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Estado del arte
2. ESTADO DEL ARTE
2.1 Evolución histórica
Los primeros puentes diseñados teniendo en cuenta el fenómeno del pandeo
local en chapas se remontan al siglo XIX. Fue en 1850 cuando el ingeniero británico
Robert Stephenson diseñó el puente de ferrocarril considerado como el inicio de la era
moderna en lo que a puentes de viga cajón se refiere, el Britannia Bridge, ubicado en el
norte del País de Gales. El puente estaba formado por dos vigas cajón continuas
divididas en cuatro vanos, los dos centrales de 152 m de luz.
Figura 2.1 Dimensiones principales del Britannia Bridge (Åkesson, 2005)
Junto con el constructor naval W. Fairbairn i el matemático E.Hodgkinston,
Stephenson llevó a cabo numerosos experimentos con el fin de determinar la capacidad
resistente, no solo de secciones rectangulares sino también circulares y elípticas. Pronto
verían que con la sección rectangular se obtenían mejores resultados debido a la
tendencia al pandeo de las otras dos secciones. También durante estos experimentos
observaron que era necesario dividir en distintas celdas el ala en compresión de las vigas
11
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
de sección rectangular para minimizar el riesgo de pandeo. Contrariamente a
experimentos anteriores, en esta ocasión las vigas fallaban por el lado comprimido.
Figura 2.2 Britannia Bridge, País de Gales
Hodgkinson sabía que las simples expresiones matemáticas que tradicionalmente
habían sido usadas, y con las que se obtenía la capacidad última a partir de la resistencia
a tracción del material, sobreestimaban definitivamente la capacidad de las vigas. Así,
Hodgkinson adquirió un buen conocimiento de la capacidad última de chapas cargadas
axialmente, a pesar de que aseguraba que su capacidad estaba limitada por el pandeo,
excluyendo así la reserva postcrítica de capacidad que más tarde se constató.
Precisamente esta exclusión, que dotó al Britannia Bridge con un grado extra de
seguridad, explicaría el porque fue posible incrementar la carga de tráfico con los años
sin la necesidad de reforzar el puente (Åkesson, 2005).
En relación con el pandeo local debido al cortante, el puente no tubo problemas,
puesto que se colocaron rigidizadores verticales lo suficientemente juntos (perfiles en T
por las dos caras cada 610 mm, Fig. 2.3) como para hacer frente al riesgo de abolladura
por cortante (Åkesson, 2005).
12
Estado del arte
Figura 2.3 Sección transversal y detalle de rigidizadores del Britannia Bridge (Åkesson, 2005)
Más de un siglo después, durante el período de cuatro años comprendido entre
1969 y 1973, se produjeron cinco colapsos de puentes formados por vigas cajón durante
su construcción, cuatro de ellos en Europa: Fourth Danube Bridge, en Viena (1969),
Cleddau Bridge, en Milford Haven (1970), Rhine Bridge en Koblenz (1971),
Zeulenroda Bridge, en la antigua Alemania del Este (1973); y uno en Australia: West
Gate Bridge, en Melbourne (1970).
En todos ellos el colapso se produjo por el pandeo local de uno de sus elementos,
ya sea por un fallo de diseño o por una falta de previsión en los esfuerzos producidos
durante las diferentes etapas del proceso constructivo.
Figura 2.4 Colapso del Cleddau Bridge, en Milford Haven (1970)
13
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
Parece difícil entender el porque de estos colapsos si se tiene en cuenta que por
aquel entonces ya eran bien conocidas las teorías de pandeo de chapas. Todavía es más
sorprendente si se contrasta con la eficacia del Brittania Bridge construido más de un
siglo antes. La razón podría ser la falta de unas recomendaciones completas para el
diseño de puentes con vigas cajón en las normativas de aquel entonces, especialmente en
lo que a rigidizadores se refiere (Åkesson, 2005).
En cualquier caso, aquellos hechos dieron lugar a la creación de comités técnicos
especialistas con el fin de estudiar en profundidad las causas de los colapsos. Los
informes de estos comités dieron lugar a nuevas reglas de diseño que tenían en cuenta
los efectos del pandeo local para vigas cajón y vigas armadas. Las llamadas Merrison
Rules, publicadas en 1973 y resultantes del estudio del colapso del Cleddau Bridge,
dieron lugar a la actual normativa inglesa BS5400, partes 3, 6 y 10.
