cálculo vectorial i - matematicas con damaso rojas

 CÁLCULO VECTORIAL I VECTORES EN EL PLANO Muchas magnitudes geométricas o físicas, como área, volumen, temperatura, masa y tiempo, se pueden caracterizar mediante números reales en una escala adecuada de medida, a ellas se les denomina magnitudes escalares, y el número real asociado con cada una de ellas se llama un escalar. Otras magnitudes, como fuerza, velocidad y aceleración, involucran un valor numérico, una dirección y un sentido, de modo que no se pueden representar completamente por un número reales, a éstas se les denomina magnitudes vectoriales. Para representar tales magnitudes se utiliza un segmento (recto) dirigido. La longitud del JJJG
JJJG
segmento dirigido PQ , con punto inicial P y punto final Q se denota por PQ
Los segmentos de igual longitud y dirección, se dice que son equivalentes El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido dado JJJG
G JJJG
PQ es un vector en el plano y se denota por V = PQ En algunos libros suelen utilizarse letras en negrita, u, v, w,...(o mayúsculas) para denotar los vectores, mientras que en otros suelen denotarse colocando sobre las letras una flecha. Nota: El segmento dirigido con punto inicial en el origen puede caracterizarse dando sólo las coordenadas de su punto final. La representación particular de un vector con su punto inicial en el origen se denomina representación de posición del vector. (Posición canónica) DEFINICIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO G
Un vector V en el plano con punto inicial en el origen y punto final en ( x, y) se denota por G
un par ordenado de números reales V = x, y que representan las componentes del vector, se emplea x, y en lugar de ( x, y) para evitar la confusión entre vector y punto. De G
G
esta manera, si el vector A de par ordenado de números reales se representa A = a1 , a2
G
entonces A es el punto de coordenadas A(a1 , a2 ) . El vector A puede representarse JJJG
geométricamente por el segmento dirigido OA este segmento dirigido es una G
representación del vector A . G
G
El vector 0, 0 , se denomina vector cero y se denota por 0 ; esto es, 0 = 0, 0 cualquier punto es una representación del vector cero. Para pasar de segmentos dirigidos a componentes, o viceversa, deben seguirse estos procedimientos: 1 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 1) Sí P( p1 , p2 ) y Q(q1 , q2 ) son los puntos inicial y final de un segmento dirigido, la JJJG
G
expresión en componentes del vector V , representado por PQ
es G
G
2
2
v1 , v2 = (q1 − p1 , q2 − p2 ) Además, la longitud de V es V = v1 + v2 G
G
2) Si V = v1 , v2 , V puede ser representado por el segmento dirigido, en posición G
G
canónica, que va de P(0, 0) a Q (v1 , v2 ) La longitud de V se llama también norma de V . IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores son iguales si y sólo si son componentes son iguales. (Tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido). G
G
MÓDULO DE UN VECTOR. Si A es el vector a1 , a2 , el módulo denotado por A , es la G
longitud de cualquiera de sus representaciones, entonces A = a12 + a2 2 SENTIDO DE UN VECTOR: Lo determina el recorrido del punto inicial al punto final del vector. (Cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido). DIRECCIÓN DE UN VECTOR. Queda definido por el ángulo director del vector y la recta que lo contiene (o paralela). ÁNGULO DIRECTOR de cualquier vector diferente del vector cero, es el ángulo θ medido desde el semieje positivo del eje de las abscisas, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector. G
a
Si θ se mide en radianes, entonces 0 ≤ θ < 2π . Si A = a1 , a2 ⇒ tan θ = 2 ; si a1 ≠ 0 a1
Observe según la gráfica que: G
G
G
si A = a1 , a2 y θ es el ángulo director ⇒ a1 = A cos θ ; a2 = A senθ
Nota. tan θ Es periódica con periodo π, entonces si a ≠ O siempre existen dos números en a
[0, 2π ) , tales que tan θ = 2 . Por ejemplo, tan π = tan 5π = 1 a1
4
4
G
Para determinar θ de manera única es necesario determinar el cuadrante del vector V como se apreciará en los siguientes ejemplos. G
2
π
1) V se encuentra en el primer cuadrante: 0 < θ < π Como: tan θ = = 1 ⇒ θ = 2
4
2
2 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
π
2) V está en el segundo cuadrante: < θ < π 2
2
1
π
π 5π
tan α =
(ver figura) =
