APLICACIONES DE LAS ED DE PRIMER ORDEN CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN. desintegración radioactiva, crecimiento poblacional, ley de absorción. DILUCIONES FISICAS • Existe en el mundo que nos rodea, cantidades cuya rapidez de crecimiento o decrecimiento varia en forma proporcional con la misma cantidad. • Su modelo matemático corresponde con: dx k ( x c) dt x(t0 ) x0 Desintegración radioactiva • Si Q es la cantidad de material radioactivo en el instante t, entonces dq kq dt • Donde 𝑘 representa la constante de desintegración y se llamará tiempo de vida medio al necesario para que una cantidad q0 se q trasforme en 0 2 Ley de enfriamiento de Newton • Un cuerpo a una temperatura T y inmerso en un medio de tamaño infinito y a una temperatura constante Tm ( no varia considerablemente en el tiempo) , el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la ley: dT k T Tm dt Ley de absorción de Lambert • La tasa de absorción de la luz con respecto a una profundidad 𝑥 de un material traslucido es proporcional a la intensidad de la luz a una profundidad 𝑥. dI kx dx CRECIMIENTO DE POBLACIONES • La razón de crecimiento depende de la población presente, • Si 𝑃(𝑡) es la población en un instante de tiempo en un periodo corto entonces: dP kP dt PROBLEMAS DE DILUCIÓN • Una solución es una mezcla de un soluto, que puede ser solido, liquido o gaseoso en un solvente liquido o gaseoso. • La soluciones pueden ser liquidas si disuelve un solido o un liquido en un liquido o gaseosas si se disuelve un gas en un gas. • Tasa de acumulación = tasa de entrada –tasa de salida Ejemplo Una barra de metal esta a una temperatura de 100 constante elFlugar es un cuarto a una temperatura constate de 0F . Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50F hallar: a) el tiempo que tarda la barra en llegar a una temperatura de 25F b) Temperatura de la barra después de 10 minutos. Ejemplo • Un tanque de 100 Gl de capacidad esta inicialmente lleno de agua. Agua pura entra al Gl tanque a una tasa de 1 min y al mismo tiempo una salmuera que contienen 1 de libra de sal 4 por galón fluye dentro del tanque a una tasa Gl de 1 min La mezcla perfecta sale del tanque a Gl una tasa de 2 min Hallar la cantidad de sal en el tanque. Ejemplo • Un tanque con la suficiente capacidad inicialmente tiene 100 Gl de agua. Agua pura Gl entra al tanque a una tasa de 2 min y al mismo tiempo una salmuera que contienen de libra de sal por galón fluye dentro del tanque a una Gl tasa de 3 min La mezcla perfecta sale del Gl tanque a una tasa de 1 min Hallar la cantidad de sal en el tanque. Ejemplo • Un cuerpo se sumerge en un medio donde se observa que la temperatura del medio y la del cuerpo tienen una relación lineal y la temperatura del medio no permanece constante. La temperatura del cuerpo 𝑇 depende de la temperatura del medio 𝑇𝑚 , se observa que cuando el cuerpo está a 0 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 el medio está a 65 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 y cuando el medio está a 20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 el cuerpo está a 64 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠, se sabe que el cuerpo en 𝑡 = 0 está a 300 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠. Hallar una expresión que mida la temperatura del cuerpo en cualquier instante 𝑡. Ejemplo • Un cuerpo pesa 40 kgf y se lanza desde una m altura de 50 m con una rapidez de 2 . Si la s resistencia del aire es proporcional a la rapidez de descenso del cuerpo. Se sabe que la m rapidez límite es de 60 . s • Encontrar la expresión de la rapidez del cuerpo en cualquier instante de tiempo. • La expresión para la posición del cuerpo en el tiempo 𝑡.