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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Para una mirada sobre el origen y desarrollo histórico de los números complejos leer el siguiente documento
páginas 8 -13
CANTIDADES IMAGINARIAS
Definición: Las cantidades imaginarias son las raíces de índice par de las cantidades negativas. Ejemplo
Unidad imaginaria: La cantidad
se le denomina ¨cantidad imaginaria¨, según la notación de Gauss, la
unidad imaginaria se representa por la letra ¨i¨. Por lo tanto, i =
, y por definición:
i2 = -1.
Ejemplo:
Potencias de la unidad imaginaria
1) i1 = i
5) i5 = i4*i = i
2) i2 = -1
6) i6 = i4*i2 = -1
3) i3 = i2*i = -i
7) i7 = i4*i3 = -i
4) i4 = i2*i2 = 1
8) i8 = i4* i4 = 1
Se observa que los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repite en periodos de 4 en 4 y estos
valores son i, -1, -i, 1.
Transformación de la potencia im, donde m es un entero positivo
Suponiendo que se desea calcular im , donde m > 4:
1. Se divide m entre 4, de donde se tiene: m = 4q + r
2. im = i4q + r = i4q*ir = (i4)q*ir = ir
Por tanto, im = ir
donde r = 0, 1 , 2, 3
Ejemplo
Calcular 5i28 , 4i327
28 = 4*7 + 0, entonces q = 4, r = 0, i28 = i0 = 1, por lo tanto 5i28 = 5*1 = 5
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327 = 4*81 + 3, r = 3, i3 = -i, por lo tanto, 4i327 = 4*(-i) = -4i
Ejercicios
Calcular:
1.
2.
3.
4.
NÚMEROS COMPLEJOS
Definición: Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Si z = a + bi es
un número complejo donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Complejo real: Aquel cuya parte imaginaria es nula.
Complejo puro: Aquel cuya parte real es nula.
Complejo nulo: Aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria es nula.
Complejos iguales: Son dos complejos que tienen igual sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.
Complejos conjugados: Son dos complejos que tienen igual su partes reales e iguales pero de signo
contrario sus partes imaginarias. Por ejemplo:
z1 = a + bi
z2 = a – bi
Son dos complejos conjugados.
Complejos opuestos: Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias
pero de signos contrarios.
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De donde: r
REPRESENTACIÓN
COMPLEJO
GRÁFICA
DE
UN
1. Representación cartesiana
(I)
Cálculo del argumento o ángulo α
En el triángulo rectángulo de la figura
Por lo tanto,
(II)
Apoyados en la figura, la forma polar de
z = a + bi, será:
Se realiza en un sistema de ejes rectangulares o
cartesianos en donde el eje horizontal sirve para
representar los números reales y el eje vertical
para representar las cantidades imaginarias. Al
plano formado por los ejes real e imaginario se le
llama Plano de Gauus.
2. Representación polar o trigonométrica
a + bi = rcos(α) + ri*sen(α)
a + bi = r (cos(α) + isen(α))
Ejercicio: Expresar en forma polar el complejo:
8 + 6i
Solución
Se sabe que 8 + 6i = r(cos(α) + isen(α))
Luego 8 + 6i = 10(cos(37º) + isen(37º))
Para representar un complejo de esta manera es
necesario conocer el ¨radio vector¨, conocido con
el nombre de ¨módulo¨ y el ángulo que forma éste
con la parte positiva del eje horizontal.
Cálculo del módulo: Aplicando el Teorema de
Pitágoras en el triángulo rectángulo de la figura se
tiene:
OPERACIONES CON COMPLEJOS
Suma de complejos
Para sumar dos o más complejos se sumas las
partes reales y las partes imaginarias
separadamente, así los números
r 2 = a 2 + b2
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z1 = a + bi
z2 = c – di
z3 = z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplicación de complejos
El producto de números complejos puede ser: otro
complejo, un imaginario puro o un número real.
Para realizar el producto se consideran a los
complejos como binomios.
z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
En su forma polar
= (ac –bd) + (ad + bc)i
En su forma polar
z1z2 = r1(cos α1 + isen α1) r2(cos α2 + isen α2)
= r1r2(cos α1cos α2 - sen α1sen α2) +
i(sen α1cos α2 + cos α1sen α2)
= r1r2((cos (α1 + α2) + i(sen(α1+ α2)))
Propiedades del producto
1. El modulo del producto es igual al
producto de los módulos de los factores
2. El argumento del producto es igual a la
suma de los argumentos de los factores
División de complejos
El cociente de dos complejos, puede ser otro
complejo, un imaginario puro o un número real.
