libro la derivada - Universidad Michoacana de San Nicolás de
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i ii Morelia, Michoacán. México
iii Cubierta de CIE-CONALEP
Colaboración:
Coordinación de Innovación Educativa, CIE/QFB - UMSNH
Sistema Nacional de Educación a Distancia, SINED
Coordinadora: Silvia Ochoa Hernández
Eduardo Ochoa Hernández
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones
establecidas por la ley, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
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©2011 CONALEPMICH/CIE. México
Ediciones CONALEPMICH
Álvaro Obregón 144, Morelia.
http://www.conalepmich.edu.mx/
Registro: CALDER2011-A
Impreso en_____________
Impreso en México –Printed in México
iv Para los muchos
estudiantes de CONALEP que sueñan
mirando en la tecnología el espíritu de las matemáticas.
Hay formas y “formas” a la hora de promocionar y difundir los servicios y actividades de la biblioteca.
Estamos ante una sociedad donde prima lo audiovisual (fotografías, vídeos..) sobre lo textual (trípticos,
carteles…) y donde la biblioteca está muriendo por falta de educación.
v Así como la belleza de una gran obra de arte causa
impacto en nuestro cerebro, este también armoniza en
forma particular al comprender y descubrir el placer de
las profundidades matemáticas. Al conferirnos la
sensibilidad para penetrar en los significados de los
números.
Calvin C. Clawson. Misterios matemáticos
vi Prefacio
ix
Primera Parte
Análisis de funciones
1.1. Análisis de funciones
Introducción
Conceptos
Producto Cartesiano
Relaciones y Funciones
1.2. Gráfica de una función
1.3. Clasificación de funciones
1.4. Álgebra de funciones
1.5. Análisis de ecuaciones
1.6. Modelación
1.7. Problemario
1.8. Autoevaluación
1.9. Conclusión
1.10. Soluciones del problemario
1.11. Soluciones de autoevaluación
1
Referencias
96
10
12
30
59
70
78
86
87
88
94
Segunda Parte
Límites
2.1. Noción intuitiva de límite
2.2. Teorema de los límites
2.3. Límites determinados e indeterminados
2.4. Límites unilaterales
2.5. Continuidad de una función
2.6. Problemario
2.7. Autoevaluación
2.8. Conclusión
2.9. Soluciones del problemario
2.10. Soluciones de autoevaluación
1
15
16
33
39
47
52
53
54
61
Referencias
62
vii Tercera parte
La derivada
3.1. Determinación de razones de cambio
3.2. Cálculo de derivadas por fórmulas
3.3. Cálculo de máximos y mínimos
3.4. Aplicación de máximos y mínimos
3.5. Problemario
3.6. Autoevaluación
3.7. Conclusión
3.8. Solución de problemario
3.9. Solución de autoevaluación
1
10
43
53
58
62
64
65
68
Referencias
70
viii Hoy nos encontramos ante una encrucijada entre las herramientas
informáticas y un nuevo orden de redes sociales que presionan por
soluciones; podemos llegar por primera vez al nuevo tiempo, uno más
incierto y de carácter tecnológico de innovación constante. La educación es
parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si está a
la altura de su tiempo.
Este sencillo libro, expresa el intento de una institución y sus hombres por
hacer de él un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que
amenazan con evaporarse, para romper las paredes del aula a muchos más
ciudadanos y para democratizar la actividad de cátedra en páginas que
representan la actitud del espíritu CONALEP.
Con el apoyo del Sistema Nacional de Educación a Distancia (SINED) para
generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de
la Coordinación de Innovación Educativa/QFB de la Universidad
Michoacana y la clara meta del CONALEPMICH por ser una institución
que produce su propia visión de las profundidades de su programa
educativo medio superior. En una primera fase mayo –agosto de 2011,
forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura
de obras literarias que permitan apoyar las necesidades de conocimiento de
estudiantes, formar profesores como escribas de su cátedra. Si estas páginas
ayudan a convencer que la educación no es hacer más fácil algo, sino
fundamentalmente producir un cambio reflexivo en el desafío cognitivo
dentro del pensamiento científico técnico. Esto es prueba de que la
comunidad docente, autoridades y sindicato son capaces de sumar para un
futuro común.
Eduardo Ochoa H,2011.
ix Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacán Mtra. Graciela Carmina Andrade García Peláez Secretaria de Educación Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educación Media Superior y Superior Lic. Ana María Martínez Cabello Directora de Educación Media Superior Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep Mtro. Víctor Manuel Lagunas Ramírez Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educación en Michoacán Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General del Conalep Michoacán Ing. José Gilberto Dávalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH Dr. Salvador Jara Guerrero Rector de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED Ing. Eduardo Ochoa Hernández Coordinador de Innovación Educativa (CIE/QFB) x CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
i
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.1. Análisis de funciones
Introducción
A lo largo de esta unidad se hablará de uno de los conceptos pilares en el estudio de la
matemática: la función, la cual surge de la necesidad de relacionar cantidades
variables entre sí.
Los orígenes del concepto de función se remontan a ciertos escritos de astrónomos
babilonios. En la Edad Media el concepto de función se asocia con el de movimiento
siendo Nicolás de Oresme (1323-1392) quien representa en unos ejes coordenados el
cambio de velocidad respecto del tiempo. Posteriormente Galileo (1564-1642) estudió
el movimiento de manera cuantitativa y expresa sus resultados mediante leyes entre
magnitudes.1
Han sido diferentes los personajes matemáticos que gracias a sus investigaciones han
ido desarrollando el concepto de función. Entre los cuales podemos mencionar a René
Descartes (1596-1650), quien en 1637 utiliza la palabra función para señalar la
potencia entera de una variable. Isaac Newton (1642-1727) utilizó el término fluyente
para designar la relación entre variables. Leibniz (1646-1716) aplica el término función
para señalar cantidades que dependen de una variable. Los términos constante,
variable y parámetro fueron introducidos por él. Por otro lado, la notación actual que
designa a una función como f(x), se debe a Leonhard Euler (1707-1783). Finalmente
se puede mencionar al alemán Johann Dirichlet (1805-1859), a quien se le atribuye la
definición moderna de función como una regla de correspondencia entre dos
conjuntos.2
Las funciones pueden ser representadas mediante gráficas, así como llevar a cabo
operaciones entre ellas y ser utilizadas para describir situaciones o fenómenos que se
presentan a diario en nuestro entorno mediante la modelación matemática.
Para dar inicio al estudio de las funciones comenzaremos con la descripción de varios
términos introductorios y necesarios para conceptos que se verán más adelante.
1
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Conceptos
En la resolución de problemas matemáticos se emplean dos tipos de cantidades:
constantes y variables.3
Una variable, es una cantidad que durante el análisis de un problema puede adquirir
diferentes valores y generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z),
para ser representadas.
Una constante, es una cantidad que mantiene un valor fijo durante el análisis de un
problema. Podemos tener constantes numéricas o arbitrarias.
Una constante numérica llamada también absoluta, mantiene el mismo valor para
cualquier problema, por ejemplo:
√
Una constante arbitraria llamada también parámetro, adquiere ciertos valores
numéricos y los conserva durante el análisis de un problema. Generalmente se utilizan
las primeras letras del abecedario para representarlas (a,b,c,k).
Una fórmula muy conocida es
, la cual se utiliza para obtener el área de un
círculo, dado el valor del radio. En esta fórmula podemos identificar que
y 2 son
constantes absolutas, mientras que r es una variable.
De cursos anteriores se conoce
que la ecuación
representa a una línea
recta. Los parámetros o constantes arbitrarias son m y b, las cuales conservarán un
valor durante un problema específico y la variable está representada por x.
Producto Cartesiano
De la teoría de conjuntos rescatamos el concepto de producto cartesiano, el cual es
una manera de vincular dos conjuntos, a través de parejas ordenadas. 4
Sea dos conjuntos A y B, el producto cartesiano se define como un nuevo conjunto
conformado por parejas ordenadas (a,b), tales que a pertenece al conjunto A, y b
pertenece al conjunto B.
Lo anterior se puede representar como sigue:
2
CONALEP-2011
A
[Análisis derivativo de funciones]
B = {(a,b) / a A, b B}
Ejemplo 1. Sean los conjuntos M={i,j,k} y N={p,q}. Determinar su producto
cartesiano.
El producto cartesiano será el nuevo conjunto M
N conformado de los
siguientes pares ordenados:
M
N = {(i,p),(i,q),(j,p),(j,q),(k,p),(k,q)}
Ejemplo 2. Determinar el producto cartesiano de los conjuntos A={1,2} y
B={3,4}.
A
B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
Las parejas se pueden representar como puntos en
el
plano
elemento
cartesiano,
como
la
considerando
abscisa
y
el
el
segundo
primer
como
la
ordenada.
Relaciones y funciones
En el producto cartesiano al conjunto de todos los primeros elementos de las parejas
ordenadas se le llama dominio y al conjunto de los segundos elementos se le llama
contradominio o rango.
Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los elementos
del dominio con los del contradominio.5
Una función es una relación en la que a todo elemento del dominio le corresponde solo
un elemento del contradominio. Esto implica que en una función no habrá dos pares
ordenados con la misma abscisa (primer elemento) y diferente ordenada (segundo
elemento).
3
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 3. Sean los conjuntos V={a,b,c} y N={2,4,6},
producto cartesiano, el dominio y contradominio
determinar
el
El producto cartesiano:
V
N={(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6),(c,2),(c,4),(c,6)}
Dominio: V={a,b,c}
Contradominio: N={2,4,6}
Ejemplo 4. Dados los conjuntos S={1,5,6}, T={2,4,7} y la relación de que
el
primer
elemento
es
mayor
que
el
segundo
elemento,
determinar
el
conjunto solución que satisface dicha relación.
Primeramente obtenemos el producto cartesiano:
S T={(1,2),(1,4),(1,7),(5,2),(5,4),(5,7),(6,2),(6,4),(6,7)}
Los pares que satisfacen la condición S mayor que T son:
R={(5,2),(5,4),(6,2),(6,4)}
Esta relación se puede visualizar mediante un diagrama sagital (diagrama
de flechas)
T
S
1
2
5
4
6
7
Podemos observar que algunos elementos del dominio S les corresponden uno
o más elementos del contradominio T. En el conjunto solución aparecen
pares ordenados con el mismo primer elemento 5 y 6.
Ejemplo 5. Dados los conjuntos A={3,6,9}, B={6,12,18,24} y la relación de
que el segundo elemento sea el doble del primer elemento, determinar el
conjunto solución que satisface dicha relación.
Obtengamos el producto cartesiano:
A B={(3,6),(3;12),(3,18),(3,24),(6,6),(6,12),(6,18),(6,24),
4
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(9,6),(9,12),(9,18),(9,24)}
De las parejas obtenidas el conjunto solución es:
R={(3,6),(6,12),(9,18)}
Podemos observar mediante un diagrama sagital, que todos los elementos
del
dominio
están
asociados
con
un
solo
elemento
del
contradominio.
Además los primeros elementos 3, 6 y 9 son diferentes entre sí y no se
repiten en otro par ordenado, por lo que se puede decir que esta relación
es una función.
B
A
6
3
12
6
18
9
24
Ejemplo 6. Determinar si en el
siguiente diagrama se representa una
función o una relación.
A
B
5
10
15
20
25
El
diagrama
corresponde
15
30
45
60
75
a
una
función,
ya
que
a
cada
conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.
5
elemento
del
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 7. Indicar si en el
siguiente diagrama se representa una función
o una relación:
C
D
0
5
3
1
-5
-3
1
2
El diagrama corresponde a una relación, debido a que al menos un elemento
del dominio C está asociado con dos elementos del contradominio D. El
elemento 0 se asocia con los elementos 5 y -5.
Ejemplo
8.
Determinar
si
en
el
siguiente
diagrama
se
representa
una
función o una relación:
M
N
10
2
20
30
Es función porque cumple con la condición de que cada elemento de M está
asociado con un único elemento de N.
6
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 9. Indica si en el siguiente diagrama se representa una función o
una relación:
P
Q
15
5
45
75
Representa una relación debido a que un elemento de P está asociado con
más de un elemento de Q.
Ejemplo 10. Determinar si en los siguientes conjuntos de pares ordenados
se tiene una función o una relación.
K={(0,0),(2,4),(5,25),(7,49)}
L={(-2,10),(0,10),(3,10),(6,10)}
M={(0,0),(1,1),(1,-1),(2,4),(2,-4)}
N={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4),(3,5)}
De acuerdo con las definiciones de relación y función, se determina que
los conjuntos K y L son funciones, ya que el primer elemento de cada
pareja ordenada no se repite.
En el conjunto M el 1 y 2 aparecen dos veces como primer elemento, así
como
en
el
conjunto
N
el
3
aparece
tres
veces,
concluimos
que
los
conjuntos M y N no son funciones, solo relaciones.
Es importante que observe que toda función es una relación, pero no toda relación es
una función.
Una característica de las funciones es que nos indica una dependencia existente entre
cantidades relacionadas.
7
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Una función es una regla de correspondencia en la que a cada elemento de un
conjunto A (Dominio) se le asocia uno y solo un elemento de un conjunto B
(Contradominio o Rango).
x
Dominio
f(x)
Contradominio
f
Notación matemática de una función
Cuando se estable una función de un conjunto A en un conjunto B, a través de una
regla de correspondencia
, se asocia a cada elemento x del conjunto A un único
elemento y del conjunto B.
Esto se puede escribir con la siguiente notación6:
ƒ:A→B
Si el valor de y depende de x, decimos que y es una función de x.
Entonces podemos usar la notación de función7
. (se lee f de x)
Es decir,
donde:
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
f representa la regla de correspondencia
Como se mencionó anteriormente, esta forma de denotar una función se debe al
matemático Leonhard Euler.
Ejemplo 11. Imagina que trabajas para una compañía en la cual se te
asigna
un
sueldo
de
$50.00
por
hora.
Determinar
la
regla
de
correspondencia y una notación funcional.
Podemos asociar para una determinada cantidad de horas trabajadas un pago
específico.
8
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Dominio
Contradominio
Par ordenado
(no. de horas)
(pago correspondiente)
1
$50
(1,50)
2
$100
(2,100)
5
$250
(5,250)
10
$500
(10,500)
20
$1000
(20,1000)
variable
variable
independiente
dependiente
Ahora observa que para cada elemento del dominio, solo se puede asociar
uno y solo un elemento del contradominio. Es decir, si trabajas 5 horas
no
se
pueden
asociar
diferentes
pagos
$50,
$250
o
$500.
(Únicamente
$250).
Notación funcional:
ó
Si
el pago será:
La cantidad a la cual le podemos asignar valores a voluntad, es decir, el
número de horas trabajadas se le llama variable independiente.
Las cantidades cuyos valores se determinan por el valor que toma la
variable
independiente,
en
este
caso
el
pago,
se
les
llama
variable
dependiente.
Evaluación de una función
El
valor
que
toma
una
función
es
aquel
que
adquiere
la
variable
dependiente, digamos y, cuando se le da un valor específico a la variable
independiente, digamos x6.
Ejemplo 12. Obtener el valor que adquiere la función
x vale -5.
9
, cuando
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Para obtener f(-5), basta sustituir x=-5 en dicha función y llevar a cabo
las operaciones indicadas.
Por lo tanto, se tiene:
Ejemplo 13. Obtener el valor que adquiere la función
cuando x
vale 2 y cuando vale a.
Sustituimos
en
la
función
dada
y
realizamos
las
operaciones
correspondientes:
Por lo tanto, se tiene:
Ahora sustituyamos
en la función.
Se tiene que
1.2. Gráfica de Funciones
Para visualizar una función otra manera es a través de su gráfica7.
La gráfica de una función es el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) en el plano
cartesiano, de manera tal que no existan dos diferentes parejas ordenadas con la
misma abscisa.
10
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Criterio de la recta vertical
Para determinar si una gráfica representa a una función o a una relación, se traza una
recta vertical, paralela al eje Y sobre la gráfica, si recta corta la gráfica en un solo
punto se trata de una función, en caso contrario será una relación 6.
Las siguientes gráficas muestran cómo al trazar la recta vertical paralela al eje Y,
pueden cortar en uno o más puntos:
Observa que las dos primeras gráficas corresponden a funciones y la tercera a una
relación, ya que corta en dos puntos.
11
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.3. Clasificación de funciones
Las funciones pueden ser clasificadas en dos grandes grupos, como funciones
algebraicas y funciones trascendentes1.
Función
Trascendente
Algebraica
Racional
Irracional
Trigonométricas
Exponenciales
Entera
(Polinomial)
Fraccionaria
Logarítmicas
Constante
Lineal
Cuadrática
y otras
Las funciones algebraicas son aquellas en las que se combinan operaciones finitas de
suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, que afectan a la
variable independiente.
√
A su vez, una función algebraica puede ser racional entera o racional fraccionaria.
Función racional entera
Estas funciones también se conocen como polinomiales, y se caracterizan por que se
expresan a través de un polinomio de la forma 8:
P( x) an xn an1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
12
CONALEP-2011
Donde
[Análisis derivativo de funciones]
es un número positivo, y los números
an , an1 ,..., a1 , a0
se les denomina
coeficientes del polinomio y además son constantes. El grado del polinomio es
Por ejemplo en la siguiente función:
P( x) 2 x5 x3 7 x 2 10
Su grado es 5.
Su gráfica es la que se muestra a continuación:
Dentro de las funciones polinomiales tenemos varios casos:
Función constante
Cuando en el polinomio
P( x) an x n an1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
todos los coeficientes de x valen cero, tenemos la función constante6.
También es posible expresar esta función como
Df = R
Rf = {k}
(El dominio es el conjunto de todos los reales)
(El rango o contradominio lo compone el valor k)
13
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y
8
6
4
k
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
f(x)=k
k
Ejemplo 14. Obtener la gráfica de la función
.
y
8
6
4
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
Función lineal
Cuando en el polinomio
P( x) an x n an 1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
todos los coeficientes de x valen cero, excepto para
tenemos la función
lineal6:
.
En geometría analítica, esta función también puede escribirse como
Donde m representa la pendiente (grado de inclinación) de la recta y b la ordenada en
el origen.
Para este tipo de funciones el dominio y rango está en todos los reales
Df = R, o en forma de intervalo (
Rf = R, o en forma de intervalo (
14
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Recordemos que la pendiente m, representa la razón de cambio de y respecto de x.
Ejemplo 15. Obtener la gráfica de la función
De la fórmula
se puede identificar que
y b=1.
Conociendo dos puntos se traza la gráfica de una función lineal, pues
basta
unirlos
a
través
de
una
recta
que
puede
extenderse
en
ambos
sentidos.
La pendiente
, nos indica que por cada 3 unidades que nos desplacemos
en la dirección x, también nos desplazaremos 2 unidades en la dirección
y. Conociendo b=1, tenemos un punto de la gráfica (0,1).
(3,3
)
y
(0,
1)
x
15
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
A partir de (0,1) nos desplazamos, 3 unidades en x, 2 unidades en y
llegando al punto (3,3). Dichos puntos se unen con una recta y se obtiene
la gráfica correspondiente.
Nota: si la pendiente es negativa un desplazamiento es positivo y el otro
negativo.
Ejemplo 16. Obtener la gráfica de la función
Como la pendiente es negativa, se tiene que por cada 2 unidades que nos
desplacemos
en
la
dirección
positiva
de
x,
habrá
1
unidad
de
desplazamiento en la dirección negativa de y.
Esto nos permite obtener del punto (0,3) otro punto de coordenadas (2,2)
y trazar una recta para obtener la gráfica correspondiente.
x
(0,3
)
y
(2,
2)
Función Identidad
La función identidad es un caso particular de la función lineal
cuando m = 1 y b = 0. Por lo que resulta la función
como
que surge
.6 También expresada
.
Como toda función polinomial, el dominio y rango lo conforman el conjunto de los
números reales.
La gráfica de la función identidad es una recta con una inclinación de 45º.
16
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Función Cuadrática
Esta función es de la forma
y representa una parábola cóncava hacia
arriba o hacia abajo, dependiente del signo que tenga el coeficiente del término
cuadrático6.
Las coordenadas (h,k) del vértice de una parábola, se pueden obtener utilizando las
siguientes fórmulas, tomando como base la forma general
17
CONALEP-2011
Dominio: Df= R
[Análisis derivativo de funciones]
para las dos gráficas
Rango:
Rf = [
)
Rf = [
cóncava hacia arriba
cóncava hacia abajo
]
Ejemplo 17. Obtener la gráfica de la función
y determinar el
dominio y el rango.
Observamos los valores que tienen los coeficientes en la función dada y
tenemos:
. Con estos valores calculamos las coordenadas
del vértice:
Así que las coordenadas V(h,k)=(2,-1).
Por
otro
lado,
vemos
que
el
coeficiente
del
término
positivo a=1, por lo que la parábola abre hacia arriba.
Dominio=
ó
Contradominio
[-1,
Tabulando algunos valores para x, se obtiene:
x
-2
-1
0
1
2
y
15
8
3
0
-1
Cuya gráfica es la siguiente:
18
cuadrático
es
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Función Potencia
Esta función tiene la forma
donde n es un entero positivo7.
El dominio son todos los reales:
El rango es [
para
si n es par. El rango es
cuando n es impar
cuando n = 1,2,3,4,5,6
De acuerdo con las gráficas, se puede observar que cuando n es par, la función
19
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
será muy parecida a la parábola
, es simétrica respecto al eje Y, y
cuando n es impar será semejante a la gráfica de
, es simétrica respecto del
origen.
Para
cuando el exponente es
y n es entero positivo
Cuando n es igual a 2 se tiene la función raíz cuadrada
√
El dominio para esta función es [0,∞).
Para valores pares: 4,6,8… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cuadrada.
Cuando n es igual a 3 se tiene la función raíz cúbica
√
El dominio para esta función son los reales (-∞, ∞).
Para valores impares: 5,7,9… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cúbica.
Para
Cuando
cuando
se obtiene la función recíproca
El dominio son todos los reales excepto para 0.
20
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Su gráfica es una hipérbola teniendo como asíntotas los ejes de coordenadas.
Función racional fraccionaria
También conocidas como funciones racionales, se caracterizan por expresarse como el
cociente de dos polinomios6
f ( x)
P( x)
Q( x)
donde P y Q son polinomios y Q(x) ≠ 0.
El dominio para este tipo de funciones lo forman todos los valores de x, tales que Q(x)
≠ 0.
La siguiente es un ejemplo de función algebraica racional:
x2 2 x 4
f ( x)
x2
El valor de x que vuelve 0 al denominador, representa una asíntota vertical (recta a la
cual tiende a tocar la gráfica, sin llegar a tocarla). Es decir, si
, despejando
.
En esta gráfica se observa una asíntota vertical cuya ecuación es
tiende a tocar dicha asíntota conforme x se acerca al valor 2.
21
. La gráfica
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
En la siguiente función el valor de x que hace 0 al denominador, es cuando
despejando,
g ( x)
x 1
x3
Esta gráfica tiene una asíntota cuya ecuación es x = -3. Cuando x se aproxima a -3 los
valores de la función crecen hacia el infinito de manera positiva y negativamente.
Finalmente, en la siguiente gráfica se observa una asíntota que coincide con el eje y.
y
3
x
Función Trascendente
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas. Las cuales incluyen a
las trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales.
22
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Algunos ejemplos son:
trigonométrica
trigonométrica
exponencial
exponencial
logarítmica
trigonométrica inversa
Funciones Trigonométricas
De trigonometría recordemos que las funciones trigonométricas surgen como resultado
de la razón entre las magnitudes de los lados de un triángulo rectángulo:
Hipotenusa
Cateto
opuesto
θ
Cateto adyacente
Generalmente consideraremos la medida de los ángulos en radianes, a menos que se
diga lo contrario, recuerde
Df = R
Rf = [-1,1]
. Veamos las gráficas de algunas de ellas:
Df = R
Rf = [-1,1]
23
Df=R-{
Rf=(-
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Función Exponencial
La función exponencial es de la forma
donde la
base k es una constante positiva y el exponente es una
variable.7
El dominio es (-∞, ∞) y el rango es (0, ∞)
Gráfica de la función
Función Logarítmica
La función logarítmica es de la forma
, donde la
base a es una constante positiva. Es la inversa de la
función exponencial7.
El dominio es (0, ∞) y el rango es (-∞, ∞)
Gráfica de la función
Función explicita e implícita
Cuando una función tiene a la variable dependiente despejada, se dice que la función
esta expresada en forma explícita. En caso contrario, se dice que está en forma
implícita6.
Ejemplos de funciones explícitas:
√
24
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplos de funciones implícitas:
Función creciente y decreciente
Otra manera de clasificar las funciones es de acuerdo con su monotonía.9
Una función f(x) es creciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores
pertenecientes al intervalo I, tal que
Ejemplo 18. Sea la función:
se tiene
f ( x) x 2 en
.
el intervalo [0,4], tomemos los
puntos x=2 y x=3.
Por lo tanto la función es creciente del punto 2 al 3.
Una función f(x) es decreciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores x1,
x2, pertenecientes al intervalo I, tal que
se tiene
25
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 19. Sea la función: f ( x) x 2 en el intervalo [-4,0], tomemos los
puntos x=-3 y x=-2.
Se cumple que
. La función es decreciente
Ejemplo 20. La siguiente gráfica
muestra ambos comportamientos.
En el intervalo [-4,0]: es decreciente.
En el intervalo [(0,4]: es creciente.
26
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Función par
Si en una función se sustituye la variable
por su simétrico
y se cumple
se dice que la función es par10,11.
Ejemplo 21. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Como se cumple que
, entonces es una función par.
Función impar
Si en una función se sustituye la variable x por su simétrico –x y se cumple
se dice que la función es impar6,7
Ejemplo 22. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Como se cumple que
, entonces es una función impar.
Ejemplo 23. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Podemos ver que como
la función no es par.
Por otro lado, para que la función sea impar se debe cumplir la condición
de que
pero
y
Dado que
la función no es impar.
Esta función no es impar, ni par.
De lo anterior se concluye:
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y.
27
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
Hay funciones que no son pares ni impares.
