Sucesiones y límites

Calculo Diferencial
Material de apoyo
Mg. Heberth Delgado
Sucesiones y límite de Sucesiones
En la vida diaria se utilizan continuamente conjuntos ordenados de números como el de los números naturales, el de
los números pares u otros conjuntos numéricos en los que cada término se puede obtener del anterior mediante una
fórmula. Estas sucesiones numéricas tienen gran importancia práctica y por eso es tan interesante el estudio de sus
relaciones y sus propiedades.
Definición1: Se llama sucesión numérica a cualquier secuencia infinita y ordenada de números ({𝑎𝑗 } =
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , … ) tal que cualquier elemento de esta secuencia este únicamente determinado a partir de cierta
regla. (donde 𝑛 indica el lugar que ocupa el número 𝒔𝒏 en la lista)
Cada elemento de una sucesión se llama término, y se representa con una letra minúscula con un
subíndice𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , … (primer, segundo término, etc.). 𝑎𝑛 es el término n-ésimo o término general.
Definición 2: Una sucesión infinita de números reales es una función real cuyo dominio es el conjunto de todos los
enteros positivos y su codominio es el conjunto de los números Reales, y se denota:
ℝ
ℕ
𝑺: →
𝒏 𝒔𝒏
Por lo tanto, si 𝑎 es una sucesión, entonces a cada entero positivo 𝑛 corresponde un número real 𝒂𝒏 . Normalmente
nos referiremos a 𝒂𝒏 con el nombre de término 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 de una sucesión, pero no debe perderse de vista que
cada término lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa.
Se usa la notación {𝒂}∞
𝒏 o simplemente {𝒂𝒏 }
Formas de determinar una sucesión:
i.
A partir del término general o n-ésimo
ii.
A partir de una fórmula o ley derecurrencia
iii.
A partir de los primeros términos de la sucesión.
Ejemplo 1. Los ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando los primeros términos o una fórmula que
defina el término 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 como en los siguientes casos Son ejemplos de sucesiones:
1 ∞
1 1 1
2 3 4
es una sucesión de término general 𝑠𝑛 = { }
𝑛
1 1
es una sucesión de término general 𝑠𝑛 = {𝑛!}
a) 1, , , , ⋯
1
b) 2, −4, 6, −8, 10, −12, ⋯ es una sucesión de término general 𝑠𝑛 = −2(−1)𝑛 𝑛
1
1
c) 1, 2 , 6 , 24 , ⋯
(−1)𝑛 ∞
d) {𝑛(𝑛+1)}
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
e) {1 + (−1)𝑛 }1∞
f) {(−1)𝑛 }1∞
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
1
g) 𝑎𝑛 = {2𝑛 − 1}
𝑛
h) 𝑎𝑛 = {𝑛+1}
i)
𝑎𝑛 = 2𝑛−1
j) 𝑎𝑛 = 150 + (𝑛 − 1)150
k) Hallar los 5 primeros términos de la sucesión dada por: 𝑎1 = 2; 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1
l)
−1, 4, −9, 16, −25, …
m) 2, 6, 12, 20, 30, …
n)
1 1 1
1
1
, ,
,
,
,…
2 5 10 17 26
o) Definición. Sucesión de Fibonacci. Es la sucesión definida por: 𝑎𝑛 = {𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 }. 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, . ..es unaSucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se
obtienen sumando los dos anteriores.
1) A partir de los términos generales de las siguientes sucesiones numéricas, calcula sus tres primeros términos
𝑎1 , 𝑎2 𝑦 𝑎3 y el que ocupa el décimo lugar, 𝑎1𝑜 .
a) 𝑎𝑛 = {5 − 3𝑛}
b) 𝑎𝑛 = {𝑛2 − 4} c) 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 𝑛3
d) 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1
(𝑛2 −2)
e) 𝑎𝑛 = (2𝑛2
−1)
2) Dejamos caer una pelota desde una altura de 2 m y después de cada rebote, la altura se reduce a la mitad de
la anterior. Escribe la sucesión de las alturas alcanzadas, su término general, razona si crece o decrece y su
tendencia (límite)
Series
Una serie es la suma de los términos de una sucesión de números. Las series pueden ser finitas o infinitas
dependiendo de que el número de términos sea finito o infinito.
En una serie, la suma de los 𝑛 primeros términos se representa por 𝑆𝑛 . Así: 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 … + 𝑎𝑛
Ejemplo 2.
1
1
1
a) Dada la serie 1 + + + + ⋯ ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑆1 , 𝑆5 𝑦 𝑆6
2
4
8
b) La suma de los 𝑛 primeros términos de una serie viene dada por 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 hallar 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , y encontrar una
expresión para el término general de la sucesión 𝑎𝑛 .
Clases de sucesiones
Sucesiones Monótonas
∞
 Sea {𝒂𝒏 }∞
𝒏 es una sucesión real, se dice que {𝒂𝒏 }𝒏 es una Sucesión Creciente cuando la siguiente
proposición es verdadera: 𝒏 ≤ 𝒎 → 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒎 Es decir, cada término de la sucesión es menor o igual que
el término que le sigue.
∞
Ejemplo: Las sucesiones {𝒏𝟐 }𝟏 𝒚 {𝟐𝒏}∞
𝟏 son sucesiones crecientes