Para dividir dos complejos, se expresa el cociente
en forma de quebrado y se racionaliza el
denominador, multiplicando ambos miembros de
la fracción por la conjugada del denominador.
Propiedades del cociente
1. El módulo del cociente es igual al cociente
de los módulos del dividendo y el divisor
2. El argumento del cociente es igual a la
diferencia entre los argumentos del
dividendo y el divisor
Potencia de un complejo
La potencia de un complejo puede ser, otro
complejo, un número real o un número imaginario
puro. Para efectuar la operación se aplica el
desarrollo del binomio de Newton. Para potencias
elevadas es conveniente potenciar en forma polar.
Hallar
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2. Calcular ¨a¨ sabiendo que
es un
imaginario puro
3. Halle el modulo del complejo
Propiedades de la potencia
1. El módulo de la potencia, es la potencia
del módulo de la base.
2. El argumento de la potencia, es el
argumento de la base multiplicado por el
exponente.
Raíz de un complejo
La raíz de un complejo es otro complejo puro o
real, se opera con la forma polar
Donde k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Propiedades de la raíz
1. El módulo de la raíz es la raíz del módulo
del radicando
2. El argumento de la raíz, es el argumento
del radicando incrementado en 2k ,
dividido entre el índice
Taller
1. Efectuar
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FÓRMULA DE EULER
- i
|z| = 2
Donde
, representa un número
=
complejo en el círculo unitario de ángulo .
-
450
Ángulo
complementario
Para una demostración de ésta relación se
recomienda visitar el siguiente enlace
La fórmula de Euler permite usar una notación
más corta para expresar los números complejos.
z = 2(
) forma polar
Forma de Euler
Si z = |z|(
), entonces
z = |z|
A partir de la anterior fórmula podemos definir
algunas operaciones:
2. Halle
Si
Para k = 0
Si n > 0 es un número entero,
Para k = 1
Con k = 0, 1, 2, . . ., n – 1
Ejemplos
1. Expresar en su forma exponencial o de
Euler
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SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES Y MATRICES
Este capítulo lo trabajaremos con el libro guía
Álgebra Lineal. Stanley I. Grossman S.
Sexta Edición
3.
Exponente Cero.
Toda cantidad diferente de cero, con
exponente cero, es igual a la unidad.
POTENCIACION
Def: Es la operación que consiste en repetir un
número llamado base tantas veces como factor,
como lo índica otro llamado exponente; al
resultado de esta operación se le llama potencia.
Potencia = (base)exponente
Ejemplo:
27 = 2*2*2*2*2*2*2 = 128
55 = 5*5*5*5*5 = 3125
En general
an = a*a*a*a*a*…*a
¨n¨ factores
LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
1. Multiplicación de potencias de bases
iguales.
Se escribe la misma base, y como
exponente se escribe la suma de los
exponentes.
4. Exponente negativo.
Toda cantidad diferente de cero elevada a
un exponente negativo es igual a una
fracción cuyo numerador es 1 y cuyo
denominador es igual a la misma
expresión pero con exponente hecho
positivo.
Ejemplo.
5. Potencia de un producto.
Se eleva cada factor a dicha potencia
Ejemplo.
6. Potencia de un cociente.
Se eleva tanto el numerador como el
denominador a dicha potencia.
Ejemplo
Ejemplo.
2. División de potencias de bases iguales
Se escribe la misma base, y como
exponente se escribe la resta de los
exponentes.
Ejemplo
7. Potencia negativa de un cociente.
Se invierte el cociente y la potencia se
transforma en positiva y se procede como
el caso anterior.
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Ejemplo.
Ejemplo.
11. Raíz de un producto.
Se extrae la raíz a cada factor.
8. Potencia de potencia.
Se escribe la misma base y se eleva a un
exponente igual al producto de los
exponentes.
Ejemplo.
Observación:
Ejemplo.
12. Raíz de un cociente.
Se extrae tanto la raíz de numerador
como la del denominador.
9. Raíz de una potencia.
Se escribe la misma base y como
exponente, la división del exponente de la
potencia entre el índice del radical.
Ejemplos.
Ejemplo.
13. Introducción de un factor en un radical.
Se multiplica el exponente del factor por
el índice del radical y se introduce como
factor en la cantidad subradical.
Ejemplo.
Observación:
Ejercicios:
Calcular el valor de:
10. Exponente fraccionario.
Toda cantidad elevada a un exponente
fraccionario es igual a una raíz cuyo índice
es el denominador del exponente
fraccionario y cuya cantidad subradical es
la misma cantidad elevada a un
exponente igual al numerador del
exponente fraccionario.
1.
2.
3.
4.
5.
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6.
7.
8. Resolver
9. Resolver
10. Resolver
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