Calculadora Erlang

Universidad Veracruzana
Facultad de Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones
Región Poza Rica Tuxpan
Calculadora Erlang
Trabajo recepcional en la modalidad de monografía para obtener el Título de Ingeniero en Electrónica y Comunicaciones
Presentan:
Cruz García Deisy Anabel
Hernández Bautista Oswaldo Sahid
Director del trabajo práctico educativo: M.C. María Inés Cruz Orduña
Asesor del trabajo práctico educativo: Ing.
Revisor del trabajo práctico educativo: Ing.
CAPITULO 1 ....................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
1.1 Introducción .................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
1.2 Justificación .................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
1.3 Objetivo .......................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
1.4 Alcances y limitaciones .................................................. ¡Error! Marcador no definido.
1.5 Resumen ......................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
CAPITULO 2 ....................................................................................................................... 82
2.1 Telefonía IP .................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
2.2 Diagrama de una red telefónica IP ................................. ¡Error! Marcador no definido.
2.3 Conmutación................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
CAPITULO 3 ....................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
3.1 Teoría de colas ................................................................ ¡Error! Marcador no definido.
3.2 Distribución de Poisson .................................................. ¡Error! Marcador no definido.
3.3 Tráfico de datos .............................................................. ¡Error! Marcador no definido.
CAPITULO 4 ....................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
4.1 Modelo de Tráfico .......................................................... ¡Error! Marcador no definido.
4.1.1 El modelo de Erlang B ................................................ ¡Error! Marcador no definido.
4.1.2 Introducción a la calculadora Erlang B ....................... ¡Error! Marcador no definido.
4.1.3 Introducción a la Calculadora Extended Erlang B ...... ¡Error! Marcador no definido.
4.2 Calculadora de Erlang C ................................................. ¡Error! Marcador no definido.
4.2.1 El modelo de tráfico Erlang C ..................................... ¡Error! Marcador no definido.
INDICE DE FIGURAS
Fig. 2.1 Ejemplo de un router………………………………….
Fig. 2.2 ATA (adaptador telefónico analógico)……………………….
Fig. 2.3 Conmutador con Asterisk PBX……………………………
Fig. 2.4 Tarjetas de Red Digium………………………..
Fig. 2.5 Ejemplo de conmutación básica………………………
Fig. 2.6 Ejemplo del método de tratamiento de los paquetes por parte de la red………..
Fig. 2.7 Red de conmutación publica………………………………………………..
Fig. 2.8 Evolucionando a sistemas “full IP”………………………………………….
Fig. 3.1 Modelo de una sola cola con un único servidor……………………
Fig. 3.2 Modelo de una sola cola con dos servidores……………………..
Fig. 3.3 Elementos principales de un sistema de colas……………………..
Fig. 3.4 Clasificación del modelo de colas………………….
Fig. 3.5 Tipos de sistemas……………………………
Fig. 3.6 Representación gráfica de la distribución de Poisson……………………………
Fig. 3.7 Modelo de tráfico para Poisson……………………………………………
Fig. 3.8 Distribución típica del ACHT……………………………………
Fig. 3.9 Distribución típica del tráfico en un sistema telefónico………………………
Fig. 3.10 Modelo de tráfico para Erlang B………………………
Fig. 3.11 Modelo de tráfico para Erlang B extendido……………………..
Fig. 3.12 Modelo de tráfico para Erlang C…………………….
Fig. 3.13 Tipos de tráfico………………………………….
Fig. 4.1 Modelos de Erlang…………………………………………
Fig. 4.2 Tabla de probabilidad……………………………………………
Fig. 4.3 Ejemplo de Erlang B…………………………………………….
Fig. 4.4 Ejemplo de Calculadora con Erlang B……………………….
Fig. 4.5 Ejemplo de Calculadora con Erlang B……………………………
Fig. 4.6 Ejemplo de Erlang B extendido…………………………..
Fig. 4.7 Erlang B extendido…………………………….
Fig.4.8 Ejemplo de la calculadora de Erlang B Extendido……………………….
Fig. 4.9 ……………………………………………………………………………
Fig. 4.10 Un ejemplo de la calculadora de Erlang C………………………………..
Fig.4.11 Demostración de lo escrito anteriormente………………………………………
INDICE DE TABLAS
Tabla I. Comparación entre protocolos SIP y H.323……………………………………….
Tabla II. Cuadro comparativo de codecs……………………………………………………
Tabla III. Características de los servicios para cada DSCP……………………………..
Tabla IV. Distribución de Poisson……………………….
Tabla V. Distribución de Poisson………………………..
Tabla IV. Distribución de Poisson ……………………….
Tabla VI. Distribución de Poisson ………………………….
Tabla VII. Distribución de Poisson …………………………..
Tabla VIII. Distribución de Poisson……………………………….
Tabla IX. Distribución de Poisson ……………………………….
Tabla X. Distribución de Poisson ……………………………………..
Tabla XI. Distribución de Poisson ……………………………………
Tabla XII. Distribución de Poisson ……………………………………
Tabla XIII. Distribución de Poisson ……………………………………
Tabla XIV. Distribución de Poisson ……………………………………
Tabla XV. Ejemplo del Modelo Erlang B……………………………..
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN
La tecnología ha avanzado rápidamente a lo largo de los años innovando la comunicación
entre los seres humanos. Desde el principio de las telecomunicaciones dos han sido las
principales opciones para llevar a cabo una comunicación, cable o por aire.
El proceso de la comunicación puede ser entre elementos conectados entre sí. Las redes que
permiten todo esto, son equipos avanzados y complejos; su eficacia se basa en el uso de
muy diversos componentes. El diseño e implementación de una red mundial de
comunicaciones es uno de los grandes milagros tecnológicos de las últimas décadas.
La red telefónica aplica los procedimientos para establecer un enlace entre dos aparatos
para determinar los dispositivos que se establecen en el menor tiempo y con la mayor
calidad posible, en el momento en que el usuario establece comunicación con otro. Esta
forma parte de la manera más compleja que es denominada red de telecomunicaciones y
está formada por sistemas de transmisión y equipos de conmutación que permiten la
transmisión de señales.
La telecomunicación consistente en transmitir un mensaje desde un punto a otro a grandes
distancias, normalmente con el atributo típico adicional de ser bidireccional. Los primeros
medios de telecomunicaciones tenían como base la repetición de sonidos rítmicos que eran
escuchados a distancia como son los tambores, posteriormente avanzaron los
conocimientos y se utilizaron lámparas, banderas, señales de humo, etc.
Las telecomunicaciones tienen realmente el comienzo en la primera mitad del siglo XIX
con la invención del telégrafo eléctrico, que permitió enviar mensajes cuyo contenido eran
letras y números. Más tarde se desarrolló el teléfono con el que fue posible comunicarse
usando la voz y posteriormente la revolución de la comunicación inalámbrica: las ondas de
radio.
El teléfono es un dispositivo de telecomunicación cuyo objetivo primordial es transmitir
señales de voz a través de señales eléctricas. (Rellenar con los inventores del teléfono)
Históricamente la invención del teléfono se le atribuyo al escocés-norteamericano
Alexander Graham Bell; no obstante, en junio de 2002, el Congreso de Estados Unidos
reconoció que el teléfono fue concebido por un desconocido inmigrante italiano llamado
Antonio Meucci. Tal como lo han afirmado desde décadas los libros de texto en Italia, el
inventor italiano Antonio Meucci es el verdadero inventor del teléfono.
JUSTIFICACIÓN
Mucho se habla acerca de la velocidad de transmisión de datos, de la capacidad de canal,
del ancho de banda, estos términos están asociados a información digital ya sea voz o datos;
la telefonía hoy en día utiliza la trama E1 o S1 para transmitir mensajes a través de las redes
telefónicas pero poco se sabe o se habla acerca de la unidad de medida de tráfico en la
telefonía, el Erlang, por ello, en este trabajo se aborda ese tema de gran importancia para la
telefonía.
OBJETIVO
Hablar de telefonía es hablar de numerosos conceptos ligados tanto a su estudio y
aplicaciones, las redes telefónicas son arquitecturas de telecomunicaciones que integran un
gran número de dispositivos y de enlaces. Dependiendo de los servicios que presten y su
tamaño, las redes telefónicas pueden ser muy complejas y emplear una gran variedad de
tecnologías. Para poder tener una red telefónica adecuada es necesario contar con una
central telefónica, ella es la encargada de establecer los circuitos temporales (conmutación
de circuitos), así como administrar el tráfico que se genera en la misma.
El objetivo del presente trabajo es hacer una investigación y realizar ejercicios con la
calculadora acerca de la unidad de medida de tráfico “Erlang” que se genera durante la
conmutación de circuitos en una central telefónica así como de los diferentes tipos de
Erlang que existen y su importancia para la administración de llamadas tanto en telefonía
fija.
ANTEDECENTES
Alrededor del año 1857 Antonio Meucci construyó un teléfono para conectar su oficina con
su dormitorio, ubicado en el segundo piso, debido al reumatismo de su esposa.
Sin embargo carecía del dinero suficiente para patentar su invento, por lo que lo presentó a
una empresa que no le prestó atención, pero que, tampoco le devolvió los materiales. Al
parecer, y esto no está probado, estos materiales cayeron en manos de Alexander Graham
Bell, que se sirvió de ellos para desarrollar su teléfono y lo presentó como propio.
En 1876, tras haber descubierto que para transmitir voz humana sólo se podía utilizar una
corriente continua, el inventor estadounidense de origen escocés Alexander Graham Bell
construyó y patentó unas horas antes que su compatriota Elisha Gray el primer teléfono
capaz de transmitir y recibir voz humana con toda su calidad y timbre. Tampoco se debe
dejar de lado a Thomas Alba Edison, que introdujo notables mejoras en el sistema, entre las
que se encuentra el micrófono de gránulos de carbón.
El 11 de junio de 2002 el Congreso de los Estados Unidos aprobó la resolución 269, por la
que reconoció que el inventor del teléfono había sido Antonio Meucci y no Alexander
Graham Bell. En la resolución, aprobada por unanimidad, los representantes
estadounidenses estiman que "la vida y obra de Antonio Meucci debe ser reconocida
legalmente, y que su trabajo en la invención del teléfono debe ser admitida". Según el texto
de esta resolución, Antonio Meucci instaló un dispositivo rudimentario de
telecomunicaciones entre el sótano de su casa de Staten Island (Nueva York) y la
habitación de su mujer, en la primera planta.
En 1860 el invento de Meucci fue publicado en un periódico para la comunidad italiana que
circulaba en New York y para 1862 ya tenía más de treinta modelos de su “electrófono” y
había instalado unos en su casa, para facilitar la comunicación con su esposa que padecía de
artritis y difícilmente podía desplazarse.
Con el fin de recolectar dinero para materiales, Meucci vendía sus prototipos a $6 dólares.
Pero no le fue posible conseguir $250 dólares para patentar su “Telégrafo Parlante”. Lo
único que pudo hacer con el dinero que tenía, fue dejar una notificación de patente
pendiente renovable a un año y tristemente tres años después, no consiguió $10 dólares
para renovarla.
Pensando en un patrocinador o en una gran compañía que comprara su invento. Meucci
envió un prototipo mejorado con planos, documentos y todos los detalles técnicos a
Western Union Telegraph Company, pero nunca fue posible arreglar una reunión con tan
ocupados ejecutivos. En 1874, en vista de la falta de interés regresó a las oficinas
reclamando el material dejado y curiosamente le contestaron que se había perdido. Dos
años después, Alexander Graham Bell, quien había compartido un laboratorio con Meucci
por largo tiempo, llenó la forma de la patente del teléfono, se convirtió en una celebridad y
logró un fabuloso contrato con la Western Union.
ELEMENTOS BÁSICOS DEL TELÉFONO




Microteléfono
Micrófono
Auricular
Unidad de marcación
Pulso
Frecuencia
Timbre
Circuito de regulación de la transmisión.
MICROTELEFONO
Es la pieza que se desprende de la base, con la cual se habla y escucha. Incluye el
micrófono (elemento transmisor) y el auricular (elemento receptor). Cuando el
usuario levanta el microteléfono se inicia el proceso de comunicación entre dicho
aparato y la central telefónica a la que está conectado este. En ese momento, el
gancho conmutador que tenía apagado el circuito eléctrico del teléfono por su peso,
se levanta y la corriente eléctrica circula por dicho circuito; el aparato recibe de la
central la señal que le indica al usuario que puede marcar el número del cliente con
el que desea comunicarse. Luego el teléfono transmite a la central las señales
definidas por los dígitos marcados por medio de la unidad de disco o teclado, según
el tipo de aparato que se use.
El microteléfono a su vez está compuesto por los siguientes elementos:
El micrófono o transmisor convierte la energía acústica en voz del usuario en
señales eléctricas por medio de unas placas metálicas entre las cuales se hayan unas
partículas de carbón, las cuales se comprimen poco o mucho dependiendo de la
intensidad y frecuencia que tenga la voz de quien habla. Esta compresión modifica
la corriente que pasa por el micrófono, lo que da como resultado que la señal
eléctrica varíe constantemente mientras habla el usuario. Dicha señal llega a la
central telefónica y esta se envía al teléfono de su interlocutor. Cuando este
responde, su voz repite el proceso descrito, de modo que el primer aparato llegara la
señal eléctrica originada en el segundo.
El auricular o receptor consiste en un arrollado eléctrico sobre un imán permanente,
al frente del cual se halla una membrana metálica. La corriente que pasa por el
auricular varia en intensidad y frecuencia según la modifique la voz del interlocutor,
igual a lo que ocurre con el usuario que inicio la llamada, como ya se explicó. Esta
variación produce una fluctuación de la intensidad, la que a su vez hace variar el
campo magnético del imán, el cual atrae o repela a la membrana metálica, la que
convierte la señal eléctrica en ondas acústicas que corresponden a la señal del
usuario que la origino. Vale decir, se reproduce su voz.
Unidad de marcación
La marcación en un aparato de disco (teléfono pulso) se realiza cuando el disco se
hace girar. Al escuchar el tono que indica al usuario que puede marcar, este gira el
disco al digito especifico en cada caso hasta completar el número del teléfono al que
desea llamar. Cada vez que marcamos un digito del número al que llamamos, el
teléfono hará una apertura y un cierre. Si es un 2, entonces hará una apertura y un
cierre, y una apertura y una cerradura, y así sucesivamente. En el caso de que sea un
“0” son 10 aperturas y cerraduras; al ir en retroceso el disco interrumpe el circuito
eléctrico ese número de veces, lo cual se interpreta en el conmutador de la central
telefónica como el número telefónico con el que se debe enlazar el aparato del que
proviene dicha señal.
“La marcación en un aparato de teclado (teléfono de marcación por frecuencia) se
lleva a cabo por medio de la suma de frecuencias”, según la tabla que se muestra a
continuación
Hz
697
770
852
1209
1
4
7
1336
2
5
8
1477
3
6
9
941
*
0
#
Tabla I. Suma de frecuencias (en Hertz [Hz]) en los teléfonos de teclado.
Según la tabla anterior, por ejemplo, si el usuario marca el digito “2”, la señal que
procesara el equipo conmutador de la central será la suma de 1336Hz (vertical) y
697Hz (Horizontal); consecuentemente la señal será de 2033Hz. Así ocurrirá en
cada caso según el digito marcado. La transmisión de un digito en un teléfono
analógico tarda 1,5 segundos, mientras que en un teléfono digital tarda tan solo 0,7s.
EL TIMBRE
Es el elemento que produce una señal auditiva fuerte para avisar que hay una
llamada entrante. Se activa con corriente alterna proveniente de la central telefónica
a la que está conectado el aparato. La señal eléctrica se origina en esta central
cuando su equipo conmutador recibe la señal procedente del aparato que inicio la
comunicación.
El teléfono tiene una corriente continua siempre que este colgado, cuando recibe
una llamada, el teléfono recibe 75V de tensión a una frecuencia de 25 Hz y entonces
es cuando se oye el timbre de teléfono. Entonces se descuelga el teléfono y la
central detecta la caída de la impedancia del teléfono y la compañía empieza a
cobrar la llamada.
CIRCUITO DE REGULACION DE LA TRANSMISION
“El principal objetivo del circuito de regulación de transmisión es mantener la
intensidad acuosa dentro de parámetros predeterminados para conservar una
comunicación de calidad”, su operación es automática y permite que las señales en
el teléfono siempre tengan una intensidad adecuada para escuchar normalmente.
Este circuito está constituido por un conjunto de elementos eléctricos como lo son:



Condensadores
Varistores
Resistencias
ALCANCES Y LIMITACIONES
UNIDAD 2.
Telefonía IP
La Telefonía IP permite integrar en una misma red, basada en protocolo IP, las
comunicaciones de voz y datos. Muchas veces se utiliza el término de redes convergentes o
convergencia IP, aludiendo a un concepto un poco más amplio de integración en la misma
red de todas las comunicaciones (voz, datos, video, etc.).
Esta tecnología hace ya muchos años que está en el mercado (finales de los 90) pero no ha
sido hasta hace poco que se ha generalizado gracias, principalmente, a la mejora y
estandarización de los sistemas de control de la calidad de la voz (QoS) y a la
universalización del servicio Internet.
Voz sobre Protocolo de Internet, también llamado Voz sobre IP, Voz IP, es un grupo de
recursos que hacen posible que la señal de voz viaje a través de Internet empleando un
protocolo IP (Protocolo de Internet). Esto significa que se envía la señal de voz en forma
digital, en paquetes de datos, en lugar de enviarla en forma analógica a través de circuitos
utilizables sólo por telefonía convencional como las redes PSTN (sigla de Public Switched
Telephone Network, Red Telefónica Pública Conmutada).
Los Protocolos pueden verse como aplicaciones comerciales de la "Red experimental de
Protocolo de Voz" (1973), inventada por ARPANET. El tráfico de Voz sobre IP puede
circular por cualquier red IP, incluyendo aquellas conectadas a Internet, como por ejemplo
las redes de área local (LAN).
Es muy importante diferenciar entre Voz sobre IP (VoIP) y Telefonía sobre IP.

