TEMA 1 - aholab

TEMA 1
TÉCNICAS DE PROCESADO DE
SEÑAL EN LAS MODULACIONES
ANALÓGICAS
Inmaculada Hernáez Rioja
1-1
TEMA 1 Técnicas de procesado de señal en las modulaciones analógicas...................................... 1-2
1.1
Representación de señales paso – banda................................................................................................... 1-2
1.2
Demodulación de señales AM por detección de envolvente................................................................. 1-5
1.2.1
Descripción de señales AM..................................................................................................................... 1-5
1.2.2
Demodulación cuadrática de señales AM............................................................................................. 1-5
1.3
1.3.1
Descripción de la señal DSB .................................................................................................................. 1-6
1.3.2
Receptor coherente ideal......................................................................................................................... 1-6
1.4
Lazos enganchados en fase. (PLL’s) .......................................................................................................... 1-7
1.4.1
Descripción general del funcionamiento de un PLL .......................................................................... 1-7
1.4.2
Modelo del PLL en condiciones de enganche ..................................................................................... 1-9
1.4.3
Análisis en régimen permanente ..........................................................................................................1-10
1.4.4
Detección FM .........................................................................................................................................1-18
1.4.5
El lazo de Costas ....................................................................................................................................1-18
1.5
ejercicios .......................................................................................................................................................1-23
1.5.1
Problema 1...............................................................................................................................................1-23
1.5.2
Problema 2...............................................................................................................................................1-23
1.5.3
Problema 3...............................................................................................................................................1-23
1.5.4
Problema 5...............................................................................................................................................1-23
1.6
1-1
Modulación en doble banda lateral y detección coherente..................................................................... 1-6
Bibliografía ...................................................................................................................................................1-25
TEMA 1
TÉCNICAS DE PROCESADO DE SEÑAL EN LAS
MODULACIONES ANALÓGICAS
1.1
REPRESENTACIÓN DE SEÑALES PASO – BANDA
En este apartado repasaremos conceptos básicos de las comunicaciones paso-banda.
Transformada Hilbert de una señal x(t):
x(t )
1
1 ∞
1
xˆ (t ) = x(t ) ∗
= ∫ x(τ ) ⋅
⋅ dτ
π ⋅ t π −∞
t −τ
h(t ) =
xˆ (t )
h(t)
1
π ⋅t
Se puede demostrar que:
F {h(t )} = H (ω ) = − j ⋅ sign ω =
ω > 0
ω = 0
ω < 0
−j
0
j
Por tanto el transformador de Hilbert es un filtro desfasador de 90º ideal. En el dominio de la frecuencia:
H(ω )
j
ω
-j
φ (ω )
π
2
ω
−π
2
En el dominio de la frecuencia:
Xˆ (ω ) = H (ω ) ⋅ X (ω ) = (− j sign ω ) ⋅ X (ω )
Un par de transformadas muy útil:
1-2
H
cos(ω 0 ⋅ t ) ←⎯→ cos(ω 0 ⋅ t −
π
2
) = sin(ω 0 ⋅ t )
H
sin(ω 0 ⋅ t ) ←⎯→
− cos(ω 0 ⋅ t )
cos (ω 0 t + φ ) ←⎯→ sin (ω 0 t + φ )
H
Si m(t) es una señal paso bajo con frecuencia de corte ω1 y c(t) es una señal paso alto con frecuencia de corte
inferior ω2>ω1:
H
m(t ) ⋅ c(t ) ←⎯→
m(t ) ⋅ cˆ(t )
Señal analítica o pre-envolvente asociada a x(t)
x + (t ) = x(t ) + j ⋅ xˆ (t )
Por ejemplo:
x(t ) = cos(ω c t )
x + (t ) = cos(ω c t ) + j ⋅ sin (ω c t ) = e jωct
Otro
ejemplo:
sea
x(t ) = m(t ) ⋅ cos (ω c t )
m(t)
una
señal
paso
bajo
con
frecuencia
x + (t ) = m(t ) ⋅ cos(ω c t ) + j ⋅ m(t ) ⋅ sin(ω c t ) = m(t ) ⋅ e jωct
En general se puede demostrar que: X
+
(ω ) = 2 ⋅ X (ω ) ⋅ u (ω ) =
2 X (ω ) ω > 0
X (0 )
0
X (ω )
X(0)
ωc
−ωc
ω
X + (ω )
2X(0)
ω
ωc
Envolvente compleja de x(t)
1-3
ω=0
ω<0
de
corte
ω<ωc,
Se define siempre con respecto a una frecuencia portadora ωc: ~
x (t ) = x + (t ) ⋅ e − jω c t
~
y su transformada de Fourier es: X (ω ) = X + (ω + ω c ) = 2 ⋅ X (ω + ω c ) ⋅ u (ω + ω c )
La envolvente compleja se define por tanto para señales paso-banda, , y la frecuencia portadora ωc se
x (t ) es una señal pasoencuentra normalmente en la banda de paso de la señal paso-banda x(t). Por eso, ~
bajo, también llamada EQUIVALENTE PASO-BAJO.
Desarrollando:
~
x (t ) = [x(t ) + jxˆ (t )] ⋅ e − jω c t
ℜe{~
x (t )} = x(t ) ⋅ cos ω c t + xˆ (t ) ⋅ sin ω c t = xF (t ) → Componente en fase
ℑm{~
x (t )} = xˆ (t ) ⋅ cos ω c t − x(t ) ⋅ sin ω c t = xc (t ) → Componente en cuadratura
~
x (t ) = x F (t ) + j ⋅ xc (t )
{
}
{
}
{
x (t ) ⋅ e jω ct = ℜe ( x F (t ) + j ⋅ xC (t )) ⋅ e jω ct
y también: x(t ) = ℜe x + (t ) = ℜe ~
}
x(t ) = xF (t ) ⋅ cos ω ct − xC (t ) ⋅ sin ω ct
Envolvente real de x(t)
Se define como:
e(t ) = ~
x (t ) = x F2 (t ) + xC2 (t )
También: e(t ) = x + (t ) =
x 2 (t ) + xˆ 2 (t )
Fase instantánea de x(t):
θ (t ) = p ~x (t ) = arctg
xc (t )
x F (t )
y así x(t ) = e(t ) cos(ω c t + θ (t ))
Nótese que:
x(t ), xˆ (t ) son señales paso-banda.