Centrándonos ahora en la abolladura por cortante, Timoshenko (1921) fue el
primero en presentar una solución para el pandeo local de chapas rectangulares
sometidas a cortante (simplemente apoyadas en sus cuatro bordes). Lo hizo aplicando el
método energético (ver apartado 2.3.1), el cual se demostró ser una excelente
herramienta para resolver un problema que no podía ser resuelto directamente como un
problema de autovalores. La expresión que obtuvo para la tensión crítica de abolladura
dependía, entre otros, de un parámetro k conocido como coeficiente de abolladura.
En años posteriores diversos investigadores como Southwell y Skan, Seydel,
Stein y Neff, y otros, continuaron con esas investigaciones para obtener tensiones
críticas de abolladura más precisas modificando los valores del coeficiente de abolladura
k , teniendo en cuenta las diferentes condiciones de contorno de los paneles (ver
apartado 2.3.2).
Galambos (1988) publicó una recopilación de las soluciones y aproximaciones
más válidas aportadas por estos autores y por ello actualmente con frecuencia se hace
referencia a este autor cuando se citan dichas expresiones (Tabla 2.1).
Hasta finales de los años cuarenta todos los artículos publicados relacionados con
el pandeo de chapas consideraban la estabilidad únicamente en el rango elástico, sin
14
Estado del arte
embargo, autores como Stowell (1948) o Bleich (1952) se dieron cuenta de la
importancia de extender la teoría al rango no lineal para obtener soluciones más precisas
en los casos reales, especialmente en lo que al acero estructural y acero para navíos se
refería. Así, Bleich, presentó todas las teorías de pandeo en régimen elástico de tal forma
que pudieran ser aplicadas igualmente en régimen inelástico. Esas teorías fueron
comprobadas empíricamente a través de numerosos ensayos.
En cuanto a la influencia de los rigidizadores longitudinales, diversos han sido
los autores que han propuesto soluciones para la variación del factor k en función del
tipo y número de rigidizadores empleados. Así, Crate y Lo (1948) proponían los valores
de k para un rigidizador longitudinal centrado, en función de la rigidez relativa del
mismo, en paneles infinitamente largos. Posteriormente, fueron autores como Höglund
(1997) o Beg (2003), quiénes hicieron otras propuestas para la obtención del parámetro
k en al caso de paneles rectangulares.
Finalmente, autores como Lee et al. (1996) o Estrada (2005), han estudiado
también factores como la influencia del grado de empotramiento que proporcionan las
alas en vigas armadas en función de los espesores de alas y almas, proponiendo
resultados que toman como base a los resultados clásicos citados anteriormente.
2.2 Abolladura por cortante. Descripción del fenómeno
Cuando una chapa es sometida a un esfuerzo cortante, tensiones iguales de
tracción y compresión se desarrollan hasta el momento en que los de compresión
desestabilizan el alma provocando el pandeo de la misma (Fig. 2.5.a).
Es bien sabido, sin embargo, que las chapas no colapsan cuando pandean, sino
que poseen una reserva sustancial de resistencia postcrítica. Después del pandeo, la
chapa no puede soportar más incremento de esfuerzos de compresión y un nuevo
mecanismo de soporte de carga se desarrolla, por el cual cualquier incremento de carga
es soportado por el desarrollo de un campo de tracciones en membrana conocido como
campo diagonal de tracciones, el cual queda anclado en alas y rigidizadores (Fig. 2.5.b).
15
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
τcr
σ2
σ1
τcr
σt
+
τcr
σ1
σ2
τt
τt
τt
+
σt
τt
τcr
a. Estado de cortante puro
b. Desarrollo del campo
c. Mecanismo de colapso
diagonal de tracciones
Figura 2.5 Estadios en el comportamiento de una chapa sometida a cortante
A medida que aumenta todavía más la carga aplicada, los esfuerzos de membrana
crecen hasta que éstos, combinados con los esfuerzos que dieron lugar al pandeo del
alma, provocan el alcance de la tensión de plastificación del material. Cuando el alma ha
plastificado, el colapso tendrá lugar cuando se hayan desarrollado cuatro rotulas plásticas
en las alas (Fig. 2.5.c).