VoIP es el conjunto de normas, dispositivos, protocolos, en definitiva la tecnología
que permite comunicar voz sobre el protocolo IP.

Telefonía sobre IP es el servicio telefónico disponible al público, por tanto con
numeración E.164, realizado con tecnología de VoIP.
El cliente
El cliente establece y origina las llamadas voz, esta información se recibe a través del
micrófono del usuario (entrada de información) se codifica, se empaqueta y, de la misma
forma, esta información se decodifica y reproduce a través de los altavoces o audífonos
(salida de la información).
Un Cliente puede ser un usuario de Skype o un usuario de alguna empresa que venda sus
servicios de telefonía sobre IP a través de equipos como ATAs (Adaptadores de teléfonos
analógicos) o teléfonos IP o Softphone que es un software que permite realizar llamadas a
través de una computadora conectada a Internet.
Los servidores
Los servidores se encargan de manejar operaciones de base de datos, realizado en un
tiempo real como en uno fuera de él. Entre estas operaciones se tienen la contabilidad, la
recolección, el enrutamiento, la administración y control del servicio, el registro de los
usuarios.
Usualmente en los servidores se instala software denominados Switches o IP-PBX
(Conmutadores IP), ejemplos de switches pueden ser "Voipswitch", "Mera", "Nextone"
entre otros, un IP-PBX es Asterisk uno de los más usados y de código abierto.
Los Gateway
Los Gateway brindan un puente de comunicación entre todos los usuarios, su función
principal es la de proveer interfaces con la telefonía tradicional adecuada, la cual funcionara
como una plataforma para los usuarios (clientes) virtuales.
Los Gateway se utilizan para "Terminar" la llamada, es decir el cliente Origina la llamada y
el Gateway Termina la llamada, eso es cuando un cliente llama a un teléfono fijo o celular,
debe existir la parte que hace posible que esa llamada que viene por Internet logre
conectarse con un cliente de una empresa telefónica fija o celular.
Funcionalidad
VoIP puede facilitar tareas que serían más difíciles de realizar usando las redes telefónicas
comunes:




Las llamadas telefónicas locales pueden ser automáticamente enrrutadas a un
teléfono VoIP, sin importar dónde se esté conectado a la red. Uno podría llevar
consigo un teléfono VoIP en un viaje, y en cualquier sitio conectado a Internet, se
podría recibir llamadas.
Números telefónicos gratuitos para usar con VoIP están disponibles en Estados
Unidos de América, Reino Unido y otros países con organizaciones de usuarios
VoIP.
Los agentes de call center usando teléfonos VoIP pueden trabajar en cualquier lugar
con conexión a Internet lo suficientemente rápida.
Algunos paquetes de VoIP incluyen servicios extra por los que PSTN (Red Pública
Telefónica Conmutada) normalmente cobra un cargo extra, o que no se encuentran
disponibles en algunos países, como son las llamadas de 3 a la vez, retorno de
llamada, remarcación automática, o identificación de llamada.
Repercusión en el comercio
La Voz sobre IP está abaratando las comunicaciones internacionales y mejorando por tanto
la comunicación entre proveedores y clientes, o entre delegaciones del mismo grupo.
Así mismo, la voz sobre IP se está integrando, a través de aplicaciones específicas, en
portales web. De esta forma los usuarios pueden establecer que una empresa en concreto les
llame a una hora determinada, que se efectuará a través de un operador de Voz IP
normalmente.
Principales protocolos
Existen dos protocolos que han sido desarrollados para llevar a cabo las operaciones de
señalización en telefonía IP: H.323 desarrollado por la ITU (International Communication
Union) y el protocolo SIP (Session Initiation protocol) desarrollado por la IETF. Existe un
amplio debate acerca de la filosofía involucrada en el diseño de ambos protocolos, siendo el
tema central de la discusión el hecho que H.323 proviene de ingenieros estrechamente
vinculados al PSTN, y su nivel de complejidad es mayor en cuanto al número de
especificaciones y protocolos asociados. Por su parte, SIP fue diseñado pensando en las
características de Internet, y la flexibilidad inherente al protocolo concuerda con esto.
Item
SIP
H.323
Código
Texto
Binario
Complejidad
Estilo HTTP
Complejo
Modular: solo
Señalización
Monolítica: señalización,
control de conferencia,
registro, negociación.
Mensajería instantánea
Si
No
Soporte de direcciones
Cualquier URL, direcciones
e-mail, H.323, http, E.164
Host, E. 164, gatekeeper
aliases
Protocolo de transporte
Principalmente UDP TCP
Principalmente TCP UDP
Integración de aplicaciones
de internet
Diseñado para incorporar
aplicaciones basadas en
texto, estilo internet
Estandarización de servicios
Estandarizar protocolos no
servicios
Estandarizar todo
Servicios suplementarios
Pobremente definidos
Rigurosamente definidos
Arquitectura
Ajuste a internet
Alto
Bajo (impone arquitectura
ISDN a redes IP
Escalabilidad
Excelente
Pobre
Tipos de servicios
Sin limitaciones obvias
Solo media streams
incluyendo voz
Interoperabilidad
Amplia
Limitada
Tabla I. Comparación entre protocolos SIP y H.323
Estándar VoIP (H.323)
Definido en 1996 por la UIT (Unión Internacional de Telecomunicaciones) proporciona a
los diversos fabricantes una serie de normas con el fin de que puedan evolucionar en
conjunto.
Características principales
Por su estructura el estándar proporciona las siguientes ventajas:








Permite controlar el tráfico de la red, por lo que se disminuyen las posibilidades de
que se produzcan caídas importantes en el rendimiento. Las redes soportadas en IP
presentan las siguientes ventajas adicionales:
Es independiente del tipo de red física que lo soporta. Permite la integración con las
grandes redes de IP actuales.
Es independiente del hardware utilizado.
Permite ser implementado tanto en software como en hardware, con la
particularidad de que el hardware supondría eliminar el impacto inicial para el
usuario común.
Permite la integración de Vídeo y TPV.
Proporciona un enlace a la red de telefonía tradicional.
Esta telefonía ha evolucionado tanto, que hasta los 800's que son números no
geográficos, pueden llamar a una línea IP.
Lo que anteriormente era una central telefónica con mucha infraestructura, ahora se
resume en un software instalable en un pequeño servidor con las mismas
funcionalidades.
Estándar VoIP (SIP)
(Session Initiation Protocol) "Protocolo de Inicio de Sesión" por sus siglas en Inglés es un
protocolo reciente que es en la actualidad el mayormente utilizado.
VoIP no es un servicio, es una tecnología
En muchos países del mundo, IP ha generado múltiples discordias, entre lo territorial y lo
legal sobre esta tecnología, está claro y debe quedar en claro que la tecnología de VoIP no
es un servicio como tal, sino una tecnología que usa el Protocolo de Internet (IP) a través de
la cual se comprimen y descomprimen de manera altamente eficiente paquetes de datos o
datagramas, para permitir la comunicación de dos o más clientes a través de una red como
la red de Internet. Con esta tecnología pueden prestarse servicios de Telefonía o
Videoconferencia, entre otros.
Arquitectura de red
El propio Estándar define tres elementos fundamentales en su estructura:

Terminales: son los sustitutos de los actuales teléfonos. Se pueden implementar
tanto en software como en hardware.

Gatekeepers: son el centro de toda la organización VoIP, y son el sustituto para las
actuales centrales.
Normalmente implementan por software, en caso de existir, todas las comunicaciones que
pasen por él.

Gateways: se trata del enlace con la red telefónica tradicional, actuando de forma
transparente para el usuario.
Con estos tres elementos, la estructura de la red VoIP podría ser la conexión de dos
delegaciones de una misma empresa. La ventaja es inmediata: todas las comunicaciones
entre las delegaciones son completamente gratuitas. Este mismo esquema se podría aplicar
para proveedores, con el consiguiente ahorro que esto conlleva.
Elementos de la telefonía IP
Para que la telefonía IP pueda funcionar necesita elementos como:








Gateway.
Gatekeeper.
Routers.
ATA.
Conmutadores.
Tarjetas de red.
Códec.
Protocolos.
Fig. 2.1 Ejemplo de un router.
Fig. 2.2 ATA (adaptador telefónico analógico)
Fig. 2.3 Conmutador con Asterisk PBX
Fig. 2.4 Tarjetas de Red Digium

Protocolos de VoIP: son los lenguajes que utilizarán los distintos dispositivos VoIP
para su conexión. Esta parte es importante ya que de ella dependerá la eficacia y la
complejidad de la comunicación.
o Por orden de antigüedad (de más antiguo a más nuevo):
 H.323 - Protocolo definido por la ITU-T;
 SIP - Protocolo definido por la IETF;
 Megaco (También conocido como H.248) y MGCP - Protocolos de
control;
 UNIStim - Protocolo propiedad de Nortel(Avaya);
 Skinny Client Control Protocol - Protocolo propiedad de Cisco;
 MiNet - Protocolo propiedad de Mitel;
 CorNet-IP - Protocolo propiedad de Siemens;
 IAX - Protocolo original para la comunicación entre PBXs Asterisk
(Es un estándar para los demás sistemas de comunicaciones de
datos,[cita requerida] actualmente está en su versión 2, IAX2);
 Skype - Protocolo propietario peer-to-peer utilizado en la aplicación
Skype;
 IAX2 - Protocolo para la comunicación entre PBXs Asterisk en
reemplazo de IAX;
 Jingle - Protocolo abierto utilizado en tecnología XMPP;
 MGCP- Protocolo propietario de Cisco;
 weSIP- Protocolo licencia gratuita de VozTelecom.
Parámetros de la VoIP
Este es el principal problema que presenta hoy en día la penetración tanto de VoIP como de
todas las aplicaciones de IP. Garantizar la calidad de servicio sobre Internet, que solo
soporta "mejor esfuerzo" (best effort) y puede tener limitaciones de ancho de banda en la
ruta, actualmente no es posible; por eso, se presentan diversos problemas en cuanto a
garantizar la calidad del servicio.
Códec
La voz ha de codificarse para poder ser transmitida por la red IP. Para ello se hace uso de
códec que garanticen la codificación y compresión del audio o del video para su posterior
decodificación y descompresión antes de poder generar un sonido o imagen utilizable.
Según el Códec utilizado en la transmisión, se utilizará más o menos ancho de banda. La
cantidad de ancho de banda utilizada suele ser directamente proporcional a la calidad de los
datos transmitidos.
Entre los códec más utilizados en VoIP están G.711, G.723.1 y el G.729 (especificados por
la ITU-T).
Medición de ancho de banda
Ancho de banda
Bit-rate
Códec
(Kbps)
Calidad de
voz
Paquetes de
voz
Encabezado
y paquetes
(Kbps)
(Kbps)
G.711
64.0
Excelente
63.9
110.3
G.728
16.0
Buena
15.9
62.2
G.729 A
8.0
Buena
8
32
G.723
6.3
Satisfactoria
6.4
14.2
G.723
5.3
Satisfactoria
5.4
13.2
Tabla II. Cuadro comparativo de códec
Retardo o latencia
Una vez establecidos los retardos de tránsito y el retardo de procesado la conversación se
considera aceptable por debajo de los 150 ms, que viene a ser 1,5 décimas de segundo y ya
produciría retardos importantes.
Pérdida de tramas (Frames Lost):
Durante su recorrido por la red IP las tramas se pueden perder como resultado de una
congestión de red o corrupción de datos. Además, para tráfico de tiempo real como la voz,
la retransmisión de tramas perdidas en la capa de transporte no es práctico por ocasionar
retardos adicionales. Por consiguiente, los terminales de voz tienen que retransmitir con
muestras de voz perdidas, también llamadas Frame Erasures. El efecto de las tramas
perdidas en la calidad de voz depende de como los terminales gestionen las Frame
Erasures.
En el caso más simple si se pierde una muestra de voz el terminal dejará un intervalo en el
flujo de voz. Si muchas tramas se pierden, sonará grietoso con sílabas o palabras perdidas.
Una posible estrategia de recuperación es reproducir las muestras de voz previas. Esto
funciona bien si sólo unas cuantas muestras son perdidas. Para combatir mejor las ráfagas
de errores usualmente se emplean sistemas de interpolación. Basándose en muestras de voz
previas, el decodificador predecirá las tramas perdidas. Esta técnica es conocida como
Packet Loss Concealment (PLC).
Calidad del servicio
Para mejorar el nivel de servicio, se ha apuntado a disminuir los anchos de banda
utilizados, para ello se ha trabajado bajo las siguientes iniciativas:


La supresión de silencios, otorga más eficiencia a la hora de realizar una
transmisión de voz, ya que se aprovecha mejor el ancho de banda al transmitir
menos información.
Compresión de cabeceras aplicando los estándares RTP/RTCP.
Para la medición de la calidad de servicio QoS, existen cuatro parámetros como el ancho de
banda, retraso temporal (delay), variación de retraso (jitter) y pérdida de paquetes.
Para solucionar este tipo de inconvenientes, en una red se puede implementar tres tipos
básicos de QoS:



Best effort: (en inglés, mejor esfuerzo) Este método simplemente envía paquetes a
medida que los va recibiendo, sin aplicar ninguna tarea específica real. Es decir, no
tiene ninguna prioridad para ningún servicio, solo trata de enviar los paquetes de la
mejor manera.
Servicios Integrados: Este sistema tiene como principal función pre-acordar un
camino para los datos que necesitan prioridad, además esta arquitectura no es
escalable, debido a la cantidad de recursos que necesita para estar reservando los
anchos de banda de cada aplicación. RSVP (Resource Reservation Protocol) fue
desarrollado como el mecanismo para programar y reservar el ancho de banda
requerido para cada una de las aplicaciones que son transportados por la red.
Servicios Diferenciados: Este sistema permite que cada dispositivo de red tenga la
posibilidad de manejar los paquetes individualmente, además cada router y switch
puede configurar sus propias políticas de QoS, para tomar sus propias decisiones
acerca de la entrega de los paquetes. Los servicios diferenciados utilizan 6 bits en la
cabecera IP (DSCP Differentiated Services Code Point). Los servicios para cada
DSCP son los siguientes:
Servicio
Best Effort
Assured Forwarding (AF)
Expedited Forwarding (EF)
Característica
No ofrece garantías
Asegura un trato preferente, si
los valores de DSCP son más
altos, tendrá mayor prioridad el
tráfico y disminuye la
posibilidad de ser eliminado
por congestión.
Utilizada para dar el mayor
servicio, por ende, es la que
brinda más garantías (utilizada
para tráfico de voz o video)
Tabla III. Características de los servicios para cada DSCP




La priorización de los paquetes que requieran menor latencia. Las tendencias
actuales son:
PQ (Priority Queueing): Este mecanismo de priorización se caracteriza por definir
4 colas con prioridad Alta, media, normal y baja, Además, es necesario determinar
cuales son los paquetes que van a estar en cada una de dichas colas, sin embargo, si
estas no son configuradas, serán asignadas por defecto a la prioridad normal. Por
otra parte, mientras que existan paquetes en la cola alta, no se atenderá ningún
paquete con prioridad media hasta que la cola alta se encuentre vacía, así para los
demás tipos de cola.
WFQ (Weighted fair queuing): Este método divide el tráfico en flujos,
proporciona una cantidad de ancho de banda justo a los flujos activos en la red, los
flujos que son con poco volumen de tráfico serán enviados más rápido. Es decir,
WFQ prioriza aquellas aplicaciones de menor volumen, estas son asociadas como
más sensibles al delay (retardo) como VoIP. Por otra parte, penaliza aquellas que no
asocia como aplicaciones en tiempo real como FTP.
CQ (Custom Queueing): Este mecanismo asigna un porcentaje de ancho de banda
disponible para cada tipo de tráfico (voz, video y/o datos), además especifica el
número de paquetes por cola. Las colas son atendidas según Round Robin (RR).
El método RR asigna el ancho de banda a cada uno de los diferentes tipos de tráfico
existentes en la red. Con este método no es posible priorizar tráfico ya que todas las colas
son tratadas de igual manera.

