distintas expresiones
Imagen 2: Operaciones realizadas con Maxima
algebraicas, esto es, la falta de un símbolo de operación no es
interpretada por la aplicación como un producto, indicándonos que hemos cometido un error. En la expresión tercera que
hemos introducido en la Imagen 2 observamos que entre el
número 2 y la variable x, y entre el número 4 y la variable x no
hemos introducido ninguna operación. Como observamos en
la Imagen 2, para introducir el exponente debemos hacerlo
utilizando el símbolo ^ antes de colocar el número o expresión que servirá de exponente.
Si observamos la Imagen 2 podemos distinguir que hemos
seguido los siguientes pasos:
1. Hemos introducido una expresión numérica en (%i1) detrás
de la que hemos tecleado punto y coma (;) y nos ha aparecido resuelta en (%o1).
2. Hemos introducido otra expresión numérica que nos ha
aparecido resuelta en (%o2).
3. Hemos introducido una expresión algebraica en (%i3) pero
con errores ya que no hemos indicado la operación existente entre el número 2 y la variable x. Tras colocar el
punto y coma correspondiente y pulsar enter, el sistema
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nos informa del primero de los errores que detecta que
hemos cometido. Al tener errores no nos proporciona la
correspondiente salida (%o3) y vuelve a solicitarnos que
introduzcamos nuevamente (%i3).
4. Hemos vuelto a introducir la expresión algebraica anterior,
pero esta vez sin errores, lo que nos a proporcionado la
correspondiente salida (%o3): 3 (4 x + 6) (5 y + 2 x)
5. Hemos introducido la expresión algebraica (%i4), proporcionándonos la correspondiente salida (%o4).
Las correspondientes notaciones que van apareciendo a lo
largo de la aplicación van acumulando los valores o expresiones que nos indican. Este hecho lo podemos observar en
la entrada (%i5), en el que le indicamos que multiplique
(%i1) y (%i2), proporcionándonos la salida (%o5) que es el
resultado de realizar la anterior operación.
6.- En las siguiente entradas que aparecen en la imagen hemos
realizado operaciones con las distintas entradas (%ik) o
salidas (%oj) que habíamos utilizado anteriormente.
La aplicación funciona a base de órdenes y operaciones, marcando la finalización de cada una de ellas un punto y coma (;).
Una vez que está funcionando la aplicación, si deseamos salir
de ella debemos teclear la orden quit() seguida del punto y
coma correspondiente.
La potencialidad de Maxima radica en la gran cantidad de
comandos que tiene implementados y que pueden servirnos
para resolver operaciones matemáticas que nos supondrían
invertir gran cantidad de esfuerzo en realizarlas. Además,
Maxima posee gran cantidad de información de cómo utilizar
cada uno de los comandos que tiene implementados. Para
obtener información sobre uno de los comandos basta con
teclear describe(comando) seguido de punto y coma. Podemos
probar, por ejemplo con:
describe(factor);
Si lo hacemos obtenemos la información que puedes observar
en la Imagen 3.
En esta imagen observamos toda la información que la aplicación nos muestra sobre el comando factor. Esta información
viene acompañada además de una gran cantidad de ejemplos.
Ahora vamos a realizar algunas de las operaciones con
Maxima para observar el comportamiento que tiene la aplicación y el potencial que nos proporciona. Dado que sería
imposible, por el espacio de que disponemos, realizar un
recorrido por todos los comandos que tiene implementados la
aplicación, utilizaremos algunos de estos comandos obser-
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Imagen 3: Información sobre el comando factor
vando el comportamiento que tienen y la potencialidad que
nos ofrecen. En los ejemplos anteriores hemos observado la
forma de escribir distintas operaciones:
+ Para la suma. Ejemplo: 23 + 4
– Para la resta. Ejemplo: x – 5
* Para el producto. Ejemplo: 3*x + 7
/ Para la división. Ejemplo: (2*x + 9)/(x – 3)
^ Para la potencia. Ejemplo: 3*x^2 – 7*x + 8
La potencia también se puede escribir como **.
Ejemplo: 2*x**2 – 7*x + 8
sqrt Para la raíz cuadrada. Ejemplo: sqrt(x^3 + 7)
Además, Maxima ya tiene implementada algunas constantes
que nos pueden resultar muy útiles como:
%PI es el número π.
%e es el número e.
%i indica el complejo puro.
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En la Imagen 4 hemos utilizado las anteriores operaciones
entre expresiones algebraicas y constantes, observando en la
salida correspondiente la operación realizada o la expresión
algebraica resultante.
hora de afrontar la resolución de un problema e incluso realizar operaciones de cálculo simbólico compuestos a través de
una única expresión.