Función continua y discontinua
Finalmente diremos que otra forma de clasificar a las funciones es con base a la
continuidad de la gráfica.
Una función es continua cuando su gráfica no presenta un hueco o salto. Otra forma de
describirla, es diciendo que una función es continua si se puede dibujar su gráfica sin
tener que levantar el lápiz del papel.12
Una función es discontinua si no es continua.
c
c
c
28
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Función del mayor entero
Otra función es la definida como función del mayor entero 13,14, el símbolo que la
representa es [[x]], el cual se define como el mayor entero menor o igual a x, esto es:
[[x]] = n si n
, donde n ЄZ
Por ejemplo:
[[1]] = 1,
[[1.2]] = 1, [[0.2]] = 0, [[-4.3]] = -5, [[-10]] = -10, [[19.8]] = 19,
y así sucesivamente, queda como reto para el lector hacer su gráfica.
Función valor absoluto
Función valor absoluto8,9, es definida como
|
|
Su dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango de dicha función son
los números reales no negativos.
Sea la función
| |
Cuando
,
esto
indica
que
su
contradominio es siempre positivo.
Dicha función es par, decreciente de (-
y creciente de [0, ).
Nota: hasta aquí solo se ha hablado de las principales funciones que se presentan
durante el estudio del cálculo. Sin embargo, es importante señalar que existe una gran
cantidad de funciones que será conveniente investigar, tales como la función
escalonada que se utiliza en los estacionamientos cuando nos cobran por hora o
fracción, la función definida por intervalos, la función signo, entre otras.
Existen libros dedicados al tema de funciones, en los cuales se puede ampliar dicho
tema. Se invita al lector a que haga la lectura correspondiente.1,15,16.
29
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.4. Álgebra de funciones
Se puede combinar, una función f con otra función h a través de las operaciones
aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Las cuales se pueden definir de la
siguiente manera:17
Sean las funciones f y h,
Suma:
Resta:
Multiplicación:
División:
donde
( )
El dominio de estas nuevas funciones
es la intersección del dominio f
con el dominio h.
A continuación veremos algunas operaciones con funciones.
Sumas de funciones
EJEMPLO 24. Dadas las funciones: f ( x) 8 x 1 y la función:
g ( x) 5x3 2
calcular: r ( x) f ( x) g ( x) .
Lo primero que podemos realizar es sustituir cada uno de los sumandos de
la función propuesta de la siguiente manera:
r ( x) f ( x) g ( x)
r ( x) (8x 1) (5 x3 2) .
Lo segundo sería realizar la suma de los dos términos, esto se realiza
primeramente
eliminando
los
paréntesis
que
agrupan
cada
una
de
las
funciones. Recuerde que para concretar este proceso se debe considerar el
signo que antecede al paréntesis, es decir: si el sigo que está antes del
primer paréntesis es positivo, se dice más por menos y el resultado de
esta operación de signos lo colocamos antes del término considerado. Para
nuestro caso, como en el primer grupo de términos no contiene signo, se
asume que este es positivo, es decir:
r ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Ahora bien, el resultado de suprimir el primer paréntesis será entonces:
30
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(8x 1) (8x 1) 8x 1 8x 1
Para el segundo término tendremos:
(5x3 2) (5x3 ) (2) 5 x3 2
De manera que suprimiendo los paréntesis de ambas funciones (o de cada
grupo de términos) tendremos:
r ( x) (8x 1) (5x3 2) 8x 1 5 x3 2
El siguiente paso en el desarrollo de la suma, será agrupar los términos
semejantes, que para nuestro caso solo tenemos los números +1 y +2:
r ( x) 8x 1 5x3 2 8x 5x3 1 2 8x 5x3 3
Finalmente, como una manera ordenada de presentar el resultado, podemos
ordenar los términos, comenzando con los exponentes de mayor a menor,
para finalmente colocar los términos numéricos. Recuerde que este acomodo
debe respetar el signo de cada término como se observa en el acomodo del
término -5x3.
r ( x) 8x 5x3 3 5x3 8x 3
r ( x) 8x 1 5x3 2 8x 5x3 1 2 8x 5x3 3
Siendo el resultado final:
r ( x) 5x3 8x 3
EJEMPLO 25. Dadas las funciones: R(u) 5u (2u)2 8u 3 u(3u) y la función:
P(u ) (3u ) 12
u5 1
u
(uu ) 8 2 , desarrolla R(u ) P(u ) .
u
u 2
Como puede observarse, cada una de las funciones está expresada de forma
tal, que es más cómodo primeramente desarrollarla a su mínima expresión,
para después realizar la suma indicada. Por tanto, en la función
desarrollada,
debemos
primeramente
desarrollar
el
(2u )2 y el producto de u(3u) , o sea:
(2u)2 (22 u 2 ) (4u 2 ) 4u 2
y para el otro producto:
u(3u) ()()(u)(3u) 3u 2
Desarrollando entonces en la función R(u ) , tendríamos:
R(u) 5u (2u)2 8u3 u(3u) 5u 4u 2 8u 3 3u 2
31
cuadrado
R(u )
indicado
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Acomodando los términos de acuerdo a su exponente y agrupando términos
semejantes, tendríamos:
R(u) 8u 3 4u 2 3u 2 5u 8u 3 1u 2 5u
Por otro lado, para desarrollar la función restante,
P(u ) tendríamos
primeramente que quitar el paréntesis del primer término:
(3u) 3u 3u
Similarmente, para el segundo término, tenemos un desarrollo que implica
la división de dos términos iguales (cuyo resultado es la unidad), es
decir:
12
u
12(1) 12
u
Para el tercer término, el desarrollo posible es la multiplicación de la
variable por sí misma dos veces, lo cual se entiende como el cuadrado de
la misma, es decir:
(uu) (u 2 ) u 2 u 2
Finalmente, para el cuarto término podemos realizar la división de las
variables, que al ser la misma base y exponente diferente, lo que se
realiza es la resta de los exponentes (exponente del numerador menos
exponente del denominador). Por otro lado, el desarrollo numérico es el
producto del 8 y de
1
lo que nos daría:
2
u5
8 2
u
1
1 3
5 2 1
3
8 u
8 u 4u
2
2
2
Teniendo como versión final de desarrollo de la función P(u ) como
P(u ) 3u 12
u5 1
u
uu 8 2 3u 12 u 2 4u 3 4u 3 u 2 3u 12
u
u 2
De esta manera, la suma de las funciones originales, ahora desarrolladas
en sus mínimas expresiones sería:
P u 8u 3 1u 2 5u, F (u) 4u 3 u 2 3u 12
Y la suma de ambas, podría expresarse como
P(u) F (u) (8u3 1u 2 5u) (4u 3 1u 2 5u 12) 8u 3 1u 2 5u 4u 3 1u 2 3u 12
Acomodando los términos semejantes en orden descendente:
P(u) F (u) 8u 3 4u 3 1u 2 1u 2 5u 3u 12
La suma finalmente es:
32
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
P(u) F (u) 12u 3 2u 2 8u 12
EJEMPLO
26.
Realizar
la
suma
de
las
funciones:
3x 8
G ( x) 62
x
y
P( y ) 2 y 2 5 y 8
Esta suma no se puede realizar, puesto que cada una de las funciones
definidas no son dependientes de la misma variable, es decir, la función
G( x) depende en su valor de los valores de x, como se define, pero la
función P( y ) está definida de acuerdo a los valores de y, por lo tanto,
los
valores
de
cada
una
de
las
funciones
son
independientes
porque
dependen cada una de diferente variable.
EJEMPLO
27.
¿Cuál
es
el
resultado
de
la
suma
de
3x 8
G ( x) 62 con
x
P( x ) 2 y 2 5 y 8 ?
Para este caso, como cada una de las funciones está definida para la
misma variable, entonces es posible la suma, solo que para la variable
P( x) 2 y 2 5 y 8 , cada uno de los términos algebraicos no contiene a la
variable a la que se hace referencia, por lo tanto, puede considerarse
como un término independiente a cada uno de los términos que contienen la
y. De esta manera, el desarrollo será:
3x 8
G( x) P( x) 62 2 y 2 5 y 8
x
Pudiendo sintetizar el valor de la función G ( x) :
3x 8 3x 8
3x 8
G ( x) 62 62
x
x
6x2
1
Sustituyendo este nuevo valor de la función como
G ( x) P( x)
3x 8
2 y2 5 y 8
6 x2
33
CONALEP-2011
EJEMPLO
28.
¿Cuál
es
[Análisis derivativo de funciones]
el
resultado
la
suma
de
3x 8
6
G ( x)
x2
suma
de
estas
funciones
de
con
P( x ) 2 x 2 5 x 8 ?
De
acuerdo
al
desarrollo
anterior,
la
puede
realizarse como ya se ha explicado, es decir, agrupando las dos funciones
con cada uno de sus términos semejantes. De esta manera, podemos afirmar
que
3x 8
G( x) P( x) 62 2 x 2 5 x 8
x
Desarrollando el resultado de la primera función:
3x 8 3x 8
3x 8
G ( x) 62 62
x
x
6x2
1
Lo cual nos daría una suma de la siguiente manera:
G ( x) P( x)
3x 8
2 x2 5x 8
2
6x
El desarrollo se facilita al separar la fracción:
3x 8
3x
8
1
4
2 x2 5x 8
2
2
2
x
5
x
8
2
x
5
x
8
6 x2
6x2 6x2
2 x 3x 2
1
1 1
De manera que la suma de estas fracciones será:
1
4 2 x 2 5 x 8 3x 8 12 x 4 30 x3 48 x 2
2
2 x 3x
1
1 1
6 x2
Lo que finalmente ordenado nos queda:
G ( x) P( x)
12 x 4 30 x3 48 x 2 3x 8
6 x2
Pues el numerador no es un polinomio que pueda factorizarse.
EJEMPLO 29. Expresar el resultado en su mínima expresión de la siguiente
x y
x2
suma: M ( x) N ( x) , dadas; M ( x)
y N ( x)
y
y
2
La suma entonces, se desarrollará de la siguiente manera:
34
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
2
x2 x y
M ( x) N ( x)
y
y
Quitando los paréntesis y desarrollando la suma, tendremos:
2
x2 x y
y
y
x 2 x y 2
y
Desarrollando el binomio cuadrado que contiene al numerador, tendremos:
x2 x y
2
y
x 2 ( x 2 2 xy y 2 ) x 2 x 2 2 xy y 2
y
y
Como puede observarse, en el numerador tenemos dos términos semejantes
con signo contrario, lo cual los hace cero:
x 2 x 2 2 xy y 2 2 xy y 2
y
y
Finalmente para este caso, puede factorizarse en el numerador la y, lo
cual nos llevará a poder dividirla con el mismo factor del denominador
para poder suprimirla:
2 xy y 2 y (2 x y ) y (2 x y )
(2 x y )
1
y
y
y
1
1
Para obtener el resultado:
M ( x) N ( x ) 2 x y
EJEMPLO 30. Comprobar que la suma de funciones es conmutativa (tomar
cualquiera de las funciones anteriormente descritas).
Puede
tomarse
el
ejemplo
23,
considerando
la
suma
propuesta
r ( x) f ( x) g ( x) , considerando f ( x) 8x 1 y la función g ( x) 5x3 2 .
El desarrollo de la suma según se realizó es:
r ( x) 5x3 8x 3
Por consiguiente, aplicando la conmutatividad de la suma, proponemos una
nueva
suma
cambiando
el
orden
de
las
funciones,
y
le
llamamos
R( x) g ( x) f ( x) . Si el resultado de esta propuesta es igual que el de
r ( x) , entonces la conmutatividad es válida.
35
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Desarrollamos entonces la nueva suma R( x) como se describió en el ejemplo
23, es decir, sustituyendo el valor de cada una de las funciones como
sumandos de la propuesta:
R( x) g ( x) f ( x)
R( x) (5x3 2) (8x 1)
Suprimiendo los paréntesis y desarrollando la suma, tendremos:
R( x) 5x3 2 8x 1 5x3 2 1 8x 5x3 8x 3
Entonces, como ambos resultados son iguales, podemos afirmar que
r ( x) R( x),
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
Lo que demuestra que la suma de funciones es conmutativa.
EJEMPLO 31. Comprobar la validez de la ley asociativa de las funciones,
definida como A+(B+C)=(A+B)+C, El valor de cada una de las funciones A, B
y C es:
1
A a( x) x 5 , B b( x) (5x 3) y C c( x) x
3
2
2
Para desarrollar la parte izquierda de la igualdad, según indican los
paréntesis, desarrollaremos primero la suma de B+C:
2
2
1
13
26
1
b( x) c( x) (5 x 3) x 5 x 3 x 2 x x 2 x
3
9
3
9
3
Después, el desarrollo del lado izquierdo de la igualdad se completa
sumando
al
resultado
anterior
la
función
A
y
desarrollando
la
suma
(quitando los paréntesis y agrupando los términos semejantes) como se
muestra:
A ( B C ) ( x 2 5) x 2
13
26
13
26
13 19
x x2 5 x2 x 2x2 x
3
9
3
9
3
9
Por otro lado, el cálculo de la parte derecha de la igualdad implica
primero sumar A+B:
A B a( x) b( x) x 2 5 5x 3 x 2 5 5x 3 x 2 5x 2
El cálculo completo quedaría sumando la función C de la siguiente manera:
A B C x 2 5x 2 x 2
2
1
13
19
x 2x2 x
3
9
3
9
36
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Como puede observarse, ambos resultados son iguales, lo que afirma que
A ( B C ) ( A B) C
EJEMPLO
32.
¿Cuál
será
el
resultado
de
sumar
v( ) sin( )
con
w( ) cos ?
2
Como puede observarse, la suma puede realizarse sencillamente conjuntado
las funciones:
v( ) w( ) sin( ) cos
2
Lo cual, es el resultado de la suma pedida. Sin embargo, este resultado
tiene
un
valor
peculiar,
el
cual
se
puede
mostrar
asignando
valores
característicos al resultado de la suma. Esto puede realizarse con ayuda
de una tabla.
En la siguiente tabla, se muestran los valores característicos y los
resultados para cada una de las funciones dadas, así como los valores de
la suma de las mencionadas funciones. Se muestra además un bosquejo de
las gráficas correspondientes, donde como puede verse, la suma es de cero
para todos los valores de
;
o bien, de x de acuerdo al formato para el
software que ha realizado las gráficas.
v( ) sin( )
w( ) cos
2
v( ) w( ) sin( ) cos
2
0
0
0
0
2
1
-1
0
0
0
0
3
2
-1
1
0
2
0
0
0
37
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x
El resultado entonces más significativo y evidente será:
v( ) w( ) sin( ) cos 0
2
Este resultado justifica una identidad trigonométrica:
cos sen
2
EJEMPLO 33. ¿Cuál es el resultado de sumar las funciones:
h x 8 10 x con
i x 110x ?
La suma de estas funciones, es de acuerdo a lo anteriormente descrito, la
suma de los valores de cada función:
h x i( x) 8 10 x 110 x
Donde se puede observar, es factible hacer una factorización, y con ello
la suma de los factores diferentes, es decir:
8 10 110 10 (8 1) 9 10
x
x
x
x
Teniendo entonces, el resultado:
h x i( x) 8 10x 110 x 9 10 x
EJEMPLO 34. ¿Cuál es el resultado de sumar n( x) 0 con
El
resultado
es
obviamente
la
misma
f ( x) ,
pues
f ( x)
de
desarrollos que aquí se han mencionado, podemos decir que
5x 8
5x 8
f ( x ) n( x )
(0)
9
9
38
5x 8
?
9
acuerdo
a
los
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
De hecho, a la función n( x) 0 , se le llama la función constante, pues su
valor es el mismo sin depender de la variable independiente x. Para el
caso particular de que esta función se defina con el valor constante de
cero, actúa como el elemento neutro en la suma de funciones.
Resta de funciones
EJEMPLO 35. Dadas las funciones f ( x) 3x 1
y la función
g ( x) 2 6 x ;
calcular: r ( x) f ( x) g ( x) .
Al igual que se hizo en la suma, lo primero que podemos realizar es
sustituir cada una de las funciones por sus valores correspondientes:
r ( x) f ( x) g ( x)
r ( x) (3x 1) (2 6 x) .
Después, se eliminan los paréntesis que agrupan cada una de los valores
de las funciones. Para este caso, igual que la suma, se debe considerar
el signo que antecede al paréntesis, es decir, si el sigo que está antes
del primer paréntesis es positivo; lo cual no cambia el signo de los
términos de la primer función:
f ( x) (3x 1) 3x 1
Ahora, la manipulación del segundo término conlleva a considerar el signo
negativo que antecede a la función, lo cual, al aplicar la ley de los
signos, cambia cada uno de los signos de cada uno de los términos, como
se muestra:
g ( x) (2 6 x) (2) (6 x) 2 6 x
Así que finalmente, la resta se puede realizar en realidad como una suma,
es decir; agrupando cada uno de los términos semejantes, solo que antes
de hacer esto, es necesario considerar el resultado de las operaciones
con los signos, en particular con la función a la que le antecede el
signo negativo. Así, para este caso en particular tendremos:
f ( x) g ( x) (3x 1) (2 6 x) 3x 1 2 6 x
f ( x) g ( x) 3x 1 2 6 x 3x 3
r ( x) 3x 3
Que es el resultado final.
39
CONALEP-2011
EJEMPLO
36.
Dadas
[Análisis derivativo de funciones]
las
mismas
funciones
que
en
el
ejemplo
anterior:
f ( x) 3x 1 y la función: g ( x) 2 6 x ; calcular ahora s( x) g ( x) f ( x)
Ahora,
desarrollaremos
la
resta
de
las
mismas
funciones,
solo
que
intercambiando el orden de cada uno de las funciones; lo cual puede
expresarse:
s( x) g ( x) f ( x) (2 6 x) (3x 1)
Desarrollando
la
suma
de
acuerdo
al
mismo
procedimiento
descrito
en
ejemplos anteriores, suprimimos primeramente los paréntesis (en donde si
se recuerda, quitar el paréntesis donde antecede el signo menos, cambia
el signo de todos y cada uno de los términos de la función):
s( x) (2 6 x) (3x 1) 2 6 x 3x 1 .
Agrupando entonces los términos semejantes, tendremos:
s( x) 2 6 x 3x 1 3x 3
s ( x) 3x 3
Lo cual será el resultado final, que muestra que si intercambiamos el
orden de los elementos de la resta, el resultado no es el mismo:
r ( x) 3x 3
s ( x) 3x 3
Lo que nos lleva a afirmar que la resta de funciones no es conmutativa,
es decir:
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
EJEMPLO 37. Si cada una de las siguientes funciones se definen como
F1 ( x) 2 x3 8x 2 5x 1 y F2 ( x) 10 x 2 5x 6 , entonces ¿cuál será el resultado
de
F1 F2 ( x) ?
De manera similar a los ejemplos anteriores, realizar la resta de estas
funciones
es
el
equivalente
de
conjuntar
cada
valor
quitando
los
paréntesis y agrupando los términos similares. Una diferencia para este
caso es la notación, la cual puede entenderse:
F1 F2 ( x) F1 ( x) F2 ( x)
De esta manera, prosiguiendo con la mencionada metodología, escribimos:
F1 ( x) F2 ( x) 2 x3 8x 2 5x 1 10 x 2 5x 6
40
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Que a su vez, es:
2x
3
8x2 5x 1 10 x2 5x 6 2 x3 8x2 5x 1 10 x 2 5x 6
Acomodando y agrupando los términos semejantes:
2 x3 8x2 10 x2 5x 5x 1 6 2 x3 2 x2 10 x 7
Teniendo como resultado final:
F1 F2 x 2 x3 2 x2 10 x 7
Ejemplo
38.
¿Es
posible
realizar
la
resta
de
dos
funciones
que
son
dependientes de dos variables diferentes?
Para
responder
a
esta
pregunta,
podemos
definir
dos
funciones
cualesquiera, haciendo dependientes a cada una de ellas de variables
diferente, por ejemplo:
s ( x) 6 x , t ( y ) 2 y
Lo cual no puede realizarse porque, entre otras razones:
s( x) t ( y) s t x y
EJEMPLO 39. De acuerdo a las funciones: v( x) 2 x 5, w( x) 6 x 1. Comprobar
si la siguiente igualdad es verdadera
v( x) w( x) w( x) v( x)
Primero, puede desarrollarse el lado izquierdo de la igualdad:
v( x) w( x) (2 x 5) (6 x 1) 2 x 5 6 x 1
v( x) w( x) 8x 6
Por
otro
lado,
el
lado
derecho
de
la
igualdad
nos
proporciona
resultado:
w( x) v( x) 6 x 1 2 x 5 6 x 1 2 x 5
w( x) v( x) 8x 6 8x 6
Lo cual nos proporciona una evidencia de que la igualdad es verdadera.
41
el
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 40. Realizar la diferencia entre las funciones:
u5 1
u
R(u) 5u (2u) 8u u(3u) & F (u ) 3u 12 uu 8 2
u
u 2
2
3
Este ejemplo, es retomado de uno de los ejercicios resueltos de las sumas
de funciones, por lo que omitiremos los desarrollos para cada una de las
funciones, puesto que son los mismos, es decir que por un lado:
R(u) 5u (2u)2 8u3 u(3u) 5u 4u 2 8u 3 3u 2
Y de manera semejante:
u5 1
u
F (u ) 3u 12 uu 8 2 3u 12 u 2 4u 3 4u 3 u 2 3u 12
u
u 2
Por lo que ahora nos corresponde, la resta de las funciones, una vez que
ya se han abreviado, serán con P u 8u 1u 5u, F (u ) 4u u 3u 12 de
3
2
3
2
la siguiente manera:
P u F (u) 8u 3 1u 2 5u 4u 3 u 2 3u 12
Quitando los paréntesis y agrupando los términos semejantes:
P(u) F (u) 8u3 1u 2 5u 4u3 u 2 3u 12 8u 3 4u 3 1u 2 u 2 5u 3u 12
Teniendo como resultado final:
P(u) F (u) 4u 3 2u 12
EJEMPLO 41. Definiendo las funciones siguientes:
Q(t )
t
2
, R(t ) 3t 2 y
t 2
S (t ) t 2 , realizar la resta U (t ) Q(t ) R(t ) S (t )
Para realizar esta resta, se procede primeramente a realizar la resta que
se encuentra agrupada en el paréntesis cuadrado:
R(t ) S (t ) 3t 2 2 t 2 3t 2 2 t 2 3t 2 t
Ahora bien, retomando la resta completa, podemos expresarla como
t
2
U (t ) Q(t ) R(t ) S (t )
3t t
t
2
Observe que se han sustituido los valores que equivalen a la función Q t
42
CONALEP-2011
y a la resta de
[Análisis derivativo de funciones]
R(t ) S (t ) ;
solo que a esta última por ser la parte del
sustraendo, se le antepone en la resta completa el signo de menos, lo que
nos lleva al realizarla, quitando los paréntesis, a aplicar la ley de los
signos,
como
ya
hemos
descrito,
para
finalmente
agrupar
términos
semejantes, es decir:
t
t
2
U (t )
3t 2 t
3t t
t 2
t 2
Que una vez desarrollado nos dará el resultado completo:
t 1 t 2 3t 2 t 2 t t 3t 3 6t 2 t 2 2t
t
2
U (t )
3t t
t 2
t 2
t 2
t 3t 3 6t 2 t 2 2t
t 2
EJEMPLO 42. Si retomamos los valores de las funciones definidas en el
problema anterior (40), ¿será cierto que
Q(t ) R(t ) S (t ) Q(t ) R(t ) S (t ) ?
Como
ya
hemos
realizado
la
parte
izquierda
de
la
igualdad,
podemos
desarrollar la parte derecha de la misma, de manera que si llegamos al
mismo resultado, la igualdad será válida.
Realizando entonces primeramente la resta del paréntesis cuadrado:
t
2
3t 2
t 2
Q(t ) R(t )
Lo que desarrollado nos dará como resultado:
t
t
3t 3 6t 2 t 4
2
2
Q
(
t
)
R
(
t
)
3
t
2
3
t
2
t 2
t 2
t 2
Completando ahora la operación deseada tendremos:
3t 3 6t 2 t 4
Q
(
t
)
R
(
t
)
S
(
t
)
t 2
t
2
Quitando
los
paréntesis
y
realizando
suma:
43
las
operaciones
finalmente
como
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Q(t ) R(t ) S (t )
Como
los
resultados
3t 3 6t 2 t 4
3t 3 5t 2 t 8
t 2
t 2
t 2
son
diferentes,
podemos
responder
que
“no”
a
la
pregunta realizada, o bien afirmar que
Q(t ) R(t ) S (t ) Q(t ) R(t ) S (t )
EJEMPLO 43. ¿Será cierto que F ( x) F ( x) 0 ?
Esta propiedad de la resta, se puede comprobar si proponemos una función
cualquiera como F (a) . Un buen ejemplo puede ser un polinomio de tercer
grado:
F ( x) 3 x 3 2 x 2 8 x 3
De esta manera, si realizamos la resta de las funciones ahora propuestas,
tendremos:
F ( x ) F ( x) 3 x 3 2 x 2 8 x 3 3 x 3 2 x 2 8 x 3
Ahora bien, si desarrollamos la resta como tal, procedemos primeramente a
quitar los paréntesis:
F ( x) F ( x) 3x3 2 x 2 8x 3 3x3 2 x 2 8x 3
Agrupando términos semejantes:
F ( x) F ( x) 3x3 3x3 2 x2 2 x2 8x 8x 3 3 0
Lo cual demuestra que es cierto que
F ( x) F ( x ) 0
EJEMPLO 44. ¿Cuál es el resultado de la operación R( x) G( x) P( y) , dadas:
3x 8
2
G ( x) 62
y P( y) 2 y 5 y 8?
x
Como
puede
observarse,
cada
una
de
las
funciones
está
definida
para
diferentes variables, entonces no es posible la resta como operación
definida, pues:
G( x) P( y) G P x G P y
Producto de funciones
44
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 45. Dadas las funciones f ( x) 2 x 6 y la función g ( x) 2 x 8 x 1;
2
calcular: R( x) f ( x) g ( x) .
