Dos lecciones acerca de la compactificación en orientifolios José Antonio López Rodríguez Centro de Física Teórica y Computacional Escuela de Física, UCV Contenido Lección I 1. Introducción 2. Teorías de cuerdas en la hoja de mundo 3. Invarianza modular 4. Orbifolios. Contenido Lección II 1. Cuerdas abiertas y Dp-branas 2. Orientifolios 3. Cancelación de tadpoles Lección I Introducción sugra D=11 IIA IIB S T S M S I T Het Het SO(32) E8 × E8 sugra D=11 IIA IIB S T S M S I T Het Het SO(32) E8 × E8 La acción bosónica La acción bosónica • • En el caso de las teorías con grados de libertad bosónicos, la acción es la de un conjunto de campos escalares. Invariancia bajo difeomorfismos y transformaciones conformes. 1 S=− 4πα! ! √ d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν 2 La acción bosónica 1 S=− 4πα! ! √ d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν 2 La acción bosónica Área fundamental. Métrica en la superficie de mundo. Métrica del espacio-tiempo. Coordenada de la cuerda. 1 S=− 4πα! ! √ d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν 2 La acción bosónica Área fundamental. Métrica en la superficie de mundo. Métrica del espacio-tiempo. Coordenada de la cuerda. 1 S=− 4πα! Al reemplazar la solución clásica para la métrica, la acción se reduce al área de mundo de la cuerda. ! √ d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν 2 1 S=− 4πα! ! d2 σ " −ĥ ĥab = Gµν ∂a X µ ∂b X ν Soluciones Clásicas • Distintas condiciones de borde en los extremos de la cuerda, dan distintos tipos de teorías. Soluciones Clásicas • Distintas condiciones de borde en los extremos de la cuerda, dan distintos tipos de teorías. Cerradas Abiertas Soluciones Clásicas Cerradas Abiertas Estados • Hamiltoniano y Mometum en la hoja de mundo. • Estados etiquetados por el momentum espacio temporal y una configuración de osciladores. |p, N ! Invariancia modular Expansión perturbativa Función de partición total = expansión en superficies de Riemann + + contribución a un lazo + ... Función de partición del toro τ = τ1 + iτ2 1 Fijación de calibre: los toros equivalentes tienen el mismo parámetro modular Invariancia modular Grupo modular del toro Región F0 Compactificación en Orbifolios. Definición • Orbifolio: Espacio cociente de una variedad módulo un grupo discreto. G = {θm }; M/G m = 0...N − 1 Orbifolios Acción libre: El resultado es una variedad suave. Ejemplo: El toro Orbifolios Acción libre: El resultado es una variedad suave. Ejemplo: El toro Orbifolios Acción libre: El resultado es una variedad suave. Ejemplo: El toro Orbifolios • En caso de que la acción deje puntos fijos. Aparecen singularidades. • Ejemplo: el cono Orbifolios • En caso de que la acción deje puntos fijos. Aparecen singularidades. • Ejemplo: el cono Orbifolios rotación en π • En caso de que la acción deje puntos fijos. Aparecen singularidades. • Ejemplo: el cono Orbifolios rotación en π • En caso de que la acción deje puntos fijos. Aparecen singularidades. • Ejemplo: el cono Un orbifolio compacto. (2,2) Combinamos la simetría de traslación en una red con rotaciones cristalográficas. e2 e1 (3,-1) Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. v v Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Un orbifolio compacto. Cuerdas cerradas, asas y puntos fijos singularidad cuerda cerrada en el bulk cuerda cerrada en punto fijo Cuerda enrollada Estados torcidos Estados donde la cuerda se cierra gracias a la acción del grupo Función de partición en un orbifolio Proyección orbifolio Invariancia modular en un orbifolio T S 1 ! N n,m Z(n, m) ⇒ ⇒ = Z(n, m) T −→ Z(n, m) 1 ! N n,m 1 Z(n, n + m) S −→ θ Z(m, −n) m θ 1 n Orbifolios tipo II Cuerda IIB Cuerdas cerradas supersimétricas en D=10. Estados (Left, Right): r, p. r=(r0,r1,r2,r3) . Sectores: NS (ri entero), R (ri semientero). GSO: suma ri impar. -> NS+ y R+. Espectro (L x R): NS+NS+ +NS+R+ +R+NS+ +R+R+. Invariante bajo paridad en la hoja de mundo. Orbifolios tipo II • • Bosones (NSNS y RR) Fermiones (NSR y RNS) Orbifolios tipo II • Sectores en la función de partición α = 0, sector NS 1 α = , 2 sector R Orbifolios tipo II • Orbifolios toroidales Zn y productos. • • Acción