MA13 - CPU 13

C u r s o : Matemática
Material N° 14
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
R
C
AB  PQ
AC  PR
ABC

PQR

CB  RQ
∡A  ∡P
∡B  ∡Q
∡C  ∡R
A
B
Q
P
EJEMPLOS
1.
Los triángulos ABC y DEF de la figura 1, son isósceles congruentes de base AB y DE ,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son) verdadera(s)?
I) CBA  FDE
II) BCA  FDE
III) BAC  EFD
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
B
D
C
I
II
III
I y II
II y III
fig. 1
E
A
F
Los triángulos ABC y PQR de la figura 2, son escalenos. Si ABC  PQR, entonces ¿cuál
de las siguientes proposiciones es falsa?
C
A) AB  PQ
R
B) AC  RQ
fig. 2
C) BC  QR
D) ∡ACB  ∡PRQ
E) ∡ABC  ∡PQR
B
A
1
P
Q
3. Los triángulos ABC y FED de la figura 3, son escalenos. Si ABC  FED, entonces ¿cuál es el
valor de x?
D
C
A) 7
B) 9
C) 12
D) 15
E) Ninguna de las anteriores
x

F 
fig. 3
9
12
4.



A
B
12
E
Si en la figura 4, se cumple que MNO  PQR, entonces ¿cuál de las siguientes opciones
es verdadera?
Q
A) MN  PR
P
O
B) ON  RP
fig. 4
C) ∡MON  ∡QPR
D) ∡NMO  ∡QPR
R
E) ∡NOM  ∡RPQ
5.
M
Dados los siguientes triángulos, ¿cuáles son congruentes?
I)
10 cm
II)
10 cm
70º
80º
A)
B)
C)
D)
E)
6.
N
III)
70º
80º 70º
10 cm
80º
Sólo I con II
Sólo I con III
Sólo II con III
Todos ellos.
Ninguno de ellos.
Si los polígonos ABCD y EFGH de la figura 5 son congruentes en ese orden, ¿cuál de las
siguientes alternativas es falsa?
F
C
A)
AB  EF
D
E
A
H
B) ∡DAB  ∡HEF
C) DC  GH
D) ∡ADC  ∡GFE
E)
B
AD  EH
fig. 5
2
G
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

C
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
A
C’


c
C

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente iguales.


B A’
c
LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando tiene
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados
respectivamente iguales.
C

A
B’
c
b
B A’
c
a
b
B A’
c
b
B’
c
C’
a
b
A

B’
b
C

c
C’
b
A


A’
B
C’

B’
c
b<c
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) siempre congruentes?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
II)
III)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
Los triángulos escalenos de la figura 1, son congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
C
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
fig. 1
80º
a
60º
A
3
F
a
40º
c
40º
B
D
80º
b
60º
E
3.
En la figura 2, AB  AD y ∡CAD  ∡CAB. ¿Qué criterio permite demostrar que el
ABC  ADC?
D
A)
B)
C)
D)
E)
4.
LLL
LAL
ALA
LLA>
Falta información
A
C
fig. 2
B
Si en la figura 3, el FAR  EAR, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
RA es bisectriz del ∡FRE
FBA  EBA
EAR es isósceles
R
fig. 3
A
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
F
B
E
En la figura 4, los triángulos QNP y NQM son isósceles y rectángulos en P y en M,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
P
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
MT + PQ = QM + QT
PM  QN
∡QPM = ∡PMN
Q
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
T
N
fig. 4
M
4
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o la
prolongación de éste.
C
F
ha
A
E
H = ORTOCENTRO (punto
de intersección de las
alturas o sus
prolongaciones)

h
H b
hc
B
D
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, el ABC es escaleno, CD es altura, entonces, ¿cuál de de las siguientes
alternativas es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
C
 –  = 30°
 +  = 90°
 +  < 90°
 –  > 0°
 +  > 90°


A
2.
fig. 1
 
D
B
En el triángulo ABC de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo ABC mide 35°, entonces
el ángulo EHC mide
A)
B)
C)
D)
E)
C
125°
90°
55°
45°
35°
E
F
A
5
fig. 2
H
D
B
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