Realizar el producto de dos funciones diferentes, conlleva al proceso de
realizar el producto mismo de sus valores, es decir que para este caso
propuesto tendremos el producto de los polinomios indicados:
multiplicando
cada
R( x) f ( x) g ( x) 2 x 6 2 x 2 8x 1
Lo
cual
se
lleva
a
cabo
uno
de
los
términos
algebraicos del primer factor por los del segundo, es decir:
R( x) 2 x 6 2 x 2 8x 1 2 x 2 x 2 8x 1 6 2 x 2 8x 1
R( x) 4 x3 16 x2 2 x 12 x 2 48x 6 4 x3 16 x 2 2 x 12 x 2 48x 6
R( x) 4 x3 16 x2 2 x 12 x2 48x 6 4 x3 4 x 2 46 x 6
Siendo este último el resultado final.
EJEMPLO 46. De acuerdo a las funciones:
v( x)
2
1
x 5 y w( x) x 1
3
6
v( x) w( x)
Desarrollar:
Igual que en el caso anterior, realizar este producto se concreta con el
producto de los polinomios respectivos (binomios para nuestro caso), es
decir:
v( x) w( x)
2
1
x 5 x 1
3
6
Por lo que el desarrollo se puede expresar como
v( x) w( x)
2 1 2
1
x x x 1 5 x 5 1
3 6 3
6
Quitando los paréntesis tendremos:
v( x) w( x)
2 2 2 5
2
2
5
x x x 5 x 2 x x 5
18
3
6
18 3 6
Es decir que, agrupando los términos comunes el resultado será:
v( x) w( x)
1 2 3
x x 5
9
2
45
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
EJEMPLO 47. Definiendo las funciones siguientes
Q(t )
t
2
, R(t ) 3t 2 y
t 2
S (t ) t 2 , realizar el producto U (t ) Q(t ) R(t ) S (t )
Este
producto,
se
realiza
primeramente
desarrollando
el
producto
que
indican los paréntesis rectangulares, es decir:
R(t ) S (t ) 3t 2 2 t 2 3t 3 6t 2 2t 4
El resultado anterior se multiplica con el valor de la función Q(t ) :
t 3
2
Q(t ) R(t ) S (t )
3t 6t 2t 4
t 2
El desarrollo de este producto, será entonces:
3t 4 6t 3 2t 2 4t
t 3
2
Q(t ) R(t ) S (t )
3
t
6
t
2
t
4
t 2
t 2
El
anterior
puede
tomarse
como
el
resultado,
sin
embargo
una
factorización del numerador puede mostrarnos un resultado más elegante:
Q(t ) R(t ) S (t )
EJEMPLO
48.
3t 4 6t 3 2t 2 4t
t 2
Definiendo
las
mismas
funciones
que
en
el
ejemplo
anterior(45), ¿será cierto que Q(t ) R(t ) S (t ) Q(t ) R(t ) S (t ) ?
Como ya se ha desarrollado la parte izquierda de la igualdad sugerida,
procedemos a desarrollar la parte derecha. Igual que el desarrollo del
ejemplo anterior, primeramente desarrollamos el producto indicado en el
paréntesis:
Q(t ) R(t )
t 2
3t 2
t 2
El desarrollo de este producto es:
3t 3 2t
t 2
Q
(
t
)
R
(
t
)
3
t
2
t 2
t 2
Ahora bien, retomando el producto completo, podemos expresarlo como
3t 3 2t
t 2
t 2
Q(t ) R(t ) S (t )
46
CONALEP-2011
Que
una
vez
[Análisis derivativo de funciones]
desarrollando
y
agrupando
sus
términos
semejantes,
nos
proporciona el resultado:
Q(t ) R(t ) S (t )
3t 4 6t 3 2t 2 4t
t 2
Al igual que en el ejercicio anterior, se puede expresar su resultado de
una manera simplificada como factores del numerador, quedando finalmente:
Q(t ) R(t ) S (t )
3t 4 6t 3 2t 2 4t
t 2
Como puede observarse, este resultado es el mismo que el del ejercicio
anterior, lo cual nos lleva a afirmar que
Q(t ) R(t ) S (t ) Q(t ) R(t ) S (t )
EJEMPLO
49.
¿Es
posible
realizar
el
producto
de
las
funciones
G ( x)
3x 8
6
y
P( y ) 2 y 2 5 y 8
Como
puede
observarse,
cada
una
de
está
definida
para
diferentes variables. Como el producto de funciones está definido como
G( x) P( x) G P x
Entonces no es posible el producto como operación definida, pues:
G( x) P( y) G P x G P y
Cociente o división de funciones
EJEMPLO
50.
Dadas
calcular: R( x)
las
f ( x) 2 x 6
funciones
y
g ( x) 2 x2 8x 2 ;
f ( x)
.
g ( x)
Lo primero que debe realizarse, es la sustitución de los valores de las
funciones en el cociente propiamente dicho. Esto se expresa:
R( x)
Este
puede
ser
ya
el
f ( x)
2x 6
g ( x) 2 x 2 8 x 2
resultado
de
la
división,
sin
embargo,
manipulación algebraica puede exhibir un resultado más sintetizado:
47
una
CONALEP-2011
R( x)
[Análisis derivativo de funciones]
2 x 3 x 3
f ( x)
2x 6
g ( x) 2 x 2 8 x 2 2 1x 2 4 x 1 1x 2 4 x 1
De esta manera, tendremos como resultado final:
R( x)
EJEMPLO
51.
De
x3
x 4x 1
2
acuerdo
Desarrollar:
v( x)
w( x)
Sustituyendo
el
valor
a
de
las
cada
una
de
2x 3
8
y
funciones
en
v( x)
funciones
las
w( x)
el
7x 1
6 x
cociente,
podemos comenzar el desarrollo de la misma. De esta manera:
2x 3
v( x) 2 x 3
7x 1
8
w( x)
8
6 x 7x 1
6 x
Como puede observarse, realizar esta operación conlleva a la división a
su vez de dos cocientes. Esta operación puede realizarse con el método de
los
productos
cruzados,
o
bien,
una
vez
acomodados
en
un
divisor
principal, realizando la ley de la herradora. A continuación se muestra
cada uno de los desarrollos dentro de la igualdad:
2 x 3 6 x
v( x) 2 x 3
7x 1
w( x)
8
6 x
8 7 x 1
2x 3
2 x 3 6 x
v( x)
8
w( x) 7 x 1
8 7 x 1
6 x
De esta manera, desarrollando el producto de numerador y denominador
independientemente del método escogido, tendremos:
2 x 3 6 x 12 x 2 x 2 18 3x
v( x)
w( x)
56 x 8
8 7 x 1
Agrupando términos semejantes nos daría como resultado final:
v( x)
2 x 2 15 x 18
w( x)
56 x 8
No hay que perder de vista que en el desarrollo de las divisiones y
multiplicaciones,
se
deben
considerar
48
los
signos
para
aplicar
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
precisamente la ley de los signos. Para el presente ejemplo, el resultado
(que es un cociente) tiene un signo negativo, pues al haber dividido una
función positiva con una negativa, la función resultante es negativa.
Podemos además expresar el resultado sin el signo negativo, esto es:
aplicando
el
signo
al
numerador
o
al
denominador
de
la
función
resultante, es decir:
2
v( x)
2 x 2 15 x 18 2 x 15 x 18
2 x 2 15 x 18
w( x)
56 x 8
56 x 8
56 x 8
v( x)
2 x 2 15 x 18 2 x 2 15 x 18 2 x 2 15 x 18
w( x)
56 x 8
56 x 8
56 x 8
En ambos casos anteriores, el resultado es el mismo.
EJEMPLO
52.
Definiendo
las
realizar el cociente U (t )
El
cociente
desarrolla
que
se
siguientes:
Q(t )
t2
t ,
R(t )
t
t2
Q(t )
R(t )
pide,
sustituyendo
funciones
al
los
igual
valores
que
de
en
los
casos
cada
una
de
anteriores
las
funciones
se
y
realizando las operaciones indicadas. Para este caso, podemos escribir:
t
t t
Q(t )
t2
t
2
U (t )
t 2 t 2 t 2 t 2 2
R(t )
t
EJEMPLO 53. ¿Es cierto que
Como
puede
observarse,
f x
f x
1 ? Considere f x 5 x 2 1
desarrollar
esta
división
puede
llevarnos
al
resultado trivial de la unidad, por lo que para justificarlo, sustituimos
el valor propuesto en la división para corroborarlo. Así escribimos:
f x
f x
5x 1
1
5x 1
EJEMPLO 54. ¿Es posible realizar el cociente de G( x) 5x 8 y P( x) 0 ?
2
Esta división no es aritméticamente posible, puesto que cualquier número
o variable (incluyendo al cero), no puede ser dividido entre cero y
49
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
darnos un resultado posible. Aunque en teoría este resultado es infinito
(o
un
número
muy
grande),
el
número
infinito
no
está
definido.
Simplemente: el infinito puede ser un uno con noventa y nueve ceros, o un
uno
con
cien
ceros.
¿Hay
alguna
diferencia
o
ambas
cantidades
son
iguales?
f x
0
?
Potencia de funciones
EJEMPLO 55. Elevar a la potencia 3 la función:
f ( x) 3 x 2
Elevar a una potencia equivale a multiplicar por ella misma el número de
veces que la potencia lo indique. Para este caso, elevar al cubo esta
función equivale a multiplicarla por si misma tres veces, es decir:
f ( x) 3 x 2
3
3
El desarrollo de este producto equivale a realizar el producto:
3x 2
3
3x 2 3x 2 3x 2
Para llevar un proceso similar al del producto (que ya hemos descrito),
la potenciación puede realizarse primeramente con el producto de 2 de los
factores y el resultado de nueva cuenta por el factor mismo; es decir:
3x 2
3
3x 2 3x 2 3x 2 9 x 2 12 x 4 3x 2
El desarrollo de estos dos nuevos factores será entonces:
9x
2
12 x 4 3x 2 27 x3 54 x 2 36 x 8
Teniendo entonces como resultado:
f ( x)
3
27 x3 54 x 2 36 x 8
EJEMPLO 56. Realizar la operación:
p( x) w( x) , definiendo w( x)
2
x 1
2
De manera similar que en el ejemplo anterior, definimos la potencia como
el producto de la misma función dos veces para esta ocasión. En otras
palabras:
50
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x 1 x 1 x 1
p ( x)
2
2
2
2
Considerando que la función tiene signo negativo, el producto considera
las leyes de los signos, lo cual nos dará de entrada un signo positivo
(dado que menos por menos es más). Siendo la función una fracción, el
producto
se
realiza
igual
que
lo
indica
el
producto
de
números
racionales: numerador por numerador y denominador por denominador. De
esta forma tendremos:
x 1 x 1 x 1 x 1
p ( x)
2
2
2 2
Teniendo como resultado final:
x 1
p( x)
2
2
2
x2 2 x 1
4
EJEMPLO 57. ¿Cuál será el resultado de la siguiente operación:
y 3t 2
?
2 3
Esta potenciación es en realidad una potencia de otra, para lo cual el
proceso
para
un
desarrollo
menos
laborioso,
consiste
primeramente
en
desarrollar la potencia de la potencia. Esto se hace recordando la regla
algebraica para tal fin, la cual nos dice: x a
b
x ab
De manera que para este caso, podemos aplicar esta regla para simplificar
el desarrollo en una sola potencia, es decir:
y 3t 2
y 3t 2
3t 2
2 3
23
6
El desarrollo ahora de la potencia del binomio puede realizarse por pares
para optimizar un poco los cálculos. Así entonces:
y 3t 2 3t 2 3t 2 3t 2
6
2
2
2
Cada cuadrado sería:
3t 2
2
9t 2 12t 4
51
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
De
manera
que
el
producto
de
los
dos
primeros
cuadrados
puede
reescribirse como
9t
2
12t 4 9t 2 12t 4 81t 4 216t 3 216t 2 96t 16
Y si tomamos los dos primeros factores ya desarrollados, solo restaría
multiplicar este resultado por el último cuadrado, es decir:
y 9t 2 12t 4 81t 4 216t 3 216t 2 96t 16
Que finalmente nos dará como resultado
y 729t 6 2916t 5 4860t 4 4320t 3 2160t 2 576t 64
EJEMPLO 58. ¿Cuál será el resultado de la siguiente operación:
f x 5x 1
2
1
2 2
?
Siguiendo con la metodología descrita en el ejercicio anterior, elevar
esta potencia de un binomio al cuadrado y esa a su vez a la potencia de
un medio (1/2), puede desarrollarse como
5x
f x 5x 1
2
1
2 2
2
1
2
1
2
2
2
5x
5x2 1
2
1
1 5x2 1
Es decir, el resultado es la misma base
f x 5x 1
EJEMPLO
59.
¿Es
posible
2
1
2 2
5x2 1
expresar
de
manera
distinta
G( x) sin x ?
2
Esta expresión es una conocida identidad, expresada como
sin x
2
sin 2 x 1 cos2 x
Por lo que la expresión puede expresarse como
G( x) sin 2 x 1 cos2 x
52
la
función
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Inversión de funciones
EJEMPLO 60.Invertir la función:
f ( x) 3 x 2
Para invertir esta u otra función, es necesario primero igualarla a y, es
decir:
f ( x) y 3 x 2
El siguiente paso es despejar la función para que esta quede en función
de x, lo cual nos resultaría para nuestro caso:
y 3x 2
x
y2
3
Luego, debe de hacerse un cambio de variable, es decir: intercambiar las
variables que para nuestro caso, son x y y. De esta forma tenemos que
x
x2
y2
x2
f ( x)
y
3
3
3
Este concepto puede verificarse con los trazos gráficos:
Como puede observarse, estas dos funciones son una la imagen de la otra,
o bien, trazando la función
y f ( x) x , (la cual es una recta de 45o)
esta sirve como un espejo que refleja ambas funciones.
Ejemplo 61. Encontrar la función inversa de w( x)
x 1
2
Similarmente al ejemplo anterior, la inversión de esta función se logra
primeramente igualando la función a la variable y:
53
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
w( x) y
x 1
2
Después, despejamos la variable x:
y
x 1
, x 2 y 1
2
Por último, cambiamos las variables:
y 2 x 1
Que nos exhibe finalmente la función inversa. Podemos visualizarlo con
las gráficas de ambas ecuaciones:
EJEMPLO 62. Definida la función:
de la operación: z f
La función
1
y f ( x) x3 1 , ¿Cuál será el resultado
( x) ?
f ( x) x3 1 se invierte siguiendo las descripciones anteriores,
primeramente igualando la función con la variable y:
y x3 1
Ahora, despejando la variable x, tendremos:
x 3 y 1
Finalmente, intercambiando variables:
y 3 x 1
54
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Que sería la función inversa, pudiendo entonces escribir:
f 1 ( x) 3 x 1 ,
z 3 x 1
La gráfica de esta función puede bien mostrar esta inversión:
Ejemplo 63. ¿Cuál es la función inversa de la función: g x
2
?
x 3
Siguiendo
uno
con
ejercicios
la
metodología
anteriores,
el
descrita
primer
paso
en
todos
y
es
igualar
cada
la
función
de
los
a
una
variable distinta:
g x h
2
x 3
Después, se despeja la función dependiente:
x
3h 2
h
Y finalmente, se intercambian las variables:
h
3x 2
x
Ahora bien, para la función original y para la función invertida, debemos
de considerar que existen restricciones: la función no estará definida en
ciertos valores de x. Por ejemplo, la función original no está definida
si
x 3 , puesto que este valor hará que el denominador tenga como valor
el cero y como se recordará, la división entre cero es una operación
aritmética no definida. Por otro lado, la función h, tiene como numerador
directamente a la variable independiente, es decir, cuando la variable x
vale
cero,
la
función
no
está
definida.
Podemos
observar
condiciones en un bosquejo de la gráfica de ambas funciones:
55
estas
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 64. ¿Es posible invertir la función G( x) sin( x) ?
La función sin(x), en el momento de ser igualada a la función y nos
proporciona la función seno, es decir:
y sin( x)
Ahora bien, despejando la variable “x” de esta función, tendremos que
x sin 1 ( y)
Intercambiando las variables, tendremos:
y sin 1 ( x)
La cual por definición es una función que solo está definida en los
valores de
r
hasta
r ; por lo tanto esta función tiene un rango
diferente a su función original, lo que por definición convierte a la
función original sin( x) en una función que no es invertible. La siguiente
figura muestra la inversión de los valores descritos
56
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Composición de funciones
La composición de funciones es otra operación entre funciones que se base en aplicar
una función en otra en un orden determinado, dicho resultado es también una
función18,19.
Dadas dos funciones
y
, se llama función compuesta
a la función definida de la
siguiente forma:
Se lee:
o también
g
El dominio de
f
es el conjunto de toda
del dominio de
, tal que
está en el
dominio de .
La función composición tiene las siguientes propiedades:
(asociativa)
(no es conmutativa)
Ejemplo
65.
Dadas
las
funciones
y
,
determinar
.
(
(
)
)
(
)
(
)
Ejemplo 66. Dadas las funciones
y
.
(
)
14
57
, determinar:
CONALEP-2011
(
(
Ejemplo
67.
[Análisis derivativo de funciones]
)
)
Determinar
√
para
las
siguientes
funciones
.
√
(√ )
Ejemplo 68. Determinar
√
para las siguientes funciones:
.
Ejemplo 69. Determinar
para las siguientes funciones:
.
(
)
(
)
Ejemplo 70. Determinar
(
)
(
)
(
)
(
)
para las siguientes funciones:
√ .
(
√ )
(
√ )
√
58
√
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 71. Determinar
, dada
Ejemplo 72. Determinar
, dada
.
.
1.5. Discusión de ecuaciones
Discutir una ecuación algebraica representada por una expresión en dos variables de
forma f ( x, y ) =0, significa analizar algunos pasos que nos permitan conocer aspectos
importantes de la ecuación y con esto poder trazar su gráfica con alguna precisión de
una manera relativamente sencilla. Los pasos por analizar los pondremos en forma de
listado como sigue20:
1. Extensión.
2. Intersecciones: con el eje X y con el eje Y.
3. Simetrías: con el eje X, con el eje Y, con el origen de coordenadas.
4. Asíntotas: horizontales y verticales.
5. Tabulación.
6. Gráfica.
Expliquemos cada paso:
1. Extensión: La extensión de una curva f ( x, y ) =0, trata la determinación de los
intervalos de variación para los cuales los valores de x y y son valores reales,
esto nos ayuda para la localización de la curva en el plano coordenado y
además, poder saber si se trata de una curva cerrada o de extensión indefinida.
Los intervalos de variación se determinan despejando y en términos de x, y
luego despejando x en términos de y, determinando así el dominio y el rango
de la ecuación f ( x, y ) =0.
2. Intersecciones: Con el eje X y con el eje Y.
Recordando que todo punto que se localice sobre el eje X tiene coordenadas (
x ,0) donde x , y todo punto sobre el eje Y tiene coordenadas ( y ,0) donde
y
, recordar que esto nos permite obtener las intersecciones de la gráfica de
la ecuación con los ejes coordenados, procediendo como sigue:
a) Con el eje X: en la ecuación dada, sustitúyase 0 (cero) en la variable y, y
resuélvase para x.
b) Con el eje Y: en la ecuación dada, sustitúyase 0 en la variable x y
resuélvase para y
59
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Es conveniente aclarar que algunas ecuaciones pueden tener uno,
varios, o ningún punto de intersección con los ejes.
3. Simetría: Con el eje X, con el eje Y, con el origen de coordenadas.
Una curva es simétrica respecto a una línea recta, si cada punto de la
curva tiene su simétrico con respecto a la recta.
Con el eje X: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la y por la –y, y esta no
cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simétrica respecto al eje X, si
cambia, entonces no hay simetría con el eje X (ya que los puntos de coordenadas
son simétricos respecto al eje X.
( x, y) y ( x, y) con x , y
Con el eje Y: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la x por la -x y esta no
cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simétrica respecto al eje Y, si
cambia, entonces no hay simetría con el eje Y (ya que los puntos de coordenadas
son simétricos respecto al eje Y.
( x, y) y ( x, y) con x , y
Con el origen de coordenadas: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la x
por la -x y la y por la –y, y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva
dada es simétrica respecto al origen de coordenadas, si cambia, entonces no hay
simetría respecto al origen (ya que los puntos de coordenadas ( x, y ) y ( x, y) con x ,
y
son simétricos con respecto al origen de coordenadas).
Cuando hay simetría respecto a los dos ejes, también habrá simetría respecto al origen
y hay que investigarlo.
4. Asíntotas: horizontales, verticales.
Si la distancia d entre un punto P que se mueve a lo largo de una
curva respecto a una línea recta, se hace cada vez más pequeña sin
que llegue a tocar la recta, dicha recta es asíntota de la curva.
60
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Trataremos algunas reglas para determinar asíntotas cuando se tiene ecuaciones
algebraicas de la forma
;
donde f ( x) y g ( x) son polinomios en x
√
distintos de cero, tienen asíntotas horizontales y verticales21.
1a Regla: Si los polinomios
y
son de igual grado, al efectuar la
división,
el cociente k es la asíntota horizontal
, e igualando a cero el
polinomio del denominador
asíntotas verticales:
y resolviendo para x, se obtendrán las
f x
r x
k
g x
g x
2a Regla: Si el polinomio del numerador f ( x) es de menor grado que el del
polinomio del denominador
g ( x) , la asíntota horizontal es el eje x cuya
ecuación es y 0 , e igualando a cero el polinomio del denominador g ( x) 0 y
resolviendo para x , se obtendrán las asíntotas verticales.
3a Regla: Si el polinomio del numerador f ( x) es de grado mayor que el del
polinomio del denominador
g ( x) , entonces no existe asíntota horizontal o
serán de otra forma. En lo que respecta a las asíntotas verticales si las hay, su
tratamiento es similar a las reglas anteriores.
5. Tabulación: Para la tabulación de datos se realizaran de acuerdo con los
valores del dominio y rango.
6. Gráfica: Con toda la información obtenida en los 5 puntos anteriores, se
procede a graficar la ecuación original.
EJEMPLO 73. Discutir;
1. Extensión.
Despejando
y
y en términos de x se tiene:
3x 6
.
2
Despejando x
en términos de y se tiene:
2y 6
x
.
3
Los valores permisibles
son:
Dominio , .
Rango
, .
2. Intersección.
Con el eje Y: Si x 0 ; y
3(0) 6 6
3 ; en y 3; P1 0,3 .
2
2
61
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Con el eje X: Si y 0 ; x 2(0) 6 6 2 ; en
3
3
; P2 2, 0
3. Simetrías.
– se
Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original la
tiene:
y
3x 6
2
y
3x 6
2
Cambió respecto a la ecuación original,
no hay
simetría con el eje X.
Con el eje Y:
y
– ;y
3( x) 6
2
3x 6
Cambió respecto a la ecuación original,
2
simetría con el eje Y.
Con el origen de coordenadas:
– ,
no
–
3x 6
.
2
3x 6
Cambió, no hay simetría con el origen.
y
2
y
4. Asíntotas:
Horizontales: No hay asíntota.
Verticales: No hay asíntota
5. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x
y
-5
1.8
-2
3
-1
5
6. Gráfica.
62
1
-3
2
-1
hay
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 74. Discutir;
1. Extensión.
Despejando y en términos de x se tiene:
y
y( x 2 1) x ;
x
x 1
2
x2 1 0
Igualando a cero el denominador:
Factorizando:
x 1 x 1 0
x 1 0 ;
x 1
x 1 0 ;
1,1 , 1 1,1 1,
Igualando a cero cada factor:
Dominio
x 1
2. Intersección.
Con el eje Y: Si
Con el eje X: Si y 0 ; 0
x 0;
y
0
0
2
1
; P1 0, 0
x
; x 0 ; P1 0, 0
x 1
2
3. Simetrías.
–
Con el eje X. Sustituyendo en la ecuación original la
se
tiene:
y
x
cambió
x 1
2
respecto
a
la
ecuación
original,
luego
no
hay
original,
luego
no
hay
simetría con el eje X.
Con el eje Y:
y
x
Cambió
x2 1
y
– ;
respecto
a
simetría con el eje Y.
Con el origen de coordenadas:
y
y
x
x
la
2
1
ecuación
– ,
–
x
;
x2 1
x
No cambió, sí hay simetría con el origen.
x 1
2
Asíntotas.
Horizontales: Por la segunda Regla, la asíntota horizontal es el
eje X.
63
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y 0, es la ecuación de la asíntota horizontal.
Verticales: Igualando a cero el denominador x 1 0 ; factorizando:
2
x 1 x 1 0 ;
x 1 0 ; x 1 x 1 0 ; x 1
Las ecuaciones x 1 y x 1 son las asíntotas verticales.
4. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x
-3
-0.38
y
-1.1
-5.24
-0.9
4.74
0
0
0.9
-4.74
1.5
1.2
3
0.38
5. Gráfica.
EJEMPLO 75. Discutir;
1. Extensión.
Despejando y en términos de x se tiene: y
25 x 2 . Es necesario para
2
que y tenga un valor dentro de los reales, que x 25 5 x 5 .
Valores que se encuentren fuera, entre -5 y 5 propiciarían
soluciones complejas, por lo tanto el dominio de la ecuación es:
Dominio
5,5
Despejando x
y se tiene: x
en términos de
para que x tenga
un valor dentro de
25 y 2 . Es necesario
los reales, que
5 y 5 .
Análogo a lo anterior el rango de la ecuación es:
Rango
5,5
Intersección.
Con el eje Y: Si
x 0 ; y 25 (0)2 ; en y 5 ;
64
y 2 25
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Con el eje X: Si y 0 ; x
25 (0)2 ; en
,
P3 5, 0 P4 5, 0
2. Simetrías.
Con el eje X:
tiene: y
Sustituyendo en la ecuación original la
– se
25 x 2 .
y 25 x 2 ;al resolver la ecuación tendremos dos soluciones
del mismo
valor pero con signos contrarios por lo que al
multiplicarlos por el signo menos, los resultados serán los
mismos, por lo que si hay simetría con el eje X
Con el eje Y:
– ; x
25 y 2 .
x 25 y 2 Análogo a lo anterior, también hay simetría con el
eje Y.
