Nuevas posibilidades para la solución del problema de distribución

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
COORDINACION DE INGENIERIA DE PRODUCCION
Nuevas posibilidades para la solución del Problema de Distribución de
Programación Lineal Estocástica en forma cerrada
Por
Adriana Carolina Mata Fontcuberta
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la ilustre Universidad Simón Bolívar Como Requisito Parcial para
Optar al Título de Ingeniero de Producción
Sartenejas, Noviembre 2006
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
COORDINACION DE INGENIERIA DE PRODUCCION
Nuevas posibilidades para la solución del Problema de Distribución de
Programación Lineal Estocástica en forma cerrada
Proyecto de Grado
AUTOR: Adriana Mata
Carnet No. 01-34120
TUTOR: Hillel Kumin
(Universidad de Oklahoma)
CO-TUTOR: Francisco Ojeda
(Universidad Simón Bolívar)
JURADO: Alfredo Ríos
(Universidad Simón Bolívar)
JURADO: Claudia Antonini
(Universidad Simón Bolívar)
Sartenejas, Noviembre 2006
ii
Resumen
Considere el siguiente problema lineal:
n
max z = ∑ c j x j
(1)
xj
j =1
sujeto a:
n
(2)
∑a x
ij
j
≤ bi , i = 1,2,..., m ; x j ≥ 0, j = 1,2,..., n
j =1
donde los coeficientes de c = (c1 , c2 ,..., cn ) ó b = (b1 , b2 ,..., bm ) T son variables aleatorias
continuas con función de densidad conjunta conocida y se desea hallar la función de
distribución del óptimo de la función objetivo z.
A pesar de que se ha investigado mucho en el área de Programación Lineal
Estocástica (PLE), no existe ningún método que resuelva de forma práctica el Problema
de Distribución en forma cerrada, para problemas con más de dos variables aleatorias.
El objetivo general de este proyecto es investigar nuevas posibilidades para
resolver el Problema de Distribución de Programación Lineal Estocástica en forma
cerrada. Se propone una herramienta computacional que incluye métodos utilizados
anteriormente por otros autores, así como otras técnicas computacionales que no han sido
aplicadas a la resolución del problema de distribución.
La herramienta se implementó en el paquete Mathematica®, haciendo uso de
programación simbólica y el paquete descargable “vertex enumeration” que halla los
vértices factibles dados por una serie de restricciones lineales. La validación de la misma
se realizó a través de la comparación con ejemplos de la literatura resueltos
analíticamente.
Se logró resolver el problema en forma cerrada para problemas cuyos coeficientes
del vector de costos c (Caso I) o vector de recursos b (Caso II) son variables
()
()
aleatorias iid de distribución exponencial, gamma o uniforme. El máximo número de
coeficientes estocásticos considerados fue de nueve (9) para el caso de exponenciales, y
de seis (6) para el caso de distribuciones gamma y uniforme.
Adicionalmente, se implementaron las transformaciones de Ewbank et al (1974)
que mostraron ser significativamente efectivas en la reducción del tiempo computacional
de la herramienta. En el caso de distribuciones exponenciales, la transformación reduce,
en promedio, un 84% del tiempo computacional y en el caso de distribuciones gamma, en
un promedio de 76%.
Palabras Clave: Programación Lineal Estocástica (PLE), Problema de Distribución,
Solución Cerrada.
iii
Agradecimientos
En primer lugar, quiero agradecer a mi tutor Hillel Kumin, de la Universidad de
Oklahoma, que además de brindarme el tema del presente proyecto de grado, me brindó
un apoyo incondicional en todo momento. Además de asesorarme en el área académica,
siempre creyó mucho en mí y me motivó continuamente para que siguiera trabajando en
esta investigación.
También quisiera darles las gracias a mis tutores de la Universidad Simón
Bolívar, Francisco Ojeda y Alfredo Ríos, por su disposición, sus consejos y todo el
recibimiento que me otorgaron a lo largo de la elaboración del proyecto.
A mi familia, por comprender lo demandante que fue esta etapa de mi vida y por
brindarme todo su apoyo y su cariño. Especialmente a mi madre, Carmen Fontcuberta,
quien siempre me ha apoyado y acompañado en todas las metas que me propongo. A ella
quiero agradecerle por toda la ayuda que me brindó para llevar a cabo este trabajo.
Quiero dar un agradecimiento muy especial a Hugo Moisés Montesinos, por todo
el esfuerzo y dedicación que puso para ayudarme en esta investigación, por sus buenos
consejos y, mucho más importante, por enseñarme a buscar ser mejor cada día.
Por último, pero no menos importante, quiero agradecer a Percy Bernedo, de la
Universidad de Oklahoma, por todas las buenas ideas que me brindó, las cuales fueron de
gran ayuda en la elaboración de esta tesis.
Una vez más, gracias a todos.
iv
Índice General
RESUMEN ..................................................................................................................................................III
AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................................. IV
GLOSARIO ................................................................................................................................................ IX
INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................ 1
CAPÍTULO 1
1.1
1.1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.................................................................. 5
EL PROBLEMA .............................................................................................................................. 5
La solución del Problema:...................................................................................................... 5
ANTECEDENTES DE LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE PLE ......................... 8
JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................................. 9
APLICACIÓN DEL PROBLEMA EN EL ÁREA DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN ............................... 11
OBJETIVOS ................................................................................................................................. 13
Objetivo General: ................................................................................................................. 13
Objetivos Específicos: .......................................................................................................... 13
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO ................................................................................................. 15
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................................ 15
Definiciones .......................................................................................................................... 16
Propiedades de un Problema de Programación Lineal........................................................ 17
Condiciones de optimalidad y factibilidad en un Problema de Programación Lineal......... 19
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA .......................................................... 21
Función de distribución de una variable aleatoria ............................................................. 21
Distribuciones de Probabilidad a estudiar........................................................................... 21
PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA .................................................................................................. 23
Modelo activo de PLE .......................................................................................................... 24
Modelo pasivo de PLE: El problema de Distribución.......................................................... 25
Solución del problema de Distribución del Óptimo.............................................................. 27
Transformación de Ewbank et al. (1974) ............................................................................. 35
MEDICIÓN DE LA CONVERGENCIA DE UN MÉTODO DE APROXIMACIÓN DADO A TRAVÉS DE LA
FORMA CERRADA ...................................................................................................................................... 44
CAPÍTULO 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.5.1
3.5.2
3.6
3.7
3.8
METODOLOGÍA ..................................................................................................... 47
HARDWARE ................................................................................................................................ 47
SOFTWARE ................................................................................................................................. 48
ENUMERACIÓN DE VÉRTICES ...................................................................................................... 48
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD A ESTUDIAR....................................................................... 49
ALGORITMOS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ................................................................. 50
Algoritmo Bereanu Caso I y Caso II .................................................................................... 51
Algoritmo para las Transformaciones de Ewbank et al (1974)............................................ 54
VERIFICACIÓN DE LAS SALIDAS ARROJADAS POR LA HERRAMIENTA .......................................... 57
ESTABLECIMIENTO DEL NÚMERO MÁXIMO DE VARIABLES ......................................................... 57
METODOLOGÍA PARA LA SIMULACIÓN DE MONTE CARLO .......................................................... 58
CAPÍTULO 4
RESULTADOS.......................................................................................................... 60
4.1
VERIFICACIÓN DE LA HERRAMIENTA .......................................................................................... 60
4.1.1
Ejemplo 1. Ejemplo analítico de Ewbank (1972) p. 42. (CASO II) ...................................... 60
4.1.2
Ejemplo 2. Ejemplo analítico de Ewbank (1972) p. 45 (CASO I)......................................... 63
4.1.3
Ejemplo 3. Ejemplo analítico Zinn (1971) p. 19 (CASO I)................................................... 67
4.2
MÁXIMO NÚMERO DE VARIABLES .............................................................................................. 68
4.2.1
CASO II- Distribuciones Exponenciales iid. ....................................................................... 68
4.2.2
CASO II- Distribuciones Gamma iid. ................................................................................... 71
v
4.2.3
CASO I- Distribuciones Uniformes iid. ................................................................................ 73
4.3
MEDICIÓN DE LA CONVERGENCIA DE UN MÉTODO DE APROXIMACIÓN DADO A TRAVÉS DE LA
FORMA CERRADA ...................................................................................................................................... 75
4.3.1
Caso II. Coeficientes distribuidos Gamma ........................................................................... 75
4.3.2
Caso II. Coeficientes distribuidos Uniforme ........................................................................ 77
4.4
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS .................................................................................................. 79
CAPÍTULO 5
ESTUDIO EMPÍRICO DE LOS RESULTADOS DE LA HERRAMIENTA EN
TIEMPO COMPUTACIONAL ................................................................................................................ 81
5.1
METODOLOGÍA ........................................................................................................................... 82
5.1.1
Eficacia de transformación en la reducción del tiempo ....................................................... 83
5.1.2
Eficiencia del Caso I y Caso II en la resolución de problemas ............................................ 84
5.1.3
Influencia de los parámetros en el tiempo de la herramienta .............................................. 84
5.2
RESULTADOS.............................................................................................................................. 85
5.2.1
Eficacia de la transformación Ewbank et al (1974) en la reducción del tiempo
computacional..................................................................................................................................... 85
5.2.2
Eficiencia del Caso I y Caso II en la resolución del problema ............................................ 87
5.3
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS .................................................................................................. 91
5.3.1
Influencia de los parámetros en el tiempo del algoritmo ..................................................... 92
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................... 93
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................ 97
APÉNDICE A.