BISECTRIZ: Es el rayo que divide un ángulo en dos ángulos congruentes.
C
F
A
 


E
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)
I


D
B
Observación: El incentro equidista de los lados del triángulo ID  IE  IF
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, el ABC es escaleno, BD es bisectriz, entonces, ¿cuál es la medida del
ángulo ?
C
A)
B)
C)
D)
E)
2.
fig. 1
5°
10°
15°
20°
25°
D
A
95°
80°

B
Si en un triángulo rectángulo escaleno se traza la bisectriz del menor de los ángulos
interiores, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones con respecto a algunos de
los triángulos que se forman es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Se forma un triángulo acutángulo
Se forma un triángulo obtusángulo
Se forma un triángulo rectángulo
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II, III
6
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado
opuesto.
C
F
E
G
A
G = CENTRO DE GRAVEDAD
(punto de intersección de las
transversales de gravedad)
B
D
OBSERVACIÓN: Si ABC es rectángulo en C, entonces CD  AD  DB .
EJEMPLOS
1.
En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y 2 CE = AB entonces la
medida del ángulo ACB es
C
A)
B)
C)
D)
E)
40°
45°
55°
90°
95°
fig. 1
95°
A
2.
B
E
En el triángulo ABC de la figura 2, el segmento CD es transversal de gravedad, entonces
A)
AD  DC
B)
DB  DC
C)
AD  DB
D)
E)
∡CDB = 90°
ADC es equilátero
C
fig. 2
A
7
D
B
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del
triángulo.
C
O = CIRCUNCENTRO
(punto de intersección
de las simetrales)
O
A
B
OBSERVACIÓN: El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO  OC  OB
EJEMPLOS
1.
En el ABC de la figura 1, EF es simetral del segmento AB . Si el ángulo ABC mide 35°,
¿cuánto mide el ángulo EFC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
2.
F
35°
45°
55°
90°
125°
A
E
fig. 1
B
El triángulo ABC de la figura 2, O es el circuncentro. Si AE  EF  EB , entonces el ángulo
ABC mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
30°
40°
45°
50°
55°
F
D
fig. 2
O
A
8
E
G
B
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

MEDIANA: Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.
C
E
F
A
OBSERVACIONES:
B
D
FE // AB y AB = 2 FE
FD // BC y BC = 2 FD
DE // AC y AC = 2 DE
ADF  DBE  FEC  EFD
EJEMPLOS
1.
En el triángulo PQR de la figura 1, ∡PRQ = 30°, ∡PQR = 40° y MN es mediana. ¿Cuánto
mide el ángulo PMN?
R
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1
30°
35°
40°
65°
70°
N
M
Q
P
2.
En el triángulo ABC de la figura 2, los puntos M, N, O son punto medios de los lados
respectivos. Entonces,  +  =
C
A)
B)
C)
D)
E)
30°
60°
70°
90°
150°
fig. 2
M
N
A
9

30°
O

B
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles
correspondientes al lado distinto.
no
equilátero
coinciden
los
elementos
secundarios
C
CD = hc = tc = b  = sc
AC = BC
A



D
AB  BC
B
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
30°30°
F
E
G
30°
30°
A
30°
D
30°
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, ABC es isósceles de base AB . Si D es punto medio del trazo AB ,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
∡ACD  ∡BCD
ADC  BDC
C
∡ADC = 90°
fig. 1
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
A
10
D
B
2.
El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB . Si CD  AB , entonces ¿cuál(es)
de los siguientes pares de triángulos son congruentes?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
fig. 2
E
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
A
D
B
El ABC de la figura 3, es isósceles de base AB . Si DC  CE y AD  BE , se puede afirmar
que ADC  BEC por el (los) criterio(s)
C
I) LLL
fig. 3
II) LAL
III) ALA
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C
ADE con BDE
AEC con BEC
ADC con BDC
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
A
D
B
E
El ABC de la figura 4, es isósceles de base BC . Si BD y CE son bisectrices de los
ángulos basales, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
C
D
A)
B)
C)
D)
CE  BD
PBC es isósceles
EBC  DCB
E y D son puntos medios de AB y AC
E)
DC  EB
A
P
fig. 4
E
B
5.
En la figura 5, DB es perpendicular a AC y ∡ADB  ∡CDB. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A
ABD  CBD
ADB es escaleno.
B es punto medio de AC .
fig. 5
Sólo I
Sólo III
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
D
B
C
11
EJERCICIOS
1.
En la figura 1, ABC isósceles y rectángulo en C. Si AB  CD , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
ABC  CBD
ABC  ACD
ADC  BDC
C
fig. 1
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
D
A
B
En el ABC, isósceles de base AB de la figura 2, BD es bisectriz del ∡ABC. Si
∡CAB = 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
C
fig. 2
A) 40º
B) 60º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
3.
D x
A
En el triángulo PQR de la figura 3, SP  SQ y QRS isósceles de base QR . ¿Cuál es la
medida del ∡x?
A)
B)
C)
D)
E)
R
30º
45º
65º
75º
85º
S
fig. 3
15º
P
4.
B
x
Q
En el triángulo ABC de la figura 4, AB = AC . ¿Cuál de las siguientes igualdades es
verdadera?
C
A)
B)
C)
D)
E)