Con el origen de coordenadas:
y 25 ( x)2 y 25 ( x)2
– ,
–
sí hay simetría con el origen.
3. Asíntotas.
Horizontales: No hay asíntotas.
Verticales: No hay asíntotas.
4. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
-5
-2
0
2
5
x
y
0
4.58 5
4.58 0
5. Gráfica.
65
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 76. Discutir:
x2 12 x 4 y 12 0
1. Extensión.
Despejando y en términos de x se tiene: y
( x 2 12 x 12)
.
4
Dominio (, ).
Despejando x en términos de y se tiene: completando el cuadrado de
la
x2 12 x 4 y 12 ; x2 12 x 36 4 y 12 36 ;
ecuación:
x 6 4 y 24 ; x 24 4 y 6 .
2
Podemos observar que los términos de la raíz
resultan negativos
cuando y 6 , por lo que el rango de la ecuación es:
Rango , 6
.
2. Intersección.
Con el eje Y:
eje X: Si y 0 ;
Si
x 0; y
( x 2 12 x 12)
; en y=-3; P3 0, 3 . Con el
4
x 24 4 y 6 ; en x 1.1; x 10.89
P1 (1.1, 0)
P2 10.89, 0
3. Simetrías.
–
se
( x 2 12 x 12)
; Cambió respecto a la ecuación original,
4
no
Con el eje X:
(
tiene:
y
Sustituyendo en la ecuación original la
)
hay simetría con el eje X.
Con el eje Y:
– ; x
24 4 y 6
x 24 4 y 6 ; cambió respecto a la ecuación original,
simetría con el eje Y.
Con el origen de coordenadas:
– ,
–
( x 2 12( x) 12)
4
2
( x 12 x 12)
cambió, no hay simetría con el origen.
y
4
y
66
no hay
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
4. Asíntotas.
Horizontales: No hay asíntotas.
Verticales: No hay asíntotas.
5. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para “ x ”:
x
y
-4
-19
0
-3
1.1
0
5.5
5.93
10.89
0
13
-6.25
16
-19
6. Gráfica.
EJEMPLO 77.Discutir;
1. Extensión.
Despejando y en términos de
x se tiene:
y
x4
.
x
Igualando a cero el denominador: x 0.
Los valores permisibles para son todos los reales excepto cero.
Dominio
0 , 0 0, .
2. Intersección.
Con el eje Y: Si
x 0; y
04
;
0
No hay. Con el
eje X: Si y 0
;
3. Simetrías.
Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original se tiene
y
x4
cambió, no hay
x
simetría con el eje X.
67
CONALEP-2011
Con el eje
y
[Análisis derivativo de funciones]
x 4
x
y
Y: sustituimos y por –y;
x4
cambió respecto a la ecuación original, no hay simetría
x
con el eje Y.
Con el origen de coordenadas:
y
– ,
–
x4
cambió, no hay simetría con el origen.
x
4. Asíntotas.
Horizontales: Por la primera regla, haciendo la división:
y
x4
4
1
x
x
y 1 es la ecuación de la asíntota horizontal.
Verticales: Igualando a cero el denominador
de la asíntota vertical (es el eje Y).
x 0 ; es la ecuación
5. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x
y
-5
1.8
-2
3
-1
5
6. Gráfica.
EJEMPLO 78.Discutir:
68
1
-3
2
-1
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1. Extensión.
28
27 ; obsérvese que
x
los términos de la raíz se hacen infinitos cuando x 0 ; por lo que
Dominio 0 (,0) 0, .
Despejando y en términos de x se tiene:
Despejando x
en términos de y se tiene:
y
3
28
.
y 27
x
3
Nótese que la expresión se vuelve infinita cuando el denominador de
la ecuación sea cero y para que esto suceda, el valor de
y debe
ser -3, por lo que el rango nos queda:
rango , 3 3, .
2. Intersección.
Con el eje Y: Si
x 0; y 3
28
27 ; en
0
; no hay intersección
con el eje Y.
Con el eje X: Si y 0 ;
x
28
;
(0) 27
3
en x=1.03;
P1 1.03, 0 .
3. Simetrías.
Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original
y
– se tiene:
La
y 3
3
28
27
x
28
27 ; Cambió respecto a la ecuación original,
x
no hay
simetría con el eje X.
por
Con el eje
x
Y:
28
;
y 27
3
x x;
x
Cambió respecto a la ecuación original,
simetría con el eje Y.
Con el origen de coordenadas:
3
28
27
x
y 3
28
27
x
y
28
y 27
3
– ,
–
cambió, no hay simetría con el origen.
4. Asíntotas.
69
no hay
CONALEP-2011
Horizontales:
y 3 27
[Análisis derivativo de funciones]
Por
la
primera
Regla,
partiendo
de
la
ecuación:
3
28
, y 27 ; y 3
x
es la ecuación de la asíntota horizontal.
Verticales: Igualando a cero el denominador
de la asíntota vertical (es el eje Y)
x 0 ; es la ecuación
5. Tabulación.
De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
-2
-1
-0.5
0.5
1.037
2
4
x
y
-3.44
-3.8
-4.36
3.07
0
-2.35
-2.71
6. Gráfica.
1.6. Modelación de funciones.
Ejemplo 79. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 80 m. Se desea
expresar el área en función de uno del lado más largo (base).
Un buen comienzo para el planteamiento de este problema, es realizar un
dibujo que represente lo más posible al problema planteado, con todas las
representaciones de sus variables. De esta manera, podemos expresar en un
bosquejo un dibujo como el siguiente:
70
CONALEP-2011
De
acuerdo
a
la
[Análisis derivativo de funciones]
figura,
podemos
expresar
el
área
del
rectángulo
en
función de la base o de la altura, es decir:
A(b, h) b h
Por otro lado, un cálculo que puede ser también útil es la función del
perímetro, que se escribiría:
P(b, h) b b h h 2b 2h
Como
conocemos
el
valor
del
perímetro,
podemos
sustituirlo
en
la
expresión anterior de manera que
P(b, h) 80m 2b 2h
Que podemos expresar como
80m 2b 2h
Esta es ya una ecuación, pues sus valores están en función de un valor en
particular, de hecho, puede expresarse de manera más sintetizada como
40m b h
Podemos despejar de esta ecuación, la variable altura (h), para de esta
manera tener la ecuación en función de la base (b), es decir:
h 40m b
Sustituyendo esta variable en la función del área tendremos:
A(b, h) b h b 40m b
Lo cual nos deja una expresión en función de una sola variable:
A(b) b 40m b 40m b b2
Y que es la función pedida.
EJEMPLO 80. ¿Cómo se puede expresar el área de un triángulo equilátero
como función de la longitud x de uno de sus lados?
71
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Al igual que en el problema anterior, un buen comienzo puede ser una
representación del problema. Así, un dibujo del triángulo ayudaría:
Como
puede
observarse,
la
figura
muestra
la
representación
de
un
triángulo equilátero, esto es, con cada uno de sus lados iguales. La
altura de esta parte de la mitad del lado considerado como base (por ser
un triángulo rectángulo), de ahí que la base se divide en dos partes
iguales a partir de la altura, que es una recta perpendicular a la base.
Comenzando
con
el
análisis
de
la
figura,
tenemos
que
el
área
del
rectángulo será:
A b, h
bh
2
Como sabemos, la base puede sustituirse por el valor de la base, es
decir:
A x, h
x h
2
Por lo que puede observarse, debemos encontrar una expresión que vincule
la variable h con la variable x. Una manera de expresar lo anterior es
considerando uno de los triángulos rectángulo en los que se ha dividido
el triángulo rectángulo:
72
CONALEP-2011
En
el
triángulo
[Análisis derivativo de funciones]
mencionado,
podemos
expresar
que
por
teorema
de
Pitágoras:
x
x h
2
2
2
2
Despejando la variable h:
x
h x
2
2
2
Que es una fórmula que contiene solamente a la variable x. Por tanto,
podemos sustituir esta fórmula en la función que expresa el área del
triángulo:
2
x
2
x
x
2
A x
2
Que es la fórmula pedida.
Ejemplo 81. Una pista de atletismo tiene 400m de longitud, y su figura
está compuesta por dos lados paralelos y dos semicírculos. Encuentra una
función que exprese el área encerrada en la pista en función del radio de
los semicírculos.
La
figura
que
representa
el
problema
propuesto
puede
ser
como
la
siguiente:
Si observamos, el área contenida por el perímetro de la pista puede
dividirse en tres partes: dos semicírculos y un rectángulo. La siguiente
figura
muestra
estas
áreas,
el
área
llamada
A1
como
el
área
del
rectángulo y el área A2 y A3 como las áreas de los semicírculos, que por
cierto, son iguales.
73
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
El área del rectángulo puede calcularse como
A1 b h a 2r
El área de cada uno de los semicírculos será:
r2 r2
A2 A3
2 2
Y el área total de la figura será:
r2 r2
A1 A2 A3 a 2r
2 2
Por otro lado, considerando el perímetro total de la figura, tendremos
que será la suma del perímetro de cada una de las dos semicircunferencias
( r ) y las bases del rectángulo(a):
P r r a a 2( r a)
Como conocemos el valor numérico del perímetro que es de 400m, podemos
sustituirlo en esta ecuación:
P 400 2( r a)
Despejamos la variable a, el área de cada uno de los semicírculos en
función del radio será:
a 200 r
Por lo tanto, considerar esta fórmula para el cálculo de la variable a o
lado de la figura puede ser sustituida en la fórmula del área total:
r2 r2
r2 r2
A1 A2 A3 a 2 r
200
r
2
r
2 2
2 2
El
área
total
estará
semicircunferencias,
por
entonces
lo
que
en
función
agrupando
del
términos
radio
y
de
reduciendo
las
la
expresión tendremos:
At (r ) r r 400
Que sería la función pedida.
Ejemplo 82. Se desea fabricar una caja sin tapa con una lámina de cartón
cuadrada cuyos lados midan 12cm. Encontrar una expresión del volumen que
contendrá
la
caja
en
función
de
cuatro
realizarán en cada una de las esquinas.
74
recortes
cuadrados
que
se
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Un dibujo que represente el planteamiento del texto anterior puede ser
similar al siguiente:
Como puede observarse, la hoja de cartón tiene los recortes descritos,
por lo que una función que nos indique la base de la caja se expresaría
como
b( x) 12cm 2 x 12cm 2 x
Puesto que el cuadro que haría las veces de base tiene como lado el valor
de 12cm 2 x , como se muestra en la siguiente figura:
Como puede observarse, el valor de la altura de la caja será entonces de
x, por lo que el volumen total de la caja puede expresarse como el
producto de la base por la altura, es decir:
b( x) h( x) 12cm 2 x 12cm 2 x x
Desarrollando el producto y agrupando términos semejantes, tendríamos:
V ( x) 4 x x 6cm
Que es la función pedida.
75
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 83. Un pueblo se encuentra a 3km de distancia de un río. En una
sesión de simulacro, se pretendió que un bosque se incendiaba a una
distancia de 2km del mismo río. La distancia sobre el río que separa al
pueblo del bosque es de 6km (véase la figura). Los bomberos matemáticos
quieren representar una función que represente la distancia sobre el río
para en un momento dado, calcular el trayecto más corto para ir del
pueblo al río y después al bosque22.
Una suposición que puede ubicar una mejor solución para el problema, es
suponer
un
distancia
punto
del
sobre
recorrido.
el
río,
Esto
el
cual
puede
será
la
bosquejarse,
posición
puede
ser
de
menor
como
la
siguiente:
Como puede observarse, el punto x representa la distancia entre los dos
pueblos en donde puede ser mínima función de la distancia total. Por otro
lado, la distancia que han de recorrer los bomberos desde el pueblo al
río y luego al bosque (o incluso en orden inverso) se calcula con la suma
de los trayectos que han de recorrer; esto es de acuerdo al dibujo: el
segmento A más el segmento B.
D( x) A( x) B( x)
El segmento A puede ser expresado como A( x) 3Km x
2
Y el segmento B: B( x) 2 Km 6 Km x
2
76
2
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por lo que la suma de ambas funciones sería:
D( x) A( x) B( x) 3Km x 2Km 6Km x
2
2
2
2
Que una vez desarrollando y agrupando términos semejantes, obtendríamos:
D( x) 2 x 2 12 x Km 49 Km2 .
77
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.7. Problemario
1. Determinar las variables independientes y las dependientes, así como las constantes
que intervienen en cada una de las situaciones que se indican a continuación:
1.1. El área de un triángulo se determina utilizando la fórmula
1.2. El área de un círculo es a través de la fórmula
1.3. A cierto trabajador se le paga por el número de horas trabajadas. El costo por
hora para dicho trabajador es de $80.00, por lo que su pago se determina mediante la
ecuación
, siendo n el número total de horas trabajadas.
1.4. La energía cinética de un cuerpo es la energía que dicho cuerpo tiene debido a su
movimiento, la cual depende su masa y de su velocidad de acuerdo son la siguiente
fórmula:
1.5. En geometría analítica se demuestra que la ecuación que determina una parábola
está definida como
1.6.
La ecuación que define la posición en un instante de tiempo t, de un cuerpo que
se mueve con una velocidad inicial
y con una aceleración constante a es:
1.7. Cuando un cuerpo se ve afectado por un cambio de temperatura
, se pueden
presentar dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal
puede calcular con la fórmula
se
, donde L representa la longitud inicial del
cuerpo y es el coeficiente de dilatación lineal que caracteriza al material del cuerpo.
1.8. La Ley de Ohm nos permite determinar la corriente a través de un conductor
mediante la fórmula
, en la que V representa el voltaje aplicado y R la resistencia
eléctrica.
1.9. Para describir el crecimiento de bacterias en un cultivo, se tiene
, donde
A se conoce como factor de crecimiento y k tasa de crecimiento y ambos son positivos.
1.10. La cantidad de agua contenida en un tinaco cilíndrico V, se puede
calcular
conociendo el diámetro D y el nivel de agua medido desde la base h mediante:
2. Obtener el producto cartesiano de los siguientes conjuntos:
2.1.
2.2.
y
{
{
{
y
{
78
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
2.3.
{
2.4.
{
2.5.
{
y
{
y
{
y
{
3. Determinar si los siguientes conjuntos corresponden a funciones o relaciones:
3.1.
{
3.2.
{
3.3.
{
3.4.
{
3.5.
{(
) (
) (
) (
)
4. Determinar si las siguientes gráficas corresponden a funciones o relaciones:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
79
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
5. Evaluar las siguientes funciones:
5.1.
para
5.2.
para
5.3.
para
5.4.
5.5.
⁄
⁄
para
para
√
5.6.
para
5.7.
( ⁄ )
para
5.8.
⁄
( ⁄ )
para
5.9.
para
⁄ para ( ⁄ )
5.10.
( ⁄ )
6. Identificar si las funciones siguientes son de tipo algebraica o trascendente:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
√
80
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
7. Determinar si las funciones siguientes son pares, impares o ninguna de las dos:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
8. Dadas las siguientes funciones, realizar las sumas propuestas:
1
2
r ( x ) x 2 2 ,
s ( x)
2x2 2x
,
x
t ( x)
v( x) sin x , w( x) e x
8.1. r ( x) s( x)
8.2. r ( x) t ( x)
8.3.
s ( x) t ( x) u ( x)
8.4. s( x) r ( x)
8.5. w( x) r ( x)
8.6. v( x) s( x)
8.7.
u ( x) s ( x) r ( x )
8.8.
u ( x) s ( x) r ( x )
8.9. v( x) t ( x)
8.10. v( x) w( x) s( x) t ( x)
81
( x 1)( x 1)
,
x
u ( x)
2 x2 2 x
,
2x
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
9. Dadas las siguientes funciones, realizar las restas o diferencias propuestas:
A( x) 2 x2 8x 5 ,
B( x ) 5 x 3 2 x 0 ,
C ( x)
( x 1)( x 1)
,
x
D( x) sin ( x) ,
1
2
E ( x) sin 1 ( x) , & F ( x)
9.1. A( x) F ( x)
9.2. F ( x) A( x)
9.3. B( x) A( x)
9.4. C ( x) A( x)
9.5. D( x) A( x)
9.6. A( x) B(3)
9.7. E ( x) D( x)
9.8. A( x) F ( x)
9.9. A( x) B( x) C ( x)
9.10.
A( x) B( x) C( x)
10. Dadas las siguientes funciones, realizar las multiplicaciones propuestas:
A( x) 2 x2 8x 5 ,
B( x ) 5 x 3 2 x 0 ,
E ( x) sin 1 ( x) , F ( x)
x
2
10.1. A( x) B( x)
10.2. B( x) A( x)
10.3. C ( x) A( x)
10.4. D( x) E ( x)
10.5. F ( x) B( x)
1
x B( x)
3
10.6. A
10.7. A( x) D( x)
10.8. A( x) F ( x)
10.9. A( x) B( x) C ( x)
82
C ( x)
( x 1)( x 1)
,
x
D( x) sin ( x) ,
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
A( x) B( x) C ( x)
10.10.
11. Dadas las siguientes funciones, realizar las divisiones propuestas:
A( x) x 2 x , B( x) x 2 2 x 1 , C ( x)
F ( x)
x
8
11.1.
A( x)
B( x)
11.2.
B( x)
A( x)
11.3.
A( x)
C ( x)
11.4.
C ( x)
B( x)
11.5.
A( x)
E ( x)
11.6.
F ( x)
D( x)
11.7.
A( x)
D( x)
11.8.
F ( x)
A( x)
11.9.
A( x)
F ( x)
11.10.
( x 1)( x 1)
1
, D( x) sin ( x) , E ( x) ux vx ,
x
C ( x)
A(1)
12. Dadas las siguientes funciones, realizar las potencias propuestas:
A( x) x 2 x , B( x) x 2 2 x 1 , C ( x) sin 1( x) , D( x)
12.1. A( x)
2
12.2. B( x)
3
12.3. C ( x)
1
83
x
8
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
12.4. D( x)
2
12.5. D( x)
1
12.6. A( x)
0
12.7.
C ( x)
4
2
2
12.8. D( x) 4
8
12.9. A( x)
12.10.
16
2
A( x)
4
0
13. Encontrar la función inversa de cada una de las funciones propuestas:
f 1 ( x)
13.1. f ( x) 3x 2 x,
2
f 1 ( x)
13.2. f ( x) 2 x 3,
13.3. f ( x)
13.4.
1
,
2x
f 1 ( x)
f ( x) 5x 25,
f 1 ( x)
13.5. f ( x) ln( x),
13.6. f ( x) e ,
x
f 1 ( x)
13.7. f ( x) 3x 2,
13.8. f ( x) x,
14.
3x
,
1
f 1 ( x)
f 1 ( x)
13.9. f ( x) tan( x),
13.10. f ( x)
f 1 ( x)
f 1 ( x)
f 1 ( x)
Dadas las siguientes funciones, determinar
14.1.
14.2.
14.3.
√
14.4.
14.5.
84
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
14.6.
14.7.
14.8.
√
15. Calcular lo siguiente
15.1.
√
15.2.
16. Discusión y análisis de ecuaciones:
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
85
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.8. Autoevaluación
1. Con los siguientes pares ordenados, determina el dominio y el contradominio.
Indicar si se trata de una relación o función. Graficar los pares en un sistema de
coordenadas.
a)
b)
2. Encuentra el dominio de la siguiente función:
3. Dada la función
, determinar el valor de la función para
.
4. Dada la función
, indicar si es algebraica o trascendente, si tiene simetría
respectos a los ejes o el origen, si es continua o discontinua y elaborar la gráfica de
dicha función en el intervalo [-2,2].
5. Dadas las funciones
a)
, determinar:
√
b)
c)
d)
e)
f)
6. Se tiene una lata de refresco cuya capacidad volumétrica es de 350cm 3. Expresar el
área total S de la superficie de la lata en función de su radio r y determinar el dominio.
r
h
Área
superficial
S
86
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.9. Conclusión
Uno de los pilares de las matemáticas es la función. Lo estudiado en esta unidad
facilita el estudio del cálculo. Otro de los pilares en el estudio de las matemáticas es la
determinación de límites de una función que veremos en la siguiente unidad.
La gráfica de una función es una imagen visual que nos permite ver el comportamiento
de dicha función. Hoy día podemos contar con calculadoras y una gran cantidad de
programas informáticos para la graficación de una función. ¿Conoces alguno de estos
programas?
87
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.10. Soluciones del problemario
1.1. A es la función dependiente, b y h son las variables independientes, 2 es la
constante numérica.
1.2. A es la variable dependiente, r es la variable independiente, π y 2 son constantes
numéricas.
1.3. S es la variable que depende de n, la cual es la variable independiente, 80 es la
constante numérica.
1.4. Ec es la variable dependiente, v es la variable independiente, m es una constante
arbitraria (parámetro), ½ y 2 son constantes numéricas.
1.5. y es la variable dependiente, x es la variable independiente, mientras que a, b y c
son parámetros.
1.6. S es la variable dependiente, t es la variable independiente,
y a son
parámetros, ½ y 2 son constantes numéricas.
1.7
es la variable dependiente, y L son parámetros, T es la variable
independiente.
1.8. I variable dependiente, V y R variables independientes.
1.9. f es la variable dependiente, A y k son parámetros, e es una constante numérica,
t es la variable independiente.
1.10. V es la variable dependiente, D y H variables independientes, las constantes
numéricas son 4, 2 y π.
2.1.
{
2.1.
{
2.3.
{
2.4.
{
2.5.
{(
)(
)(
)(
)(
)(
)
3.1. A es una función (ya que no se repite el primer elemento con segundos elementos
diferentes).
3.2. B es una función
3.3. C es una relación, (ya que los elementos 1 y 4 se vuelven a repetir)
3.4. D es una función
3.5. E es una relación (el primer elemento es el mismo en todas las parejas
ordenadas)
4.1. Función
88
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.2. Función
4.3. Función
4.4. Relación
4.5. Relación
4.6. Función
4.7. Relación
4.8. Relación
4.9. Función
4.10. Función
5.1.
( ⁄ )
5.2.
⁄
( ⁄ )
⁄
5.3.
5.4.
5.5.
5.6
√
( ⁄ )
⁄
5.7.
( ⁄ )
⁄
(
⁄ )
⁄
5.8.
5.9.
5.10. ( ⁄ )
⁄
( ⁄ )
(
)
6.1. Trascendente
6.2. Trascendente
6.3. Trascendente
6.4. Algebraica
6.5. Algebraica
6.6. Algebraica
6.7. Trascendente
6.8. Trascendente
6.9. Algebraica
6.10. Trascendente
7.1. Par
7.2. Impar
89
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
7.3. No es par ni impar
7.4. No es par ni impar
7.5. No es par ni impar
7.6. No es par ni impar
7.7. Par
7.8. Impar
7.9. Impar
7.10. No es par ni impar
14.1.
14.2.
14.3.
√
√
14.4.
14.5.
14.6.
14.7.
14.8 .
√
√
15.1. √ √
15.2.
16.1.
a) Dominio =
2 , 2 2, .
b) Intersecciones:
P1 3, 0 .
Eje X,
P2 0,3 .
Eje Y,
c) Simetrías:
d) Asíntotas:
Eje X,
no hay.
Eje Y,
no hay.
Origen,
no hay.
Horizontales, y 2 .
Verticales,
e) Tabulación:
x
-4
y
2.33
0
3
x 2.
1.5
6
f) Gráfica:
90
2.5
-2
5
1.33
CONALEP-2011
16.2.
[Análisis derivativo de funciones]
, .
= , .
a) Dominio =
b) Rango
5
P1 , 0 .
3
Eje Y, P2 0,5
c) Intersecciones:
Eje X,
d) Simetrías:
Eje X, no hay.
Eje Y, no hay.
Origen, no hay.
Horizontales, no tiene.
Verticales, no tiene.
e) Asíntotas:
f) Tabulación:
x
-1.5
y
9.5
0.5
3.5
0
5
g) Gráfica:
16.3.
a) Dominio =
1 , 1 1, .
91
1
2
1.66
0
3
-4
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
0.25 , 0.25 0.25, .
b) Rango =
c) Intersecciones:
Eje X, P1 0, 0
Eje Y, P2 0, 0
d) Simetrías:
Eje X, no hay.
Eje Y, no hay.
Origen, no hay.
Horizontales, y 0.25 .
e) Asíntotas:
Verticales,
f) Tabulación:
x
-3
y
0.37
-2
-0.5
x 1 .
-1.5
-0.75
-0.5
0.25
0
0
2
-0.16
1.5
2
2.5
g) Gráfica:
16.4.
a) Dominio =
b) Rango =
0, .
, .
c) Intersecciones:
Eje X, P1 0, 0 .
Eje Y, P2 0, 0 .
d) Simetrías:
e) Asíntotas:
f) Tabulación:
x
0
Eje X, sí hay.
Eje Y, no hay.
Origen, no hay.
Horizontales, no tiene.
Verticales, no tiene.
0.5
1
92
CONALEP-2011
y
[Análisis derivativo de funciones]
2.82
2
0
3.46
4.47
4
g) Gráfica:
16.5.
a) Dominio =
b) Rango =
, .
0, .
c) Intersecciones:
Eje X,
x 0.
Eje Y, y 0.
d) Simetrías:
e) Asíntotas:
f) Tabulación:
x
-3
y
0.56
Eje X, no hay.
Eje Y, si hay.
Origen, no hay.
Horizontales, no tiene.
Verticales, no tiene.
-2
0.25
-1
0.06
g) Gráfica:
93
0
0
1
0.06
2
0.25
3
0.56
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.11. Soluciones de la Autoevaluación
1a)
{
{
Se trata de una función, ya que los primeros elementos no se repiten en otro
par ordenado.
1b)
{
{
Se trata de una relación, ya que los primeros elementos se repiten en otro par
ordenado.
2.El dominio son todos los reales excepto
(generan división por cero), expresado en
intervalos:
3.