Cuanto menor es la tensión crítica de pandeo de la placa, mayor es la diferencia
entre ésta y su resistencia última. En placas muy esbeltas, como las empleadas en el
diseño aeronáutico, la resistencia última puede ser del orden de treinta veces superior a
la carga crítica, y aunque en las empleadas en edificación e ingeniería civil no se alcanzan
estas diferencias, sigue siendo lo suficientemente importante como para tenerla en
consideración para el diseño de estos elementos (Marco, 1998).
Un gran número de métodos han sido desarrollados para predecir la capacidad
última de las vigas armadas sometidas a cortante. Dos de los más relevantes son el
Campo Diagonal de Tracciones (Tension Field Method) desarrollado por Rockey et al.
(1972) y el Campo Girado de Tensiones (Rotated Stress Field Method) desarrollado
por Höglund (1972, 1997). Estos han sido utilizados como base para los métodos de
diseño actualmente incluidos en el Eurocódigo 3 (2004), una interesante revisión de
éstos y otros métodos puede encontrarse en Galambos (1988). Estos dos métodos, sin
16
Estado del arte
embargo, no se abordarán en el presente trabajo por quedar fuera del ámbito del mismo.
Así, el siguiente capitulo se centrará en la primera parte del mecanismo resistente: la
tensión crítica de abolladura.
2.3. Tensión crítica de abolladura
2.3.1 El método energético
Timoshenko (1921) fue el primero en encontrar una solución, mediante el
método energético, al cálculo de los valores críticos de las fuerzas aplicadas en el plano
medio de una placa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes cuya forma
plana de equilibrio se hace inestable.
Ny
Nx
Nx
N yx
N xy
Ny
Fig. 2.6 Chapa sometida a esfuerzos contenidos en su plano
Si se estudia una placa rectangular, simplemente apoyada en sus cuatro bordes,
sometida a esfuerzos contenidos en su plano medio (Fig. 2.6) se puede obtener,
imponiendo equilibrio, la ecuación diferencial que rige su comportamiento
∂ 4ω
∂ 4ω ⎤ ⎡ ∂ 2ω
∂ 2ω
∂ 2ω ⎤
E ⋅ I ⎡ ∂ 4ω
+
+
+
+
2
σ
2
τ
+
σy⎥ = 0
t
x
xy
⎢
⎥ ⎢
∂x∂y
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 ⎦ ⎣ ∂x 2
(1 − υ 2 ) ⎣ ∂x 4
∂y 2
⎦
17
(2.1)
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
donde ω es el desplazamiento normal al plano medio,
t es el espesor de la placa,
τ xy = N xy t es la tensión tangencial, y
σ x = N x t ; σ y = N y t son las tensiones normales en las direcciones x e y .
Para el caso σ x = σ y = 0 , donde la placa se encuentra únicamente solicitada por
tensiones tangenciales distribuidas uniformemente en sus cuatro bordes estableciéndose
una condición de carga de cortante puro (Fig. 2.7), se obtiene
∂ 4ω
∂ 4ω ⎤
∂ 2ω
E ⋅ I ⎡ ∂ 4ω
+
+
+
⋅
2
2
τ xy = 0
t
⎢
⎥
∂x∂y
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 ⎦
(1 − υ 2 ) ⎣ ∂x 4
(2.2)
a
τ
τ
τ
d
τ
(α = a /d )
Figura 2.7 Chapa simplemente apoyada sometida a tensión tangencial uniforme
La solución de la Ec. 2.2 será ω = 0 excepto para ciertos valores de τ xy
(tensiones críticas de abolladura), para los cuales será posible una solución con ω ≠ 0
(bifurcación de equilibrio).
18
Estado del arte
Tomando como superficie elástica de la forma de pandeo la doble serie
∞
∞
ω = ∑∑ a mn sen
m =1 n =1
mπx
nπy
sen
a
b
(2.3)
se tendrá entonces para el trabajo de deformación por flexión de la placa que sufrió el
pandeo, la expresión
D π 4 ab ∞ ∞ 2 ⎛ m 2 n 2
V =
∑∑ amn ⎜⎜ a 2 + b 2
2 4 m =1 n =1
⎝
donde D =
⎞
⎟⎟
⎠
2
(2.4)
EI
es la rigidez a flexión de la placa.
