Divisivilidad

UNIDAD 1 . NÚMEROS
TEMA 2. DIVISIBILIDAD
No te sorprenderá ver esto:
1341
191
7
23
58
Habrás pensado al verlo que es una división. Más exactamente, se ha dividido
el número 1341 (dividendo) entre el 23 (divisor) y hemos obtenido 58 (cociente), con
un resto igual a 7.
Lo que se cumple inexorablemente es:
1341 = 23 • 58 + 7
con la obligación de que el resto (7) sea positivo ó cero y menor siempre que el divisor (23).
Ésto es lo mismo que decir que se ha encontrado el mayor número entero (58)
que de el mayor producto con 23 menor o igual que 1.341.
De forma general diremos entonces que:
Dividir; dos números positivos D y d es la operación que consiste en hallar
dos números positivos o nulos c y r tales que:
D = d•c+ r
con
0≤ r < d
D se llama dividendo, d divisor , c cociente y r resto.
Si r = 0 la división se llama exacta y se representa así:
D÷ d = c
o
D/d =
D
=c
d
esto quiere decir que D = d • c
En general: Si a , b , c son números enteros y decimos que:
a ÷ b = c

quiere decir que : a = b • c
−6 ÷ 2 = −3 porque - 6 = -3 • 2
Así:
-4 ÷ ( -2) = 2 porque - 4 = -2 • 2
2.1.- a) Hallar el mayor número entero que multiplicado por 325 , dé como producto,
un número menor o igual 12.528.
b) Completa las filas de la tabla siguiente:
Dividendo
523
divisor
27
17
432
23
92
1514
UNIDAD 1.
cociente
19
20
33
16
resto
22
117
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 1
UNIDAD 1 . NÚMEROS
c) Hallar los números enteros que resultan de efectuar:
2/0 ; 0/5 ; 3/2 ; -14/7 ; -16/(-8) , -21/(-3)
d) Expresa, si es posible, los números enteros que resultan de realizar las siguientes operaciones con potencias de base 2.
23
26
24
;
;
22
23
24
2m
Como habrás observado, se cumple que si m < n entonces n = 2 m − n .
2
m
En general : a = a m − n siendo a∈Z.
an
23
, evidentemente, decimos que es igual a 1, y si
23
además quisiésemos que cumpliese la regla del cociente de potencias expuesta arriba
tendría que ser igual a 2 3− 3 = 2 0 . Para que las dos cosas se cumplan convenimos en
dar la definición :
20 = 1
0
y en general :
Si nos detenemos en el caso:
a =1
9
El número 9 tiene muchas misteriosas propiedades. ¿Sabías que el número
está escondido tras la fecha de ocurrencia de los acontecimientos importantes y en la de nacimiento de toda persona famosa?
Fijémonos en la fecha del descubrimiento de América por Cristóbal Colón que
fue el 12 de Octubre de 1492. Escribamos tal fecha con un solo número: 12101492.
Ahora recordemos las cifras y escribamos con ellas otro número distinto cualquiera,
por ejemplo: 11109224.
Restemos ahora el menor del mayor: 12101492 - 11109224 = 992268. Sumemos
todos los números de la diferencia: 9 + 9 + 2 + 2 + 6 + 8 = 36. En este caso la suma es
36 ¡Y 3 más 6 son 9!.
¿Habrá alguna relación entre el 9 y la fama? ¿Has probado tú con tu propia fecha de nacimiento?
Dados dos números enteros a y b , se dice que se dice que b es múltiplo de a, o
que a es divisor de b si existe un número entero k tal que b = k•a o bien si la división
de b entre a es exacta.
2.2.- Hallar todos los elementos de los conjuntos siguientes:
D6 = conjunto de todos los divisores de 6
D15 = conjunto de todos los divisores de 15
M6 = conjunto de todos los múltiplos de 6
M15 = conjunto de todos los múltiplos de 15
D6∩D15
UNIDAD 1.
M6∩M15
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 2
UNIDAD 1 . NÚMEROS
En el cálculo es muy útil saber si un número es divisor de otro y hallar los divisores de un número. Veamos como se resuelven estas cuestiones.
Definición:
Se dice que un número positivo es primo cuando sus únicos divisores son el 1 y
él mismo.
