INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD CULHUACAN ANÁLISIS DE DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS EN EL MARCO TERMODINÁMICO DE PROCESOS IRREVERSIBLES T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE INGENIERÍA EN SISTEMAS ENERGÉTICOS PRESENTA: ING. MIGUEL LINDERO HERNÁNDEZ DIRECTOR DE TÉSIS: DR. MIGUEL ÁNGEL OLIVARES ROBLES MEXICO, DF. MAYO 2010. AGRADECIMIENTOS Agradecimientos al IPN por haber otorgado apoyo para la elaboración de este trabajo. ÍNDICE RESUMEN I INTRODUCCIÓN II NOMENCLATURA UTILIZADA III CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA 1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA…..14 1.1.1 1.2 NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS……………14 FENÓMENOS TERMOELÉCTRICOS………………………………………………...14 1.2.1 EFECTO SEEBECK………………………………………………………………...14 1.2.2 EFECTO PELTIER………………………………………………………………….15 1.2.3 EFECTO THOMSON………………………………………………………………16 1.2.4 EFECTO JOULE……………………………………………………………………16 1.2.5 EFECTO FOURIER………………………………………………………………..16 1.3 PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO TERMOELÉCTRICO…………………………………………………………………….17 1.4 DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………….18 1.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO TERMOELECTRICO…………………………………………………………………….20 1.6 APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA………………22 1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………………..23 1.8 DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………….23 1.9 CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS……………………24 1.9.1 MODULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA…………………………………..24 1.9.2 RENDIMIENTO……………………………………………………………………..25 1.9.3 MODULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA…………..27 1.9.4 CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER………….28 1.10 MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS…………………………………………….31 1.10.1 RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS…………...31 1.10.2 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS………………..32 1.11 CONCLUSIONES………………………………………………………………………...35 CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS 2.1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS…………………….37 2.2 ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK………………………………………………..44 2.3 ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER…………………………………………………46 2.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON……………………………………………….47 2.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA..48 2.6 CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT..51 2.7 CONCLUSIONES………………………………………………………………………...53 CAPÍTULO III ANÁLISIS TERMODINÁMICO DE UN MÓDULO TERMOELÉCTRICO: DE DOS ETAPAS Y UNIDIMENSIONAL 3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA…………………………...55 3.2 MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS……………57 3.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES………………………………………………58 3.2.2 PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE…………………………………………………………………………..59 3.2.3 SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE ……………………………………………………………..………60 3.3 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL…………….63 3.3.1 MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR…………………………………………….………….63 3.3.2 COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSIONAL OPERADO COMO REFRIGERADOR Y BOMBA DE CALOR……………….65 3.3.3 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL………67 3.4 CONCLUSIONES…………………………………………………………………...……69 CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES 4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS………………………………..71 4.1.1 PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE……………………………..71 4.1.2 SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE….73 4.2 RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL…………………….……74 4.2.1 ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA UN REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE..74 4.2.2 ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO UNIDIMENSIONAL……………………………………………….……78 4.3 CONCLUSIONES…………………………………………………………………………80 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………81 TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS EN SOFTWARE…………………………………..82 CONGRESOS Y PUBLICACIONES………………………………………………………….83 RESUMEN El objetivo esencial de este trabajo es llevar a cabo un análisis exhaustivo de la termodinámica de los fenómenos termoeléctricos, utilizando principalmente la teoría de la termodinámica irreversible, orientada ésta última al planteamiento de modelos teóricos para analizar el desempeño de dispositivos termoeléctricos, así como los mecanismos de conducción de calor que se presentan a través de estos. Nos ceñimos al análisis de la refrigeración termoeléctrica, en la que se pretende una descripción teórica basada en los conocidos efectos termoeléctricos. Hacemos énfasis también en las propiedades de los materiales semiconductores empleados en estos dispositivos. Para complementar nuestro estudio del desempeño, extendemos nuestro análisis al utilizar el método de Mínima Generación de Entropía (MGE) ampliamente conocido en la literatura científica y empleado para analizar la generación de entropía en un generador termoeléctrico. Empero, nuestra finalidad es hacer uso de este método, teniendo como objetivo la generación y análisis de curvas de razón de generación de entropía para un refrigerador termoeléctrico. Este análisis se toma como base para evaluar diferentes regímenes de operación, lo que lleva a hacer un uso más eficiente de la energía que alimenta esta clase de dispositivos. ABSTRACT The essential aim of this work is to do an exhaustive analysis of the thermoelectric phenomena in thermodynamics, using the theory of irreversible thermodynamics, which is applied to establish theoretical models in order to analyze the performance of thermoelectric devices as well as heat conduction mechanisms implied through these latter. We are mainly interested in the analysis of thermoelectric refrigeration in which is made a theoretical description based on the thermoelectric effects already known. We also made emphasis in the material properties of semiconductors used in these devices. To accomplish the study of performance, our analysis is extended at using the method called Entropy Generation Minimization (EGM) widely known in scientific literature and applied to analyze the entropy generation through a thermoelectric generator. However, we make use of the same method but in a thermoelectric refrigerator in order to plot and analyze its entropy generation curves. This analysis is taken account as a mean to evaluate different operation regimes and in consequence make a much more efficient application of the energy used to feed this kind of devices. INTRODUCCIÓN Nuevamente a principios de 1990 el enfriamiento termoeléctrico despertó el interés de la comunidad de científicos, ingenieros y técnicos dedicados a este campo, después de haber permanecido durante varios años abandonado. Este auge se debe principalmente al interés de una tecnología limpia, ya que en ese entonces y hasta ahora han sido utilizados en los procesos convencionales de refrigeración fluidos refrigerantes que son nocivos para el medio ambiente. Esta renovada actividad en la ciencia y en la tecnología trajo como alternativa la refrigeración termoeléctrica, la cual es uno de los mecanismos de enfriamiento más sólidamente establecidos en comparación con los efectos termomagnéticos, y la emisión termoiónica, entre otros, que sin duda tendrán algún día una aplicación más amplia. En esencia, la refrigeración termoeléctrica se origina cuando hay un acoplamiento entre el flujo de calor y la corriente eléctrica. Cabe hacer notar que el avance de la física y la ciencia de materiales termoeléctricos fueron las responsables de la implementación de nuevos materiales semiconductores, que en la actualidad son utilizados para mejorar el desempeño y la eficiencia de dispositivos termoeléctricos, debido a la relativa facilidad que ofrecen para modificar sus propiedades físicas. Esto por supuesto en comparación con los materiales que fueron utilizados cuando se descubrieron esta clase de efectos de enfriamiento y generación de potencia, donde sus aplicaciones fueron bastante limitadas. Debido también a que sólo había un entendimiento macroscópico aportado por Lord Kelvin en el año de 1854, basándose en los trabajos de Carnot, Clausius, Seebeck y Peltier, desarrolló las relaciones Thomson que involucran la dependencia de los tres coeficientes reversibles: Seebeck, Peltier y Thomson. Además dedujo que el calor reversible descubierto por Peltier debe tener una entropía asociada con él. A su vez mostró que el coeficiente descubierto por Seebeck es una medida de la entropía asociada con la corriente eléctrica. Así, tomando ventaja de todas estas aportaciones, enfocamos nuestra atención al análisis del desempeño y generación de entropía en dispositivos para enfriamiento termoeléctrico, dejando para un futuro inmediato la comprensión de la física de materiales termoeléctricos que aguardan el desarrollo de la teoría cuántica para ampliar las aplicaciones a la electrónica y mejorar las propiedades termoeléctricas de semiconductores[6]. Nomenclatura I Je Corriente Eléctrica Densidad de Corriente Eléctrica Q c Capacidad de Enfriamiento del Módulo Termoeléctrico Q h Rechazo de Flujo de Calor del Módulo Termoeléctrico J U Densidad de Corriente de Energía Resistividad Eléctrica K Conductancia Térmica Z Factor de Mérito L Longitud Coeficiente Peltier Absoluto R Resistencia Eléctrica Q Razón de Flujo de Calor pn Coeficiente Seebeck Absoluto T Temperatura I max Corriente Máxima Coeficiente Seebeck Vmax Voltaje Máximo k Conductividad Térmica Ti Temperatura Intermedia Conductividad Eléctrica TM Temperatura Promedio Coeficiente Thomson Coeficiente de Operación Qc max Capacidad de Enfriamiento Máximo B.C . Coeficiente de Bomba de Calor G Factor Geométrico Th Temperatura del Lado Caliente J k Flujos Tc Temperatura del Lado Frío F Fuerza Termodinámica n , N Número de Termopares Tmax Diferencia de temperatura q c Razón de flujo de calor en la juntura fría L jk Coeficiente Cinético E Diferencia de Potencial y Energía total C p Calor Específico q h Razón de flujo de calor en la juntura caliente A Área de Sección Transversal S e Entropía Debida a Corriente Eléctrica N, n Material Tipo n S Q Entropía Debida a Flujo de Calor W Potencia Q e Calor de Desecho m Flujo Másico z Altura * S gen1 Generación de Entropía Adimensional Etapa 1 * S gen 2 Generación de Entropía Adimensional Etapa 2 I 2max Corriente Máxima en la etapa 2 Tc1 Temperatura de Lado Frío Etapa 1 Th1 Temperatura del lado Caliente Etapa 1 q c1 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Fría de la Etapa 1 q h1 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Caliente de la Etapa 1 q c 2 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Fría de la Etapa 2 q h 2 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Caliente de la Etapa 2 V Velocidad P, p Material Tipo p 12 CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA En este capítulo se dan a conocer los principios fundamentales que dieron origen a la refrigeración termoeléctrica. Primeramente se estudian los efectos que tienen lugar cuando se presenta el fenómeno de enfriamiento. Posteriormente, analizamos la descripción física del flujo de calor a través de un arreglo básico de enfriador, así como las aplicaciones de estos dispositivos, ventajas y desventajas, y por último, hacemos su caracterización. 13 1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA 1.1.1 NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS El primer fenómeno termoeléctrico fue descubierto en el año de 1821, llamado efecto Seebeck en honor a su descubridor. Básicamente este efecto consiste en la aparición de una corriente eléctrica entre dos metales cuando existe una diferencia de temperatura y es utilizado para la generación de potencia termoeléctrica. Posteriormente, en el año de 1835, un relojero francés llamado Peltier dio cuenta de un segundo efecto: produjo transporte de calor a través de dos junturas de diferentes materiales por las que se hace pasar una corriente eléctrica (efecto utilizado actualmente para refrigeración). Finalmente en el año de 1854, W. Thomson (Lord Kelvin), al estudiar los dos efectos previamente mencionados, descubre una relación entre ellos y además informa de un tercer efecto, a saber, el efecto Thomson, el cual se refiere al transporte de calor cuando se establece una corriente eléctrica y un gradiente de temperatura en un material conductor[9]. Sin embargo, no solo los tres efectos antes mencionados se presentan cuando se sueldan dos materiales metálicos o semiconductores diferentes, mantenidos a distintas temperaturas en sus uniones, sino que también están presentes el efecto Joule y el efecto Fourier[3]. Describamos cada uno de estos. 1.2 FENÓMENOS TERMOELECTRICOS 1.2.1 EFECTO SEEBECK En el año de 1821, el físico alemán Thomas Johann Seebeck descubrió que se producía una fuerza electromotriz en un circuito cerrado compuesto por dos metales conductores cuando se establecía una diferencia de temperatura en las junturas[1,3]. Al principio notó que una aguja imantada puesta en la vecindad del circuito era influida por éste. Al observar una deflexión en la aguja, supuso que se trataba de un fenómeno termomagnético, aseverando erróneamente que los metales habían sido polarizados magnéticamente. Sin embargo, después se dio a conocer que el origen del campo magnético era debido al establecimiento de una corriente en el circuito, causada esta última por la diferencia de temperaturas. Es así como se descubrió el primer efecto termoeléctrico que es utilizado ampliamente en la generación de potencia termoeléctrica, valiéndose de una diferencia de temperaturas en las uniones de los materiales utilizados para componer el circuito cerrado. En la figura 1, se muestra esquemáticamente el registro de una diferencia de potencial en el voltímetro al establecerse una diferencia de temperatura en los puntos extremos. Finalmente, este efecto es caracterizado por el coeficiente Seebeck , conocido también como termopotencia. 