cristalográfica Invariancia modular Orbifolios tipo II • Función de partición orbifolio tipo B Proyección orbifolio IIB r y p son los pesos de la representación Pesos de las representaciones • • • r: modos derechos. • ri semienteros: R. • Igual para pi . p: modos izquierdos. ri enteros: NS. GSO usual Pesos no masivos Espectro Orbifolio • Hallar todos los pesos posibles r y p para un valor de la masa. • Construir todos los productos de representaciones posibles. • Retener los estados permitidos por la proyección orbifolio (calcular la degeneración D(n) ). Lección II Cuerdas abiertas Cuerdas abiertas supersimétricas en D=10. (Tipo I) Estados (Right): r=(r0,r1,r2,r3) . Sectores: NS (ri entero), R (ri semientero). GSO: suma ri impar. -> NS+ y R+. Dp-branas: Orientifolios Definición de orientifolio • Generalización del orbifold: incluye paridad. • Interés: simetría IIB. Teorías no orientadas (algunas propiedades) • Nuevas trazas con inserción del operador de paridad. • Superficies de Riemann no orientadas. • Un lazo: botella de Klein: KB. Función de partición Botella de Klein θ m t θ 2m Amplitud nivel árbol cuerda 2m-cerrada t crosscap -> crosscap Amplitud a un lazo cuerda cerrada Tadpoles Tadpoles y cargas RR • KB: interacción de Oplanos mediada por cuerdas 2m-cerradas. • KB (RR): cuadrado de la carga RR • KB (NSNS): cuadrado de la tensión •Tadpoles de masa cero son divergentes. • Algunos RR deben cancelarse Distribución de los tadpoles KB Puntos fijos de 2m y de m x x x Origen x pf de 2m no de m Cargas RR y cancelación de tadpoles < < > > > ∞ > Espacio compacto: las lineas de campo deben comenzar (+) y terminar (-) en alguna carga. > < Espacio no compacto: las lineas de campo pueden escapar al infinito. < X X < Cuerdas abiertas y Dp-branas 9-p direcciones D p+1 direcciones N Representación de las D-branas direcciones perpendiculares 2 x 4 x x3 6 x x5 direcciones paralelas 8 x x7 x9 Un ejemplo (Sistema 95) D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9 direcciones NN direcciones ND Función de partición Contribución a un lazo en integral funcional: cilindro y Möbius. brana p brana q p p Función de partición (Cilindro) Función de partición (Cilindro) θm brana p brana q t Amplitud a un lazo cuerda abierta pq t Amplitud nivel árbol cuerda m-cerrada p -> q proyección orbifold θ sector torcido m Transformación de los sectores NSNS+ NSNS- RR NSNS+ NSNS- RR A un lazo Árbol signo relativo de carga en la proy GSO a un lazo Distribución de los tadpoles cilindro puntos fijos de m Origen Función de partición (Möbius) Función de partición (Cinta de Möbius) θ p θ m p 2m p t Amplitud nivel árbol cuerda 2m-cerrada p-> crosscap t Amplitud a un lazo cuerda abierta pp Transformación de los sectores NSNS+ NSNS- RR NSNS+ NSNS- RR A un lazo Árbol signo relativo de carga en la realización de paridad Cancelación de Tadpoles La condición de cancelación de tadpoles implica la cancelación de la carga RR Espectro orientifold Sector cerrado: proyección orbifold + invariancia de paridad. Sector abierto: invariancia de los factores de Chan-Paton bajo la realización del grupo orientifold. Sector abierto • Realización del grupo orientifolio. Cuatro modelos. Modelos • 3 modelos en D=6, O9´s y O5´s. (0,0,1/6,5/6). (0,0,1/2,1/6). (0,0,1/8,3/8). • 1 modelo en D=4, O9´s y O3´s. (0,1/2,1/2,1/2). Fijamos Buscamos soluciones sin antibranas Distribuimos las D5 en el origen y en un punto X, no-fijo. Distribución de las D5-branas D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9 Punto X direcciones NN direcciones ND Distribuimos las D5 en el origen y en un punto X, no-fijo. Distribución de las D5-branas D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9 Punto X direcciones NN direcciones ND J=1 y 2 son idénticos! D5-branas en pf de m=1 D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9 a b direcciones NN a b direcciones ND D5-branas en pf de m=2 fuera del origen D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9 a b direcciones NN b a direcciones ND Importante! Ω = (−1) 2 Fs Condición no trivial en los factores de CP en el sector pp Grupo de calibre 99 y 33 Fermiones 99 y 33 Fermiones 39 Gracias