E J E R C I C I O S D E E C U A C I O N E S José Antonio Martín A.Triana obreoteraros.blogspot.com payeymaye@ono.com D I O F A N T I C A S ² - 36 x - 153 y = ECUACIONES DIOFANTICAS.- 7 x 7x 448 ² -36 x - ( 448 + 153 y ) = 0 x = 36 ( 1296 + 12544 + 4284 y )¹/ ² : 14 ; 12544 + 1296 ≡ 988 ( módulo 4284 ) 4284 = 7 x 9 x 34 x 2 = 63 x 68 988 ≡ 13 ²≡ 43 ( módulo 63 ) ; 988 ≡ 36 ( módulo 68 ) 43 ( módulo 63 ) ; 62 ² ≡ 36 ( módulo 68 ) 62 - 13 = 49 ; a = ( 68 b - 49 ) : 63 = 37 37 x 63 = 2331 ; 2318 ²≡ 2331 - 13 = 2318 988 ( módulo 4284 ) ; 1966 ²≡ 988 ( módulo 4284 ) x = [ 36 ± 2318 ] : 14 = - 163 ; + 168,42 ; x = [ 36 ± 1966 ] : 14 = + 143 ; - 137,85 soluciones enteras : x = 143........................ y = 899 X = -163....................... y = 1251 ahora consideramos los factores de 4284 , 4284 = 36 x 119 988 ≡ 4 6-4=2 ; ²≡ 16 ( módulo 36 ) ; 988 ≡ 16 ( módulo 36 ) ; 6 a = [119 b - 2 ] : 36 = 33 ; 1184 ² ≡ ² 36 ≡ ( módulo 119 ) 36 ( módulo 119 ) ( 33 x 36 ) - 4 = 1184 988 ( módulo 4284 ) ; 3100 ² ≡ 988 ( módulo 4284 ) x = [ 36±1184]:14= 858,57 , - 82 ; x = [36 ± 3100 ]:14 = 224 ; - 218,85 soluciones enteras : x = - 82 ....................................... y = 324 x = 224........................................ y = 2240 Igualmente,tomando : 4284 = 28 x 153 988 ≡ 8 ( módulo 28 ) 988 ≡ 70 ( módulo 153 ) 6 ² ≡ 8 ( módulo 28 ) 23 ² ≡ 70 ( módulo 153 ) 23 - 6 = 17 a = [153 b - 17 ]: 28 = 136 ( 136 x 28 ) - 6 = 3802 3802 ² ≡ 988 ( módulo 4284 ) ; x = [36 ± 3802 ] = 274,14 ; -269 ; x= 482 ²≡ 988 ( módulo 4284 ) x = [36 ± 482 ] :14 = 37 ; -31,85 37 ............................................ y = 51 x = - 269............................................. y = 3371 -------------------------------------------------------------ECUACIONES DIOFANTICAS.- 47 x ²- 179 y = 1.137.550 47 x ² - 179 y = 1.137.550 ; 47 x ² = 47 n ; 1.137.550 ≡ 47 n 5 ( módulo 179 ) ≡ 5 ( módulo 179 ) probamos , 47 47 47 47 x 4 ≡ 9 ( módulo 179 ) x 8 ≡ 18 ( módulo 179 ) x 76 ≡ 171 ( módulo 179 ) x 80 ≡ 1 ( módulo 179 ) 47 x 80 x 5 ≡ 5 ( módulo 179 ) 47 x 42 ≡ 5 ( módulo 179 ) n = 42 14 ² ≡ 17 ( módulo 179 ) ; 15 ² ≡ 46 ( módulo 179 los residuos cuadráticos serán sucesivamente , 17-46-77-10-145-182-42 42 corresponde a 20 ² 159 ² ≡ 20 ² ≡ 42 ( módulo 179 ) 42 ( módulo 179 ) x = 159 ............................ y = 283 x= 20............................. y = - 62,50 igualmente serán soluciones válidas x = ( 20 ó 179 ) + 179 a ECUACIONES DIOFANTICAS.- 311 x - 137 y = 10568 10568 ≡ 19 ( módulo 137 ) ; 311 n ≡ 19 ( módulo 137 ) 311 x 3 ≡ 111 ( módulo 137 ) ; 311 x 4 ≡ 11 ( módulo 137 ) ; 311 x 36 ≡ 99 ( módulo137 ) 311 x 101 ≡ 38 ( módulo 137 ) ; 311 x ( 101 + 137)/2 = 311 x 119 ≡ 19 ( módulo 137 ) X = 11 ; y= x = 119 + 137 = 256 ; 193 y = 193 + 311 = 504 x = 119 + (2 x 137 ) = 393 ; y = 193 + (2 x 311 ) = 815 ------------------------------------------------------------------------- ECUACIONES DIOFANTICAS.