La implantación de IPv6, que proporciona mayor espacio de direccionamiento y la
posibilidad de tunneling.
Ventajas
La principal ventaja de este tipo de servicios es que evita los cargos altos de telefonía
(principalmente de larga distancia) que son usuales de las compañías de la Red Pública
Telefónica Conmutada (PSTN).
El desarrollo de codecs para VoIP (aLaw, G.729, G.723, etc.) ha permitido que la voz se
codifique en paquetes de datos cada vez más pequeños. Esto deriva en que las
comunicaciones de voz sobre IP requieran anchos de banda muy reducidos. Junto con el
avance permanente de las conexiones ADSL en el mercado residencial, éste tipo de
comunicaciones están siendo muy populares para llamadas internacionales.
Hay dos tipos de servicio de PSTN a VoIP: "Discado Entrante Directo" (Direct Inward
Dialling: DID) y "Números de acceso". DID conecta a quien hace la llamada directamente
con el usuario VoIP, mientras que los Números de acceso requieren que este introduzca el
número de extensión del usuario de VoIP. Los Números de acceso son usualmente
cobrados como una llamada local para quien hizo la llamada desde la PSTN y gratis para el
usuario de VoIP.
Desventajas
Calidad de la llamada. Es un poco inferior a la telefónica, ya que los datos viajan en forma
de paquetes, es por eso que se pueden tener algunas perdidas de información y demora en la
transmisión. El problema en si de la VoIP no es el protocolo sino la red IP, ya que esta no
fue pensada para dar algún tipo de garantías. Otra desventaja es la latencia, ya que cuando
el usuario está hablando y otro usuario está escuchando, no es adecuado tener 200ms
(milisegundos) de pausa en la transmisión. Cuando se va a utilizar VoIP, se debe controlar
el uso de la red para garantizar una transmisión de calidad.
Robos de Datos. Un cracker puede tener acceso al servidor de VoIP y a los datos de voz
almacenados y al propio servicio telefónico para escuchar conversaciones o hacer llamadas
gratuitas a cargo de los usuarios.
Virus en el sistema. En el caso en que un virus infecta algún equipo de un servidor VoIP, el
servicio telefónico puede quedar interrumpido. También pueden verse afectados otros
equipos que estén conectados al sistema. Suplantaciones de ID y engaños especializados. Si
uno no está bien protegido pueden sufrir fraudes por medio de suplantación de identidad.
Perspectivas de futuro
El ancho de banda creciente a nivel mundial, y la optimización de los equipos de capa 2 y 3
para garantizar el QoS (Quality of Service) de los servicios de voz en tiempo real hace que
el futuro de la Voz sobre IP sea muy prometedor.
En Estados Unidos los proveedores de voz sobre IP como Vonage consiguieron una
importante cuota de mercado. En España, gracias a las tarifas planas de voz, los operadores
convencionales consiguieron evitar el desembarco masivo de estos operadores. Sin
embargo la expansión de esta tecnología está viniendo de mano de los desarrolladores de
sistemas como Cisco y Avaya que integran en sus plataformas redes de datos y voz. Otros
fabricantes de centrales como innovaphone, ShoreTel, Panasonic, Alcatel-Lucent, Nortel
Networks, Matra, Samsung y LG también desarrollan soluciones corporativas de voz sobre
IP en sus equipos de telecomunicaciones privados.
Para las corporaciones internacionales que pueden contar con sistemas punteros y anchos
de banda óptimos, las centrales que manejan VoIP (IPPBX) se han convertido en un equipo
muy conveniente. Pero las pequeñas y medianas empresas deben de evaluar ciertos temas:
Esta tecnología opera con sistemas operativos (Windows/Linux) que presentan ciertos
problemas de estabilidad. Además la red IP no fue diseñada para dar garantías. Además
algunos proveedores para abaratar costos ofrecen centrales ensambladas en un ordenador o
una PC, los cuales enfrentan otro tipo de problemas, como las fallas en sus componentes
(Discos Duros, Ventiladores y Fuentes de Alimentación), se debe de prever también el
cambio de los aparatos telefónicos tradicionales, ya que esta tecnología trabaja con
teléfonos especiales (IP o SIP) a menos que se incorporen equipos especiales.
La buena noticia es que todas las funciones extra que pueden brindarle las centrales IP
pueden obtenerse con sus centrales tradicionales, solo se deben conectar ciertos módulos
que incorporan la tecnología VoIP a sus necesidades. Todos sabemos que la calidad de
transmisión de las centrales tradicionales todavía es superior. En realidad es que ya nos
acostumbramos a la confiabilidad y a la fácil configuración de los equipos tradicionales, los
cuales manejan lenguajes de programación muy sencillos.
Fig. 2.5 Ejemplo de conmutación básica
La evolución de la conmutación ha venido siendo realmente impresionante, ya que han
avanzado satisfactoriamente, algunas de estas son:




Manual
Automática analógica
TDM Digital
IP
2.3.1 Conmutación de circuitos.
Se establece un camino “confiable y seguro” de punta a punta, el que se mantiene durante
toda la comunicación.
La telecomunicación por conmutación de circuitos implica que en un momento dado hay
una ruta dedicada entre dos terminales. Esta ruta se compone de una secuencia de enlaces
entre nodos, dedicándose en cada enlace físico un canal a la conexión.
Para llevar a cabo la comunicación por conmutación de circuitos se necesita seguir las tres
fases siguientes: establecimiento del circuito, transmisión de la información y desconexión
del circuito.
Puesto que la ruta de conexión se establece antes del comienzo de la transmisión de la
información, habrá de reservarse la capacidad de un canal entre cada par de nodos de la ruta
y cada nodo habrá de disponer de la necesaria capacidad interna de conmutación para
manejar la conexión requerida. Así pues, la capacidad del canal está totalmente asignada
aun cuando no haya transferencia de datos.
En las comunicaciones telefónicas la utilización del canal puede ser alta. Sin embargo, en
una conexión de transmisión de datos el canal puede no estar utilizado durante la mayor
parte del tiempo.
En este tipo de conmutación, desde el punto de vista del rendimiento, va a existir una
demora previa a la transferencia de información debida al establecimiento de la llamada.
Una vez que el circuito se ha establecido la red es transparente a los usuarios,
transmitiéndose la información a una velocidad determinada sin otro retardo que el de
propagación a través de los enlaces, considerándose que el retardo en cada nodo es
despreciable.
Cada nodo en una red de conmutación de circuitos es una central de conmutación.
2.3.2 Conmutación de mensajes
En este tipo de comunicación conmutada, cuando un terminal requiere enviar un mensaje
incorpora a éste una dirección de destino. El mensaje pasa a través de la red de un nodo a
otro, recibiéndose en cada uno de ellos el mensaje completo que es almacenado y
retransmitido al nodo siguiente. De esta forma no se necesita establecer una ruta dedicada
entre dos terminales.
Un nodo de conmutación de mensajes es típicamente un miniordenador con algunas
características de entrada/salida que lo hacen particularmente adecuado para el tratamiento
de los mensajes entrantes y salientes.
2.3.3 Conmutación de paquetes.
Cada mensaje es enviado sin establecer previamente una conexión entre origen y destino.
La conmutación de paquetes trata de combinar las ventajas de las conmutaciones de
mensajes y circuitos, minimizando las desventajas de ambas. Es una técnica similar a la de
mensajes, con la diferencia de que la longitud de las unidades de información (paquetes)
está limitada, en tanto que en la conmutación de mensajes la longitud de estos es mucho
mayor.
Las longitudes típicas de los paquetes oscilan entre 1000 y varios miles de bits. En algunas
recomendaciones los tamaños máximos de los paquetes están normalizados a 128, 256 o
512 caracteres.
En el caso de las redes de conmutación de paquetes, los mensajes que superan la máxima
longitud preestablecida deben ser divididos en unidades de información más pequeñas por
los equipos terminales. Cuando una estación terminal desglosa un mensaje en paquetes y
envía estos a su nodo, existen dos métodos de tratamiento de los paquetes por parte de la
red:
Método datagrama, en el que cada paquete es tratado independientemente, de forma
análoga a como se tratan los mensajes en las redes de conmutación de mensajes, dándose el
caso de que paquetes con la misma dirección de destino no siguen la misma ruta, lo que
puede dar lugar a que los paquetes se reciban en una secuencia distinta a la que han sido
emitidos, por lo que el terminal de destino será el encargado de reordenar los paquetes en la
secuencia original.
Método de circuitos virtuales. En este caso se establece una conexión lógica antes de
proceder a la transmisión de la información, pudiendo ser esta conexión permanente o
transitoria, denominándose respectivamente circuito virtual permanente o conmutado.
Fig. 2.6 Ejemplo del método de tratamiento de los paquetes por parte de la red.
2.3.4 Centrales de conmutación publicas
En cuestión de la capacidad generalmente atienden a 10000 más abonados.
En la cuestión de su alcance son: locales, de Transito, internaciones y celulares.
Fig. 2.7 Red de conmutación publica
2.3.5 Centrales de conmutación privadas
Antecedentes, “Key Systems” (“Sistemas de Teclas”): Sistemas electromecánicos, que
comenzaron a difundirse en la década de 1920. Consistían en conectar varias líneas urbanas
a distintos botones o teclas de un mismo aparato telefónico.
PBX” (“Private Branch Exchange”):




Centralizan en una “caja” las líneas urbanas y los “internos”, o teléfonos.
Cada teléfono se conecta con uno o dos pares a la PBX.
Las primeras PBX eran sistemas electromecánicos. Luego evolucionaron a
tecnología digitales
Actualmente hay una fuerte tendencia hacia las “Soft PBX” o “IP PBX”
PBX – Private Branch Exchange