4.La función
, es de tipo algebraica, continua y no tiene simetría ni con los
ejes ni con el origen (no es par ni impar), su gráfica es como la que se muestra:
94
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
5.
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
(
)
f)
(
)
√
(√ )
√
√
6. Superficie total
Como el volumen es 350cm3 tenemos
Así que
(
)
con
95
por lo que
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Referencias
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Litoral.
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Dugopolski Mark. (2005). Álgebra Intermedia. México. McGraw- Hill
4
Arana Hernández Alma Nora. (2008). Esenciales de Cálculo. México. Santillana
5
De Oteyza Elena. (2006). Conocimientos Fundamentales de Matemáticas Cálculo diferencial e
integral. México. Pearson
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Mendez Hinojosa Arturo. (2007). Matemáticas 4. México. Santillana
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Haar R. Bart M. Front- end vision and multi- scale image analysis. (2003). KluwerAcademic
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10
Fuenlabrada Samuel. Cálculo Diferencial. (2008). McGraw Hill Interamericana
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Consultado 13 de julio de 2011
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q=funci%C3%B3n%20del%20mayor%20entero&f=false
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Ibáñez Carrasco Patricia, (2006). Matemáticas IV: Precálculo. México. Thomson
15
González García Carlos, (2008). Matemáticas aplicadas a Ciencias Sociales. Madrid
España. Editex
16
G. Zill Dennis. (1987). Cálculo con geometría analítica. México. Grupo Editorial
Iberoamérica.
17
Fuenlabrada Samuel.(1995) Matemáticas IV Cálculo Diferencial .México: McGraw- Hill
18
96
CONALEP-2011
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González G: Carlos, et al.(2008). Matemáticas, 1 Bachillerato. México. Editex
Padilla Pineda Julio Eduardo, ET.AL. (2007). Gimnasia con Geometría Analítica. México.
UNAM. http://www.prepa5.unam.mx/profesor/publicacionMate/09V.pdf
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20
Feria Gollaz, Víctor. (2004). Cuaderno de trabajo de matemáticas V. México. UNAM.
http://books.google.com.mx/books?id=NHuHt766JZ8C&pg=PA55&dq=discusi%C3%B3n+de+ecuac
iones+algebraicas&hl=es&ei=M4IYTsmsE6vhsQKEx7jCBw&sa=X&oi=book_result&ct=resu
lt&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q=discusi%C3%B3n%20de%20ecuaciones%20a
lgebraicas&f=false
21
Hitt Espinosa, Fernando. (2002). Funciones en contexto. 1a ed. México: Pearson Educación.
22
97
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
i
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.1. Noción intuitiva de límite
Un poco de historia.
El cálculo como una de las aplicaciones de las matemáticas tiene sus orígenes en los
desarrollos de las matemáticas en la antigua Grecia, particularmente basados en las
propuestas de Euclides ( 325 a.C.- 265 a.C.), quien realizó una serie de postulados
relacionados directamente con la geometría desarrollada en el plano (conocida también
como Geometría Euclidiana)1. Los desarrollos que en aquellos tiempos se proponían,
tenían siempre relación con las figuras geométricas. Un problema en particular era
calcular el área del círculo solo con regla y compás. Aunque los intentos por realizar
esta tarea no tuvieron resultados tan concretos como otros, los planteamientos tenían
relaciones directas con operaciones con sumas o series de números 2.
Algunos de los desarrollos numéricos que se realizaron, tienen relación directa con el
concepto de límite, concepto acuñado de manera formal hasta principio del siglo XIX,
es decir, a principios de 1800 por los matemático Fourier, Bolzano y Euler. Los trabajos
realizados por estos matemáticos pudieron no solo darle un sentido distinto al
concepto de función, sino que estos nuevos conceptos pudieron dar un sustento a los
trabajos realizados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz3.
Como ya se ha mencionado, Newton y Leibniz digamos que fueron quienes
descubrieron el cálculo como una operación que, aplicada a una función, puede
proveernos información importante respecto a su comportamiento general o en puntos
específicos. Por cierto, este descubrimiento tiene una interesante historia que
podríamos relacionar con lo que ahora se conoce como derechos de autor, pero aun
que estos trabajos contribuyeron a explicar y definir el concepto de derivada e integral
de una función, no fue sino hasta el mencionado trabajo acerca de límites cuando se
pudo aceptar al cálculo como una operación formal y definida en las matemáticas.
El concepto de límite
Una definición práctica del concepto de límite puede ser exhibida a partir de una serie
de números, esto es: el límite de una sucesión4. Por ejemplo, si
sucesión de fracciones:
1,
1 1 1 1
1
1
1
1
,
,
,
,…
, …,
, ...
, ….,
2 3 4 5
10
100
n
1000
1
observamos la
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Podemos observar que cada uno de los resultados de las fracciones propuestas se va
pareciendo más y más a una cantidad determinada:
1 , .5 , .3 , .25 , .2 , … .1 , …, .01 , ... .001 , …., ¿0?
Preguntamos entonces: ¿cuál es esa cantidad? La respuesta es que en realidad esa
cantidad no es muy directa, es decir, ese resultado no es una cantidad exacta por muy
pequeña que sea, por lo que podemos expresarla tan pequeña como sea posible
conforme a qué tan grande podamos expresar n. En otras palabras, el resultado de
dividir uno entre n, cuando n tiende a infinito será cero; es decir:
1
0 cuando n
n
Es necesario aclarar que solo podemos colocar el signo de igual, cuando la n tiene
como tendencia una cantidad que es tan cercana como sea posible a la expresada
(infinito, para nuestro caso).
Por otro lado, si realizamos la misma operación tratando de expresar una fracción cuyo
denominador tienda a cero (recuerde que la operación de cualquier número entre cero
no está definida), ¿cómo podemos expresar el resultado?. Analizando esta situación de
manera similar a la anterior, podemos comenzar expresando una sucesión de
cocientes, cuyo denominador se vaya haciendo en cada ocasión más pequeño:
1,
1 1
1
1
1
1
1
1
,
, …, , …, , …,
, …,
, ...
, ….,
.01
.0001
n
.9 .8
.5
.1
.001
Lo cual nos proporcionará los resultados:
1 , 1.1 , 1.25 , …, 2 , …, 10 , …, 100 , …, 1000 , ... 10000 , …., ¿ ?
De acuerdo a estos resultados y al proceso de análisis descrito en el ejemplo anterior,
podemos afirmar que dada la sucesión de fracciones, donde el denominador de estas
se hace cada vez más pequeño, el resultado de la fracción uno entre n cuando n tiende
a cero será infinito. En otras palabras:
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1
cuando n 0
n
Aunque una definición más formal puede situarnos en toda la magnitud del concepto
de límite, una definición que puede perfectamente situarnos en un conocimiento
5
elemental y práctico del concepto de límite
nos dice que afirmar que f tiende a l en a,
equivale e expresarlo en la ecuación:
lim f ( x) 1
x a
Como podrá observarse, en esta definición se retoma el concepto de función y esto es
debido a que, para nuestro caso la variable n puede tomar cualquier valor, lo que nos
proporciona una evaluación de la función. De hecho, prácticamente la tendencia de la
variable es equivalente a tomar su valor, solo que no se debe olvidar que es un valor
tan cercano como sea posible a la tendencia, no es igual a ese valor. Por lo que,
considerando los ejemplos anteriores, podemos reescribir que la función
1
tiende a
n
cero en infinito de acuerdo a la notación de límite. Esto es:
1
1
0 cuando n será equivalente a escribir: lim 0
n n
n
De la misma manera, podemos afirmar que
1
1
cuando n 0 será equivalente a: lim
n
0
n
n
Por otro lado, podemos evaluar la función con cualquier otro valor definiéndolo como
su límite. De esta manera, cuando de se evalúa la función anterior en diez, podemos
decir:
1 1
lim
0.1
n 10
n 10
Resumiendo: la idea central es evaluar la función en un valor lo más cercano posible al
propuesto, poniendo atención en comportamientos especiales como los que nos dan
como resultado cero o infinito.
3
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 1. ¿Cuál será el resultado de aplicar el límite a la función
2n 1
cuando n tiende a 3?
n
Lo
primero
que
debemos
hacer
es
realizar
la
sustitución
del
valor
propuesto, es decir, aplicar el límite, lo cual, se puede expresar como
2n 1 2 3 1 5
lim
n 3
3
3
n
El resultado será entonces cinco tercios.
Ejemplo 2. Expresar la siguiente sucesión como un límite y determinar su
valor cuando n tiende a infinito.
1,
3
5 7
9
2n 1
,
,
,
…
2
3
4
5
n
Podemos
definir
primeramente
la
función
que
expresa
cada
una
de
las
fracciones de manera general, la cual se muestra como
f n
2n 1
n
Después, aplicamos el límite de la función:
lim f (n)
n
2 1
Como puede observarse, aplicar la operación no tiene un sentido numérico,
puesto que multiplicar por dos el infinito nos daría un ¿doble infinito?.
Debemos entonces analizar el resultado de la serie que se generaliza en
la función. De esta manera tendremos como resultados, cuando vamos dando
valores crecientes a n, en este caso n=1,2,3,4,5,…:
4
CONALEP-2011
1,
Para un
[Análisis derivativo de funciones]
3
5
7
9
1.5 ,
1.66 ,
1.75 ,
1.8 …
2
3
4
5
número n muy grande en la serie, digamos 100, tendremos como
resultado:
f 100
De manera análoga
2 100 1 199
1.99
100
100
f 1000 1.999, por lo que de acuerdo al análisis de la
función podemos afirmar:
lim f (n) 2
n
No podemos afirmar que existan límites especiales, pues en realidad todos y cada uno
de estos tienen la particularidad de asumir un valor una vez aplicado el valor
correspondiente. Sin embargo, veamos qué sucede cuando aplicamos el límite a la
siguiente función:
x3 1
f x
x 1
Parece que esta función no tendrá problemas al aplicar por ejemplo el valor de cero:
lim f ( x)
x 0
03 1
1
0 1
De hecho, podríamos observar la gráfica de esta función, la cual parece que muestra
una curva que es continua en cualquier punto:
5
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Sin embargo, ¿Qué sucede si aplicamos a la variable el valor de 1?
x3 1
lim
x 1 x 1
La idea que primeramente se puede aplicar considerando los procesos anteriores, es
sustituir el valor propuesto al cual tiende el límite, es decir:
13 1 0
lim
¿?
x1 1 1
0
La aplicación entonces del límite parece que no existe. Sin embargo, parece que si
realizamos una manipulación algebraica tendremos que
x 1 x2 x 1
x3 1
lim
lim
lim x 2 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
Lo que, como puede apreciarse; tiene un valor determinado:
lim x 2 x 1 3
x 1
Es decir; el límite de f(x) cuando x tiende a uno, es tres6:
6
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Pero aquí puede hacerse un análisis más exhaustivo; si se realiza una tabla con las
evaluaciones numéricas de un valor tan cercano al valor propuesto 1, tendremos
valores de la función prácticamente iguales a 3. Sin olvidar el concepto de límite, aún
sin realizar las manipulaciones algebraicas descritas, podemos afirmar dos cosas:
1. Al acercarnos tanto como sea posible al valor de uno por un lado, la tendencia
del resultado es 3. Si es de izquierda a derecha, se dice que el límite de f(x)
tiende a tres cuando x tiende a uno por la izquierda.
2. Por otro lado, si los valores de la función son tan cercanos al tres y podemos
acercarnos al valor 1 de derecha a izquierda, se dice que el límite tiende a tres
cuando x tiende a uno por la derecha.
Si nos acercamos al valor de 3 tanto como sea posible por un lado y otro, la tendencia
del resultado es 3, aunque no exista el límite en el valor exacto al que tiende el límite
(es decir: aunque la función no exista en el punto propuesto). La siguiente tabla ilustra
lo anteriormente explicado:
f ( x)
1.11
2.71
2.9701
2.997
3
3.003
3.0301
3.31
3.64
x
.1
.9
.99
.999
1
1.001
1.01
1.1
1.2
Tendencia por derecha
Tendencia por izquierda
Para este caso en particular, el valor del límite por la izquierda es el mismo que por la
derecha: tres. La representación de este límite se representa con un superíndice en el
valor de la tendencia, lo cual no representa que tenga un signo, sino que el símbolo
menos para este caso, representa que el límite tiende por la izquierda, y el símbolo de
más, representará la tendencia por la derecha. Como operación entonces será:
x3 1
3
Límite por la izquierda: lim
x 1 x 1
Límite por la derecha: lim
x 1
x3 1
3
x 1
7
CONALEP-2011
Ejemplo
3.
¿Cuál
[Análisis derivativo de funciones]
será
el
resultado
de
aplicar
el
siguiente
límite:
1
lim ?
x 0 x
El límite descrito de acuerdo a la simbología descrita, es un límite al
cual se la acercará por la derecha. Como ya hemos abordado este mismo
límite mediante el concepto de series numéricas (con la variable n en
lugar de x y con un resultado de cero), analizaremos ahora el resultado
con una tabla de valores con tendencia por la derecha, esto es:
x
0
…
.0001
.0001
.01
.1
1
10
100
…
10000
1000
100
10
1
.1
.01
1
x
Podemos corroborar entonces, que el valor coincide con el que analizamos
algunos párrafos anteriores.
1
lim
x 0 x
¿Cuál
será
entonces
la
diferencia
entre
la
aplicación
de
límites
laterales y el límite directo? Probablemente el siguiente ejemplo pueda
resolver esta pregunta.
Ejemplo 4. ¿Será lo mismo aplicar el resultado del límite
1
lim que
x
x 0
1
lim ?
x
x 0
De entrada, el resultado de la aplicación del límite por la derecha, ya
se
ha
desarrollado
en
el
ejemplo
anterior,
infinito:
8
dándonos
como
resultado
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1
lim
x 0 x
Veamos ahora la tendencia de la aplicación del límite por la izquierda
mediante la tabla correspondiente:
x
-10
-1
-.1
-.01
-.001
-.0001
…
0
1
x
-.1
-1
-10
-100
-1000
-10000
…
Entonces, como puede apreciarse, al tomar valores negativos desde los más
grandes negativos (teóricamente, desde menos infinito), el valor de la
función
va
tomando
valores
muy
grandes,
lo
que
podemos
expresar
función de límites como
1
lim
x
x 0
Y que además podemos analizar graficando la función
:
Por tanto, podemos afirmar que los límites no son iguales, pues:
9
en
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
1
1
lim , lim
x 0 x
x 0 x
f ( x) 9 x2 cuando x tiende a 3 por la
Ejemplo 5. Encontrar el límite
izquierda.
Lo primero que realizaremos es la sustitución del límite de acuerdo a la
notación descrita:
lim f ( x)
x 3
Lo cual nos lleva a establecer las operaciones aritméticas necesarias:
lim
x 3
9 x2 9 9 0
Esta sustitución no parece tener problema alguno, pues si se observa la
tendencia
de
x
con
el
valor
propuesto
como
tres,
entonces
podríamos
suponer igualmente un valor tan cercano al tres que se acerque por la
izquierda (2.9, 2.99, etc.), dándonos un resultado tan cercano como fuese
posible al cero en la operación completa; incluso en el valor del tres
nos daría como resultado el cero. En pocas palabras:
lim
x 3
9 x2 0
Ejemplo 6. Aplicar el mismo límite propuesto en la función anterior, en
el valor de tres por la derecha.
Escribiendo el límite para ubicar la operación que se aplicará a la
función:
lim
x 3
9 x2
10
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Aplicando el límite propuesto, tendremos:
lim
x 3
9 x2 9 9 0
Es decir; tendríamos una situación prácticamente igual a la situación
anterior, el valor de la aplicación del límite es cero.
Sin embargo, si nos acercamos al valor de tres tanto como sea posible por
la derecha, podemos llenar los valores resultantes en una tabla:
x
3
9 x2
3.0001
0 0
3.001
.0006 ?
.006 ?
3.01
…
…
.06 ?
3.2
.06 ?
Como puede observarse, acercarse tanto como sea posible al límite por la
derecha equivale a tener una raíz negativa, lo cual no es posible. Por
tanto, el límite de esta función cuando la variable tiende a tres por la
derecha no existe, es decir:
lim
x 3
9 x 2 No existe.
Ejemplo 7. Calcular el límite de la función g (n)
1
3 2
1
n
, cuando n tiende
a cero, por la izquierda.
Comenzaremos por aplicar el límite por la izquierda. Esto se expresa como
1
lim g (n) lim
1
n 0
n 0
3 2n
Si aplicamos directamente el valor sugerido, podemos expresar el límite
como
1
lim
1
n 0
3 2n
1
1
0
3 2
11
Como
ya
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
sabemos,
aplicar
al
el
límite
del
exponente
de
número
dos,
podemos expresar que
lim
n 0
1
n
Por lo tanto, el número dos elevado al exponente ya calculado, podemos
calcularlo como un dos elevado a la menos infinito, es decir, como el
inverso
del
dos
elevado
al
infinito.
Como
ya
hemos
calculado,
la
constante entre el infinito para el caso de los límites tiende a cero,
por
lo
tanto,
el
resultado
de
esta
operación
será
cero.
En
otras
palabras:
2
De
esta
manera,
1
1
0
2
aplicando
el
cálculo
de
cada
potencia
anteriormente
descrita podemos escribir:
1
lim
1
n 0
3 2n
1 1 1
1
3 2 3 0
0
3 2
Por tanto, el resultado final de aplicar el límite a la función pedida
cuando la variable n tiende a cero por la izquierda será:
1
lim
1
n 0
3 2n
1
3
Ejemplo 8. Calcular el límite de la función g (n)
1
3 2
1
n
, cuando n tiende
a cero, por la derecha.
Al igual que en el ejemplo anterior, aplicar el límite en este caso se
puede representar como
12
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1
lim
1
n 0
n
3
2
Por lo que sustituyendo el valor sugerido tendremos:
1
lim
1
n 0
3 2n
1
1
3 20
De igual manera que en el ejemplo anterior, el límite de la potencia (que
es donde se observa la aplicación de este) será:
1
n
lim 2 2
1
0
n 0
2
Por lo tanto, sustituyendo el valor encontrado del límite de la potencia
antes descrita, tendremos:
1
lim
1
n 0
3 2n
1 1 1 1
1
3 2 3
3 20
Por lo tanto, el resultado de aplicar el límite
cuando la variable
a la función propuesta
n tiende a cero por la derecha será cero, es decir:
1
lim
1
n 0
3 2n
0
Ejemplo 9. Aplicar el límite a la función tangente cuando su argumento
tiende a 90 grados.
Primeramente, expresar en términos algebraicos la función descrita en el
texto anterior sería:
f ( x) tan( x)
Por lo que, aplicar el límite pedido sería:
13
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
lim f ( x) lim tan( x)
x 90
x 90
Entonces, aplicar el límite se expresaría como
lim tan( x) tan 90
x 90
Este valor en particular es un valor para el cual no está definida la
función tangente, por lo tanto, el límite de la función tangente cuando
su argumento tiende a noventa grados (
radianes) no existe:
2
lim tan( x) no existe
x 90
Ejemplo 10. Aplicar el límite a la función tangente cuando su argumento
tiende a 90 grados por la izquierda.
De
manera
análoga
al
ejemplo
anterior,
la
expresión
algebraica
que
representa al texto del problema será:
lim tan( x)
x 90
Que para fines prácticos expresaremos el equivalente en radianes del
argumento de noventa grados, puesto que esta notación puede excluir las
unidades (y que no se confunde con la tendencia hacia la izquierda del
límite), o sea:
lim tan( x)
x
2
Pero, aplicar el límite por la izquierda es acercarse tanto como sea
posible
al
valor
sugerido,
lo
cual
mostrado
en
una
tabla
ilustrarnos mejor la tendencia del valor:
x
88
89
89.9
89.99
tan( x)
28.63
57.29
572.957
5729.58
14
…
90
puede
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por tanto, como puede deducirse, el límite de la función tangente cuando
su argumento tiende a noventa grados (o pi entre dos radianes) por la
izquierda es infinito, o sea:
lim tan( x)
x
2
De manera similar, el límite por la derecha será:
lim tan( x)
x
2
Se deja la comprobación al lector.
2.2. Teoremas de los límites
Como se vio en el apartado anterior, el cálculo de un límite se llevó a cabo a través del
análisis de gráficas y de tablas numéricas, en las que se observa cómo una función se
aproxima a un valor, cuando la variable independiente se acerca cada vez más y más
hacia un valor determinado. Esta manera de calcular límites es intuitiva.
Sin embargo, existen propiedades que nos permitirán calcular límites de funciones de
otra manera, dichas propiedades se conocen como leyes o teoremas de límites 7.
Supóngase que c es una constante, n un entero positivo y que los límites siguientes
existen:
( )
,
( )
TEOREMAS
1.
2.
3.
4.
5.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
15
CONALEP-2011
6.
( )
7.
( ) ( )
8.
( )
( )
( )
[Análisis derivativo de funciones]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Estas leyes pueden expresarse como sigue:
1. El límite de una constante es igual a dicha constante.
2. El límite de una variable x cuando tiende al valor a es a.
3. El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite.
4. El límite del producto de una constante por una función es igual al producto de
la constante por el límite de la función.
5. El límite de una suma de funciones es igual a la suma de sus límites.
6. El límite de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de sus límites.
7. El límite de un producto de funciones es igual al producto de sus límites.
8. El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de sus límites.
(Siempre que el límite del denominador no sea 0).
Veamos algunos ejemplos, del cálculo de límites mediante estos teoremas.
2.3. Límites determinados e indeterminados
Ejemplo 11. Calcular
De acuerdo con el teorema 1, se tiene:
Ejemplo 12. Calcular
Ejemplo 13. Calcular
Ejemplo 14. Calcular
16
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
De acuerdo con el teorema 2, se tiene
Ejemplo 15. Calcular
Ejemplo 16. Calcular
Ejemplo 17. Calcular a)
De acuerdo con el teorema 3, se tiene:
( )
Ejemplo 18. Calcular
( )
Ejemplo 19. Calcular
( )
Ejemplo 20. Calcular a)
De acuerdo con los teoremas 4,3 y 2, se tiene:
( )
Ejemplo 21. Calcular
( )
Ejemplo 22. Calcular
(
Ejemplo 23. Determinar
(
)
)
Primeramente aplicamos los teoremas 5 y 6, y posteriormente los teoremas
1 a 4.
(
(
)
(
17
)
(
)
)
(
)
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
(
)
( )
Por lo que el valor del límite es:
(
)
(
Ejemplo 24. Determinar
)(
)
Se puede desarrollar el producto o aplicar directamente el teorema 7.
(
)(
)
(
)
(
)
( )(
)
Si desarrollamos el producto, tenemos:
(
)(
)
Por lo que ahora el límite será:
(
)(
)
(
)
Ejemplo 25. Calcular
Aplicando primeramente el teorema 8, se tiene
( )
( )
Con
base
en
los
tres
ejemplos
anteriores,
( )
basto
con
realizar
una
sustitución directa para obtener el límite.
Se puede hablar de otra propiedad que dice así8:
Sea f
una función
polinomial o racional, y si a está en el dominio de
f, entonces se tiene
( )
En otras
función.
palabras
el
límite
se
( )
obtiene
18
evaluando
el
valor
a
en
la
CONALEP-2011
Ejemplo 26. Determinar
(
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
)
( )
( )
Ejemplo 27. Calcular el límite de
( )
cuando
.
( )
( )
(no existe el límite)
Recodemos que la división entre 0, no está definida en el conjunto de los
números reales.
Formas indeterminadas
Puede darse el caso de que al llevar a cabo la sustitución en una función racional no
obtengamos un resultado satisfactorio.
Cuando el resultado es de la forma
se dice que es una forma indeterminada, por lo
que no podemos afirmar si existe o no un límite. Será necesario buscar un artificio
algebraico y tratar de romper la indeterminación9.
Ejemplo 28.
( )
Calcular el límite de
cuando
Si aplicamos la sustitución directa se obtiene:
Cuyo resultado es una forma indeterminada. Una manera de eliminar la
indeterminación es mediante la factorización del numerador.
(
)(
(
)
)
Por lo que el límite puedes escribirse como
19
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
En este caso la indeterminación es evitable si asignamos a la función el
valor 8.
( )
Ejemplo 29. Sea la función
( )
calcular el límite de dicha función
cuando
Al realizar una sustitución directa
Se tiene una forma indeterminada. Si se factoriza el numerador, se tiene:
(
)
Por lo tanto:
Ejemplo 30. Sea la función
√
( )
, calcular el límite de dicha función
cuando
√
se tiene una forma indeterminada
Vamos a racionalizar el numerador.
binomio conjugado del numerador.
√
(√
)
(√
)
(
Para
)(√
Así que,
20
ello
)
(√
multiplicaremos
)
por
el
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
√
(√
)
Límites particulares
Se pueden presentar ciertos resultados al calcular el límite de una función, para los
cuales será conveniente hacer una breve reflexión al respecto10.
x
tiende a
0
Escrito en forma breve
(no existe el límite)
x
tiende a
Escrito en forma breve
(no existe el límite)
(no existe el límite)
(no existe el límite)
Nota: Infinito no es un número, solo un símbolo que indica una cantidad o muy grande
(+ ) o muy pequeña (- ).
Límites infinitos y límites al infinito
Un límite infinito es aquel en el cual la función
f(x) adquiere valores que crecen o
decrecen sin medida cuando la variable independiente tiende a un valor a, tanto por
la izquierda como por la derecha8.
( )
(El límite crece)
( )
(El límite decrece)
Gráficamente podemos observar el comportamiento de una función f
infinito cuando x tiende a un valor a. La recta
la gráfica de dicha función.
21
que tiende al
representa una asíntota vertical de
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x=a
f(x)
f(x)
x=a
Ejemplo 31. Sea la función
( )
determinar el límite de la función
cuando
Vemos que la función crece cuando x tiende a cero por la derecha
x
0.000001
0.00001
0.001
0.01
0.1
f(x)
1000000
100000
1000
100
10
y decrece cuando tiende a cero por la izquierda
x
-0.1
-0.01
-0.001
-0.00001
-0.000001
f(x)
-10
-100
-1000
-100000
-1000000
Por lo que podemos escribir:
La ecuación
representa la asíntota vertical, la cual coincide con el
eje Y. como se ve en la siguiente gráfica:
22
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
y
6
5
4
3
2
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Concluimos que el límite:
no existe.