(1 − υ 2 )
El trabajo realizado por las fuerzas exteriores ( N xy ) durante el pandeo de la placa es
∂ω ∂ω
mnpq
dxdy = 8tτ xy ∑∑∑∑ a mn a pq
2
∂x ∂y
(m − p 2 )(q 2 − n 2 )
m n
p q
0 0
a b
U = tτ xy ∫ ∫
(2.5)
donde m, n, p, q son enteros tales que m + p y n + q son números impares.
Cuando la chapa experimenta cierta flexión normal a su plano, si el trabajo de
deformación por flexión de la placa es mayor que el trabajo realizado por las fuerzas
exteriores ( N xy ), la forma plana de equilibrio será estable, y si es menor será inestable.
El valor critico de τ xy será aquel que iguale el trabajo de deformación por flexión al
trabajo de las fuerzas exteriores ( N xy ).
Así, igualando el trabajo producido por las fuerzas exteriores (Ec. 2.5) al trabajo
de deformación (Ec. 2.4), se halla la expresión del valor crítico de las tensiones
tangenciales
19
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
2
⎛ m 2π 2 n 2π 2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟
a
∑∑
b ⎠
abD
m =1 n =1
⎝ a
=
mnpq
64t
a mn a pq
∑∑∑∑
2
(m − p 2 )(q 2 − n 2 )
m n
p q
∞
∞
2
mn
τ xy
(2.6)
Se necesita escoger ahora un sistema tal de constantes a mn y a pq que hagan
mínima τ xy . Para ello se igualaran a cero las derivadas de la expresión Ec. 2.6 respecto
de cada uno de los coeficientes a mn , obteniéndose un sistema de ecuaciones lineales
homogéneas. La ecuación para calcular la tensión crítica τ c se encontrará anulando el
determinante de este sistema de ecuaciones. Limitando el cálculo a dos ecuaciones con
dos constantes a11 y a12 Timoshenko obtuvo
π 2 E ⎛ tw ⎞
τc =
⎜ ⎟ k
12 (1 − υ 2 ) ⎝ d ⎠
2
(2.7)
donde
(
9π 2 1 + α 2
k=
32
α3
)
2
(2.8)
es el llamado coeficiente de abolladura.
Esta solución (Ec. 2.7) tiene la misma forma que la expresión para la tensión
crítica en paneles rectangulares sometidos a esfuerzos de compresión, sin embargo el
valor obtenido para el factor k para paneles simplemente apoyados (Ec. 2.8) difiere en
un 15% del valor correcto para α = 1 siendo mayor la diferencia para valores de α
mayores a la unidad. Usando un mayor número de ecuaciones Timoshenko obtuvo
valores de k más próximos a los valores exactos para distintas relaciones de aspecto.
20
Estado del arte
2.3.2 Coeficiente de abolladura k
Durante los años posteriores a la propuesta de Timoshenko para la obtención del
coeficiente k numerosos autores continuaron con las investigaciones para obtener
mejores tensiones críticas de abolladura, es decir, valores del parámetro k más precisos.
Fue en 1924 cuando Southwell y Skan presentaron la solución exacta ( k =5.34) para
paneles infinitamente largos ( α = ∞ ) y en 1933 cuando Seydel obtuvo la solución exacta
( k = 9.34 ) para α = 1 . Bergmann y Reissener, en 1932, también contribuyeron al
estudio para lo obtención de los valores de k , pero fue en 1947 cuando Stein y Neff
publicaron las mejores soluciones para otras relaciones de aspecto α . Éstas darían
origen a las parábolas utilizadas hasta el momento actual (Ec. 2.9 y Ec. 2.10) y que
aproximan dichos resultados con bastante exactitud (Bleich, 1952) (Fig. 2.8.a).
a. Paneles simplemente apoyados en los
b. Paneles empotrados en los cuatro bordes
cuatro bordes
Figura 2.8 Coeficiente de abolladura k en función de la inversa de la relación de aspecto α
(Bleich, 1952)
En el caso de paneles rectangulares empotrados en sus cuatro bordes, fueron los
mismos Southwell y Skan quiénes en 1924 determinaron la solución exacta de k para
paneles infinitamente largos ( k =8.98). Otros autores como Budiansky y Connor
obtuvieron en 1947 buenas aproximaciones para otras relaciones de aspecto de los
paneles, pero fue Moheit quien en 1939 obtuvo las parábolas (Ec. 2.11 y Ec. 2.12) que
21
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
aproximarían todos estos resultados con suficiente precisión (Galambos, 1988) (Fig.