=
=
=
=
=
fig. 4
180º + 2
180° – 2
90° – 
90° – 2
2

A
12

B
5.
En la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas. Si L3 // L4, entonces  +  =
L2
L1
A)
B)
C)
D)
E)
6.
x°
x°
2x°
3x°
L3

fig. 5
x

L4
D
100º
105º
115º
125º
135º
35º
fig. 6
x
45º
C
E
A
Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman
2 triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
8.
–
–
–
–
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
ángulo x?
B
A)
B)
C)
D)
E)
7.
180°
180°
360°
360°
360°
isósceles rectángulos congruentes.
acutángulos escalenos congruentes.
acutángulos congruentes.
escalenos rectángulos congruentes.
equiláteros congruentes.
En el rectángulo AETD de la figura 7, ABCD es un cuadrado. Si CF  CT , ¿cuál(es) de
las afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
FGC  FHB
DFT  AFE
BETC cuadrado.
D
C
T
G
F
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
fig. 7
H
A
13
B
E
9.
En la figura 8, AC  BD y AD  BC . ¿Cuál de los siguientes postulados permite
afirmar que DCA  CDB?
A
B
A)
B)
C)
D)
E)
10.
LLL
LAL
ALA
LLA>
AAA
E
fig. 8
D
C
En la figura 9, los triángulos BUT y AND son congruentes en ese orden. Si BU // AN ,
entonces el ∡GFN mide
U
A) 144º
B) 140º
C) 76º
D) 68º
E)
36º
fig. 9
B 68º
T
N
F
A
G
76º
D
11. En la figura 10, los segmentos AE y BD se intersectan en C, BC  CD y AC  EC .
Si el segmento GF pasa por el punto C, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
GC  FC
D
A
∡BAC  ∡DEC
GC  AB y CF  DE
fig. 10
C
F
G
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
E
B
12. En la figura 11, PTR y SVQ son congruentes en ese orden. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
TR // VQ
II)
PR // SQ
III)
A)
B)
C)
D)
E)
S

PT  SV
T
R

fig. 11

Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
Q
14
V

P
13. El PQR de la figura 12, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si ∡QRP = 70º,
¿cuál es la medida del EDP?
P
A)
B)
C)
D)
E)
70º
50º
30º
20º
10º
E
fig. 12
R
D
Q
14. En la figura 13, ABC es isósceles de base AB y ABD es equilátero. ¿Cuál(es) de las
siguientes igualdades permite(n) determinar que el ángulo ACB mide el doble que el
ángulo DAC?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
∡DBC = 15°
∡BAC = 75°
fig. 13
∡BAD = 4∡CAD
D
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
B
A
15. En la figura 14, MRN  DFE. Si MN  NR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?
A)
B)
C)
D)
E)
56º
64º
112º
118º
124º
M
F
N
fig. 14
62º
H
R
E
D
16. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura 15 son congruentes, es
necesario saber que
A)
AB  DC
D
B
B) ∡BAO  ∡DCO
C) AB // CD
fig. 15
O
D) AO  DO y AB  DC
E)
A
BO  CO y AO  DO
15
C
17. En la figura 16, ABC equilátero y AF  BD  CE. El criterio que permite demostrar que los
triángulos AFE, CED y BDF son congruentes es
C
A)
B)
C)
D)
E)
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
fig. 16
D
E
A
B
F
18. En el cuadrilátero PQRS de la figura 17, PS = QS = RS , PQ = QR y ∡SQR =2∡QSR.
Entonces, ∡SPQ=
S
R
A) 144°
B) 108°
C) 90°
D) 72°
E)
36°
19.
El
P
fig. 17
fig. 12