~
x (t ),
xF (t ), xC (t ), e(t ) y θ (t ) son todas ellas señales paso-bajo.
x(t ), xˆ (t ), x F (t ), xC (t ), e(t ), θ (t ) son señales reales.
y x(t ) = e(t ) cos(ω c t + θ (t ))
1-4
1.2
DEMODULACIÓN DE SEÑALES AM POR DETECCIÓN DE
ENVOLVENTE.
En este apartado vemos dos técnicas sencillas para la demodulación de señales AM, de fácil
implementación en el dominio discreto.
1.2.1
DESCRIPCIÓN DE SEÑALES AM
Una señal AM tiene la expresión: s (t ) = Ac (1 + k a ⋅ m(t )) ⋅ cos ω c t , en donde c(t ) = Ac ⋅ cos ω c t es la
portadora y m(t ) es el mensaje, con frecuencia máxima W. La frecuencia portadora f c debería ser mayor que
la máxima frecuencia contenida en m(t ) W. k a es la sensibilidad del modulador (índice de modulación) y es
una constante positiva.
La envolvente de s (t ) : e(t ) = Ac 1 + k a ⋅ m(t )
En AM estándar, 1 + k a m(t ) ≥ 0 ∀t y por tanto e(t ) = Ac ⋅ [1 + k a m(t )] de forma que m(t ) puede ser
recuperada a partir de la envolvente, con un factor de escala y tras eliminar la componente continua.
El espectro de la señal modulada en AM:
S (ω ) = Acπ ⋅ δ (ω + ω c ) + Acπ ⋅ δ (ω − ω c ) +
S (ω )
Ac
A
k a ⋅ M (ω + ω c ) + c k a ⋅ M (ω − ω c )
2
2
Ac ⋅ π
AC
⋅ k a ⋅ M (ω − ω c )
2
− ωc
1.2.2
ωc
ω
DEMODULACIÓN CUADRÁTICA DE SEÑALES AM.
El esquema de un demodulador de este tipo es:
s(t)
( · )2
()
H(ω)
LPF
y(t)
s 2 (t ) = {Ac [1 + k a ⋅ m(t )]⋅ cosω c t} = Ac2 ⋅ [1 + k a m(t )] ⋅ cos 2 ω c t
2
=
2
1 2
1
2
2
Ac [1 + k a m(t )] + Ac2 [1 + k a m(t )] ⋅ cos 2ω c t
2
2
1 2
Ac [1 + k a m(t )]2 es paso bajo, y su frecuencia de corte será el doble de la frecuencia máxima
2
contenida en m(t ) W. El segundo término es paso banda y está centrado en ± 2ω c . Para que el detector
funcione correctamente, los dos espectros no se deben solapar:
El término
1-5
2W
< 2ω c − 2W
⇒ ω c > 2W
Demodulación utilizando la envolvente compleja.
Otro método para detectar la señal es utilizando un transformador de Hilbert.
1
π ⋅t
s(t)
()
2
+
()
e(t)
()
2
1.3
MODULACIÓN EN DOBLE BANDA LATERAL Y DETECCIÓN
COHERENTE
La señal modulada en AM contiene una componente sinusoidal en la frecuencia portadora que no contiene
información. Esta componente se introduce para crear una envolvente positiva que permite una
demodulación sencilla. Desde el punto de vista de la teoría de la información esta componente se
desperdicia.
La transmisión de la portadora no es necesaria si se utiliza un demodulador coherente. Además, de esta forma
obtendremos un mejor comportamiento frente al ruido.
Esta modulación se suele llamar DSB-SC-AM (Double Side Band Supressed Carrier Amplitude Modulation), o
también simplemente DSB (Double Side Band, Doble Banda Lateral).
1.3.1
DESCRIPCIÓN DE LA SEÑAL DSB
La señal DSB puede expresarse:
s (t ) = Ac ⋅ m(t ) ⋅ cos ω ct
es decir, como la señal AM con la portadora suprimida.
Su espectro:
S (ω ) =
1
1
Ac ⋅ M (ω − ω c ) + Ac ⋅ M (ω + ω c )
2
2
se supone que m(t) tiene un ancho de banda W y que ωc>W y que los espectros M(ω−ωc)y M(ω+ωc)no se
solapan. Si se solaparan no se puede realizar la demodulación.
1.3.2
RECEPTOR COHERENTE IDEAL.
El diagrama de bloques de un detector coherente es el siguiente:
s(t)
X
BPF
2.cosωct
s1(t)
LPF
OL
En primer lugar la señal atraviesa un filtro paso banda centrado en la frecuencia portadora que elimina el
ruido fuera de banda. La señal recibida se multiplica por una réplica de la portadora, generada por el oscilador
local:
1-6
s1 (t ) = s(t) ⋅ 2 ⋅ cosω c t = A c ⋅ m(t ) ⋅ 2 ⋅ cos 2 ω c t = Ac ⋅ m(t ) + Ac ⋅ m(t ) ⋅ cos 2ω c t
El elemento que lleva a cabo la demodulación es un MODULADOR DE PRODUCTO o MEZCLADOR.