14 Figura 1. Circuito termoeléctrico básico para el análisis del coeficiente Seebeck 1.2.2 EFECTO PELTIER El fenómeno del enfriamiento termoeléctrico está físicamente basado en el efecto Peltier, que fue descubierto en el año de 1834, 13 años después que el efecto Seebeck. Lo que Jean Charles Peltier observó fue que cuando una corriente eléctrica pasa a través de un circuito cerrado compuesto de dos metales conductores distintos, la temperatura en la vecindad de las junturas cambia, esto es, se presenta un flujo de corriente eléctrica y de calor de manera simultánea[1,3]. En la figura 2. se muestra una fuente externa de alimentación que suministra la corriente al circuito, donde a su vez se nota el cambio en la temperatura en los puntos extremos. Este efecto es ampliamente conocido como efecto Peltier y está caracterizado por el coeficiente Peltier , el cual cuantifica el flujo de calor transportado por unidad de carga eléctrica a través de un material dado. Si la corriente eléctrica es continua a través de una juntura , el flujo de calor asociado desarrollará una discontinuidad si los coeficientes Peltier de los materiales A y B son diferentes. Figura 2. Circuito termoeléctrico básico para el análisis del coeficiente Peltier Este interesante fenómeno se mantuvo reducido a algunas aplicaciones muy específicas, hasta ahora en nuestros días en que se comienzan a utilizar sus posibilidades con más frecuencia [16]. 15 1.2.3 EFECTO THOMSON El Efecto Thomson fue descubierto por W. Thomson (Lord Kelvin) quien en el año de 1854 estudió los efectos reversibles previamente descubiertos por Seebeck y Peltier, descubriendo además un tercer efecto, a saber, el efecto Thomson, que esencialmente es el cambio reversible en el flujo de calor dentro de un conductor homogéneo que tiene un gradiente de temperatura cuando una corriente eléctrica pasa a través de él[8]. Figura 3. Juntura con dos conductores diferentes para analizar el coeficiente Thomson 1.2.4 EFECTO JOULE Ampliamente conocido el efecto Joule [18], está siempre presente cuando circula corriente eléctrica a través de un conductor, siendo un efecto de naturaleza irreversible, disipa calor por fricción entre los electrones que transportan la corriente como se muestra en la figura 4. Figura 4. Conductor atravesado por una corriente eléctrica 1.2.5 EFECTO FOURIER Al establecerse dos temperaturas de valores T1 T2 , en los extremos de la muestra al seccionarla en cualquiera de sus puntos intermedios se obtendrá una temperatura intermedia Ti de valor no mayor que T1 , y no menor que T2 . Por lo que habrá un flujo de calor del extremo a T1 al extremo a T2 , independientemente de si por los materiales circulaba una corriente eléctrica antes de ser seccionados [3]. Este efecto es conocido también como conducción de calor. 16 Figura 5. Barra con valores diferentes de temperatura en sus extremos 1.3 PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO TERMOELÉCTRICO Un dispositivo termoeléctrico adopta la geometría más básica cuando está compuesto por un par de materiales con diferentes propiedades físicas, el cual es llamado termopar. Sus componentes son; como se alcanza a ver en la figura 6, dos materiales semiconductores tipo p y n, dispuestos en forma paralela, teniendo no siempre la misma longitud ni sección transversal[6], una placa superior que une los extremos altos de los materiales semiconductores, y otras placas inferiores conectadas a los extremos bajos de los materiales semiconductores, que finalmente permiten la formación de un circuito termoeléctrico que es atravesado por corriente eléctrica, utilizando una fuente de energía externa. Cabe destacar que este arreglo es también el mismo para la generación de potencia termoeléctrica, en el que sólo debemos cambiar la fuente de energía externa para establecer un gradiente de temperatura entre los extremos de las placas, y así obtener como salida una diferencia de potencial. Por último veamos que el dispositivo trabaja entre dos reservorios a temperaturas diferentes. Figura 6. Circuito termoeléctrico básico que muestra el calor absorbido y disipado cuando se establece una corriente eléctrica. 17 1.4 DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La tecnología de la refrigeración termoeléctrica está caracterizada por la flexibilidad de opciones que ofrece en el diseño y fabricación de módulos termoeléctricos. Ésta se presenta cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de uno o más pares de semiconductores de tipo n y p. Un refrigerador termoeléctrico es básicamente una bomba de calor que transfiere calor de un lado del dispositivo al otro en contra del gradiente térmico (de baja a alta temperatura) a costa de consumir energía eléctrica. la corriente pasa del material semiconductor n al p como lo muestra la figura 7. La temperatura Tc de la placa superior que conecta a los semiconductores decrece, y al mismo tiempo absorbe calor del medio ambiente. La cantidad de calor es transferida a través de los materiales semiconductores por transporte de electrones y huecos hacia el otro lado de la juntura. Los portadores en los materiales se difunden o conducen cuando un extremo de un conductor está a una temperatura diferente del otro extremo. Así, los portadores calientes se difundirán del extremo caliente al frío ya que hay una menor densidad de portadores calientes en el extremo frío del conductor. A su vez, los portadores fríos se difundirán del extremo frío al caliente por la misma razón. Los electrones fluyen de una región de alta densidad a una de baja densidad y esta “expansión” ocasiona enfriamiento. Los portadores intentan regresar al equilibrio que existía antes de que la corriente fuera aplicada, absorbiendo energía en un lado y liberándola en el otro. Los electrones en el material tipo n se moverán en dirección opuesta a la corriente y los huecos en el material tipo p se moverán en dirección de la corriente, ambos removiendo o absorbiendo calor de un lado del dispositivo y desechándolo en el otro extremo. Decimos entonces que la dirección del transporte de calor se controla por la polaridad de la corriente. Invirtiendo la polaridad cambia la dirección de la transferencia de calor. 18 Figura 7. Circuito termoeléctrico que muestra la dirección en que conducen el calor y la corriente eléctrica los electrones y huecos. Para cuantificar la cantidad de calor absorbido por el dispositivo termoeléctrico, existe una expresión de la siguiente forma I 2R Qneto Tc I k T , (1.1) 2 donde Qneto es el calor absorbido del medio ambiente en la placa superior conductora; pn p n la diferencia entre los coeficientes Seebeck absolutos de ambos materiales, que también se conoce como la potencia termoeléctrica; es la diferencia de temperaturas de ambas placas conductoras; finalmente R y k son la resistencia eléctrica y la conductividad térmica, respectivamente. Analicemos ahora las tres cantidades que intervienen en la ecuación (1.1) de absorción de calor[8]: el primer término del lado derecho es conocido como calor absorbido por efecto Peltier, el segundo representa el calor disipado por efecto Joule, y finalmente el tercer término es el calor de conducción debido a una diferencia de temperaturas, conocido también como efecto Fourier. 19 Decimos entonces, que la cantidad neta de calor absorbido en la juntura fría debido al efecto Peltier [17] se ve reducido por dos términos; calor de conducción de Fourier y calor disipado por el efecto Joule. Cuando la corriente se incrementa, la diferencia de temperaturas, y por consiguiente el calor conducido, se incrementan porque el efecto de enfriamiento Peltier se intensifica. Sin embargo, este último no lo puede hacer indefinidamente. Si la corriente continúa incrementándose, y el calentamiento Joule llega a ser el factor dominante, se alcanza un estado donde la corriente adicional resultará en menor enfriamiento neto. La corriente a la cual no se alcanza más enfriamiento es conocida como la corriente máxima ( I max ) Máximo voltaje (Vmax ) y máxima diferencia de temperatura se presentarán también para una razón de flujo de absorción de calor a máxima corriente. La capacidad refrigerante de un material semiconductor depende de los efectos combinados del coeficiente Seebeck, el voltaje entre los extremos del material, la resistividad eléctrica, y la conductividad térmica, que además se expresan en función del llamado factor de mérito[6,8], denotado por Z 2 , k (1.2) donde es la resistividad eléctrica, es el coeficiente Seebeck del termopar y k es la conductividad térmica. Si la expresión anterior es dependiente de la temperatura, puede mostrarse que la diferencia máxima de temperatura que puede ser alcanzada por un termopar de materiales semiconductores tipo p y n es directamente proporcional al promedio de la temperatura y, por consiguiente, también al factor de mérito. Notamos entonces que el principal objetivo de la refrigeración termoeléctrica en la selección de semiconductores es maximizar el factor de mérito . Como conclusión de este apartado, queda establecido que la figura de mérito del material semiconductor limitará la diferencia de temperaturas, mientras que la razón de longitud al área de cada material semiconductor tipo n y p, define la capacidad de la razón de flujo de calor [16]. Pasemos ahora a un análisis breve del transporte de corriente eléctrica y de calor en términos de portadores de carga en los materiales. 1.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO TERMOELÉCTRICO Los portadores de carga en los materiales semiconductores utilizados para fines de refrigeración, electrones y huecos, se difundirán cuando haya una diferencia de temperaturas entre las terminales del material. Los portadores que se encuentran en el lado a alta temperatura se difundirán hacia el lado frío, ya que éste último tiene una densidad más baja de portadores. De modo similar, los portadores que se encuentran en el lado de temperatura baja se difundirán del lado frío al caliente por las mismas razones. 20 Si se permitiera que el conductor alcanzara el equilibrio termodinámico, el proceso resultaría en calor distribuido uniformemente a través del conductor. El flujo de calor se da a través de los portadores de carga a temperatura caliente de una terminal a la otra, y ya que los portadores de carga se encuentran en movimiento, también habrá corriente eléctrica. Si en nuestro sistema termoeléctrico mantenemos constantes las temperaturas del lado frío y caliente, tendrá lugar un flujo de calor constante, y por ende una difusión constante de portadores. Si la razón de difusión de los portadores a temperatura alta y baja, fuera la misma en direcciones opuestas, no habría un cambio neto en la carga. Empero, las cargas difundidas son dispersadas por diferentes mecanismos: impurezas, imperfecciones y vibraciones de red (fonones). Ya que la dispersión es dependiente de la energía, los portadores de baja y alta temperatura, serán entonces difundidos a diferentes razones. Esto ocasiona una densidad más elevada de portadores en una terminal del material, creándose así una diferencia de potencial electrostático, debido a la separación de cargas positivas y negativas. El campo eléctrico generado por esta diferencia de potencial se opone a la dispersión no uniforme de los portadores, y se alcanza un estado de equilibrio cuando el número neto de portadores difundidos en una dirección es cancelado por el número neto de portadores que se mueven en dirección opuesta del campo electrostático. En consecuencia, la potencia termoeléctrica ( ) de un material, depende en gran medida de las impurezas, imperfecciones y cambios estructurales del material. Los primeros termopares utilizados en termoelectricidad, fueron hechos de materiales metálicos, pero en recientes dispositivos termoeléctricos se utilizan parejas de semiconductores de tipo p y n, unidos por interconexiones metálicas. Si tenemos disponible una fuente de potencia, podemos construir un dispositivo que funcione como refrigerador, y si se tiene una fuente de calor, haremos uno que genere potencia termoeléctrica [20]. Véase en la figura 8 cómo, desde la fuente de calor, son conducidos los electrones en el elemento tipo n hacia la región más fría, mientras que los elementos en el elemento p fluirán en la dirección de la corriente, notando que esta puede ser utilizada para alimentar una carga, convirtiendo la energía térmica en energía eléctrica. 21 a) Refrigerador Termoeléctrico b) Generador Termoeléctrico Figura 8. Muestra los modos en que se puede operar un dispositivo termoeléctrico [20] 1.6 APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La refrigeración termoeléctrica tiene actualmente aplicaciones más amplias, esto debido al descubrimiento de nuevos materiales semiconductores que permiten un mayor coeficiente de rendimiento en esta clase de dispositivos termoeléctricos. Entre las aplicaciones se encuentra la refrigeración doméstica, utilizando módulos termoeléctricos de fácil fabricación y tamaño relativamente pequeño, y el enfriamiento de circuitos electrónicos donde se requiere un control preciso de la temperatura que debe ser mantenida en ellos. Recientemente también existen dispositivos termoeléctricos de aire acondicionado y refrigeración, así como refrigeradores portátiles que se adaptan en los automóviles, entre muchas otras aplicaciones. Pero también hay aplicaciones en el ámbito de generación de potencia termoeléctrica como en el funcionamiento de relojes de mano que utilizan la temperatura corporal para operar, generadores termoeléctricos que se adaptan a las condiciones de climas extremos para producir energía eléctrica, etc. (véase la figura 9). Cabe destacar que no pretendemos dar una lista tan exhaustiva de todas las aplicaciones existentes en la actualidad. En vez de eso, intentaremos enfocarnos al análisis de la refrigeración termoeléctrica, y dar una perspectiva general de las causas principales que favorecen a su desempeño. 