El matemático y filósofo griego Eratóstenes, en el siglo III a.C., escribió en una
plancha metálica tres o cuatro mil números y fue contando de dos en dos primero, con
lo que tenía los múltiplos de dos, que por tanto no eran primos e hizo agujeros en los
lugares correspondientes; luego contó de tres en tres e hizo nuevos agujeros; luego
cada cinco y así sucesivamente. Los números no tachados, los que quedaban eran los
números primos. Es el primer método que registra la historia para obtener los primos:
la conocida criba de Eratóstenes.
Otra forma sencilla de encontrar los números primos menores que una cantidad
(en nuestro caso 100) es la propuesta por Swalow, y que mostramos a continuación:
a
b
c
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
d
2
8
14
20
26
32
38
44
50
56
62
68
74
80
86
92
98
3
9
15
21
27
33
39
45
51
57
63
69
75
81
87
93
99
4
10
16
22
28
34
40
46
52
58
64
70
76
82
88
94
100
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
71
77
83
89
95
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
i
ii
iii
Se escriben los números tal como aparecen en seis columnas. Después se tachan
las columnas del 2, 4 y 6 por ser pares. Se tachan los de la columna del 3, por ser múltiplos de 3. Queda sin tachar el 5; sus múltiplos se tachan mediante las diagonales a, b,
c y d. Los múltiplos de 7 desaparecen con las líneas i, ii, iii. Al final quedan sin tachar
los números primos.
Una curiosa e importantísima propiedad:
Cualquier número entero positivo se puede expresar como producto de todos sus divisores primos elevados a ciertos exponentes, de forma única.
A esta forma de expresar el número se la denomina su descomposición factorial.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 3
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Por ejemplo: 24 = 23•3 ; 360 = 23•32•5
Para ahorrar trabajo a la hora de realizar la descomposición factorial de un número es conveniente saber ciertos criterios o reglas sobre si el número puede ser divisible o no por los números primos más pequeños.
Criterios de divisibilidad:
•
•
•
•
Un número es divisible por 2 cuando la cifra de sus unidades es 0 o cifra par.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores de sus cifras es
divisible por 3.
Un número es divisible por 5 cuando la cifra de sus unidades es 0 ó 5.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores de las cifras situadas en lugar impar y la suma de las cifras situadas en lugar par es 0 ó múltiplo de 11.
El proceso seguido para obtener tal descomposición factorial se denomina algoritmo de la descomposición factorial de un número.
Por ejemplo hallemos la descomposición factorial de 360:
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
2.3.- a) Hallar la descomposición factorial de cada uno de los números:
350
5.625
2310
b) Escribe todos los elementos de los conjuntos:
D84 , D90 , M6 y M9
c) Análogamente de los conjuntos :
D84∩D90
,,
M6 ∩ M9
∩ = intersección de conjuntos, elementos comunes a los dos conjuntos
d) Observando los conjuntos obtenidos en el apartado anterior ¿cuál es el mayor
de los divisores comunes a 84 y 90? ¿y cuál es el menor de los múltiplos comunes a 6 y 9?
Definiciones:
1. Se llama máximo común divisor de dos o más números enteros al mayor de los
divisores comunes de esos números.
m.c.d.(a, b) = máximo común divisor de a y b.
2. Se llama mínimo común múltiplo de dos o más números enteros al menor de los
múltiplos comunes de esos números.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 4
UNIDAD 1 . NÚMEROS
m.c.m.(a, b) = mínimo común múltiplo de a y b.
3. Si el m.c.d. de varios números enteros es 1 se dice que los números son primos
entre sí.
Para calcular el m.c.d. ó el m.c.m. se puede proceder como se ha esbozado en el
ejercicio 2.3. , pero es muy lento. Existen otros métodos más rápidos, vamos a ver dos
de ellos.
I.
Utilizando la descomposición factorial :
El m.c.d. de dos o más números enteros, descompuestos en
factores primos, es igual al producto de los factores primos
comunes a estos números con los menores exponentes con los
que figuran en las descomposiciones.
El m.c.m. de dos o más números enteros, descompuestos en
productos de factores primos, es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes a esos números con los
mayores exponentes con los que figuren en la descomposiciones.
Ejemplos:
1804 = 22•11•41
328 = 23•
41
m.c.d.(1804,328) = 22•41= 164
m.c.m.(1804,328) = 23•11•41= 3608
Observa en este ejemplo que los factores de los dos números se reparten entre el m.c.d. y el m.c.m., así se cumple que:
m.c.d.(1804,328)•m.c.m.(1804,328) = 164•3608 = 1804•328
De forma general:
m.c.d.(a, b) • m.c.m.(a, b) = a•b
(1)
El método descrito tiene un inconveniente y es que el realizar la descomposición factorial de cada número puede darnos un trabajo enorme si el número es grande y tiene divisores primos altos. En estos casos es más rentable el
método siguiente:
II.