∞
Sea {𝒃𝒏 }∞
𝒏 es una sucesión real, se dice que {𝒃𝒏 }𝒏 es una Sucesión Decreciente cuando la siguiente
proposición es verdadera:
𝒏 ≤ 𝒎 → 𝒃𝒏 ≥ 𝒃𝒎 Es decir, cada término de la sucesión es mayor o igual que
el término que le sigue.
𝟏 ∞
Ejemplo: Las sucesiones {𝒏}

𝟏
𝒏+𝟏 ∞
𝒚 { 𝒏𝟐 }
Se dice que una sucesión
son sucesiones decrecientes
𝟏
{𝒂𝒏 }∞
𝒏 es
una Sucesión Monótona si es Creciente o Decreciente
Sucesiones Acotadas
 Una sucesión {𝒂𝒏 }∞
𝒏 se dice que es Acotada Superiormente si existe una constante 𝑴 tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 , para
todo 𝑛 ∈ 𝑁.
𝟏
Ejemplo: la sucesión 𝒂𝒏 = { } está acotada ya que todo término de la sucesión es menor que 2, es decir
𝒏
𝟏
{𝒏} < 2 para todo 𝒏 ∈ 𝑵.


Una sucesión {𝒃𝒏 }∞
𝒏 se dice que es Acotada Inferiormente si existe una constante 𝑲 tal que 𝒃𝒏 ≥ 𝑲 , para
todo 𝒏 ∈ 𝑵.
Se dice que la sucesión {𝒃𝒏 }∞
𝒏 es Acotada si es acotada superior e inferiormente, es decir que existe una
constante 𝑴𝟎 ≥ 𝟎 tal que |𝒂𝒏 | ≤ 𝑴𝟎 para todo 𝒏 ∈ 𝑵.
Ejemplo 1. Demuestra que la sucesión𝑎𝑛 =
2𝑛−1
𝑛+2
es creciente y está acotada superiormente por 𝑘 = 2.
Solución:
Creciente: Hay que ver que 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 > 0
Acotada: por 𝑘 = 2. Hay que ver que 𝑎𝑛 ≤ 2, para cualquier valor de n.
𝑛+3
Ejemplo 2. Demuestra que la sucesión𝑎𝑛 = 𝑛+1 es decreciente y está acotada inferiormente por 𝑘 = 1.
Valores Extremos
 Extremo Superior o SUPREMO es la menor de las cotas superiores. Si este extremo superior pertenece a la
sucesión se llama MÁXIMO.
Ejemplos:
a) {𝑎𝑛 } = −1, −1⁄2 , −1⁄3 , −1⁄4 , ⋯ cotas superiores: 0 → ∞; Extremo Superior: 0; Máximo: No
posee
b) {𝑏𝑛 } = 1, 1⁄2 , 1⁄3 , 1⁄4 , ⋯ cotas superiores: 1 → ∞; Extremo Superior: 1; Máximo: 1
𝑛
c) {𝑐𝑛 } = { } = 1⁄4 , 2⁄5 , 3⁄6 , 4⁄7 , ⋯cotas superiores: 1 → ∞; cotas inferiores: 0 → −∞