22 Figura 9. Algunas aplicaciones de la termoelectricidad 1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA Las principales ventajas en esta clase de dispositivos de refrigeración termoeléctrica, en comparación con aquellos utilizados convencionalmente, consiste esencialmente en que pueden ser alimentados con fuentes de energía de fácil disponibilidad (energía solar, residuos de calor desechados por máquinas térmicas como los motores de automóvil, entre otros ejemplos), su relativa o casi ínfima producción de ruido, no utilizan fluidos para su operación, su pequeño tamaño, la facilidad para ser utilizados en aplicaciones que requieren un alto grado de precisión en el control de la temperatura (la conservación de órganos para trasplantes humanos). Estas son sólo algunas ventajas, pero suficientes para la búsqueda de nuevos materiales semiconductores termoeléctricos que reemplacen a los convencionales. 1.8 DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La desventaja de los dispositivos termoeléctricos radica principalmente en el bajo coeficiente de rendimiento que guardan con respecto a los sistemas convencionales (refrigeración mecánica que utiliza el ciclo de Carnot inverso). Esto debido a que cuentan con un sólo dispositivo para realizar la conversión de energía (véase figura 10) en comparación con los refrigeradores convencionales que cuentan con compresor, condensador, bomba, válvula de estrangulamiento, entre otros aditamentos que contribuyen a su funcionamiento. 23 El bajo coeficiente de rendimiento es uno de los aspectos que motiva nuestra investigación, y a la cual le daremos mayor atención. Señalemos finalmente que la cantidad esencial, llamada factor de mérito Z , servirá para caracterizar a nuestros dispositivos, y que además nos dará una idea de los factores y cantidades físicas de las que depende la refrigeración termoeléctrica. Figura 10. Módulo Termoeléctrico 1.9 CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS Para caracterizar los módulos termoeléctricos son necesarios cuatro parámetros conocidos como: diferencia de temperatura máxima Tmax ; corriente eléctrica máxima I max ; flujo de calor máximo del espacio refrigerado Qc max , y voltaje máximo entre terminales Vmax [8]. Estos parámetros están registrados en tablas y en gráficas, así como también sus valores intermedios pueden ser obtenidos de gráficas universales. En esta sección daremos a conocer un ejemplo que muestre el uso de las gráficas y la elección de un módulo que satisfaga determinados requisitos. 1.9.1 MÓDULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA Un módulo Peltier está compuesto de un determinado número n de termopares conectados eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo, además de estar integradas entre dos placas cerámicas que impiden el paso de corriente eléctrica. Las superficies fría y caliente de las placas del módulo termoeléctrico aportan integridad mecánica, aislamiento eléctrico y una elevada conductividad térmica, haciendo posible así un desecho de calor más eficiente y una extracción de calor del cuerpo enfriado mucho más directa. La configuración más detallada se muestra en la figura 11. 24 Figura 11. Configuración de un módulo termoeléctrico Existen módulos termoeléctricos sin placas cerámicas, lo que es ventajoso ya que eliminan la resistencia térmica de las placas cerámicas, pero por otro lado tienen el inconveniente de ser mecánicamente frágiles, además de que es necesario el aislamiento eléctrico. Si un termopar compuesto por dos materiales semiconductores tipos P y N ha de ser utilizado para fines de refrigeración, se tiene disponible una aleación cuaternaria de Bismuto, Telurio, Selenio y Antimonio, que es altamente dopada para crear un exceso (material tipo N) o una deficiencia (material tipo P) de electrones. Cabe señalar aquí que el dopaje de los semiconductores es necesario para incrementar el enfriamiento termoeléctrico, produciendo así un mayor rendimiento. 1.9.2 RENDIMIENTO Está disponible en el mercado una gran cantidad de módulos termoeléctricos comerciales, clasificada según el tamaño de estos, la geometría, las corrientes de operación, los voltajes, y los rangos de capacidad de enfriamiento. Un módulo termoeléctrico puede ser fabricado para una corriente óptima de operación, y ésta a su vez define las dimensiones de los elementos termoeléctricos. Se hace referencia también a un factor geométrico G , que es el cociente entre el área de sección transversal A y la longitud del termopar L . La capacidad de enfriamiento del módulo será por consiguiente proporcional al factor geométrico y por ende al número n de termopares que lo componen. 25 En las tablas y gráficas que presentamos en esta sección para módulos termoeléctricos comerciales de una sola etapa, hacemos uso de cuatro parámetros de rendimiento máximo con una temperatura fija en el lado caliente de 298 K (25ºC) o 300K (27ºC). Los parámetros son los siguientes: I max (A): Corriente DC que produce la máxima diferencia de temperatura en las junturas Tmax ; con un poder de enfriamiento igual a cero, lo que significa que no hay ninguna carga de calor en el lado frío. Nótese que I max no es el valor de corriente máxima I que puede circular en el circuito , sino que corresponde al valor de la corriente que da la Tmax . Tmax (K): la máxima diferencia de temperatura en las junturas a través del módulo a I max sin ninguna carga de calor. La Tmax del módulo comercial de una sola etapa es alrededor de 67 a 70K con una temperatura fija en el lado caliente de 300K (27ºC). Qc max (W): la potencia de enfriamiento que corresponde a una diferencia de temperatura a través del módulo de T 0 con corriente I max . Vmax (V): el voltaje en terminales para una I max sin carga de calor. Debido a que todas las propiedades físicas de los materiales termoeléctricos son dependientes de la temperatura, el rendimiento del módulo también lo es, y se incrementa a medida que haya incrementos de temperatura sobre el rango de operación de la juntura caliente, 123K (-150ºC) a 353 K (+80ºC). Se hace posible estimar los parámetros máximos para módulos comerciales con una temperatura óptima de la juntura caliente Th (K), haciendo uso de las siguientes ecuaciones empíricas o de la gráfica que se presenta en la figura 12 [8]. (Tmax )Th 67 K 0.4(Th 300) (Qc max )Th (Qc max )300 K 2.0(Th 300) G N Vmax Th Vmax 300K 0.0007(Th 300) N 26 Figura 12. Parámetros de rendimiento máximo de módulos Peltier de una sola etapa como función de la temperatura del lado caliente Th [8]. 1.9.3 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA Esta clase de módulos abarcan un amplio rango de tamaños de superficie cerámica, desde 1.8x3.4mm2 a 62x62mm2 y alturas desde 2.45mm a 5.8mm con un Qc max desde 0.2 a 125 W; I max desde 0.8 a 60 A; Vmax de 0.4 a 15.4 V; y número N de termocuplas desde 4 a 127. La figura 13. muestra las máximas capacidades de enfriamiento Qc max de los recientes módulos comerciales de una sola etapa con una temperatura de juntura caliente de 298 K (25ºC) o 300 K (27ºC) y con sus correspondientes valores de entrada de corriente, I max y de voltaje Vmax . 27 Figura 13. Máximas capacidades de enfriamiento Qc max de módulos comerciales Peltier de una sola etapa, con una temperatura de juntura caliente de 298K (25ºC) o 300K (27ºC), con sus correspondientes valores de entrada de corriente I max y de voltaje Vmax . [ *a, corporación registrada de materiales electrónicos, MELCOR, Trenton, NJ; *b, industrias Marlow Inc., Dallas, TX] [8]. 1.9.4 CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER Enunciemos en esta sección todos los parámetros importantes que son necesarios en la práctica para operar los módulos en condiciones específicas y según los requrimientos de la aplicación, a saber: Tc (K): temperatura de las junturas frías. Th (K): temperatura de las junturas calientes. T (K)= Th - Tc : diferencia de temperatura entre junturas. Qc (W): capacidad de enfriamiento, i.e., la cantidad de carga de calor que será absorbida por las junturas frías. Qh (W): cantidad de calor disipado en las junturas calientes. 28 I (A): corriente aplicada. V (V): voltaje suministrado. P (W): entrada de potencia eléctrica, igual a I V . El conocido coeficiente de rendimiento, COP ( ), está definido como la capacidad de enfriamiento Qc dividido por la entrada de potencia eléctrica P : Qc / P. Teniendo todos estos valores una dependencia que es específica para cada módulo. Las características universales son parámetros adimensionales como T / Tmax , I / I max , Qc / Qc max , V / Vmax disponibles para un amplio rango de temperaturas de juntura caliente. La figura 14 muestra las relaciones universales entre la razón de corriente de operación I / I max , la razón de capacidad de enfriamiento Qc / Qc max , y el coeficiente de rendimiento COP ( ), como función de la razón de diferencia de temperatura T / Tmax obtenidas a partir de experimentos. Entre más grande es la razón de corriente de operación I / I max , más grande es la razón de capacidad de enfriamiento Qc / Qc max . Mientras hay decremento en la razón de corriente I / I max , el COP se incrementa al COP max ( max ) y después decrece. Entre más grande es el COP para una capacidad de enfriamiento dada, menor es la razón de potencia eléctrica de entrada/capacidad de enfriamiento y el calor generado en las junturas calientes debe ser disipado por el intercambiador disipador de calor. Concluimos así que una aceptable corriente de operación la encontraremos entre los valores correspondientes a COPmax ( max ) y I max . Figura 14. Diagrama Universal etapa[8]. I para módulos comerciales Peltier de una sola 29 La figura 15 muestra las relaciones universales entre tres parámetros: razón de diferencia de temperatura entre junturas T / Tmax , razón de voltaje en terminales V / Vmax , y razón de capacidad de enfriamiento Qc / Qc max , como función de la razón de corriente de operación I / I max . Figura 15. Diagrama Universal II para módulos comerciales Peltier de una sola etapa [8]. Ejemplo: . Una placa fría de temperatura T =280K requiere una capacidad de bombeo de calor de Q c =42W, con una temperatura ambiente de Tamb =303K. Estimando las temperaturas de las junturas: Th =298 y Tc = 273K. Con una corriente de 9A. La diferencia de temperatura requerida entre junturas es por tanto T =298-273=25K. La figura 12 muestra que la máxima temperatura entre junturas para Th =298K es Tmax =65K, y la razón de diferencia de temperaturas es T / Tmax =0.385. Al elegir de las figuras 14 y 15 una razón de corriente de operación I / I max de 0.65, las entradas son I / I max =0.65, T / Tmax =0.385, las salidas son Qc / Qc max =0.47, COP=0.7, y V / Vmax =0.5. Por consiguiente, los parámetros máximos requeridos para el modulo son Qc max =90W para una Th =298K y I max =14A. De la figura 13 notamos que el modulo Peltier comercial es uno de la CP-Series. La capacidad de enfriamiento Qc max =90W de la CP-Serie está basada sobre una temperatura de juntura caliente de 298K. Usando la figura 12. O la ecuación 2 de esta sección vemos 30 que la capacidad de enfriamiento es de 90W con la temperatura de 298K, lo que . corresponde a Q c =88.6W. Finalmente, para obtener la referencia y los detalles del módulo se deberán consultar catálogos de fabricantes. 1.10 MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS Extendemos el uso de esta clase de módulos apilados debido a que la diferencia de temperaturas T para un módulo simple de una etapa no puede ser excedida de su valor Tmax de acuerdo a la figura 12, y la figura 14 muestra que cuando T = Tmax , ambos, el coeficiente de rendimiento COP( ) y el poder de enfriamiento son nulos para el módulo simple, pero esta limitación puede ser superada al utilizar módulos multi-etapas, que no son más que módulos simples apilados uno encima de otro. Cuando el módulo inmediato superior es empleado para enfriar, el que le precede deberá tener una capacidad mayor de enfriamiento para que pueda disipar el calor producido por el que le sucede [8]. Entonces, cuando los módulos de cada etapa tengan los mismos elementos termoeléctricos con el mismo factor geométrico G , todos conectados eléctricamente en serie, un módulo de etapa inferior demandara más termopares que el inmediato superior. La figura 16 muestra la configuración de un modulo Peltier de dos etapas con forma piramidal [8,16]. Sin embargo, si se quiere hacer un módulo de dos etapas, conservando el número de termopares en cada etapa, se deberá incrementar el factor geométrico G del módulo inferior, asegurándose así una mayor capacidad de enfriamiento de este último. Figura 16. Módulo Peltier de dos etapas 1.10.1 RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS Del mismo modo que para los módulos simples de una sola etapa, se tienen los mismos cuatro parámetros de rendimiento, a saber: I max , Tmax , Qc max y Vmax con una juntura de temperatura caliente establecida en valor fijo de 300K (27ºC), notándose también que estos parámetros conservan las mismas definiciones que para los de una sola etapa. Sin embargo, la diferencia de temperatura máxima alcanzada en módulos multi-etapas dependerá 31 directamente del número de etapas[8,16]. En la figura 17. mostramos la Tmax de los módulos Peltier multi-etapas como función de la temperatura de juntura caliente del módulo más inferior Th , para una corriente máxima I max constante. Figura 17. Tmax , Diferencia de temperaturas máxima de módulos Peltier multi-etapas [8]. 1.10.2 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS Estos cubren un amplio rango de tamaños de superficie cerámica, desde 3.2x3.2mm 2 hasta 62x62mm2 en la superficie superior (lado frío), y desde 3.8x3.8mm 2 a 62x62mm2 en la base (lado caliente), y alturas desde 3.8 a 21.4mm con: I max (A) desde 0.7 a 9.5 A; Qc max (W) desde 0.39 a 59 W; Vmax (V) desde 0.8 a 14V y con número de etapas de dos hasta seis. La tabla 1 muestra los parámetros de máximo rendimiento ya mencionados de estos módulos multi-etapas. Mientras que para calcular la capacidad de enfriamiento Qc , y la diferencia de temperatura T podemos utilizar la siguiente expresión aproximada: Qc Qc max (1 T / Tmax ) T Tmax (1 Qc / Qc max ) 32 Tabla 1. Parámetros de máximo rendimiento de módulos Peltier multi-etapas, con una temperatura de juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) [8]. 