Ingenierı́a Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 07-1 Semana 3 Guı́a Problemas La presente guı́a le permitirá tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que debe ser capaz de resolver en una evaluación y el tiempo promedio que deberı́a demorar en resolverlos. En total deberı́a poder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones. Antes de comenzar, considere las siguientes definiciones preliminares, que necesitará para resolver los problemas. Preliminar 1: Se dice que dos rectas L y L′ son perpendiculares si sus pendientes satisfacen que mL · mL′ = −1. En el caso de segmentos, se considera la recta que contiene al segmento. Preliminar 2: La ecuación de la recta tangente por un punto P = (α, β) a una circunferencia de ecuación x2 + y 2 = r2 es: xα + yβ = r2 . P se llama punto de tangencia . P1. (15 min.) Dado el punto P de coordenadas (a, b) y la recta L de ecuación y = mx, determinar la ecuación de la recta que pasa por P y tal que el trazo que determinado por la intersección de ella con los ejes, queda dimidiado por L. P2. (15 min.) Un triángulo ABC isósceles (AC = BC) y rectángulo en C, varı́a de tal manera que su vértice A permanece fijo en el origen del sistema de coordenadas y su vértice B se mueve sobre la recta de ecuación x = a. Determinar la ecuación del lugar geométrico que recorre el punto C y reconocer la figura que describe. P3. (15 min.) Dados el punto P = (a, b) y la recta L : y = mx, se trazan P H perpendicular a OX y P K perpendicular a L. Si D es el punto medio de OP y M es el punto medio de HK probar que DM es perpendicular a HK y DK = DH. P4. (15 min.) Dos rectas variables L1 y L2 que pasan, respectivamente por dos puntos fijos A y B se cortan perpendicularmente en el punto P . Determinar el lugar geométrico de P . P5. (30 min.) Sean L1 : x + 2y + 4 = 0, L2 : x − y − 1 = 0, y L3 : −x + 3y − 3 = 0, tres rectas que definen el triángulo ABC. Determinar: a) Perı́metro del triángulo ABC. b) Area del triángulo ABC. c) La ecuación de la circunferencia circunscrita. 1 Semana 3 Guı́a Problemas P6. (30 min.) Se consideran tres puntos O, A, B situados sobre un recta y se contruyen dos semicircunferencias de diámetros OA y OB, respectivamente. Desde el punto medio M del trazo AB se levanta la perpendicular, cortando a la circunferencia mayor en R y luego se traza la tangente M P a la circunferencia menor, siendo P el punto de tangencia. Demuestre que O, P y R se encuentran sobre una misma recta. P7. (30 min.) La base de un triángulo está fija, siendo sus vértices A = (0, 0), B = (b, 0). El vértice C está sobre la recta y = c, b > 0 y c > 0. Determinar el lugar geométrico correspondiente a la intersección de las tres alturas. P8. (30 min.) Considere la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = 1. Una recta variable L que pasa por el origen, intersecta a la circunferencia en los puntos Q y S. Determinar, analı́ticamente, el lugar geométrico de la intersección de las tangentes a la circunferencia por los puntos P y Q. 2