2.8.b).
También el caso de paneles con dos bordes empotrados y los otros dos
simplemente apoyados fue estudiado por diversos autores. Soluciones a este problema
fueron propuestas por Iguchi, en 1938, para el caso general y por Leggett, en 1941, para
relaciones α = 1 . Sin embargo fueron Cook y Rockey quienes en 1963 obtuvieron las
mejores soluciones. Expresiones polinómicas aproximando dichos resultados (Ec. 2.13,
Ec. 2.14, Ec. 2.15 y Ec. 2.16) fueron publicadas por Bulson en 1970 (Galambos, 1988).
A continuación, en la Tabla 2.1, se incluyen todos los valores de k en función de
las condiciones de contorno de los paneles y de las relaciones de aspecto α de los
mismos (Galambos, 1988).
CONDICIONES DE
RELACIÓN DE ASPECTO,
α ≤1
CONTORNO
Placa simplemente
apoyada en los cuatro
k ss = 4.00 +
bordes
Placa empotrada en los
cuatro bordes
Placa
Bordes
empotrada
largos
en dos
empotrados
k ff = 5.60 +
k sf =
8.98
α
2
5.34
α
α
( 2.9 )
k ss = 5.34 +
( 2.11 )
k ff = 8.98 +
2
8.98
2
α = a/d
α ≥1
+ 5.61 − 1.99α
4.00
( 2.10 )
α2
5.60
( 2.12 )
α2
k sf = 8.98 +
5.61
α
( 2.14 )
( 2.13 )
2
−
1.99
α3
bordes
opuestos y
Bordes
apoyada
cortos
en los
empotrados
k sf =
5.34
α
2
+
2.31
− 3.44 + 8.39α
α
( 2.15 )
k sf = 5.34 +
2.31
−
3.44
α
α
( 2.16 )
2
+
otros dos
Tabla 2.1 Coeficientes de abolladura k en función de las condiciones de contorno
(Galambos, 1988)
22
8.39
α3
Estado del arte
2.3.3 Tensión crítica de abolladura en rango inelástico
Las soluciones presentadas en el apartado anterior para el pandeo de chapas
sometidas a cortante fueron formuladas bajo la hipótesis de un comportamiento
perfectamente elástico. Sin embargo puede pasar que la tensión crítica de abolladura se
encuentre por encima del límite de proporcionalidad para una situación de cortante puro
(Ec. 2.17). En ese caso será necesario adaptar las formulaciones anteriores para tener en
cuenta la influencia de este efecto de pérdida de elasticidad.
τ c ≥ 0.8τ yw = 0.8
f yw
3
(2.17)
Dado que la teoría inelástica de placas es compleja y sus resultados son de difícil
aplicabilidad práctica, se emplean métodos simplificados de acuerdo a alguna teoría,
como la de Bleich (1952), quien basándose en las condiciones existentes en una chapa
en un estado de cortante puro, propuso una solución para adaptar la formula de tensión
crítica en rango elástico (Ec. 2.7) al rango inelástico.
La teoría de Bleich se fundamenta en suponer que cuando la tensión longitudinal
σ x supera el límite de estricta proporcionalidad del acero, en esa dirección las relaciones
entre esfuerzos y deformaciones se rigen por el módulo tangente E t , mientras que en la
dirección transversal continúa siendo efectivo el módulo de Young E , dado que los
únicos esfuerzos en esa dirección son originados por la resistencia del panel a deformarse
transversalmente y éstos son pequeños para deflexiones laterales limitadas. Así, las
fórmulas para la tensión crítica en rango elástico (Ec. 2.7) también serian válidas en el
rango inelástico siempre que en este rango el modulo de Young fuera reemplazado por
un módulo reducido. Así, la expresión Ec. 2.7 se convierte en
π 2 Eη ⎛ t ⎞
⎜ ⎟ k
12 (1 − υ 2 ) ⎝ b ⎠
2
τc =
(2.18)
donde
η = Et E
23
(2.19)
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
con η = 1 cuando la tensión crítica τ c esté por debajo del límite de proporcionalidad, y
η < 1 cuando τ c esté por encima.