33 Finalmente vemos que la figura 18 y 19 muestran la capacidad de enfriamiento Qc de varios módulos Peltier multi-etapas para una diferencia de temperatura entre junturas T por arriba de 50K, con una temperatura de juntura caliente establecida como fija de valor 300K (27ºC). Figura 18. Capacidades de enfriamiento Qc de módulos comerciales Peltier multietapas para diferencia de temperatura entre junturas T , con temperatura de juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) - (I) [8]. Figura 19. Capacidades de enfriamiento Qc de módulos comerciales Peltier multietapas para diferencia de temperatura entre junturas T , con temperatura de juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) - (II) [8]. 34 1.11 CONCLUSIONES Al haber hecho un estudio fundamental de la caracterización, funcionamiento, descripción y estado del arte de dispositivos termoeléctricos utilizados en refrigeración, calentamiento y generación de potencia, hemos establecido el punto de partida en la comparación con mecanismos convencionales de refrigeración actualmente conocidos, y al mismo tiempo se inició el estudio de los primeros por la necesidad esencial de un uso más eficiente de la energía. 35 CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS En este capítulo se describe el teorema de Onsager que permite la comprensión física de los fenómenos termoeléctricos de refrigeración, calentamiento y generación de potencia, así como las relaciones que hay entre estos. Además se dan a conocer los mecanismos de flujo de calor causantes de la producción de entropía en módulos termoeléctricos de refrigeración. 36 2.1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS La termodinámica de procesos irreversibles establece algunos postulados básicos, que permiten analizar la relación que existe entre las cantidades físicas que intervienen en los sistemas termoeléctricos, y que además utilizamos para deducir los tres efectos fundamentales que describen a estos últimos[1,10], a saber: los efectos Peltier, Seebeck y Thomson. Con la finalidad de establecer el teorema de reciprocidad de Onsager, inicialmente son necesarias dos cantidades que describan apropiadamente a los procesos irreversibles, a saber: la fuerza termodinámica generalizada que conduce a un proceso y el flujo que describe la respuesta a esta fuerza. La identificación de fuerzas y flujos en un sistema termodinámico se lleva a cabo considerando la razón de producción de entropía como sigue S Fk J k (2.1) k donde S es la razón de producción de entropía, Fk la fuerza generalizada que más adelante se definirá con detalle y J k el flujo generalizado. Para establecer la relación existente entre flujos y fuerzas en sistemas termoeléctricos, suponemos que nuestro sistema a tratar es puramente resistivo, es decir, cada flujo que se presente en el sistema dependerá únicamente de la fuerza en ese instante. La relación funcional entre flujos y fuerzas es dada como [10] J k J k ( F0 , F1 , F2 ,...., Fn ) . (2.2) De acuerdo a la dependencia funcional anterior, podemos desarrollar los flujos en potencias de las fuerzas y tener la siguiente relación de la que se infiere la anulación de los flujos cuando las fuerzas son cero J k L jk Fj 1 Lijk Fi Fj ... 2! i j (2.3) para el caso de sistemas termoeléctricos utilizaremos sólo el primer término lineal de la ecuación anterior, donde los coeficientes cinéticos L jk y Lijk se definen como la razón de cambio del flujo con respecto a la fuerza. Además, estas razones de cambio se definen como sigue 37 J L jk k F j 2 Jk ; Lijk 0 Fi Fj 0 (2.4) donde la primera es de primer orden y la segunda de orden superior L jk L jk ( F0 , F1 ,.....) . (2.5) Nótese en la ecuación (2.5) que los coeficientes cinéticos dependen directamente de las fuerzas. Para ilustrar la relación que hay entre flujos y fuerzas generalizadas usamos un ejemplo particular a partir de la ecuación unidimensional de conducción de calor, donde notamos que la fuerza que produce el flujo de calor está definida como el gradiente de la temperatura J Q k ( C pT ) T x x (2.6) donde que la conductividad térmica k es un coeficiente cinético por analogía según la comparación de (2.6) con J k L jk Fj Otro ejemplo unidimensional de relación entre flujos y fuerzas generalizadas, se tiene entre el flujo de corriente eléctrica J e , como menos el producto de la diferencia de potencial eléctrico / x (fuerza generalizada) y la conductividad eléctrica (coeficiente cinético) en un conductor J e x (2.7) Con la relación (2.1) podemos establecer la razón de producción de entropía para un termopar que tiene una juntura fría que genera entropía a causa de la diferencia de temperatura que produce un flujo de calor. Escribimos la razón de producción de entropía como dS T T JQ 2 J S , dt T T (2.8) 38 donde J S es el flujo de entropía igual a J Q T y J Q el flujo de calor. Nótese que en la relación anterior la fuerza es el gradiente de temperatura que a su vez establece un flujo de calor, y la combinación de éstos da lugar a la producción de entropía. Cuando se establece una diferencia de potencial a través de un termopar se perturba el equilibrio eléctrico y se produce una corriente eléctrica, ésta, a su vez, produce calor. Entonces, la producción de entropía debida a una diferencia de potencial eléctrico está dada por dS Je , dt T (2.9) donde J e es el flujo de corriente eléctrica y es la diferencia de potencial. Si se establece una diferencia de potencial y una diferencia de temperatura simultáneamente en el termopar, entonces la producción de entropía es la suma de ambas aportaciones: ecuaciones (2.8) y (2.9). Se tiene entonces dS T JS Je dt T T (2.10) Si la desviación del equilibrio es pequeña, los flujos de entropía y electricidad se acoplan de un modo sencillo, con una dependencia lineal de T / T y / T para ambos flujos, entonces tenemos J S L11 T L12 , T T (2.11) J e L21 T L22 , T T (2.12) Los coeficientes L11 y L22 estarán dados en función de cantidades físicas conocidas en el sistema termoeléctrico como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica, respectivamente. Las magnitudes L12 y L21 son conocidos como coeficientes de acoplamiento. Representan el efecto de una diferencia de potencial sobre una corriente de entropía y el efecto de una diferencia de temperatura sobre una corriente eléctrica, respectivamente. Lars Onsager, utilizando un criterio microscópico demostró que [10] L12 L21 (2.13) que de forma más general se escribe como 39 L jk Lkj (2.14) que se conoce como el teorema de reciprocidad de Onsager. El teorema de Lars Onsager establece de manera específica que [10] : el valor del coeficiente cinético medido en un campo magnético externo es idéntico al valor de medido en un campo magnético inverso . En el teorema de Onsager se da una simetría entre el efecto lineal de la jth fuerza sobre el kth flujo y el efecto lineal de la kth fuerza sobre el jth flujo cuando estos efectos son medidos en campos magnéticos opuestos. Analicemos con más detalle la producción de entropía en sistemas en donde hay flujo de calor. De acuerdo a la figura 20, observamos que al haber una diferencia de temperaturas en los extremos de una barra, tendrá lugar un flujo de calor de acuerdo a la ley de Fourier. Este flujo puede ser expresado también en función del área de sección transversal A y la tasa de . transferencia de calor Q que se escribe como . T Q J Q k . x A (2.15) Si el flujo de entropía cuando está presente un flujo de calor se define como el producto del flujo de calor por el recíproco de la temperatura, entonces, según la ecuación (2.15), la ecuación está dada por Js JQ T k T T x (2.16) La ecuación (2.8) que es la razón de producción de entropía por unidad de volumen, podemos escribirla de un modo más general utilizando (2.16) que está en términos del flujo de calor por efecto Fourier como sigue . J dT J dT 1 S Q J Q Q2 . S . T dx T dx . T . (2.17) donde por sencillez se ha considerado nuevamente un sistema unidimensional. 40 Figura 20. Barra donde se establece una diferencia de temperatruras Veamos ahora la producción de entropía debido a un flujo de corriente eléctrica como se muestra en la figura 21. Si definimos el flujo de corriente eléctrica como la corriente I que pasa a través de una sección transversal de área A, tenemos la siguiente relación Je I A . (2.18) Es evidente que si se establece un gradiente de potencial eléctrico entre ambos extremos de la figura 21, habrá corriente eléctrica en el elemento de longitud diferencial, por consiguiente, al atravesar carga eléctrica en ésta sección, se hará trabajo eléctrico. La primera ley de la termodinámica establece la relación entre calor Q y trabajo W como sigue dU Q + W (2.19) Si no hay fuentes ni sumideros en el elemento diferencial dx que puedan proporcionar o absorber energía, entonces el cambio de energía interna dU 0 es nulo. Tenemos entonces que la producción de calor debido al trabajo eléctrico es . d Q I dx dx . (2.20) Ahora podemos relacionar este calor debido al flujo de corriente eléctrica, con la producción de entropía por unidad de volumen. La producción de entropía debido al flujo de corriente, aparece como el producto de un flujo y una fuerza 41 Figura 21. Conductor en el que se establece una diferencia de potencial que da lugar a un flujo de corriente eléctrica Para cuantificar la producción de entropía total [17] por unidad de volumen en relación a los dos mecanismos de flujo de calor causados por un gradiente de temperatura y por un gradiente de potencial eléctrico, se tiene que es la suma, como se hizo en la ecuación (2.10) . . . S SQ Se J Q dT J e d . . T 2 dx T dx (2.22) Además, suponiendo que los fenómenos termoeléctricos pueden ser tratados como sistemas resistivos lineales, tenemos J k L jk Fj (2.23) donde el subíndice k=1,2, representa en este caso particular, flujo de calor y flujo de corriente eléctrica, respectivamente Considerando la expresión (2.23) deduzcamos las ecuaciones de flujo de calor y flujo de corriente eléctrica en un sistema termoeléctrico que serán similares a las ecuaciones (2.11) y (2.12) previamente establecidas [1,10]. El flujo de calor se puede escribir en función de los gradientes de temperatura y potencial eléctrico representados como FQ y Fe , respectivamente, como sigue 42 J Q LQQ FQ LQe Fe , (2.24) donde el coeficiente cinético LQQ está definido como el cambio en el flujo de calor J Q debido a un gradiente de temperatura FQ , y LQe como el cambio en el flujo de corriente eléctrica debido a un gradiente de temperatura FQ . Entonces tenemos J LQQ Q F Q J ; LQe e FQ (2.25) Del mismo modo definimos el flujo de corriente eléctrica J e LeQ FQ Lee Fe (2.26) donde LeQ es el cambio en el flujo de calor debido a un gradiente de potencial eléctrico Fe , y Lee es el cambio en el flujo de corriente eléctrica debido a un gradiente de potencial eléctrico J J LeQ Q ; Lee e Fe Fe . (2.27) Sustituyendo las fuerzas por sus equivalentes correspondientes en las ecuaciones (2.24) y (2.26) obtenemos las siguientes expresiones JQ Je LQQ dT LQe d T 2 dx T dx LeQ dT 1 d . Lee 2 T dx T dx . (2.28) (2.29) 43 Ahora necesitamos definir los coeficientes cinéticos en función de cantidades físicas conocidas (sus valores son obtenidos fenomenológicamente). Si se toma la relación (2.29) bajo condiciones isotérmicas, y además por la definición previa del flujo de corriente eléctrica en función de la conductividad eléctrica λ, y el gradiente de potencial eléctrico (d / dx) tenemos que Je Lee d d T dx dx . (2.30) Finalmente, igualando los coeficientes del gradiente de potencial de la expresión anterior obtenemos el primer coeficiente cinético, que está en función de dos cantidades físicas conocidas, a saber: la temperatura T y la conductividad eléctrica Lee T (2.31) 2.2 ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK Recordemos que el efecto Seebeck es la existencia de una fuerza electromotriz térmica en un termopar, donde su valor está caracterizado por el coeficiente Seebeck. Al Hacer uso de la ecuación (2.29), en ausencia de corriente eléctrica, obtenemos la relación 0 LeQ dT Lee d T 2 dx T dx (2.32) Reordenando la relación anterior, definimos el coeficiente Seebeck como la razón de cambio del potencial eléctrico debido a un cambio en el gradiente de temperatura, esto es LeQ d / dx TLee dT / dx Je 0 (2.33) d dT Je 0 (2.34) 44 donde es el coeficiente Seebeck. Igualando las expresiones (2.33) y (2.34), obtenemos el segundo coeficiente cinético, que ahora está en función del producto de tres cantidades físicas conocidas LeQ TLee T 2 (2.35) Al utilizar el teorema de reciprocidad de Onsager establecido en (2.13), pero con subíndices Q y e en vez de 1 y 2 tenemos de acuerdo a la ecuación (2.35) la siguiente igualdad LQe LeQ T 2 (2.36) Considerando ahora la ecuación (2.29) bajo la condición de corriente eléctrica nula, despejando el gradiente de potencial, y sustituyéndolo en la expresión (2.28) obtenemos la siguiente ecuación cuya particularidad es que está en función de los cuatro coeficientes cinéticos JQ LQQ dT LQe LeQ dT Lee LQQ LeQ LQe dT . . T 2 dx T TLee dx LeeT 2 dx (2.37) Definamos ahora la conductividad térmica como la razón de flujo de calor por unidad de gradiente térmico cuando la corriente eléctrica es nula J Q k (dT / dx) Je 0 (2.38) Combinando las expresiones (2.37) y (2.38) obtenemos la conductividad térmica en función de los coeficientes cinéticos como sigue k Lee LQQ LQe LeQ LeeT 2 (2.39) 45 Sustituyendo las expresiones (2.31) y (2.36) en la expresión (2.39), se obtiene finalmente el coeficiente faltante LQQ kT 2 T (T 2 ) T 2 (k 2T ) (2.40) Como conclusión a este apartado, introduzcamos los coeficientes cinéticos (2.31), (2.36) y (2.40) en las expresiones (2.28) y (2.29) para establecer la forma final de las ecuaciones termodinámicas de los flujos que gobiernan a los fenómenos termoeléctricos. Tenemos entonces J Q (k 2T ). J e dT d (T ). dx dx dT d . dx dx (2.41) (2.42) Por último, las ecuaciones fundamentales anteriores las podemos expresar en función de J e y J Q como J Q k Je T TJ e x k d . JQ 2 k T dx k 2T (2.43) (2.44) 2.3 ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER El efecto Peltier se caracteriza por el flujo de calor acompañado de un flujo de corriente eléctrica a través de una juntura isotérmica de dos materiales, como se observa en la siguiente figura Figura 22. Flujo de calor por efecto Peltier 46 Ya mencionamos que bajo condiciones isotérmicas la expresión para la corriente eléctrica es J e d , dx (2.45) mientras que las expresiones para el flujo de calor ocasionado por el flujo de corriente eléctrica en los puntos a y b están dadas de acuerdo a J Qa aTJ e ; J Qb bTJ e . (2.46) Por lo tanto, el flujo de calor total que es transportado a través de la juntura, está dada por la diferencia entre las dos expresiones anteriores J Qab J Qa J Qb ( a b )TJ e . (2.47) Simplificando lo anterior obtenemos el llamado coeficiente Peltier (conocido también como relación de Kelvin), el cual está definido como el calor que debe ser adicionado a la juntura cuando la corriente pasa del conductor A al conductor B. Esto es ab T ( a b ) (2.48) 2.