Capacidad de pocos “puertos” hasta 10.000 + “puertos”
Soportan gran variedad de teléfonos e interfaces.
Fig. 2.8 Evolucionando a sistemas “full IP”
INDICE DE FIGURAS ACTUAL
Tabla I. Comparación entre protocolos SIP y H.323
Tabla II. Cuadro comparativo de codecs
Fig. 2.1 Ejemplo de un router
Fig. 2.2 ATA (adaptador telefónico analógico)
Fig. 2.3 Conmutador con Asterisk PBX
Fig. 2.4 Tarjetas de Red Digium
Fig. 2.5 Ejemplo de conmutación básica
Fig. 2.6 Ejemplo del método de tratamiento de los paquetes por parte de la red.
Fig. 2.7 Red de conmutación publica
Fig. 2.8 Evolucionando a sistemas “full IP”
UNIDAD 3
3.1.1 TEORIA DE COLAS
El tráfico en redes se puede modelar con la ayuda de la teoría de colas, es por ello que es
importante estudiarlas y comprenderlas. Existen varias definiciones sobre la teoría de colas,
una de ellas y de suma importancia es la que menciona Jaime Enrique Varela en el libro
Introducción a la Investigación de Operaciones, ya que indica que la teoría de colas se
ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas. Además,
menciona que las colas se presentan con frecuencia cuando se solicita un servicio por parte
de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico.
La teoría de colas es únicamente un modelo del comportamiento del tráfico que se ve todos
los días, como lo puede ser un semáforo, la espera en un banco, la fila para conseguir el
ticket para un concierto, así como el tráfico que se presenta en el envío de paquetes en
redes, siendo este último caso el que se va a analizar. La teoría de colas presenta un
panorama del comportamiento de la cola a través del tiempo y el entorno de la misma.
Existen varios tipos de colas que se mencionarán a lo largo del capítulo, sin embargo se
hará hincapié en tres casos especiales que son el cimiento del modelo, los modelos a
estudiar serán el M/M/1, M/M/1/K y M/M/C que se describirán posteriormente.
Conceptos básicos del modelo de colas.
Un ejemplo de una cola es: cuando se va a comprar un boleto para viajar, si existen pocas
personas para ser atendidas, será una cola pequeña, sin embargo, si hay un gran número de
personas esperando ser atendidas será una cola muy grande. Ahora bien, el número de
servidores dependerá de cuantas personas están atendiendo y el cliente será la persona que
quiere comprar el boleto, el número de servidores podrá ser de 1 hasta infinito. A
continuación se muestra el ejemplo de una cola con un único servidor.
Fig.3.1 Modelo de una sola cola con un único servidor.
Ahora se muestra el mismo ejemplo pero con más servidores.
Fig.3.2 Modelo de una sola cola con dos servidores
Un sistema de colas se especifica por seis características principales.
1. El tipo de distribución de entradas o llegadas (tiempo entre llegadas)
2. El tipo de distribución de salidas o retiros (tiempo de servicio)
3. Los canales de servicio
4. La disciplina del servicio
5. El número máximo de clientes permitidos en el sistema
6. La fuente o población
Una vez mencionadas las características de las colas, es importante comentar cada una de
ellas. Para empezar, las distribuciones de entrada y salida, también conocidas como
distribuciones de llegada y retiro, determinan los modelos por los cuales los clientes entran
y salen. En la característica 1 y 2, como puede observarse, se le hace referencia a lo que es
el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio, éstos también son conocidos como
patrones.
El patrón de llegadas de los clientes generalmente está especificado por el tiempo entre
llegadas, que es el tiempo entre las llegadas de los clientes sucesivos a la instalación que
ofrece el servicio. En esta parte es importante indicar que a veces los clientes prefieren no
esperar en la cola para recibir el servicio y es cuando se presentan dos casos, los cuales son
el rechazo y el abandono, el primero ocurre cuando el cliente observa una cola demasiado
grande o larga y prefiere no ingresar a ella, el segundo caso se presenta cuando un usuario
se encuentra en la cola pero prefiere dejarla.
Generalmente el patrón de servicio está especificado por el tiempo de servicio, que le toma
un servidor atender al cliente. En esta parte es importante determinar si un servidor atiende
por completo a un cliente o si el cliente requiere una secuencia de servidores. Para esta
parte del trabajo se considerara siempre que un solo servidor está atendido a un solo
usuario.
El canal de servicio es el proceso o sistema que está efectuando el servicio para el cliente.
De manera complementaria, el canal de servicio puede ser un canal en serie, paralelo o
mixto, es decir una combinación de ambas. La diferencia entre el canal en serie y el
paralelo es el número de clientes que pueden ser atendidos de manera simultánea. Así pues,
se pueden atender varios clientes al mismo tiempo en un canal paralelo, sin embargo en un
canal en serie los clientes tendrán que pasar por todos los canales hasta obtener el servicio.
La disciplina de servicio es una regla para seleccionar clientes de la línea de espera al inicio
del servidor. Una de las disciplinas más utilizadas es la denominada “first in first out”,
FIFO, en cual los primeros que llegan serán los primeros en salir; otra disciplina es la
denominada “last in first out”, LIFO, en la cual los últimos en llegar serán los primeros en
salir. Existen otras disciplinas denominadas al azar y de prioridad, sin embargo para este
trabajo se utilizara únicamente la disciplina de servicio FIFO.
El parámetro mencionado anteriormente como el número máximo de clientes permitidos, es
el cupo de clientes permitidos en una cola dependiendo de las características que presenta el
sistema; es decir, de acuerdo a las características del sistema se podrá tener una cola infinita
o finita. Si una cola es infinita no hay problema en que lleguen mil clientes ya que los mil
clientes podrán ser atendidos; mientras que en una cola finita hay un cupo máximo o límite
y cuando la cola se encuentre llena los demás clientes serán rechazados. Este caso en
específico se le conoce como caso de frustración.
Finalmente, la fuente (o población) representa un factor importante en el análisis de teoría
de colas ya que el modelo de llegadas depende de la fuente de donde provienen los clientes.
La fuente que genera las llamadas puede ser finita o infinita. Existe una fuente finita cuando
una llegada afecta la tasa de llegadas de futuros clientes potenciales. Así pues, la cola se
puede ver de la siguiente manera:
Fig. 3.3 Elementos principales de un sistema de colas.
Fig. 3.4 Clasificación del modelo de colas.
Notación de Kendall
En el año de 1953 el matemático David G. Kendall, originario de Inglaterra, implementó la
notación de colas, la cual es utilizada para identificar las características de una línea de
espera por medio de iniciales. En el sub-capítulo anterior se describieron las características
de las colas, en este se aclarará cada inicial.
Un sistema podrá ser notado de la siguiente manera, A/B/X/Y/Z/V, donde:
A es el modelo de llegadas, valores posibles:
M = tiempos entre llegadas exponenciales
D = tiempos entre llegadas deterministas
G = tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución)
B es el modelo de servicio, puede tomar los mismos valores que A
X es el número de servidores
Y es la capacidad d
el sistema (número máximo de clientes en el sistema), se puede omitir si es infinita.
Z es la disciplina, se puede omitir si es FIFO
V es el número de estados de servicio, se puede omitir si es 1
Tipos de sistemas
Un sistema de líneas de espera es un conjunto de clientes, un conjunto de servidores y un
orden en el cual los clientes llegan y son atendidos. Un sistema de líneas de espera es un
proceso de nacimiento – muerte con una población formada por clientes en espera del
servicio o que están en servicio; una muerte ocurre cuando un cliente abandona la
instalación. El estado del sistema es el número de clientes en la instalación.
En la siguiente figura se muestran los tipos de sistemas existentes, donde se describe para
cada caso que tipo de sistema es. Es importante mencionar que se estudiaran los sistemas
M/M/1, M/M/1/K y M/M/C, los cuales se pueden observar en los dos primeros casos; sin
embargo, los sistemas más complejos se pueden resolver teniendo como base estos, pero
en muchos casos no es posible resolverlos analizándolos matemáticamente y se analizan
por medio de su comportamiento.
Fig.3.5 Tipos de sistema.
Es importante señalar en este punto, que para nuestro caso analizaremos la siguiente
analogía en la teoría de colas: los paquetes serán los clientes, el servidor podrá ser un
“router” o un conmutador y la cola será el “buffer” de los servidores.
Sistemas M/M/1
Con respecto a la notación Kendall, para este sistema se tienen las siguientes
características:
A. Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de
razón λ, donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente,
Exp. (λ)
 Donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo.
B. Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera exponencial, Exp. (µ)
 Donde µ es el número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender
por unidad de tiempo.
X. Se posee un único servidor en el sistema
Y. La capacidad del sistema es infinita, la cual se puede omitir.
Z. La disciplina del sistema será FIFO, la cual se puede omitir.
V. Se tiene un estado de servicio igual a uno, es decir una sola cola, el cual se puede
omitir también.
Es decir el sistema es el siguiente: M/M/1/∞/FIFO/1, pero se abrevia como M/M/1. A
continuación se ira analizando el sistema exclusivamente en su condición de no saturación,
es decir como un estado estable, ya que si el sistema llega a saturarse el número de paquetes
en la cola crecerá indefinidamente, esto quiere decir que el sistema tendrá una tasa mayor
de la que el servidor puede manejar.
Para este tipo de sistema, se define la intensidad de tráfico, también conocida como factor
de utilización, como:
ρ=
𝜆
𝜇
Dónde:
ρ = Intensidad de tráfico en el sistema,
λ = Número medio de llegadas por unidad de tiempo.
µ = Número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.
Por lo tanto, para que el sistema sea estable, se tiene la siguiente condición de no
saturación.
ρ <1
Dónde el parámetro ρ se le domina también como carga o flujo. Este parámetro mide la
relación entre la media de los paquetes por unidad de tiempo y la capacidad de atenderlos
por unidad de tiempo. Si se cumple la condición de no saturación, las probabilidades del
estado estable existen y están dadas por:
ρ n = ρ n (1 − ρ )
Dónde:
ρ n = Probabilidad de que haya n paquetes en el sistema.
Esta fórmula indica la probabilidad de que haya n paquetes en el sistema, dependiendo del
tipo de red que se tenga, ya que el tamaño del paquete es diferente en cada red. En los
sistemas de líneas de espera, las medidas de rendimiento, también conocidas como medidas
de efectividad, son las medidas de mayor interés. En ellas el tiempo medio en que un
paquete permanece en el sistema se le denomina como W. Si hacemos un supuesto de que
llega un paquete a una cola y hay j paquetes antes que éste, se tendrá la siguiente fórmula:
∞
∞
j=0
j=0
1
W = ∑ ( j + 1) Pj = ∑ j
μ
∞
1
1
Pj + ∑
P
μ
μ j
j=0
Dónde:
W = Tiempo medio que un paquete permanece en el sistema,
j = Número de paquetes que se encuentran en la cola antes del paquete actual, y
Pj = Probabilidad de que haya j paquetes en el sistema.
Al evaluarse y simplificar la ecuación resultante, se obtendrá la siguiente fórmula de W.
W =
L 1
1
+ =
μ μ
μ− λ
Dónde:
L =Número medio de paquetes en el sistema.
Una vez que se obtuvo W, es posible obtener el tiempo medio de espera en la cola,
denominado como Wq, el cual se calcula en base a W, al tiempo medio que un paquete
1
permanece en la cola se le resta el tiempo medio de servicio, siendo este μ .
Por lo tanto:
Wq = W −
1
μ
Dónde:
Wq = Tiempo medio de espera en la cola.
Una consideración especial de la fórmula para este tipo de cola es la siguiente:
Wq =
ρ
μ−λ
Una de las últimas medidas de rendimiento que son importantes es el número medio de
trabajos en la cola, conocido como Lq , el cual es calculado al restarle al número medio de
paquetes en el sistema, la carga de tráfico que existe en el sistema, así como se muestra a
continuación:
Lq = L − (1 − ρ0 ) = L − ρ =
ρ
− ρ
1−ρ
Dónde:
Lq = Número medio de paquetes en la cola.
Ρ0 = Probabilidad de que no existan paquetes en el sistema.
La ecuación anterior puede simplificarse de la siguiente manera:
Lq =
ρ2
1−ρ
Sistemas M/M/1/K
Con respecto a la notación de Kendall, para este sistema se tienen las siguientes
características:
A) Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de
razón λ, donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente
Exp(λ)
 Donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo.
B) Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera exponencial, Exp(µ)
 Donde µ es el número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender
por unidad de tiempo.
X) Se posee un único servidor en el sistema
Y) La capacidad del sistema es finita, ésta se expresa por la constante K.
Z) La disciplina del sistema será FIFO, la cual se puede omitir.
V) Se tiene un estado de servicio igual a uno, es decir una sola cola, el cual se puede
omitir también.
En este sistema debe de considerarse que se está limitando el número de paquetes que van a
poder entrar a la cola, es decir si la cola estuviera llena los paquetes que llegaran después
serían rechazados. La ventaja que tiene este tipo de sistemas es que no se necesita utilizar
una condición de no saturación debido a que la capacidad es limitada y por ello se
encuentra siempre en un estado estable, sin importar cuál sea el valor de ρ, siendo ρ igual a
la ecuación. Las probabilidades en este sistema están dados por:
𝜌𝑛 (1 − 𝜌)
→ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜌 ≠ 1)
1 − 𝜌𝐾+1
𝑃𝑛 =
(
1
𝐾 + 1 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜌 = 1)
)
Dónde:
Pn = Probabilidad de que haya n paquetes en el sistema.
ρ = Intensidad de tráfico en el sistema.
K = Número de paquetes que caben en el sistema.
En este caso, la ρ determina cómo varían las probabilidades, ya que si ρ < 1 los estados más
probables son aquellos donde la oferta de servicio supera a la demanda, en cambio cuando
se tiene ρ > 1 la oferta de servicio no es suficiente para el servicio que se está solicitando,
por último se tiene el caso equilibrado donde ρ = 1.
En este sistema, como en el de M/M/1, se tienen medidas de rendimiento que son de gran
interés, una de ellas es el número medio de paquetes en el sistema, L, para el cual las
condiciones de fórmula son las siguientes:
(𝐾 + 1)𝜌𝐾+1
𝜌
−
→ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜌 ≠ 1)
1−𝜌
1 − 𝜌𝐾+1
𝐿=
(
𝐾
2 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜌 = 1)
)
Dónde:
L = Número medio de paquetes en el sistema.
Otra medida de rendimiento de gran utilidad es la tasa efectiva de llegadas, representada
como λef . Este parámetro es el número medio de clientes que son admitidos al sistema. Es
por ello que la tasa efectiva de llegadas será siempre menor al número medio de llegadas,
ambas por unidad de tiempo. Se tendrá la siguiente fórmula:
λef = λ(1 − PK )
Dónde:
λef = Tasa efectiva de llegadas,
λ= Número medio de llegadas por unidad de tiempo.
PK= Probabilidad de que haya K paquetes en el sistema.
Finalmente, considerando la tasa efectiva de llegadas, se obtendrán las siguientes fórmulas
de W, L y Lq. Resolviéndose Wq con la ecuación.
𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
𝜇
𝐿 = 𝜆𝑒𝑓 𝑊
𝐿𝑞 = 𝜆𝑒𝑓 𝑊𝑞
Dónde:
W = Tiempo medio que un paquete permanece en el sistema.
Wq = Tiempo medio de espera en la cola.
µ = Número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.
Lq = Número medio de paquetes en la cola.
Sistemas M/M/c
Con respecto a la notación de Kendall, para este sistema se tienen las siguientes
características:
A) Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de
B)
X)
Y)
Z)
V)
razón λ, donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente
Exp. (λ).
 Donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo.
Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera exponencial, Exp. (µ)
 Donde µ es el número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender
por unidad de tiempo.
El número de servidores en el sistema de denotará con la constante c.
La capacidad del sistema es infinita, la cual se puede omitir.
La disciplina del sistema será FIFO, la cual se puede omitir.
Se tiene un estado de servicio igual a uno, es decir una sola cola, el cual se puede
omitir también.
Este sistema al igual que el sistema M/M/1 presenta una capacidad del sistema infinita por
lo cual se establece una condición de no saturación para alcanzar el estado estable, ya que
de esta manera se cuida que el número de paquetes no crezca indefinidamente. Para este
software sólo se ocuparán colas que no se saturan, por lo que la condición será la siguiente:
Dónde se tiene que 𝜌 se calcula asi:
𝜌<1
𝜌=
𝜆
𝑐𝜇
Dónde:
ρ = Intensidad de tráfico en el sistema.
λ = Número medio de llegadas por unidad de tiempo.
c = Número de servidores en el sistema.
µ = Número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.
Para un estado estable, es decir no saturado, se tienen las siguientes probabilidades:
𝑐=1
𝐶 𝑐 𝜌𝑐
(𝑐𝑝)𝑛
𝜌0 = (
+∑
)
𝐶! (1 − 𝜌)
𝑛!
−1
𝑛=0
(𝑐𝜌)𝑛
𝑛! 𝜌 → 𝑛 = 0,1, . . . , 𝑐
𝑃𝑛 = ( 𝑐 𝑐 𝜌𝑛
)
𝜌
→
𝑜𝑡𝑟𝑜_𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑐! 0
Dónde:
ρ0 = Probabilidad de que no existan paquetes en el sistema.
n = Paquetes en el sistema.
Pn = Probabilidad de que haya n paquetes en el sistema.
En cuanto a las medidas de rendimiento para este sistema, se tiene que el número medio de
clientes en la cola está dado por:
𝑐 𝑐 𝜌𝑐+1 𝜌0
𝐿𝑞 =
𝑐! (1 − 𝜌)2
Dónde:
Lq = Número medio de paquetes en la cola.
Otras medidas como lo es W puede obtenerse mediante la ecuación (5), mientras que Wq
puede calcularse con la ecuación (6). Otros razonamientos como L y Lq podrán obtenerse
con las siguientes fórmulas:
L = λW
Lq = λWq
Dónde:
L = Número medio de paquetes en el sistema.
W = Tiempo medio que un paquete permanece en el sistema.
W q = Tiempo medio de espera en la cola.
Una última medida de rendimiento lo es el número medio de servidores ocupados,
caracterizada por la constante S, se calculará mediante la siguiente fórmula:
𝑆𝜇 = 𝜆 ⟹ 𝑆 =
Dónde:
S = Número medio de servidores ocupados.
𝜆
= 𝑐𝜌
𝜇
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Simeon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrage, en
Recherches sur la probabilite des jugements, un trabajo importante en probabilidad
publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía.
La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito
ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un
acontecimiento ocurre es muy pequeño, pero el número de intentos es muy grande,
entonces el evento actual ocurre algunas veces.
Se emplea para describir varios procesos:






La distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador.
La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes.
Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro.
El número de accidentes en un cruce.
El número de defectos en una tela por 𝑚2 .
El número de bacterias por 𝑐𝑚2 .
CARACTERÍSTICAS




El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región especifica
de interés, por lo general esta medida se representa por la lambda griega (&).
El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos
es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o
región.
La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo
muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de
tiempo o al tamaño de la región.
La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan
corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de
0.
Fórmula de Poisson
𝜆𝑥 ∗ 𝑒 −𝜆
𝑃(𝑥|𝜆) =
𝑥!
𝑃(𝑥|𝜆) = la probabilidad de que ocurran x éxitos cuando el número promedio de ocurrencia
de ellos es 𝜆.
𝜆 media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
𝑒 es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores de 𝑒 −𝜆
pueden obtenerse de tablas.
X señala un valor especifico que la variable puede tomar (el número de éxitos que
deseamos ocurran).
Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una
distribución de probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución.
𝐸(𝑋) = 𝜆
La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también
es igual a la media de la distribución 𝜆. De este modo la desviación estándar de la raíz
cuadrada de 𝜆.
𝑉(𝑋) = 𝜆
𝜎 = √𝜆
Ejemplos
𝑃(𝑥|𝜆) =
𝜆𝑥 ∗ 𝑒 −𝜆
𝑥!
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los
archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en el. El número de
accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad
en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente cero, uno, dos, tres y cuatro
accidentes en un mes determinado.
𝑃(0) =
(5)0(𝑒 − 5)
= 0.00674
0!
𝑃(1) =
(5)1(𝑒 − 5)
= 0.03370
1!
𝑃(2) =
(5)2(𝑒 − 5)
= 0.08425
2!
𝑃(3) =
(5)3(𝑒 − 5)
= 0.14042
3!
𝑃(4) =
(5)4(𝑒 − 5)
= 0.17552
4!
Para saber cuál es la probabilidad en tres o menos (X≤3), sumaremos las probabilidades de
0, 1, 2, 3, lo que será igual a:
P (X≤3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)= 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la
probabilidad de que ocurran más de tres (x>3) debe ser =1 – 0.26511 = 0.73489
En una tienda de telas, un promedio de doce personas por hora le hacen preguntas a un
decorador. La probabilidad de que tres o más personas se acerquen al decorador para
hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos.
Promedio por hora =12
𝜆= promedio por 10 minutos = 12/6 = 2.0
P(X≥3|𝜆=2)=P(X=3|𝜆=2)+P(X=4|𝜆=2)+P(X=5|𝜆=2)+…
P(x≤2|𝜆=2)=1-[P(X=0| 𝜆=2)+ P(X=1| 𝜆=2)+P(X=2| 𝜆=2)]
P (X=3 | 𝜆 = 2) = 0.1804
P (X=4 | 𝜆 = 2) = 0.0902
P (X=5 | 𝜆 = 2) = 0.0361
P (X=6 | 𝜆 = 2) = 0.0120
P (X=7 | 𝜆 = 2) = 0.0034
P (X=8 | 𝜆 = 2) = 0.0009
P (X=9 | 𝜆 =2) = 0.0002
P (X≥3 | 𝜆 = 2) = 0.3232

X
0.1
0
0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4483 0.4066 0.3679
1
0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2
0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839
3
0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613
4
0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153
5
0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031
6
0.0001 0.0002 0.0003 0.0005
7
0.0001

X
1.1
0
0.3329 0.3012 0.2725. 0.2466. 0.2231. 0.2019. 0.1827. 0.1653. 0.1496 0.1353.
1
0.3662 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707
2
0.2014 0.2169 0.2303 0.2417 0.2510 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707
3
0.0.738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 0.1804
4
0.0203 0.0260 0.0324 0.0395 0.0471 0.0561 0.0638 0.0723 0.0812 0.0902
5
0.0045 0.0082 0.0084 0.0111 0.0141 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 0.0361
6
0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 0.0120
7
0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0020 0.0027 0.0034
8
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0009
9
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
Tabla IV. Distribución de Poisson.

X
2.1
0
0.1225 0.1108 0.1003 0.0907 0.0821 0.0723 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498
1
0.2572 0.2438 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1815 0.1703 0.1596 0.1494
2
0.2700 0.2881 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3
0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2178 0.2205 0.2225 0.2237 0.2240
4
0.0.992 0.1082 0.1169 0.1254 0.1338 0.1414 0.1488 0.1557 0.1622 0.1680
5
0.0417 0.0476 0.0538 0.0802 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 0.1008
6
0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0455 0.0504
7
0.0044 0.0055 0.0068 0.0083 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 0.0216
8
0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 0.0081
9
0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 0.0027
10
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0008
11
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002
12
0.0001
Tabla V. Distribución de Poisson.

X
3.1
0
0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0204 0.0183
1
0.1397 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733
2
0.2165 0.2087 0.2208 0.1929 0.1850 0.1771 0.1692 0.1615 0.1539 0.1465
3
0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 0.1954
4
0.1734 0.1781 0.1823 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1944 0.1951 0.1954
5
0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 0.1563
6
0.0555 0.0608 0.0662 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0936 0.0989 0.1042
7
0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 0.0595
8
0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 0.0298
9
0.0033 0.0040 0.0047 0.0056 0.0066 0.0076 0.0089 0.0102 0.0116 0.0132
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
10
0.0010 0.0013 0.0016 0.0019 0.0023 0.0028 0.0033 0.0039 0.0045 0.0053
11
0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019
12
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
13
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002
14
0.0001
Tabla VI. Distribución de Poisson.

X
4.1
0
0.0166 0.0150 0.0136 0.0123 0.0111 0.0101 0.0091 0.0082 0.0074 0.0067
1
0.0679 0.0630 0.0583 0.0540 0.0500 0.0462 0.0427 0.0395 0.0365 0.0337
2
0.1393 0.1323 0.1254 0.1188 0.1125 0.1063 0.1005 0.0948 0.0894 0.0842
3
0.1904 0.1852 0.1798 0.1743 0.1687 0.1631 0.1574 0.1517 0.1460 0.1404
4
0.1951 0.1944 0.1933 0.1917 0.1898 0.1875 0.1849 0.1820 0.1789 0.1755
5
0.1600 0.1633 0.1662 0.1687 0.1708 0.1725 0.1738 0.1747 0.1753 0.1755
6
0.1093 0.1143 0.1191 0.1237 0.1281 0.1323 0.1362 0.1398 0.1432 0.1462
7
0.0640 0.0686 0.0732 0.0778 0.0824 0.0869 0.0914 0.0959 0.1002 0.1044
8
0.0328 0.0360 0.0393 0.0428 0.0463 0.0500 0.0537 0.0575 0.0614 0.0653
9
0.0150 0.0168 0.0188 0.0209 0.0232 0.0255 0.0280 0.0307 0.0334 0.0363
10
0.0061 0.0071 0.0081 0.0092 0.0104 0.0.18
11
0.0023 0.0027 0.0032 0.0037 0.0043 0.0049 0.0056 0.0064 0.0073 0.0082
12
0.0008 0.0009 0.0011 0.0014 0.0016 0.0019 0.0022 0.0026 0.0030 0.0034
13
0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013
14
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.000.
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
0.0.132 0.0147 0.0.164 0.0181
0.0003 0.0004 0.0005
15
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002
Tabla VII. Distribución de Poisson.