Anteriormente a la propuesta de Bleich, Stowell (1948), quien también estudió
el pandeo por cortante de chapas en rango inelástico, obtuvo otro valor para el factor η
en función del modulo tangente E t y el modulo secante E s . Una de las conclusiones del
estudio de Stowell fue que η es prácticamente independiente de las condiciones de
contorno existentes y que por tanto era aplicable tanto para el caso de un panel
simplemente apoyado en sus cuatro bordes como para un panel empotrado.
Además, otra de las propuestas recogida en algunas normativas y de carácter más
conservador, toma como coeficiente reductor a
η = Et E
(2.20)
En la Figura 2.9 se representan la solución de Stowell y la propuesta de Bleich
(Ec. 2.19), junto con la otra propuesta más conservadora (Ec. 2.20). Se puede observar
que la Ec. 2.19 de Bleich es una buena aproximación a la solución propuesta por Stowell
y que nos deja del lado de la seguridad, quedando la tercera de las propuestas bastante
más alejada de las otras dos.
Figura 2.9 Diferentes propuestas para el factor η en función de la tensión de comparación de
Mises para un estado de cortante puro (Bleich, 1952)
24
Estado del arte
2.3.4 Condiciones de contorno
En prácticamente todos los métodos de diseño de vigas armadas existentes,
también en los incluidos en las normativas vigentes, cuando se determina la tensión
crítica de abolladura de los paneles se considera conservadoramente que las condiciones
de contorno son las de un panel simplemente apoyado en sus cuatro bordes. Éstas, sin
embargo, no son, en general, las condiciones reales en vigas armadas.
Generalmente se asume que en las vigas rigidizadas transversalmente, los
rigidizadores transversales son los suficientemente rígidos como para formar líneas
nodales de las ondas sinusoidales de los diferentes modos de pandeo del alma. En este
caso sí podría estar bien justificado el asumir la condición apoyo simple en los bordes
laterales de los paneles, puesto que los rigidizadores transversales se diseñan para
cumplir dicha condición.
Por el contrario, el alma del panel esta elásticamente coartada en la junta entre
ala y alma. Las condiciones de contorno reales estarán a medio camino entre un apoyo
simple y un empotramiento dependiendo fundamentalmente de parámetros como la
relación de espesores entre alas y alma ( t f t w ). Aunque esta noción de condiciones de
contorno reales ha sido bien reconocida desde hace tiempo, las condiciones de contorno
han sido tradicionalmente asumidas de manera conservadora básicamente debido a una
falta de medios para evaluarlas de una manera racional (Lee et al., 1996).
Así, Lee et al. (1996) estableció una nueva propuesta (Ec. 2.21 y Ec. 2.22) para
los coeficientes de abolladura teniendo en cuenta el grado de empotramiento que
proporcionaban las alas al alma a partir de los valores clásicos (Tabla 2.1) y en función
de la relación t f t w .
k = k ss +
⎡
4
(k sf − k ss ) ⎢1 −
5
⎣⎢
k = k ss +
4
(k sf − k ss )
5
t
2⎛
⎜⎜ 2 − f
tw
3⎝
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦⎥
para
para
25
1 tf
<
<2
2 tw
tf
tw
>2
(2.21)
(2.22)
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
donde k ss y k sf son los valores recogidos por Galambos (Tabla 2.1) correspondientes a
las condiciones de contorno de apoyo simple (Ec. 2.9 y Ec. 2.10) y empotramiento (Ec.
2.14 y Ec. 2.15) en los dos bordes unidos a las alas.