CÓDIGO DE LA HERRAMIENTA EN MATHEMATICA 5.2 ® .................... 103
APÉNDICE B.
EJEMPLOS NUMÉRICOS ................................................................................... 113
APÉNDICE C.
RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN ............................................................... 115
vi
Índice de Figuras
FIGURA 1. REGIÓN FACTIBLE DETERMINÍSTICA DEL CASO I DEL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN EN PLE ........ 6
FIGURA 2. REGIÓN FACTIBLE ALEATORIA DEL CASO II DEL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN EN PLE............... 6
FIGURA 3. PUNTOS EXTREMOS EN UN POLIEDRO CONVEXO ........................................................................... 19
FIGURA 4. ESQUEMA DE TOMA DE DECISIONES PARA EL EJEMPLO DE LAS MÁQUINAS A COMPRAR ................ 26
FIGURA 5. FUNCIÓN DE DENSIDAD DEL ÓPTIMO PARA LA MÁQUINA 1 Y MÁQUINA 2 .................................... 27
FIGURA 6. REGIÓN FACTIBLE DEL EJEMPLO (2.18) ........................................................................................ 29
FIGURA 7. REGIÓN DE DECISIÓN S1................................................................................................................ 30
FIGURA 8. REGIÓN DE INTEGRACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEL ÓPTIMO. BASE
A DEL PROBLEMA (2.18) ...................................................................................................................... 32
FIGURA 9. SEPARACIÓN DE LA REGIÓN DE INTEGRACIÓN DEL PROBLEMA (2.18) .......................................... 33
FIGURA 10. FUNCIÓN DE DENSIDAD DEL ÓPTIMO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO CALCULADA CON EL MÉTODO DE
APROXIMACIÓN A ................................................................................................................................ 44
FIGURA 11. FUNCIÓN DE DENSIDAD DEL ÓPTIMO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO CALCULADA EN FORMA CERRADA
............................................................................................................................................................ 45
FIGURA 12. GRÁFICO DE LAS FUNCIONES DE DENSIDAD TEÓRICA Y APROXIMADA ........................................ 45
FIGURA 13 DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO BEREANU PARA EL CASO I.. 52
FIGURA 14. DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO BEREANU PARA EL CASO II 53
FIGURA 15 DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN EWBANK ET AL (1974)
PARA EL CASO I ................................................................................................................................... 55
FIGURA 16 DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN EWBANK ET AL (1974)
PARA EL CASO I ................................................................................................................................... 56
FIGURA 17 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DEL MÁXIMO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO DEL EJEMPLO
ANALÍTICO DE EWBANK (1972) P. 42 ................................................................................................... 65
FIGURA 18. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DEL MÁXIMO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO DEL EJEMPLO 3. .... 67
FIGURA 19. GRÁFICO DEL TIEMPO DE CÓMPUTO DE LA HERRAMIENTA SEGÚN EL TAMAÑO DEL PROBLEMA
PARA COEFICIENTES DISTRIBUIDOS EXPONENCIALMENTE. ................................................................... 70
FIGURA 20, GRÁFICO DEL TIEMPO DE CÓMPUTO DE LA HERRAMIENTA SEGÚN EL TAMAÑO DEL PROBLEMA
PARA COEFICIENTES DISTRIBUIDOS UNIFORME..................................................................................... 74
FIGURA 22. GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEL ÓPTIMO DEL PROBLEMA (4.2). SOLUCIÓN
TEÓRICA Y AJUSTADA (SIMULACIÓN) ................................................................................................... 76
FIGURA 23. GRÁFICAS SUPERPUESTAS DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN OBTENIDA POR LA SOLUCIÓN
TEÓRICA Y LA SIMULACIÓN .................................................................................................................. 76
FIGURA 24. GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEL ÓPTIMO DEL PROBLEMA (4.4). SOLUCIÓN
TEÓRICA Y AJUSTADA (SIMULACIÓN) ................................................................................................... 78
FIGURA 25. GRÁFICAS SUPERPUESTAS DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN OBTENIDA POR LA SOLUCIÓN
TEÓRICA Y LA SIMULACIÓN .................................................................................................................. 78
vii
Índice de Tablas
TABLA 1. TRANSFORMACIÓN EWBANK ET AL (1974) PARA CADA BASE FACTIBLE DEL EJEMPLO 2.1............. 38
TABLA 2. PROPIEDADES DEL PROCESADOR UTILIZADO.................................................................................. 47
TABLA 3. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN UTILIZADAS PARA LOS EXPERIMENTOS DE LA HERRAMIENTA ......... 50
TABLA 4. VERIFICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN EWBANK ET AL (1974) CASO II MEDIANTE EJEMPLO 1 .. 61
TABLA 5. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA HERRAMIENTA CON EL EJEMPLO 1. EJEMPLO ANALÍTICO
DE EWBANK (1972) P. 42. .................................................................................................................... 62
TABLA 6. VERIFICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN EWBANK (1974) ET AL CASO I MEDIANTE EL EJEMPLO 2.
............................................................................................................................................................ 63
TABLA 7. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS ANALÍTICOS CON LOS RESULTADOS DE LA HERRAMIENTA EN
LAS CUATRO MODALIDADES PARA EL EJEMPLO 2 ................................................................................ 66
TABLA 8. RESULTADOS CASO II, M=N=3. EXPONENCIALES INDEPENDIENTES.............................................. 69
TABLA 9. TIEMPO COMPUTACIONAL PARA TRANSFORMACIÓN CASO II, DESDE 4X4 HASTA 9X9.
EXPONENCIALES.................................................................................................................................. 70
TABLA 10. PRONÓSTICO DEL TIEMPO COMPUTACIONAL SEGÚN EL TAMAÑO DEL PROBLEMA PARA
COEFICIENTES DISTRIBUIDOS EXPONENCIALMENTE. ............................................................................ 71
TABLA 11. RESULTADOS CASO II, M=N=3. GAMMA INDEPENDIENTES. ........................................................ 71
TABLA 12. TIEMPO COMPUTACIONAL PARA TRANSFORMACIÓN CASO II, DESDE 3X3 HASTA 6X6. GAMMA. . 72
TABLA 13. RESULTADOS CASO II, M=N=3. UNIFORMES INDEPENDIENTES. .................................................. 73
TABLA 14. TIEMPO COMPUTACIONAL PARA TRANSFORMACIÓN CASO II, DESDE 3X3 HASTA 6X6. UNIFORMES.
............................................................................................................................................................ 73
TABLA 15. PRONÓSTICO DEL TIEMPO COMPUTACIONAL SEGÚN EL TAMAÑO DEL PROBLEMA PARA
COEFICIENTES DISTRIBUIDOS UNIFORME.............................................................................................. 74
TABLA 16. RESULTADOS PROMEDIOS TOTALES EN TIEMPO COMPUTACIONAL SEGÚN LA DISTRIBUCIÓN DE LOS
COEFICIENTES Y EL TAMAÑO DEL PROBLEMA. CASO II. ....................................................................... 74
TABLA 17. CRITERIOS PARA LA COMPARACIÓN DE LA SOLUCIÓN TEÓRICA A LA APROXIMADA PARA EL
PROBLEMA (4.2)................................................................................................................................... 76
TABLA 18. CRITERIOS PARA LA COMPARACIÓN DE LA SOLUCIÓN TEÓRICA A LA APROXIMADA PARA EL
PROBLEMA (4.4)................................................................................................................................... 78
TABLA 19. FACTORES TOMADOS EN CUENTA PARA EL ANÁLISIS DE LA HERRAMIENTA DESARROLLADA ....... 82
TABLA 20. DISEÑO DE EXPERIMENTOS PARA LA COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA HERRAMIENTA 82
TABLA 21. RESULTADOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EXPERIMENTOS 1 Y 2 ....................................... 85
TABLA 22. RESULTADOS DEL TIEMPO COMPUTACIONAL PARA EXPERIMENTOS 1 Y 2 .................................... 86
TABLA 23. RESULTADOS DE LA REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL LUEGO DE LA TRANSFORMACIÓN
EWBANK ET AL. (1974) PARA DISTRIBUCIONES EXPONENCIALES. ........................................................ 86
TABLA 24. RESULTADOS DE LA REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL LUEGO DE LA TRANSFORMACIÓN
EWBANK ET AL. (1974) PARA DISTRIBUCIONES GAMMA ...................................................................... 87
TABLA 25. RESULTADOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EXPERIMENTOS 3 Y 4 ....................................... 87
TABLA 26. RESULTADOS DEL TIEMPO COMPUTACIONAL PARA EXPERIMENTOS 3 Y 4 .................................... 88
TABLA 27. RESULTADOS DE LA REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL CASO I EN COMPARACIÓN CON EL
CASO II (M=N) PARA DISTRIBUCIONES EXPONENCIALES Y GAMMA...................................................... 89
TABLA 28. RESULTADOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EXPERIMENTOS 5 Y 6 ....................................... 90
TABLA 29. RESULTADOS DEL TIEMPO COMPUTACIONAL PARA EXPERIMENTOS 5 Y 6 .................................... 90
TABLA 30. RESULTADOS DE LA REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL CASO I EN COMPARACIÓN CON EL
CASO II (M=N) PARA DISTRIBUCIONES EXPONENCIALES Y GAMMA...................................................... 90
TABLA 31. MÉTODO DE RESOLUCIÓN RECOMENDADO SEGÚN EL TAMAÑO DEL PROBLEMA ........................... 91
TABLA 32. RESULTADOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EXPERIMENTO 9............................................... 92
TABLA 33. RESULTADOS DEL TIEMPO COMPUTACIONAL PARA EXPERIMENTO 10 .......................................... 92
TABLA 34. EJEMPLOS NUMÉRICOS CASO I. UNIFORMES (0, 8) IID................................................................ 113
TABLA 35. EJEMPLOS NUMÉRICOS CASO II: B ESTOCÁSTICO ....................................................................... 114
viii
Glosario
Aleatorio. Relativo a todo acontecimiento que depende del azar.