X
5.1
0
0.0061 0.0055 0.0050 0.0045 0.0041 0.0037 0.0033 0.0030 0.0027 0.0025
1
0.0311 .0.0287 0.0265 0.0244 0.0225 0.0207 0.0191 0.0176 0.0162 0.0149
2
0.0793 0.0746 0.0701 0.0659 0.0618 0.0580 0.0544 0.0509 0.0477 0.0446
3
0.1348 0.1293 0.1239 0.1185 0.1133 0.1082 0.1033 0.0985 0.0938 0.0892
4
0.1719 0.1681 0.1641 0.1600 0.1558 0.1515 0.1472 0.1428 0.1383 0.1339
5
0.1753 0.1748 0.1740 0.1727 0.1714 0.1697 0.1678 0.1656 0.1632 0.1606
6
0.1490 0.1515 0.1537 0.1555 0.1571 0.1584 0.1594 0.1601 0.1605 0.1606
7
0.1086 0.1125 0.1163 0.1200 0.1234 0.1267 0.1298 0.1326 0.1353 0.1377
8
0.0692 0.0731 0.0771 0.0810 0.0849 0.0887 0.0925 0.0962 0.0998 0.1033
9
0.0392 0.0423 0.0454 0.0486 0.0519 0.0552 0.0586 0.0620 0.0654 0.0688
10
0.0200 0.0220 0.0241 0.0262 0.0285 0.0309 0.0334 0.0.69
11
0.0093 0.0104 0.0116 0.0129 0.0143 0.0157 0.0173 0.0190 0.0207 0.0225
12
0.0039 0.0045 0.0051 0.0058 0.0065 0.0073 0.0082 0.0092 0.0102 0.0113
13
0.0015 0.0018 0.0021 0.0024 0.0028 0.0032 0.0036 0.0041 0.0046 0.0052
14
0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 0.0022
15
0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
16
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003
17
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
5.2
5.3
Tabla VIII. Distribución de Poisson.
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6.0
0.0386 0.0413

X
6.1
0
0.0022 0.0020 0.0018 0.0017 0.0015 0.0014 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009
1
0.0137 0.0126 0.0116 0.0106 0.0098 0.0090 0.0082 0.0076 0.0070 0.0064
2
0.0417 0.0390 0.0364 0.0340 0.0318 0.0296 0.0276 0.0258 0.0240 0.0223
3
0.0848 0.0806 0.0765 0.0726 0.0688 0.0652 0.0617 0.0584 0.0552 0.0521
4
0.1294 0.1249 0.1205 0.1162 0.1118 0.1076 0.1034 0.0892 0.0952 0.0912
5
0.1579 0.1549 0.1519 0.1487 0.1454 0.1420 0.1385 0.1349 0.1314 0.1277
6
0.1605 0.1601 0.1595 0.1586 0.1575 0.1562 0.1546 0.1525 0.1511 0.1490
7
0.1399 0.1418 0.1435 0.1450 0.1462 0.1472 0.1480 0.1486 0.1489 0.1490
8
0.1066 0.1099 0.1130 0.1180 0.1188 0.1215 0.1240 0.1263 0.1284 0.1304
9
0.0723 0.0757 0.0791 0.0825 0.0858 0.0891 0.0923 0.0954 0.0985 0.1014
10
0.0441 0.0569 0.0498 0.0628 0.0558 0.0588 0.0618 0.0649 0.0679 0.0710
11
0.0245 0.0265 0.0285 0.0307 0.0330 0.0353 0.0377 0.0401 0.0426 0.0452
12
0.0124 0.0137 0.0150 0.0164 0.0179 0.0194 0.0210 0.0227 0.0245 0.0264
13
0.0058 0.0065 0.0073 0.0081 0.0089 0.0098 0.0108 0.0119 0.0130 0.0142
14
0.0025 0.0029 0.0033 0.0037 0.0041 0.0046 0.0052 0.0058 0.0064 0.0071
15
0.0010 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.0020 0.0023 0.0026 0.0029 0.0033
16
0.0004 0.0005 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0010 0.0011 0.0013 0.0014
17
0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0006
18
0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002
19
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001
6.2
6.3
Tabla IX. Distribución de Poisson.
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7.0

X
7.1
0
0.0008 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003
1
0.0059 0.0054 0.0049 0.0045 0.0041 0.0038 0.0035 0.0032 0.0029 0.0027
2
0.0208 0.0194 0.0180 0.0167 0.0156 0.0145 0.0134 0.0125 0.0116 0.0107
3
0.0492 0.0464 0.0438 0.0413 0.0389 0.0366 0.0345 0.0324 0.0305 0.0286
4
0.0874 0.0836 0.0799 0.0764 0.0729 0.0696 0.0663 0.0632 0.0602 0.0573
5
0.1241 0.1204 0.1167 0.1130 0.1094 0.1057 0.1021 0.0986 0.0951 0.0916
6
0.1468 0.1445 0.1420 0.1394 0.1367 0.1339 0.1311 0.1282 0.1252 0.1221
7
0.1489 0.1486 0.1481 0.1474 0.1465 0.1454 0.1442 0.1428 0.1413 0.1396
8
0.1321 0.1337 0.1351 0.1363 0.1373 0.1382 0.1368 0.1392 0.1395 0.1396
9
0.1042 0.1070 0.1096 0.1121 0.1144 0.1167 0.1187 0.1207 0.1224 0.1241
10
0.0740 0.0770 0.0800 0.0829 0.0858 0.0887 0.0914 0.0941 0.0967 0.0993
11
0.0478 0.0504 0.0531 0.0558 0.0585 0.0613 0.0640 0.0667 0.0695 0.0722
12
0.0283 0.0303 0.0323 0.0344 0.0366 0.0388 0.0411 0.0434 0.0457 0.0481
13
0.0154 0.0168 0.0181 0.0196 0.0211 0.0227 0.0243 0.0260 0.0278 0.0296
14
0.0078 0.0086 0.0095 0.0104 0.0113 0.0123 0.0134 0.0145 0.0157 0.169
0.
15
0.0037 0.0041 0.0046 0.0051 0.0057 0.0062 0.0069 0.0075 0.0083 0.0090
16
0.0016 0.0019 0.0021 0.0024 0.0026 0.0030 0.0033 0.0037 0.0041 0.0045
17
0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0012 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 0.0021
18
0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
19
0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0004
20
0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002
21
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8.0
Tabla X. Distribución de Poisson.

X
8.1
0
0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001
1
0.0025 0.0023 0.0021 0.0019 0.0017 0.0016 0.0014 0.0013 0.0012 0.0011
2
0.0100 0.0092 0.0086 0.0079 0.0074 0.0068 0.0063 0.0058 0.0054 0.0050
3
0.0269 0.0253 0.0237 0.0222 0.0208 0.0195 0.0183 0.0171 0.0160 0.0150
4
0.0544 0.0517 0.0491 0.0466 0.0443 0.0420 0.0398 0.0377 0.0357 0.0337
5
0.0882 0.0849 0.0816 0.0784 0.0752 0.0722 0.692
6
0.1191 0.1160 0.1128 0.1097 0.1066 0.1034 0.1003 0.0972 0.0941 0.0911
7
0.1378 0.1358 0.1338 0.1317 0.1294 0.1271 0.1247 0.1222 0.1197 0.1171
8
0.1395 0.1392 0.1388 0.1382 0.1375 0.1366 0.1356 0.1344 0.1332 0.1318
9
0.1256 0.1269 0.1280 0.1290 0.1299 0.1306 0.1311 0.1315 0.1317 0.1318
10
0.1017 0.1040 0.1063 0.1084 0.1104 0.1123 0.1140 0.1157 0.1172 0..1186
11
0.0749 0.0776 0.0802 0.0828 0.0853 0.0878 0.0902 0.0925 0.0948 0.0970
12
0.0505 0.0530 0.0655 0.0579 0.0604 0.0629 0.0654 0.0679 0.0703 0.0728
13
0.0315 0.0334 0.0354 0.0374 0.0395 0.0416 0.0438 0.0459 0.0481 0.0504
14
0.0182 0.0196 0.0210 0.0225 0.0240 0.0256 0.0272 0.0289 0.0306 0.0324
15
0.0098 0.0107 0.0116 0.0126 0.0136 0.0147 0.0158 0.0169 0.0182 0.0194
16
0.0050 0.0065 0.0060 0.0066 0.0072 0.0079 0.0086 0.0093 0.0101 0.0109
17
0.0024 0.0026 0.0029 0.0033 0.0036 0.0040 0.0044 0.0048 0.0053 0.0058
18
0.0011 0.0012 0.0014 0.0015 0.0017 0.0019 0.0021 0.0024 0.0026 0.0029
19
0.0005 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0012 0.0014
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
0.0663 0.635
9.0
0.0607
20
0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0006
21
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003
22
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
Tabla XII. Distribución de Poisson.

X
9.1
0
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000
1
0.0010 0.0009 0.0009 0.0008 0.0007 0.0007 0.0006 0.0005 00005
2
0.0046 0.0043 0.0040 0.0037 0.0034 0.0031 0.0029 0.0027 0.0025 0.0023
3
0.0140 0.0131 0.0123 0.0115 0.0107 0.0100 0.0093 0.0087 0.0081 0.0076
4
0.0319 0.0302 0.0285 0.0269 0.0254 0.0240 0.0226 0.0213 0.0201 0.0189
5
0.0.581 0.0555 0.0530 0.0506 0.0483 0.0460 0.0439 0.0418 0.0398 0.0378
6
0.0881 0.851
7
0.1145 0.1118 0.1091 0.1064 0.1037 0.1010 0.0982 0.0955 0.0928 0.0901
8
0.1302 0.1286 0.1269 0.1251 0.1232 0.1212 0.1191 0.1170 0.1148 0.1126
9
0.1317 0.1315 0.1311 0.1306 0.1300 0.1293 0.1284 0.1274 0.1263 0.1251
10
0.1198 0.1210 0.1219 0.1228 0.1235 0.1241 0.1245 0.1249 0.1250 0.1251
11
0.0991 0.1012 0.1031 0.1049 0.1067 0.1083 0.1098 0.1112 0.1125 0.1137
12
0.0752 0.0776 0.0799 0.0822 0.0844 0.0866 0.0888 0.0908 0.0928 0.0948
13
0.0526 0.0549 0.0572 0.0594 0.0617 0.0640 0.0662 0.0685 0.0707 0.0729
14
0.0342 0.0361 0.0380 0.0399 0.0419 0.0439 0.0459 0.0479 0.0500 0.0521
15
0.0208 0.0221 0.0235 0.0250 0.0265 0.0281 0.0297 0.0313 0.0330 0.0347
16
0.0118 0.0127 0.0137 0.0147 0.0157 0.0168 0.0180 0.0192 0.0204 0.0217
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10
0.0005
0.0822 0.0793 0.0764 0.0736 0.0709 0.0682 0.0656 0.0631
17
0.0063 0.0069 0.0076 0.0081 0.0088 0.0095 0.0130 0.0111 0.0119 0.0128
18
0.0032 0.0035 0.0039 0.0042 0.0046 0.0051 0.0055 0.0060 0.0065 0.0071
19
0.0015 0.0017 0.0019 0.0021 0.0023 0.0026 0.0028 0.0031 0.0034 0.0037
20
0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0012 0.0014 0.0015 0.0017 0.0019
21
0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
22
0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004
23
0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002
24
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001
Tabla XIII. Distribución de Poisson.
X
 = 20
X
 = 20
0
0.0000
20
0.0888
1
0.0000
21
0.0846
2
0.0000
22
0.0769
3
0.0000
23
0.0669
4
0.0000
24
0.0557
5
0.0001
25
0.0446
6
0.0002
26
0.0343
7
0.0005
27
0.0254
8
0.0013
28
0.0181
9
0.0029
29
0.0125
10
0.0058
30
0.0083
11
0.0106
31
0.0054
12
0.0176
32
0.0034
13
0.0271
33
0.0020
14
0.0387
34
0.0012
15
0.0516
35
0.0007
16
0.0646
36
0.0004
17
0.0760
37
0.0002
18
0.0844
38
0.0001
19
0.0888
39
0.0001
Tabla XIV. Distribución de Poisson.
Esta distribución es discreta y se define solo a través del parámetro 𝜇 que representa la
media, y es muy útil para caracterizar eventos que ocurren en el tiempo: solicitud de
llamadas, cantidad de clientes que entran a un establecimiento, cantidad de tareas que
requieren CPU o I/O interface, etc.
Sea X una variable aleatoria que denota la ocurrencia de un evento, entonces la
probabilidad que X sea igual x, donde x es un entero, viene dada por
𝑃(𝑋 = 𝑥)
𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇
; 𝑥 = 0,1,2,3, … ..
𝑥!
En la distribución de Poisson la media y la varianza son iguales a 𝜇se puede obtener a
través de medidas realizadas, modernamente todos los elementos de una red de
telecomunicaciones incorporan herramientas que permiten obtener algunas estadísticas
sobre la tasa de llegada y la duración promedio de las sesiones. Esos valores se utilizan
entonces para realizar ajustes que mejoren el desempeño de las redes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Fig. 3.6 Representación gráfica de la distribución de Poisson.
Esta gráfica la probabilidad de que se produzca una cantidad x de llamadas, por ejemplo
durante un minuto en una hora pico; en el caso aquí mostrado la media 𝜇= 5, lo que
equivale a 300 llamadas por hora.
En la gráfica vemos que la probabilidad de que ocurran 3 llamadas en un minuto es de 0.14.
por ejemplo, esta grafica nos indica que la probabilidad de que se produzcan 10 llamadas
por minuto es muy baja, por lo tanto a nivel de establecer la cantidad de líneas telefónicas,
es preferible diseñar la red para satisfacer la cantidad promedio de llamadas, y así los costos
son menores.
 La distribución de Poisson supone que:
Todos los intentos de llamadas son independientes entre sí, por lo tanto ningún evento
producirá una generación abrupta de las mismas.
Durante la hora pico las llamadas se distribuyen en forma aleatoria y que la probabilidad de
ocurrencia de una llamada es la misma durante toda la hora pico.
La cantidad total de llamadas es mucho mayor que 1, por lo que una sola llamada es
insignificante en el patrón total de tráfico.
 Por lo general la duración de las llamadas es breve, para el caso de telefonía vocal,
por lo que se considera que tienen un comportamiento como el de una distribución
exponencial negativa.
 La distribución exponencial. Interpretación: la cantidad de llamadas de duración x
viene dada por:
1
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑒 −𝑥/𝜇
𝜇
La probabilidad de que la duración de las llamadas sea x, viene dada por P (X=x) la
media y la varianza son iguales a 𝜇.
Para el modelado de Poisson se tiene un número finito de fuentes de entrada al
igual k en la fórmula de Erlang C, en el cual las llamadas bloqueadas son retenidas
hasta que se tiene un circuito disponible. Este tipo de fórmula es utilizada para
bloqueos mayores. La fórmula de Poisson es usada para diseñar troncales para un
determinado GoS o grado de servicio.
Fig. 3.7 Modelo de tráfico para Poisson
La fórmula de Poisson es la siguiente:
∞
𝑃𝐵 = 𝑒
−𝐴
𝐴𝑖
∑
𝑖!
𝑖=𝑁
Dónde:
Pb= Probabilidad de bloqueo
A= Carga ofrecida
N= Número de canales de servicio
TRÁFICO DE DATOS
La teoría de tráfico es una herramienta ampliamente utilizada para el análisis del
comportamiento de las redes de comunicaciones, las cuales pueden ser de conmutación de
circuitos, como las redes telefónicas o de conmutación de paquetes como las redes de datos
IP. La conmutación de circuitos consiste en el establecimiento de un canal dedicado físico
(real), de extremo a extremo entre los cuales existen elementos de conmutación, que el caso
de la red telefónica se trata de centrales públicas (CO – Central office) o PBX (Private
Branch eXchange), para el caso de empresas. Los enlaces pueden consistir en ranuras de
tiempo en un sistema de multiplexación temporal (TDM) o bandas de frecuencia para el
caso de multiplexacion en frecuencia (FDM).
Como se verá más adelante con mayor detalle, las redes telefónicas pueden operar en base a
bloqueo de llamadas o a la utilización de colas de espera, siendo la más utilizada la primera
en las redes públicas debido a su equidad y eficacia. El modelamiento para este tipo de
comportamiento se realiza con teoría de cola, utilizando distintas notaciones dependiendo
de los supuestos y modelos a aplicar para cada proceso. La notación de Kendall para un
sistema general de formación de colas es de la forma
A / B / C:
A representa la distribución de llagada de requerimientos en un conmutador
B representa la distribución de servicio en un elemento conmutador
C es el número de troncales de salida para el caso de una central telefónica
TIPOS DE TRÁFICO

Tráfico ofrecido. Podría cursar una cantidad muy grande de elementos de red. Es el
tráfico que se cursaría si no se hubiesen llamado perdidas.