Algoritmo de EUCLIDES:
Se basa en la siguiente propiedad:
Dados dos números a y b, con a > b, si al dividir a entre b obtenemos
un cociente c y un resto r, es decir, a = b•c + r , entonces:
m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r)
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 5
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Veamos que esto es verdad, buscando el por qué es así, es decir expongamos
la demostración de dicha propiedad.
Demostración:
Si logramos ver que el conjunto de los divisores comunes de a y b, es el
mismo que el de los divisores comunes a b y r es decir : Da ∩ D b = Db ∩ Dr , se seguirá entonces que el mayor divisor de ambos conjuntos será el mismo, es decir,
m. c. d .( a , b ) = m. c. d .( b , r ).
Pertenece
Por lo tanto veamos que Da ∩ D b = Db ∩ Dr .
Para ello comprobemos que a) todo u ∈ D a ∩ D b es también u ∈ Db ∩ D r y
a la inversa que b) todo u ∈ Db ∩ D r es también u ∈ D a ∩ D b .
a) Si u ∈ D a ∩ D b entonces a = s • u y b = t • u (¿por qué?).
Como r = a − b • c = s • u − t • u • c = (s − t • c) • u
¿por qué?
¿por qué?
¿por qué?
Por lo que u es divisor de r (¿por qué), y como ya lo era de b, entonces
:
u ∈ Db ∩ Dr
b) Análogamente, si u ∈ Db ∩ D r entonces b = u • m y r = u • n
Como a = b • c + r = u • m • c + u • n = ( m • c + n ) • u por lo que u es
divisor de a y como ya lo era de b, entonces u ∈ D a ∩ D b . Y se acabó
la demostración.
Aplicando esta propiedad hallemos, por ejemplo, el m.c.d.(1804,328):
1804
1604
164
es decir: 1804 = 5•328 + 164, luego:
m.c.d.(1804,328) = m.c.d.(328,164)
328
5
Ahora realizamos:
328
328
0
es decir: 328 = 2•164 + 0, luego:
m.c.d.(328,164) = m.c.d.(164,0) = 164
164
2
Teniendo en cuenta todas las igualdades anteriores, resulta que:
m.c.d.(1804,328)=164
Todos los cálculos anteriores se resumen de una forma práctica así:
1804
164
UNIDAD 1.
5
328
0
7
164
Nada más que obtengamos el
resto 0 (cero) el m.c.d. es el divisor que lo ha producido.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 6
UNIDAD 1 . NÚMEROS
El resto que se va obteniendo se traslada detrás del ultimo divisor y se prosigue con la
división, hasta obtener el resto cero.
Veamos otro ejemplo:
Hallar el m.c.d.(1989,697) utilizando el algoritmo de Euclides. Lo haremos paso
a paso:
2
1989
697
595
2
697
102
1989
595
2
697
102
1989
595
2
697
102
1989
595
1989
595
2
697
102
1
164
1
595
85
1
595
85
1
595
85
5
102
5
102
17
5
102
17
1
85
1
85
0
5
17
m.c.d.(1989,697)
Luego el m.c.d.(1989,697) = 17
Para calcular el m.c.m.(1989,697) lo despejamos de la fórmula (1) de la página
anterior:
1989 • 697 1386333
m. c. m.(1989 ,697 ) =
=
= 81549
17
17
Este algoritmo recibe el nombre de Euclides, porque aparece expuesto en Los
Elementos, obra de la que fue autor este matemático griego de la antigüedad.
2.4.- a) Calcula el M.C.D. de los números 1.560 , 1.820 , y 1.100 y forma el conjunto
de sus divisores comunes. (Piensa si todo divisor común de los tres números
es divisor de su m.c.d.)
b) Calcula :
M.C.M. (396,429,312)
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 7
UNIDAD 1 . NÚMEROS
M.C.M. (364,375,253)
c) Averigua qué pareja de números de los siguientes están constituidos por números primos entre si:
(1.212 , 713) (535 , 834) (3.133 , 2.413)
2.5.- a) Si un número es múltiplo de 4 y de 10 ¿será múltiplo de 40?
b) Indica que cifra se puede sustituir por la letra “a” para que el número sea
múltiplo del que se señala entre paréntesis.
64a3 (2)
54a31 (3)
3a215 (11)
24a (5)
c) Descomponer 540 de todos los modos en producto de dos factores primos
entre si.