Base. En programación lineal, es el vector compuesto por las variables de decisión cuyo
valor es distinto de cero. Cada base representa un vértice de la región obtenida a través de
la intersección de las restricciones, puede ser factible o infactible (ver solución básica).
CDF (Cumulative Distribution Function). Función de probabilidad acumulada. Para una
variable aleatoria X, la función de probabilidad acumulada está dada por
F ( x) = P[ X ≤ x] .
Combinación lineal. X es combinación lineal de vectores de A si podemos expresar X
como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de A.
Criterio de factibilidad. En programación lineal, es la condición que debe cumplir una
base para ser considerada factible, es decir, para que satisfaga todas las restricciones del
problema.
Criterio de optimalidad. En programación lineal, es la condición que debe cumplir una
base para ser considerada óptima, es decir, ser una solución que no se puede superar por
ninguna otra.
Determinístico. Contrario a aleatorio, no es producto del azar.
Estocástico. Perteneciente o relativo al azar (aleatorio).
Forma cerrada. Es aquella que expresa la solución de la variable dependiente de interés
en términos de funciones elementales (básicas) de las variables independientes y
parámetros.
Forma dual. En programación lineal, es una transformación del problema, cuya solución
óptima es equivalente a la original. Todo problema (primal) tiene su equivalente dual.
Función de densidad conjunta. Para un vector aleatorio es la función cuya integral sobre
un conjunto A da la probabilidad de que el vector pertenezca a ese conjunto.
Función Objetivo. En programación lineal, esta es la función que se quiere optimizar.
Independencia estadística. Dos variables aleatorias son independientes si la ocurrencia de
una no afecta el resultado de la otra (y viceversa).
Método Simplex. El algoritmo simplex de George Dantzig es un procedimiento iterativo
para encontrar la solución óptima del problema de programación lineal. Con este método,
la solución de la iteración actual es mejor que la solución de la iteración anterior.
PL. Problema lineal. Relativo a Programación Lineal. Problema matemático para modelar
la optimización de una función lineal sujeta a varias restricciones lineales.
PLE. Programación Lineal Estocástica.
ix
Programación lineal. Área de la matemática que estudia la optimización de funciones
lineales sujetas restricciones de tipo lineal.
Prueba de hipótesis. Es un procedimiento que decide, basado en una muestra, cuál de dos
hipótesis complementarias, sobre el parámetro de una población, se toma como cierta. A
las hipótesis complementarias se les conoce con el nombre de “hipótesis nula” e “hipótesis
alternativa”.
P-valor. Es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis
nula. Dicho de otra forma, es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como lo
observado en la muestra, dado la hipótesis nula. Mientras más pequeño el p-valor, más
evidencia en contra de la hipótesis nula.
Región factible. En programación lineal, es la región generada a partir de la intersección
de todas las restricciones del problema.
Solución básica. Para un conjunto de m ecuaciones y n incógnitas (n>m), es la solución
que surge de hacer n-m variables iguales a cero y resolver el problema resultante mxm, si y
sólo si, esta solución es única. Las n-m variables iguales a cero son llamadas no básicas y
las restantes m variables son llamadas básicas.
Variable Aleatoria. Es una función que asigna un número real a cada resultado en el
espacio muestral de un experimento aleatorio. Por ejemplo, en un sistema de comunicación
de 48 líneas, X puede representar la variable aleatoria que denota el número de líneas en
uso. Entonces X puede tomar cualquier valor entre 0 y 48 (espacio muestral).
Variable artificial. En programación lineal, es una variable que no tiene sentido físico
propiamente en el sistema, pero que se inserta en el modelo como un artificio para su
resolución.
Variable continua. Aquella variable que puede tomar cualquiera de los valores no
numerables existentes dentro de un intervalo finito o infinito.
Variable de holgura. En programación lineal, representa la cantidad en exceso del recurso
asociado a las restricciones de tipo "menor o igual". Para solucionar el problema lineal, las
restricciones de tipo "menor o igual", son cambiadas a igualdades sumando la variable de
holgura al lado "menor".
Variables de decisión. Son las variables desconocidas cuyo valor óptimo se determinará a
través de la solución del problema de programación lineal.
Vector de coeficientes de costos. En programación lineal, es el vector formado por todos
los coeficientes de la función objetivo que están asociados a las variables de decisión del
problema.
Vector de recursos. En programación lineal, es el vector formado por las constantes de las
restricciones del modelo matemático. Este vector representa los recursos disponibles del
sistema.
x
1
Introducción
Muchos problemas en el área de los negocios, ingeniería y ciencias en general,
involucran incertidumbre. Sin embargo, en la práctica la optimización de esos sistemas se
hace frecuentemente con un modelo de parámetros determinísticos (Bayraksan, 2005).
Hanson (1960), muestra que no se debe aceptar los resultados de un problema lineal
determinístico para modelar situaciones con variaciones aleatorias, sin antes hacer un
estudio del error involucrado. El tema central del presente proyecto surge con la
inquietud de modelar un sistema de una manera más realista que considere que los
parámetros del mismo no se conocen con exactitud o están sujetos a variaciones
aleatorias, específicamente en los problemas de Programación Lineal, que son una clase
de modelo matemático concerniente a la asignación eficiente de recursos limitados para
alcanzar una meta deseada, bien sea maximizar ganancias o minimizar costos (Taha,
1972).
Para tratar problemas en los cuales no se conoce el valor de los parámetros del
modelo a optimizar, se definió Programación Lineal Estocástica (PLE) como un
problema de Programación Lineal donde uno o más parámetros están sujetos a
variaciones aleatorias. Aunque en Programación Lineal existe el análisis de sensibilidad,
que estudia cómo el cambio de los parámetros del problema afecta la solución óptima,
ésta es una respuesta parcial del problema. Programación Estocástica, extiende la
optimización determinística al considerar los efectos aleatorios de modo explícito en la
solución del problema.
En general, los problemas de Programación Estocástica han sido clasificados en
dos categorías, según el momento en el cual la decisión, sobre las variables del modelo de
programación lineal, debe ser tomada en relación a la realización de las variables
aleatorias. Si la decisión debe ser tomada antes de la realización de las variables
aleatorias, el problema se denomina “Activo”, y si por el contrario, la decisión debe ser
tomada luego de la realización de las variables aleatorias, el problema se denomina
“Pasivo”. En este caso, cuando se habla de “decisión”, significa el valor óptimo de las
variables de decisión del problema de programación lineal. Hay otro tipo de decisiones
que no están necesariamente relacionadas con este modelo.
2
Realizacion de las
variables aleatorias
0
Toma de decision
“Activo”
Tiempo
Toma de decision
“Pasivo”
El presente proyecto se centra en el estudio del problema “Pasivo”. En esta
categoría cabe perfectamente la pregunta de por qué se trata este problema en
Programación Estocástica si al momento de tomar la decisión ya se sabrá el valor de las
variables aleatorias. El fin de esta categoría se basa en obtener información del óptimo de
la función objetivo cuando el valor los coeficientes estocásticos no se ha conocido
todavía. Por ejemplo, la función de ganancias de una empresa puede depender de
parámetros no determinísticos como precios, demandas y/o recursos. Al momento de
saber el valor de estos parámetros se resolverá el problema lineal equivalente y se
seleccionarán los valores óptimos de las variables de decisión del problema, pero varias
preguntas importantes surgen antes de conocer estos valores, por ejemplo, ¿cuál es la
probabilidad de que el óptimo de la función objetivo sea menor que un valor dado?, ¿cuál
es su valor esperado? Estas preguntas son respondidas a partir del Problema de
Distribución de Programación Estocástica cuyo propósito es encontrar la Ley de
Probabilidad y otros estadísticos del óptimo de la función objetivo, cuando algunos de los
coeficientes son variables aleatorias con función de distribución conjunta conocida.