Tráfico cursado. Es el tráfico atendido por un grupo de elementos de la red.

Tráfico de desbordamiento. La parte del tráfico ofrecida a un conjunto de elementos
de red que no es cursada por dicho conjunto de órganos.

Tráfico bloqueado. La parte del tráfico de desbordamiento que no es cursada por
conjuntos subsiguientes de órganos.
Tráfico rechazado o perdido. La parte de tráfico bloqueado que no da como resultado
reintentos de llamada. Es la diferencia entre el tráfico ofrecido y el tráfico cursado y se
puede reducir aumentando la capacidad del sistema.
El tráfico ofrecido es un concepto teórico y se utiliza solo para propósitos de planificación
teórica. Solo el tráfico cursado es medido en la práctica y por supuesto depende de la
capacidad de la red y sistema. Desde el punto de vista económico, la capacidad de la red
siempre será menor que el tráfico ofrecido, esto se debe al carácter aleatorio de las
comunicaciones lo que produce que en condiciones normales de funcionamiento solo un
porcentaje de los usuarios de la red solicitan recursos a la misma.
Dimensionamiento: estudio que permite identificar los recursos que son utilizados con
respecto a los disponibles en una central telefónica.
Ruta: conjunto de troncales de interconexión. Cada troncal puede ser programada como
entrante o saliente.
La unidad de tráfico de intensidad se denomina Erlang, cuyo símbolo es E. Un Erlang es la
intensidad de tráfico en un conjunto de órganos, cuando solo uno de ellos está ocupado de
manera continua. Cuando el tráfico es de (1) Erlang significa que el elemento de la red está
totalmente ocupado durante el tiempo de medición, normalmente una hora.
Si una línea está ocupada durante una hora entonces cursa un tráfico de 3600 llamadassegundos que a 36 llamadas de 100 seg. de duración cada una o a cualquier otra
combinación que resulte en 3600 llamadas-segundos. Si 100 usuarios solicitan una llamada
con una duración promedio de 3 minutos entonces el tráfico es:
𝐴=
100∗3∗60
3600
=
100∗180
3600
= 5 𝑒𝑟𝑙𝑎𝑛𝑔
A parte del Erlang, también se usa el CCS (Centi-Call Seconds) como unidad de tráfico.
Un CCS equivale a una llamada con duración de cien segundos, de esta forma el tráfico en
una línea ocupada totalmente durante una hora es de 36 CCS, por lo tanto:
1 Erlang = 36 CCS
De esta forma si tenemos el tráfico en CCS lo dividimos por 36 para obtener los Erlang
respectivos. Si por el contrario, el tráfico esta en Erlang lo multiplicamos por 36 para
llevarlo a CCS.
El tráfico ofrecido depende de dos factores importantes:
 La tasa de llegada de sesiones de comunicaciones Q [sesiones/s,sesión/min,
sesión/hr]
 La duración promedio de cada sesión 𝜇 [s o min]
Esto se aplica por igual para llamadas de voz o para aplicaciones de datos, si Q se expresa
en sesión/min y 𝜇 en min, el tráfico promedio en Erlang viene dado por
A = 𝜇Q
Ejemplo: Si es una red llegan 10 llamadas por min y cada una dura en promedio 3 min,
entonces el tráfico promedio ofrecido a la red es de 30 Erlang.
A = 10 [llamadas/min]3[min] = 30 Erlang
Si Q se expresa en sesión /hr y 𝜇 en segundos entonces el tráfico es
𝜇𝑄
A= 3600
Erlang es una unidad de tráfico más usada, existen otras unidades de tráfico.
El cálculo de tráfico en telecomunicaciones, también conocido como telegráfico, es un
compromiso entre la cantidad de recursos disponibles pero no utilizados por los usuarios y
la misma cantidad de recursos cuando todos los usuarios los soliciten, manteniendo al
mínimo la cantidad de sesiones perdidas.
La estimación de la cantidad de recursos no tiene una solución única ya que depende
mucho del planificar y del grado de servicio que esté dispuesto a ofrecer a los clientes. Un
canal ocupado continuamente lleva un tráfico de un Erlang.
Fig. 3.8 Tipos de Tráfico
Los costos de una red de telecomunicaciones se pueden dividir en dos grandes partes: los
costos de la infraestructura que depende de la cantidad de usuarios y los costos asociados al
tráfico cursado por los usuarios.
La planificación tiene por objeto minimizar los costos manteniendo un cierto grado en la
calidad de servicio a los usuarios, para ello la red debe de estar bien dimensionada y se
deben medir periódicamente una gran cantidad de indicadores que señalan el estado de
ocupación de la red.
Cuando un elemento se ocupa, las próximas llamadas son desbordadas a otros elementos, se
produce entonces el tráfico desbordado. Cuando todos los elementos están ocupados las
siguientes llamadas se bloquean. Una cierta cantidad de llamadas bloqueadas son
reintentadas, las que no lo sean se consideran como rechazadas.
Dependiendo del modelo de tráfico que usemos se pueden o no considerar reintento, si no
aplica el reintento entonces todas las llamadas bloqueadas se convierten en rechazadas o
perdidas.
DISTRIBUCIÓN ESTADISTICA DEL TRÁFICO
El tráfico tiene un comportamiento aleatorio por lo que es necesario el uso de distribuciones
de probabilidad para analizar:
El patrón de llegada de sesiones [sesiones/s]
La duración por sesión [s/sesión]
El patrón de llegada aleatorio: Poisson
Patrón con picos: hyper-exponencial
Patrón plano: hypo-exponencial
Distribución exponencial para la duración de las sesiones
El patrón de llamadas tiene un gran impacto en el tráfico total, por lo tanto debe escogerse
con sumo cuidado.
GRADO DE SERVICIO
Es un atributo de calidad de servicio usado en las comunicaciones telefónicas en particular,
y en general en los servicios basados en conmutación de circuitos, y se refiere a la
probabilidad de bloqueo en el primer intento de una llamada, durante la hora pico, y se
expresa como Px donde x es menor que 1 y representa la probabilidad de bloqueo; por
ejemplo P.01 significa que existe un 1% de probabilidad de bloqueo en la hora pico.
Mientras más bajo es el grado de servicio es menor la probabilidad de bloqueo y por
supuesto mejor es el desempeño de la red. La mayoría de las redes de telefonía fija se
diseñan para P.01 y las redes de celulares para P0.02
El bloqueo ocurre cuando estando todos los recursos ocupados se trata de hacer una
llamada la cual no puede ser atendida por la red. Cuando todas las líneas conectadas entre
los nodos de la red están ocupadas también ocurre el bloqueo, si se trata de hacer una
llamada a un abonado de otra central.
No es necesario incluir equipos de conmutación y líneas para manejar para manejar todas
las solicitudes hechas por todos los usuarios conectados a la red, ya que en condiciones
normales solo un pequeño porcentaje de tráfico es demandado a la red. Entonces en el
diseño debe haber una situación de compromiso entre la calidad del servicio y el costo
asociado a los elementos de la red.
En el caso de las redes celulares la probabilidad de bloqueo incluye tanto los que están
entrando a un sector de la BS como los que están haciendo handoff.
Capitulo IV
4.1 Modelo de Tráfico
Los modelos de tráfico están basados en la teoría de colas. Una vez que conocemos, la tasa
de llegada de sesiones, la duración de cada sesión y el grado de servicio; debemos escoger
un modelo de tráfico.
No existe ningún modelo que se ajuste exactamente a la realidad, pero debemos escoger
uno que se adapte lo más posible a la situación que estamos estudiando.
Los modelos más usados son:
 Erlang B
 Erlang B Extendido
 Erlang C
Todos suponen un patrón de llegada de llamadas aleatorio y la duración según una
distribución exponencial. También consideran que la cantidad de fuentes que pueden
originar una llamada es infinita.
Los costos de una red de telecomunicaciones se pueden dividir en dos grandes partes: los
costos de la infraestructura que depende de la cantidad de usuarios y los costos asociados al
tráfico cursado por los usuarios. (Ver Fig. 4.1).
(a)Modelo de Erlang B
(b) Modelo de Erlang C
Fig. 4.1 Modelos de Erlang
4.2 El modelo Erlang B
Conociendo el tráfico y la cantidad de líneas disponibles, este modelo calcula la
probabilidad PB de que una llamada en su primer intento sea bloqueada y está basado en las
siguientes premisas.
1. La cantidad de usuarios es muy grande.
2. Las llamadas llegan en forma aleatoria de acuerdo a una distribución de Poisson.
3. Las llamadas se atienden según el orden de llegada.
4. Las llamadas bloqueadas se pierden. Modelo con pérdidas, no hay lista de espera.
5. El tiempo de duración de las llamadas siguen una distribución exponencial.
Dónde:
𝑃𝐵 =
𝐴𝑁
𝑁!
∑𝑁
𝑖=0
𝐴𝑖
𝑖!
A: es el tráfico en Erlang durante la hora pico
N: cantidad de líneas del sistema
El modelo Erlang B ha sido ampliamente usado en el diseño de redes y sus resultados se
encuentran tabulados pero son algo engorroso de usar; dichas tablas están diseñadas de
manera que conociendo el tráfico en Erlangs y el grado de servicio o probabilidad de
bloqueo se pueda obtener la cantidad de líneas mínima para cursar el tráfico. Actualmente
existen muchos sitios en Internet que permiten hacer dichos cálculos.
Ejemplo: Si el tráfico es de 5 Erlang y el grado de servicio es P0.01, entonces la cantidad de
líneas necesarias es 11, con lo que obtiene un grado de servicio P0.00829.
Intensidad Grado de servicio Líneas Grado de servicio actual
5 Erlang
0.01
11
0.00829
Tabla XV. Ejemplo del Modelo Erlang B
Elementos del ejemplo.
Este es el modelo usado para el dimensionamiento de centrales telefónicas POTS tanto
públicas como privadas También se usa para el caso de VoIP, ya que se espera que VoIP
tenga la misma QoS de POTS.
Fig. 4.2 Tabla de probabilidad
Ejemplo: Tráfico de 5 E y P0.01, ¿cuantos circuitos se necesitan?
Primero nos ubicamos en la columna correspondiente a P0.01, es decir B=1% y luego nos
desplazamos hasta ubicar el tráfico en Erlang que sea igual o inmediatamente superior a 5E,
en este caso 5.160, y así leemos en la columna de la izquierda la cantidad de 11 líneas
necesarias para cursar el tráfico.
Ejemplos usando Erlang B
Consideremos un centro de atención al cliente ON LINE vía telefónica a través de tonos
DTMF. El tiempo completo de la fase de marcado de un digito DTMF se asume a ser de 20
s, incluye la invitación a marcar y el anuncio de todas las opciones. Se esperan 10.000
llamadas en la hora pico y se requiere que el porcentaje de bloqueo sea inferior a
0.1%=0.001. Deseamos calcular la cantidad de receptores de DTMF que se necesitan.
Fig. 4.3 Ejemplo de Erlang B
Tráfico_User=20 s/1 hora=5.55 mE
Tráfico_Total=Tráfico_User*10.000= 55 E
Usando la calculadora Erlang B obtenemos que se necesiten 78 receptores de DTMF
En este caso las llamadas bloqueadas se pierden ya que no se considera ningún sistema de
colas de espera. Si los 78 receptores de DTMF están ocupados existe una probabilidad del
0,1% que la siguiente llamada se pierda.
4.2.1 Introducción a la calculadora Erlang B
La calculadora Erlang B es un programa JavaScript que se ha proporcionado a través de
Internet. Con la calculadora, puede calcular el número de líneas requeridas en un grupo de
enlaces en particular si se conocen los niveles de tráfico telefónico que se ejercerán sobre
ese enlace. Por ejemplo, si usted tiene líneas PSTN conectadas desde su PBX a la red de un
operador (troncales CO), entonces se puede calcular el número de líneas que debe haber
conectado. Si usted tiene muy pocas líneas, su personal tendrá problemas para realizar
llamadas ya que recibirán las señales de ocupado cuando tratan de acceder a una línea
exterior. Tal vez lo más importante, personas que llaman a su empresa recibirán el tono de
ocupado. Si tiene demasiadas líneas, usted está perdiendo dinero en el alquiler de la línea y
el mantenimiento de los equipos PBX.
Este sistema de ayuda se explica cómo utilizar la calculadora Erlang B y define los
términos utilizados. El modelo de Erlang B es un modelo de tráfico establecido para
predecir el desempeño de las telecomunicaciones. Los usuarios deben ser conscientes de
que este modelo hace algunas suposiciones acerca de la naturaleza del tráfico telefónico y
puede resultar inexacta en circunstancias especiales, tales como volúmenes de llamadas
entrantes generadas por la televisión y la publicidad por radio. Westbay Engineers Ltd. no
acepta ninguna responsabilidad por las pérdidas derivadas de la utilización de esta
herramienta.
La razón principal de la presencia de nuestra empresa en Internet es, obviamente, con fines
comerciales. Sin embargo, esta herramienta ha sido prevista en un genuino deseo de añadir
valor al internet en lugar de proporcionar un sitio con links a otros sitios. Esperamos que la
calculadora útil y valorar cualquier comentario que nos envíe utilizando el formulario de
comentarios en la página de la calculadora.
4.2.2 El modelo de trafico Erlang B
El modelo de tráfico Erlang B fue establecido por A. K. Erlang, un científico danés que era
responsable de gran parte de los primeros trabajos en la teoría de tráfico telefónico. Se trata
de un modelo analítico para calcular el bloqueo de llamadas y es la base para la calculadora
de tráfico que está utilizando.
El modelo hace las siguientes suposiciones:



Las llamadas se presentan al azar al grupo de líneas externas (llegadas de Poisson).
Duración de las llamadas se fijan o se distribuyen de manera exponencial.
Llamadas bloqueadas se borran.
La suposición de que las llamadas bloqueadas se borran sólo es válida si las llamadas se
desbordaron a otro grupo de líneas externas (por ejemplo, las llamadas a una conexión de
red privada se desbordó a la red telefónica pública PSTN si todas las líneas de la red
privada están en uso). En la práctica, esto a menudo no es el caso. Sin embargo, si el
bloqueo es bajo el error introducido por esta suposición es pequeño. Un desarrollo posterior
de este modelo fue el Extended Erlang B Tráfico modelo que toma tiene en cuenta el
reintento inmediato de llamadas bloqueadas. También hay una calculadora basada en ese
modelo en este sitio Web.
4.2.3 Las tres variables (BHT, bloqueo y líneas)
El modelo de tráfico Erlang B define la relación entre tres variables. Si se conocen dos
figuras, la tercera figura se puede calcular. Las tres variables son:



Tráfico ocupado horas
Bloqueo
Líneas
4.2.3.1 Tráfico ocupado horas
Tráfico ocupado horas es la cantidad de tráfico ofrecido a un grupo de troncales durante la
hora de mayor actividad de un día. CCITT E.500 hace una definición más detallada de hora
ocupada pero esto está fuera del ámbito de aplicación de este sistema de ayuda. Tráfico
ocupado horas se utiliza como base para los cálculos utilizando el modelo de tráfico Erlang
B. Si usted se está resolviendo el número de líneas requeridas para un grupo de enlaces,
usted debe saber que esta cifra (o hacer una estimación razonable). La unidad para el tráfico
de hora pico es el Erlang. 1 Erlang representa el uso continuo de un circuito durante una
hora. Así, si durante la hora ocupada, se hacen llamadas 60, cada uno minutos duradera, la
figura tráfico ocupado horas es 1 Erlang. En los EE.UU., la unidad utilizada para la
medición del tráfico es la CCS (Centi-call segundos). El factor de conversión siguiente se
puede aplicar entre las dos unidades:


1 Erlang = 36 CCS
1 CCS = 0,0278 Erlangs
4.2.3.2 Bloqueo
El bloqueo es una fracción que representa las llamadas que no se puede completar porque
todas las líneas están ocupadas. 0.1 significa que el 10% de las llamadas se bloquean. 0,01
significa que 1% de las llamadas se bloquean. Dependiendo de la aplicación, las cifras son
razonables para el bloqueo entre 0,01 y 0,03. Personas que llaman por lo general
experimentan bloqueo escuchar una señal de ocupado.
4.2.3.3Líneas
Esta cifra representa el número de líneas que se proporcionan en un grupo de enlaces.
4.2.4 Obtener cifras de tráfico de su sistema telefónico
Si desea calcular el número de líneas requeridas para un grupo de enlaces, o estimar el
bloqueo experimentado con un grupo de enlaces, usted tendrá que saber la cantidad de
tráfico ofrecido al grupo de troncales. Hay un número de maneras que usted puede hacer
esto.
4.2.4.1 Llame madereros
Muchos PABX tienen registradores de llamadas conectadas a ellos. Estos registros y
analizar detalles de las llamadas realizadas con la centralita y puede proporcionar las cifras
de tráfico de determinadas rutas. Debe asegurarse de que las cifras utilizadas son figuras
hora pico. Hay un número de maneras de abordar este:


Algunos registradores de llamadas en realidad ofrecen figuras ocupadas horas.
Si el registrador no es uno de ellos, tendrá que imprimir las cifras de tráfico por hora
durante un período de días o semanas. A continuación, utilice la cifra más alta por
hora durante ese período.