2.6.- Repón las cifras que faltan en la división :
X 2 X 5 X
X X X
3 2 5
1 X X
X 0 X X
X 9 X X
X 5 X
X 5 X
2.7.- Si los dividendos de dos divisiones son distintos y los divisores también, puede
resultar cocientes iguales y restos iguales a la vez en esas divisiones? Pon un
ejemplo.
2.8.- Tres clases que tienen 20 , 40 y 50 alumnos respectivamente, asisten a un festival a un salón, cuyas filas tienen todos el mismo número de butacas. Se colocan
los alumnos de modo que las filas están totalmente ocupadas y no hay en una
misma fila alumnos de distintas clases. Si el número de filas es el menor posible
¿Cuántos alumnos hay en cada fila? ¿Cuántas filas ocupa cada clase?
2.9.- Cierto fenómeno tiene lugar cada 450 seg., otro cada 250 seg. y un tercero cada
600. Si a las 5 en punto de la tarde han coincidido los tres ¿ a qué hora volverán
a coincidir por primera vez y cuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre
una y otra coincidencia?
2.10.- Una sala de 108 metros de larga por 8 metros de ancha debe embaldosarse con
baldosas cuadradas y las mayores posibles. No queriendo romper ninguna.
¿Cuál será la superficie de una de estas baldosas y cuántas harán falta?
2.11.- Mientras Elena y Tony paseaban por el parque y se cruzaron con la banda municipal, que ensayaba un desfile.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 8
UNIDAD 1 . NÚMEROS
La banda pasó desfilando de cuatro en fondo, salvo uno de los músicos, el pobre Pánfilo, que cerraba la marcha. El director de la banda estaba molesto.
Para encajar el músico en la formación, el director mandó formar en columnas
de a tres. Pero Pánfilo seguía estando solo en la última fila.
Incluso cuando la banda desfila de dos en dos, Pánfilo sigue solo , de farolillo
rojo.
Aunque no era asunto suyo, Elena se acercó al director de la banda.
ELENA: Maestro ¿me permite hacerle una sugerencia?
SR. DIRECTOR: Señorita le ruego que no me moleste. ¡Ya tengo bastantes
dificultades!
ELENA : De todas formas se lo voy a decir : Fórmelos usted de 5 en fondo.
SR. DIRECTOR : Jovencita eso precisamente es lo que iba a ordenar ahora.
Cuando la banda formó de cinco en fondo, todas las filas quedaron completas
y Pánfilo quedó perfectamente cuadrado. ¿Cuántos músicos componen la banda?
2.12.- En un escaparate de unos grandes almacenes hay tres focos de colores diferentes. Uno, rojo se enciende cada 15 seg., otro verde se enciende cada 25 seg. y
otro amarillo cada 30 seg. . A las siete en punto de la noche coinciden los tres
focos encendidos. ¿ A qué hora volverán a coincidir? ¿ Cuántas veces coincidirán hasta las siete y media?¿ Cuántas veces se habrá encendido cada uno en esta media hora?
2.13.- Tenemos naranjas distribuidas en dos cestas conteniendo cada cesta más de 7
naranjas. El m.c.m. de los números de naranjas que hay en cada cesta es diez
veces mayor que su m.c.d., el producto de dichos números es 360. Calcular el
número de naranjas que hay en cada cesta.
2.14.- Hay que colocar cajas de zapatos de dimensiones 36 cm x 18 cm x 8 cm en
otras cajas más grandes de forma cúbica, de modo que las cajas de zapatos
quepan exactamente en las cajas cúbicas, tanto a lo largo como a lo ancho y a
lo alto.
¿Cuánto medirá como mínimo la arista de una de esas cajas?
¿Cuántas cajas de zapatos caben en cada una? ¿Cuántas caben en un cubo cuya
arista es el doble que la de la caja cúbica anterior?
2.15.- Un almacenista tiene 75 kg de pintura roja, 105 kg. de pintura amarilla y 120
kg. de pintura azul. Para servir a sus clientes quiere hacer pintura naranjaazulada mezclando las tres. Para ello quiere llenar recipientes iguales de mezcla, de modo que cada recipiente contenga el menor número de kilogramos justos de cada color. Se desea saber: el número de recipientes que puede hacer, su
composición y la capacidad de cada recipiente.