1
2
El espectro de s1(t) es: S1 (ω ) = Ac ⋅ M (ω ) + Ac ⋅ M (ω − 2ω c ) + Ac
1
M (ω + 2ω c )
2
Los términos centrados en 2ωc pueden ser eliminados mediante un filtro paso bajo.
Un método alternativo para realizar la detección es formar la señal analítica:
s + (t ) = s(t ) + jsˆ(t ) = Ac ⋅ m(t ) ⋅ cos ω c t + jAc ⋅ m(t ) ⋅ senω c t = Ac ⋅ m(t ) ⋅ e jωct
y para recuperar m(t) basta con multiplicar por e − jω c t
s(t ) = s + (t ) ⋅ e − jωct = Ac m(t )
Para poder utilizar este receptor, es necesario conocer la frecuencia y fase de la portadora.
1.4
LAZOS ENGANCHADOS EN FASE. (PLL’S)
Para llevar a cabo la demodulación de la señal DSB, el receptor debe tener un conocimiento exacto de la
frecuencia y la fase de la portadora y esto no suele ocurrir. Sin embargo estos parámetros pueden ser
estimados de forma muy precisa en el receptor por dispositivos llamados PLL’s. (lazos de enganche de fase,
Phase Locked Loops), de forma que es posible realizar detección coherente casi óptima. El Lazo de Costas es
un tipo particular de PLL que estudiaremos más adelante.
1.4.1
DESCRIPCIÓN GENERAL DEL FUNCIONAMIENTO DE UN PLL
Un PLL tiene 3 componentes básicos: un detector de fase, un filtro paso bajo y un VCO.
vin(t)
Detector de
fase
v0(t)
v1(t)
LPF
F(f)
v2(t)
VCO
v0(t)
El VCO es un oscilador (Voltaje Controlled Oscilator) que produce una señal periódica cuya frecuencia puede
variar alrededor de una cierta frecuencia f0, proporcionalmente a la tensión aplicada externamente v2(t). La
frecuencia f0 es la frecuencia de libre oscilación del VCO, a la que oscila cuando v2(t) =0. Cuando el lazo está
enganchado a una señal periódica de entrada, el VCO oscila exactamente a la frecuencia de dicha señal de
entrada.
Cuando el PLL está enganchado (es decir, en funcionamiento estable), el detector de fase genera una señal
v1(t) de muy baja frecuencia, con una frecuencia que es función de la diferencia de fases entre las señales de
entrada al sistema vin(t) y de salida del VCO v0(t). Un detector de fases común está formado por un
multiplicador. Esta señal atraviesa el filtro F(f) y se aplica a la entrada del VCO. Si la frecuencia de la señal de
entrada empieza a aumentar ligeramente, la diferencia de fases entre la señal del VCO y la de entrada
comenzará a crecer. Se producirá un cambio en la frecuencia de control del VCO de tal forma que se lleve al
VCO a oscilar hacia la misma frecuencia de la señal de entrada. Por tanto, el lazo se mantiene enganchado a la
1-7
frecuencia de entrada. La tensión de control del VCO será proporcional a la frecuencia de la señal de entrada,
por lo que esta configuración es útil en la demodulación de señales FM. El rango de frecuencias para el cual el
lazo es capaz de mantenerse enganchado (es decir, es capaz de seguir la frecuencia de la señal de entrada) se
conoce como Margen de enganche. En apartados siguientes estudiaremos con más detalle el funcionamiento del
PLL en condiciones de enganche.
En el proceso de captura, el lazo pasa de una situación de no enganche, en la que el VCO se encuentra
oscilando a la frecuencia de libre oscilación f0, a engancharse a la frecuencia de la entrada. Cuando se aplica a
la entrada del PLL una señal oscilando a una frecuencia próxima a la frecuencia f0 el enganche puede
producirse, o no, dependiendo de ciertas condiciones. El proceso de captura es de naturaleza no lineal, y se
explicará de forma cualitativa.
Supongamos que el lazo está abierto entre el filtro y el VCO, y que se aplica a la entrada una señal periódica
de frecuencia próxima (pero no igual) a f0. La salida del detector de fase será una senoide de frecuencia la
diferencia de ambas frecuencias, y la misma señal tendremos a la salida del filtro paso bajo (v2(t)), con la
correspondiente ganancia. Si cerramos bruscamente el lazo, y aplicamos v2(t) a la entrada del VCO, la
frecuencia de v0(t) variará sinusoidalmente, alrededor de f0 con v0(t) encontrándose alternativamente más
próxima y más alejada de la frecuencia de entrada. La salida del detector de fase, será una ‘cuasi-sinusoide’
cuya frecuencia es la diferencia entre la del VCO y la de entrada. Cuando la frecuencia del VCO se aleja de la
de entrada, la frecuencia de la sinusoide aumenta. Cuando la frecuencia del VCO se acerca a la de entrada,
disminuye. La forma presente a la salida del detector de fase se muestra en la figura siguiente.
Como puede observarse, se produce una asimetría durante este proceso de captura, que introduce una
componente continua que desplazará la frecuencia media de salida del VCO hacia la frecuencia de entrada,
haciendo disminuir gradualmente la diferencia entre ambas. Una vez que el sistema se engancha, la diferencia
de frecuencias se hace cero, y únicamente tendremos una señal continua a la salida del filtro (debida a la
diferencia de fases entre las señales de entrada al PLL y de salida del VCO).
El rango de captura del lazo es el rango de frecuencias de entrada alrededor de la frecuencia central para el
cual el lazo se enganchará partiendo de una situación de no enganche. El tiempo de captura es el tiempo
requerido para realizar la captura. Ambos parámetros dependen de la ganancia del lazo y del ancho de banda
del filtro.
El objetivo del filtro es eliminar componentes interferentes resultantes del proceso de detección de fase.