Un límite al infinito, es aquel en el cual una función se aproxima a un valor A, cuando
la variable independiente tiende al infinito positiva o negativamente. 11
( )
Se lee: el límite de una función f(x), cuando x tiende al infinito es A
La recta
representa una asíntota horizontal de la gráfica de dicha función.
De la gráfica anterior (
( )
) se puede observar que cuando
la función f(x)
tiende al valor 0, lo cual se puede escribir como
( )
Y cuando la variable x tiende hacia menos infinito
la función f(x) también
tiende al valor de 0. Es decir:
( )
El eje horizontal, eje X, representa una asíntota horizontal.
En resumen, si
( )
o si
( )
se dice que
es la ecuación
de la asíntota horizontal.
Cuando
, una manera de calcular el límite de una función es dividiendo cada
término entre la base de mayor exponente12 y aplicar
particulares).
23
(ver límites
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 32. Determinar el límite de la función
Cuando
( )
.
Si aplicamos sustitución directa obtenemos una forma indeterminada
Dividamos entre
para evitar la indeterminación
(
)
(
)
Por lo tanto:
La gráfica de esta función presenta una asíntota horizontal cuya ecuación
es
2.5
y
2
1.5
1
0.5
x
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
Ejemplo 33. Determinar
Vemos
que
la
base
de
mayor
exponente
es
término:
(
)
(
)
(
)
(
)
24
así
que
dividimos
cada
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por lo tanto:
Esta gráfica presenta dos asíntotas: una vertical y otra horizontal.
La asíntota vertical se obtiene haciendo 0 al denominador
que
y
√
por lo
así que
La asíntota horizontal se obtiene del valor del límite
Límites para funciones trascendentes
Para el cálculo de límites de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
también podemos utilizar la sustitución directa, en base a las siguientes propiedades9:
Sea a un número real, el cual está en el dominio de la función señalada, entonces:
(
)
Nota: la unidad de medida de los ángulos es el radián.
Recordemos que
25
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Límites de funciones trigonométricas
Veamos algunos ejemplos para calcular límites de funciones trascendentes.
Ejemplo 34. Determinar
Se lleva a cabo una sustitución directa del valor de x en la función:
( )
El valor al cual tiende el límite es 0.
Ejemplo 35. Determinar el límite de la función
( )
cuando
.
Nuevamente aplicamos sustitución directa
( )
(
)
El valor del límite es -2 veces pi radianes.
Ejemplo 36. Calcular
( )
( )
Límites trigonométricos indeterminados
Cuando se presentan indeterminaciones al calcular límites trigonométricos, podemos
aplicar alguna identidad trigonométrica o utilizar los siguientes límites particulares:
Que también puedes ser:
26
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 37. Calcular
(
)
Sustituyendo el valor de x
(
)
(
√
√
)
Podemos emplear la identidad
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
Ahora el límite será
(
)
(
Ejemplo 38. Determinar el valor de
)
( )
√
√
( )
√
cuando
Sustituyendo el valor de x
Dado que tenemos una forma indeterminada, hagamos lo siguiente:
Y empleando el límite
Tenemos que
Ejemplo 39. Determinar
Tenemos una indeterminación
27
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Multipliquemos por 2 tanto en el numerador como denominador
( )
Por lo tanto:
Ejemplo 40. Determinar
Tenemos una indeterminación
Multipliquemos por 3 tanto en el numerador como denominador
(
)
Empleando el límite
Tenemos
( )
Por lo tanto:
Límites de funciones exponenciales
Para ver algunos ejemplos relacionados con funciones exponenciales y logarítmicas,
recordemos las gráficas correspondientes. Tenemos que
28
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
14
14
y
12
12
a >0
y
8
0<a<1
10
Función
exponencial:
10
8
6
6
x
f(x) = a
4
4
2
2
x
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-4
6
-3
-1
1
-2
-2
Ejemplo 41. Determinar
Ejemplo 42. Determinar
Ejemplo 43. Determinar
-2
( )
( )
29
2
3
4
5
6
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Número de Euler e
Este número surge de la expresión (
)
cuando el valor de x toma valores cada vez
más grandes, es decir, cuando tiene a infinito.8
x
(
)
1
2.0
10
2.5937424
100
2.7048138
1000
2.7169239
100 000
2.7182682
1 000 000
2.7182804
10 000 000
2.7182816
Como puede observarse en la tabla, esta expresión tiende al número irracional:
2.71828… el cual se representa como e.
Se tiene el siguiente límite:
(
)
Junto a este límite también se tiene los siguientes límites: 1
(
)
(
(
Ejemplo 44. Determinar
)
)
Recordando las leyes de los exponentes la expresión puede escribirse como
(
)
(
)
Por lo que
30
(
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Así que el resultado final es
(
Ejemplo 45.Calcular
(
)
)
De las leyes de los exponentes tenemos que
(
)
(
)
((
) )
Por lo que
((
( )
Así que el resultado final es
(
)
31
) )
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Límites de funciones logarítmicas
Con base en las gráficas de las funciones logarítmicas que se muestran a continuación:
Función
logarítmica:
y
6
a >0
y
14
12
4
f(x) = lna x
2
8
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0<a<1
10
9
6
-2
4
-4
2
-6
x
-8
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
-10
Se deja como reto al lector:
Investigar los límites siguientes, cuando a > 0 :
( )
( )
Investigar los límites siguientes, cuando 0 < a < 1 :
( )
( )
32
2
3
4
5
6
7
8
9
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.4. Límites unilaterales
Si se tiene una función f que está definida en un solo lado del punto
a,
de tal forma
que el lim f ( x) es el mismo que el límite lateral, sí existe13.
x a
En la siguiente gráfica de la función
existe si
f ( x) 3 x podemos observar que f ( x) no
x 3 y lim 3 x , no existe ya que para valores cercanos a x 3 , por ambos
x 3
lados, no se aproxima a un valor determinado.
No así, si tomamos en cuenta los valores de
x
cercanos a 3, pero no mayores, nos
damos cuenta que f ( x) se aproxima a cero.
Si consideramos ahora la función
f ( x) x 1 cuya gráfica es:
33
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x 1 , para la función f ( x) x 1 . f ( x) ,
Evaluando f ( x) para valores cercanos a
no existe si
x 1, por lo que lim x 1 , no existe.
x 1
Si tomamos en cuenta únicamente los valores de
x
cercanos a 1 pero menores que 1,
notamos que f ( x) se aproxima a cero.
Situaciones como las anteriores en las que f ( x) se aproximan a cero cuando
x
se
aproxima a 3 por la izquierda en la primera gráfica y a 1 por la derecha en la segunda
respectivamente, se consideran como límites unilaterales 14.
Ejemplo 46.
los
Evaluar los límites de la función
f ( x) 1 x 2 , determinando
unilaterales.
f ( x) , se aproxima a cero cuando x se aproxima a (-1) por la derecha,
por lo tanto se tiene que
lim f ( x) 0 .
x 1
f ( x) , no está definida si x es menor que -1, es decir, f ( x) no existe
si
x
se aproxima a
-1 por la izquierda, por lo que
lim f ( x) = no existe.
x 1
lim f ( x) no existe.
x 1
Por otra parte,
f ( x) no está definida si x es mayor que 1, es decir,
f ( x) no existe si se aproxima por la derecha, de tal forma que
34
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
lim f ( x) no existe.
x 1
f ( x) , se aproxima a cero cuando x se aproxima a 1 por la izquierda,
resultando:
lim f ( x) 0 .
x 1
lim f ( x) no existe.
x 1
Ejemplo 47. Evaluar los límites de la función
f ( x) 5 x , determinando
los unilaterales, cuando x tiende a 5.
f ( x) , se aproxima a cero cuando x se aproxima a 5 por la izquierda, por
lo tanto se tiene que
lim f ( x) 0 .
x 5
f ( x) , no está definida si x es mayor que 5, es decir, f ( x) no existe si
x
se aproxima a 5 por la derecha, por lo que
lim f ( x) = no existe.
x 5
lim f ( x) no existe.
x 5
35
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 48. Evaluar los límites de la función
f ( x) x2 4 , determinando
los unilaterales, cuando x tiende a -2 y 2.
f ( x) , se aproxima a cero cuando x se aproxima a -2 por la izquierda,
por lo tanto se tiene que
lim f ( x) 0 .
x 2
f ( x) , no está definida si x es mayor que -2 y menor que 2, es decir,
f ( x) no existe si x se aproxima a -2 por la derecha, por lo que
lim f ( x) = no existe.
x 2
lim f ( x) no existe.
x 2
f ( x) no está definida si x es menor que 2 y mayor que 2, es decir, f ( x) no existe si se aproxima por la izquierda, de tal forma
Por otra parte,
que:
lim f ( x) no existe.
x 2
f ( x) , se aproxima a cero cuando
x
se aproxima a 2 por la derecha,
resultando:
lim f ( x) 0 .
x 2
lim f ( x) no existe.
x 2
36
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 49. Evaluar los límites de la siguiente función, determinando los
2 si x 1
f ( x) 1
si x 1
unilaterales.
3
si x 1
f ( x) , se aproxima a 3 cuando x se aproxima a -1 por la derecha, por lo
tanto se tiene que
lim f ( x) 3 .
x 1
f ( x) , se aproxima a -2 cuando x se aproxima a -1 por la izquierda, por lo
que
lim f ( x) 2
x 1
lim f ( x) no existe porque
x 1
lim f ( x) lim f ( x)
x 1
x 1
37
CONALEP-2011
Ejemplo 50.
[Análisis derivativo de funciones]
Evaluar los límites de la siguiente función, determinando
1
f ( x) 0
los unilaterales.
1
x0
si
si x 0
si x 0
f ( x) , se aproxima a -1 cuando x se aproxima a cero por la izquierda,
por lo tanto, se tiene que
lim f ( x) 1 .
x 0
f ( x) , se aproxima a 1 cuando x se aproxima a cero por la derecha, por lo
que
lim f ( x) 1.
x 0
lim f ( x) no existe porque
x 0
lim f ( x) lim f ( x)
x 0
x 0
38
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.5. Continuidad de una función
La continuidad de una función se refiere a que su gráfica no sufra algún brinco o
rompimiento, es decir, que pueda ser dibujada sin tener que despegar el lápiz del
papel.
La continuidad de una función se puede analizar en un punto o en un intervalo.
Continuidad en un punto
Se dice que una función es continua en un punto
si su gráfica no se interrumpe
en dicho punto8.
Las siguientes figuras muestras discontinuidad en el punto c.
c
c
c
De izquierda a derecha, en la primera figura se observa que c no se encuentra en el
dominio de la función. En la figura de en medio no existe el límite
tercera figura se ve que no coinciden los valores:
( )
( ). Y en la
( )
Esto nos conduce a definir la continuidad puntual de una función de la siguiente
manera:
Una función es continua en un punto
si se verifican las tres condiciones
siguientes:8
1. ( )
39
CONALEP-2011
2.
( )
3.
( )
[Análisis derivativo de funciones]
( )
Ejemplo 51. Determinar si la función
( )
es continua en
.
Veamos si se verifican las tres condiciones antes mencionadas
( )
( )
( )
Podemos ver que debido a que estas dos condiciones tienen el mismo valor;
la tercera condición también se cumple, es decir,
( )
( )
Concluimos que la función es continua en x=2
Ejemplo 52. Determinar si la función
( )
es continua en
.
Al evaluar el valor de x = 9, vemos que no está definida la función para
dicho valor, así como tampoco existe el límite:
( )
Con una de las condiciones que no se cumpla es suficiente para determinar
que la función es discontinua en x=2.
Ejemplo 53. Determinar si
( )
es continua para
Evaluando la función para x=3
( )
40
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Vemos que la función no está definida para x=3, condición suficiente para
determinar que la función es discontinua en dicho punto. Aún cuando el
límite existe:
(
)(
)
Continuidad en un intervalo
Se dice que una función es continua en un intervalo si su gráfica no se interrumpe para
cualquier valor que esté dentro de dicho intervalo15.
Continuidad por la derecha
Se dice que una función ( ) es continua a la derecha del punto a si y sólo si para
se cumplen las siguientes condiciones:
1.
( )
2.
( )
3.
( )
( )
Continuidad por la izquierda
Una función ( ) es continua a la izquierda de b si y sólo si para
1.
( )
2.
( )
3.
( )
( )
41
se cumple:
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Continuidad en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si y sólo si es continua en todos
los puntos del intervalo.
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si y sólo si es continua en el
intervalo abierto (a,b) y además
( )
Ejemplo
54.
Confirmar
intervalo abierto (
que
( )
la
( )
( )
función
( )
√
es
) y en el intervalo cerrado
continua
en el
.
De acuerdo con la gráfica de dicha función, esta está definida para todos
los puntos del intervalo señalado (-4,4).
y
5
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
Para el intervalo cerrado, examinemos la continuidad en los extremos:
Para
(
)
(
√
)
( )
(
)
(
42
√
)
√
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
( )
(
)
Para
( )
√
( )
( )
( )
√
√
( )
( )
( )
( )
Es continua a la derecha de -4 y es continua a la izquierda de 4, así
que es continua en el intervalo cerrado.
Ejemplo
55.
Comprobar
intervalo
que
la
función
( )
es
continua
en
el
.
La función es un polinomio, por lo cual está definida en el intervalo
abierto (-4,2)
Comprobemos la continuidad en los extremos del intervalo
(
)
(
(
)
)
( )
(
(
43
)
)
(
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
Dado que es continua en el intervalo abierto, continua por la derecha de
-4 y continua por la izquierda de 2, es continua en el intervalo [-4,2].
Ejemplo 56. Determinar si la función
( )
{
el intervalo [-3,2].
Con base en la gráfica, la función no es continua en x=0.
Al verificar las condiciones de continuidad se tiene:
( )
( )
Dado que los límites laterales son diferentes.
44
es continua en
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
( )
( )
( )
no existe
al no ser f(x) continua en el intervalo abierto (-3,2) tampoco lo es en
el intervalo cerrado [-3,2].
Teorema del valor intermedio
Una consecuencia de la continuidad de una función es el siguiente teorema:
Sea
una función continua en el intervalo cerrado
comprendido entre
( )
y sea
( ), entonces existe al menos un número
( )
cualquier número
en
, tal que
8
.
f(b)
k
f(a)
c
Ejemplo 57. Sea
( )
, una función continua en el intervalo
,
determinar el valor de c que cumpla con el teorema del valor intermedio
cuando k=2.
Como
( )
(
)
( )
( )
Al aplicar el teorema, tenemos que ( )
45
, así que
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Para que k=2, el valor de c debe ser
Ejemplo 58. Sea la función
( )
definida en el intervalo
,
obtener el valor de k que cumpla con el teorema del valor intermedio
cuando c=3
Al aplicar el teorema, se tiene:
( )
( )
Este valor está dentro de los valores
46
( )
( )
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.6. Problemario
1. Calcular el valor de los siguientes límites:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
(
)
(
)
1.6.
(
1.7.
(
1.8.
(
1.9.
√
)
)
)(
)
1.10.
1.11.
(
)
(
1.12.
1.13.
(
1.14.
(
1.15.
(
1.16.
√
1.17.
(
1.18.
√
1.19.
(
)
)
)
)
)
)
47
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.20.
2. Determinar el valor de los siguientes límites:
2.1.
(
2.2.
(
2.3.
)
)
(
2.4.
(
2.5.
(
)
)
√
√
)
2.6.
2.7.
2.8.
√
2.9.
√
2.10.
3. Determinar si tienen asíntotas verticales y horizontales las siguientes funciones. (Se
puede usar un programa de graficación para comprobar las respuestas).
3.1. ( )
3.2. ( )
(
)
3.3. ( )
3.4. ( )
3.5. ( )
√
4. Determinar el valor de los siguientes límites:
48
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.1.
4.2.
4.3.
(
)
4.4.
4.5.
4.6.
(
)
4.7.
√
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
(
)
(
)
(
)
4.15.
5. Calcular los siguientes límites:
6. Determinar si las funciones siguientes son continuas en los puntos indicados para
cada caso. Aplicar los criterios de continuidad.
6.1. ( )
6.2. ( )
6.3. ( )
49
CONALEP-2011
6.4. ( )
[Análisis derivativo de funciones]
√
6.5. ( )
7. Determinar los puntos de discontinuidad en las siguientes funciones:
7.1. ( )
7.2. ( )
7.3. ( )
7.4. ( )
√
7.5. ( )
8. Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo indicado:
8.1. ( )
(
)
8.2. ( )
(
8.3. ( )
(
8.4. ( )
8.5. ( )
)
(
√
(
)
)
)
9. Aplicando el teorema del valor intermedio, determinar el valor de c para las
siguientes funciones:
9.1. ( )
9.2. ( )
9.3. √
50
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
10. Aplicando el teorema del valor intermedio, determinar el valor de k para las
siguientes funciones:
10.1. ( )
10.2. ( )
10.3. ( )
√
11. Encontrar los límites unilaterales de las siguientes funciones:
11.1. ( )
√
11.2.
f ( x) 4 x 2
11.3.
f ( x) x 1
11.4.
f ( x) x 2 1
3 si x 2
11.5. f ( x) 2 si x 2
1 si x 2
12. Encuentre los siguientes límites unilaterales o establezca que no existen:
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
lim
x 3
lim
x 3
lim
3 x2
x
x 3
x2 9
3 x3
x 0
lim
x 1
3
1 x
4 4x
12.5. lim x 2 x
x 3
2
51
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.7. Autoevaluación
1. Encuentre el límite de las siguientes funciones:
2 x
x 0
4
a) lim
1 x
b) lim
2
x 1
x 1
2. Obtener el valor del límite por la izquierda y por la derecha para comprobar si son
iguales y existe.
2x 4
x 2 2 x 2 8
a)
lim
b)
lim
x 1
2
5 x
3. Calcula el valor de los siguientes límites:
a)
lim 52
x1
b) lim3x 2
x 0
5x2 3
x 0 4 x 3
c)
lim
d)
lim
5x2 3
x 0 4 x 3
2 x3 5
e) lim 2
x x 1
f)
g)
Sin
x 2 Cos
lim
lim
x 2
y2 2
y 1
52
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4. Determinar si las siguientes funcione son continuas en los puntos señalados.
a) f ( x) x en x 0 , x 2
2
b)
f ( x) x 2 en x 2 , x 2
2.8. Conclusión
El concepto de límite de una función puede parecer demasiado obvio y sin importancia,
sin embargo, es necesario comprender que la aplicación del límite a una función puede
mostrarnos
comportamientos
interesantes
de
las
funciones,
como
lo
son:
discontinuidades, tendencias al valor cero, al valor infinito y comportamientos
diferentes mientras se acerca al mismo valor por dos diferentes lados o cantidades
numéricas.
Es importante entonces, resaltar que la claridad y el dominio de lo que un límite
significa en el comportamiento de una función, sienta una importante base para el
posterior estudio del concepto de derivada. Por supuesto que la aplicación de
conceptos aquí abordados, respecto a los límites en una función, debe de ser afirmado
al resolver los problemas propuestos y la autoevaluación correspondiente.
Te invitamos entonces, si hasta este momento has llegado a comprender y abordar los
conceptos descritos acerca de los límites, prepárate entonces para adentrarte en el
maravilloso mundo de uno de los desarrollos matemáticos más trascendentes en la
historia, y que gracias al concepto de límite de una función ha podido ser comprendido
en toda su magnitud: el cálculo.
53
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.9. Soluciones del problemario
1.1. 500
1.2.
1.3.1
1.4.20
1.5.41
1.6.5
1.7.
1.8.12
1.9.7
1.10.
1.11. 1
1.12. 0
1.13.
1.14.No existe
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19. 4
1.20. 0
2.1.
54
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
2.2. 9
2.3. 6
2.4. 0
2.5.
2.6. -5
2.7.
2.8.
2.9. No existe
2.10. 5
3.1.
,
y
16
14
12
10
8
6
4
2
x
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2
-4
3.2.
,
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-1
3.3.
,
55
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
y
15
10
5
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-10
3.4.
,a
y
8
6
4
2
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-4
-6
3.5.
,
7
y
6
5
4
3
2
1
x
-1.5 -1 -0.5
-1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-2
4.1.
4.2. No existe
4.3. √
4.4.
4.5. 1
56
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.6.
4.7. No existe
4.8. 0
4.9. 1
4.10.
4.11. 1
4.12. 3
4.13. 0
4.14. 0
4.15. 1
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
8.1. No es continua
8.2. Sí es continua
8.3. No es continua
8.4.Sí es continua
57
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
8.5. No es continua
9.1.
9.2.
9.3.
10.1.
10.2.
10.3.
11.1.
a) lim f ( x) 0
x 4
b) lim f ( x) no existe
x 4
c) lim f ( x) no existe
x 4
d) lim f ( x) no existe
x 4
e) lim f ( x) 0
x 4
f) lim f ( x) no existe
x 4
11.2.
a) lim f ( x) no existe
x 2
b) lim f ( x) 0
x 2
c) lim f ( x) no existe
x 2
d) lim f ( x) 0
x 2
e) lim f ( x) no existe
x 2
f) lim f ( x) no existe
x 2
58
CONALEP-2011
11.3.
[Análisis derivativo de funciones]
a) lim f ( x) 0 no existe
x 1
b) lim f ( x) no existe
x 1
c) lim f ( x) no existe
x 1
11.4.
a) lim f ( x) 0 no existe
x 1
b) lim f ( x) no existe
x 1
c) lim f ( x) no existe
x 1
d) lim f ( x) no existe
x 1
e) lim f ( x) 0
x 1
f) lim f ( x) no existe
x 1
11.5.
a) lim f ( x) 1
x 2
b) lim f ( x) 3
x 2
c) lim f ( x) no existe
x 2
59
CONALEP-2011
12.1.
[Análisis derivativo de funciones]
2
3
3
12.2. No existe
12.3.
12.4.
3
2
3
1
2
8
12.5. 15
60
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.10. Solución de autoevaluación
1.
a) 1. b) 2.
2.
a)
2x 4 1
2 x2 8 4
lim
2
1
5 x
x 2
b)
3.
lim
x 1
lim
x 2
2x 4 1
2x 4
son iguales lim 2
existe
2
x 2 2 x 8
2x 8 4
lim
x 1
2
2
1 son iguales lim
existe
x 1
5 x
5 x
a) 25
b) -2
c)
3
4
d)
e) 0
y2 2
f)
y 1
4.
a)
f (0) 0 lim x 2 f (2) 4 lim x 2 f ( x) x 2 sí es continua en x 0 y
x 0
x 2
x2
b) f (2) 0 ,
lim x 2 no está definido por la izquierda, f (2) no está
definida.
f ( x) x 2 no es continua en x 2 y x 2
x 2
61
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Referencias
1
http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
2
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_círculo
3
STEWART, Ian. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. España, Editorial Crítica S.L. 2007
4
Courant, R., & Robbins, H. (1996). What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. American Mathematical
Monthly (p. 566). Oxford University Press
5
M. Spivak, Calculus, W.A. Benjamin, New York, 1967.
6
Larson, Hostetler y Edwards. Cálculo (Volumen 1). Trad. L. Abellanas R. 6ª Edición. México. Mc Graw hill. 1999. 895 páginas.
7
Cuellar Juan Antonio. (2007). Matemáticas V: Cálculo diferencial. México. McGraw-Hill.
8
Stewart James. (2010). Cálculo: Conceptos y Contextos. México. Cengage Learning.
9
Aguilar Márquez Arturo. (2010). Cálculo diferencial e integral. México. Pearson
10
Fuenlabrada Samuel. (2008). Cálculo Diferencial, México. 3ª Ed. McGraw Hill
11
G. Zill Dennis. (1987). Cálculo con geometría analítica. México. Iberoamericana.
12
G. Zill Dennis. (1987). Cálculo con geometría analítica. México. Iberoamericana.
13
Frank Ayres, Jr & Elliot Mendelson. (1991). Cálculo Diferencial e integral, México. McGraw-Hill.
14
Silva, Juan Manuel & Lazo, Adriana. (2003). Fundamentos de matemáticas: álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo.
México. Limusa.
http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&pg=PA928&dq=l%C3%ADmites+unilaterales&hl=es&ei=37cpTvnPJansQKRhdW7Cw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CCsQ6AEwATgK#v=onepage&q=l%C3%ADmites%20unilaterales&f=
false
15
Aguilar Márquez, Arturo ET AL. (2010). Cálculo diferencial e integral. México. Ed. Pearson
62
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
i
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
3.1. Determinación de razones de cambio
La derivada
El cálculo diferencial e integral surgió por la necesidad de dar solución a problemas
planteados por los antiguos griegos. Sin embargo, problemas relacionados con las
ciencias físicas fueron los que motivaron en el transcurso de los siglos XVI y XVII a dar
resultados más apropiados y precisos1.
El concepto de derivada apareció históricamente a partir de querer encontrar la
tangente a una curva en un punto, así como determinar la velocidad instantánea de un
cuerpo en movimiento. El iniciador de este concepto fue Isaac Barrow que pensó en un
método para trazar la tangente a una curva en un punto dado. Años más tarde Isaac
Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz por vías semejantes y lenguajes diferentes
formalizaron dicho concepto2.
Nuestro mundo está en continuo cambio, por lo que un término común en nuestra
comunicación diaria, es el incremento o decremento de las variables que nos rodean,
por lo que el concepto de derivada será empleado para conocer y determinar la
variación de toda magnitud que está en función de otra2.
También es importante señalar la trascendencia que tiene el detectar puntos
sobresalientes del comportamiento de las funciones que modelan fenómenos naturales,
sociales, económicos, problemas de ingeniería, etc., en los que intervienen datos con
valores máximos y mínimos que dan significado relevante al problema en cuestión.
Los diversos tipos de fenómenos y problemas mencionados anteriormente, son
abordados en forma diferencial para generar modelos matemáticos que puedan
describir y predecir su comportamiento, esto con el propósito de evitar catástrofes
naturales o para el ahorro de recursos en genera,l así como para el estudio y
desarrollo de la ciencia en general.
