TecnólogoMecánico

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PRÁCTICO 3
MATEMÁTICA II
Ejercicio 1.
Hallar la ecuación del plano π sabiendo que:
Bettina Neira - Pepe Diaz Tecnólogo Mecánico - Tecnólogo en Cartografía.
fí
a
1. contiene a la recta de intersección de los planos π1 : 3x − 2y + z − 3 = 0 y π2 : x − 2z = 0, y es perpendicular al plano
ra
2. pasa por el punto A = (2, −1, 1), es perpendicular al plano π1 : 2x+3y−z+5 = 0 y es paralelo a la recta r :
rt
Hallar las ecuaciones de la recta r sabiendo que:
a
Ejercicio 2.
1. pasa por el punto A = (1, 0, 1), y es coplanar y perpendicular a la recta s :
-C
x = 2z + 3
y=z
−→
π
con el eje Ox . (Hay dos soluciones posibles).
6
o
−→
4. pasa por el punto A = (1, 1, 1) y es paralelo al eje Oy y forma un ángulo de
g
3. pasa por el punto A = (2, 2, 2) y es perpendicular a los planos π1 :-x + y − z = 1 y π2 : 2x + y + z = 0
x=z+1
y =z+1
2. pasa por el punto A = (2, 1, −1), está contenida en el plano π : x + 2y + 3z = 1 y es perpendicular a la recta s :
ic
o
x − 2z + 3 = 0
y−z−4=0
ó
lo
g
o
M
ec
á
n

 x = −1 + 6λ
y = −3 − 2λ
3. pasa por el punto A = (−1, 2, −3) , y se cruza perpendicularmente con la recta s :

z = 2 − 3λ

 x = 1 + 3λ
y = −1 + 2λ
y se intersecta con la recta s0 :

z = 3 − 5λ


 x = −1 + 3λ
 x = 2 + 2λ
0
y = −3 − 2λ y s :
y = −1 + 3λ
4. pasa por el punto A = (−4, −5, 3), y se intersecta con las rectas s :


z =2−λ
z = 1 − 5λ

 x=2+λ
→
y = 3λ
5. pasa por el punto A = (2, 1, 0), y se intersecta con las rectas s :
y determina ángulos igules con los ejes −
ox

z=λ
→
y−
oy
n
Ejercicio 3. Hallar dos rectas por el punto A = (1, −1, −1), contenidas respectivamente en los planos
π1 : 3x + 2y + z = 0 y π2 : x + y + z + 1 = 0, y que sean perpendiculares a la intersección de dichos planos
T
ec
Matemática II π3 : x − 2y + z + 5 = 0
Ejercicio 4.
Hallar la normal común a r y r0
1. r pasa por los puntos A = (1, 0, 0) y B = (2, 4, 1) y r0 pasa por los puntos A0 = (1, 1, 1) y B 0 = (1, 3, 2)
2. r :
2x + 4y − 2z + 6 = 0
x − y + 3z = 0
r0 :
x = 2z − 7
y = 4z + 3
2
Sea r la recta que pasa por el punto A = (1, −1, 2) y es paralela a los planos x + y + z = 0 y 4x + y + 2z = 0 y
s la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano 2x + 3y − z = 5.
Ejercicio 5.
1. Hallar las distancia entre r y s
2. Hallar la recta n normal común entre r y s
3. Hallar los puntos P = r ∩ n y Q = s ∩ n, y vericar el resultado de la parte 1.
1. Hallar el punto simétrico del punto A = (−2, 3, 0) respecto del punto B = (1, −1, 2).
2. Hallar el punto simétrico del punto A = (3, −4, 7) respecto del plano π : 2x − 3y + z − 11 = 0.
x−y+1=0
2x − z − 1 = 0
Se consideran los planos π1 : x − y + z = 0 y π2 : x + y − z = 2
g
1. Hallar la recta r que pasa por el punto A = (1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados.
2. Hallar los puntos que equidistan de A = (1, 2, 3) y B = (2, 1, 0) y pertenecen a la recta intersección de los planos
Bettina Neira - Pepe Diaz ra
Ejercicio 7.
rt
o
Ejercicio 8. Se consideran los planos π1 : 3x − y + z − 4 = 0, π2 : x − 2y + z − 1 = 0 π3 : x + z − 4 = 0.Hallar la ecuación de
la recta que pasa por el punto A = (3, 1, −1), es paralela al plano π1 y corta a la recta intersección de los planos π2 y π3 dados.
ic
o
-C
a

 x=7+λ
y = 2λ
Ejercicio 9.
1. Hallar la proyección ortogonal de la recta r :
sobre el plano π : 2x − 3y + z = 1

z = 1 + 4λ

 x = 1 + 2λ
y=λ
2. Hallar la recta r0 simétrica de la recta r :
respecto del plano π : x − y + z + 1 = 0.

z=2
1. Sean P = (3, 1, 5) y Q = (−1, 7, 3). Por el punto medio del segmento P Q trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C . Calcular el área del triángulo
ABC .
ec
á
n
Ejercicio 10.
M
2. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta r :
3x + 2y + 2z = 0
x − 2y + 2z = 0
y otro lado sobre la recta s :
2y − z = 7
.
x + 2y = 5
Calcular el área del cuadrado
3. Lospuntos A = (0, 1, 0) y B = (−1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo, y el tercer vértice C pertenece a la recta
. La recta que contiene a A y a C es perpendicular a la recta r. Calcular el área del triángulo ABC .
o
x=4
z=1
g
r:
lo
4. .Se consideran los puntos A = (1, 0, 2) y B = (1, 2, −1) y C en la recta de ecuación r :
ó
área del triángulo ABC sabiendo tiene un ángulo recto en B.
x − 3z − 1 = 0
. Calcular el
y − 2z = 0
n
1. Hallar los planos π1 y π2 paralelos al plano π : 2x − 2y − z = 3 sabiendo que d (π, π1 ) = d (π, π2 ) = 5
2. Hallar lugar geométrico de los puntos equidistantes de A = (1, −4, 2) y B = (7, 1, −5)
3. Hallar lugar geométrico de los puntos equidistantes de los planos π1 : 2x − y + z = 1 y π2 : x + y − z = −2
4. Dados los puntos A = (2, 1, 3), B = (4, −1, 1) y el plano π : 2x − y + 2z − 3 = 0, hallar la recta r contenida en π y, tal que
todo punto de r es equidistante de los puntos A y B
Ejercicio 11.
T
ec
Matemática II 3. Hallar el punto simétrico del punto A = (1, 2, 3) respecto de la recta r :
fí
a
Ejercicio 6.