También proporciona memoria al lazo cuando se pierde momentáneamente el enganche debido a un
transitorio interferente. La reducción del ancho de banda del filtro mejora por tanto el rechazo a las señales
fuera de banda, pero al mismo tiempo decrementa el rango de captura y aumenta el tiempo de captura.
1-8
1.4.2
MODELO DEL PLL EN CONDICIONES DE ENGANCHE
La característica del módulo de detección de fase depende de la implementación realizada. Algunas
características típicas son:
vp
vp
π
vp
π
σe
a) Sinusoidal
b) Triangular
π
σe
σe
c) diente de sierra
La característica sinusoidal se obtiene mediante circuitos analógicos utilizando un multiplicador (APLL). Las
características triangulares y en diente de sierra se obtienen mediante circuitos digitales (DPLL). Para el
estudio del PLL en condiciones de enganche utilizaremos un detector de fase consistente en un multiplicador.
vin(t)
X
v0(t)
v1(t)
LPF
F(f)
v2(t)
VCO
v0(t)
Si la señal de entrada es vin (t ) = Ai ⋅ sen[ω o t + σ i (t )] y la salida del VCO es vo (t ) = Ao ⋅ cos[ω o t + σ o (t )]
en donde σ o (t ) = K v
∫
t
−∞
v2 (τ ) ⋅ dτ .
Kv es la ganancia de VCO y se mide en rad/v ·seg, o Hz/v.
La salida del detector de fase (multiplicador):
v1 (t ) = K m ⋅ Ai ⋅ Ao ⋅ sen[ω o t + σ i (t )]⋅ cos[ω o t + σ o (t )] =
= Km ⋅
Ai ⋅ Ao
A ⋅A
⋅ sen[σ i (t ) − σ o (t )] + K m i o ⋅ sen[2ω o t + σ i (t ) + σ o (t )]
2
2
Km es la ganancia del multiplicador.
El termino en 2·ω0 t no atravesará el filtro paso bajo, así que la salida del filtro será:
A ⋅A
⎧
⎫
v2 (t ) = ⎨ Km ⋅ i o ⋅ sen[σ i (t ) − σ o (t )]⎬ ∗ f (t )
2
⎩
⎭
siendo f(t) la respuesta al impulso del filtro. Podemos escribir:
Ai ⋅ Ao
2
σ i (t ) − σ o (t ) = σ e (t )
Kd = Km ⋅
y v2 (t ) = K d ⋅ senσ e (t ) ∗ f (t )
σe(t) se llama el Error de Fase. La diferencia entre las fases instantáneas de las señales de entrada y salida será
de σ e (t ) −
1-9
π
2
ya que la fase instantánea de la señal de entrada es φi (t ) = σ i (t ) −
π
2
.
Kd es la constante equivalente del detector de fase que para este tipo de detector depende de las amplitudes de
las señales de entrada además del propio detector.
Buscamos la relación entre las fases de entrada y salida σi(t) y σo(t). La ecuación que describe el
comportamiento del PLL es:
dσ o (t )
= K v ⋅ v2 (t )
dt
σ o (t ) = K v ⋅ ∫ v2 (τ ) ⋅ dτ →
t
−∞
σ e (t ) = σ i (t ) − σ o (t )
dσ e (t ) dσ i (t )
=
− K v ⋅ v2 (t )
dt
dt
ω e (t ) = ωi (t ) − K v ⋅ v2 (t )
dσ e (t ) dσ i (t )
=
− K v ⋅ K d ⋅ {senσ e (t ) ∗ f (t )}
dt
dt
ω e (t ) = ω i (t ) − K v ⋅ K d ⋅ senσ e (t ) ∗ f (t )
Si el error de fase es pequeño (condición de lazo enganchado), senσ e (t ) ~ σ e (t ) y:
dσ e (t ) dσ i (t )
=
− Kd ⋅ Kv ⋅ {σ e (t ) ∗ f (t )}
dt
dt
σ e (t ) = σ i (t ) − K d ⋅ K v ∫ [σ e (τ ) ∗ f (τ )]⋅ dτ
t
−∞
y esta ecuación se corresponde con el sistema:
σ i (t )
+_
+
σ e (t )
f(t)
Kd
σ o (t )
F2 ( f ) =
Kv
j 2πf
Este es el modelo lineal del PLL, válido únicamente cuando el PLL está enganchado. En este modelo la
entrada al sistema es la fase instantánea de la señal (+π/2) y se utiliza la fase instantánea de salida del VCO.
1.4.3
ANÁLISIS EN RÉGIMEN PERMANENTE
En este apartado estudiamos el comportamiento en frecuencia del PLL en estado de enganche,
considerando como entrada y salida las señales de σi(t) y σ0(t), y el modelo lineal anteriormente hallado.
Partiendo de dicho modelo, y trabando con la transformada de Laplace:
[Φ i (s ) − Φ o (s )]K d ⋅ F (s ) ⋅ K v
s
= Φ o (s )
1-10
Φ i (s ) ⋅ K d ⋅ F (s ) ⋅
Kv
K ⎤
⎡
= Φ o (s ) ⋅ ⎢1 + K d .F (s ) ⋅ v ⎥
s
s ⎦
⎣
Φ o (s )
K v ⋅ K d ⋅ F (s )
=
= H (s )
Φ i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
Es la función de transferencia del lazo cerrado y muestra la respuesta σ o (t ) a cambios en σ i (t ) .
