XXII OLIMPÍADA MATEMÀTICA 2011

XXVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA - FASE COMARCAL MUTXAMEL – PETRER - L’ALFÀS DEL PI
16 D’ABRIL DE 2016 – PROVA INDIVIDUAL NIVELL B (2on cicle ESO)
1. OLIMPIADES MATEMÀTIQUES
En unes olimpíades matemàtiques hi havia un total de 309 persones inscrites per a
realitzar la primera prova. Un membre de l'organització va observar que, dels que es van
presentar a la prova, el 45,83333333…% portaven esportives i el 27,2727272727…%
tenien els cabells llargs. Quantes persones inscrites no es van presentar a esta primera
prova de les olimpíades?
1. OLIMPIADAS MATEMÁTICAS
En unas olimpiadas matemáticas había un total de 309 personas inscritas para realizar la
primera prueba. Un miembro de la organización observó que, de los que se presentaron a
dicha prueba, el 45,83333333…% llevaban deportivas y el 27,2727272727…% tenían el
pelo largo. ¿Cuántas personas inscritas no se presentaron a esta primera prueba de las
olimpiadas?
2. OOLLIMMPPIIAADDAA
Sabent que:
O
L
I
M
P
I
A
D
7








O  L L I I  M M  P P  I I  A A D D O 2
obtén el valor exacte de:
O
L
I
M
P
I
A
D







D O O  L L I I  M M  P P  I I  A A D
3. RAÓ D'ÀREES
Siga E un punt del costat AB del quadrat ABCD. Si la longitud del costat EB =
1 i la longitud del costat és EC = 2, llavors quina és la raó entre l'àrea del
quadrilàter AECD i el triangle EBC?
3. RAZÓN DE ÁREAS
Sea E un punto del lado AB del cuadrado ABCD. Si la longitud del lado EB = 1 y
la longitud del lado es EC = 2, entonces ¿cuál es la razón entre el área del
cuadrilátero AECD y el triángulo EBC?
4. PLUTONIS
Amb motiu dels actes de germandat interplanetària que s'estan celebrant entre els
habitants de La Terra i Plutó, s'ha invitat a un grup d'habitants de Plutó (anomenats
“plutonis”) a participar en aquestes olimpíades matemàtiques. Se sap que hi ha dues
classes diferents de plutonis: els “formalensis”, que són molt formals i sincers (sempre
diuen la veritat), i els “revetllers”, que són molt bromistes i festers (i sempre menteixen!).
Aquest matí, al començament de la jornada, vaig preguntar a un grup de 6 plutonis sobre
les seues identitats, i vaig obtindre les següents respostes (la 1a resposta és del 1r, la 2a
del 2n, etc.):
1r- Només un és sincer.
2n- Almenys un és sincer.
3r- Només dos són sincers.
4t- Almenys dos són sincers.
5é- Només tres són sincers.
6é- Almenys tres són sincers.
Quants n’hi ha de cada classe i quins són?
XXVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA - FASE COMARCAL MUTXAMEL – PETRER - L’ALFÀS DEL PI
16 D’ABRIL DE 2016 – PROVA INDIVIDUAL NIVELL B (2on cicle ESO)
4. PLUTONIOS
Con motivo de los actos de hermandad interplanetaria que se están celebrando entre los
habitantes de La Tierra y Plutón, se ha invitado a un grupo de habitantes de Plutón
(llamados “plutonios”) a participar en estas olimpiadas matemáticas. Se sabe que hay dos
clases distintas de plutonios: los “formalensis”, que son muy formales y sinceros (siempre
dicen la verdad), y los “verbeneros”, que son muy bromistas y fiesteros (¡y siempre
mienten!). Esta mañana, al comienzo de la jornada, pregunté a un grupo de 6 plutonios
sobre sus identidades, y obtuve las siguientes respuestas (la 1ª respuesta es del 1º, la 2ª
del 2º, etc.):
1º- Sólo uno es sincero.
2º- Por lo menos uno es sincero.
3º- Sólo dos son sinceros.
4º- Por lo menos dos son sinceros.
5º- Sólo tres son sinceros.
6º- Por lo menos tres son sinceros.
¿Cuántos hay de cada clase y cuáles son?
5. L'AVIÓ
Un avió viatja sempre a una velocitat de 200 km/h. Un dia fa un viatge d'anada i tornada
des de la ciutat A a la B que disten 500 km. Si eixe dia bufa un vent a
50 km/h a favor en el viatge d'anada i en contra en el de volta, troba la
velocitat mitjana entre els dos viatges.
5. EL AVIÓN
Un avión viaja siempre a una velocidad de 200 km/h. Un día hace un
viaje de ida y vuelta desde la ciudad A a la B que distan 500 km. Si ese
día sopla un viento de 50 km/h a favor en el viaje de ida y en contra en el de vuelta, halla
la velocidad media entre los dos viajes.
6. CLAU OBLIDADA
Pere ha oblidat la clau del seu telèfon mòbil. Recorda que la seua clau te 4 dígits i que
complixen les següents condicions:
- Cap dels dígits és 0 ni és major que 5.
- No hi ha dígits repetits
- No hi ha dígits adjacents que siguen números consecutius
- La clau es un múltiple de 4
Per exemple, el número 1135 no complix les condicions perquè se repetix el dígit 1. El
número 5413 tampoc les complix perquè els dígits 4 i 5 ocupen llocs adjacents.
Quantes claus complixen totes les condicions?
6. CLAVE OLVIDADA
Pedro ha olvidado la clave de su teléfono móvil. Recuerda que su clave tiene 4 dígitos y que
cumplen las siguientes condiciones:
- Ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5.
- No hay dígitos repetidos
- No hay dígitos adyacentes que sean números consecutivos
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16 D’ABRIL DE 2016 – PROVA INDIVIDUAL NIVELL B (2on cicle ESO)
- La clave es un múltiplo de 4
Por ejemplo, el número 1135 no cumple las condiciones porque se repite el dígito 1. El
número 5413 tampoco las cumple porque los dígitos 4 y 5 ocupan lugares adyacentes.
¿Cuántas claves cumplen todas las condiciones?