𝑛+3
Extremo Inferior o INFIMO es la mayor de las cotas inferiores. Si este extremo pertenece a la sucesión, se
denomina INFIMO.
Ejemplos:
a) {𝑎𝑛 } = 1, 1⁄2 , 1⁄3 , 1⁄4 , ⋯ cotas inferiores: 0 → ∞; Ínfimo: 0; Mínimo: No posee
b) {𝑏𝑛 } = {2𝑛 } = 2, 4, 8, 16, ⋯ cotas superiores: No posee; Cotas inferiores: 2 → −∞; Infimo:2 ;
Mínimo: 2
Propiedad de las sucesiones:
El carácter y el tipo de las sucesiones están relacionados con las siguientes propiedades:
 Toda sucesión monótona y acotada es convergente
 Toda sucesión monótona no acotada es divergente
 Toda sucesión convergente está acotada
El recíproco de la tercera propiedad No es cierto, pues una sucesión acotada puede ser NO convergente (por ejemplo:
1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .)
Convergencia de una sucesión
La característica más importante que se estudia en una sucesión es su comportamiento a largo plazo, es decir, la
tendencia de los términos de la sucesión hacia un valor límite. Esta posible propiedad se denomina convergencia.
Idea intuitiva del límite de una sucesión
En la sucesión {𝒂𝒏 } = 𝟏⁄𝒏, observamos que los términos se van acercando a cero.
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1, , , , , , , ⋯ ,
,
,
⋯,
,⋯
2 3 4 5 6 7
1000 10000
1000000
Consideremos que 0 es el límite de la sucesión porque:
 Los términos se aproximan a cero tanto como se quiera a medida que se avanza en la sucesión.
 La distancia a cero puede ser tan pequeña como queramos.
Vemos que el límite es 0, pero no hay ningún valor de la sucesión que coincida con el límite.
Definición: Limite de una sucesión
Sea {𝒂𝒏 } una sucesión.
 Decimos que 𝓵 ∈ ℝ es el límite de la sucesión 𝒂𝒏 si para todo 𝜺 > 0, existe un número natural 𝑁 tal que
| 𝒂𝒏 − 𝓵| < 𝜀 para todo 𝒏 ≥ 𝑵. En tal caso escribimos 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝓵 y decimos que 𝒂𝒏 es convergente y
𝒏→∞


converge a 𝓵 . Si la sucesión no es convergente, decimos que es Divergente.
Decimos que +∞ es el limite de la sucesión 𝒂𝒏 si para todo 𝑀 ∈ 𝑅 , existe un número natural N tal que
𝑎𝑛 ≥ 𝑁. En tal caso decimos que la sucesión diverge a +∞ y escribimos 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = +∞
𝒏→∞
Una sucesión de números reales 𝒂𝒏 tiene por límite el número real L ( también se dice que es una sucesión
convergente hacia L ) y se simboliza por 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝓵 , cuando dado un número real positivo 𝜺 > 0 por
𝒏→∞
pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los términos siguientes a él verifican que:
| 𝒂𝒏 − 𝓵| < 𝜀

Se dice que una sucesión 𝒂𝒏 tiene por límite 𝓵 si y sólo si para cualquiera número positivo 𝜺 > 0 que
tomemos, existe un término 𝒂𝒌 , a partir del cual todos los términos de 𝒂𝒏 , siguientes a 𝒂𝒌 cumplen que
| 𝒂𝒏 − 𝓵| < 𝜀.
Nota: recuerde que la desigualdad | 𝒂𝒏 − 𝓵| < 𝜀 es equivalente 𝓵 − 𝜺 < 𝑎𝒏 < 𝑙 + 𝜺