Dado que sería imposible recoger ejemplos para todos los
comandos que posee Maxima, hemos recogido algunos solamente que muestren la guinda de este pastel. Así, en la
Imagen 5 podemos observar algunos de esos ejemplos.
Imagen 4: Operaciones entre expresiones algebraicas y constantes
Como venimos indicando, Maxima es una herramienta muy
potente y muy versátil para utilizarla en el aula de matemáticas, por lo que podemos intuir que, dado el funcionamiento
que hemos contemplado a lo largo del texto anterior, la aplicación dispone de una gran cantidad de comandos que pueden dar respuesta a los distintos cálculos simbólicos que nos
podemos plantear, disponiendo además de una serie de parámetros con los que poder configurar o que sirven de complemento a muchos de esos comandos. Así, Maxima sirve como
herramienta para resolver ejercicios relacionados con operadores, expresiones, simplificación, gráficos, números y funciones de punto flotante, contextos, polinomios, constantes,
logaritmos, trigonometría, funciones especiales, polinomios
ortogonales, límites, diferenciación, integración, ecuaciones,
ecuaciones diferenciales, cálculo numérico, estadística,
tablas, matrices y álgebra lineal, espacios afines, tensores,
ctensores, series, teoría de números, simetrías, grupos...
Maxima posee además un entorno de programación con funciones lógicas que nos permite realizar múltiples acciones a la
Imagen 5: Algunos comandos con Maxima
En la imagen 5 observamos algunos comandos de Maxima
que hemos utilizado para efectuar cálculos simbólicos.
Analicemos las distintas operaciones que se recogen en esta
imagen:
a) Para comenzar hemos definido t como la potencia quinta
de la expresión (r + v), pero desarrollada. Para definirla, en
lugar del símbolo igual hemos utilizado los dos puntos que
es la sintaxis correspondiente para asignarle a una variable
una expresión o un valor constante. Y para indicar que
debe efectuar la operación hemos utilizado el comando
expand, colocando al final el punto y coma (;) para finalizar
el comando:
t:expand((r + v)^5);
Como resultado hemos obtenido la salida (%o1)
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b) Nos planteamos ahora calcular la derivada de la expresión
obtenida en el paso anterior, respecto a la variable v. Dado
que la expresión anterior se llama t utilizaremos el siguiente comando:
diff(t,v);
Con esta acción obtenemos la salida (%o2). Debemos tener
en cuenta que también podríamos haber escrito el comando de la siguiente forma:
diff(%o1,v);
Aquí le indicamos que resuelva el sistema anterior en el
que las variables son x e y.
g) Con Maxima también podemos resolver ecuaciones no
lineales. Para ello, vamos a calcular primero un polinomio
con raíces enteras. En este caso volvemos a utilizar el
comando expand que ya utilizamos en el apartado a).
Vamos a calcular un polinomio cuyas raíces sean 3, –2 y 4.
Para esto utilizaremos el siguiente comando
expand((x – 3)*(x + 2)*(x – 4));
ya que la expresión que pretendemos derivar es la obtenida como salida (%o1).
c) Posteriormente hemos realizado la factorización de la
expresión obtenida en la salida (%o2). Para ello utilizamos
el siguiente comando:
factor(%o2);
Obteniendo la salida (%o3).
Este comando ha dado como salida la (%o7)
h) Ahora nos planteamos calcular las raíces del polinomio
anterior. Para ello vamos a resolver la ecuación, con variable x, que se obtiene al igualar el polinomio anterior a cero.
El comando que utilizaremos será:
solve(%o7=0,x);
d) En el siguiente paso calculamos el coseno del número π.
Para ello utilizamos
cos(%pi);
La salida que hemos obtenido en este caso es (%o4) que nos
indica que la operación tienen como resultado –1
e) Para calcular la integral indefinida de una función utilizamos el comando integrate. En este caso vamos a realizar la
integral, respecto a la variable m de la función:
r
1 + m3
Para hacer esto utilizaremos el comando
Observamos que nos proporciona las raíces del polinomio
en la salida (%o8).
Aunque hemos calculado las raíces de un polinomio del
que previamente conocíamos las raíces y sabíamos que
eran números enteros, con este comando podemos calcular las raíces de cualquier polinomio. El comando nos proporciona todas las raíces, incluso las complejas.
i) Por último, en la imagen 5 hemos realizado los pasos necesarios para resolver un sistema de ecuaciones no lineales.