A veces podemos estar interesados en la respuesta del lazo a cambios en la frecuencia de entrada
ω i (t ) =
dσ i (t )
, Ωi (s ) = s ⋅ Φ i (s )
dt
H 1 (s) =
Φ o (s )
Φ o (s )
K v ⋅ K d ⋅ F (s )
=
=
Ω i (s ) s ⋅ Φ i (s ) s[s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )]
Otras veces la salida que interesa es la señal v2 (t ) , que contiene la información sobre el error de fases, basta
con sustituir:
V2 (s ) ⋅
Kv
= Φ o (s )
s
V2 (s )
s ⋅ Φ o (s )
s ⋅ K d ⋅ F (s )
=
=
Φ i (s ) K v ⋅ Φ i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
Y también:
H 2 (s) =
Φ o (s )
K d ⋅ F (s )
V 2 (s )
1 Φ o (s )
s
=
⋅
=
⋅
=
Ω i (s ) K v s ⋅ Φ i (s ) K v Φ i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
Lazo de primer orden.
El orden del lazo es el orden de H (s ) =
Φ o (s )
Φ i (s )
En un lazo de primer orden F (s ) = A
Φ o (s )
Kv ⋅ Kd ⋅ A
;
=
Φ i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ A
H 2 (s) =
K d .A
V 2 (s )
=
Ω i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ A
de forma que el comportamiento del lazo es el de un filtro paso bajo.
Tomando K o = K v ⋅ K d ⋅ A , H 2 ( s ) =
Ko
V 2 (s )
=
Ω i (s ) s + K o
⎛ 1
⋅ ⎜⎜
⎝ Kv
⎞
⎟⎟
⎠
Esta es la respuesta que expresa la tensión que alimenta el VCO, en función de la frecuencia instantánea de la
señal de entrada. La respuesta impulsional correspondiente será:
h2 (t ) =
1-11
K 0 − K 0 ⋅t
⋅e
⋅ u (t )
Kv
La constante Ko se conoce como el ancho de banda del lazo. Si el lazo está enganchado a una frecuencia
portadora, y la frecuencia instantánea de entrada varía sinusoidalmente con frecuencia
ω m (ω i (t ) = Am ⋅ senω m t ) en la salida v2(t) veremos una señal senoidal de frecuencia ω m siempre que
ω m < K 0 . Cuando ω m crece por encima de Ko, la salida del lazo cae. Por tanto, el ancho de banda del lazo
es el ancho de banda efectivo para la señal moduladora que esté siendo demodulada por el PLL.
La figura siguiente muestra los polos de este filtro en el plano s en lazo cerrado y abierto y la respuesta
frecuencial en lazo cerrado:
lazo cerrado
V2 (ω )
Ω(ω )
lazo abierto
Kvv/rad
-Ko
K0
ω
En la figura se muestra la evolución de la tensión que alimenta el VCO cuando a la entrada se produce un
cambio de frecuencia (respuesta al escalón).
1
1
0.5
v1( n )
wi( n )
0
v2( n )
0.5
1
1
0
100
0
200
n
300
400
400
Utilizar un lazo de primer orden con F (s ) = A tiene algunas desventajas de tipo práctico. En el multiplicador
del detector de fase se genera la frecuencia suma, que será alimentada al VCO. Además, otras posibles señales
interferentes presentes en la señal, también entrarán. Por ello convendrá utilizar un filtro (un lazo de segundo
orden).
Lazo de segundo orden.
El filtro más común es: F (s ) =
y obtenemos que:
1
ω1
que responde al esquema de la figura con ω1 =
:
s + ω1
RC
V2 (s )
1
=
⋅
Ω i (s ) K v
1
2
s
s
+
1+
K d ⋅ K v ω1 ⋅ K d ⋅ K v
=
1
⋅
Kv
1
s
s2
+
1+
K o ω1 ⋅ K o
=
es un filtro de segundo orden.
1-12
Las raices son s1, 2 = −
ω1 ⎛⎜
4 K o ⎞⎟
⋅ ⎜1 ± 1 −
2 ⎝
ω1 ⎟⎠
Podemos poner: ω n = ω1 ⋅ K o y ω 1 = 2·ξ ·ω n ξ =
2
1 ω1
para obtener la forma típica en que se expresa
2 Ko
un sistema de segundo orden.
V2 (s ) 1
ωn
=
⋅ 2
Ω i (s ) K v s + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n s + ω n 2
2
Para lazo abierto (K0 =0), s1,2=-ω1, 0.
lazo cerrado
j ⋅ω
4KO
ωi
−1
− ω1
lazo abierto (Ko=0)
Para 0<K0<ω1/4 hay dos raíces reales. Los casos de interés se dan para K0>ω1/4, en el que las raíces son
complejas. En este caso, la respuesta al impulso es una senoide amortiguada:
h2 (t ) =
ω
− 1 ⋅t
⎛ω
K 0 ω1 4 K 0
⋅ ⋅
− 1·e 2 ⋅ sin ⎜⎜ 1
Kv 2
ω1
⎝ 2
⎞
− 1·t ⎟⎟·u (t )
ω1
⎠
4K0
Las siguientes figuras muestran la respuesta temporal y frecuencial de este sistema para diferentes valores del
factor de amortiguamiento (salvo la constante K0/Kv):
1-13
El ancho de banda del lazo es aproximadamente ω n =
ξ=
K 0 ·ω 1 . El factor de amortiguamiento
1 ω1
. Como vemos, el ancho de banda del lazo y el amortiguamiento no pueden fijarse de forma
2 Ko
independiente, lo cual sería muy conveniente. Además, como veremos, el margen de enganche es también
dependiente de K0. Así, a veces se desea un ancho de banda pequeño para rechazar adecuadamente
variaciones no deseadas de la frecuencia de entrada, y al mismo tiempo un gran margen de enganche, que
permita el funcionamiento del PLL para un gran rango de frecuencias de entrada. Para reducir el ancho de
banda del lazo en este caso, podríamos hacer ω1 muy pequeña, pero ello sería a costa de disminuir también
mucho el amortiguamiento, presentando entonces el sistema oscilaciones.
Otras configuraciones para F(s) llevan a un lazo más flexible y permiten fijar los parámetros de forma
independiente.