Se dice que una sucesión 𝒂𝒏 tiene por límite 𝓵 si y sólo si para cualquier entorno de 𝓵 que tomemos, por
pequeño que sea su radio 𝜺, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos
pertenecen a dicho entorno.
Ejemplo 1:
a) La sucesión {𝒂𝒏 } = 𝟏⁄𝒏 tiene por límite 0.
1
1
1
− 0 | < 𝜀 ; < 𝜀; 𝑘 >
𝑘
𝑘
𝜀
Ya que podemos determinar a partir de qué término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo
(ε), por pequeño que éste sea.
1
𝜀 = 0.1; 𝑘 =
; 𝑘 > 10
0.1
Como 𝑘 > 10 a partir del 𝑎11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
1
− 0 | < 0.1 ; 0.09090909090 < 0.1
|
11
|
 Determinar a partir de qué término la distancia a 0 es menor que 0.001
2𝑛−3
b) Decidir si la sucesión de término general 𝑎𝑛 = 𝑛+5 es convergente y, en caso afirmativo, hallar el
límite.
Solución
a10000 = 1,9997001; a30000 = 1,9995667;... Todo parece indicar que el límite de esta sucesión,
cuando n tiende a infinito, es 2.
Para probarlo, se hará uso de la definición, Se toma un 𝜀 cualquiera. Hay que ver a partir de qué n se cumple
|an - 2| < 𝜀
𝟑𝒏
c) Averiguar a partir de qué término de la sucesión 𝒂𝒏 = 𝒏+𝟏 todos los siguientes difieren de su limite 3
menor que 1⁄50.
(−𝟏)𝒏 ( 𝒏+𝟐 )
d) La sucesión de término general {𝒂𝒏 } =
tiene por limite 0. ¿A partir de qué término se verifica
𝟓𝒏𝟐
que todos los siguientes difieren del limite en menos de una milésima?
e) Demuestra que toda sucesión constante es convergente.
f) Un caso particular de sucesiones convergentes son las sucesiones llamadas sucesiones nulas, que son
aquellas cuyo limite es cero.
𝒌
𝒌
𝒌
Por ejemplo: Si K un número real cualquiera, son sucesiones nulas { 𝒏 } ; { 𝒏𝟐 } ; { 𝒏𝟑 } ; … pues fácilmente se
𝒌
𝒌
𝒌
puede demostrar que lim { 𝒏 } = lim { 𝒏𝟐 } = lim { 𝒏𝟑 } = 𝟎
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝒌
En general, si 𝑝(𝑛) es un polinomio en n , lim {
}=𝟎
𝒑(𝒏)
𝑛→∞
Ejercicios
Demostrar el límite de cada sucesión aplicando la definición y determinar a partir de qué término para un radio 𝜺
dado, los siguientes términos pertenecen al entorno 𝓵 − 𝜺 < 𝑎𝒏 < 𝑙 + 𝜺.
𝒏+𝟏
1. Comprueba que el límite de la sucesión de término general
es 1. ¿Desde qué término en adelante los
𝒏+𝟖
términos de la sucesión difieren de dos en menos de una milésima?
𝟐𝒏𝟐 +𝟓
2. Comprueba que la sucesión de término general 𝒏𝟐+𝟏 tiene limite 2. ¿Desde qué término en adelante los
términos de la sucesión difieren de dos en menos de una centésima?
𝟑𝒏+𝟐
3. 𝐥𝐢𝐦 𝟓𝒏+𝟒 = 0.6 ; 𝜀 = 0.0001
𝒏→∞
𝟐
4. 𝐥𝐢𝐦 𝒏𝟐+𝟏 = 𝟎 ;
𝜺 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏
5.
𝜺 = 𝟎. 𝟎𝟏
𝒏→∞
6.
7.
8.
𝟑𝒏−𝟖
𝟑
𝐥𝐢𝐦
=𝟒 ;
𝒏→∞ 𝟒𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
𝐥𝐢𝐦
=𝟏;
𝒏→∞ 𝒏−𝟐
𝟐𝒏𝟐 −𝟏
𝐥𝐢𝐦 (𝒏+𝟏 )(𝒏+𝟐 )
𝒏→∞
𝟐𝒏−𝟑
𝐥𝐢𝐦
=2
𝒏→∞ 𝒏+𝟓
𝒏
(−𝟏 ) (𝒏+𝟐)
9. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟓𝒏𝟐
𝜺 = 𝟎. 𝟎𝟏
=𝟐;
𝜺 = 𝟎. 𝟏
; 𝜀 = 0.0001
=𝟎;
𝜺 = 𝟎. 𝟏
Infinitésimos
Una sucesión es un infinitésimo si es convergente y tiene por límite cero. Son ejemplo de infinitésimo las siguientes
sucesiones:
 Para cualquier número real k , se puede comprobar que:
𝑘
𝑘
𝑘
lim = lim 2 = lim 3 = ⋯ = 0
𝑛→∞ 𝑛
𝑛→∞ 𝑛
𝑛→∞ 𝑛
Sucesiones Divergentes
 Definición: Sea {𝒂𝒏 }∞
𝒏 es una sucesión de números reales. Decimos que 𝒂𝒏 tiende a infinito o diverge a
infinito cuando 𝒏 tiende a infinito, si elegido un número real 𝑴 > 0 tan grande como se quiere, se puede
encontrar un número natural 𝑵 ∈ ℕ, con 𝑵 > 𝑀 , tal que 𝑎𝑛 ≥ 𝑀 ( 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 𝑁 ). En este caso
escribimos 𝑎𝑛 → ∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞.
En otras palabras, una sucesión de números reales {𝒂𝒏 }∞
𝒏 tiende a infinito, si dado un número real 𝑴 , por
grande que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los términos de la sucesión son mayores que él
Ejemplo: la sucesión {𝒂𝒏 }∞
𝒏 = 𝟐𝒏 + 𝟏 > 100000 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝒐 𝒔𝒊 𝒏 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎


Definición: Sea {𝒂𝒏 }∞
𝒏 es una sucesión de números reales. Decimos que 𝒂𝒏 se aproxima a menos infinito
cuando 𝒏 tiende a infinito si para cualquier número real 𝑴 existe un número natural 𝑵 ∈ ℕ, con 𝑵 > 𝑀 ,
tal que 𝑎𝑛 ≤ −𝑀 ( 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 𝑁 ). En este caso escribimos 𝑎𝑛 → −∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞.
Algunas veces decimos {𝒂𝒏 }∞
𝒏 diverge hacia menos infinito.
En otras palabras, una sucesión de números reales {𝒂𝒏 }∞
𝒏 tiende a menos infinito, si dado un número real 𝑴
, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los términos de la sucesión son menores
que él.
Definición: Las sucesiones que tienen por limite 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = +∞ o 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = −∞ se llaman sucesiones
𝒏→∞
𝒏→∞
divergentes
Ejemplo: las sucesiones (𝑛), (𝑛2 ), (𝑛3 ), ⋯ son sucesiones divergentes, pues
𝐥𝐢𝐦(𝒏) = 𝐥𝐢𝐦 (𝒏𝟐 ) = 𝐥𝐢𝐦 (𝒏𝟑 ) = ⋯ = + ∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞

Definición: Si una sucesión {𝒂𝒏 }∞
de números reales es divergente pero no diverge a ∞ ni a −∞ ,
𝒏
entonces decimos que {𝒂𝒏 }∞
es
Oscilante.
𝒏
Ejemplo:
 {(−1)𝑛 } es una sucesión oscilante
 {1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, ⋯ } es una sucesión oscilante

1 1
1
𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {1, − 2 , 3 , − 4 , ⋯ } 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜
Operaciones 𝒄𝒐𝒏 + ∞ 𝒚 − ∞
Sea 𝑛 un número real:
Suma y resta

𝑎 + (±∞) = ±∞


𝑎 − (±∞) = ∓∞
(+∞) + (+∞) = +∞

(−∞) + (−∞) = −∞
Producto
Cociente
𝑎. (±∞) = ±∞
si 𝑎 > 0 {(+∞). (±∞) = ±∞
(−∞). (±∞) = ∓∞
±∞
𝑎
𝑎 < 0 {𝑎 . (±∞) = ∓∞
Propiedades de los límites de sucesiones
Sean 𝒂𝒏 𝒚 𝒃𝒏 sucesiones convergentes con límites finitos
de límite se pueden demostrar las siguientes propiedades:
±∞
𝑎
𝑎>0 {
𝑎<0 {
= ∓∞
𝑎
±∞
𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝒂 𝒚
𝒏→∞
= ±∞
=0
𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏 = 𝒃. A partir de la definición
𝒏→∞

El límite del producto de un número real k por una sucesión es igual al producto del número por el límite de
la sucesión.
lim (𝑘 . 𝑎𝑛 ) = 𝑘. lim 𝑎𝑛 = 𝑘. 𝑎

El límite de la sucesión suma o resta es igual a la suma o resta de los límites.
lim (𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 ± lim 𝑏𝑛 = 𝑎 ± 𝑏
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞

El límite de la sucesión producto es igual al producto de los límites.
lim (𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 . lim 𝑏𝑛 = 𝑎. 𝑏