Algunos registradores ofrecen cifras de llamadas como minutos en lugar de Erlangs.
Para convertir de minutos de llamadas por hora a Erlangs, dividir la cifra por 60.
Recuerde que los registradores de llamadas sólo se sabe acerca de las llamadas
realmente terminadas con éxito. Darán llevaste cifras en lugar de cifras ofrecidas
que requerirán sus cálculos. Esto sólo será un problema si el bloqueo en los grupos
de enlaces se encuentra actualmente mal.
4.2.4.2Estadísticas PABX
Algunas centralitas (por ejemplo, Nortel Meridian) tienen módulos de software
proporcionadas que proporcionarán los datos de tráfico necesarios. Las mismas
consideraciones que llaman cifras de registro se aplican.
4.2.4.3 Las facturas de teléfono
Las facturas algunas veces se pueden usar para averiguar el tráfico transportado por un
grupo de enlaces. Esta puede ser una tarea laboriosa.
4.2.4.4 Estudio de tráfico Carrier
Por una cuota, su proveedor actual puede estar dispuesto a llevar a cabo un estudio sobre el
tráfico y puede ser capaz de utilizar los datos históricos.
4.2.4.5 Estimación
Si usted no tiene ninguno de estos lujos, tendrá que hacer una estimación razonable. Debe
basar esta en lo que sabe acerca de la forma en que su empresa utiliza sus teléfonos y usted
puede ser capaz de utilizar la información de otros sitios web de su empresa.
4.2.5 Al realizar un cálculo
Puede utilizar la Calculadora de tráfico Erlang B para encontrar una variable si usted sabe
los otros dos. La calculadora se divide en tres áreas principales, cada uno representando una
variable (tráfico hora punta, bloqueos y líneas). Cada área tiene un botón de opción y un
cuadro de edición. Haga clic en el botón que representa la cantidad que se desea calcular.
Introduzca las dos figuras que usted conoce en los cuadros de edición proporcionadas de
ellos.
Al pulsar el botón Calc se calculará la cifra desconocida y se muestra en el cuadro de
edición restante. El cálculo se realiza mediante el navegador web en lugar de software en
nuestro servidor de internet. Dependiendo del rendimiento de su equipo, este cálculo puede
tardar algunos segundos.
4.2.6 Un ejemplo de cálculo
He aquí un ejemplo de cómo calcular el número de líneas requeridas en un grupo de líneas
externas. Para saber el número de líneas necesarias, tendrá que conocer la figura del tráfico
de hora pico y decidir sobre una figura de bloqueo aceptable.
Vamos a suponer que usted ha calculado que el tráfico de hora pico ofrecida al grupo de
troncales será de 5 Erlangs y que va a aceptar un bloqueo de 0,03 (3% de las llamadas se
bloquea). Los siguientes pasos deben realizarse:




Haga clic con el ratón sobre el botón de opción marcada desconocido que se
encuentra en la sección de Líneas de la calculadora (este botón de selección ya debe
estar configurado la primera vez que cargue la calculadora).
Introduzca la figura 5 en el cuadro de edición en la sección de BHT (Erl.) de la
calculadora.
Introduzca la figura 0.03 en el cuadro de edición en la sección de bloqueo de la
calculadora.
Pulse el botón Calc.
Después de unos segundos, la figura 10 se muestra en las líneas editar casilla que indica
que se necesitarán 10 líneas para llevar 5 Erlangs de tráfico con una figura de bloqueo de
3% si se cumplen los supuestos asociados con el modelo de tráfico Erlang B.
4.2.7 Visualizar los resultados
Usted puede mantener una cuenta corriente de los resultados obtenidos utilizando la
calculadora de tráfico Erlang B. Para ver estos resultados, presione el botón Resultados.
Esto abrirá una nueva ventana con una tabla que muestra los últimos 20 cálculos con el
cálculo más reciente en la parte inferior. Cada columna de la tabla representa una variable
que se utiliza en los cálculos, y la incógnita que se calcula se muestra en rojo. Puede volver
a la ventana de la calculadora y vuelva a su trabajo; ningún resultado en adelante se
muestran en la tabla.
Esta es una breve introducción a la calculadora. Para obtener información más detallada,
pulse el botón Ayuda. Para un registro actualizado de los resultados calculados, pulse el
botón Resultados. Ambas funciones se abren nuevas ventanas del navegador en el
escritorio.

Como se utiliza la calculadora de Erlang B
Fig. 4.4 Ejemplo de Calculadora con Erlang B.
4.2.8 Ejemplo de la calculadora.
El modelo de tráfico Erlang B es utilizado por los diseñadores de sistemas de teléfono para
estimar el número de líneas requeridas para las conexiones troncales CO (PSTN) o
conexiones de cable privados. Las tres variables que intervienen son Busy Hour Traffic
(BHT), Bloqueo y líneas:



Busy Hour Traffic (en Erlangs) es el número de horas de tráfico de llamadas que
hay durante la hora de mayor actividad de la operación de un sistema telefónico.
El bloqueo es el fracaso de llamadas debido a un número insuficiente de líneas están
disponibles. Por ejemplo, 0.03 significa 3 llamadas bloqueadas por 100 llamadas
intentadas.
Lines es el número de líneas en un grupo de enlaces.
Si conoces a dos de las figuras, se puede calcular el tercero de la siguiente manera:



Haga clic en el botón de opción desconocida que representa la variable desconocida.
Introduzca las 2 figuras conocidas en sus cuadros de edición.
Presione Calc y la tercera cifra se calcula y se muestra en el cuadro de edición
restante.
Por ejemplo, si en su registrador de llamadas, usted sabe que la hora pico de tráfico es 10
Erlangs y desea saber cuántas líneas se requiere en este grupo de enlaces, si usted está
dispuesto a tolerar 2 llamadas está bloqueado en cada 100 llamadas intentaron entonces :




Pulse el botón de opción desconocida Lines (esta opción está activada de
forma predeterminada).
Escriba 10 en el cuadro de edición BHT.
Entre 0.02 en el cuadro de edición bloqueo.
Al pulsar el botón Calc, 17 se mostrará en el cuadro de edición de líneas
que indica que 17 líneas serían necesarios en este grupo de troncales.
Fig. 4.5 Ejemplo de Calculadora con Erlang B.
4.3 Modelo Erlang B extendido.
En este modelo se asume que un porcentaje de las llamadas bloqueadas son reintentadas de
nuevo y el otro porcentaje se pierde.
Fig. 4.6 Ejemplo de Erlang B extendido
En este modelo de tráfico un porcentaje de las llamadas bloqueadas son reintentadas por
usuarios insistentes e ingresan de nuevo al sistema, el porcentaje restante se convierte en
llamadas perdidas. Es una modificación del modelo Erlang B. Es un modelo más realista ya
que muchos usuarios vuelven a intentar la llamada hasta que sean atendidos.
Fig. 4.7 Erlang B extendido
Necesitamos conocer el Tráfico total, la probabilidad de bloqueo y el porcentaje de las
bloqueadas que reintentan.
Sin embargo, no existe ninguna fórmula para determinar el porcentaje de reintento. Se
puede aplicar la siguiente regla: si no se tiene ninguna idea usar 50%, y si cree que todos
los bloqueados reintentaran use 99%.
4.3.1 Introducción a la Calculadora Extended Erlang B
El Erlang Erlang B Calculator es un programa JavaScript que se ha proporcionado a través
de Internet. Con la calculadora, puede calcular el número de líneas requeridas en un grupo
de enlaces en particular si se conocen los niveles de tráfico telefónico que se ejercerán
sobre ese enlace. La calculadora tiene en cuenta el tráfico ofrecido adicional causado por
una proporción de personas que llaman bloqueados inmediatamente que tratan de llamar de
nuevo. Por ejemplo, si usted tiene líneas PSTN conectadas desde su PBX a la red de un
operador (troncales CO), entonces se puede calcular el número de líneas que debe haber
conectado. Si usted tiene muy pocas líneas, su personal tendrá problemas para realizar
llamadas ya que recibirán las señales de ocupado cuando tratan de acceder a una línea
exterior. Tal vez lo más importante, personas que llaman a su empresa recibirán el tono de
ocupado. Si tiene demasiadas líneas, usted está perdiendo dinero en el alquiler de la línea y
el mantenimiento de los equipos PBX.
Este sistema de ayuda se explica cómo utilizar la calculadora Extended Erlang B y define
los términos utilizados. El modelo extendido Erlang B es un modelo de tráfico establecido
para predecir el desempeño de las telecomunicaciones. Los usuarios deben ser conscientes
de que este modelo hace algunas suposiciones acerca de la naturaleza del tráfico telefónico
y puede resultar inexacta en circunstancias especiales, tales como volúmenes de llamadas
entrantes generadas por la televisión y la publicidad por radio. Westbay Engineers Ltd. no
acepta ninguna responsabilidad por las pérdidas derivadas de la utilización de esta
herramienta.
La razón principal de la presencia de nuestra empresa en Internet es, obviamente, con fines
comerciales. Sin embargo, esta herramienta ha sido prevista en un genuino deseo de añadir
valor al internet en lugar de proporcionar un sitio con links a otros sitios. Esperamos que la
calculadora útil y valorar cualquier comentario que nos envíe utilizando el formulario de
comentarios en la página de la calculadora.
4.3.2 El modelo de tráfico Erlang B extendido
El modelo de tráfico Erlang B Extended es un desarrollo de la labor llevada a cabo por AK
Erlang, un científico danés que realizó gran parte de las primeras investigaciones en el
tráfico telefónico. Se trata de un modelo analítico para calcular el bloqueo de llamadas y es
la base para la calculadora de tráfico que está utilizando.
El modelo hace las siguientes suposiciones:


Las llamadas se presentan al azar al grupo de líneas externas (llegadas de Poisson).
Duración de las llamadas se fijan o se distribuyen de manera exponencial
El modelo de tráfico de Poisson (o Molina) se utiliza a veces en esta solicitud, pero no
ofrece el control sobre el modelado de recordatorio ofrecido por el modelo de tráfico Erlang
B extendido.
El modelo de tráfico Erlang B extendido se utiliza a menudo cuando no existan
instalaciones de desbordamiento del grupo de troncales elegido. Si los llamantes
bloqueados se desbordaron automáticamente a una segunda ruta de elección por parte del
switch conectado, las llamadas se realizan a través de otros grupos de enlaces, y como
personas que llaman no se encuentren efectivamente el bloqueo, no hay un reintento.
4.3.3 Los cuatro tres variables (factor de Recall, BHT, bloqueo y
líneas)
El modelo de tráfico Erlang B define la relación entre tres variables. Si se conocen dos
figuras, la tercera figura se puede calcular. Las tres variables son:




Recordemos Factor
Tráfico ocupado horas
Bloqueo
Líneas
4.3.3.1 Recordemos Factor
Este es el porcentaje de llamadas que se vuelve a intentar inmediatamente porque la
llamada original se encontró con el bloqueo. El efecto de este tráfico es retirado del
mercado para aumentar la carga de tráfico ofrecido a un grupo de enlaces. Por ejemplo, si la
mitad de las personas que llaman que se encuentran con el bloqueo de tratar de inmediato
para hacer otra llamada, el Factor Recall es del 50%.
4.3.3.2 Tráfico ocupado horas
Tráfico ocupado horas es la cantidad de tráfico ofrecido a un grupo de troncales durante la
hora de mayor actividad de un día. CCITT E.500 hace una definición más detallada de hora
ocupada pero esto está fuera del ámbito de aplicación de este sistema de ayuda. Tráfico
ocupado horas se utiliza como base para los cálculos utilizando el modelo de tráfico Erlang
B. Si usted se está resolviendo el número de líneas requeridas para un grupo de enlaces,
usted debe saber que esta cifra (o hacer una estimación razonable). La unidad para el tráfico
de hora pico es el Erlang. 1 Erlang representa el uso continuo de un circuito durante una
hora. Así, si durante la hora ocupada, se hacen llamadas 60, cada uno minutos duradera, la
figura tráfico ocupado horas es 1 Erlang. En los EE.UU., la unidad utilizada para la
medición del tráfico es la CCS (Centi-call segundos). El factor de conversión siguiente se
puede aplicar entre las dos unidades:


1 Erlang = 36 CCS
1 CCS = 0,0278 Erlangs
4.3.3.3 Bloqueo
El bloqueo es una fracción que representa las llamadas que no se puede completar porque
todas las líneas están ocupadas. 0.1 significa que el 10% de las llamadas se bloquean. 0,01
significa que 1% de las llamadas se bloquean. Dependiendo de la aplicación, las cifras son
razonables para el bloqueo entre 0,01 y 0,03. Personas que llaman por lo general
experimentan bloqueo escuchar una señal de ocupado.
4.3.3.4 Líneas
Esta cifra representa el número de líneas que se proporcionan en un grupo de enlaces.
4.3.4 Obtener cifras de tráfico de su sistema telefónico
Si desea calcular el número de líneas requeridas para un grupo de enlaces, o estimar el
bloqueo experimentado con un grupo de enlaces, usted tendrá que saber la cantidad de
tráfico ofrecido al grupo de troncales. Hay un número de maneras que usted puede hacer
esto.
4.3.5 Llame madereros
Muchos PABX tienen registradores de llamadas conectadas a ellos. Estos registros y
analizar detalles de las llamadas realizadas con la centralita y puede proporcionar las cifras
de tráfico de determinadas rutas. Debe asegurarse de que las cifras utilizadas son figuras
hora pico. Hay un número de maneras de abordar este:




Algunos registradores de llamadas en realidad ofrecen figuras ocupadas horas.
Si el registrador no es uno de ellos, tendrá que imprimir las cifras de tráfico por hora
durante un período de días o semanas. A continuación, utilice la cifra más alta por
hora durante ese período.
Algunos registradores ofrecen cifras de llamadas como minutos en lugar de Erlangs.
Para convertir de minutos de llamadas por hora a Erlangs, dividir la cifra por 60.
Recuerde que los registradores de llamadas sólo se sabe acerca de las llamadas
realmente terminadas con éxito. Darán llevaste cifras en lugar de cifras ofrecidas
que requerirán sus cálculos. Esto sólo será un problema si el bloqueo en los grupos
de enlaces se encuentra actualmente mal.
4.3.6 Estadísticas PABX
Algunas centralitas (por ejemplo, Nortel Meridian) tienen módulos de software
proporcionadas que proporcionarán los datos de tráfico necesarios. Las mismas
consideraciones que llaman cifras de registro se aplican.
4.3.7 Las fracturas de teléfono
Las facturas algunas veces se pueden usar para averiguar el tráfico transportado por un
grupo de enlaces. Esta puede ser una tarea laboriosa.
4.3.8 Estudio de tráfico Carrier
Por una cuota, su proveedor actual puede estar dispuesto a llevar a cabo un estudio sobre el
tráfico y puede ser capaz de utilizar los datos históricos.
4.3.9 Estimación
Si usted no tiene ninguno de estos lujos, tendrá que hacer una estimación razonable. Debe
basar esta en lo que sabe acerca de la forma en que su empresa utiliza sus teléfonos y usted
puede ser capaz de utilizar la información de otros sitios web de su empresa.
4.3.10 Al realizar un cálculo
De la hora pico de tráfico, bloqueo y valores Líneas, puede utilizar la calculadora de tráfico
Erlang B extendido a encontrar una variable si usted sabe los otros dos. La calculadora está
dividido en cuatro áreas de entrada, cada uno representando una variable (tráfico hora
Ocupado, bloqueo y líneas). Cada área excepto Factor Recall tiene un botón de opción y un
cuadro de edición .. Haga clic en el botón que representa la cantidad que se desea calcular.
Introduzca las dos figuras que usted conoce en los cuadros de edición proporcionadas de
ellos y seleccione una estimación del Factor Recall en el menú Factor Recall desplegable.
Al pulsar el botón Calc, se calculará la cifra desconocida y se muestra en el cuadro de
edición restante. El cálculo se realiza mediante el navegador web en lugar de software en
nuestro servidor de internet. Dependiendo del rendimiento de su equipo, este cálculo puede
tardar algunos segundos.
4.3.11 Un ejemplo de cálculo.
He aquí un ejemplo de cómo calcular el número de líneas requeridas en un grupo de líneas
externas. Para saber el número de líneas necesarias, tendrá que conocer la figura del tráfico
de hora pico y decidir sobre una figura de bloqueo aceptable. También tendrá que hacer una
estimación del porcentaje de bloqueo de llamadas, que volverá a intentar inmediatamente.
Supongamos que su Factor Recall asumido es del 40%, que se ha calculado que el tráfico
de hora pico ofrecida al grupo de troncales será de 5 Erlangs y que va a aceptar un bloqueo
de 0,03 (3% de las llamadas se bloquean). Los siguientes pasos deben realizarse:





Seleccione 40% en el menú Factor Recall desplegable.
Haga clic con el ratón sobre el botón de opción marcada desconocido que se
encuentra en la sección de Líneas de la calculadora (este botón de selección ya debe
estar configurado la primera vez que cargue la calculadora).
Introduzca la figura 5 en el cuadro de edición en la sección de BHT (Erl.) de la
calculadora.
Introduzca la figura 0.03 en el cuadro de edición en la sección de bloqueo de la
calculadora.
Pulse el botón Calc.
Después de unos segundos, la figura 10 se muestra en las líneas de caja que indica que se
necesitarán 10 líneas para llevar 5 Erlangs de tráfico con una figura de bloqueo de 3% si los
supuestos asociados al editar modelo de tráfico Erlang B extendido se cumplen.
4.3.12 Visualizar los resultados
Usted puede mantener una pista de atletismo de los resultados obtenidos utilizando la
calculadora de tráfico Erlang B extendido. Para ver estos resultados, presione el botón
Resultados. Esto abrirá una nueva ventana con una tabla que muestra los últimos 20
cálculos con el cálculo más reciente en la parte inferior. Cada columna de la tabla
representa una variable que se utiliza en los cálculos, y la incógnita que se calcula se
muestra en rojo. Puede volver a la ventana de la calculadora y vuelva a su trabajo; ningún
resultado en adelante se muestran en la tabla.
Fig.4.8 Ejemplo de la calculadora de Erlang B Extendido
4.3.13 Ejemplo usando la calculadora.
El modelo de tráfico Erlang B extendido es utilizado por los diseñadores de sistemas
telefónicos para estimar el número de líneas requeridas para las conexiones PSTN (líneas
troncales CO) o conexiones de cable privados y tiene en cuenta la carga de tráfico adicional
causado por los llamantes bloqueados inmediatamente tratando de llamar de nuevo si sus
llamadas están bloqueadas. Este modelo de tráfico puede ser utilizado donde hay
instalaciones de desbordamiento están disponibles en el grupo de enlaces está diseñado. Las
cuatro variables que intervienen son Busy Hour Traffic (BHT), Bloqueo y líneas:




Factor Recall es el porcentaje de llamadas que se vuelva a intentar inmediatamente
si sus llamadas están bloqueadas.
Busy Hour Traffic (en Erlangs) es el número de horas de tráfico de llamadas que
hay durante la hora de mayor actividad de la operación de un sistema telefónico.
El bloqueo es el fracaso de llamadas debido a un número insuficiente de líneas están
disponibles. Por ejemplo, 0.03 significa 3 llamadas bloqueadas por 100 llamadas
intentadas.
Lines es el número de líneas en un grupo de enlaces.
Del tráfico de hora pico, el bloqueo y valores Líneas, no sé si dos de las figuras, se puede
calcular el tercero de la siguiente manera:



Haga clic en el botón de opción desconocida que representa la variable desconocida.
Introduzca las 2 figuras conocidas en sus cuadros de edición.
Presione Calc y la tercera cifra se calcula y se muestra en el cuadro de edición
restante.
Por ejemplo, si se asume que el 40% de las llamadas bloqueadas son inmediatamente
vuelve a intentar y, a partir de su registrador de llamada, usted sabe que la hora pico de
tráfico es 10 Erlangs y desea saber cuántas líneas se requiere en este grupo de enlaces, si
usted es preparado para tolerar 2 llamadas bloqueadas está en cada 100 llamadas intentaron
entonces:





Seleccione 40% en el menú Factor Recall desplegable.
Pulse el botón de opción desconocida Lines (esta opción está activada de forma
predeterminada).
Escriba 10 en el cuadro de edición BHT.
Entre 0.02 en el cuadro de edición bloqueo.
Al pulsar el botón Calc, 17 se mostrará en el cuadro de edición de líneas que indica
que 17 líneas serían necesarios en este grupo de troncales.
4.4 El modelo Erlang C M/M/N/∞/FIFO
El modelo Erlang C se usa para calcular la probabilidad que una llamada sea colocada en la
cola de espera y permite dimensionar un grupo de servidores bajo el esquema de colas
FCFS (First Come First Serve) o FIFO, donde las llamadas en espera se van atendiendo a
medida que los servidores se van liberando, se asume que:
• La cantidad de fuentes es muy grande.
• Las llamadas llegan en forma aleatoria de acuerdo a una distribución de Poisson.
• Las llamadas se atienden según el orden de llegada.
• Las llamadas bloqueadas se colocan en una cola de espera de tamaño infinito.
• El tiempo de duración de las llamadas es de acuerdo a una distribución exponencial.
La probabilidad de que una llamada sea retrasada y puesta en la cola de espera es:
𝐴𝑁 𝑁
𝑁! (𝑁 − 𝐴)
𝑃(> 0) =
𝐴𝑖
𝐴𝑁 𝑁
∑𝑁−1
+
𝑖=0 𝑖!
𝑁! (𝑁 − 𝐴)
Dónde:
N: cantidad total de servidores.
A: trafico ofrecido al grupo de servidores, en erlang.
La fórmula Erlang C permite calcular la probabilidad de que una llamada sea retrasada y
por lo tanto puesta en la cola de espera.
Es el modelo usado para el dimensionamiento de los call center a fin de determinar la
cantidad de agentes necesarios para garantizar una cierta calidad de servicio. Las llamadas
entrantes son respondidas inmediatamente si hay agentes disponibles, sino son enviadas a
una cola de espera. No hay prioridad y las llamadas se atienden según el patrón FIFO. Se
supone que los usuarios nunca abandonan la cola, salvo una vez que son atendidos.
También es conocido como un sistema sin pérdidas.
4.4.1El modelo Erlang C M/M/N/∞/FIFO
El tiempo promedio de retraso o de espera en la cola, con una duración promedio de una
llamada de (µ), es:
𝜇
(𝑁 − 𝐴)
La probabilidad de que el retraso sea superior a un tiempo (t)
𝐷 = 𝑃(> 0) ∗
𝑃(𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦 > 𝑡) = 𝑃(𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦 > 0)𝑒
−(𝑁−𝐴)𝑡
𝜇
Estas tres ecuaciones pueden usarse para resolver el siguiente problema: obtener la cantidad
de agentes N para que un cierto porcentaje x de las llamadas sea atendidas en menos de T
minutos, si cada llamada dura en promedio D minutos y se reciben M llamadas en la hora
pico.
En internet hay muchos sitios con calculadoras Erlang C donde se pueden hacer las diversas
combinaciones de las variables ya mencionadas. En general existen 5 parámetros y
debemos conocer 4 de ellos.
1. Cantidad de llamadas en la hora pico
2. Duración promedio de las llamadas en la hora pico. El producto de la cantidad de
llamadas por su duración es la carga o tráfico ofrecido a la red en Erlang.
3. Cantidad de agentes o servidores.
4. Tiempo promedio de retardo. Es el tiempo promedio de retardo considerando todas
las llamadas, tanto las que se atienden inmediatamente como las que se retardan.
5. Porcentaje de llamadas que debe ser atendido en un tiempo inferior.
Ejemplos usando Erlang C
Vamos a resolver el ejemplo anterior pero considerando que existe una cola de espera para
ser atendido. Se asume que el 99% de los usuarios no debe esperar más de 1 minuto en la
cola.
Fig. 4.9
Cantidad_Llamada_hora_pico=10.000
Duración promedio de marcado= 20 s
99% de los usuarios no deben esperar más de 1 minuto en la cola
Resultado: se necesitan 58 receptores de DTMF.
Vemos que se necesitan menos receptores que en el caso de Erlang B, la cantidad de
recursos es menor pero los usuarios deben esperar como máximo un minuto para ser
atendidos. La reducción es de un 25.64%.
4.4.2 CALCULADORA DE ERLANG C
4.4.2.1 Introducción a la calculadora Erlang C
La calculadora Erlang C es un programa JavaScript que se ha proporcionado a través de
Internet. Con la calculadora, puede calcular cuántos agentes de call que necesita respuesta
de su centro de llamadas. Para solucionar esto, es necesario saber cuántas llamadas
entrantes a manejar y la duración media de las llamadas. También es necesario decidir
sobre la demora de respuesta promedio que están dispuestos a tolerar para las llamadas
entrantes. Si usted proporciona demasiados agentes, que, obviamente, perdiendo sus
valiosos recursos. Sin embargo, si usted proporciona muy pocos agentes, se corre el riesgo
de imponer tiempos de timbre inaceptablemente largos en las personas que llaman, o peor
aún, que sufren de llamadas abandonadas.
Este sistema de ayuda se explica cómo utilizar la calculadora Erlang C y define los
términos utilizados. La calculadora se basa en el modelo de tráfico Erlang C, que es un
modelo establecido para predecir el rendimiento de las telecomunicaciones en situaciones
en las que ofrecen las llamadas se ponen en cola. Los usuarios deben ser conscientes de que
este modelo hace algunas suposiciones acerca de la naturaleza del tráfico telefónico y
puede resultar inexacta en circunstancias especiales, tales como volúmenes de llamadas
entrantes generadas por la televisión y la publicidad por radio. Westbay Engineers Ltd. no
acepta ninguna responsabilidad por las pérdidas derivadas de la utilización de esta
herramienta.
La razón principal de la presencia de nuestra empresa en Internet es, obviamente, con fines
comerciales. Sin embargo, esta herramienta ha sido prevista en un auténtico deseo de
agregar valor a través de Internet en lugar de proporcionar un sitio con links a otros sitios.
Esperamos que la calculadora útil y valorar cualquier comentario que nos envíe utilizando
el formulario de comentarios en la página de la calculadora.
4.4.2.2 El modelo de tráfico erlang C
El modelo de tráfico Erlang C, que se utiliza por la calculadora Erlang C, fue establecido
por AK Erlang, un científico danés que era responsable de gran parte de los primeros
trabajos en la teoría de tráfico telefónico. Es una fórmula analítica para sistemas de
telecomunicaciones de modelado que implican cola. Como tal, se puede aplicar al diseño y
análisis de los centros de llamadas entrantes que las llamadas de cola antes de presentarlas a
los agentes.
El modelo hace las siguientes suposiciones:



Las llamadas se presentan al azar a los servidores (llegadas de Poisson).
Llamadas encontrar el sistema ocupado esperarán (es decir, que se pondrán en cola).
Horario de atención son exponenciales.



Las llamadas se contestan en el orden en que llegaron.
Las llamadas se dirigen hacia el primer agente disponible.
Hay una cola de tamaño ilimitado.
La suposición de que hay un tamaño ilimitado cola no es, obviamente, por lo general el
caso. Sin embargo, en la práctica, esto no es un obstáculo si las troncales entrantes al centro
de llamadas han sido correctamente dimensionado (es decir, el tiempo que usted tiene
suficientes líneas en el centro de llamadas). También hemos proporcionado una herramienta
en línea para elaborar el número correcto de troncos (líneas) utilizando el modelo de tráfico
Erlang B.
4.4.2.3 El número mínimo de agentes.
Es importante entender que no hay un número mínimo de agentes que se necesitan,
independientemente de la respuesta de llamadas retrasos que están dispuestos a tolerar. Por
ejemplo, si durante una hora, recibirá un total de 10 horas de llamadas, debe, como mínimo,
ofrecer 11 agentes para responder a estas llamadas. Durante 100 horas de llamadas, va a
requerir 100 agentes. Si usted no proporciona este número de agentes, que se llama cola en
constante aumento y las llamadas entrantes serán abandonados.
Al ofrecer más que el número mínimo de agentes, a recuperar el control de la cola de
llamadas entrantes que se traduce en una situación estable y predecible. La calculadora
Erlang C nunca devolverá un número de agentes que es inferior a la mínima expresión. Por
ejemplo definir 10 horas de tráfico mediante la introducción de un número de llamadas
figura de 600 y una cifra Duración de la llamada de 60 segundos, no importa lo que la
figura total entre el inicio entras, nunca dirá que necesita menos de 11 agentes.
4.4.2.4 Al realizar un cálculo.
Con el fin de averiguar cómo se necesitan muchos agentes y operadores para responder llamadas,
primero debe establecer lo siguiente:

Número de llamadas
Este es el número de llamadas entrantes recibidos por el centro de llamadas durante
una hora. A diferencia de los cálculos utilizando el modelo de tráfico Erlang B, es
razonable para llevar a cabo cálculos separados para cada hora de trabajo a fin de
establecer el número de operadores son necesarios en diferentes periodos durante el
día.

Duración de la llamada
Se requiere algún cuidado cuando se trabaja fuera de esta cifra. La duración de la
llamada (también conocido como tiempo de retención) representa el tiempo que
tarda un agente para tratar una llamada. Esto no siempre es el mismo que el tiempo
que el agente pasa hablando a la persona que llama. Además, puede ser una
recapitulación de tiempo, que es el tiempo necesario para llevar a cabo las tareas
administrativas derivadas de la llamada, como entrar en una orden en un ordenador.
Por lo tanto, la duración de la llamada es el tiempo, que toma en segundos, para
hablar con la persona que llama mas la recapitulación tiempo.

La media de espera
Esta es la demora media experimentada por todas las llamadas, incluso aquellos
cuyas llamadas no están en cola en absoluto. Esto significa que si sólo la mitad de
las llamadas entrantes se ponen en cola, pero que esas llamadas que no se presentan
a un agente experimentan inmediatamente un retraso medio de 30 segundos, la cifra
media de demora será de 15 segundos. Es necesario elaborar una cifra aceptable
para ser utilizado como criterio de desempeño.
4.4.2.5 Un ejemplo de cálculo.
Este ejemplo muestra cómo funciona el número de agentes que necesita para contestar
llamadas durante una hora cuando se reciben de una duración media (incluyendo el tiempo
de recapitulación) de 2 minutos (120 segundos) 1050 llamadas. Se requiere que la demora
media para todas las llamadas no sea mayor a 20 segundos.




Introduzca 1050 en el número de llamadas cuadro de edición.
Escriba 120 en el cuadro de texto Duración de la llamada.
Escriba 20 en el cuadro de edición demora media.
Pulse el botón Calc.
Después de un corto período de tiempo, aparecerá un cuadro de mensaje que muestra de
que necesita 39 agentes. Pulse el botón OK para cerrar el cuadro de mensaje en la pantalla y
volver a la calculadora.
Fig. 4.10 Un ejemplo de la calculadora de Erlang C
4.4.2.6 Visualizar los resultados
Usted puede mantener una cuenta corriente de los resultados obtenidos utilizando la
calculadora Erlang C. Para ver estos resultados, presione el botón. Esto abrirá una nueva
ventana con una tabla que muestra los últimos 20 cálculos con el cálculo más reciente en la
parte inferior. Cada columna de la tabla representa una variable que se utiliza en los
cálculos. El número de agentes se muestra en rojo. Puede volver a la ventana de la
calculadora y vuelva a su trabajo; ningún resultado en adelante se muestran en la tabla.
4.4.3 Como realizar un ejemplo en la calculadora.





Esta calculadora, que se basa en el modelo de tráfico Erlang C, se puede decir que la
cantidad de agentes que necesita en su centro de llamadas durante una hora. Para
solucionar esto, es necesario saber cuántas llamadas que usted recibe durante esa
hora, la duración media de las llamadas y el retraso medio que toleran en responder
a todas las llamadas.
Esta calculadora también puede utilizarse para establecer el número de telefonistas
requeridos.
Para utilizar la calculadora, ingrese las cifras del número de llamadas, la duración
media de las llamadas y la demora media de las llamadas en los cuadros de edición.
Recuerde que la duración de llamada debe incluir cualquier recapitulación veces Al
pulsar el botón Calc., Se mostrará el número necesario de agentes en un cuadro de
mensaje.
Puede mostrar un total acumulado de los resultados de cálculo pulsando el botón
Resultados.
Es importante entender que hay un mínimo de agentes que se necesitan,
independientemente de la respuesta de llamadas retrasos que usted está dispuesto a
tolerar. La calculadora no mostrará un número de agentes por debajo de este
mínimo ya que esto daría lugar a una situación inestable en la que el número de
llamadas en cola sería constante aumento, dando lugar a las llamadas abandonadas.
Fig. 4.11 Demostración de lo escrito anteriormente.
Conclusión
El Erlang es la unidad de medida de la telefonía, lo cual son un conjunto de elementos que
hacen posible el tráfico de datos mediante las tablas de Poisson o la calculadora de Erlang.
A su vez ay tres diferentes modelos de Erlang: Erlang B, Erlang B Extendido y Erlang C
En las secciones del presente trabajo se dieron a conocer los elementos básicos y más
importantes usados en la telefonía Erlang, así como sus diversas ventajas y desventajas que
han caracterizado este tema que a su vez es tan amplio. Sin embargo no podemos dejar de
lado el gran avance tecnológico de la telefonía IP que tiene un gran impacto en el desarrollo
del tema.
Con esto podemos concluir que la telefonía hoy en día es una herramienta fundamental para
el ser humano ya que nos permite comunicarnos entre sí haciendo más eficaz el desempeño
de la telefonía.
http://www.quarea.com/es/tutorial/SIP_session_initiation_protocol
http://wwwvicky08.blogspot.mx/2008/12/definicion-telefonia-ip.html
http://www.quarea.com/es/tutorial/Que_es_un_Gateway_VoIP
http://technet.microsoft.com/es-es/library/cc739825%28v=ws.10%29.aspx
http://www.calleasy.com.ar/manuales/introtel.html
http://www.cisco.com/web/ES/products/telefonia-IP.html
http://www.sistemasdigitales.com.mx
http://www.telefoniavozip.com
http://www.llamadas-globales.com
http://www.avaya.es
http://www.erlang.com/calculator/erlc/
http://www.erlang.com/calculator/erlb/
https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/1/EL55A/1/material.../132565‎
http://www.telefoniavozip.com/voip/telefonia-ip-vs-telefonia-convencional.htm