Q
ABC de la figura 18, es isósceles de base AB . Si AE y BF son bisectrices de los
∡CAB y ∡CBA, respectivamente y CD es altura, entonces es falso afirmar que
C
A)
B)
C)
D)
E)
DPA  DPB
EBA  FAB
DCA  DCB
BFC  BFA
CF  CE
F
A
fig. 18
fig. 12

E
P
D
B
20. El ABC de la figura 19 es rectángulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de
gravedad CE , entonces el ∡DCE mide
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 19
fig. 12

10º
20º
40º
50º
no se puede determinar.
55º
A
16
D
E
B
21. Los triángulos ABC y ABD de la figura 20, son congruentes en ese orden y se encuentran
en distintos planos. Si E es un punto del lado común AB , entonces siempre se cumple
que:
C
fig. 20
I) ∡CAB  ∡CAD
fig. 12
II)
AE  EB

III) CED es isósceles.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
D
I
II
III
I y II
II y III
E
A
B
22. En el triángulo ABC de la figura 21, AC es perpendicular a BC , ∡BAC = 2∡ABC y
∡ACD  ∡BCD. ¿Cuánto mide el ángulo CDB?
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 21
fig. 12

95º
105º
115º
120º
125º
A
B
D
23. En la figura 22, el MNP es isósceles de base MP, NQ es bisectriz del ∡MNP y MP  MR .
Si ∡MPN = 4∡PNM, ¿cuánto mide el ∡MSQ?
A)
B)
C)
D)
E)
70º
55º
50º
40º
30º
P
Q
R
S
fig. 22
fig. 12

M
N
24. En la figura 23, ED perpendicular a AB , BC perpendicular a CE . ¿Cuál es la medida del
ángulo  si,  =120º?
E
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
45º
60º
ninguna de las anteriores.
C
fig. 23
fig. 12



A
17
D
B
25. En la figura 24, se puede determinar cuánto mide el ∡x si :
(1) ABC es equilátero.
D
(2) ABD es isósceles y rectángulo en B.
A)
B)
C)
D)
E)
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 24
fig. 12

x
A
B
26. En la figura 25, se puede determinar que los triángulos ABD y BCD son congruentes si :
(1) AB = BC = CD = DA
D
C
(2) ∡BCD=60º
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 25
fig. 12

A
B
27. En la figura 26, CD // AB . Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con
el triángulo DCB si :
C
(1)  = 
D
(2) AB  CD
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional


A
fig. 26
fig. 12

B
28. En la figura 27, se puede determinar cuánto mide el ángulo  si :
C
(1) ABC es rectángulo en C.
fig. 27
fig. 12

(2) CD es altura del triángulo ABC.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

A
18
D
B
29. En la figura 28, se puede determinar que el triángulo ABC es rectángulo si :
(1)  +  = 270°
(2)  = 120º
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C

fig. 28
fig. 12



A
B
30. En la figura 29, se puede determinar que el triángulo PQR es isósceles si :
(1)  +  = 270°
(2) PS  QS
A)
B)
C)
D)
E)
R
fig. 29
fig. 12

(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

P
19
S

Q
RESPUESTAS
Ejemplo
1
2
3
4
5
6
1y2
A
B
B
D
A
D
3y4
C
A
B
D
E
5
B
E
6
C
D
7
D
C
8
E
C
9
E
E
10 Y 11
E
E
E
D
C
Págs.
EJERCICIOS PÁGINA. 12
1. A
11. C
21. C
2. E
12. E
22. B
3. D
13. B
23. A
4. B
14. E
24. D
5. B
15. E
25. C
6. A
16. E
26. A
7. D
17. B
27. D
8. D
18. D
28. E
9. A
19. D
29. A
10. A
20. B
30. E
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