El valor conveniente para el ancho de banda del lazo depende del tipo de PLL: de seguimiento de portadora,
o de seguimiento de modulación. Un PLL de seguimiento de portadora está diseñado para recuperar la
portadora de la señal de entrada, que puede tener modulaciones de frecuencia o fase, o ruido de fase, y por
tanto el PLL debería tener un ancho de banda tan estrecho como fuera posible, eliminando así dichas
variaciones a la salida. Los PLLs de seguimiento de modulaciones están diseñados para trabajar como
discriminadores de frecuencia (demoduladores de FM) en los que la salida del filtro debería reproducir el
espectro de banda base que modula en frecuencia o fase a la portadora. En este caso, el ancho de banda del
lazo debería de ser mayor que la mayor frecuencia moduladora.
Margen de enganche.
Hemos visto que la frecuencia de salida del oscilador:
ω o (t ) = K v ⋅ v2 (t ) = K v ⋅ K d ⋅ {senσ e (t ) ∗ f (t )}
1-14
Cuando σ e (t ) > π
2
, el valor de v2 (t ) empezará a caer de forma no deseada.
Estaremos en enganche, así que el valor máximo que podrá seguir el VCO:
∆ω 0 MAX ≈ K v ⋅ K d ⋅1 ⋅ A = K o
Lo mismo ocurre si la diferencia se produce en el sentido contrario, es decir para σ e (t ) < π
2
Margen de captura.
Supongamos que el lazo está abierto (detrás del filtro), y se aplica a la entrada una señal con frecuencia
distinta de la libre del VCO. A la salida del detector:
v1 (t ) = K d ⋅ sen{σ i (t ) − σ o (t )} = K d ⋅ sen{(ω i − ω o ) ⋅ t}.
A la salida del filtro: v2 (t ) = K d ⋅ F (ω i − ω o ) ⋅ sen{(ω i − ω o )t + φ } ; φ = F (ω i − ω o ) ,
y su valor máximo, con el factor de ganancia del VCO será la frecuencia de captura:
ω captura = V2 ⋅ K v = K d ⋅ K v ⋅ F ⋅ (ω i − ω o )
Si comparamos las frecuencias de enganche y de captura, para 1er orden son iguales, ya que
F (ω i − ω o ) = A . Para 2º orden, normalmente F (ω i − ω o ) < A (ganancia del filtro), y ωcaptura<ωenganche
2ω L
fo
− ωc
ωc
fo
ωL
f in
2ω c
Análisis del error de fase en régimen permanente.
Interesa el estudio del error de fase en régimen permanente, y en concreto el cálculo de Lim σ e (t ) , con
t →∞
objeto de estudiar qué ocurre ante variaciones de la fase o la frecuencia de la señal de entrada.
Para el cálculo del límite del error, aplicamos:
Lim σ e (t ) = Lim s·φ e ( s ) = Lim s ⋅
t →∞
φe (s ) =
1-15
s →0
s →0
s
⋅ φ i (s )
s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
V 2 (s )
s2
= Lim
⋅ φ i (s )
K D F (s ) s →0 s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
Típicamente se estudian tres casos:
a) A la entrada tenemos un escalón (salto) en la fase: φi (s ) =
φi
s
.
φ
s2
⋅ i
s → 0 s + K v ⋅ K d ⋅ F (s ) s
Lim σ e (t ) = Lim
t →∞
Considerando
que
F(s)
es
de
tipo
paso
bajo,
en
general
F(0)=A,
por
lo
que:
2
Lim
s →0
s
⋅φ = 0
(s + K v ⋅ K d · A ) ⋅ s i
Esto significa que ante un cambio brusco en la fase de la señal de entrada, el sistema será capaz de
recuperarse, tras un transitorio, volviendo a la situación de enganche anterior.
b) A la entrada tenemos un salto de frecuencia: ∆ω → Ω i (s ) =
∆ω
∆ω
→ φ i (s ) = 2 .
s
s
s2
∆ω
∆ω
⋅
=
Kv ⋅ Kd ⋅ A
s → 0 s + K v ⋅ K d ⋅ F (s ) s 2
Lim σ e (t ) = Lim
t →∞
para cualquier orden del lazo.
De esta forma, se obtiene un error de fase constante, que podemos hacer más pequeño haciendo K0 grande.
c)A la entrada tenemos una rampa de frecuencia: ω i (s ) =
∆ω
∆ω
→ φi (s ) = 3 .
2
s
s
σ e (t ) → ∞ si F (s ) = A : el lazo de primer orden no será capaz de responder a rampas de frecuencia en la
entrada.
Para el lazo de segundo orden, con F (s ) = A ⋅
Lim σ e (t ) =
t →∞
∆ω
0 + Kv ⋅ Kd ⋅
ω11
s + ω1
⋅
ω1
:
s + ω1
1
→∞
s
Sin embargo existen otras configuraciones para F(s), que también dan lazos de segundo orden, que permiten
obtener errores finitos de fase para rampas de frecuencia en la entrada.
1-16
1-17
1.4.4
DETECCIÓN FM
Un caso particular de aplicación del PLL es como demodulador de señales FM (PLL de seguimiento de
modulación). Si consideramos que la señal de entrada al PLL es una señal modulada en FM:
t
σ i (t ) = K w ∫ m(λ )dλ y Φ i ( s) = K w
−∞
M ( s)
s
siendo Kw rad/s·v (2πHz/v)la constante de desviación de frecuencia de la modulación, y m(t) el mensaje.