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON El efecto Thomson [5] está asociado a un calentamiento o enfriamiento reversible debido a la presencia de un flujo de corriente eléctrica a través de un gradiente de temperatura en un conductor o en una juntura de conductores. Véase la figura 23. Figura 23. Gradiente de temperatura y flujo de corriente eléctrica a través de una juntura de conductores 47 El flujo de calor asociado al efecto Thomson viene dado por la siguiente expresión [1] J Q ,T TJ e d dT . . dT dx (2.49) El coeficiente Thomson está definido como el calor absorbido debido al efecto Thomson por unidad de corriente eléctrica y por unidad de gradiente de temperatura T d dT (2.50) y el calor absorbido por el efecto Thomson, en términos del correspondiente coeficiente, queda dado por J Q ,T J e . dT dx (2.51) 2.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA Un enfriador termoeléctrico básico consiste de dos ramas de semiconductores dopados tipo p y n, las cuales no siempre son de la misma longitud como se muestra en la figura 24. Figure 24. Diagrama básico de un enfriador termoeléctrico 48 Cuando una corriente I pasa a través de este elemento termoeléctrico, el flujo total de calor dentro de cada rama (p y n) es Q p pTI k p Ap dT dx (2.52) . dT dx (2.53) . Q n nTI kn An dónde An y Ap son las áreas de sección transversal de cada rama, dT / dx es el gradiente de temperatura, k n y k p son las conductividades térmicas, y los subíndices en las cantidades significan que pertenecen a la rama n o p, respectivamente. El coeficiente de rendimiento [8] COP ( ) lo podemos expresar como el cociente entre la capacidad total de enfriamiento Qc ( p n ) ITc k T 0.5I 2 R dado también en la ecuación (1.1) y la potencia termoeléctrica W I [( p n )T IR ] , . 2 Q ( n ) ITc k T 0.5 I R . c p W I [( p n )T IR] (2.54) donde k y R son la conductividad térmica y la resistencia eléctrica totales. Al maximizar el flujo de calor de enfriamiento con dQc / dI =0 se obtiene la corriente eléctrica I que al sustituirla en la ecuación de flujo de calor de enfriamiento nos da la máxima potencia de enfriamiento expresada como . Q c ,max ( p n ) 2 Tc2 2R k T . (2.55) . Al establecer Q c 0 , la diferencia máxima de temperatura T se obtiene como Tmax ( p n ) 2 Tc2 2kR (2.56) 49 Al derivar con respecto a I , e igualar a cero determinamos la corriente que maximiza el COP, y si la sustituimos en la expresión del COP se obtiene el máximo COPmax ( max ) , max T Tc (1 ZTM )1/2 h Tc . (Th Tc ) (1 ZTM )1/2 1 (2.57) El factor de mérito [6] del elemento termoeléctrico que se definió en la ecuación (1.2) es una simplificación de la expresión más general definida como Z ( p n ) 2 ( p k p )1/2 ( n kn )1/2 (2.58) donde representa la resistividad eléctrica de cada material tipo p o n dependiendo del subíndice. Las dimensiones del factor de mérito son 1/K, aunque por comodidad se utiliza un valor adimensional ZT . Cabe señalar que las expresiones anteriores no cambian cuando un número determinado de termoelementos se conectan juntos para formar un módulo completo compuesto por varios termopares. Decimos por consiguiente que la eficiencia de los materiales para enfriamiento termoeléctrico está esencialmente determinada por el producto ZT . Suponiendo sólo un elemento enfriador termoeléctrico (termopar), podemos escribir el coeficiente de rendimiento como (1 ZTM )1/2 Th / Tc Tc 1 . Th Tc (1 ZTM )1/2 1 (2.59) donde 1 con subíndice 1 se refiere al coeficiente de rendimiento de un solo termopar, Tc es la temperatura del lado frío, Th es la temperatura del lado caliente, y TM es el promedio de ambas temperaturas. Decimos entonces que hemos escrito el coeficiente de rendimiento en función de las temperaturas del lado frío y caliente que se conoce como eficiencia de Carnot [8,9] y esta expresada en el primer término de (2.59) como Tc / Th Tc . 50 2.6 CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT Una vez establecido el significado del producto adimensional ZT , el objetivo principal en el campo de la termoelectricidad, y especialmente en la refrigeración termoeléctrica, es la búsqueda de valores elevados de esta cantidad adimensional. En la naturaleza encontramos tres tipos de materiales, a saber; aislantes, semiconductores y metales. Los aislantes y los metales son materiales con un ZT muy por debajo de valores útiles para aplicaciones debido a que los primeros tienen una baja conductividad eléctrica y los últimos tienen bajos coeficientes Seebeck. Además, los portadores de carga y de calor en metales son los electrones, que obedecen la ley de Wiedmann-Franz, que establece que la conductividad térmica es directamente proporcional a la conductividad eléctrica. Debido a esta ley, es difícil obtener valores elevados de ZT en metales. Es por eso que los semiconductores son una buena elección en la termoelectricidad. En los semiconductores el transporte térmico está usualmente dominado por fonones, mientras que la electricidad es transportada por electrones o huecos. Por esta razón, el transporte térmico y el transporte eléctrico, pueden estudiarse por separado. A partir de los años 50s, se dio un acelerado progreso en el desarrollo de aleaciones de materiales termoeléctricos, desarrollándose los primeros refrigeradores termoeléctricos. El progreso al tratar de mejorar ZT fue muy lento hasta la década de los 90s. Los valores máximos de ZT han permanecido alrededor de 1. Debido a las nuevas metodologías que actualmente se poseen para mejorar el valor de ZT ha resurgido la investigación en la termoelectricidad. Para la producción de materiales en gran escala, los enfoques se han dado principalmente en la síntesis de nuevos materiales, haciendo aleaciones de materiales existentes con elevados valores de ZT , introduciendo fonones vibrantes en sus estructuras. Los materiales típicos para fonones vibrantes son las estructuras conocidas como skutterudites y clathrate. Otro enfoque para incrementar ZT está basada en utilizar los efectos cuánticos en nanoestructuras, tales como pozos cuánticos, superestructuras de dos dimensiones, nanoalambres de una dimensión, y puntos cuánticos de dimensión cero. Para adoptar ideas más fundamentales acerca del progreso que se ha dado a través de los años para incrementar el valor del factor de mérito Z [6], a finales de los años 1930s, hasta principios de los años 1960s se llevó a cabo un gran progreso (véase figura 25) que condujo a un entendimiento microscópico de la termoelectricidad y al desarrollo de los materiales que existen hoy en día. El ímpetu mostrado en ese importante desarrollo fue mantenido casi por cuatro décadas, sin embargo, la actividad tuvo un declive considerable alrededor de los años 1970s. 51 Figura 25. Producto Adimensional ZT en Función del Tiempo. 52 2.7 CONCLUSIONES En este apartado se hizo el análisis de los tres efectos reversibles: Seebeck, Peltier y Thomson, de acuerdo a la termodinámica irreversible y utilizando el teorema de reciprocidad de Onsager. Se han establecido también las ecuaciones de flujo de calor y flujo de corriente eléctrica que intervienen en la ecuación de producción de entropía, definida por la suma del producto de flujo de calor por gradiente de temperatura y flujo de corriente eléctrica por gradiente de potencial eléctrico. Además, se establecieron las ecuaciones básicas de flujo de calor, coeficiente de rendimiento y factor de mérito 53 CAPÍTULO III PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA Y ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE DESEMPEÑO EN DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS En este capítulo introducimos el método de generación de mínima entropía, con la finalidad de implementarlo a un enfriador termoeléctrico de una y dos etapas para hacer un uso más eficiente de la energía. Además analizamos la influencia que tiene el calor generado por efecto Thomson al ser considerado dentro de las ecuaciones del coeficiente de desempeño y generación de entropía, para ello hacemos uso de un modelo termoeléctrico unidimensional. 54 3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA El método de mínima generación de entropía [7] (MGE) es una combinación de las leyes de la termodinámica, la transferencia de calor y la dinámica de fluido que esencialmente unifican lo que en ingeniería se conoce como ´´optimización termodinámica´´ y en física como ´´termodinámica de tiempo finito´´. Este método fue propuesto con la finalidad de estudiar el rendimiento de las máquinas de calor, comparándolo con el método de maximización de potencia [17] (MP). Este último optimiza el rendimiento de las máquinas de calor al maximizar la generación de potencia, mientras que en el método (MGE) el mismo objeto se lleva a cabo al minimizar la generación de entropía. La generación de entropía en un dispositivo termoeléctrico ocurre con transferencia de calor: calor extraído del espacio refrigerado, transferencia de calor a los alrededores, goteo de calor del lado caliente al lado frío [17] y calor disipado por efecto Joule. Las irreversibilidades pueden ocurrir interna o externamente. El análisis puede proceder de tres modos distintos, a saber: (1) modelo internamente irreversible- externamente reversible, (2) internamente reversibleexternamente irreversible y (3) internamente irreversible-externamente irreversible. El motivo principal de este trabajo es incrementar el interés que hasta el momento se le ha dado a esta clase de estudios de generación de mínima entropía en dispositivos termoeléctricos, principalmente en dispositivos de refrigeración. Si un dispositivo termoeléctrico que funciona como refrigerador se modela como una máquina externamente reversible pero internamente irreversible [16,17], se tiene que el flujo de calor del lado de baja y del lado de alta temperatura, respectivamente, están dadas como Q H ITH k (TH TC ) I 2 R / 2 (3.1) QC ITC k (TH TC ) I 2 R / 2 (3.2) donde cada ecuación de razón de transferencia de calor en el lado derecho está compuesta por tres términos, a saber: calor por efecto Peltier, calor por efecto Fourier y calor por efecto Joule donde la mitad de este último se disipa en el lado frío y la otra mitad en el lado caliente del refrigerador. Esto a menudo indica que el calentamiento Joule es mucho más grande en magnitud que el efecto de conducción de calor a lo largo del refrigerador. 55 . S gen Q / T , donde el subíndice i i 1 i se refiere a los nodos de intercambio de calor. Si el dispositivo tiene dos nodos, entonces n La razón de generación de entropía está dada por . S gen Q Q C H , TC TH (3.3) Sustituyendo las ecuaciones (3.1) y (3.2) en la expresión (3.3) obtenemos una expresión de generación de entropía dada como S gen TH TC 1 2 TH TC k (TH TC ) I R . TH TC 2 TH TC (3.4) El resultado anterior concuerda con el de Bejan [7] referente a la generación de entropía en un campo general de temperatura sin efecto termoeléctrico y, por consiguiente sin flujo de corriente eléctrica. Las irreversibilidades en el refrigerador termoeléctrico son flujos de calor que se disipan dentro o fuera del sistema, y que además tienen el efecto de disminuir el rendimiento. Para este caso las causas directas de las irreversibilidades son la conducción de calor por efecto Fourier y disipación de calor por efecto Joule. Los efectos Seebeck y Peltier no contribuyen a la generación de entropía puesto que estos son efectos reversibles[17]. Sin embargo, la ecuación (3.4) está incompleta debido a que sólo se han tomado en cuenta irreversibilidades internas, omitiendo las externas. Para hacer el tratamiento más realista, es importante observar que la ecuación anterior sólo toma en cuenta dos mecanismos de producción de entropía: calor Joule y Fourier. Al replantear el problema y considerar un calor de desecho externo, tendremos un tercer mecanismo a tomar en cuenta[17]. Considerado así el problema, habrá un calor externo disponible Q para ser extraído del espacio refrigerado, mientras que otra parte Q e es desechada externamente en la dirección del calor de conducción por efecto Fourier. Como tal, podemos escribir la razón de generación de entropía como la suma de los tres mecanismos siguientes: (1) calor de conducción por efecto Fourier, (2) calentamiento interno Joule, y (3) desecho de calor externo. La expresión (3.4), por consiguiente, se convierte en S gen k (TH TC )2 1 2 TH TC (TH TC ) I R Qe TH TC 2 TH TC TH TC (3.5) 56 la cual es una ecuación más general comparada con la ecuación (3.4) que solo toma en cuenta dos aportaciones a la entropía: calor por efecto Joule y calor de conducción de . Fourier. La expresión (3.5) tiene en consideración el calor de desecho Q e que se incluye también al hacer el análisis la generación de entropía en un módulo de una sola etapa que produce energía eléctrica [17]. Como se verá más adelante, la ecuación (3.5) será el punto de partida para llevar a cabo el análisis de generación de entropía de módulos termoeléctricos de refrigeración de una y dos etapas. 