⇒ α = ⇒ θ = π −α ⇒ θ = π − =
6
6
6
2 3
3
G
3π
3) V está en el tercer cuadrante: π < θ <
2 −3
π
π 5π
=1⇒ α = ⇒θ = π +α ⇒θ = π + =
(ver figura) Como tan α =
−3
4
4
4
G
3π
< θ < 2π 4) V está en el cuarto cuadrante:
2
−6
π
π 7π
tan α =
= −1 ⇒ α = − ⇒ θ = 2π − α ⇒ θ = 2π − =
(ver figura) 6
4
4
4
−3
3π
(ver figura) → ∞ ⇒θ =
5) No se puede usar la ecuación tan α =
0
2
En general, si b > O Dirección de (0, a2 ) ⇒ θ =
π
2
y la dirección de (0, −a2 ) ⇒ θ =
3π
2 OPERACIONES CON VECTORES DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES (FORMA ANALÍTICA) G
G
G G
La suma de los vectores A = a1 , a2 y B = b1 , b2 es el vector A + B definido por:
G G
A + B = a1 + b1 , a2 + b2
3 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I FORMA GEOMÉTRICA: REGLA DEL POLÍGONO Consiste en dibujar a una escala adecuada los vectores que se desean adicionar conservando su módulo, dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del último, obtendrá el vector suma. REGLA DEL TRIÁNGULO En realidad es un caso particular de la Regla del Polígono, y se aplica a la suma de dos vectores REGLA DEL PARALELOGRAMO Este método se usa cuando los vectores tienen el mismo punto de aplicación (o sea idéntico, en el origen). Se traza una línea punteada paralela a cada vector, el punto de intercepción de dichas líneas se une con el origen y se tendrá el vector resultante. No se debe olvidar conservar la escala a efecto de cuantificar el módulo del vector resultante, la dirección y sentido se determinan directamente sobre el gráfico. Detalle como el origen de ambos vectores es el mismo. DEFINICIÓN DEL NEGATIVO DE UN VECTOR: G
G
G
G
Si A = a1 , a2 , entonces el negativo de A , denotado por − A , es el vector − A = −a1 , −a2 DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIA DE VECTORES (FORMA ANALÍTICA) G
G G
G
La diferencia de los vectores A y B , denotada por A − B , es el vector que se obtiene al G
G G
G
G
G
sumar A al negativo de B ; es decir: A + (− B) = A − B = a1 − b1 , a2 − b2
FORMA GEOMÉTRICA (MÉTODO DEL PARALELOGRAMO) Es análogo a la adición, solo que este caso el sustraendo es un vector opuesto 4 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G G
G G
Se observan dos vectores A y B , si se desea obtener la diferencia entre A y B , se dibuja el G
G
vector A y seguido el vector opuesto de B ; la intersección de las paralelas a ambos vectores con el origen común representa el vector diferencia. MÉTODO DEL TRIÁNGULO Es análogo a la adición, no obstante el vector resultante se traza desde la punta del vector sustraendo al vector minuendo. G G
G
Dos vectores A y B , la diferencia de ambos se obtiene dibujando el vector A y el vector G
B con un origen común, posteriormente se traza el vector resultante desde el extremo del vector sustraendo al extremo del vector minuendo. VECTORES COLINEALES. Vectores que aparecen en la misma recta o que resultan paralelos a una cierta recta. VECTORES COPLANARES. Vectores que están en el mismo plano VECTORES CONCURRENTES. Vectores que atraviesan un mismo punto, debido a que, al pasar por dicho punto dan lugar a la creación de un ángulo, los vectores concurrentes también se denominan vectores angulares. VECTORES EQUIPOLENTES. Vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Cuando los vectores no son colineales, ni perpendiculares, pero sí coplanarios, para realizar las operaciones como la suma y resta de vectores en forma analítica se necesitan estos teoremas TEOREMA DEL COSENO "En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman". Este teorema es aplicado cuando interactúan dos vectores en el plano y tienen como característica el hecho de presentar un origen común; se requiere conocer los módulos de los vectores, y el ángulo que forman entre sí. 5 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ ; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β ; a 2 = c 2 + b 2 − 2cb cos α TEOREMA DEL SENO Es muy útil al momento de determinar dirección y sentido de un vector, y suele emplearse en conjunción con el teorema del coseno. El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β, γ son respectivamente a, b, c, entonces DEFINICIÓN DEL PRODUCTO DE UN VECTOR Y UN ESCALAR. G
G
G
Si c ≠ 0 es un escalar y A es el vector A = a1 , a2 , entonces el producto de c y A , G
G
G