Estrada (2005) también estudió la influencia de las condiciones de contorno en
el pandeo de chapas. En esta ocasión el estudio fue realizado para vigas armadas de
acero inoxidable, concluyendo de la misma forma que la relación t f t w es el parámetro
clave para establecer las condiciones de contorno reales en una viga armada. A pesar de
realizarse para aceros inoxidables, la propuesta de Estrada para los coeficientes de
abolladura puede ser de gran interés para el presente trabajo puesto que Estrada, en la
medida de lo posible, no incluyó en éstos la influencia de la no linealidad del material.
Su propuesta para los coeficientes de abolladura es
- Para paneles con α ≤ 1 :
k = 0.8k ss +
k = k ss +
0.2 k ss t f
⋅
3
tw
tf
tw
k sf − k ss ⎛ t f
⎞
⋅ ⎜⎜ − 3 ⎟⎟
7
⎝ tw
⎠
tf
k ≤ k sf
tw
<3
(2.23)
≥3
(2.24)
- Para paneles con α ≥ 1 :
k = 0.5k ss + (0.05k ss + 0.2 k sf ) ⋅
k = (0.6k ss + 0.4 k sf ) +
tf
tf
tw
tw
0.55k sf − 0.6k ss ⎛ t f
⎞
⋅ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟
8
⎝ tw
⎠
k ≤ k sf
tf
tw
<2
(2.25)
≥2
(2.26)
donde k ss y k sf son los valores recogidos por Galambos (Tabla 2.1) correspondientes a
las condiciones de contorno de apoyo simple (Ec. 2.9 y Ec. 2.10) y empotramiento (Ec.
2.14 y Ec. 2.15) en los dos bordes en contacto con las alas.
26
Estado del arte
2.3.5 Rigidizadores longitudinales
Con el fin de maximizar la relación resistencia/peso, mejorando así la eficacia en
el diseño de vigas armadas, frecuentemente se emplean rigidizadores longitudinales,
además de los transversales. Su principal efecto se ha demostrado que es el de
incrementar la tensión crítica de abolladura del alma, aunque el incremento en la
capacidad última puede ser también importante (Evans, 1983).
En el diseño de este tipo de rigidizadores hay dos conceptos posibles: el de
rigidizadores rígidos y el de rigidizadores flexibles (Škaloud, 1983). En la primera
aproximación los rigidizadores son diseñados para proporcionar al alma un apoyo rígido,
induciendo así a la creación en los rigidizadores de líneas nodales de la superficie
pandeada del alma. De esta manera se obtienen unas óptimas condiciones de contorno
para el pandeo del alma, consiguiendo alcanzar la mayor resistencia crítica posible para
la viga.
En la segunda aproximación la presencia de los rigidizadores flexibles mejora el
comportamiento del alma, pero sin aportar al alma un soporte suficientemente rígido.
De esta manera los rigidizadores deformaran solidariamente con el alma. En este caso la
capacidad crítica no podrá ser tan alta como en el caso anterior, pero habrá un ahorro
económico en lo que a material para rigidizadores se refiere.
Tradicionalmente se ha empleado mucho más el concepto de rigidizadores
rígidos debido principalmente a que el análisis es más sencillo y rápido. Así, una vez los
rigidizadores se han diseñado como rígidos, el análisis del alma se puede reducir al
análisis de los subpaneles entre rigidizadores. Además, el empleo de elementos poco
rígidos, aunque resultando un procedimiento teóricamente barato en relación al peso del
material a emplear, no disminuye sensiblemente los costes de la mano de obra.
Una manera de cuantificar la capacidad de los rigidizadores es a través de su
rigidez a flexión relativa, definida como
γ=
EI s
Dd
27
(2.27)
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
donde
E = módulo de Young
I s = inercia del rigidizador
d = canto del alma
D=
Et 3
= rigidez a flexión del alma por unidad de ancho
12(1 − υ 2 )
Para determinar la rigidez a flexión relativa necesaria para que el rigidizador se
comporte como rígido habitualmente se toma como base el concepto de rigidez óptima.
Ésta se puede definir desde un punto de vista práctico como el valor de γ por el que la
carga crítica de toda el alma rigidizada es igual a la carga crítica del subpanel más
desfavorablemente solicitado y más esbelto, siempre asumiendo que éste subpanel está
simplemente apoyado en los cuatro bordes (Škaloud, 1983).