Tomando la función de transferencia:
s ⋅ K d ⋅ F (s )
K
V2 (s )
y s = j·2·π · f , V2 ( f ) = M ( f )· w ·
=
Φ i (s ) s + K v ⋅ K d ⋅ F (s )
Kv
F( f )
j·2π · f
F( f ) +
K v ·K D
F(f) será de tipo paso bajo. Si el ancho de banda de M(f) se encuentra en la banda de paso de F(f), y si se
cumple que
ω
Kv K D
<< F (0) , entonces, V2 ( f ) ≅
Kw
·M ( f ) .
Kv
La condición anterior limitará el ancho de banda de la señal moduladora m(t) a B <<
1.4.5
K0
Hz.
2π
EL LAZO DE COSTAS
La señal modulada DSB s (t ) = Ac ⋅ m(t ) ⋅ cos ω c t no tiene componente en ω c si el mensaje no tiene
componente continua. Por eso un PLL convencional no podrá engancharse a esa frecuencia. Una posibilidad
para realizar la detección es formar la señal al cuadrado:
⎛ 1 + cos 2ω c t ⎞
s 2 (t ) = Ac2 m 2 (t ) ⋅ cos 2ω c t = Ac ⋅ m 2 (t ) ⋅ ⎜
⎟
2
⎝
⎠
y como m 2 (t ) sí tiene componente continua podemos extraer la frecuencia 2fc de m 2 (t ) ⋅ cos 2ω c t .
Otra posibilidad más elaborada es utilizar el LAZO DE COSTAS.
El Lazo de Costas se basa en un VCO, y tiene un esquema basado en un PLL:
s1(t )
s(t )
m(t ) ⋅ cos(ω c t + φ i )
VCO
π
LPF
F(s)
2
s 2 (t )
LPF
m(t )
1-18
Calculamos las señales del sistema en régimen permanente (lazo enganchado). Consideramos la salida del
VCO como cos(ω c t + σ 0 ) .
s1 (t ) =
1
{m(t ) ⋅ cos(2ωc t + σ i + σ o ) + m(t ) ⋅ cos(σ i − σ o )}
2
s 2 (t ) =
1
{m(t ) ⋅ sin (2ωc t + σ i + σ o ) + m(t ) ⋅ sin (σ i − σ o )}
2
Tras el filtrado LPF:
1
m(t ) ⋅ cos(σ i − σ o )
2
1
sC (t ) = m(t ) ⋅ sin (σ i − σ o )
2
s F (t ) =
q(t ) = s F (t ) ⋅ sc (t ) =
1 2
1
m (t ) cos σ e ⋅ sin σ e = m 2 (t ) ⋅ sin 2σ e
4
8
Si el error es pequeño sin 2σ e ≈ 2σ e
q(t ) ≈
1 2
m (t ) ⋅ σ e
4
El filtro F(s) será de tipo paso bajo, de forma que actuará como un integrador para m2(t), obteniendo la
energía del mensaje, que se supone que es constante, de forma que a la salida obtendremos una señal
proporcional a σ e que será capaz de corregir las variaciones de frecuencia y fase de la señal de entrada, de
forma análoga a como lo hace el PLL.
Implementación discreta del lazo de Costas.
El PLL y el lazo de Costas estudiados pueden analizarse en el dominio discreto. Aquí estudiaremos
simplemente una posible implementación discreta del Lazo de Costas.
Vamos a considerar la siguiente implementación discreta:
1-19
s(n )
c1 (nT )
c(nT )
s + (n )
T.Hilbert
e − jσ (nT )
e
q(nT )
− j (⋅ )
σ (nT )
x(n)
z −1
c1(nT )
F (z )
ω cT
α
2πKvT
β
1 − γz −1
VCO
Las líneas continuas indican parte real, y las discontinuas parte imaginaria. Supongamos a la entrada una señal
modulada en DBL y muestreada a velocidad 1/T: s (nT ) = Ac ⋅ m(nT ) ⋅ cos(ω c nT + σ i ) , en donde m(nT)
es el mensaje.
Formamos la señal analítica: s + (nT ) = s (nT ) + jsˆ(nT )
y multiplicamos por el fasor s + (nT ) ⋅ e − jσ (nT ) = c(nT ) , obteniendo el equivalente paso bajo de s(nT).
A continuación calculamos las partes real e imaginaria del equivalente paso bajo c(nT):
{
}
{
c1 (nT ) = ℜe s + (nT ) ⋅ e − jσ (nT ) , c 2 (nT ) = ℑ s + (nT ) ⋅ e − jσ (nT )
}
c(nT ) = Ac ⋅ m(nT ) ⋅ e j (ω c nT + σ i ) ⋅ e − j (ω c nT +σ 0 ) = Ac ⋅ m(nT ) ⋅ e j (σ i −σ 0 )
c1 (nT ) = ℜe{c(nT )} = Ac ⋅ m(nT ) ⋅ cos(σ i − σ o )
c 2 (nT ) = Im{c(nT )} = Ac ⋅ m(nT ) ⋅ sin (σ i − σ o )
σi −σ0 = σe
cuando σ e = 0, c1 (nT ) = Ac m(nT ) y c 2 (nT ) = 0
Por eso una estrategia para declarar el lazo enganchado es calcular c 22 (nT ) , filtrarlo paso bajo y decidir si
está enganchado o no según su valor esté por debajo o por encima de un cierto umbral. En condiciones de
lazo enganchado, la señal en c1(nT) será la señal demodulada.
Formamos q(nT), multiplicando las partes real e imaginaria del equivalente paso-bajo:
1-20
q(nT ) = c1 (nT ) ⋅ c 2 (nT ) = Ac 2 ⋅ m 2 (nT ) ⋅ cos(σ i − σ o ) ⋅ sen(σ i − σ o ) =
1 2
Ac ⋅ m 2 (nT ) ⋅ sen2σ e
2
Si el error es pequeño: q (nT ) ≈ Ac ⋅ m 2 (nT ) ⋅ σ e .