denotado por c A , es el vector definido por: cA = c a1 , a2 ⇒ cA = ca1 , ca2 G
Tiene la misma dirección y el mismo sentido del vector A , si c > 0 y sentido contrario al G
vector A , si c < 0 G
La Magnitud de cA se obtiene al multiplicar la longitud del vector por el valor absoluto de ese escalar (un escalar diferente de cero). PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES G G G
Si A, B y C son tres vectores cualesquiera, y c y d son dos escalares cualesquiera, entonces la adición vectorial y la multiplicación por un escalar satisfacen las siguientes propiedades: G G G G
1) A + B = B + A (ley conmutativa) G G G
G G
G
2) A + ( B + C ) = ( A + B) + C (ley asociativa) G
G G G
3) Existe un vector 0 en V2 para el cual A + 0 = A (existencia del idéntico aditivo) G
G
G
4) Existe un vector − A en V2 tal que A + (− A) = 0 (existencia del inverso aditivo o negativo) 6 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com 5)
6)
7)
8)
CÁLCULO VECTORIAL I G
G
cd ( A) = c(dA) (ley asociativa) G G
G
G
c( A + B ) = cA + cB) (ley distributiva) G
G
G
(c + d ) A = cA + dA (ley distributiva) G G
1A = A (existencia del idéntico multiplicativo escalar) NOTA: Algunas de las demostraciones de estas propiedades serán resueltas en los ejercicios adicionales. DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL REAL. Cualquier conjunto de vectores, junto con el conjunto de números reales, denominados escalares, que satisfaga las propiedades enunciadas anteriormente constituye un espacio vectorial. Esas ocho propiedades son los axiomas de la estructura del espacio vectorial. VECTOR UNITARIO Un vector unitario es un vector con longitud 1. G
Si el vector A es diferente del vector cero, entonces el vector unitario û que tiene la misma G
G
A
1 G
dirección y el mismo sentido de A está definido por uˆ = G = G A A
A
G
El proceso de multiplica A por 1G para obtener un vector unitario se llama normalización G
de A A
NOTA: La longitud de una suma de vectores no es igual a la suma de sus longitudes, la igualdad ocurre cuando los vectores tienen la misma dirección. Este resultado se conoce G G
G
G
como la DESIGUALDAD TRIANGULAR PARA VECTORES A + B ≤ A + B VECTORES UNITARIOS CANÓNICOS Los vectores unitarios 1, 0 y 0,1 se llaman vectores unitarios canónicos del plano y se denotan por: iˆ = 1, 0 y ˆj = 0,1 En términos de estos vectores, se puede expresar cualquier vector del plano como sigue: G
G
Si A = a1 , a2 ⇒ a1 , a2 = a1 , 0 + 0, a2 ⇒ a1 , a2 = a1 1, 0 + a2 0,1 ⇒ A = a1i + a2 j G
El vector A = a1i + a2 j se llama una combinación lineal de i y j Los escalares a1 , a2 se G
llaman, respectivamente, componente horizontal y componente vertical de A . Los vectores: i ; j tienen dos propiedades: 1) Ninguno de ellos es múltiplo del otro. (son linealmente independientes, es decir, sus representaciones de posición no son colineales) 2) Establece que cualquier vector de V2, puede escribirse como una combinación lineal de i y j . Bajo estas dos condiciones se dice que i ; j forman una base en V2.
7 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I El número de elementos de una base de un espacio vectorial se denomina dimensión del espacio vectorial. Por tanto V2 es un espacio vectorial bidimensional o de dos dimensiones. NOTA: Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes. Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes. EJEMPLOS: Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD). Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI). Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD). Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI). G
EJEMPLO 1. Dibuje la representación de posición del vector A = 3, 4 y la representación G
G
particular del vector Q que pasa por el punto inicial P ( 2,1) . (b) Calcule el módulo de A . G
La representación del vector Q que pasa por el punto inicial P ( p1 , p2 ) tiene como punto terminal ( p1 + a1 , p2 + a2 ) G
G
G
A = 3, 4 ; P ( 2,1) ⇒ Q = 2 + 3,1 + 4 = 5,5 ; A = 3, 4 = 32 + 42 = 25 = 5
EJEMPLO 2. Calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente 0,3 ; −2,3
0,3 + −2,3 = 0 + ( −2 ) ,3 + 3 = −2, 6
G
G
G
G
G
G
EJEMPLO 3. Sí A = −4i + 2 j; B = −i + 3 j; C = 5i − j determine 5 A − 2 B − 2C
G G G
5A− 2B − 2C = 5( −4i + 2 j ) − 2( −i + 3 j ) − 2 5iˆ − ˆj = −20iˆ +10 ˆj + 2iˆ − 6 ˆj + −10iˆ + 2 ˆj
G G G