El problema de Distribución de PLE, fue introducido por primera vez por Tintner
(1955), y posteriormente fue estudiado por Bereanu (1963), Ewbank, Foote y Kumin
(1974), Prékopa (1966), Sarper (1993), entre otros.
La revisión de la literatura muestra que sólo en pocas ocasiones el problema de
distribución ha sido resuelto en forma cerrada y muy poco se ha investigado en este tema
durante los últimos 10 años. Como Zinn (1972) sugiere, no existe ningún método que
pueda calcular la distribución del óptimo de un problema lineal de una manera práctica.
Luego de 34 años, este hecho permanece esencialmente igual. Varios autores han tratado
este problema, unos pocos a través de soluciones analíticas y la otra mayoría mediante
aproximaciones o simulación.
3
Este proyecto tiene como objetivo investigar nuevas posibilidades para la
resolución del problema de distribución en Programación Lineal Estocástica en forma
cerrada. Se propone una herramienta computacional que encuentra de manera sistemática
la distribución del óptimo de un problema lineal cuando los coeficientes de la función
objetivo (o el vector de recursos) son estocásticos. Esta herramienta incluye métodos
utilizados anteriormente por otros autores, así como otras técnicas computacionales que
no han sido aplicadas a la resolución del problema de distribución. Se desea conocer las
limitaciones de esta herramienta y su posible aplicación al campo de la ingeniería. Se
muestran ejemplos numéricos y experiencia computacional. El trabajo está estructurado
de la siguiente manera:
El Capítulo 1, corresponde al planteamiento del problema, donde se expone el
problema de Distribución de Programación Lineal Estocástica. Este capítulo contiene los
antecedentes,
los
objetivos
y la
justificación
de
la
presente
investigación.
Adicionalmente, se incluye una sección dedicada a la aplicación del problema de
Distribución de PLE en el área de Ingeniería de Producción.
El Capítulo 2, constituye la base teórica de la investigación. En esta parte se
exponen los conceptos de Programación Lineal, Programación Lineal Estocástica, así
como algunos conceptos básicos de Probabilidad y Estadística. Asimismo, se incluyen los
procedimientos teóricos para hallar la solución del problema de distribución.
En el Capítulo 3, se describe la metodología utilizada para implementar los
procedimientos teóricos del Capítulo 2, en una herramienta computacional que halle de
manera sistemática la solución del problema.
En el Capítulo 4, se muestran los resultados obtenidos con la herramienta
desarrollada, así como el análisis de los mismos.
El Capítulo 5, es un capítulo adicional que se incluyó en el trabajo luego de
obtener los primeros resultados, ya que surgieron algunas interrogantes que no habían
sido planteadas en los objetivos del proyecto. Este capítulo incluye un breve estudio
empírico del efecto de las transformaciones de Ewbank et al (1974) y de los parámetros
de las funciones de distribución, en el tiempo computacional de la herramienta.
4
Por último, en el Capítulo 6, se expone un resumen de las contribuciones
aportadas por este proyecto de grado, se presentan las principales conclusiones y
recomendaciones, y se discute la dirección de futuras investigaciones.
Capítulo 1
Planteamiento del Problema
En este capítulo se da una breve explicación al problema desarrollado en el
proyecto. Para obtener mayor detalle de los conceptos introducidos en esta sección, el
lector debe referirse al Capítulo 2, que corresponde al Marco Teórico.
1.1 El Problema
Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
n
max z = ∑ c j x j
xj
j =1
sujeto a:
n
∑a x
ij
j
≤ bi , i = 1,2,..., m
j =1
x j ≥ 0, j = 1,2,..., n
donde alguno de los vectores c = (c1 , c2 ,..., cn ) ó b = (b1 , b2 ,..., bm ) T es un vector aleatorio
continuo con distribución de probabilidad conjunta conocida.
Se desea encontrar la forma cerrada de la función de Probabilidad acumulada
(CDF) del optimo de la función objetivo. Una vez encontrada esta función, se pueden
obtener otras características como, por ejemplo, la esperanza y la varianza de la
distribución.
1.1.1 La solución del Problema:
De Programación Lineal se sabe que el óptimo de un problema debe ocurrir en
una de las esquinas o vértices que definen la región factible de la solución. Zinn (1971)
prueba que esto también ocurre cuando los coeficientes de la función objetivo o el vector
6
de recursos son estocásticos. En el caso de coeficientes estocásticos en la función
objetivo, la región factible es determinística (ver Figura 1) y cada vértice de esta región
tiene cierta probabilidad de ser óptimo. En el caso del vector de recursos, la región
factible es aleatoria (ver Figura 2), por lo tanto, cada combinación posible de la solución
del problema (vértice) tiene una probabilidad de ser factible, es decir, de satisfacer todas
las restricciones. Sin embargo, la condición de optimalidad de cada vértice es
determinístico. En ambos casos, el óptimo de la función objetivo es aleatorio.
x2
4 E
1 2 x1 + 3x2 ≤ 6
2 2 x1 + x2 ≤ 4
1
3
2
A
2
B
1
Región Factible
D
0.5
1
C
x1
2
1.5
Figura 1. Región factible determinística del CASO I del problema de distribución en PLE
Fuente: Elaboración propia
La Figura 2 representa que los puntos de corte de las restricciones no están fijos,
sino que varían de acuerdo al valor que tomen las variables aleatorias que definen el
vector de recursos. En el ejemplo de esta figura, las restricciones tienen mayor
probabilidad de cortar el eje en cierta región, que se representa con una densidad de
probabilidad simétrica centrada en un valor determinado.
x2
4E
1
1
2 x1 + 3 x2 ≤ b1
2
2 x1 + x2 ≤ b2
3
2
1
A
2
B
Región Factible
C
D
0.5
1
1.5
2
x1
Figura 2. Región factible aleatoria del CASO II del problema de distribución en PLE
Fuente: Elaboración propia
7
Para la solución del problema de distribución, se requiere calcular la región en la
cual una base dada es óptima o factible, es decir, se desea conocer los valores de las
variables aleatorias para los cuales se satisfacen los criterios de optimalidad y/o
factibilidad, dependiendo de cual de los dos vectores es estocástico, el de la función
objetivo o el vector de recursos. Estas regiones fueron denominadas por Bereanu (1963)
como “Regiones de decisión” e implican un particionamiento del espacio muestral del
vector aleatorio en regiones mutualmente excluyentes. Cada base i tiene una expresión
diferente para el valor óptimo (aleatorio) de la respectiva función objetivo. Finalmente, la
función de probabilidad acumulada se puede calcular de la siguiente manera:
1. Caso I: Coeficientes estocásticos de la función objetivo:
q
(1.1)
P[ Z óptimo ≤ φ ] = ∑ P[ La base i es óptima y Z óptimo es ≤ φ ]
i =1
Es decir,
q
(1.2)
P[ Z * ≤ φ ] = ∑ P{[ Z * ≤ φ ] ∩ S i }
i =1
donde Z* se refiere al valor óptimo de la función objetivo, q es el número de bases
factibles de la región solución dado por las restricciones y φ es una constante real
arbitraria. S i es la región en la cual la base i se mantiene óptima.
2. Caso II: Coeficientes estocásticos del vector recurso
(1.3)
w
P[ Z óptimo ≤ φ ] = ∑ P[ La base i es factible y Z óptimo es ≤ φ ]
i =1
(1.4)
w
P[ Z * ≤ φ ] = ∑ P{[ Z * ≤ φ ] ∩ U i }
i =1
donde w es el número de bases posibles generadas por el problema lineal y U i la
región en la cual la base se mantiene factible.
8
1.2 Antecedentes de la resolución del Problema de Distribución
de PLE
A mediados de la década de los 50, Dantzig (1955), Dantzig et al (1956), entre
otros, comienzan a intentar incluir el efecto aleatorio de los parámetros en los problemas
de programación lineal. Posteriormente, Sengupta, Tintner y Millham (1963), proponen
un método de muestreo que consiste en generar repetidamente números aleatorios de
acuerdo con una distribución, sustituirlos en un programa lineal obtener el óptimo de
cada problema en forma determinística y luego ajustar una función de densidad con los
datos obtenidos. Ellos proponen la aplicación de la Prueba de Kolmogorov-Smirnov para
ajustar la data empíricamente.
Bereanu (1963), finalmente obtiene la forma cerrada de la función de distribución
del óptimo cuando los coeficientes de la función objetivo son combinaciones lineales de
una variable aleatoria. Este mismo autor (1963), define lo que él llamó “Regiones de
decisión”, que son aquellas regiones en las cuales se debe integrar para encontrar las
probabilidades de que una base dada sea óptima o factible. Él encuentra la media,
varianza y probabilidades en términos de las integrales sobre las regiones de decisión.
Bereanu (1966), utiliza transformadas de Laplace para encontrar la distribución en cada
región de decisión en el caso de distribuciones exponenciales.
Bracken y Soland (1966), trabajan con los coeficientes del vector c como
variables aleatorias distribuidas normalmente y afirman que la función de distribución del
óptimo es igual para el primal y el dual (sin demostrarlo). Utilizan el método de Monte
Carlo para hallar la Distribución acumulada del óptimo. Prékopa (1966), muestra las
hipótesis bajo las cuales la función objetivo sigue asintóticamente una distribución
normal.