2
VCO:
Analizamos ahora la implementación del VCO. Sabemos que en un VCO:
f (t ) = f 0 + K v x(t )
σ (t ) = 2π ∫
t
−∞
f (λ )dλ = 2π ∫
t
t
( f + K v x(λ ))dλ = 2πf 0 t + K v 2π ∫ x(λ )dλ
−∞ 0
−∞
En un sistema discreto, t=nT, y la integración es una suma:
n
σ (nT ) = 2πf 0 nT + 2πK v ∑ x(l )T
−∞
Si calculamos σ ((n − 1)T ) :
n −1
σ ((n − 1)T ) = 2πf 0 nT − 2πf 0T + 2πK v ∑ x(l )T
−∞
y entonces σ (nT ) = σ ((n − 1)T ) + 2πf 0T + 2πK vTx (n)
que se corresponde con el esquema:
2πf0T
X(n)2πKvT
σ(nT)
Z-1
Al integrar el esquema anterior en el esquema general, nos encontramos con que x(nT) no está
disponible, ya que se calcula a partir de σ(nT). Por eso, tendremos un retardo de una muestra, y utilizaremos
x((n-1)T):
σ (nT ) = σ ((n − 1)T ) + 2πf 0T + 2πK vTx(n − 1)
que se corresponde con el esquema:
1-21
2πf0T
X(n)2πKvT
X(n-1)2πKvT
σ(nT)
Z-1
Z-1
equivalente a:
2πf0T
X(n)2πKvT
σ(nT)
Z-1
Podemos comprobarlo:
σ (nT ) + x(n)2πK vT + 2πf 0T = σ ((n + 1)T )
σ ((n − 1)T ) + x(n − 1)2πK vT + 2πf 0T = σ ((n)T )
Analizamos ahora el filtro F(z):
q (nT )
β
σ (nT )
1 − z −1
σ (nT )
β
z −1
σ (nT ) = β ⋅ q(nT ) + σ [(n − 1)T ]
El subsistema anterior actúa como un integrador.
1-22
F (z ) = α +
β
1− z
−1
=
α ⋅ (1 − z
−1
1− z
)+ β = α + β − α ⋅ z
−1
El filtro F(z) tiene un cero en z 0 =
1− z
α
α+β
−1
−1
= (α + β )
1−
α
α+β
⋅ z −1
1 − z −1
< 1 y un polo en z p = 1 , de forma que actúa como filtro paso
bajo.
1.5
EJERCICIOS
1.5.1
PROBLEMA 1
Deduce y dibuja el esquema de un VCO discreto.
1.5.2
PROBLEMA 2
El VCO de un PLL de primer orden tiene una constante de desviación de frecuencia Kv=2π·1kHz/v. La
constante de lazo vale K0=2·π·500s-1 y la frecuencia de libre oscilación del PLL es de 500Hz (a dicha
frecuencia la tensión de control del VCO es de 0v.).
a) Para una frecuencia de entrada constante e igual a 250Hz, encuentre el valor de la tensión de control
del VCO.
b) Dibuje el modelo lineal del PLL, y calcule la función de transferencia Vc(s)/Ωi(s), en donde vc(t) es la
tensión de control del VCO y ωi(t) la pulsación instantánea de la señal de entrada.
c) Dibuje la respuesta frecuencial del PLL calculada en el apartado b. Suponiendo el lazo enganchado a
una frecuencia de 500Hz, dibuje la respuesta que obtendría para una entrada de la forma:
ω i (t ) = 2·π ·250·u (t ) )
d) Calcule cuál será la tensión de control del VCO vc(t) cuando a la entrada tengamos una señal
modulada en FM x(t ) = 10·sin(2·π ·500·t − 0.5·cos 2·π ·100·t ) .
1.5.3
PROBLEMA 3
Demuestre que el Lazo de Costas puede utilizarse para demodular una señal modulada en banda lateral única
ˆ (t ) sin ω 0 t
(considere que la señal a la entrada del lazo de Costas es s (t ) = m(t ) cos ω 0 t − m
1.5.4
PROBLEMA 5
Un avión de alta tecnología transmite una portadora sin modular a un terminal terrestre, en que se dispone de
un PLL con filtro de lazo F(s)=N(s)/D(s). El PLL está inicialmente en situación de enganche con la señal
transmitida por el avión. En t=0, el avión realiza una maniobra cuya dinámica queda descrita con la ecuación
de la aceleración del avión, a(t)=A·t2, en donde A es una constante y a(t) es la aceleración. El movimiento
relativo del avión con respecto a la estación causará un desplazamiento Doppler en la frecuencia recibida de
∆f D (t ) =
f0
· v(t ) , en donde v(t) es la velocidad del avión. ¿De qué orden debe de ser como mínimo el PLL
c
para poder seguir la frecuencia recibida? Justifique su respuesta.
Pista: Considere que pueden aplicarse las ecuaciones lineales del PLL. Calcule el error de fase en régimen
permanente, y analice cuándo puede hacerse cero.
1-23
1-24
1.6
BIBLIOGRAFÍA
A. Bruce Carlson. Communicactions Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications.
McGraw-Hill, 3ªEd. 1986
Ferrel G. Stremler. “Introduction to Communications Systems”.Addison-Wesley, 3ª Ed. 1990
Paul R. Gray, Robert G. Meyer. “Analysis and Design of Analog Integrated Circuits (Cap.10, aptdo 4—PLLs) “John
Wiley & Sons, 1984
Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K. Sam Shanmugan. “Simulation of Communicaction Systems”. Plenum Press,
1994
J.C. Bic, D. Duponteil, J.C. Imbeaux. “Elements of Digital Communicaction”. John Wiley & Sons, 1991
Roland E. Best Phase-Locked Loops Design, Simulation & Applications McGraw-Hill, 3ªEd. 1997
1-25