Definición de derivada
El incremento x de una variable
x x1
hasta otro valor
x x2
x cuando aumenta o disminuye desde un valor
en su dominio, es x x2 x1 , y podemos decir
x2 x1 x .
Si sucede un incremento en la variable
también cambiará un cierto incremento
x , es decir, x x1 x , la función y f ( x1 )
y f ( x1 x) f ( x1 ) ,
media de cambio de la función en el intervalo de
3
cociente :
1
x x1
por lo que la razón
hasta
x x1 x
será el
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
cambio en y y
cambio en x x
Y
Recta Secante
Recta Tangente
X
Observando la gráfica de arriba, podemos darnos cuenta que la recta secante que
corta a la función f ( x) se va aproximando a la recta tangente cuando el incremento
x se va haciendo muy pequeño, de tal forma que la derivada de la función y f ( x)
respecto a
x en el punto x x1 se define como4
lim
x 0
f ( x1 x) f ( x1 )
y
lim
x
0
x
x
Este límite suponiendo que existe, se llama razón instantánea de cambio de la variable
dependiente y respecto de la independiente
x en x x1 .
Generalizando el límite para cualquier valor del dominio de la función se tiene:
lim
x 0
y
f ( x x) f ( x)
lim
x
0
x
x
La derivada de la función y f ( x) puede representarse con diferentes símbolos que
finalmente indican lo mismo.
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
d
d
dy
y,
f ( x) , , Dx y , y , f ( x)
dx
dx
dx
Pendiente de la recta tangente a una curva
En una curva y f ( x) , la pendiente
m varía en cada punto. La pendiente de la curva
en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto.
dy
m tan
dx
Posición, velocidad instantánea, y aceleración de una partícula.
Otro caso que motivó la aparición del concepto de derivada está relacionado con el
movimiento rectilíneo de partículas.
Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, ocupará una cierta posición
en cualquier instante t . La posición de la partícula P está definida partiendo de un
origen fijo O sobre la línea recta y una dirección positiva a lo largo de la línea. Se
mide la distancia
x de O a P , la cual define completamente la posición de la partícula
llamada coordenada de posición5.
Cuando se conoce la coordenada de posición
x de la partícula en todo valor del tiempo
t , decimos que se conoce el movimiento de la partícula.
A partir de la posición P de la partícula en el tiempo t y la coordenada
x tenemos una
nueva posición P en un tiempo t t ; la coordenada de la posición P resulta de
agregar un incremento x a la coordenada
x de la posición P , por tanto, la velocidad
promedio de la partícula en el intervalo de tiempo t queda definido como el cociente
del desplazamiento x y el intervalo de tiempo t .
3
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Velocidad promedio
La velocidad instantánea
x
t
v de la partícula en el instante t , resulta de la velocidad
promedio a partir de intervalos de tiempo t y desplazamientos x cada vez más
pequeños.
x
t 0 t
Velocidad instantánea= v lim
Por definición, el límite anterior es la derivada de la posición
x respecto al tiempo t
por lo que tenemos:
dx
dt
v
De igual forma la aceleración instantánea de la partícula está dada por
Aceleración instantánea a
dv
dt
En términos de la posición, la aceleración instantánea de la partícula es:
a
d 2x
dt 2
También puede quedar en función de la velocidad instantánea y la posición como
4
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
av
dv
dx
A manera de ejemplo, sea una partícula, que tiene un movimiento rectilíneo en la que
su posición está definida por la ecuación
x 8t 2 2t 3
La gráfica de esta ecuación que describe la posición
x de la partícula para cualquier
tiempo t queda:
Su derivada expresará la velocidad instantánea
v
dx
16t 6t 2
dt
Graficando la velocidad.
5
v en cualquier tiempo t , siendo:
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Y su aceleración instantánea
a resultará de derivar la velocidad instantánea v
respecto al tiempo t , teniendo:
a
dv
16 12t
dt
Graficando la aceleración.
6
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Cálculo de derivadas aplicando la definición general.
A partir de la definición de la derivada, que se vio anteriormente, podemos obtener la
derivada de diferentes funciones y f ( x) . Iniciaremos con la regla de los 4 pasos:
1.
y y f ( x x)
2. y f ( x x) f ( x)
se suman los incrementos y y x a las variables.
se despeja y , sustituyéndose por f ( x) .
3.
y f ( x x) f ( x)
x
x
4.
dy
y
f ( x x) f ( x)
lim
lim
dx x0 x x0
x
se dividen los dos miembros por x .
se toma el límite cuando x 0 .
Finalmente por definición se obtiene la derivada y de la función y f ( x) .
Ejemplo 1. Encontrar la derivada de
.
y y 2( x x)2
y 2( x2 2 xx x 2 ) 2 x 2
y 2 x2 4 xx 2x 2 2 x 2
y 4 xx 2x2
y 4 xx 2x 2
x
x
y
4 x 2x
x
dy
lim 4 x 2x
dx x0
y
dy
4x
dx
Ejemplo 2. Encontrar y de
.
y y 2( x x) 5( x x)2
7
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y 2( x x) 5( x x)2 2 x 5x 2
y 2 x 2x 5x2 10 xx 5x2 2 x 5x 2
y 2x 10 xx 5x 2
y 2x 10 xx 5x 2
x
x
y
2 10 x 5x
x
dy
lim 2 10 x 5x
dx x0
y
dy
2 10 x
dx
Ejemplo 3. Obtener y de
√
.
y y 5 x x 2
1
y 5 x x 2 5 x
1
y 5 x x 2 ( x) 2
1
1
1
1
1 1 1
y 5 x 2 x 2 x x 2 x 2
2
1
2
1 1
5 x 2 x x
y
2
x
x
y
1 1
1
5 x 2 x 2
x
2
dy
1 1
1
lim 5 x 2 x 2
dx x0 2
8
CONALEP-2011
y
[Análisis derivativo de funciones]
dy
5 12
5
x
dx
2
2 x
Ejemplo 4. Hallar y de
.
y y ( x x)3 3( x x)
y ( x x)3 3( x x) x3 3x
y ( x3 3x2 x 3xx2 x3 ) 3( x x) x3 3x
y x3 3x2 x 3xx2 x3 3x 3x x3 3x
y 3x 2 x 3xx 2 x3 3x
x
x
y
3x 2 3xx x 2 3
x
dy
lim 3x 2 3xx x 2 3
dx x0
y
dy
3x 2 3
dx
Ejemplo 5. Hallar y de
.
y y sen x x
y sen x x sen x
y sen x x sen x
x
x
Aplicando una relación trigonométrica para la suma de ángulos tenemos:
sen x x sen x cos x cos x sen x
9
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y sen x cos x cos x sen x sen x
x
x
Tomando el límite cuando x 0 y recordando:
sen x
lim
1
x 0
x
dy
sen x cos x cos x sen x sen x
lim
dx x0
x
x
x
dy
cos x 1
dx
y
dy
cos x
dx
3.2. Cálculo de derivadas por fórmulas
Existen fórmulas para derivar una función, basadas en la regla general de los cuatro
pasos, que nos facilitan el proceso de derivación de dicha función.6
Las fórmulas se agrupan en dos categorías: algebraicas y trascendentes.
Fórmulas para derivar funciones algebraicas
Se recomienda memorizar las fórmulas, así como poder enunciarlas verbalmente. La
demostración de estas fórmulas se deja como reto para el estudiante.
Para estas fórmulas, se considera a
que
como funciones derivables de
como una constante.1
1.
2.
3.
(
)
10
, mientras
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.
5.
5a.
6.
7.
( )
7a.
( )
8.
A continuación se enuncian cada una de estas fórmulas.
1
1. La derivada de una constante es cero.
Ejemplo 6. Determinar la derivada de
.
Ejemplo 7. Determinar la derivada de
.
Ejemplo 8. Determinar la derivada de
√ .
2. La derivada de una variable respecto a sí misma es uno.
Ejemplo 9. Determinar la derivada de
11
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 10. Determinar la derivada de
.
Ejemplo 11. Determinar la derivada de
.
3. La derivada de una suma de un número finito de
funciones, es igual a la suma
algebraica de las derivadas de las funciones.
(
)
Ejemplo 12. Determinar la derivada de
.
Ejemplo 13. Determinar la derivada de
.
4. La derivada del producto de una constante por una función, es igual al producto de
la constante por la derivada de la función.
Ejemplo 14. Determinar la derivada de
.
( )
Ejemplo 15. Determinar la derivada de
12
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
( )
5. La derivada de una potencia de exponente constante, es igual al producto del
exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la
derivada de la función.
Si
entonces la fórmula se simplifica de la siguiente manera:
Ejemplo 16. Determinar la derivada de
.
Ejemplo 17. Determinar la derivada de
.
(
)
Ejemplo 18. Determinar la derivada de
( )
( )
Ejemplo 19. Determinar la derivada de
.
( )
√ .
Primeramente escribir el radical en forma de exponente fraccionario, esto
es:
√
Ahora aplicando la fórmula
( )
( )
( )
√
13
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
(
Ejemplo 20. Determinar la derivada de
) .
Sea
(
)
(
)
(
) (
)
(
Ejemplo 21. Determinar la derivada de
(
)
) .
Sea
(
(
)
)
(
)(
(
)(
)
(
) (
)
(
)(
)
)
factorizando
6. La derivada de un producto de dos funciones, es igual al producto de la primera
función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada
de la primera.
(√ )(
Ejemplo 22. Determinar la derivada de
(
√
Aplicando la fórmula con
(
√
√ (
)
)
)
(
(
√
√
).
)
)(
)
(
)
(
)
√
Ejemplo 23. Determinar la derivada de
14
(√
)( √ ).
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
√
Aplicando la fórmula con
√
√
(√
tenemos que
(
√
√ ( )(
)( )
√
)
)
√
(
)
( )
)
√
(
√
√
√
7. La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la
derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del
denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.
( )
Cuando
la fórmula se simplifica como sigue:
( )
(
Ejemplo 24. Determinar la derivada de
) (
).
Aplicaremos la fórmula considerando
(
)
(
)
(
(
(
)( )
(
(
)
15
)
)
(
)( )
)
)
Ejemplo 25. Determinar la derivada de
(
(
√
)
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
√
Considerar
así que según la fórmula.
(
)
(
)
√
(
(
)( )(
)
)
( )
√
(
√
√
(
√
)
)
√
√
√
(
)
√
√
Regla de la cadena
Esta regla permite calcular la derivada de una función de función.
Sea
una función que puede ser derivable respecto de
respecto a , entonces
es derivable con respecto a . Esto es:
( )
8. Si
( ), la derivada de
( )
derivada de
y esta a su vez derivable
7
( )
( )
con respecto de
con respecto a , por la derivada de
, es igual al producto de la
con respecto a .
Según la notación de Leibniz,
Ejemplo 26. Determinar la derivada
⁄
, dadas las funciones
√ .
Determinamos primeramente las derivadas,
16
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
√
√
Finalmente aplicamos la fórmula de la cadena,
(
)(
⁄
Ejemplo 27. Determinar la derivada
(
√
)
√
, dadas las funciones
).
Determinamos primeramente las derivadas,
(
)
(
)
Por la tanto,
(
)(
)
Derivadas de funciones implícitas
Para obtener la derivada de una función implícita, se procede a derivar término a
término, considerando a
obtenida el término
⁄
como una función de
y luego despejar de la ecuación
.1
Ejemplo 28. Hallar la derivada de la siguiente función:
Procedemos a derivar término a término
(
)
[
(
(
)
(
)]
[ (
Factorizamos el término de la derivada,
17
)
( )
)
]
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
Despejando
(
)
Se hace notar que el resultado de la derivada obtenida, queda en términos
tanto de
Ejemplo
como de
29.
.
Hallar
la
derivada
de
la
siguiente
circunferencia con centro en el origen:
función
de
.
Derivando término a término
Despejando el término de la derivada
Ejemplo 30. Hallar la derivada de la siguiente función
Derivando término a término
(
(
)
)
[
(
)
( )]
18
(
(
)
)
.
la
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
Finalmente
Fórmulas para derivar funciones trascendentes
Ahora se verá otra lista de fórmulas para derivar funciones trascendentes, tales como
las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.1
Fórmulas para derivar funciones trascendentes
9.
(
10.
(
11.
12.
13.
(
(
(
)
)
19.
(
20.
(
)
21.
(
)
22.
(
)
23.
(
)
)
)
⁄
√
⁄
√
)
⁄
)
14.
(
)
15.
(
)
24.
(
)
16.
(
)
25.
(
)
17.
(
)
18.
(
)
19
⁄
⁄
√
⁄
√
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Recordemos que, el logaritmo de un número N, en una base dada b, es el exponente
x, al cual se eleva la base para obtener dicho número1.
Los logaritmos naturales tienen como base el número e:
Los logaritmos vulgares tienen como base el número 10:
El logaritmo de base 10 de un número, se obtiene del producto de su logaritmo natural
por la constante
, es decir:
9. La derivada del logaritmo natural de una función es igual a la derivada de la función
dividida por la función.
(
)
Dado que
10. La derivada del logaritmo decimal de una función, es igual a la derivada de la
función multiplicada por el cociente del logaritmo decimal de
(
)
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 31. Derivar
Considerando como
.
aplicamos la fórmula
(
Ejemplo 32. Derivar
Considerando como
)
( )
.
aplicamos la fórmula
(
)
20
(
)
entre la función.
CONALEP-2011
Ejemplo 33. Derivar
[Análisis derivativo de funciones]
(
).
Para aplicar directamente la fórmula considerar
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
Ejemplo 34. Derivar
Considerando
)
).
aplicamos la fórmula 10
(
)
(
)
En ocasiones, cuando se derivan funciones logarítmicas es muy útil hacer uso de las
leyes de los logaritmos, antes de aplicar directamente las fórmulas.
√
Ejemplo 35. Derivar
√
.
Se puede expresar la función en forma exponencial
(
)
21
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Y aplicar leyes de los logaritmos
(
)
Aplicamos la fórmula de derivación
(
(
)
(
Ejemplo 36. Derivar
(
)
(
)
)
)
.
Dado que la función es un cociente
Aplicamos leyes de los logaritmos
(
)
(
)
Y procedemos a derivar
(
)
( )
(
)
( )
11 y 12. La derivada de una constante elevada a un exponente variable es igual al
producto del logaritmo natural de la constante por la constante elevada al exponente
variable por la derivada del exponente.
(
En caso de que
)
resulta que al aplicar logaritmos
, tenemos:
(
Ejemplo 37. Derivar
)
.
22
y recordando que
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Para aplicar la fórmula considerar
(
)
( )
Ejemplo 38. Derivar
.
Considerando
Ejemplo 39. Derivar
.
Para aplicar la fórmula considerar
Esta función tiene la particularidad de que su derivada es igual a la
función misma.
Ejemplo 40. Derivar
.
En este caso
(
)
( )
13. La derivada de una función con un exponente variable, es igual a la suma de los
dos resultados que se obtienen derivando en primer lugar según fórmula 5,
considerando el exponente como constante, y después derivar según fórmula 11,
considerando la función constante.
(
)
23
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 41. Derivar
.
Aplicando la fórmula, considerar
( )
Factorizando
(
)
Otra alternativa de solución es a través de logaritmos.
Aplicamos logaritmos naturales en ambos miembros de la función
Bajamos el exponente
Derivamos en forma implícita
(
)
[
]
[
]
(
)
Como
(
)
Mismo resultado que se obtuvo con la aplicación directa de la fórmula 13
√
Ejemplo 42. Derivar la función
Aplicando la fórmula 13:
(
Se debe considerar
√
(
√
√
.
)
√
√
)
√
√
24
√
(
√
)
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
√
√
√
√
√
(
√
)
√
Este resultado puede simplificarse llevando a cabo algunas operaciones
algebraicas
√
(
√
√
)
(
√
(
)
√
(
√
)
(
√
)
)
√
Solución alterna:
Como
en
el
ejemplo
anterior,
podemos
utilizar
logaritmos
antes
de
derivar.
√
√
√
Derivando ambos miembros
(√
)
√
√
√
√
(
Como
√
√
)
√
√
(
√
)
√
Como ya se vio, el resultado simplificado es
√
(
√
)
14. La derivada del seno de una función, es igual al coseno de la función por la
derivada de la función.
(
)
Ejemplo 43. Encontrar la derivada de
25
(
).
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Sea
(
)
(
)
(
)
(
Ejemplo 44. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
)
(
(
)
)(
)
(
)
(
Ejemplo 45. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
)
(
)
(
)
(
Ejemplo 46. Encontrar la derivada de
).
Antes de resolver la derivada, es conveniente aclarar que
(
)
(
)
(
)
Por otro lado,
(
)
Por lo que al derivar la función, tenemos que
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Finalmente nos queda
(
26
)
(
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
15. La derivada del coseno de una función, es igual a menos seno de la función por la
derivada de la función.
(
)
(
Ejemplo 47. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
)
(
(
)
)(
)
(
)
(
Ejemplo 48. Encontrar la derivada de
).
Dado que
(
)
(
)
Procedemos a derivar
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
(
( ).
Ejemplo 49. Encontrar la derivada de
Dado que
( )
Derivando
(
27
))
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
16. La derivada de la tangente de una función, es igual al cuadrado de la secante de la
función por la derivada de la función.
(
)
(
Ejemplo 50. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
)
(
(
)
)(
)
(
)
(
Ejemplo 51. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
)
(
)( )
(
)
17. La derivada de la cotangente de una función, es igual a menos el cuadrado de la
cosecante de la función por la derivada de la función.
(
)
(
Ejemplo 52. Encontrar la derivada de
).
Sea
(
(
)
)
18. La derivada de la secante de una función, es igual al producto de la secante de la
función por la tangente de la función y por la función misma.
28
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
Ejemplo 53. Encontrar la derivada de
.
Sea
(
)( )
19. La derivada de la cosecante de una función, es igual al producto de menos
cosecante de la función por la tangente de la función y por la función misma.
(
)
Ejemplo 54. Encontrar la derivada de
.
Sea
(
)( )
20. La derivada del arco seno de una función es igual al cociente de la derivada de la
función entre la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.
(
⁄
)
√
(
Ejemplo 55. Hallar la derivada de
Sea
(
)
(
√
√
29
)
).
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
Ejemplo 56. Hallar la derivada de
).
Sea
(
)
(
√
)
√
21. La derivada del arco coseno de una función, es igual al cociente negativo de la
derivada de la función entre la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.
(
⁄
)
√
Ejemplo 57. Hallar la derivada de
(
).
(
).
Sea
(
)
(
√
)
√
Ejemplo 58. Hallar la derivada de
Sea
(
)
(
√
)
√
22. La derivada del arco tangente de una función, es igual al cociente de la derivada de
la función entre uno más el cuadrado de la función.
(
)
30
⁄
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 59. Hallar la derivada de
(
).
(
).
Sea
(
)
(
)
Ejemplo 60. Hallar la derivada de
Sea
(
)
(
)
23. La derivada del arco cotangente de una función, es igual al cociente negativo de la
derivada de la función entre uno más el cuadrado de la función.
(
⁄
)
Ejemplo 61. Hallar la derivada de
(
).
(
).
Sea
(
)
(
)
Ejemplo 62. Hallar la derivada de
Sea
31
(
)
(
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
24. La derivada del arco secante de una función, es igual al cociente de la derivada de
la función entre el producto de la función, multiplicada por la raíz cuadrada del
cuadrado de la función menos uno.
(
⁄
)
√
Ejemplo 63. Hallar la derivada de
(
).
(
).
Sea
(
)
)
√(
√
Ejemplo 64. Hallar la derivada de
Sea
(
√(
)
)
√
25. La derivada del arco cosecante de una función, es igual al cociente negativo de la
derivada de la función entre el producto de la función multiplicada por la raíz cuadrada
del cuadrado de la función menos uno.
(
⁄
)
√
(
Ejemplo 65. Hallar la derivada de
Sea
(
√(
√
32
)
)
).
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
Ejemplo 66. Hallar la derivada de
).
Sea
(
)
)
√(
√
Derivadas sucesivas
Son derivadas que se obtienen de otra derivada. A las derivadas obtenidas se les
conocen como derivadas de orden superior8.
Se llama primera derivada, a la derivada de una función, la cual se denota como
( )
La segunda derivada de una función, es decir, la derivada de la derivada se denota
como
( )
(
)
La tercera derivada se denota como
( )
(
)
La n-ésima derivada se denota como
( )
( )
Ejemplo 67. Obtener hasta la tercera derivada de la siguiente función
.
Ejemplo 68. Obtener hasta la quinta derivada de la siguiente función
.
33
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 69. Obtener la segunda derivada de la función
(
)
(
)
(
(
(
)(
)
(
.
)
)
)
(
)( )
(
)
(
)
(
)
Ahora obtengamos la segunda derivada
(
)
(
)
(
(
(
(
) (
)
)( )(
)
)( )
)
)
(
(
(
)
(
(
)(
)
(
)(
)
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
34
)
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Razón de cambio
Recuerde que una razón en matemáticas significa que se comparan dos cantidades en
forma de cociente.9
La razón de cambio de una variable que depende de otra, es una medida de cuánto
cambia la primera respecto a un cambio de la segunda.
La fórmula para calcular el volumen de un recipiente cúbico es
, donde
representa la longitud de las aristas del cubo.
Supóngase una longitud inicial de
(
. Esto implica un volumen inicial de
)
Si la longitud de la arista sufre un pequeño incremento
(
, el volumen final será
) .
El cambio de volumen que sufre el recipiente es
(
)
A través de una razón de cambio podemos comparar el cambio de volumen que se
) . La razón de cambio
generó cuando la arista se incrementó de
a (
correspondiente se expresa como
Por otro lado, si el incremento de longitud
aproxima a cero, es decir,
de la arista es muy pequeño y se
Al resultado de este límite se le conoce como razón instantánea de cambio.4 En nuestro
caso es la razón instantánea de cambio del volumen con respecto a la arista .
En el caso que estamos analizando, cuando la arista mide
razón instantánea de cambio:
(
(
, determinemos la
)
)( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
La razón de incrementos es:
( )
( )
( )
35
( )
( )
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Aplicando el límite:
( )
( )
Este resultado nos indica que cuando la arista del recipiente cúbico es de 2 m, la razón
del cambio del volumen es de 12 veces el cambio de la arista.
Este límite por definición es la derivada.
En este sentido la derivada de una función representa la razón de cambio.
Con el uso del concepto de derivada, el problema del recipiente cúbico puede ser
resuelto de la siguiente manera:
Determinar la razón de cambio del volumen de un cubo cuando la longitud de la arista
es de 2 m.
Derivando la función
Evaluando para
( )
( )
Razones de cambio relacionadas
En la vida cotidiana existen diversas situaciones en la cuales se presentan variables
que varían con el tiempo.
Cuando dos de estas cantidades se relacionan por medio de una ecuación y es posible
conocer la razón de cambio de una de ellas al derivar la ecuación respecto del tiempo,
se puede obtener la razón a la cual cambia la otra cantidad4
Si
representa una distancia recorrida, la derivada respecto del tiempo
representa la
razón de cambio, la cual se conoce como velocidad.
Si
representa el volumen de agua desalojado de un tinaco en el transcurso del
tiempo, entonces
representa la razón de cambio de dicho volumen en el tiempo.
Veamos algunos ejemplos de aplicación.
36
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 70. En una fábrica se deposita aceite industrial a razón de
en el interior de un contenedor cuya forma es cónica, con una
altura de 14 m y un radio de 2.5 m. Determinar la razón a la cual sube el
aceite cuando este se encuentra a una altura de 6 m.
Sean
2.5m
r
14m
h
Como el llenado es a razón de
Se quiere determinar
se tiene
, cuando
La ecuación del volumen nos permite relacionar V y h.
Sin embargo se requiere primero tener r en términos de h. De la figura se
observan los triángulos semejantes, lo que nos permite expresar:
Sustituyendo en la ecuación del volumen
(
)
Derivando en ambos miembros de la ecuación
(
)
Despejando
37
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Evaluando esta expresión cuando h=6 m
( )
Finalmente, el nivel de aceite sube con una razón de
aceite está a una altura de 6 m.
cuando el
Ejemplo 71. Del ejemplo anterior, supóngase que se deposita el aceite
industrial a la misma razón de
, pero cuya forma es cilíndrica con
una altura de 14 m y un radio de 1.5 m. Determinar la razón a la cual
sube el aceite cuando éste ha alcanzado una altura de 6 m.
Sean
1.5m
14 m
Como el llenado es a razón de
se tiene
h
Se quiere determinar
, cuando
La ecuación del volumen nos permite relacionar V y h.
Derivamos en ambos miembros
Despejando
Sustituyendo datos
38
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(
)
Observamos que la razón de cambio es constante y no depende de h. Por lo
que a 6 m o cualquier otra altura el nivel de aceite sube a razón de
.
Ejemplo 72. Dos lanchas parten de un punto P. Una de ellas se mueve hacia
el este a razón de 100 km/h, mientras que la otra se mueve hacia el sur a
razón de 120 km/h. Determinar la razón de cambio de la distancia que las
separa cuando la lancha que va al este se ubica a 20 km y la que va al
sur a 30 km, ambas de su punto de partida.
Sea
(
)
P
(
x
)
(
)
(
)
y
s
Tenemos los siguientes datos:
La rapidez a la cual se separan las lanchas es
La
ecuación
que
nos
permite
relacionar
las
variables,
aplicar el teorema de Pitágoras. Según la figura.
Derivando implícitamente
Nos falta determinar
39
se
obtiene
al
CONALEP-2011
√
[Análisis derivativo de funciones]
√
√
√
Sustituyendo datos
)(
(
)
(
)(
)
Finalmente decimos que las lanchas se alejan a una razón de
Diferenciales
La derivada de una función en un punto dado representa, desde el punto de vista
geométrico, a la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en dicho
punto.1
secante
tangente
𝑑𝑦
𝑦
𝑥
𝑑𝑥
De la figura podemos ver que para pequeños valores del incremento
de la secante se aproxima a la pendiente de la tangente. Es decir,
( )
De aquí que
( )
40
, la pendiente
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Se llama diferencial de la variable independiente
como
. Mientras que a la expresión
y se representa
se le denomina diferencial de la variable
( )
.10
dependiente , la cual se representa como
La diferencial de una función
al incremento
se obtiene llevando a cabo el producto de su derivada
.4 Se puede expresar como
por el diferencial de la variable independiente
( )
Ejemplo 73. Determinar la diferencial de
.