Zinn (1971) propone un algoritmo basado en el Simplex para sistemáticamente
obtener todas las bases que satisfacen el criterio (aleatorio) de optimalidad. La iteración
termina cuando todas las bases factibles y óptimas han sido encontradas.
Ewbank, Foote y Kumin (1974), proponen una transformación para el caso del
vector de recursos estocásticos y el vector de los coeficientes de costos, que simplifica los
9
límites de integración utilizados en el cálculo de las probabilidades. Esta trasformación
no resultó práctica para distribuciones uniformes.
Beer (1972) propone un algoritmo para ordenar las bases según la probabilidad de
ser óptimas, con el fin de hacer una aproximación a la distribución que obtenga más
rápidamente mayor espacio de probabilidad total.
Bereanu (1974) utiliza métodos numéricos para calcular las integrales sobre las
regiones de decisión y genera una tabla de probabilidades del óptimo de la función
objetivo.
Spircu (1977) establece cotas superiores para la distribución del óptimo. Sarper
(1993) realiza simulaciones de Monte Carlo para obtener la función de distribución del
óptimo y las compara con dos problemas resueltos previamente en forma analítica.
Pocos trabajos de la literatura se han enfocado a resolver el problema planteado
en forma analítica. Adicionalmente, se desconoce de algún otro estudio en este tema
específico (la forma cerrada del problema de distribución) que se haya llevado a cabo
luego de 1993.
1.3 Justificación
La Programación Lineal puede ser utilizada para modelar y optimizar infinidad de
sistemas de la vida real. De la misma manera, el problema de Distribución del óptimo en
Programación Lineal Estocástica también puede ser utilizado para apoyar la toma de
decisiones en muchas áreas, especialmente aquellas que tienen implicaciones a futuro
como, por ejemplo, inversiones a largo plazo. Es por ello que las principales aplicaciones
de este problema se encuentran en el área de economía (Sengupta, 1974), agricultura
(Sengupta et al, 1963) y selección de portafolios (Bereanu, 1975). Entre algunos
ejemplos de la vida real donde ha sido aplicado el problema de distribución podemos
nombrar el trabajo de “Estimación del valor esperado del costo de generación eléctrica
para un sistema sujeto a restricciones de transmisión” (Hobbs y Yuandong, 1999) y
“Distribución de la ruta más corta en redes estocásticas” (Azaron y Modarres, 2005),
ambos resueltos a través de simulación. Otra aplicación muy importante es en el contexto
10
de programación de dos etapas bajo incertidumbre (two-stage programming under
uncertainty), donde se requiere encontrar la esperanza del óptimo de la función objetivo
para utilizarlo como criterio en la selección de las variables de decisión, esto implica
resolver el problema de distribución antes mencionado. Un problema real resuelto a
través de este método (Problema de dos etapas) se puede encontrar en “Un modelo de
programación estocástica de dos etapas con recurso para la gerencia de distribución entre
fronteras” (Leung y Wu, 2005), referente la distribución de productos desde China a
Hong Kong, para aprovechar mejores costos de producción.
La solución exacta de un problema es generalmente deseable pero no siempre
obtenible. En este sentido, la simulación muestra ser la técnica más adecuada y más
común para tratar el problema de distribución. La forma cerrada del problema de
distribución puede ser muy costosa de obtener para problemas reales donde existe un
gran número de variables, sin embargo, todavía es muy importante ya que la forma
cerrada podría ser utilizada como una herramienta para evaluar la convergencia de
cualquier método de simulación o aproximación a la solución real. Determinar si una
solución es de alta calidad es una pregunta fundamental en la teoría de optimización.
La idea es utilizar la forma teórica para determinar una medida de calidad de la
solución a partir de cualquier método de simulación. Sarper (1993) fue uno de los
primeros en realizar esta comparación. Este autor tomó dos problemas previamente
resueltos y los comparó con los resultados obtenidos a través de la simulación de Monte
Carlo para mostrar que este método era efectivo en la resolución del problema. Sin
embargo, varias desventajas se observan de este procedimiento:
1. La existencia de pocos ejemplos analíticos resueltos con los cuales hacer la
comparación, y cada uno de ellos con condiciones muy particulares en cuanto a
las distribuciones de probabilidad utilizadas, impide extender el estudio para otro
tipo de problemas.
2. El método utilizado para la obtención de la solución “real” del problema, con el
cual se comparó la simulación, también es un método de aproximación. Entonces,
decir que los resultados de la simulación se ajustaron muy bien a los de la
aproximación, carece de impacto si no se conoce la calidad de ese último método.
11
Es por ello que se hace necesario desarrollar una herramienta que encuentre la
forma cerrada del problema de distribución, con el fin de determinar de una manera más
exacta la calidad de la solución obtenida a partir de aproximaciones o simulaciones.
1.4 Aplicación del problema en el área de Ingeniería de
Producción
Muchos problemas de la vida real conducen hacia un particular tipo de programa
estocástico donde los coeficientes del vector de costos son estocásticos y el vector
recursos es determinístico. Por ejemplo, en problemas de agricultura, las restricciones
referidas a disponibilidad de tierras y equipos, son determinísticos, mientras que la
cosecha de diferentes tipos de siembra, que representa los coeficientes de la función
objetivo a ser maximizados, está sujeta a variaciones aleatorias (Bereanu, 1963).
En otro tipo de problema práctico, la matriz tecnológica y el vector de costos, son
coeficientes determinísticos, mientras que el vector de recursos tiene componentes
aleatorios, usualmente representando incertidumbre en la demanda o en los recursos
disponibles (Bereanu, 1963).
Para mostrar la aplicación del Problema de Distribución en el área de Ingeniería
de Producción, considere los siguientes ejemplos:
Planificación de la expansión de la capacidad en manufactura (Bayraksan,
2005)
Considere la producción de m tipos de producto en n máquinas de capacidad
flexible. Cualquier tipo de producto puede ser producido en cualquier máquina pero con
diferentes costos. Instalar la capacidad en las máquinas es costoso y tiene que ser hecho
antes de conocer la demanda (aleatoria) para los diferentes tipos de producto. Planes de
producción semanal, como por ejemplo, la asignación del número de productos de cada
tipo a producir en cada máquina, puede ser realizado luego de conocer la demanda.
También existe la posibilidad de subcontratar la producción de algunas piezas a un costo
mayor. Se desea saber cuanta capacidad flexible adicionar a cada máquina para que los
12
costos de expansión de la capacidad y la esperanza de los costos de producción semanal
sean minimizados.
Gerencia de distribución entre fronteras (Leung y Wu, 2005)
Uno de los efectos significantes de la implementación de una política económica
abierta en China, es que muchas empresas manufactureras de Hong Kong han movido la
fabricación de sus productos a las ciudades del Sur de China, para tomar ventaja de los
menores costos en producción, salarios y costos de renta. Sin embargo, como
consecuencia, los productos terminados deben ser transportados hasta Hong Kong. Los
costos unitarios de inventario de cada almacén (en el Sur de China y en Hong Kong) son
aleatorios. Antes de conocer este costo, se debe: 1) Planificar las rutas de transporte, es
decir, el vehículo i que realiza la ruta j. 2) Determinar la capacidad de transporte de cada
vehículo. 3) Determinar el número de viajes a realizar por cada vehículo. Luego de
conocer el costo de inventario, se debe decidir el volumen de almacenamiento en cada
depósito de China y Hong Kong.
Se desea minimizar los costos de transporte, renta, inventario y costos de
penalidad en un ambiente de incertidumbre.
Planificación Financiera de Múltiples Etapas (Bayraksan, 2005)
Se tiene un capital inicial Wo que puede ser invertido en bonos y acciones. Hay
t = 1,..., T períodos para invertir y al final de cada período, se puede re-balancear el
portafolio. El retorno de acciones y bonos es aleatorio. El objetivo es encontrar una
estrategia de inversión para que la utilidad esperada del capital al final del período T, sea
maximizada.
Todos estos problemas pueden ser resueltos a través de Programación de Dos
Etapas con matriz de recursos (Two-stage Programming Problem with recourse,
mostrado en el Capítulo 2), que consiste en optimizar un problema tomando en cuenta
dos tipos de decisiones: la decisión de primera etapa, que se debe realizar antes de
conocer el valor de los parámetros aleatorios, por ejemplo, antes de saber la demanda de
un producto se debe elegir el tipo de maquinaria a comprar; y la decisión de la segunda
13
etapa, que se toma luego de conocer la realización de las variables aleatorias, por
ejemplo, luego de saber la demanda, se elige el número de unidades a producir en la
máquina ya comprada. Para la solución de este problema, se requiere el conocimiento de
la función de distribución del óptimo de la función objetivo, el cual es tratado en el
presente proyecto.
1.5 Objetivos
Este proyecto busca alcanzar los siguientes objetivos:
1.5.1 Objetivo General:
Analizar nuevas posibilidades y limitaciones para encontrar la forma cerrada de la
función acumulada de probabilidad (CDF) del valor óptimo de la función objetivo en un
problema de Programación Lineal Estocástica, en los casos donde los coeficientes de la
función objetivo o el lado derecho de las restricciones (vector de recursos) están dados
por variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conjunta conocidas.