5A− 2B − 2C = ( −20 + 2 −10) iˆ + (10 − 6 + 2) ˆj = −28iˆ + 6 ˆj
(
) (
) (
) (
)
8 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA INGENIERÍA. EJEMPLO 4. Si θ = 30° y T = 6kN , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el perno de argolla y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x . La ley del paralelogramo de suma y la regla triangular se muestra en las figuras a y b, respectivamente. Aplicando la ley de los cosenos a la figura b. FR = 62 + 82 − 2 ( 6 )( 8 ) cos 75° = 8.669 kN ≈ 8.67 kN Aplicando la ley de seno a la figura b y usando este resultado, los rendimientos son sen α sen75°
=
⇒ α = 63.05° 8
8.669
Así, el ángulo de la dirección que φ de FR medido en el sentido de las agujas del reloj del eje x es: φ = α − 60° = 63.05° − 60° = 3.05° EJEMPLO 2. Un avión puede volar a 300 mi/h. Si el viento sopla hacia el este a 50 mi/h, ¿cuál debe ser la dirección del avión para que el curso sea de 30°? ¿Cuál será la velocidad a tierra del avión si vuela en este curso? G
El vector A representa la velocidad a tierra del avión sobre un curso de 30°. El ángulo G
G
G
director de A es 60°. El vector B representa la velocidad del viento. Como B tiene una G G
G
intensidad de 50 mi/h y un ángulo director de O°, entonces B = 50,0 . El vector A − B 9 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G G
representa la velocidad del avión al aire; así: A − B = 300 Sea θ el ángulo director de G G
A − B . De la figura anterior se obtiene el triángulo mostrado en la figura siguiente: Al aplicar la ley de los senos a este triángulo, se tiene: 50sen60°
senφ sen60°
=
⇒ senφ =
⇒ senφ = 0.1433 ⇒ φ = 8.3° 50
300
300
θ = 60° + 8.3° = 68.3°
Se aplica nuevamente la ley de los senos al triángulo anterior: G
A
G 300sen(111.7°)
G
300
=
⇒ A =
⇒ A = 322
sen(180° − θ ) sen60°
sen60°
La dirección del avión debe ser 90° ‐ θ, el cual es 21.7°, y si el avión vuela en este curso, su velocidad a tierra será de 322 mi/h. EJERCICIOS PROPUESTOS. G
Dibuje la representación de posición del vector A y también la representación G
G
particular del vector Q que pasa por el punto inicial P. (b) Calcule el módulo de A . G
1) A = −2,5 ; P ( −3, 4 )
G ⎛
G
1⎞
2) A = ⎜ e, − ⎟ ; P ( −2, −e ) 3) A = 4, 0 ; P ( 2, 6 )
2⎠
⎝
JJJG
Obtenga el vector que tiene al segmento dirigido PQ como una representación. (
)
4) P ( 3, 7 ) ; Q ( 5, 4 )
5) P ( 5, 4 ) ; Q ( 3, 7 ) 6) P ( −5, −3) ; Q ( 0,3)
7) P − 2, 0 ; Q ( 0, 0 )
JJJG JJJG
Determine el punto S de modo que PQ y RS sean representaciones del mismo vector. Sabemos que : q − p = s − r ⇒ s = q − p + r 8) P ( 2,5 ) ; Q (1, 6 ) ; R ( −3, 2 )
9) P ( −2, 0 ) ; Q ( −3, −4 ) ; R = ( 4, 2 )
10) P ( 0,3) ; Q ( 5, −2 ) ; R ( 7, 0 )
11) P ( −1, 4 ) ; Q ( 2, −3) ; R ( −5, −2 )
Calcule la suma del par de vectores. 12) 2, 4 + −3,5
13) −3, 0 + 4, −5
Calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente. 14) 2,3 ; − 2, −1
Reste el segundo vector del primero. 15) ( a) −3, −4 ; 6,0
( b) 1, e ; −3,2e 10 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com 16) ( a ) 0,5 ; 2,8
CÁLCULO VECTORIAL I (b)
3, 7 ; 3, 7 G
G
G
Determine el vector o el escalar si A = 2, 4 , B = 4, −3 , y C = −3, 2 G G
G G
G G
17) ( a ) A + B
(b) C − B
(C ) 7 A − B G G
G
G
G
18) ( a ) A − B; ( b ) C ;
( c ) 2 A + 3B G
G
Obtenga el vector o el escalar si A = 2i + 3 j ; B = 4i − j G
G
19) ( a ) 5 A
(b ) − 6B G
G G
G G
G G
G G
G
20) ( a ) − 2 A
( b ) 3B
(c) A + B ( d ) A + B (e) A − B
( f ) A− B
G
G
G
G
G
G
G
G
21) ( a ) A + B
(b ) 5 A − 6B ( c ) 5 A − 6B ( d ) 5 A − 6B G
G
G
G
G
G
G
G
22) ( a ) A − B ; ( b ) 3B − 2 A; ( c ) 3B − 2 A ; ( d ) 3B − 2 A G
G
G
En los ejercicios 23 y 24. Sí A = −4i + 2 j; B = −i + 3 j; C = 5i − j
G
G
G
23) 5 A − 2 B − 2C G G
G
24) ( a ) 3B − 2 A − C
(b)
G G
G
3B − 2 A − C G
G
En los ejercicios 25 y 26. Sí A = 8iˆ + 5 ˆj; B = 3iˆ − ˆj G G
25) Determine un vector unitario que tenga la misma dirección que A + B . G G
26) Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que A − B . Exprese el vector dado en la forma r (cos θ i + senθ j ) , donde r es el módulo, θ es el ángulo director. También obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección.
27) ( a ) 3iˆ − 4 ˆj
( b ) 2iˆ + 2 ˆj 28) ( a ) 8iˆ + 6 ˆj
29) ( a ) − 4iˆ + 4 3 ˆj
( b ) − 16i
30) ( a ) 3i − 3 j;
(b) 2 j G
G
G
31) La figura es un paralelogramo. Exprese w en términos de u y de v .