3.2 MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS Un modulo termoeléctrico típico de una etapa está compuesto de varios termopares conectados térmicamente en paralelo y eléctricamente en serie [8]. Como es usual, un termopar está hecho de materiales semiconductores tipo p y n. Existen diversos arreglos en la práctica al diseñar un módulo termoeléctrico [5]. Nosotros hacemos uso del llamado enfriador termoeléctrico de dos etapas [16], específicamente compuesto por N termopares en la primera etapa y sólo uno en la segunda etapa, como se muestra en la figura 26. También se consideran corrientes separadas para cada etapa debido a que de esta manera se alcanza un mejor rendimiento [14]. Para establecer las ecuaciones básicas, primero definimos como el coeficiente Seebeck, R la resistencia eléctrica, k la conductividad térmica, N es el número de termopares en la primera etapa. Th , Tc , q h , q c son las temperaturas y las razones de transferencia de calor del espacio caliente y frío, respectivamente, I1 e I 2 son las corrientes eléctricas. Finalmente, los subíndices 1 y 2 están referidos a la primera y segunda etapa respectivamente. Figure 26. Modelo de Enfriador Termoeléctrico de dos Etapas 57 3.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES Para la primera etapa, según la figura anterior, y suponiendo: 1 , k1 k , R1 R , podemos escribir el flujo de calor absorbido y expulsado como q c1 I1Tc1 k (Th1 Tc1 ) q h1 I1Th1 k (Th1 Tc1 ) RI12 , 2 (3.6) RI12 . 2 (3.7) Ahora bien, haciendo 2 , k2 k y R2 R para la segunda etapa tenemos q c 2 I 2Tc 2 k (Th 2 Tc 2 ) q h 2 I1Th 2 k (Th 2 Tc 2 ) RI 22 , 2 (3.8) RI 22 . 2 (3.9) Si operamos a una capacidad máxima de enfriamiento, de la ecuación (3.8) se obtiene una expresión para la corriente óptima en la segunda etapa al hacer la derivada de d qc 2 / dI 0 , donde la corriente máxima se escribe como I 2c ,max Tc 2 R . (3.10) El método de análisis convencional [15], en el cual no se toman en consideración los efectos de resistencia de contacto térmico y eléctrico que tienen lugar en las placas cerámicas se supone también un aislamiento térmico perfecto para todo el dispositivo. A esta situación le llamaremos Primer Caso. Sin embargo, con la finalidad de hacer nuestro análisis más acorde con la práctica, en el Segundo Caso incluiremos pérdidas de calor irreversibles [17]. Una vez establecido el criterio para el primer caso, las siguientes expresiones deberán ser validas Th 2 Tc1 , (3.11) q h 2 n q c1 . (3.12) 58 Aplicando las condiciones (3.11) y (3.12), la temperatura Tc1 se puede expresar como una función de “n” termopares Tc1 n( KTh1 0.5RI12 ) 0.5RI 22 KTc 2 . n( K I1 ) K I 2 (3.13) 3.2.2 PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE El enfriador termoeléctrico de dos etapas puede ser considerado como un sistema termodinámico [7]. Siendo así, podemos escribir la primera y la segunda ley de la termodinámica [17] como sigue E V2 V2 m h gz m h gz Q W , t entrada 2 2 salida S gen (3.14) S Q , ms ms t entrada T salida (3.15) donde E es la energía total, m la masa, h la entalpía, V la velocidad, z la altura, Q la tasa de transferencia de calor, W el trabajo por unidad de tiempo, s la producción de entropía por unidad de masa y S gen la razón de generación de entropía. Si se suponen condiciones de estado estacionario, considerándolo un sistema cerrado y con “N” reservorios que intercambien energía y calor con los alrededores, entonces las ecuaciones (3.14) y (3.15) se reducen a N W Qi (3.16) i 1 S gen Q . i 1 T i N (3.17) 59 Aplicando la ecuación (3.12) para la razón de generación de entropía a través del modulo termoeléctrico que contiene dos nodos, se tiene S gen q q h1 c 2 Th1 Tc 2 (3.18) Utilizando las expresiones (3.7), (3.8), (3.12), (3.13) y la ecuación previa, obtenemos una expresión para la razón de generación de entropía total en el modelo de dos etapas, S gen nk (Th1 Tc1 ) k (Th 2 Tc 2 ) nRI12 RI 22 . n I1 I 2 Th1 Tc 2 2Th1 2Tc 2 (3.19) Sin embargo, como no hay contribución a la generación de entropía debido a que, tanto los efectos Seebeck y Peltier son efectos reversibles, sólo el calor asociado al efecto Fourier y al efecto Joule contribuyen a la generación de entropía. De este modo, n I1 I 2 0, (3.20) Por lo tanto, la ecuación (3.19) se reduce a la expresión S gen k (Th 2 Tc 2 ) nk (Th1 Tc1 ) nRI12 RI 22 . Tc 2 Th1 2Th1 2Tc 2 (3.21) 3.2.3 SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE Aquí hacemos un análisis más realista de la generación de entropía. En la práctica, ninguna máquina termodinámica está completamente aislada de los alrededores; además, la transferencia real de calor se da en tres dimensiones. A su vez, ningún material semiconductor, como ninguna placa cerámica, son conductores perfectos y aislantes. Por estas razones, el problema puede ser establecido al incluir la generación de entropía debido a desechos de calor externo [1]. 60 . Si este efecto se toma en cuenta, se tiene una fuente de calor q que está disponible a una . temperatura Tc , y una parte de este calor q c , entra al enfriador a Tc , mientras que otra parte . q e es desechada externamente en la misma dirección que el calor por efecto Fourier. Entonces, la razón de generación de entropía para cada etapa es la suma de calor interno por efecto Fourier, calor interno de Joule y desecho de calor externo. Desarrollando se tiene para la primera etapa, . (Th1 Tc1 ) I12 R Th1 Tc1 (Th1 Tc1 ) S gen1 k (Th1 Tc1 ). . q e1 . , Th1Tc1 2 Th1Tc1 Th1Tc1 (3.22) la cual puede ser escrita también como . q q (T T ) S gen1 h1 c1 q e1 . h1 c1 . Th1 Tc1 Th1Tc1 (3.23) Si consideramos el calor externo de desecho [8] definido como q e1 q1 qc1 , entonces . (T T ) I R Th1 Tc1 q1 (Th1 Tc1 ) q c1 (Th1 Tc1 ) S gen1 k (Th1 Tc1 ). h1 c1 . . Th1Tc1 2 Th1Tc1 Th1Tc1 Th1Tc1 2 1 Para expresar la ecuación anterior en forma adimensional la (3.24) dividimos por q1 (Th1 Tc1 ) / Th1Tc1 , S * gen1 1 k (Th1 Tc1 ) q1 q I 2R T T 1 . h1 c1 c1 . 2 q (Th1 Tc1 ) q 1 (3.25) 1 61 . Sustituyendo el término q c1 , definido previamente, tenemos finalmente S * gen1 1 2k (Th1 Tc1 ) q1 I12 R Th1 Tc1 I1Tc1 1 . T T h 1 c 1 2 q1 q1 (3.26) Haciendo lo mismo que en las ecuaciones (3.22)-(3.25), pero para la segunda etapa, obtenemos una expresión similar, S * gen 2 1 2k (Th 2 Tc 2 ) q2 I 22 R Th 2 Tc 2 I 2Tc 2 1 T T h 2 c 2 2 q2 q2 (3.27) Por lo tanto podemos escribir la razón de generación de entropía total adimensional debido a las contribuciones de la primera y segunda etapas como . . . S * gen ,total S * gen1 S * gen 2 . (3.28) Debido a que en la segunda etapa la corriente eléctrica I 2 permanece constante, la entropía también tendrá un valor fijo, y por simplicidad le asignaremos el valor unitario, por esta razón, la generación de entropía total está dada por S * gen ,total 2 2k (Th1 Tc1 ) q1 I12 R Th1 Tc1 I1Tc1 1 . T T h 1 c 1 2 q1 q1 (3.29) 62 3.3 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL Es bien sabido que el desempeño de un dispositivo termoeléctrico utilizado como refrigerador, generador o bomba de calor está directamente relacionado con cinco efectos ampliamente conocidos: Peltier, Seebeck, Thomson, Fourier y Joule, siendo los tres primeros reversibles y los dos últimos irreversibles. Sin embargo, a pesar de que los efectos Peltier, Seebeck y Thomson contribuyen a disminuir las irreversibilidades con la finalidad de incrementar el desempeño de dispositivos termoeléctricos, rara vez se encuentra el efecto Thomson incluido en las ecuaciones de flujo de calor. Es necesario, por consiguiente, utilizar la termodinámica fuera de equilibrio para determinar los efectos que tiene este calor Thomson [1,10] en el coeficiente de desempeño y en las ecuaciones de minimización de entropía. De acuerdo a la teoría de la termodinámica [1,3,10], cuando se establece una densidad de corriente eléctrica J a través del material semiconductor ubicado en un gradiente de temperatura, tenemos, JU (kT ) TJ J J (3.30) donde J U es la densidad de flujo de energía en el interior del material semiconductor a una temperatura T , es el coeficiente Seebeck, k es la conductividad térmica y la conductividad eléctrica. Aquí depende del material y de la temperatura T [4], mientras que k y dependen del material y de la geometría del semiconductor. 3.3.1 MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR En nuestro análisis del dispositivo termoeléctrico empleado en la refrigeración termoeléctrica, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 27, propuesto por otros autores [5]. El modelo está compuesto por una pareja de materiales semiconductores tipo p y n, conectados eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo. Cuando una corriente eléctrica I fluye a través de nuestro circuito, los calores liberado y de entrada, al . . operar entre dos reservorios a Th y Tc , son Q h en la parte superior y Q c en la parte inferior, respectivamente. Cuando este dispositivo es utilizado como un refrigerador termoeléctrico, . el reservorio a Tc es el espacio enfriado y el calor absorbido es Q c . T1 y T2 son las temperaturas dentro de los elementos tipo n y p, respectivamente, y son funciones de la posición x . E es la fem de la batería externa que proporciona la corriente I al circuito. 63 Figure 27. Modelo unidimensional de circuito termoeléctrico Suponemos que la construcción de los semiconductores es homogénea; por lo tanto k y son constantes. Designemos a L como la longitud del material, A es el área de sección transversal y el coeficiente Thomson [1]. Las cantidades físicas anteriores tendrán subíndice 1 para el material tipo n y 2 para el material tipo p, e.g. 1 es el coeficiente Seebeck del material tipo n, 2 coeficiente Thomson del material tipo p, etc. Partiendo de la ecuación (3.30), que establece un balance de energía en el dispositivo termoeléctrico, y que al aplicarla en condiciones de estado estacionario y en una sola dimensión da como resultado dos ecuaciones diferenciales de segundo orden que corresponden al material tipo n y p respectivamente, es decir K1L1 d 2T1 dT1 R1I 2 I 0, 1 dx 2 dx L1 K2 L2 d 2T2 dT2 R2 I 2 I 0, 2 dx 2 dx L2 0 x L1 0 x L2 (3.31) (3.32) con condiciones de frontera, T1 (0) T2 (0) Tc , (3.33) T1 ( L1 ) T2 ( L2 ) Th , (3.34) 64 Las ecuaciones para la tasa de transferencia de calor son Q c ( 2c 1c )Tc I K1L1 d 2T1 d 2T2 K L 2 2 dx 2 dx 2 d 2T1 d 2T2 Q h ( )Th I K1 L1 2 K 2 L2 , dx dx 2 h 2 h 1 (3.35) (3.36) donde K1 k1 A1 / L1 , K 2 k2 A2 / L2 , R1 L1 / 1 A1 y R2 L2 / 2 A2 son las conductividades térmicas y resistencias eléctricas. El coeficiente Thomson es T (d / dT ) ; cuando es constante, no hay efecto de calor por efecto Thomson sobre el desempeño del dispositivo termoeléctrico. 3.3.2 COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSION OPERADO COMO BOMBA DE CALOR Y COMO REFRIGERADOR Resolviendo las ecuaciones diferenciales (3.31) y (3.32) encontramos que las soluciones de los campos de temperatura [5] en cada una de las ramas, expresadas en función de la posición son T1 Tc a1 x T a1 L1 (1 e1x ), 0 x L1 , 1L1 1 e (3.37) T2 Tc a2 x T a2 L2 (1 e2 x ), 0 x L2 , 1 e2 L2 (3.38) donde a1 y a 2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales (3.33) y (3.34), y se definen como a1 R1 I / ( 1 L1 ) , a2 R2 I / ( 2 L2 ) , I / ( K L) , y T Th Tc . Sustituyendo (3.37), (3.38) que se evalúan desde x 0 hasta x L1 , L2 , las constantes a1 y a 2 en las ecuaciones de las tasas de transferencia de calor, obtenemos las expresiones explicitas para las mismas 65 Q c cTc I ( K1* K 2* )T ( R1* R2* ) I 2 (3.39) Q h hTh I ( K1* K 2* )T ( 2 1 )TI [ R1* R2* ( R1 R2 )]I 2 , h 2h 1h , donde c 2c 1c , K1* 1 I / (1 e 1L1 ), R1* R1 1/ [1 e1L1 ] 1/ (1L1 ) , y R2* R2 1/ (2 L2 ) 1/ [e2 L2 1]. (3.40) K 2* 2 I / (e2 L2 1), Cuando las expresiones 1 I / K1 1 y 2 I / K 2 1 son mucho menores a la unidad, las cuatro expresiones anteriores se reducen a K1* K1[1 1 I / 2 K1 ], K 2* K 2 [1 2 I / 2 K 2 ], R1* R1 / 2[1 1 I / 6 K1 ], R2* R2 / 2[1 2 I / 6 K 2 ], y entonces la ecuación (3.40) se reduce a Q h hTh I K T ( 2 1 )TI / 2 RI 2 / 2 ( 2 R2 / K 2 1R1 / K1 ) I 3 /12. (3.41) Mientras que la diferencia Qh Qc , al utilizar las cuatro expresiones reducidas, se convierte en Q h Q c ( hTh cTc ) I TI RI 2 (3.42) Con las ecuaciones (3.39) y (3.40) definimos el coeficiente de operación para el dispositivo termoeléctrico, que funciona como bomba de calor, donde se invierte la dirección de la corriente eléctrica y el espacio refrigerado se convierte en el espacio a calentar. Se tiene entonces B.CALOR hTh I ( K1* K 2* )T ( 2 1 )TI [ R1* R2* ( R1 R2 )]I 2 . ( hTh cTc ) I ( 2 1 )TI ( R1 R2 ) I 2 Qh Qc Qh (3.43) Funcionando como refrigerador, el COP está definido como REF . Qc Qh Qc cTc I ( K1* K 2* )T ( R1* R2* ) I 2 . ( hTh cTc ) I ( 2 1 )TI ( R1 R2 ) I 2 (3.44) 66 Sin embargo, al utilizar las ecuaciones (3.41) y (3.42) se define el coeficiente de operación para la bomba de calor como B.CALOR Qh Qh Qc hTh I K T ( 2 1 )TI / 2 RI 2 / 2 ( 2 R2 / K 2 1R1 / K1 ) I 3 /12 . ( hTh cTc ) I TI RI 2 (3.45) Finalmente, para obtener el coeficiente de rendimiento del refrigerador se hace lo mismo que se hizo para la bomba de calor. 