______________________________________________________________________ PROBLEMA 2 Trazar y determinarlas ecuaciones de la trayectoria de un punto si este se mueve según las ecuaciones: a) x = a sen(wt), y = a sen(2wt), b) x = a sen (wt), y = a cos(2wt). ______________________________________________________________________ SOLUCION Apartado a): X = a sen (wt) Y= a sen (2wt) Partiendo de la definición de seno del ángulo doble: [sen(2α) = 2 sen (α) cos (α) ] la coordenada Y la podemos escribir como: Y = 2a sen(wt)cos(wt) Elevando las dos ecuaciones al cuadrado obtenemos X2 = a2 sen2(wt) Y2 = 4a2 sen2(wt)cos2(wt) A continuación restamos las ecuaciones, X2-Y2= a2 sen2(wt)[ 1- 4cos2(wt)] Sustituimos el cos2(wt) por (1-sen2(wt)) y puesto que (1-sen2(wt))= 1 – X2/a2, finalmente tenemos que: Y2= 4X2 (1- (X2/a2)) 10 Y2= 4X2 (1- (X2/a2)) Y 5 0 -5 -10 -10 -5 0 X 5 10 Apartado b): X = a sen (wt) Y= a cos (2wt) 2 2 Partiendo de la definición de coseno del ángulo doble [cos(2α) = cos (α) -sen (α) ] la coordenada Y la podemos escribir como: Y= a[cos2(wt) - sen2(wt)] = a[(1 - sen2(wt)) - sen2(wt)] = a[1 - 2sen2(wt)] Teniendo en cuenta que X2= a2 sen2(wt) ⇒ sen2(wt) = X2/ a2 Sustituimos este valor del sen2(wt) en la ecuación de la Y ⇒ Y= a[1- 2X2/a2] 15 2 2 Y= a[1- 2X /a ] 10 Y 5 0 -5 -10 -10 -5 0 x 5 10 PROBLEMA 4 Un reloj de péndulo de periodo 1 s se dilata 0.1 mm por efecto de la temperatura de la habitación en la que se encuentra. Suponiendo que este efecto se mantiene constante, ¿Cuánto se adelanta o retrasa en 24h? SOLUCIÓN a) Como se puede observar en la imagen la fuerza que provoca el movimiento es la componente x del peso: F = -mg senθ Para pequeños ángulos, el senθ se puede sustituir por x/l. Así nos queda: F = -mg(x/l) F = - (mg/l ) x ⇒ F = -k x → MAS ⇓ k b) Teniendo en cuenta que el periodo es: T= 2π / ω ; y que ω = √ (k/ m) = √ (mg/ lm) = √ (g/l) de esta forma el periodo se puede expresar como: T = 2π/w = 2π√ l/g 2 2 Despejamos la longitud del péndulo l = T g/ 4 π Dando valores a los términos la longitud sale l = 0.248237m 3 A esta longitud hay que sumarle la dilatación 0.1 10- m; El resultado es: L= 0.248336m Con este dato calculamos el nuevo periodo: T1 = 2π√ (l/g) = 1.0002014 s Al ser el péndulo mas largo el periodo se retrasará: T1 - T = 0.0002014 s Que en 24h equivale a: 0.0002014 ⋅ 60(seg/ minuto) ⋅ 60( minutos/h) ⋅24 h Retraso = 17. 4 s