32) En el triángulo grande de la figura, m es una mediana (biseca el lado en el que está G
G
dibujado). Exprese m y n en términos de u y de v . 11 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
G G 33) Si A =−2i + j; B = 3i − 2 j; C = 5i − 4 j , determine los escalares h y k tales que G
G
G
C = hA + kB . G
G
G
34) Si A = 5i − 2 j; B =−4i + 3 j; C =−6i +8 j , determine los escalares h y k tales que G G
G
B = hC − kA G G
G
35) Si A = i − 2 j ; B = −2i + 4 j ; C = 7i − 5 j , determine los escalares h y k tales que G
G
G
C = hA + kB G
G
G
G
G G
36) En la figura, w = − ( u + v ) y u = v − 1 . Determine w . 37) Resuelva el problema anterior, si el ángulo superior es de 90º y los ángulos laterales mide 135º. G
G
En los problemas del 38 al 41 para los vectores bidimensionales u y v , determine la G G
G G
G
G
suma u + v , la diferencia u − v y las magnitudes u y v . G
G
G
G
38) u = −1, 0 ; v = 3, 4
39) u = 0, 0 ; v = −3, 4
G
G G
G
40) u = 12,12 ; v = −2, 2
41) u = −0.2, 0.8 ; v = −2.1,1.3
G G
42) En la figura, cada una de las fuerzas u y v tienen magnitud de 50 libras. Determine G
G G
la magnitud y dirección de la fuerza w , necesaria para contrarrestar u y v . 43) Se empuja un poste en la dirección S 30º E (30º al este del sur) con una fuerza de 60 libras. Dan empuja el mismo poste en la dirección S 60º O con una fuerza de 80 libras. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante? 44) Un peso de 300 Newton descansa en un plano inclinado liso (con fricción insignificante) que forma un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Qué fuerza paralela al plano mantendrá al peso sin que se deslice hacia abajo? Sugerencia: considere la fuerza de 300 Newton hacia abajo como la suma de dos fuerzas, una paralela al plano y una perpendicular a él. 12 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 45) Un objeto con peso de 258.5 libras se mantiene en equilibrio mediante dos sogas que forman ángulos de 27.34º y 39.22º, respectivamente, con la vertical. Determine la magnitud de la fuerza ejercida por cada soga sobre el objeto. 46) Un viento con velocidad de 45 millas por hora sopla en dirección N 20º O. Un aeroplano que vuela a 425 millas por hora con aire en calma, se supone que avanza directamente hacia el norte. ¿Cuál debe ser la dirección del aeroplano y qué tan rápido vuela respecto al suelo? 47) Un barco está navegando con rumbo al sur a 20 millas por hora. Un hombre camina hacia el oeste (es decir, en ángulo recto al lado de la nave) cruza la cubierta a 3 millas por hora. ¿Cuál es la magnitud y dirección de su velocidad relativa a la superficie del agua? 48) Un hombre vuela en medio de un viento que sopla a 40 millas por hora en dirección sur; entonces, descubre que, cuando dirige su aeroplano en la dirección N 60º E, tiene rumbo este. Determine la velocidad relativa (velocidad con aire en calma) del aeroplano. 49) ¿Cuál debe ser la dirección y velocidad relativa necesarias para que un aeroplano vuele a 837 millas por hora con rumbo norte, si está soplando un viento de 63 millas por hora en la dirección S 11.5º E? 50) Demuestre los siguientes teoremas para el caso de vectores bidimensionales. 51) Dos fuerzas de 340 lb y 475 lb forman entre si un ángulo de 34.6º y se aplican a un objeto en el mismo punto. Calcule (a) el modulo o intensidad de la fuerza resultante. 52) Dos fuerzas de 60 lb y 80 lb forman entre sí un ángulo de 30° y se aplican a un objeto en el mismo punto. Obtenga (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb con aproximación de grados. Se elige el eje positivo de las x, para representar la posición de la fuerza de 60lb, el vector A representa dicha fuerza y el vector B, representa la de 80 lb. 53) Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo punto y forman un ángulo θ entre sí. Si la fuerza resultante es de 46 lb, determine θ con aproximación de grados. 54) Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y la fuerza resultante es de 162 lb. Determine el ángulo formado por la resultante y la fuerza de 112 lb con aproximación de décimos de grado. 13 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 55) Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avión sea el norte, su enfilamiento debe ser 340°. Si el viento sopla del oeste, (a) ¿cuál es la rapidez del viento? (b) ¿Cuál es la velocidad a tierra del avión? 56) En un avión que tiene una velocidad al aire de 250 ( mi
hr ) , el piloto desea volar hacia el norte. Si el viento sopla hacia el este a 60 ( mi
hr ) , (a) ¿cuál debe ser el enfilamiento del avión? (b) ¿Cuál será la velocidad a tierra si el avión volase en este curso? 57) Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un río, cuya corriente es de 3 nudos hacia el oeste, la lancha tiene un enfilamiento hacia el sur. ¿Cuál es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cuál es su curso? 58) Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 ( mi
hr ) con respecto al agua, parte de la ribera sur de un no y se dirige al norte directamente a través del río. Si la corriente del rio fluye hacia el este a 0.8 ( mi
hr ) . (a) ¿En qué dirección va el nadador? (b) ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la distancia a través del río es de 1 milla. ¿Qué tan lejos, río abajo, el nadador alcanza la otra orilla? 59) Suponga que el nadador del ejercicio 58 desea llegar al punto ubicado directamente al norte a través del río. (a) ¿En qué dirección debe dirigirse el nadador? (b) ¿Cuál será la velocidad respecto a tierra del nadador si elige esta dirección?