El límite de la sucesión cociente es igual al cociente de los límites, si el límite del denominador es diferente
de cero
lim 𝑎𝑛 𝑎
𝑎𝑛
lim ( ) = 𝑛→∞ = ,
𝑠𝑖 lim 𝑏𝑛 ≠ 0
𝑛→∞ 𝑏𝑛
𝑛→∞
lim 𝑏𝑛 𝑏
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Calculo de límite de sucesiones
Ejemplos: Halla el límite de las siguientes sucesiones
𝟐
𝟒𝒏𝟐 −𝟏
𝑎) 𝑛3 − 7
𝑏) − 𝑛2 + 3𝑛 + 10
𝑐) 𝟑 +
𝑑)
𝒏
𝟑𝒏𝟐
Otras propiedades para el cálculo de límites
1. Si una sucesión 𝒂𝒏 , cuyos términos son todos positivos, tiene límite 𝑎 ≠ 0, entonces
lim 𝐿𝑜𝑔 𝑎𝑛 = log 𝑎 .
𝑛→∞
2. Si 𝑝 es un número positivo y 𝒂𝒏 es una sucesión que tiene por límite 𝑎 , entonces
lim 𝑝𝑎𝑛 = 𝑝𝑎
𝑛→∞
3. Si 𝒂𝒏 es una sucesión de términos positivos que converge a un número 𝑎 también positivo, entonces,
para cualquier exponente s
lim (𝑎𝑛 )𝑠 = 𝑎 𝑠
𝑛→∞
4. Si 𝒂𝒏 es una sucesión de términos positivos convergente a un número 𝑎, mayor que cero, y 𝒃𝒏 es otra
sucesión convergente a 𝑏, entonces
lim (𝑎𝑛 )𝑏𝑛 = 𝑎𝑏
𝑛→∞
Ejemplos:
𝑎)
𝒏−𝟓
𝟑𝒏𝟓 −𝟐𝒏𝟐 +𝟑
𝐥𝐢𝐦𝒍𝒏 𝟓 𝟒
𝒏 +𝒏 −𝒏−𝟒
𝒏→∞
𝐧
𝑏) 𝐥𝐢𝐦𝟕 √𝟑
𝒏→∞
𝑐) 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟐𝐧𝟐 −𝟑𝐧+𝟏 𝟑𝒏+𝟕
(
)
𝐧𝟐
Ejercicios
Calcular los siguientes límites
𝑎) 𝐥𝐢𝐦(𝟓 + 𝐧)
𝒏→∞
𝑒) 𝐥𝐢𝐦(𝟕𝐧 )
𝒏→∞
𝟏
𝐧
𝑐) 𝐥𝐢𝐦(𝟓 − 𝐧𝟐 )
𝑏) 𝐥𝐢𝐦 (𝟑 − )
𝑓)
𝒏→∞
𝟏 𝒏
𝐥𝐢𝐦 (𝟕)
𝒏→∞
𝑑) 𝐥𝐢𝐦 (𝟔 +
𝒏→∞
𝑔) 𝐥𝐢𝐦[−𝟓𝐧𝟑 . (𝐧𝟐 − 𝟏𝟎𝟎)]
𝒏→∞
𝟏
𝐧𝟑
)
−𝟐
ℎ) 𝐥𝐢𝐦 ((𝟐𝐧𝟑 ))
𝒏→∞
𝒏→∞
Límites indeterminados
Hay casos en los que al efectuar operaciones con límites aparecen las llamadas expresiones indeterminadas
Por ejemplo, dadas las sucesiones de término general 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 𝑦 𝑏𝑛 = 5𝑛 con
𝑎
2𝑛+1
lim 𝑎𝑛 = lim 𝑏𝑛 = +∞ si tratamos de hallar el límite de la sucesión cociente 𝑏𝑛 = 5𝑛 debería tender, por tanto,
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛
∞
a una expresión de la forma ∞ que llamaremos expresión indeterminada.
Las expresiones indeterminadas que aparecen al efectuar operaciones con sucesiones son:
0
∞
 Racionales:
1) 0
2) ∞
3) 0. ∞

