GUÍA DE REPASO GRADO DECIMO Hallar el valor de todas las

GUÍA DE REPASO GRADO DECIMO
Hallar el valor de todas las funciones trigonométricas de
1.
a) sen 
1
2 2
, cos 
3
3
c) cos 
3
, cot  3
2
 , dados los valores de dos de ellas:
b) cos 
d)
2
21
, tan  
5
2
tan   2 , cot  
1
2
Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones
a) El lado Terminal de un ángulo de 420º en posición normal se ubica en el cuarto
cuadrante.
b) El signo de sen 120º es igual al signo de tan 450º.
CONTEXTUALIZACION
La trigonometría siempre ha estado vinculada a la solución de problemas prácticos en áreas
como la física, la topografía y la navegación. Estos problemas comúnmente se plantean en
términos de un triángulo rectángulo.
Resolver un triángulo rectángulo consiste en encontrar las medidas de sus seis elementos: tres
lados y tres ángulos.
En la solución de un triángulo rectángulo se debe considerar lo siguiente:



La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º.
El teorema de Pitágoras.
La definición de las funciones trigonométricas para ángulos agudos en el triángulo
rectángulo.
2.
Presta atención a los ejemplos presentados por tu maestro y luego desarrolla las
actividades propuestas.
3.
Solucionar los siguientes triángulos rectángulos, teniendo en cuenta los siguientes datos:
a) Ángulo 62º, cateto opuesto 24 cm
c) cateto 8 cm, hipotenusa 12 cm.
4.
b) catetos 6 cm y 8 cm.
d) ángulo 62º, hipotenusa 4 cm
Resuelve los siguientes problemas:
a)
Desde un punto situado a 18 metros del pie de un árbol se observa el extremo
superior del árbol con un ángulo de elevación de 62º, ¿Cuál es la altura del árbol?
b)
Para alcanzar la cima de un muro de 6 metros de altura se utiliza una escalera de 10
metros. Si la escalera se extiende 2 metros mas allá del muro, determina la
inclinación respecto a la horizontal.
c)
Desde un faro situado 70 metros sobre el nivel del mar se observa un bote en un
ángulo de depresión de 20º 30’, ¿A que distancia esta el bote del punto situado a
nivel del agua y directamente bajo el punto de observación?
d)
Encuentra el ángulo de elevación del sol si un niño de 120 centímetros de altura
produce una sombra 80 centímetros de longitud en el suelo.
e)
El cordel de una cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 54º20`con la
horizontal. Encuentra la altura aproximada de la cometa, con respecto al suelo, si el
cordón mide 85 metros y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,50 metros del
suelo.
5.
Consulta como se define la Ley del Seno y la Ley del Coseno. Analiza los ejemplos del
libro y luego desarrolla las siguientes actividades.
6.
Soluciona y construye los siguientes triángulos.
a)
A=30º
B=50º
c=6 cm
b)
m=12 cm
N=47º
P=59º
c)
M=69º
s=10cmi= 10cm
d)
c=4 cm
a=2 cm B= 45º
e)
a= 2 cm
b= 2 cm
f)
a=10 cm
b=7 cm c= 9 cm
C=50º
22. Resuelve los siguientes problemas:
a)
En el bosque se encuentra ubicado un guardabosque en el punto A, a una distancia
de 15 Km se localiza el punto B donde se encuentra otro guardabosque. Los dos
guardabosques observan un incendio en el punto C. El guardabosques que esta
ubicado en el punto A registra el ángulo CAB con una medida de 40º y el
guardabosques que esta en B registra el ángulo CBA igual a 80,5º ¿A que distancia
esta el incendio de cada uno de los guardabosques?
b)
El viento ha ocasionado que un árbol cuya longitud es de tres metros, se incline 10º
hacia el oriente desde la vertical. Si el sol, en el occidente, esta a 32º arriba de la
horizontal, ¿Qué longitud tiene la sombra del árbol?
c)
Una habitación de forma rectangular tiene un techo de dos aguas. Los ángulos que
forman el techo con respecto a la base de la pared de 8 metros son de 65º y 32 º
respectivamente. Encontrar la longitud de cada uno de los lados del techo.
d)
Un rodadero para niños tiene 5 metros de longitud y una inclinación de 36º con la
horizontal. La escalera para subir al rodadero mide 3,2 metros de largo. ¿ Que
inclinación tiene la escalera con respecto a la horizontal?
e)
Dos barcos salen del mismo punto con direcciones que forman entre si un ángulo de
45º. Si uno de los barcos lleva una velocidad de 18 km/h y el otro barco lleva una
velocidad de 20 km/h .¿Cuanto tiempo ha transcurrido cuando la distancia que separa
a los dos barcos es de 60 km?
f)
Un alambre de 60 pulgadas de largo es doblado en forma de triángulo. Si dos de los
lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la
medida del ángulo que forman?
Ecuaciones trigonométricas con identidades fundamentales.
En muchos casos, la solución de las ecuaciones trigonométricas puede simplificarse utilizando
las identidades trigonométricas fundamentales, como se muestra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2 tan x  sec x  2
2
2
Solución: Utilizando la identidad fundamental sec x  tan x  1 , la ecuación se transforma
en:
2

2

2 tan2 x  tan2 x  1  2 , entonces
3 tan2 x  1 , Luego
1
3
tan x  

3
3
Como la tangente es positiva en el primer cuadrante y en el tercer cuadrante, entonces, la
ecuación tan x 

 7
3
tiene por soluciones x 
y x   
.
6
6
6
3
Además, la tangente es negativa en el segundo cuadrante y en el cuarto cuadrante, por lo
tanto, las soluciones de la ecuación
x  2 


6
tan x  
11
6
2 tan2 x  sec2 x  2 en el intervalo
 5 7
11
,
,
y
.
6 6 6
6
Así, la ecuación
valores
1.
3
3
x  
son:
0,2 
2
B. sen   1  0
 1
2
G. sen x 
2
3
0
4
2
E. 2 cos
0,2  .
C. 2sen   sen  1  0
2
D. cot x  3  0
2
  cos  0
H. 2 cos x  1  0
F.
tan2   3 tan  0
I. 2sen x  3 cos x  0
2
2
2. Demuestra las identidades trigonométricas siguientes:
A. tan θ sen θ  sen θ secθ
2
C. csc
E.
G.
 - cot2  1
2
1  tan2
 sec
sec
cos2 - 1
1
cot2
6
B. cos   co 2 cot2  cot 
2

5
6
y
tiene por soluciones los
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo
A. tan

s
D.
1  sen 
 1  csc 
sen 
F.
(1 cot2 )sen2  1
H.
(csc2 -1)sen 2  cos2
2
I. sec   tan  
K.
cos 
1 - sen 
cot2  cos2  (cot cos )2
2
M. cos
  sen2  2 cos2   1
J.
sec2   tan2 
 sen
csc
2
L. cos
  sen2  1  2sen2
N. (1 csc ) (1- sen  )  cot  cos