G
G
60) Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 0 0 A = 0 y C (0) = 0 61) Demuestre la ley asociativa para dos vectores dados. 62) Demuestre la existencia del idéntico aditivo y la existencia del idéntico multiplicativo escalar. 63) Demuestre el teorema existencia del inverso aditivo. 64) Demuestre la ley asociativa para un vector y dos escalares. G
G
G
G G
G
G
G G
65) Sean A = 2, −5 ; B = 3,1 ; C = −4, 2 (a) Calcule a ) A + ( B + C ); b)( A + B ) + C 66) Se dice que dos vectores son independientes si y sólo si sus representaciones de G G
posición no son colineales. Además, se dice que dos vectores A y B forman una base para el espacio vectorial V2 si y sólo si cualquier vector de V2 puede expresarse como G G
una combinación lineal de A y B . Se puede demostrar un teorema que establece que dos vectores forman una base para el espacio vectorial V2 si son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores 2,5 y 3, −1 haciendo lo siguiente: (a) Verifique que los vectores son independientes mostrando que sus representaciones de posición no son colineales; y (b) Verifique que los vectores forman una base al mostrar que cualquier vector a1i + a2 j puede expresarse como c(2i + 5 j ) + d (3i − j ) , donde c y d son escalares. Sugerencia: exprese c y d en términos de a1 y + a2 . 14 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I JJJG
G JJJG
G
67) Sean PQ una representación del vector A , QR una representación del vector B . y JJJG
G
JJJG JJJG JJJG
RS una representación del vector C . Demuestre que si PQ, QR yRS son los lados de G G G
un triángulo, entonces A + B + C = 0 . 68) Demuestre analíticamente la desigualdad del triángulo para vectores:
G G
G
G
A+ B ≤ A + B 69) Demuestre, por medio de métodos vectoriales, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de u triángulo es paralelo al tercer lado. 70) Demuestre que los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo. 71) Suponga que n puntos están igualmente espaciados en una circunferencia, y sean v1 , v2 ,..., vn los vectores desde el centro del círculo a estos n puntos. Demuestre que v1 + v2 + ... + vn = 0 . Considere la siguiente figura del círculo. 72) Considere una mesa triangular horizontal con ángulos en cada vértice menores de 120º. En los vértices hay poleas sin fricción sobre las cuales se pasan cuerdas atadas en G
P , cada una con un peso W sujeto, como se muestra en la figura. Demuestre que, en equilibrio, los tres ángulos en P son iguales; esto es, demuestre que α + β = α + γ = β + γ = 120º . 73) Demuestre que el punto P del triángulo del problema 72 que minimiza AP + BP + CP es el punto en donde los tres ángulos en P son iguales. Sugerencia: sean A′, B′ y C ′ los puntos en donde están sujetos los pesos. Entonces el centro de 15 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 1
gravedad está localizado ( AA′ + BB′ + CC ′ ) unidades debajo del plano del triángulo. 3
El sistema está en equilibrio cuando el centro de gravedad de los tres pesos es el más bajo. 74) Suponga que los pesos en A, B y C del problema 72 son 3w, 4 w y 5w , respectivamente. Cuando hay equilibrio, determine los tres ángulos en P . ¿Ahora qué cantidad geométrica (como en el problema 73) se minimiza? 75) Una araña (candelabro) de 100 libras está sostenida por cuatro alambres sujetos al techo, en las cuatro esquinas de un cuadrado. Cada alambre forma un ángulo de 45º con la horizontal. Determine la magnitud de la tensión en cada alambre. 76) Repita el problema 75 para el caso en donde son tres alambres fijos en el techo, en las tres esquinas de un triángulo equilátero. 77) ¿Qué rumbo y qué velocidad (con aire en calma) se requieren para que un aeroplano vuele a 450 millas por hora en dirección norte, si sopla un viento de 100 millas por hora en la dirección N 60º E? 78) Sí θ = 60° y T = 5 kN , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el perno de argolla y su dirección mida en el sentido de las agujas del reloj del eje x . 79) Si la magnitud de la fuerza resultante es de 9 kN dirigido a lo largo del eje x , G
determine la magnitud de fuerza T que actúa en el perno de argolla y su ángulo θ . 80) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el anaquel y su dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al eje u . 16 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
81) Resolver F1 en las componentes a lo largo de u y v cortar, y determina las magnitudes de estas componentes. G
82) Resolver F2 en las componentes a lo largo de u y v cortar, y determinar la magnitudes de estas componentes. G
83) Si F = 2 kN y actúa la fuerza resultante a lo largo del eje u , determine la magnitud de la fuerza resultante y ángulo θ . 84) Sí la fuerza resultante se requiere actuar a lo largo del eje u y tiene una magnitud de G
5 kN , determine la magnitud requerida de FB y su dirección θ . G G
85) El plato está sujeta a las dos fuerzas FA , FB , como muestra la figura. Sí θ = 60° Determine la magnitud de la resultante de estas dos fuerzas y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la horizontal 17 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 86) Determine el ángulo de θ para el miembro que une A al plato para que se dirija la G
G
fuerza resultante de FA y FB horizontalmente a la derecha. ¿También, lo que es la magnitud de la fuerza resultante? F