Exponenciales: 1) 1∞
2) ∞0
3) 00
Si al tratar de calcular el límite de una sucesión aparece un caso indeterminado, por lo que se hace necesario eliminar
la indeterminación.
Regla práctica:
Si el cálculo de límite de sucesiones en las que el término general es un cociente de polinomios en n:
1. El polinomio numerador y el polinomio denominador tienden a infinito, para qué desaparezca la
indeterminación, se divide el numerador y el denominador por la máxima potencia de n que aparezca en el
denominador.
2.
Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las
potencias de mayor grado.
3. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es ± ∞, dependiendo del signo del
coeficiente de mayor grado.
4. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0
Ejemplo1. Calcular el límite de:
1.
𝟐𝒏𝟒 +𝟓𝒏𝟑 −𝟑𝒏𝟐 +𝟏
𝒏→∞ −𝒏𝟒 +𝟐𝒏𝟑 −𝒏+𝟒
𝐥𝐢𝐦
2. Sean 𝒂𝒏 =
𝟐𝒏𝟐 −𝒏
𝒏𝟑 +𝟏
y 𝒃𝒏 =
𝟑𝒏𝟑 +𝟐
𝒏𝟐 −𝟓
. Calcula 𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 ), 𝐥𝐢𝐦 (𝒃𝒏 ), 𝒚 𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 . 𝒃𝒏 )
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
3. 𝐥𝐢𝐦 (√𝒏 + 𝟏 − √𝒏)
𝒏→∞
𝟐𝒏
4. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞ √𝒏𝟐 +𝟑𝒏−𝟐
5.
𝟑𝒏𝟐 −𝒏𝟑 +𝟓𝒏+𝟏
𝒏→∞ 𝟕𝒏𝟐 −𝒏+𝟒
6.
𝟐(𝒏−𝟓)(𝒏−𝟑)
𝒏→∞ 𝟑𝒏𝟐 +𝒏+𝟏𝟓𝟔
7.
𝟐𝒏𝟐 −𝟑𝒏+𝟕 𝒏−𝟑
𝐥𝐢𝐦 ( 𝟒𝒏𝟐−𝟑 )
𝒏→∞
8.
𝟑𝒏𝟐 −𝒏−𝟓 −𝟓𝒏𝟑 +𝟓
. 𝒏𝟑 +𝟓𝒏 )
𝒏−𝟕
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦
𝐥𝐢𝐦
−𝟑𝒏𝟓 +𝟑
𝐥𝐢𝐦 (
El número e
1 𝑛
En muchas aplicaciones de las matemáticas aparece la sucesión cuyo término general es 𝑎𝑛 = (1 + 𝑛)
Para evaluar el límite de esta sucesión, aplicamos la siguiente propiedad de límites:
 El límite de una sucesión de la forma (𝒂𝒏 )𝒃𝒏 es igual al límite de la base elevado al límite del exponente:
𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏
𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 )𝒃𝒏 = (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
1 𝑛
Aplicando esta propiedad a dicha sucesión se obtiene que 𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑛) = 1∞ que es una expresión indeterminada.
Hallemos algunos términos de la misma sucesión con la calculadora, y calculemos algunos términos de índice n
bastante grande: 𝑎100 = 2.704814; 𝑎1000 = 2.716924; 𝑎10000 = 2.718280 …
1 𝑛
𝟏 𝒏
La sucesión 𝑎𝑛 = (1 + 𝑛) es Convergente y su límite se le llama número 𝑒: 𝒆 = 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + 𝒏) el número Euler es
un número irracional y es igual 𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗𝟎𝟒 ….
Ejemplo: calculemos los siguientes límites:
1 2𝑛
𝑎) lim (1 + 𝑛)
𝑛→∞
2
1 𝑛
= [ lim (1 + 𝑛) ] = 𝑒 2
𝑛→∞
𝒏→∞
1 𝑛+3
1 𝑛
1 3
𝑏) lim (1 + )
= [ lim (1 + ) . lim (1 + ) ] = 𝑒. 13 = 𝑒
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛
𝑛
𝑛
Indeterminaciones del número e: Indeterminación 𝟏∞
 Si (𝑎𝑛 ) 𝑦 (𝑏𝑛 ) son sucesiones tales que 𝐿𝑖𝑚(𝑎𝑛 ) = 1 y 𝐿𝑖𝑚(𝑏𝑛 ) = ∞, entonces 𝐿𝑖𝑚(𝑎𝑛 )𝑏𝑛 = 1∞ . Se
puede demostrar que:
𝐋𝐢𝐦(𝒂𝒏 )𝒃𝒏 = 𝒆𝒍𝒊𝒎[𝒃𝒏 (𝒂𝒏 −𝟏)]
𝒏→∞
Ejemplo:
1 𝑛
Lim (1 +
) = 1∞ ,
𝑛→∞
𝑛+7
1
𝑛
1 𝑛
lim [𝑛(1+
−1)]
lim [
]
𝑛+7
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 lim (1 +
) = 𝑒 𝑛→∞
= 𝑒 𝑛→∞ 𝑛+7 = 𝑒 1 = 𝑒
𝑛→∞
𝑛+7