Primero se obtiene la derivada
Para obtener su diferencial se multiplica por
(
)
Ejemplo 74. Obtener la diferencial de
(
√
.
(
)
)
Se determina primeramente su derivada
(
)
(
√
)
√
Para obtener su diferencial, se multiplica por
√
Ejemplo 75. Determinar la diferencial de
(
.
)
( )
Así que su diferencial es
41
CONALEP-2011
Los
diferenciales
son
[Análisis derivativo de funciones]
utilizados
para
incrementada cuando el incremento de
obtener
aproximaciones
de
una
función
5
es pequeño (
).
Partiendo de
(
)
( )
Se tiene la aproximación
(
)
(
( )
)
( )
( )
Ejemplo 76. Mediante diferenciales obtener una aproximación de √
.
Partimos de que la función es
( )
√
)
√
Queremos calcular
(
Obtengamos el diferencial de la función
√
√
Por lo tanto
√
√
√
√
√
√
(
)
√
√
Mediante una calculadora se tiene que √
Ejemplo 77. Calcular mediante diferenciales el incremento del área de un
cuadrado, cuando sus lados que miden 3 m, sufren un aumento de 3 mm.
La función para determinar el área de un cuadrado cuyo lado mide
Y se tienen los datos
42
es
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Obtengamos la diferencial de la función
Sustituyendo datos
( )(
)
Con un incremento en el lado del cuadrado de 3 mm, el área incrementa
aproximadamente
.
Ejemplo 78. A una placa circular con un radio de 5cm se le aplica calor,
aumentando
su
radio
en
0.015
cm.
Determinar
aproximadamente
cuanto
aumento la superficie de la placa.
La fórmula para determinar el área de un círculo de radio r es
(
)
Por tanto
( )(
)
Con fines comparativos, el resultado con cuatro decimales de precisión es
( )
(
)
3.3. Cálculo de máximos y mínimos
Dentro de las aplicaciones del cálculo diferencial, se encuentra la localización de los
valores máximos y mínimos de las funciones. Esta aplicación en particular tiene
aplicaciones directas con problemas de modelación matemática y con el significado de
la derivada. Veremos a lo largo de este apartado de manera más explícita todas estas
afirmaciones.
Originalmente, una función matemática es una representación algebraica que nos
indica el comportamiento de una variable en relación con otra u otras. La
43
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
representación puede realizarse de maneras diferentes: algebraica, numérica y gráfica.
Por otro lado, recordemos que la derivada es una operación aplicada a una función; tal
operación nos muestra de manera general el valor de la pendiente de la recta tangente
a la función original o también llamada primitiva.
En otras palabras; la derivada como función, nos indica cómo y de qué manera cambia
la función original para todos y cada uno de los valores de la variable independiente.
Veamos el siguiente ejemplo que puede ayudarnos a comenzar a comprender este
concepto.
Ejemplo
79.Calcular
y
graficar
la
derivada
de
la
función
f ( x) x 3 2 x 2 x 2 .
La función como tal es un comportamiento de acuerdo a los valores que se
propongan a la variable x (variable independiente) y el resultado de
estos. Esta representación puede realizarse de manera simbólica con su
proceso algebraico. Como ya se ha visto, el desarrollo algebraico de la
derivada
se
realiza
de
manera
práctica
con
el
uso
de
fórmulas
de
derivación implícita. Para nuestro caso tendremos:
f ( x) x 3 2 x 2 x 2
Esta
es
la
d
f ( x) 3x 2 4 x 1
dx
derivada
de
la
función
f ( x)
que
se
ha
calculado
algebraicamente aplicando las fórmulas de derivación que ya viste. Las
gráficas que a continuación se muestran son respectivamente f1 como la
función
original
o
también
llamada
derivada de la original:
44
primitiva
y
f2
como
la
función
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Si bien tenemos ya la representación gráfica de la función y su derivada, conviene
analizarlas de acuerdo a su comportamiento conjunto. Si recordamos el Teorema de
Rolle, el cual dice: Si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto
tendrá por lo menos una tangente horizontal11, entonces parece que la función
primitiva tendrá gráficamente un comportamiento tal, que su tangente tendrá un valor
de cero en algún punto; este punto será en donde su derivada (que es precisamente la
gráfica del valor de su tangente) vale cero.
Para fines de analizar las funciones con y por medio de sus comportamientos gráficos,
las clasificaciones parten de las funciones que son prácticamente planas en alguna
parte de gráfica; estas funciones se llaman funciones monótonas y tienen un
comportamiento creciente o decreciente, teniendo en una parte de su rango o valores
de la variable independiente, una parte plana. Aún con este comportamiento, la
función tendrá una pendiente cuyo valor es cero, en este punto tendremos entonces un
máximo o un mínimo relativo, puesto que si el resto de la función es tendiente al
crecimiento, tendrá más de un valor máximo. De hecho, después del valor máximo
relativo, todos los valores serán máximos, de ahí el nombre de relativo.
Las siguientes tres gráficas representan a funciones monótonas. La primera de ellas es
una función estrictamente creciente, ya que conserva el orden ascendente durante
todo el recorrido de la función. La segunda de ellas es estrictamente decreciente,
puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La
última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es
creciente, partes donde es decreciente y entonces no es una función monótona 12.
45
CONALEP-2011
Función
creciente.
[Análisis derivativo de funciones]
monótona Función
monótona
decreciente.
Función no monótona.
La primera gráfica tiene una tendencia creciente, pero si trazamos una recta tangente
a la gráfica en la parte plana, entonces cumpliremos con el criterio de que la derivada
en esa parte vale cero, y tendríamos un máximo; la gráfica de la parte central ilustra
la operación complementaria: de un valor máximo llegamos a un valor mínimo, aun
que la función siga teniendo valores mínimos.
Volvamos a la función propuesta que de acuerdo a las menciones anteriores, es una
función no monótona. La función
f ( x) x3 2 x2 x 2 será entonces no monótona.
En un principio, tendremos más de un valor máximo y un valor mínimo, llamados
entonces igualmente máximo relativo y mínimo relativo. Analizando la derivada que se
ha calculado para esta función y su representación gráfica, observaremos en principio
que si trazamos un punto en la función y en este una recta tangente, entonces esta
recta tangente tendrá por supuesto un ángulo de inclinación, o sea: una pendiente.
Con la ayuda de un software de graficación analizaremos el comportamiento de esta
pendiente o derivada en la función primitiva. Si se observa, un primer punto nos
muestra una pendiente con valor de 5.53.
46
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Mientras avancemos con este punto (es decir: mientras vayamos aumentando los
valores de la variable independiente o avanzando en los valores del eje X), tendremos
un cambio en el valor de dicha pendiente. La siguiente figura nos muestra la pendiente
ahora con un valor de 0.898, es decir: un valor menor al que anteriormente habíamos
observado.
Si seguimos manipulando el punto y por consiguiente variando el valor de la
pendiente, podemos llegar al punto en donde la posición de la pendiente es
prácticamente una recta paralela al eje X, teniendo entonces como valor el cero.
47
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Como ya hemos explicado, el valor de la pendiente en todos y cada uno de los puntos
de la función primitiva, ese es el valor de la derivada. Si graficáramos estos valores,
tendremos entonces la gráfica de la función derivada. Por esa razón, si se observa en
la gráfica anterior, en el punto donde la pendiente es cero, la gráfica de la función
derivada cruza el eje de la X, es decir; en este punto la función derivada vale cero.
Si continuamos con el movimiento del punto descrito, entonces el valor de la pendiente
obviamente cambiará, solo que si se piensa un poco, la inclinación será ahora
diferente, en otro sentido. Esos valores en la pendiente se representan ahora como
negativos, es decir: los valores de la pendiente tendrán un cambio de signo después
de haber tenido el valor de cero. La siguiente gráfica muestra el valor de la pendiente
a la curva después de haber pasado por el punto donde esta vale cero. Para este caso,
la pendiente vale menos 2 (-2). Obsérvalo:
Si continuamos con el recorrido del punto, volveremos a llegar a la posición en donde
la pendiente volverá a tener el valor de cero, solo que ahora la pendiente vendrá de
48
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
haber tenido valores negativos y llegará al punto donde vale cero. Este valor nos indica
en la gráfica el valor mínimo de la función, en donde la derivada vale cero, que
además, es donde la gráfica de la función derivada cruza por el eje de las X.
Como puede suponerse, al continuar a través del eje X (o dicho de otra forma:
asignando valores más grandes a la variable independiente) en la función primitiva, se
observará que el valor de la pendiente cambia, adquiriendo ahora valores positivos,
como los tuvo en un principio del análisis que aquí hemos hecho. En la siguiente figura
se muestra el nuevo valor de la pendiente, que es ahora de dos (2):
Dicho en otras palabras: aplicar la primera derivada a una función cualquiera nos
puede proveer información acerca de cómo se comporta la función original, más
específicamente: el valor de cero en la derivada indica cuando existe un valor máximo
o mínimo en la función primitiva. Estos valores pueden ser vistos como asíntotas
verticales, mismas que serán en donde los valores de la función primitiva cambian de
un valor máximo a uno mínimo o viceversa. Si trazáramos una recta horizontal en cada
uno de los puntos de intersección entre la asíntota vertical y la función primitiva,
49
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
encontraremos la coordenada en y del valor máximo de la función. Las siguientes
figuras muestran las asíntotas horizontales y verticales, donde el valor de la derivada
es cero y que coincide con el punto máximo y/o mínimo de la función primitiva.
Por supuesto que gráficamente podemos ver como se comporta la función primitiva y
su derivada. Un método analítico puede darnos los valores exactos donde la derivada
es cero y consecuentemente, el valor de la función primitiva es máximo o mínimo.
Para lograr esto, se procede de la siguiente manera:
Uno: La función derivada se iguala a cero.
d
f ( x ) 3 x 2 4 x 1 0 3x 2 4 x 1
dx
Esto se realiza con el fin de encontrar los valores donde la función se hace cero. Una
manera de encontrar estos valores es factorizando la función derivada; otro método
será aplicar la fórmula general (puesto que estamos resolviendo una ecuación de
segundo grado). Para este caso, la factorización no es posible de una manera más o
menos directa, por lo que es mejor recurrir a la fórmula general, la cual nos
proporciona los valores:
x1
7 2
7 2
, x2
3
3
Si bien ya hemos encontrado los anteriores valores que nos indican el lugar exacto en
donde la función derivada vale cero (y que además es el lugar en donde existe un
máximo o un mínimo), conviene además precisar si en cada uno de dichos valores se
encuentra un máximo o un mínimo.
Analizar la concavidad de la función primitiva se realiza evaluando la función primitiva
en dos valores tan cercanos como sea posible al valor de la concavidad. Si en el valor
inmediato menor la pendiente es positiva y en el valor inmediato mayor la pendiente
50
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
es negativa, entonces se puede afirmar que la concavidad es hacia arriba, es decir:
que en ese punto se encuentra un valor máximo relativo. Ahora bien, si se analiza la
función de manera similar en dos valores tan cercanos como sea posible y el cambio
de valor en signo es contrario (de negativo a positivo), el punto de la función primitiva
es un mínimo relativo. Tratemos de dejar más claro esta situación en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 80. Definir cuál es el valor máximo y mínimo relativo de la
función:
f ( x) x 3 2 x 2 x 2 .
Retomando la misma función que en el ejemplo anterior y considerando las
explicaciones aquí descritas, para calcular el valor máximo y/o mínimo
exacto de manera analítica, derivamos primeramente la función (como ya se
ha realizado):
f ( x) x 3 2 x 2 x 2
d
f ( x) 3x 2 4 x 1
dx
Después, igualamos la función derivada a cero:
0 3x 2 4 x 1
Como ya se ha descrito, encontrando las raíces de este polinomio se
localizan
de
manera
exacta
los
puntos
de
inflexión
de
la
función
primitiva:
x1
7 2
7 2
, x2
3
3
Para analizar ahora en cuál de estos valores de la variable independiente
se encuentra un máximo o un mínimo, analizaremos cada uno de los valores.
Primeramente,
para
el
valor
de
x1 1.54858 ,
consideramos
un
valor
inmediato más pequeño o más a la izquierda de la recta. Con el valor de
x1 1.6
evaluado de la función derivada tendremos que la evaluación nos
dará como resultado
f ´( x1 ) .28 .
Por otro lado, al evaluar la función
derivada en el valor inmediato más grande que el punto de inflexión
51
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
tendremos que para
x1 1.4 ,
la función primitiva valdrá:
f ´( x) 0.72 , es
decir: tendremos un cambio en el valor de la pendiente de positivo a
negativo, por lo tanto habrá en el punto de inflexión un máximo relativo.
De manera similar, para el punto de
como
x2 0.214
como
f ´( x2 ) 0.0066 ,mientras
x2 .216 ,
f ´( x2 ) 0.0039 ;
un valor inmediato menor
nos dará como resultado en su evaluación en la función
derivada el valor de
mayor
x2 0.21525 ,
el
valor
de
la
que para una valor inmediato
función
primitiva
será
de
por lo tanto: al cambiar el valor de la pendiente de
negativo a positivo nos garantiza que en la inflexión existe un mínimo
relativo.
Otro criterio que puede considerarse en cuenta para el análisis de las funciones es
encontrar la segunda derivada de la función primitiva, o lo que es lo mismo, encontrar
la derivada de la derivada de la función primitiva. El criterio nos menciona a grandes
rasgos que si existe la segunda derivada de la función y esta cruza al menos en una
ocasión por el eje de las X, entonces cuando sus valores son negativos o menores que
d2y
0 ) un máximo local de la
cero, existe en el intervalo de los valores negativos (
dx
función primitiva.
En el caso contrario, cuando el valor de la segunda derivada es mayor que cero, existe
en el intervalo mayor que cero un mínimo local13. La siguiente gráfica nos muestra la
gráfica de la segunda derivada de la función que hasta este momento hemos
considerado como ejemplo. En esta se muestra que la segunda derivada f 3( x) 6 x 4
cruza al menos una vez el eje de las X, es decir: asume en su evaluación de valores de
la variable independiente x, valores positivos y negativos.
Cuando los valores de esta segunda derivada son negativos, entonces en ese intervalo
existe un máximo relativo y cuando los valores son positivos, entonces existe en el
intervalo un mínimo local.
52
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
3.4. Aplicación de máximos y mínimos.
Una de las aplicaciones de la derivada como análisis del comportamiento de las
funciones se realiza con ayuda de los máximos y mínimos, siendo estos valores críticos
o deseados, en una función modelada de un fenómeno real. Como ya se ha
mencionado en la modelación de funciones, en el apartado 1 el comportamiento en
términos matemáticos específicamente con y por medio de una función puede darnos
importante información de cómo se comporta cierto fenómeno, más aún si se requiere
por ejemplo optimizar el comportamiento en términos de una variable. Retomaremos
uno de los ejemplos ya abordados para vincularlo con el tema aquí visto de máximos y
mínimos como aplicación directa del cálculo.
Ejemplo 81. Se desea fabricar una caja sin tapa con una lámina de cartón
cuadrada cuyos lados midan 12cm. Encontrar una expresión del volumen que
contendrá
la
caja
en
función
de
cuatro
recortes
cuadrados
que
se
realizarán en cada una de las esquinas. ¿Cuál será el valor de estos
recortes si se desea un volumen máximo en la caja?
Un dibujo que represente el planteamiento del texto anterior puede ser
similar al siguiente:
53
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Como puede observarse, la hoja de cartón tiene los recortes descritos,
por lo que una función que nos indique la base de la caja se expresaría
como
b( x) 12cm 2 x 12cm 2 x
Puesto que el cuadro que haría las veces de base tiene como lado el valor
de 12cm 2 x , como se muestra en la siguiente figura:
Como puede observarse, el valor de la altura de la caja será entonces de
x, por lo que el volumen total de la caja puede expresarse como el
producto de la base por la altura, es decir:
b( x) h( x) 12cm 2 x 12cm 2 x x
Desarrollando el producto y agrupando términos semejantes, tendríamos:
V ( x) 4 x x 6cm
2
que es la función pedida.
Por otro lado, si derivamos esta función y encontramos el valor máximo en
la graficación de medida de los recortes contra el volumen, entonces
habremos
encontrado
el
volumen
máximo.
Procedemos
pues
a
derivar
función (en donde hemos omitido las unidades para fines prácticos):
V ( x) 4 x x 6 4 x3 48x 2 144 x
2
Cuya derivada será:
V ´( x) 12 x2 96 x 144
54
la
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Como ya hemos descrito, para encontrar los valores máximos y/o mínimos
procedemos a igualar esta derivada a cero:
0 12 x2 96 x 144
Encontramos
las
raíces
de
esta
ecuación
de
segundo
grado
(ya
sea
factorizando o con la fórmula general, según convenga):
x1 2, x2 6
Esto serán los puntos en donde existe concavidad en la función primitiva,
es
decir:
uno
de
estos
puntos
es
un
máximo
relativo
y
el
otro
probablemente un mínimo también relativo. Procedemos a hacer el análisis
de la derivada evaluando los puntos.
x1 1.9
x1 2.1
x2 5.9
x2 6.1
Sustitución:
4.92
-4.68
-4.68
4.92
Pendiente
+
-
-
+
Como puede observarse, con la sustitución de valores cercanos a la primer
raíz (x=2), se observa que el valor de la pendiente pasa de ser negativo
a ser positivo, esto nos indica que en el punto x=2 existe una concavidad
hacia abajo o un valor máximo, por lo tanto, el valor en donde la caja
puede contener un volumen máximo es aquel en donde sus cortes serán de
dos centímetros. Por supuesto que la gráfica de la función en donde se
tracen
las
coordenadas
de
un
punto
información:
55
móvil
nos
puede
corroborar
dicha
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
De hecho, al sustituir el valor 2 en la función original, su resultado
será de 128 (retomando las unidades, centímetros cúbicos). Por supuesto
que la sustitución de valores más pequeños que el 2 o más grandes incluso
en una escala muy pequeña nos dará valores más pequeños que 128. Se deja
la comprobación de este hecho al estudiante.
Ejemplo 82.Un pueblo se encuentra a 3km de distancia de un río. En una
sesión de simulacro, se pretendió que un bosque se incendiaba a una
distancia de 2km del mismo río. La distancia sobre el río que separa al
pueblo del bosque es de 6km (véase la figura). Los bomberos matemáticos
quieren representar una función que represente la distancia sobre el río
para en un momento dado, calcular el trayecto más corto para ir del
pueblo al río y después al bosque.
Una suposición que puede ubicar una mejor solución para el problema es
suponer
un
distancia
punto
del
sobre
recorrido.
el
río,
Esto
el
puede
siguiente:
56
cual
será
la
bosquejarse,
posición
puede
ser
de
menor
como
la
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Como puede observarse, el punto x representa la distancia entre los dos
pueblos en donde puede ser mínima función de la distancia total. Por otro
lado, la distancia que han de recorrer los bomberos desde el pueblo al
río y luego al bosque (o incluso en orden inverso) se calcula con la suma
de los trayectos que han de recorrer; esto es de acuerdo al dibujo: el
segmento A más el segmento B.
D( x) A( x) B( x)
El segmento A puede ser expresado como
A( x) 3Km x
2
2
Y el segmento B:
B( x) 2Km 6 Km x
2
2
Por lo que la suma de ambas funciones sería:
D( x) A( x) B( x) 3Km x 2Km 6Km x
2
2
2
2
Que una vez desarrollando y agrupando términos semejantes, obtendríamos:
D( x) 2 x 2 12 x Km 49 Km2 .
Ahora bien, una vez expresada la función que relaciona la distancia total
que habrá de recorrerse en función de la distancia sobre el río desde el
pueblo, se procede a encontrar en este caso el valor mínimo. De esta
manera,
procedemos
como
lo
hemos
descrito:
encontrando
primero
derivada (y omitiendo las unidades de medida para fines prácticos):
D( x) 2 x 2 12 x 49
Cuya derivada es:
D´( x) 4 x 12
Igualando la derivada a cero:
0 4 x 12
57
la
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Encontrando entonces el valor de x:
x3
Como en este caso no tenemos dos o más valores, este valor único
es el valor en donde se encuentra la inflexión de la función primitiva y
donde se encuentra el valor mínimo buscado. Una gráfica en donde se
muestre la función primitiva y un punto con las coordenadas x=3, nos
mostrará la distancia mínima total (que a su vez resulta de evaluar el
valor mínimo en la función primitiva).
3.5. Problemario
1. Hallar la derivada de las siguientes funciones usando la regla general de derivación
1.1. y=x3-2
1.2.
2. Mediante el uso de las fórmulas algebraicas, determinar la derivada de las
siguientes funciones:
2.1.
2.2.
58
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.3.
2.4.
√
2.5.
√
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
√
2.12.
(
2.13.
)(
(
2.14.
)
)(
)
√
2.15.
(
2.16.
(
2.17.
√
)
√ )
2.18.
2.19.
2.20.
√
√
√
3. Determinar la derivada de las siguientes funciones implícitas:
3.1.
3.2.
59
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
3.3. √
√
3.4.
3.5.
√
4. Mediante el uso de las fórmulas trascendentes, determinar la derivada de las
siguientes funciones:
4.1.
(
)
4.2.
(
)
4.3.
(
4.4.
)
(
)
4.5.
4.6.
4.7.
(
√ )
4.8.
(
)
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
(
)
4.16.
(
4.17.
(
)
)
(
)
60
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.18.
4.19.
(
4.20.
)
(
)
5. Hallar la segunda derivada de las funciones siguientes:
5.1.
5.2.
√
(
)
6. Hallar la sexta derivada de las funciones siguientes:
6.1.
( )
6.2.
7. Resolver los siguientes problemas:
7.1. Un globo aerostático pierde aire a razón de
disminuyendo el valor del radio del globo cuando
V
. ¿Con qué rapidez
va
.
𝑟
7.2. Una placa cuadrada de acero de 1.5 m de lado, se somete a una contracción
térmica durante un proceso de enfriamiento, lo cual origina una disminución en sus
lados de 5 mm. Determinar aproximadamente cuanto disminuye el área de la placa
61
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
7.3. Obtener una aproximación del resultado de √
8.
Encontrar
el
valor
mínimo
relativo
.
que
puede
alcanzar
la
función:
la
función:
A( x) 6 x2 10 x 3
9.
Encontrar
el
valor
máximo
y
mínimo
relativo
que
tiene
B( x ) 3 x 3 5 x 2 4
10. ¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar la función seno?
3.6. Autoevaluación
1. Hallar la derivada de las siguientes funciones usando la regla general de derivación.
1.1. y=4x3-2x
1.2.
2. Se requiere colocar una cerca de un terreno rectangular que tiene un área de 50
metros cuadrados. Uno de los lados más largos del terreno colinda con un río, por lo
que no se requiere cercar ese lado. Expresar la longitud de la cerca en función del lado
que colinda con el río y el valor que debe de tener dicho lado para que la longitud de la
cerca sea mínima.
3. Determinar los máximos y mínimos de la función ( )
4. Derivar por fórmulas.
4.1. y=5x4-3x2+6x+8
4.2. y=x2senx
4.3.
√
4.4.
4.5.
√
4.6.
4.7.
√
4.8.
4.9. ( )
(
)
62
.
CONALEP-2011
4.10.
[Análisis derivativo de funciones]
√
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
(
)
(
)
4.15.
5. Deriva la siguiente función implícita.
5.1.
6. Usando diferenciales calcular:
6.1.
6.2.
6.3. √
6.4. √
6.5. √
3.7. Conclusión
En este apartado se te brindó una nueva herramienta algebraica útil en el análisis de
funciones y de pequeñas variaciones que ocurren en cantidades continuas, hablamos
sobre el concepto de derivada como razón de cambio, pendientes de curvas, valores
máximos y mínimos, se vieron aplicaciones de optimización, pero hay muchas otras
aplicaciones en el campo de la ingeniería, la física, la economía, la química e inclusive
en las ciencias sociales. Lo visto en este capítulo es prerrequisito para tu próximo
curso de cálculo integral.
63
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
3.8. Soluciones del problemario
1.1. 3x2
1.2. y’=
2.1.
2.2.
2.3.
64
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
2.4.
2.5.
√
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
√
√
2.11.
√
2.12.
2.13.
2.14.
√
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
(
)(
)
√
√
(
√ )
√ (
√ )
√
(
(
)
)
√(
)
√
√(
)
3.1.
3.2.
3.3.
√( )
65
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
3.4.
√
3.5.
√
4.1.
4.2.
4.3.
(
4.4.
)
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
√
√ (
(
√ )
)
4.9.
4.10.
4.11.
(
)
4.12.
(
4.13.
4.14.
(
4.15.
4.16.
)
(
(
)
)
)
[
(
(
)]
)
4.17.
4.18.
66
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
4.19.
4.20.
5.1.
5.2.
( )
(
)
√
√
√
√
(
6.1.
)
(
)
( )
6.2.
7.1.
7.2.
7.3. ( )
8. -.833
9. Máximo relativo: 1.11, mínimo relativo: 0
10. 1
3.9. Solución de autoevaluación
1.1. y’=12x2-2x
1.2.
2.
L( x ) x
100m2
valor mínimo: 10 m.
x
3. Máximo en x=1 y mínimo en x=3
4.1. y’=20x3-6x+6
4.2. y’=x2cosx+2xsenx
67
CONALEP-2011
4.3.
[Análisis derivativo de funciones]
√
4.4.
4.5.
(
)
4.6.
4.7.
√
4.8.
4.9.
(
)
( )
)
√(
4.10.
√
4.11.
(
)
4.12.
4.13.
(
)(
)
4.14.
4.15.
5.1.
6.1. 7687
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
68
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
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