Muchos han sido los estudios que han tratado de determinar la rigidez óptima
γ * para distintos tipos de rigidización y carga. Tomando como base un
comportamiento perfectamente lineal en un panel sin imperfecciones iniciales sometido
a un estado de cortante puro y con un rigidizador longitudinal centrado (Fig. 2.10), la
rigidez óptima según la antigua normativa alemana DIN 4114 es
γ * = 5.4α 2 ( 2α + 2.5α 2 − α 3 − 1)
(2.28)
τ
τ
d
τ
τ
a=α ·d
Figura 2.10 Panel sometido a cortante puro y con un rigidizador longitudinal centrado
28
Estado del arte
En cualquier caso la presunción de linealidad adoptada no se corresponde a la
realidad, por la presencia de imperfecciones iniciales, irregularidades y tensiones
residuales que las vigas reales poseen. Por ello, diversos autores han concluido que en la
realidad el valor de la rigidez óptima puede alejarse de los valores teóricos presentados
en la antigua normativa alemana.
Así, una manera habitual de especificar la rigidez necesaria para asegurar un
comportamiento rígido es a través de la relación γ γ * que deben cumplir los
rigidizadores. Así, Marco (1998) recoge los resultados obtenidos por Massonnet quién
estableció que para relaciones 0.5 ≤ α ≤ 2 era necesaria una rigidez a flexión relativa tres
veces superior a la rigidez óptima propuesta por la antigua normativa alemana DIN
4114 (Ec. 2.28). Cabe mencionar que según Marco con una rigidez a flexión relativa
tres veces superior a la establecida por la antigua norma alemana, los rigidizadores
permanecen prácticamente sin deformaciones hasta el colapso final de la viga y no tan
solo hasta alcanzar la carga crítica.
Para el caso de acero inoxidable y relaciones de aspecto iguales a la unidad,
también Estrada (2005) concluye que es necesaria una rigidez a flexión relativa igual a
tres veces la rigidez óptima definida según la normativa alemana.
De esta manera, en aquellos casos donde el rigidizador se comporte rígidamente
será suficiente con analizar el subpanel. Si se quieren tener en cuenta las condiciones de
contorno reales de la pieza y no la solución conservadora de adoptar condiciones de
apoyo simple en los cuatro bordes, la solución que propone Estrada (2005) es analizar el
subpanel y obtener el valor de k tomado como espesor de alas la media entre el espesor
de las alas y el espesor del rigidizador longitudinal.
Para otros casos donde el rigidizador no es suficiente para limitar el pandeo al
subpanel existen diversas propuestas que tienen en cuenta esta aportación de los
rigidizadores, en función de su rigidez a flexión relativa, en la obtención del parámetro
k . A continuación se detallan algunos de los más relevantes para un panel simplemente
apoyado en sus cuatro bordes y con un rigidizador longitudinal centrado:
29
Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente
- Crate y Lo (1948) – desarrollado para un panel infinitamente largo. Expresión
obtenida por Höglund (1997) aproximada a la curva teórica de Crate y Lo.
k = 5.34 + 1.363 γ
(2.29)
- DIN 4114 (1953) – antigua normativa alemana actualmente derogada por la vigente
DIN 18800 (1990).
k=
4.93(1 + α 2 )
0.5 ≤ α ≤ 2.0
α3 ζ
(2.30)
donde
10.24 (1 + α 2 ) 2 + 3.16(1 + 9α 2 ) 2 + 4.05γ
ζ =
+
(1 + α 2 ) 2 (1 + 9α 2 ) 2 + 2γ (1 + α 2 ) 2 + 2γ (1 + 9α 2 ) 2
+
10.24(1 + α 2 ) 2 + 0.41(9 + α 2 ) 2 + 13.11γ
(1 + α 2 ) 2 (9 + α 2 ) 2 + 2γ (9 + α 2 ) 2 + 162γ (1 + α 2 ) 2
- Höglund (1997)
k = 5.34 +
4
α2
+
3.45γ 3 4
α2
(2.31)
- Beg (2003)
k = 4 .1 +
6.3 + 0.05γ
α
2
+ 1.44 3 γ
donde γ es la rigidez a flexión relativa (Ec. 2.27).
30
(2.32)