1.5.2 Objetivos Específicos:
1. Realizar una revisión exhaustiva de la literatura en Programación lineal
Estocástica en el problema de distribución.
2. Determinar las distribuciones de probabilidad que serán estudiadas en el proyecto
con las cuales se representaran los coeficientes estocásticos de los problemas
lineales.
3. Desarrollar una herramienta computacional para encontrar la forma cerrada de la
distribución del óptimo para el Caso I: Coeficientes estocásticos de la función
objetivo, para aquellas distribuciones previamente determinadas en el punto 2.
4. Aplicar las transformaciones de Ewbank et al. (1974) para la resolución del Caso
I a la herramienta desarrollada.
14
5. Desarrollar una herramienta computacional para encontrar la forma cerrada de la
distribución del óptimo para el Caso II: Coeficientes estocásticos en el vector de
recursos, para aquellas distribuciones previamente determinadas en el punto 2.
6. Aplicar las transformaciones de Ewbank et al. (1974) para la resolución del Caso
II a la herramienta desarrollada.
7. Mostrar ejemplos numéricos y experiencia computacional
8. Analizar las limitaciones de la herramienta. Determinar el máximo número de
variables y restricciones que se pueden manejar con el programa en una cantidad
razonable de tiempo.
9. Mostrar brevemente cómo esta herramienta puede ser utilizada para medir la
convergencia de otros métodos de simulación o aproximación para la solución del
problema de distribución.
Capítulo 2
Marco Teórico
Este capítulo busca construir la base teórica que sustentará el desarrollo del
presente proyecto de investigación. Se inicia con la definición de Programación Lineal
(determinística), para luego extender el concepto a Programación Lineal Estocástica. Por
último, se cierra con una breve descripción de algunos métodos que se han utilizado
anteriormente en la resolución del problema planteado y que serán útiles en el desarrollo
de esta investigación.
2.1 Programación Lineal
Un Problema de Programación Lineal es una clase de modelo matemático para
optimizar (minimizar o maximizar) una función sujeta a varias restricciones de tipo
lineal. La forma estándar de un problema de Programación Lineal se define de la
siguiente manerai:
n
max z = ∑ c j x j
xj
j =1
Sujeto a:
n
∑a x
ij
j
≤ bi , i = 1,2,..., m
j =1
x j ≥ 0, j = 1,2,..., n
Donde las x j ' s son variables de decisión, es decir, aquellas variables cuyo valor
(óptimo) se determinará a través de la solución del problema. La función Z, denominada
función objetivo, define la medida de efectividad del sistema, como una función
i
La información de esta sección fue obtenida de Taha (1972)
16
matemática de las variables de decisión. a ij , bi y c j corresponden a los parámetros del
problema, es decir, aquellas variables que pueden ser controladas o que se conocen como,
por ejemplo, precios, recursos, demandas, entre otros.
Las restricciones representan las limitaciones físicas del sistema. Éstas son
funciones lineales que restringen los valores permisibles o factibles de las variables de
decisión. Pueden estar en forma de desigualdades ( ≤ ó ≥ ) o de igualdades (=), donde bi
representa los recursos disponibles.
En este problema se desea encontrar el valor de las variables de decisión tal que la
función de efectividad Z sea máxima o mínima, cumpliendo con las limitaciones dadas
por los recursos.
2.1.1 Definiciones
• Punto Extremo
Se define como punto extremo a aquellos puntos de una región S que no pueden
ser expresados como una combinación lineal de dos puntos distintos de la
misma región. En el caso de Programación Lineal, llamamos puntos extremos
factibles a aquellos puntos extremos de la región obtenida a partir de la
intersección de todas las restricciones del problema (veáse la Figura 3).
• Solución Básica
Considere el siguiente sistema de m ecuaciones lineales y r incógnitas (m<r):
AX = b
donde X representa el vector de las r incógnitas. Se define como solución básica
a la solución obtenida al hacer (r-m) variables iguales a cero y resolviendo el
sistema de ecuaciones resultante. La solución del sistema resultante es único si y
sólo si la matriz cuadrada resultante es No Singular. En ese caso, las m variables
obtenidas a partir de la resolución del sistema forman lo que se denomina una
base (vector). Si una de las r incógnitas pertenece al vector base, se dice que
ésta es una variable básica.
17
• Degeneración
Ocurre cuando los valores de una o más variables básicas de un problema son
iguales a cero. En este punto, la matriz cuadrada resultante es Singular.
Gráficamente, se interpreta como que hay más de dos restricciones pasando por
un mismo vértice, es decir, hay más de las restricciones que las necesarias para
definir un punto extremo.
• Dualidad
A cada problema lineal se puede asociar un segundo problema con el cual
comparte una relación muy estrecha. La solución óptima de uno de los
problemas posee información sobre la solución óptima del otro. Al problema
original se le denomina Primal y al segundo, Dual. El problema dual es
construido a partir del primal, de la siguiente manera:
a. Por cada restricción del primal habrá una variable en el dual.
b. Los elementos del lado derecho de las restricciones del primal son iguales
a los coeficientes respectivos de la función objetivo del dual.
c. Si el primal es un problema de minimización, el dual será de
maximización y viceversa.
d. El problema de maximización tendrá restricciones de ( ≤ ) mientras que el
de minimización tendrá restricciones de ( ≥ ) .
e. Las variables de ambos problemas son no negativas.
2.1.2 Propiedades de un Problema de Programación Lineal
Entre las propiedades de un problema de programación lineal se encuentran:
1. Al incluir las variables de holgura, el número de variables total es igual a m+n,
donde m es el número de restricciones y n el número de variables iniciales del
problema. Asimismo, el tamaño de la base será igual a m.
18
2. El número de puntos extremos es finito y tiene como cota superior el número
combinatorio: C mm+ n =
(m + n)!
.
n!m!
3. El número de puntos extremos factibles no puede ser determinado con tan sólo
los valores de m y n.
4. La región factible de un problema lineal es convexa. Esto quiere decir que
cualquier combinación lineal de dos puntos de la región, también estará dentro de
la región. En general, una región convexa, puede ser 1) Vacía, 2) Acotada ó 3) No
acotada. Es vacía cuando no se pueden satisfacer simultáneamente todas las
restricciones. Acotada implica que el espacio solución es un poliedro convexo
(ver Figura 3), ya que es definido por un número finito de restricciones lineales.
No acotada implica que la región solución no está restringida en al menos una
dirección.
5. El óptimo de un problema de programación lineal, si existe, debe ocurrir en un
punto extremo de la región factible.
6. Si el óptimo ocurre en más de un punto extremo factible, el valor de la función
objetivo será la misma para cualquier combinación lineal de esos dos puntos. Esto
es lo que se denomina solución óptima alternativa.
7. Un punto extremo degenerado puede tener más de una solución básica mientras
que uno no degenerado tiene una única solución.
8. En el óptimo, la solución del problema primal y dual son equivalentes (toman el
mismo valor)
19
Punto
extremo factible
Punto
extremo
Region
Factible
Figura 3. Puntos extremos en un poliedro convexo
Fuente: Adaptado de la Figura Poliedro 3D en VertexEnumeration, Mathematica 5.2®
2.1.3 Condiciones de optimalidad y factibilidad en un Problema de
Programación Lineal
La manera estándar de representar un Programa Lineal (PL) en forma matricial, se
muestra a continuación:
Maximizar Z = CX
Sujeto a:
( A, I ) X = b, b ≥ 0
X ≥0
Donde
X = ( x1 , x2 ,..., xm + n )T
C = (c1 , c2 ,..., cm + n )
b = (b1 , b2 ,..., bm )
 a11 … a1n 


A= 
a

 m1 amn 
I es la matriz identidad de dimensión m
20
El vector X incluye las variables de decisión y holguras. La matriz A, formada por
los coeficientes a ij , se denomina matriz tecnológica, b el vector de recursos y C el
vector de los coeficientes de costos.
Sea X B i la i-ésima base del PL y X N i el vector de las variables no básicas. Sean
Bi y N i las matrices cuyas columnas son las columnas de la matriz ( A, I )
correspondiente a los elementos de los vectores
X Bi
y
X N i respectivamente.
Adicionalmente, sean CB y C N los elementos de C asociados con X B y X N . En
cualquier base, el valor de la función objetivo puede ser escrito de la siguiente manera:
z ( x) = CB i Bi −1b
(2.1)
Sea a j la j-ésima columna de ( A, I ) y c j el j-ésimo elemento de C, se dice que la i-ésima
base satisface el criterio de optimalidad si y sólo si:
(2.2)
CB i Bi −1a j − c j ≥ 0 ∀j = 1,..., m + n
Y se dice que la i-ésima base satisface el criterio de factibilidad si y sólo si:
(2.3)
Bi −1b ≥ 0
Entonces, se dice que la i-ésima base es factible si se cumple (2.3) y es óptima si (2.2) y
(2.3) se cumplen al mismo tiempo.