El sistema de ecuaciones que nos hemos propuesto resolver es el siguiente:
⎧ x2 + 3 x + y 2 = 4
⎨
⎩ 2 x + 2 xy = 3
integrate(r/(1 + m^3),m);
También podríamos haber realizado la operación en dos
pasos. Escribiendo primero la función, asignándole un
nombre, por ejemplo h. Posteriormente habríamos realizado la integral con el comando
Para resolverlo hemos definido cada una de las ecuaciones
que compone el sistema no lineal. A la primera ecuación la
hemos denominado equ1 utilizando el siguiente comando:
equ1: x^2 + 3*x + y^2 = 4;
integrate(h,m);
f ) Con Maxima también podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para hacer esto utilizaremos la orden linsolve. Por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones
⎧ 2x + 4 y = 7
⎨
⎩2 x + by = 13
Esto nos ha proporcionado la salida (%o9). Posteriormente
hemos denominado equ2 a la segunda ecuación utilizando
el comando:
equ2: 3*x – 2*x*y = 3;
Este comando nos ha proporcionado la salida (%o10).
Ahora ya estamos en disposición de resolver el sistema de
ecuaciones. Volvemos a utilizar el mismo comando que en
expresiones anteriores:
solve([equ1,equ2]);
utilizaremos el comando
linsolve([3*x + 4*y = 7, 2*x + b*y = 13], [x,y]);
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Podríamos haber utilizado un comando más directo que
recogiera los tres pasos anteriores en un único paso. El
comando que deberíamos haber escrito en este caso sería:
solve([x^2 + 3*x + y^2 = 4,3*x – 2*x*y = 3]);
Otra forma de resolverlo hubiese sido con el comando
Para dar solución a este problema, paralelamente al desarrollo de Maxima se fue trabajando sobre un entorno gráfico que
facilitara el uso de de este software. El primero de estos pasos
se denomina Xmaxima, que es una implementación de
Maxima basada en TCL/TK que puede ejecutarse en entornos Unix, Linux y sistemas propietarios y que está bajo licencia GNU-GPL.
Posteriormente, el trabajo sobre el entorno gráfico de
Maxima evolucionó hasta el actual Wxmaxima.
solve([%o9,%o10]);
Hagamos de la forma que lo hagamos, el comando nos proporciona como salida las cuatro soluciones posibles que
tiene el sistema de ecuaciones.
Hasta aquí hemos recogido una pequeña muestra de los
comandos con los que cuenta está aplicación y la forma de
utilizarlos. Pero como venimos insistiendo a lo largo de todo
el texto, Maxima es una completísima y potente aplicación
para el cálculo simbólico, por lo que cuenta con numerosos
comandos que podemos utilizar. En la siguiente dirección
podemos obtener un manual de la misma:
http://maxima.sourceforg.net/docs/manual/es/maxima.pdf
Wxmaxima es el entorno gráfico basado en wxwidgets.
Wxmaxima se debe instalar después de tener instalado en nuestro equipo Maxima, aunque en versiones más recientes, como
la 5.17 de Maxima, las dos aplicaciones se instalan a la vez.
El funcionamiento de Wxmaxima y el potencial de este nuevo
entorno será objeto de esta sección en el siguiente número de
SUMA.
Con este recorrido hemos podido entrever la gran potencialidad que nos ofrece esta aplicación. Un software cuya introducción es recomendable comenzar a realizarla en 4º de ESO
y que es muy útil en bachillerato y en niveles universitarios.
El anterior manual ocupa 4.95Mb y tiene una extensión de 878
páginas, lo que nos puede dar una idea del potencial que se
esconde detrás de Maxima, un software que nos ofrece además, la posibilidad de programar nuestros propios comandos.
El potencial y robustez de Maxima ha ido creciendo con la
evolución de sus versiones, pero este potencial se veía mermado por lo complicado de su utilización ya que se necesitaban conocer numerosos comandos para poder sacarle partido
a la misma. Tal como hemos podido comprobar, Maxima no
tiene nada que ver en lo que a gráficos se refiere, con aplicaciones que se utilizan actualmente como las que hemos analizado en otras ocasiones en esta sección.
MatemásTIC
Sobre este mismo tema ver SUMA 60, pp. 7-20 [N. de la R.]
FICHA EDUCATIVO - TÉCNICA
Nombre
Maxima
Sistema
Aunque es una aplicación propia de Linux y para cada distribución cuenta con el archivo de instalación
en su repositorio, también encontramos las versiones correspondientes para Windows y para Mac.
Descarga
Repositorio de la distribución de Linux correspondiente o http://maxima.sourceforge.net
Licencia
GPL
Contenido
Cálculo simbólico.
Nivel
Multinivelar: 4º ESO, Bachillerato y Universidad.
Metodología
Aplicación para utilizar a partir de 4º de ESO. Los alumnos utilizarán individualmente la aplicación
como herramienta de ayuda para la resolución de problemas y tareas matemáticas
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