87) Sí la tensión en el cable es B , determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante que actúa en la polea. Este ángulo es el mismo ángulo FB de línea FB en el bloque de la compuerta. 88) Un dispositivo se usa para el reemplazo quirúrgico de la juntura de la rodilla. Si la fuerza que actúa a lo largo de la pierna es 360 N , determine sus componentes a lo largo del corte x y y ′ . 89) Un dispositivo se usa para el reemplazo quirúrgico de la juntura de la rodilla. Si la fuerza que actúa a lo largo de la pierna es 360 N , determine sus componentes a lo largo del corte x′ y y . 90) Determine el ángulo θ ( 0º ≤ θ ≤ 90º ) para el empaque AB para que la fuerza horizontal 400 lb tenga un componente de 500 lb dirigido de A hacía C . ¿Cuál es la componente de la fuerza que actúa a lo largo de AB ? Tome φ = 40º . 18 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 91) Determine el ángulo φ ( 0º ≤ φ ≤ 90º ) entre los empaques AB y AC para que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 600 lb que actúa, en la misma dirección de B hacía A . Tome θ = 30º . G
92) Resolver F1 en los componentes a lo largo de u y v y determina las magnitudes de estas componentes. G
93) Resolver F2 en los componentes a lo largo de u y v y determina las magnitudes de estas componentes. 94) El camión usa dos sogas para ser remolcado. Determine las magnitudes de fuerzas G
G
que FA y FB que actúan en cada soga para desarrollar una fuerza del resultante de 950 N dirigida a lo largo del eje x . Ponga θ = 50º . 95) El camión usa dos sogas para ser remolcado. Si la fuerza resultante es 950 N , G
G
dirigida a lo largo del eje x positivo. Determine las magnitudes de fuerzas FA y FB que G
G
G
actúan en cada soga y el ángulo θ de FB para que la magnitud de FB sea mínimo. FA actúa a las 20º del eje x como lo muestra la figura. 19 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
96) Si φ = 45º , F1 = 5 kN , y la fuerza resultante es 6 kN dirigida a lo largo del eje y , G
determine la magnitud requerida de F2 y su dirección θ . 97) Si φ = 30º y la fuerza resultante es 6 kN dirigida a lo largo del eje y , determine las G
G
magnitudes de F1 y y el ángulo θ para que F2 sea mínimo. G
98) Si φ = 30º , F1 = 5 kN , y la fuerza resultante está dirigida a lo largo del eje y , G
G
determina la magnitud de la fuerza resultante si F2 sea mínimo. ¿También lo es F2 y el ángulo θ ? G
99) Si θ = 30º y F2 = 6 kN , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el plato y su dirección medido en el sentido de las agujas del reloj del eje x . G
100) Si la fuerza resultante FR se dirige a lo largo de una línea medida 75º en el sentido G
de las agujas del reloj del eje x y la magnitud de F2 es de ser mínimo, determine las G
G
magnitudes de FR y F2 y el ángulo θ ≤ 90º . 20 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
G
101) Dos fuerzas F1 y F2 actúe en el ojo del tornillo. Si sus líneas de acción están en un ángulo θ aparte y la magnitud de cada fuerza es F1 = F2 = F , determine la magnitud de G
G
G
la fuerza resultante FR y el ángulo entre FR y F1 . 102) El tronco está remolcándose por dos tractores A y B . Determine la magnitud de G
G
dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante tiene una magnitud FR = 10 kN y se dirija a lo largo del eje x . El juego θ = 15º . G
103) El resultante FR de las dos fuerzas que actúan en el tronco será dirigido a lo largo del eje x y tendrá una magnitud de 10 kN , determine el ángulo θ del cable, atado a B G
tal que la magnitud de fuerza FB en éste cable sea mínimo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación? G
104) La viga que usa dos cadenas será izada. Determine las magnitudes de las fuerzas FA G
y FB que actúan en cada cadena para desarrollar una fuerza del resultante de 600 N dirigidas a lo largo del eje y . Tome θ = 45º . 105) La viga que usa dos cadenas será izada. Si la fuerza resultante es ser 600 N dirigidos G
G
a lo largo del eje y , determine las magnitudes de fuerza FA y FB actuando en cada G
G
G
cadena y el ángulo θ de FB para que la magnitud de FB sea un mínimo. FA Actúa a las 30º del eje y , como muestra la figura. 21 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 106) Tres cadenas actúan en el anaquel, tal que ellos crean una fuerza resultante que tiene una magnitud de 500 lb . Si se sujetan dos de las cadenas a las fuerzas conocidas, como muestra la figura, determine el ángulo θ de la tercera cadena medido en el sentido de las agujas del reloj del eje x , para que la magnitud de fuerza F en esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas quedan en el plano x, y . ¿Cuál es la magnitud de G
F ?Sugerencia: Primero encuentre la fuerza resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F actúa en esta dirección. 107) Tres cables tiran en la cañería tal que ellos crean una fuerza resultante que tiene una magnitud de 900 lb . Si se sujetan dos de los cables a las fuerzas conocidas, mostrado en la figura, determine el ángulo θ el tercer cable para que la magnitud de fuerza F en este cable sea un mínimo. Todo las fuerzas quedan en el plano del x, y . G
¿Cuál es la magnitud de F ?sugerencia: Primero encuentre la fuerza resultante de las dos fuerzas conocidas. 108) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el alfiler y su dirección midió en el sentido de las agujas del reloj del eje x . G