3.3.3 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL Con la finalidad de evaluar los diferentes mecanismos de conducción de calor en esta clase de dispositivos termoeléctricos, surge la necesidad de ir aún más allá del análisis del coeficiente de rendimiento o desempeño. Por esta razón hacemos uso del Método de Generación de Mínima entropía [17] utilizado previamente, con la diferencia que ahora se incluye el calor por efecto Thomson [5] en las ecuaciones de la producción de entropía. Kelvin supuso que los efectos irreversibles podían ser ignorados en base a que parecían ser independientes de los efectos reversibles Peltier, Seebeck y Thomson. Considerando la transferencia puramente reversible de unidad de carga eléctrica a través de un circuito termoeléctrico, Kelvin igualó a cero la suma de todos los cambios de entropía y dedujo relaciones que se han comprobado para algunas situaciones. Sin embargo, existe controversia actualmente del hecho de que los efectos Seebeck, Peltier y Thomson están ligados de forma inextricable a los efectos irreversibles [3]. Haciendo uso de la ecuación (3.17) para la razón de generación de entropía a través del módulo termoeléctrico unidimensional, tenemos S gen Q Q h c. Th Tc (3.43) Utilizando las ecuaciones de conducción de calor previamente establecidas para este modelo unidimensional tenemos que 1 I T 2 1 RI 2 T RI 3 T S gen ( h c ) I K T 2 T T 2 T T 2 T T c h c h c h 12K TcTh (3.44) 67 donde el tercer término de (3.44) es la nueva aportación del calor por efecto Thomson a la entropía Sin embargo, de acuerdo al método de generación de mínima entropía, existe un calor llamado de desecho, que se define como Q e Q Q c , y que, si se adiciona en la expresión anterior, se tiene un término más que contribuye a la generación de entropía S gen K T 2 I T 2 RI 2 T RI 3T T ( ) I Qe TcTh TcTh 2 2TcTh 12KTcTh ThTc h c S gen ( h c ) I K T 2 I T 2 RI 2 T RI 3T T (Q Qc ) . TcTh TcTh 2 2TcTh 12KTcTh ThTc (3.45) (3.46) . Si dividimos entre Q T / ThTc , desarrollamos y agrupamos términos se obtiene finalmente que S * gen 1 ( h c ) ITcTh Q T 2 K T Q 3 I T 2Q RI 2 Tc Th 1 RI 3 cTc I , (3.47) 2 6 K Q Q T Q la cual es conocida como razón de generación de entropía adimensional. Notamos, a diferencia del análisis anterior del modulo termoeléctrico de dos etapas, que aparece un término proporcional al coeficiente Thomson. Por consiguiente, se tiene una expresión que agrega un mecanismo más de transferencia de calor a la ecuación de generación de entropía, a saber, el calor por efecto Thomson, y que además contribuye a la generación de entropía, a pesar de que en la teoría éste último calor se considera como un efecto reversible. Sin embargo, notamos que está presente dos veces en la ecuación (3.47). Por lo tanto, se establece como un término que contribuye a generar entropía, aumentando el coeficiente de rendimiento pero incrementando en valor el punto de mínima entropía [4]. 68 3.4 CONCLUSIONES Se comprobó que en la última ecuación de generación de entropía (3.29), y la más general en el modelo de dos etapas, aparece el calor por efecto Peltier como uno de los mecanismos que tienden a reducir la entropía a medida que éste tenga valores comparables con los mecanismos de flujo de calor por efecto Joule y Fourier. Además, para el modelo unidimensional de una etapa se observa que en la ecuación de generación de entropía aparece el calor por efecto Thomson como contribución a la producción de entropía, esto puede estar relacionado con la opinión de algunos autores de que existe una dependencia entre los efectos irreversibles Joule y Fourier y los tres efectos reversibles Peltier, Seebeck y Thomson[3]. 69 CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES Utilizando las ecuaciones de producción de mínima entropía y del coeficiente de rendimiento en dispositivos termoeléctricos previamente establecidas en el capítulo III, se reportan resultados y conclusiones finales, las cuales esperamos que sean útiles para futuras consultas relacionadas con el tema. 70 4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS Las propiedades termoeléctricas de los semiconductores en cada una de las etapas se establecen como sigue: R 7.7 x103 , k 5.6 x10 3W / K , 3.6 x10 4V / K , Tc 2 248K , Th1 308K , k (Th1 Tc1 ) / q1 k (T h2 T c2 ) / q 2 0.5 , definidos estos dos últimos términos como las fracciones de calor que se absorben de la fuente en relación al calor por efecto Fourier. También consideramos tres valores diferentes de temperatura Tc1 , establecidos de forma experimental según el rango de temperatura T máximo al que pueden ser operados los materiales semiconductores de acuerdo al número “n” de termopares: Tc1 (n 3) 281K , Tc1 (n 4) 269 K , Tc1 (n 5) 261K y finalmente I 2,max 11.59 A . 4.1.1 PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLEEXTERNAMENTE REVERSIBLE. Si la corriente eléctrica de la segunda etapa I 2,max se mantiene fija, entonces la variación de la corriente eléctrica I1 da lugar a la razón de generación de entropía en el dispositivo termoeléctrico completo cuando se emplea la ecuación (3.19), obteniéndose tres curvas de razón de generación de entropía cuando se hacen variaciones en el número n de termopares. Figura 28. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica, el número n de termopres y considerando el calor por efecto Peltier. 71 Analizando la Figura 28, la cual es generada con el programa MathLab versión 2007, se identifica que mientras más grande es n , el punto mínimo de razón de generación de entropía adquiere un valor cada vez menor, y al mismo tiempo las respectivas corrientes de operación en estos puntos mínimos se ven disminuidas en valor. Cabe señalar también, que en el valor cero de corriente las tres curvas tienen valores diferentes de razón de generación de entropía, esto debido a que la ecuación (3.19) contiene dos términos; uno que depende de n , y otro de I 2 . Otra de las características importantes de estas curvas, y que también se percibe como un comportamiento general en las gráficas posteriores, es la tasa de crecimiento en la pendiente, a saber: a medida que se adicionan termopares al modulo termoeléctrico se incrementa el ángulo de la pendiente en cada curva con diferente “n”. En esta figura los mínimos de entropía con sus respectivos valores de corriente de operación ofrecen la posibilidad de operar el dispositivo termoeléctrico con el mayor aprovechamiento de la energía que se le suministra. Sin embargo, para generar esta figura no se ha tenido en cuenta otro mecanismo de disipación de calor, y por lo tanto de generación de entropía. Figura 29. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica y el número n de termopares. Un comportamiento similar como en la Figura 28 se ve en la Figura 29, que también se realizó con el programa MathLab versión 2007, sólo que en esta última los valores mínimos de razón de generación de entropía son aún menores, y además, sus respectivas corrientes de operación en estos puntos se incrementan debido a que no se toman en cuenta las posibles irreversibilidades del primer término de la ecuación (3.19). 72 4.1.2 SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLEEXTERNAMENTE IRREVERSIBLE. Como el caso más general, se presenta la Figura 30. donde se utilizó para su reproducción, además de los ya conocidos mecanismos de transferencia de calor, un mecanismo de generación de entropía llamado calor externo de desecho que es la causa principal de las irreversibilidades externas, y además es el principal factor a tomar en cuenta en un análisis de razón de generación de entropía que se expresa en la ecuación (3.29). Con esta expresión obtenemos una razón de generación de entropía adimensional para cada configuración con diferentes termopares. Al analizar las curvas de generación de entropía de las figuras 28 y 29, inmediatamente se nota un comportamiento similar que en la figura 30 obtenida con MathLab versión 2007. Aunque en esta última, los puntos mínimos de generación de entropía son muy similares en valor, también van decreciendo en valor a medida que se agregan termopares, indicando esto último con la flecha horizontal. Además, nótese también que las corrientes de operación en estos puntos mínimos de generación de entropía son aún de valores más pequeños comparadas con las corrientes de las gráficas anteriores en sus puntos mínimos. Estas corrientes han disminuido en valor debido a que se tiene un nuevo mecanismo de disipación de calor, a saber, calor de desecho que aumenta las irreversibilidades. Como se menciono anteriormente, los puntos de mínima generación de entropía se deben tomar en consideración si se quiere que un dispositivo termoeléctrico que trabaja como refrigerador funcione con el mayor aprovechamiento de energía que se le suministra. Figura 30. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica, el número n de termopares y tomando en consideración el calor de desecho. 73 Es importante hacer notar que la variable n no aparece en la ecuación (3.29), sin embargo, ésta se encuentra implícita en la temperatura Tc1 , la cual irá disminuyendo a medida que se vayan agregando más termopares. Este resultado se puede corroborar con experiencias de laboratorio, donde se van adicionando termopares, detectándose una disminución en la diferencia de temperaturas entre el lado frío y el lado caliente, T . Si se quiere expresar esta experiencia de laboratorio de una manera más general entonces escribimos lím T (n) 0 n (4.1) la cual nos indica directamente que al agregar demasiados termopares, la diferencia de temperaturas es casi nula, y por consiguiente, no habría transporte de calor ni generación de entropía por la tendencia a igualarse en valor las temperaturas de los extremos. Esto último explica las causas en la disminución de la entropía en las tres gráficas anteriores. 4.2 RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL 4.2.1 ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA UN REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE. Usando la ecuación (3.31) y la condición extremal B.CALOR / I 0 , (4.2) encontramos la corriente en la que el COP es máximo. La ecuación resultante es una ecuación trascendental. Sin embargo, para el caso interesante en el que 1,2 I / K1,2 1, y usando el hecho de que para un material dado, cuando la razón del cociente de longitudes al cociente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por ( L1 / L2 ) / ( A1 / A2 ) 1k1 / 2k2 , entonces el producto RK mínimo esta dado por ( RK )min 1k1 / 2 k2 . 2 Entonces la ecuación (3.45) puede ser escrita como B.CALOR ( h / c )Thi T / Z ( 2 1 )Ti / 2 c i 2 / 2 Zi 3 /12 c ( h / c )Th Tc i ( 2 1 )Ti / c i 2 (4.3) 74 que es el coeficiente de rendimiento cuando operamos el dispositivo como bomba de calor, y cuando es utilizado como refrigerador, tenemos REF . Tci T / Z Ti / 2 c i 2 / 2 Zi 3 /12 c ( h / c )Th Tc i ( 2 1 )Ti / c i 2 (4.4) donde I ci / R y Z ( c ) 2 / KR . Cuando se usan los materiales Bi2Te3 Bi2 Se3 90 10% y Bi2Te3 Sb2Se3 25 75% se usan como elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4]. La figura 31, obtenida con el programa Wolfram Mathematica versión 6, muestra el comportamiento del coeficiente de rendimiento de la bomba de calor B.CALOR en función de la corriente reducida i , cuando Th 310 K y Tc 290 K , mientras que la figura 32 se obtiene cuando las temperaturas son Th 296 K y Tc 273K . Nótese que cuando se tiene un máximo en el coeficiente de operación, éste nos indica que el dispositivo termoeléctrico está utilizando la máxima cantidad de energía que se le suministra ya sea para calentar un espacio frío, o para absorber calor de un espacio refrigerado. Figura 31. El coeficiente de desempeño B.CALOR vs. Corriente reducida i (K). La línea roja y la línea azul corresponden a 0 y 6.7 10 5 V / K , temperaturas de operación son: Th 310 K y Tc 290 K [5]. cuando las 75 Figura 32. El coeficiente de desempeño B.CALOR vs. corriente reducida i (K). La línea roja y la línea azul corresponden a 0 y 6.7 10 5 V / K . Esto cuando las temperaturas de operación son: Th 296 K y Tc 273K [5]. Nótese que la influencia del efecto Thomson sobre el máximo coeficiente B.CALOR con las temperaturas dadas es alrededor del 2% para la figura 31. Empero, cuando son cambiadas las temperaturas de operación se obtiene la figura 32, obtenida con el programa Wolfram Mathematica versión 6 en la cual se observa una disminución en el coeficiente de rendimiento al considerarse los dos casos: cuando se considera el coeficiente Thomson y cuando se omite. 76 Figura 33. El coeficiente de desempeño REF vs. Corriente reducida i (K). La línea roja y la línea azul corresponden a 0 y 6.7 10 5 V / K , con temperaturas de Th 310 K y Tc 290 K [5]. operación: Para obtener la figura 33 hacemos uso de la ecuación (4.4) y del programa Mathematica, donde se expresa el coeficiente de rendimiento para un refrigerador REF en función de la corriente reducida cuando las temperaturas de operación son: Th 310 K y Tc 290 K . Al observar la figura 33 notamos que apenas hay un cambio perceptible en el coeficiente de rendimiento al tomar en cuenta el calor por efecto Thomson. Al ser comparada esta gráfica con la 31, se nota inmediatamente la diferencia en el valor del coeficiente de rendimiento de una bomba de calor y de un refrigerador, siendo este último menor al operar entre los mismos límites de temperatura. Obsérvese ahora la figura 34, obtenida con el programa Wolfram Mathematica versión 6, cuando disminuyen las temperaturas de operación sin haber un cambio en la diferencia de temperaturas T , que se sigue manteniendo con un valor fijo. Lo que se nota es una disminución en el coeficiente máximo de operación en relación a la figura 33 para el dispositivo termoeléctrico. La causa principal en la disminución del coeficiente de operación es que se trabajo con una razón máxima de rechazo de calor en el lado caliente y no con la razón máxima de calor extraído del espacio refrigerado. 77 Figura 34. El coeficiente de desempeño REF vs. Corriente reducida i(K). La línea roja y la línea azul corresponden a 0 y 6.7 10 5 V / K , con temperaturas de Th 300 K y Tc 280 K [5]. operación: 4.2.2 ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO UNIDIMENSIONAL. Utilizando la ecuación (3.47) junto con I ci / R y Z ( c ) 2 / KR se deduce una forma final para la generación de entropía ( h c ) TcTh ZKi 2K T 3TZKi ZKi 2 Tc Th 1 . . . . ... . c T 2 c Q T Q Q 2 Q c KZi 3 ZKTci . . 6 K QR Q . S * gen 1 (4.5) Con la ecuación anterior se obtiene la Figura 35, la cual muestra el comportamiento de las curvas de razón de generación de entropía en función de la corriente reducida cuando es considerado el efecto Thomson y cuando tiene un valor nulo. 78 . Figura 35. La generación de entropía S * gen vs. Corriente reducida. La línea roja y la línea azul corresponden a 0 y 6.7 10 5 V / K . Al observar detenidamente nuestra gráfica anterior, generada con la ecuación (4.5) y el programa Wolfram Mathematica versión 6, podemos observar directamente que al ser agregado un mecanismo más de transferencia de calor (en este caso el efecto Thomson) el valor de generación de mínima entropía se incrementa de valor (línea azul) comparado con el de generación de entropía al ser omitido el efecto Thomson. El resultado anterior implica que si se toma en cuenta el calor por efecto Thomson, entonces habrá más irreversibilidades presentes en el dispositivo termoeléctrico, y por esta razón se aprovecharía menor cantidad de energía disponible que si no fuese considerado. Concluimos entonces que el calor por efecto Thomson debe ser tomado en cuenta tanto en el coeficiente de desempeño como en el análisis de generación de entropía para así elegir cuál de los dos criterios conviene utilizar en el desempeño de ésta clase de dispositivos termoeléctricos. 