Tarea 3. Geometr´ıa anal´ıtica II

Tarea 3. Geometrı́a analı́tica II
M. en C. Jesús Rodrı́guez Viorato
2 de Mayo de 2007
1.
Esferas.
1. Obtenga la ecuación de la esfera con centro en C(5, 0, −7) y radio 2.
2. Encuentre el centro y el radio de la siguiente esfera.
x2 + y 2 + z 2 + x + 3y = 0
3. Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por los puntos Q(2, 0, 5),
R(0, 0, 1), S(3, −1, 5), T (−1, −4, 2).
4. Calcule la ecuación del plano tangente a la esfera x2 +(y−1)2 +(z+3)2 =
25 en el punto T (3, 1, −7).
5. Demuestre que el plano tangente P a la esfera S cuya ecuación es
x2 + y 2 + z 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0
en el punto T (x1 , y1 , z1 ) de S tiene por ecuación
x1 x + y1 y + z1 z +
G
H
I
(x + x1 ) + (y + y1 ) + (z + z1 ) + J = 0
2
2
2
1
2.
Cilindros y superficies en revolución.
1. Obtenga la ecuación de la superficie que se obtiene al girar cada una
de las siguientes curvas alrededor del eje que se indica.
x2 + 2y 2 = 1; el eje x
y 2 + x − 4 = 0; el eje x
2x2 − z 2 = 1; el eje z
2. Dé en cada caso una ecuación para el cilindro propuesto
a) Un cilindro elı́ptico cuyo eje sea el eje y.
b) Un cilindro hiperbólico cuya hipérbola directriz esté contenida en
el plano Y Z
c) Un cilindro parabólico cuya parábola directriz esté contenida en
el plano XY y cuyo foco sea el punto (2, 0)
3.
Superficies cuádricas.
1. Para cada una de las siguientes ecuaciones haga lo siguiente:
a) Identifique la gráfica de la ecuación dada
b) Obtenga las ecuaciones de las trazas (si existen) en los planos
coordenados
c) Trace un esquema de la superficie
1. 4y 2 + 4z 2 − x2 = 0
2. 2y 2 + 4z 2 = x2
3.
x2
9
4.
x2
4
+
y2
16
−
−
y2
=0
9
z2
4
=1
2. Identifique las siguientes superficies:
a) 2x2 + y 2 − 4z 2 + 4z − 6y − 2 = 0
b) y 2 − x2 − 4z 2 = 2x + 8z
2
c) x2 + z 2 = 4x + y + 5
3. Obtenga la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que su
distancia al punto F (0, c, 0) es igual a su distancia al plano XZ. Identifique el lugar geométrico.
4. Obtenga la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la
suma de sus distancias a los puntos F1 (−c, 0, 0) y F2 (c, 0, 0) es constante
igual a k. Identifique el lugar geométrico.
√
5. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto P (0, 2, 3) y están
contenidas en el hiperboloide de un manto x2 + y 2 − z 2 = 1.
6. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto (2, 2, 0) de la silla de
montar x2 − y 2 = z y que están contenidas en ella.
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