109) Si F1 = 600 N y φ = 30º , determine la magnitud de la fuerza del resultante que actúa en el perno de argolla y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x . 22 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 110) Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el perno de argolla es 600 N y su dirección medidas en el sentido de las agujas del reloj del eje x es θ = 30° , G
determine la magnitud de F1 y el ángulo φ . 111) El punto del contacto entre el fémur y la tibia deshuesa de la pierna está en A . Si una fuerza vertical de 175lb es aplicada a estas alturas, determine los componentes a lo largo de x y y corta. La nota que el componente y representa la fuerza normal en la región carga‐productiva de los huesos. Los componentes x y y de esta fuerza causan fluido ser apretado fuera del espacio productivo. G
112) Si φ = 30° y F2 = 3 kN , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el plato y su dirección θ medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x . 113) Si la magnitud para la fuerza resultante que actúa en el plato es 6 kN y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x es θ = 30° , determine la magnitud G
de F2 y su dirección φ . 114) Sí φ = 30° y la fuerza resultante que actúa en el plato del escudete está dirigida a lo G
largo del eje x , determine la magnitud de F2 y fuerza resultante. 23 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I G
115) Determine la magnitud de F1 y su dirección θ para que la fuerza resultante se dirija verticalmente ascendente y tenga una magnitud de 800 N . 116) Determine la magnitud y dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj del eje x de la fuerza resultante de la tercera fuerza actuante en el anillo. Toma G
F1 = 500 N y θ = 20° . G
117) Determine la magnitud y dirección θ de FB para que la fuerza resultante es dirigido a lo largo del eje y y tiene una magnitud de 1500 N . 118) Determine la magnitud y ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj G
en el eje y de la fuerza resultante actuando en el anaquel si FB = 600 N y θ = 20º . G
119) SÍ φ = 30º y F1 = 250 lb , determine la magnitud de la fuerza resultante actuando en el tanque y su dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x . 24 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 120) SÍ la magnitud de la fuerza resultante actuando en el anaquel es 400lb dirigido a lo G
largo del eje x , determine la magnitud de F1 y su dirección φ . 121) SÍ la fuerza resultante que actúa en el anaquel está dirigiéndose a lo largo del eje x G
y la magnitud de F1 requerida es mínima, determine la magnitud de la fuerza resultante G
F1 . 122) Las tres fuerzas coexistentes que actúan en el producto de ojo de tornillo una G
G
G
G
G
fuerza resultante FR = 0 . Si F2 = 23 F1 y F1 es ser 90º de F2 ver figura, determine la G
G
magnitud requerida de F3 expresada por lo que se refiere a F1 y el ángulo θ . G
123) Determine la magnitud de FA y su dirección θ para que la fuerza resultante este dirigida a lo largo del eje x y tiene una magnitud de 1250 N . 124) Determine la magnitud y dirección medido en sentido contrario a la aguja del reloj G
en el eje x de la fuerza resultante actuando en el anillo O si FA = 750 N y θ = 45º . http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com 25 CÁLCULO VECTORIAL I 125) Determine la magnitud de la fuerza resultante y dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x . 126) Las tres fuerzas se aplican al anaquel. Determine el rango de valores para la G
magnitud de fuerza P para que la resultante de las tres fuerzas no exceda 2400 N . G
127) SÍ F1 = 150 N y φ = 30º , determine la magnitud de la fuerza resultante actuando en el anaquel y su dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x . 128) Sí la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el anaquel será 450 N dirigido a G
lo largo del eje u , determine la magnitud de F1 y su dirección φ . 129) Sí la fuerza resultante que actúa en el anaquel es mínima, determine la magnitud G
de F1 y la fuerza resultantes. Tomar φ = 30º 26 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com CÁLCULO VECTORIAL I 130) Tres fuerzas actúan en el anaquel. Determine la magnitud y dirección θ de F2 para que la fuerza resultante es dirigido a lo largo del eje u y tiene una magnitud de 50 lb . 131) Sí F2 = 150 lb y θ = 55º , determine la magnitud y dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan en el anaquel. 132) Las tres fuerzas coexistentes que actúan en el poste produce una fuerza resultante G
G
G
G
FR = 0 . Sí F2 = 12 F1 y F1 es 90º de F2 mostrado, determine la magnitud requerida de G
G
F3 expresada por lo que se refiere a F1 y el ángulo θ . G
133) Determine la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante de las tres fuerzas sea tan pequeña como posible. ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza resultante más pequeña? 134) Exprese cada una de las fuerzas que actúan en el anaquel en la forma del vector G
Cartesiano con respecto a los ejes x y y . Determine la magnitud y dirección θ de F1 para que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje x y tiene una magnitud de FR = 600 N . 27 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@hotmail.com