79 4.3 CONCLUSIONES Al haber hecho uso de la termodinámica de procesos irreversibles, se estudiaron los efectos internos-externos de absorción, expulsión y disipación de calor que tienen lugar en un modulo termoeléctrico de dos etapas, los cuales al ser tomados en cuenta en las ecuaciones de generación de entropía, permiten hacer distinción de la degradación de la energía en las curvas de entropía durante el fenómeno de enfriamiento por efecto Peltier. Al haber sido aplicado también el método (MGE) a un modulo termoeléctrico de una etapa y unidimensional, se obtuvieron las curvas de generación de entropía descritas a partir de la adición y omisión del calor por efecto Thomson, el cual tiene una influencia directa en el valor o punto de mínima entropía, siendo este último de valor menor cuando el calor por efecto Thomson es omitido. Al mismo tiempo se obtienen incrementos perceptibles en los coeficientes de rendimiento del refrigerador y de una bomba de calor al ser considerado el efecto Thomson. CONCLUSIONES GENERALES Cada vez que se hacen estudios relacionados con el ahorro de energía, se pretende disminuir al máximo la energía que se disipa y pierde. En la mayoría de las veces se pretende implementar procesos que impidan al máximo estas pérdidas, y que logren elevados rendimientos. Considerando lo anterior, nuestro estudio ha tenido un enfoque concerniente a la degradación de la energía, y por lo tanto al estudio de la producción de entropía, la cual es esencial en una época en donde surge la necesidad del ahorro de energía y de implementar energías alternativas menos nocivas al medio ambiente que los combustibles fósiles actualmente utilizados en gran porcentaje. TRABAJO A FUTURO Durante el desarrollo de este trabajo se tomó en cuenta un punto de vista macroscópico, es decir, partiendo de los postulados de la termodinámica irreversible, la cual hace énfasis en las propiedades físicas macroscópicas de los sistemas termodinámicos. No obstante, se pretende tomar este análisis como base para extenderlo a un nivel microscópico utilizando la física de estado sólido. 80 BIBLIOGRAFÍA 1. Callen, H.B., Thermodynamics and an introduction to Thermostatics, 2 nd ed. John Wiley and Sons, New York, 1985. 2. Bejan, A., Advanced Engineering Thermodynamics. John Wiley and Sons, New York, 1988 3. Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamics, 5 ed. McGraw-Hill, New York, 1968. 4. Lampinen, M.J., Journal of Applied Physics, 1991, 69, 4318. 5. Chen, J., Yan, Z., Wu, L.,Nonequilibrium Thermodynamic Analysis of a Thermoelectric Device, Energy, 1997, 22, 979. 6. G.S. Nolas J. Sharp H.J. Goldsmid.,Thermoelectrics, Basic Principles and New Materials Development, Springer-Verlag Berlín Heidelberg 2001. 7. Bejan A. Entropy Generation Minimization: the new thermodynamics of finite-size devices and finite time processes. J. Appl. Phys., 1996:79(3): 1191-1218. 8. David M. Rowe CRC Handbook of Thermoelectrics, Edited by D.M.Rowe, Ph.D.,D.Sc., 1995 9. Leopoldo García Colín. De la Máquina de Vapor al Cero Absoluto (Calor y Entropía). La ciencia desde México 1986. 10. Leopoldo García Colín Scherer y Patricia Goldstein Menache. La Física de los Procesos Irreversibles. Tomo I. El Colegio Nacional. México, 2003. 11. Bejan A. Analysis of performance and optimum configuration, Wiley, New York, 1994. 12. Bejan A. Minimization of Entropy Generation, CRC Press, Boca Raton, 1996. 13. Moukalled F., Nuwayhid R., Noueihed N. The efficiency of endoreversible heat engines with heatleak, J. Fluid Mech. 1995,19 , 377-389. 14. Xuan X. C.,Semiconductor, Sci. Technol. 2002, 17. 414. 15. X.C. Xuan, K.C. Ng, C. Yap and H.T., Optimization of two-stage thermoelectric coolers with two design configurations, Energy Convertion and Management 2001, 43, 2041-2052. 16. Li Kai-Zhen, Lian Rui-Sheng and Wei Zheng-Jun., Analysis of performance and optimum configuration of two-stage semiconductor thermoelectric module, Phys. Rev. E 2009, 58, 1674-1056. 17. R.Y. Nuwayhid, F. Moukalled and N. Noueihed., On entropy generation in thermoelectric devices, Phys. Rev. E 2000, 64 , 039901(E). 18. R. Resnick, D. Halliday y S. Krane., Física Volumen II. Ed. Cecsa, Tercera Reimpresión, México 2004. 19. Andrew Muto. Device Testing and Characterization of Thermoelectric Nanocomposites, B.S, Mechanical Engineering 2005 Northeastern University. 20. Thermoelectric effect-Wikipedia, the free encyclopedia. 81 TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS CON SOFTWARE Gráfica o número de figura 28 Número de ecuación 3.19 Variables graficadas 29 3.21 30 3.29 31 4.3 i( K ) vs B.CALOR 32 4.3 i (K)vs B.CALOR 33 4.4 i (K) vs REF . 34 4.4 i (K) vs REF . 35 4.5 . I ( A) vs S (W / K ) . I ( A) vs S (W / K ) . * I ( A) vs S (W / K ) . * i (K) vs S Software utilizado MathLab 2007 MathLab 2007 MathLab 2007 Wolfram Mathematica 6 Wolfram Mathematica 6 Wolfram Mathematica 6 Wolfram Mathematica 6 Wolfram Mathematica 6 82 CONGRESOS Y PUBLICACIONES 83 REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA M. Linderoa, M. A. Olivares-Roblesb Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, ESIME-Culhuacan, IPN, Av. Santa Ana No 1000, Culhuacan, 04430 Mexico D.F., miguel.lindero@gmail.com. b Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, ESIME-Culhuacan, IPN, Av. Santa Ana No 1000, Culhuacan, 04430 Mexico D.F., olivares67@mailaps.org RESUMEN En este trabajo estudiamos los efectos termoeléctricos en el marco de la termodinámica irreversible. Nuestro objetivo es evaluar el desempeño de dispositivos empleados para la refrigeración termoeléctrica, haciendo uso de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la distribución de temperatura en su interior. Además de identificar los parámetros importantes que intervienen directamente en su desempeño, hacemos énfasis también en el tipo de materiales semiconductores más utilizados actualmente para el incremento en su desempeño. a 1. INTRODUCCIÓN En este trabajo presentamos un análisis cuantitativo de los distintos efectos termoeléctricos que intervienen directamente en el desempeño de nuestros dispositivos de refrigeración termoeléctrica estudiando su comportamiento de acuerdo con los principios fundamentales de la termoelectricidad y de la termodinámica de procesos irreversibles [1-3]. 3. MARCO TERMODINÁMICO El desempeño de un dispositivo termoeléctrico usado como refrigerador o bomba de calor es afectado principalmente por los efectos Peltier, Fourier, Joule y Thomson. La refrigeración termoeléctrica está basada por el efecto Peltier. Al mismo tiempo están presentes los otros efectos termoeléctricos anteriormente mencionados. De acuerdo a la termodinámica fuera de equilibrio [1,3] cuando se establece un flujo de densidad de corriente eléctrica J a través del material semiconductor ubicado en un gradiente de temperatura, tenemos, JU (T ) TJ J J (1) donde J U es la densidad de corriente de energía en el interior del material semiconductor a una temperatura T , es el coeficiente Seebeck, es la conductividad térmica y la conductividad eléctrica. Aquí , depende del material y de la temperatura T [4] mientras que y dependen del material y de la geometría del semiconductor. 84 2. MODELO En nuestro análisis del dispositivo termoeléctrico, empleado en la refrigeración termoeléctrica, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 1, propuesto por otros autores [5]. El modelo está compuesto por una pareja de materiales semiconductores tipo P y N, conectados eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo. Cuando una corriente eléctrica fluye a través de nuestro circuito, el calor liberado y de entrada al operar entre dos reservorios a Th y Tc son Qh en la parte superior, y Qc en la parte inferior, respectivamente. Cuando este dispositivo es utilizado como un refrigerador termoeléctrico, el reservorio a Tc es el espacio enfriado y el calor absorbido es Qc . T1 y T2 son las temperaturas dentro de los elementos tipo N y P, respectivamente y son funciones de la posición x . circuito. E es la fem de la batería externa y proporciona la corriente I al Figure 1 Suponemos que la construcción de los semiconductores es homogénea. y son constants. Designando a L como la longitud del material, S es el área de sección transversal y como el coeficiente Thomson [1], las cantidaes físicas anteriores tendrán subíndice 1 para el material tipo N y 2 para el material tipo P, e.g. 1 coeficiente Seebeck del material tipo N, 2 coeficiente Thomson del material tipo P, etc. A partir de la ecuación (1), las ecuaciones para la conducción de calor en el interior de los semiconductores tipo n y p, respectivamente, están dadas por K1L1 d 2T1 dT1 R1I 2 I 0, 1 dx 2 dx L1 K2 L2 d 2T2 dT2 R2 I 2 I 0, 2 dx 2 dx L2 0 x L1 0 x L2 (2) (3) 85 con condiciones de frontera, T1 (0) T2 (0) Tc , (4) T1 ( L1 ) T2 ( L2 ) Th , (5) las ecuaciones para el flujo de calor son Qc ( 2c 1c )Tc I K1 L1 d 2T1 d 2T2 K L 2 2 dx 2 dx 2 (6) Qh ( 2h 1h )Th I K1 L1 d 2T1 d 2T2 K L 2 2 dx 2 dx 2 (7) donde K1 1S1 / L1 , K 2 2 S2 / L2 , R1 L1 / 1S1 y R2 L2 / 2 S 2 son las conductividades térmicas y resistencias eléctricas. El coeficiente Thomson es T (d / dT ) ; cuando es constante, no hay efecto del calor de Thomson sobre el desempeño. COEFICIENTE DE DESEMPEÑO (COP) Resolviendo las ecuaciones (2)-(5), encontramos que para las distribuciones de la temperatura, T1 Tc A1 x T A1L1 (1 e1x ), 0 x L1 , 1 e1L1 (8) T2 Tc A2 x T A2 L2 (1 e2 x ), 0 x L2 , 1 e2 L2 (9) donde I / ( K L) , A RI / ( L) y T Th Tc . Sustituyendo (8) y (9) en las ecuaciones para los flujos de calor, obtenemos expresiones explicitas para los flujos de calor Qc cTc I ( K1* K 2* )T ( R1* R2* ) I 2 , (10) Qh hTh I ( K1* K 2* )T ( 2 1 )TI [ R1* R2* ( R1 R2 )]I 2 , (11) 86 h 2h 1h , donde c 2c 1c , K1* 1 I / (1 e 1L1 ), R1* R1 1/ [1 e1L1 ] 1/ (1L1 ) , y R2* R2 1/ (2 L2 ) 1/ [e2 L2 1]. K 2* 2 I / (e2 L2 1), Finalmente, de las ecuaciones (10) y (11) tenemos para el COP, Qh hTh I ( K1* K 2* )T ( 2 1 )TI [ R1* R2* ( R1 R2 )]I 2 Qh Qc ( hTh cTc ) I ( 2 1 )TI ( R1 R2 ) I 2 (12) 3. RESULTADOS Usando la ecuación (12) y la condición extremal / I 0 , (13) encontramos la corriente en la que el COP es máximo. La ecuación resultante es una ecuación trascedental. Sin embargo para el caso interesante en el que 1,2 I / K1,2 1, y usando el hecho de que para un material dado, cuando la razón del cociente de longitudes al cociente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por ( L1 / L2 ) / (S1 / S2 ) 1 1 / 2 2 , ( RK )min 1 1 / 2 2 entonces el producto RK mínimo esta dado por , la ecuación (12) puede ser escrita como, 2 ( h / c )Thi T / Z ( 2 1 )Ti / 2 c i 2 / 2 Zi 3 /12 c ( h / c )Th Tc i ( 2 1 )Ti / c i 2 (14) donde I i / R y Z ( ) / KR . c c 2 Cuando los materiales Bi2Te3 Bi2 Se3 90 10% y Bi2Te3 Sb 2Se 3 25 75% se usan como elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4]. La figura 2 muestra el comportamiento del COP en función de la corriente reducida. Nótese que la influencia del efecto Thomson sobre el máximo COP es alrededor del 2%. 87 , vs. Corriente reducida. La línea discontinua y 5 sólida corresponden a 0 y 6.7 10 V / K . Fig. 2. El coeficiente de desempeño, la línea 4. CONCLUSIONES En este trabajo, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el campo de temperatura dentro del dispositivo operado entre dos reservorios son establecidas usando termodinámica fuera de equilibrio. Se muestran las expresiones para el COP, ecs (12) y (14) del dispositivo termoeléctrico. Además, reproducimos el comportamiento del COP en función de la corriente y mostrando que la influencia del calor de Thomson en el COP máximo es alrededor del 2% con respecto al caso en el que se desprecia dicho calor. BIBLIOGRAFÍA nd 1. Callen, H.B., Thermodynamics and an introduction to Thermostatics, 2 ed. John Wiley and Sons, New York, 1985. 2. Bejan, A., Advanced Engineering Thermodynamics. John Wiley and Sons, New York, 1988 3. Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamics, 5 ed. McGraw-Hill, New York, 1968. 4. Lampinen, M.J., Journal of Applied Physics, 1991, 69, 4318. 5. Chen, J., Yan, Z., Wu, L., Energy, 1997, 22, 979. 88 89 90 Dear Colleagues, On behalf of the Organizing Committee it is my pleasure to inform you that the abstract entitled “Conjugate heat transfer and entropy generation optimization of MHD flow in a microchannel” has been accepted for poster presentation in the forthcoming 5th International Workshop on Nonequilibrium Thermodynamics IWNET 2009 to be held in Cuernavaca, Morelos (Mexico) from the 24th to the 30th of August, 2009. Posters should be prepared with a maximum size of A0 paper and in portrait orientation. Lettering should be readable from one meter away. Please do check the contents of your abstract as given below so that the printed book of abstracts contains the least possible errors. We understand that the underlined author will be the one presenting the paper. Should that not be so please let us know immediately. We look forward to seeing you in Cuernavaca. Sincerely, Federico Vázquez Authors: M. A. Olivares Robles[1] and M. Lindero Hernández[1] Affiliations: [1] ESIME-Culhuacán - Instituto Politécnico Nacional, México Title: Entropy Generation in a Semiconductor Thermoelectric Device Abstract: In this work we make use of the Entropy Minimization method to analyze a basic two-stage semiconductor thermoelectric device, which contains one thermocouple in the second stage and several thermocouples in the first stage. Our study focuses on the influence of current of the first stage indicating changes in entropy depending on the number of thermocouples in the second one. 91 92 93 94 95