- 123 x 330.201.002 = 330.201.002 ≡ 57 ( módulo 85 ) 123- 85 = 38 ; n ³ - 85 y ³≡ módulo 85 -------------------------------38 1 divid. por 2 19 43 multip.por 3 57 44 44 ( módulo 85 ) ; n = 54 ; 54 ³≡ 44 ( módulo 85 ) 330.201.002 : 123 = 2684.560,99... su raíz cúbica aprox....> 139 54 + 85 = 139 = x................................ 1531 = y 54 + (2x85) = 224 = x...........................12.379.390 = y 54 + (3 x 85 ) = 309 = x.......................... 38.808.769 = y ECUACIONES DIOFANTICAS.- 30 x 99.912 ≡ 10 ( módulo 22 ) ; ² - 22 y ² = 99.912 módulo 22 ----------------------------30 1 divid.por 3..... 10 15 15 tiene que ser resto cuadrático , módulo 22. 13 ² ≡ 15 ( módulo 22 ) 99912 : 30 = 3.330,40................... su raíz cuadrada aprox............> 57 ( 22 x 7 ) + 13 = 167 ; X = 167....................... y = 183 obtendríamos el mismo resultado : 99912 ≡ 12 ( módulo 30 ) ² ≡ 9 ( módulo 30 ) n módulo 30 ------------------------22 1 divid.por 11 2 11 multipl.por 9 18 9 3 ² ≡ 9 ( módulo 30 ) x = 167............................. y = 183 otros valores serían: x = (22 x 9 )+ 13= 211....................y = 237 x = ( 22 x 30 ) + 13 = 673..................y = 783 -----------------------------------------------------------ECUACIONES DIOFANTICAS.- 58 x ⁴ - 39 y = 811 811 : 58 = 13,90 ; raíz cuarta de 13,90...................... 1,93 aprox. 58 - 39 = 19 módulo 39 --------------------------------19 1 divid.por 19.... 1 37 multip.por 31.. 31 16 ó 29 16 elevado a la cuarta potencia es congruente 16 , para módulo 39 16 = x................................ y = 97.443 (16 + 39 ) = 55 = x................................ y = 13.608.601 ECUACIONES DIOFANTICAS.- 7 x ⁴ - 851 y ² = 34.151 34151 ≡ 111 ( módulo 851 ) 851 + 7 = 858 ; 851 = 23 x 37 851 ------------------------858 1 divid.por 2.... 429 426 " " 3.... 143 142 " " 11.. 13 245 " " 13.. 1 608 multp.por 111. 111 259 259 ≡ 0 ( módulo 37 ) 259 ≡ 6 ( módulo 23 ) 37⁴ ≡ 0 ( módulo 37 ) 9⁴ ≡ 6 ( módulo 23 ) 37 - 9 = 28 a = (37 b - 28) : 23 = 2 ; 2 x 23 = 46 ; 46 - 9 = 37 x = 37..................... y = 124 ------------------------------------------------------------- ECUACIONES DIOFANTICAS.- 16 x 233.835.312 ⁵ - 817 y ³ = 223.835.312 ≡ 188 ( módulo 817 ) módulo 817 --------------------------833 1 divid.por 10.... 165 572 " " 5.... 33 768 " " 11... 3 664 " " 3.... 1 766 multp.por 188.. 188 216 817 + 16 = 833 817 = 43 x 19 216 ≡ 1 ( módulo 43 ) ; 216 ≡ 7 ( módulo 19 ) 1⁵ ≡ 1 - 11 = - 10 ; 1 ( módulo 43 ) ; 11⁵ ≡ 7 ( módulo 19 ) a = [ 19 b - (-10) ] : 43 = 2 2 x 43 = 86 ; 86 - ( - 1) = 87 x = 87........................ y = 460