Obtención de todos los divisores de un número:
Sea n un número descompuesto en sus factores primos:
n = a α • b β • cγ
Los divisores de n se obtienen de la forma siguiente:
• Se colocan las potencias del primer factor en este caso a, desde 0 hasta α.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 9
UNIDAD 1 . NÚMEROS
• Se multiplican estos números por las potencias sucesivas del segundo factor b, desde 0 hasta β.
• Se multiplican estos números por las potencias sucesivas del tercer factor c, desde
0 hasta γ, así sucesivamente.
Hagámoslo con un caso concreto y mediante lo que se llama un diagrama en árbol:
Sea 60 = 2 2 • 3 • 5
50 = 1
0
3
51 = 5
20
50 = 3
1
3
51 = 15
2. Se colocan las
potencias del segundo factor (3)
desde 0 hasta 1
en cada una de
las potencias anteriores.
50 = 2
1. Se colocan las
potencias
del
primer factor (2)
desde 0 hasta 2
30
51 = 10
1
2
50 = 6
1
3
51 = 30
50 = 4
0
3
3. Se colocan las
potencias del tercer
factor (5)
desde 0 hasta 1
en cada una de
las potencias anteriores.
51 = 20
2
2
50 = 12
31
51 = 60
4. Se
multiplican
las distintas potencias siguiendo
las ramas del árbol, obteniéndose
todos los divisores.
Si queremos saber el número de divisores de un determinado número n, lo
descompondríamos en producto de sus factores primos:
n = a α • b β • cγ
El número de divisores del número n vendrá dado por :
ND( n ) = (α + 1) • (β + 1) • ( γ + 1) ¿Por qué?
En particular el número de divisores de 60 será:
ND( 60) = ( 2 + 1) • (1 + 1) • (1 + 1) = 3 • 2 • 2 = 12
2.16.-Hallar todos los divisores de 540. Halla el número de divisores del número
194.040.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 10
UNIDAD 1 . NÚMEROS
2.17.-Los Griegos llamaron números perfectos a los números que coinciden con la
suma de todos sus divisores excluido él. Por ejemplo el número 6 ya que 6 = 1
+ 2 + 3. Encuentra los números perfectos que sean menores que 30.
2.18.-Tres trenes salen de una determinada estación al mismo tiempo teniendo que
hacer un recorrido circular. El tren A da una vuelta en 24 minutos, el tren B lo
hace en 60 minutos, y el C en 280 minutos. Si salen a las tres de la tarde de la
estación. ¿ A que hora volverán a encontrarse ? ¿ Cuántas vueltas ha dado A al
circuito ? ¿ y el tren B ? ¿ y C? Si el circuito tiene 80 km. ¿ Cuántos km. ha
recorrido cada tren? ¿ Qué velocidad lleva cada uno de ellos?
2.19.-Hallar el M.C.D. y el M.C.M. de los números 2.028 y 3.718.
2.20.- Los Griegos llamaron números perfectos a los números que coinciden con la
suma de todos sus divisores excluido él. Por ejemplo el número 6 ya que 6 = 1
+ 2 + 3, ó el número 28 ya que la suma de sus divisores excluido él es 1 + 2 +
4 + 7 + 14 = 28. Por otro lado dos números se dicen que son amigos si cada
uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Comprueba que 220 y
284 son dos números amigos.
2.21.- Vamos en un ciclomotor por una carretera a velocidad constante. En un momento determinado pasamos por delante del mojón que nos señala el punto kilométrico AB, una hora después nos encontramos frente al que señala el kilómetro BA y una hora después, hemos alcanzado el kilómetro A0B. ¿A que velocidad hemos hecho el trayecto?
2.22.- Queremos hallar algún número que al dividirlo por 9, por 15 y por 6 nos de en
todos los casos resto 2. Nos gustaría encontrar el más pequeño.
2.23.- Dados los números, 1401 y 762, hallar el mayor número posible por el que hay
que dividirlos para obtener de resto 15 y 6 respectivamente.
2.24.- El perro humorista.
El perro de la figura, formado con palillos, está contento, lo que puede conocerse, como es bien sabido, por tener su cola en alto. Moviendo solamente dos
palillos, hay que lograr que siga igualmente contento -cola en alto- pero mirando hacia la derecha.
2.25.-¿Qué cosa -yo te preguntopuedo ver en un minuto, en
semanas, en un mes; y, sin
embargo, en un año jamás
he podido ver?
2.26.- Hallar un número que aumentado en 15 dé un cuadrado; y disminuido en 4 dé
asimismo un cuadrado.
UNIDAD 1.
TEMA 2. DIVISIBILIDAD. Página 11