También se puede escribir (2.2) de la siguiente manera:
(2.4)
CB i Bi −1 N i − C N i ≥ 0
indicando que cada elemento del vector resultante debe ser no negativo.
21
2.2 Conceptos Básicos de Probabilidad y Estadística
2.2.1 Función de distribución de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria. Para un número dado x, la función distribución de
probabilidad F ( x) = P( X ≤ x) , representa la probabilidad de que X pertenezca al
intervalo (−∞, x] . En el caso de una variable continua, dicha función se calcula
integrando la función de densidad de la variable aleatoria desde −∞ hasta x, de la
siguiente manera:
x
(2.5)
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫
f ( x)dx
−∞
Una función de distribución deberá cumplir las siguientes condiciones: 1) No
decreciente, 2) lim F ( x) = 0 , 3) lim F ( x) = 1 , 4) F ( x) es continua por la derecha.
x →−∞
x →∞
2.2.2 Distribuciones de Probabilidad a estudiar
En el caso de la presente investigación, se desea conocer el comportamiento de la
herramienta cuando los coeficientes estocásticos se distribuyen de manera exponencial,
gamma o uniforme. Se desea estudiar la distribución exponencial, ya que desde los
inicios del problema se comenzó a trabajar con esta distribución; la uniforme, porque
algunos de los métodos planteados para la resolución del problema, como por ejemplo, la
transformación de Ewbank et al (1974), no funcionaron para esta distribución y se desea
saber si a través de la herramienta podemos resolver dicho problema; y finalmente, la
distribución gamma, para intentar con una nueva función que no se haya estudiado
anteriormente en este problema.
Exponencial
Una variable aleatoria X tiene distribución exponencial (o exponencial negativa)
si su función de densidad está dada de la siguiente forma
(2.6)
p X ( x) = λ e − λ x , x > 0; λ > 0 .
22
Si las variables aleatorias son independientes, la función de densidad conjunta
queda de la siguiente manera:
m
−λ x
p( x1 ,..., xm ) = ∏ λ j e j j  , x j > 0; λ j > 0; j = 1,..., m .
j =1
(2.7)
Gamma
Una variable aleatoria tiene distribución gamma si su función de densidad tiene la
siguiente forma:
p X ( x) =
(2.8)
( x − γ )α −1 exp [ −( x − γ ) / β ]
, (α > 0, β > 0, x > γ )
β α Γ(α )
La forma estándar de esta distribución se obtiene haciendo β = 1 y γ = 0 ,
quedando:
(2.9)
p X ( x) =
xα −1e − x
, ( x ≥ 0)
Γ(α )
Si α > 0 y entero, ésta es una función Erlang, y más específicamente si α = 1 , se
obtiene una distribución exponencial.
Sean X 1 , X 2 ,..., X m variables aleatorias independientes, donde cada X i tiene una
distribución gamma estándar con función de densidad:
p X j ( x j ) = {Γ(θ j )}−1 x j
(2.10)
θ j −1 x j
e , x j > 0;θ j > 0; j = 1,..., m .
La función de densidad conjunta de X 1 , X 2 ,..., X m , es:
−1
 m
  m
 m 
θ j −1 
p( x1 , x2 ,..., xm ) = ∏ Γ(θ j )  ∏ x j  exp  −∑ x j 
 j =1 
 j =1
  j =1

(2.11)
Uniforme
Una distribución uniforme, también llamada distribución rectangular, es una
distribución que tiene función de densidad constante.
23
 1

p X ( x) =  (b − a)
 0

(2.12)
si a ≤ x ≤ b
de otra manera
En el caso de m variables aleatorias independientes, la función de densidad
conjunta queda de la siguiente manera:
(2.13)
1


p( x1 , x2 ,..., xm ) =  d1d 2 ...d m

0

si ai ≤ xi ≤ bi (di = bi − ai ) i = 1,..., m
de otra manera
2.3 Programación estocástica
Poco tiempo después del auge de la programación lineal, los científicos
comienzan a preguntarse cómo modelar algo más realista que considere que los
parámetros de un problema lineal están sujetos a variaciones aleatorias. El interés inicial
por problemas lineales probabilísticos surgió de un problema de asignación de las rutas
de un avión cuando la demanda para este servicio era desconocida (Dantzig et al, 1956).
Luego, para tratar problemas similares, es decir, en los cuales no se conocía el valor de
los parámetros del problema a optimizar, se definió Programación Lineal Estocástica
(PLE) como un problema de Programación Lineal donde algunos (o todos) de los
coeficientes de la matriz A, c ó b son variables aleatorias con función de probabilidad
conjunta conocida e independiente de la variable de decisión. Entonces, se tiene el
siguiente problema:
max c(ξ ) x
x
(2.14)
s.a. A(ξ ) x ≤ b(ξ )
x≥0
Donde ξ es un evento aleatorio y los demás parámetros como fueron definidos en
la sección 2.1.3.
Al tener parámetros aleatorios en el problema de programación lineal, no queda
muy claro el concepto de “óptimo”, es decir, no está claramente especificado cómo elegir
una decisión x para optimizar el problema antes de conocer la realización de ξ (García,
24
1998). Es por ello, que han surgido varios criterios de solución ante el problema
mencionado. En general, la resolución del problema se ha dividido en dos grandes
categorías: El “Activo”, también llamado “Here and now” y el “Pasivo”, también
llamado “Wait and see”.
2.3.1 Modelo activo de PLE
El modelo Activo, también llamado “Here and now”, fue inicialmente introducido
por Sengupta, Tintner y Morrison (1963). Estos problemas se basan en la hipótesis de que
la decisión x se toma antes de conocer la realización de las variables aleatorias. El
método más usual para resolver este problema consiste en reemplazar el problema por un
programa determinista equivalente. Entre las formas más comunes de resolución se
encuentran las siguientesii:
•
Programas con restricciones probabilísticas (Chance constrained
problems): En este tipo de problemas no es necesario que las restricciones se
satisfagan totalmente, sino que es suficiente con que se verifiquen con una cierta
probabilidad dada. P { A(ξ ) x ≤ b(ξ )} ≥ α , donde α es un número perteneciente
al intervalo [0,1] . Generalmente, en este problema se busca optimizar la
esperanza matemática de la función objetivo, es decir, max o min E[c(ξ ) x] iii.
•
Problemas de Mínimo Riesgo: donde el objetivo es maximizar la
probabilidad de que la función objetivo c(ξ ) x no exceda una cierta constante k
dada. Es decir, resolver max P {c(ξ ) x ≤ k } donde k es un parámetro elegido por
el decisor.
•
Programas estocásticos con recurso:
Considere el problema de programación estocástica mostrado en (2.14). Sea x la
decisión de un modelo lineal que se debe tomar antes de la realización de ξ (denominada
decisión de primera etapa). Sea y la decisión otro modelo lineal, que está de alguna
ii
iii
Para mayor información véase, por ejemplo, Prékopa (1995) y García (1998).
Maximizar una función es equivalente a minimizar el negativo de dicha función.
25
manera asociado al primero, y que se debe tomar después de la realización de ξ y de la
toma de decisión en x (denominado decisión de segunda etapa). El esquema de toma de
decisiones viene dado de la siguiente manera: 1) decisión en x, 2) observación del vector
aleatorio, 3) decisión en y.
De acuerdo a esto, hay dos problemas a optimizar: la decisión de “hoy” (x) y la
decisión de “mañana” (y). Como la decisión de hoy podría ser “optimizada” si de alguna
manera se supiera lo que podría pasar mañana, el objetivo generalmente es optimizar la
función objetivo del problema de primera etapa junto con el valor esperado del óptimo
del problema de segunda etapa, como se muestra a continuación:
max[cT x + Ε[Q( x, ξ )]
s.a. Ax = b
x≥0
donde A
es una matriz
( m1 xn1 ) ,
b y c tienen las dimensiones correspondientes y
Q( x, ξ ) es el óptimo de la función objetivo del problema de la segunda etapa, el cual se
expresa de la siguiente manera:
Q( x, ξ ) = max qT (ξ ) y
s.a. Wy = h(ξ ) − Tx
y≥0
(2.15)
donde W es una matriz ( m2 xn2 ) , T es de tamaño ( m2 xn1 ) , h(ξ ) es un vector aleatorio de
tamaño
( m2 )
y q (ξ ) es un vector aleatorio de tamaño
( n2 ) .
Resolver (2.15) es
equivalente a resolver el problema de distribución, que ha sido introducido
anteriormente y que se explica con más detalle a continuación.
2.3.2 Modelo pasivo de PLE: El problema de Distribución
En el Capítulo 1, se introdujo el concepto del problema de Distribución de
Programación Lineal Estocástica. Como se dijo anteriormente, se tiene un problema
lineal en el cual los coeficientes de la función objetivo o del vector de recursos están
dados por variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta conocida. Este
problema parte de la hipótesis de que el decisor es capaz de esperar hasta la realización
26
de las variables aleatorias para tomar una decisión. Por ello, este modelo no es
directamente un problema de decisión, en el sentido de que no encuentra el valor óptimo
de las x ' s . En cambio, este problema se centra obtener la distribución de probabilidad
del óptimo de la función objetivo, que a fin de cuentas también es una herramienta para la
toma de otras decisiones no relacionadas con los valores óptimos de las variables de
decisión. Para dar una mejor ilustración, considere el siguiente ejemplo:
La compañía Z produce productos A. Cada uno de estos productos puede ser
producido en dos máquinas diferentes (1 ó 2) y se debe elegir qué máquina comprar para
el proceso de producción. El costo unitario de producción es diferente para cada máquina
y depende de factores aleatorios como el precio del dólar, del petróleo, entre otros. Al
momento de comprar la máquina, todavía no se conocen estos valores, pero éstos sí se
conocerán al momento de planificar la producción semanal o mensual, punto en el cual se
resolverá un problema lineal determinístico con el fin de conocer el número óptimo de
unidades a producir (ver Figura 4).
Conocimiento de los precios
Del petróleo y del dólar
0
Tiempo
Toma de decisión
De la máquina a
comprar
Toma de decisión
De los valores óptimos
Del problema lineal
Figura 4. Esquema de toma de decisiones para el ejemplo de las máquinas a comprar
Fuente: Elaboración propia
En este problema se desea elegir la máquina que tenga mayor probabilidad de
alcanzar los costos más bajos de producción al momento de resolver el problema lineal
sujeto a las limitaciones de las capacidades de las máquinas.
Luego del planteamiento de este problema, es de gran ayuda el conocimiento de la
distribución de probabilidad del costo óptimo para cada una de las máquinas.
Supongamos que se puede conocer la función de distribución del óptimo de la función
objetivo del problema lineal, es decir, la distribución de probabilidad del costo óptimo
para cada máquina, y supongamos que vienen dados por las densidades de probabilidad
de la Figura 5.
27
Distribución del Óptimo con Máquina 1
Distribución del Óptimo con Máquina 2
70%
70%
$ 48.000
$ 57.000
$ 110.000
$ 130.000
Figura 5. Función de densidad del óptimo para la Máquina 1 y Máquina 2
Fuente: Elaboración propia
Según la Figura 5, con la máquina 1 hay 70% de probabilidades de que el costo de
producción se encuentre entre $48.000 y $57.000. En cambio, con la máquina 2, hay 70%
de probabilidades de que el costo óptimo de producción esté entre $110.000 y $130.000.
Si sólo se toma en cuenta esta información, ¿cuál máquina se debe comprar? Obviamente
la máquina 1, que tiene mayor probabilidad de obtener menores costos. Análogamente,
también se puede utilizar el criterio de la esperanza, es decir, seleccionar aquella máquina
cuya esperanza del valor óptimo sea menor.
En el caso de encontrar la esperanza del óptimo, una tentación natural sería
reemplazar los parámetros estocásticos por su valor esperado y luego resolver el
problema determinístico resultante. Sin embargo, hay que ser cuidadoso con este
procedimiento ya que se puede demostrar que, generalmente:
E[ Z * ( A, b, c)] ≠ Z *[ E ( A), E (b), E (c)] ,
donde E se refiere a la esperanza matemática, A,b,c son los parámetros del problema
lineal y Z* es el valor óptimo de la función objetivo.
Nótese nuevamente que el problema de distribución no halla el valor óptimo de
las variables de decisión del problema lineal y por eso se dice comúnmente que este
problema no es un problema de decisión.
2.3.3 Solución del problema de Distribución del Óptimo
Luego de mostrar el sentido que tiene el problema de distribución en la toma de
decisiones, a continuación se explicará cómo se obtiene la solución del problema. Se
28
inicia con algunas definiciones, para luego mostrar el procedimiento numérico
involucrado.
Como fue mencionado en el Capítulo 1, la solución del problema depende del
caso planteado. Si se tiene el Caso I: coeficientes estocásticos de la función objetivo, la
solución requiere el cálculo de la región en la cual cada base factible del problema es
óptima. Si se tiene el Caso II: vector de recursos estocásticos, la solución requiere el
cálculo de la región en la que cada base óptima sea factible (ya que el criterio de
optimalidad es determinístico).
Regiones de decisión en el problema de distribución
Uno de los resultados importantes concernientes al problema de Distribución es
que el espacio muestral de los coeficientes aleatorios permite una partición en conjuntos
mutualmente excluyentes tal que a cada uno de estos conjuntos, denominados “Regiones
de Decisión”, se le puede asignar una base de PLE, la cual permanece óptima para todos
sus puntos muestrales (Bereanu, 1974). Estas Regiones de Decisión, llamadas así por
Bereanu, no dependen de la distribución de los coeficientes aleatorios del problema y
adicionalmente se tiene que el número de regiones es finito, ya que el número de bases
óptimas es finito.
2.3.3.1 Caso I
Considere el Caso I: en el cual sólo el vector C es estocástico y tiene función de
densidad conjunta f (c) conocida. Sea C el espacio probabilístico definido por el
vector c = (c1 , c2 ,..., cn ) . Bereanu (1963), establece que el espacio C sea particionado por
los conjuntos:
(2.16)
iv
S i = {c | CB i Bi −1a j − c j ≥ 0} ∀j ∈ { j | x ij es una var iable no basica} iv
,
O de manera similar, como se establece en la ecuación (2.4).
29
donde i se refiere a la i-ésima base del problema lineal. Adicionalmente, se tiene que el
conjunto de puntos {C | CB i Bi −1a j − c j = 0} es de medida de probabilidad cero. También
se tiene que para i ≠ j :
P[ S i ∩ S j ] = 0
(2.17)
Para ilustrar el cálculo de las regiones de decisión, considere el siguiente
problema de programación lineal estocástica:
max Z = C1 x1 + C2 x2
(2.18)
xi
s.a.
x1 + 2 x2 ≤ 10
2 x1 + x2 ≤ 10
x1 , x2 ≥ 0
f (c1 , c2 ) =
1 −101 ( c1 + c2 )
e
100
En función de hallar las regiones de decisión para cada base de este problema, se debe:
1. Calcular todas las bases factibles del problema
2. Para cada base factible, calcular la región de decisión, dada por la ecuación (2.16)
c2
X2
10
D
5
C
A
2
4
B
X1
c1
6
8
10
-5
-10
Figura 6. Región factible del ejemplo (2.18)
Fuente: Elaboración propia
La Figura 6, muestra las bases factibles del problema (2.18). Las bases son:
A= { X 1 , X 2 } , B= { X 1 , X 3 } , C= { X 3 , X 4 } , D= { X 2 , X 4 }
30
A continuación se muestra el cálculo de la región de decisión para la base
A = {X1, X 2} :
Calculando todos los parámetros de la base 1 (Base A), se tiene:
 1 2
 ;
B1 = 
2 1
1
b = [10,10]T
C B = [C1 , C 2 ] ;
Z1* =
10C1 10C2
+
3
3
−1
1
−1
C B B1 N 1 − C N
1
1 2 1 0 0  C1 2C 2 2C1 C 2 
= [C1 , C 2 ]
+
,
−
 
 −   = −
3
3
3 
 2 1  0 1  0   3
Para generar las restricciones de la región de decisión, se establece que cada uno
de los elementos del vector anterior sea mayor o igual a cero. Entonces, la región de
decisión queda de la siguiente manera:
2C C
 C 2C

S 1 = − 1 + 2 ≥ 0 ∩ 1 − 2 ≥ 0
3
3
3
 3

En la Figura 7, se muestra la región de decisión correspondiente a la base A.
c2
30
25
20
Región de decisión
15
10
C2
5
C1
= 2
c1
5
10
15
20
25
30
1
Figura 7. Región de decisión S
Fuente: Elaboración propia
C


S 1 = C2 ≥ 1 ∩ 2C1 ≥ C2 
2


La interpretación de la región calculada es que la base A = { X 1 , X 2 } , permanecerá
óptima para cada punto muestral de la región S 1 . Calcular la probabilidad de que una
31
base es óptima es equivalente a calcular la probabilidad de que las variables aleatorias
pertenezcan a la región de decisión S i .
PG = P[G es una base óptima]
Esto se traduce en integrar la función de densidad conjunta del vector c sobre la
región S i :
n
PG = ∫ ...i ∫ f (c)∏ dci
(2.19)
S
i =1
donde f (c) es la función de densidad conjunta del vector aleatorio c, n es el número de
variables de decisión del problema lineal y S i como fue definida anteriormente.
Cálculo numérico de la función de distribución
Siguiendo la misma notación que Ewbank et al (1974), la función de distribución
del óptimo para el Caso I viene dada por:
q
P[ Z * ≤ φ ] = ∑ P{[ Z * ≤ φ ] ∩ S i }
(2.20)
i =1
donde φ es una constante arbitraria y q el número de bases factibles del problema lineal.
Para mayor facilidad, se define
PG (φ ) = P{[ Z * ≤ φ ] ∩ S G }
(2.21)
es decir, PG (φ ) = P[ Z * ≤ φ y G es una base óptima].
Para evaluar el lado derecho de la ecuación (2.21), se calcula la siguiente integral
para la base G (factible):
(2.22)
PG (φ ) =
∫ ...∫
CB G BG −1b ≤φ ∩ S G
n
f (c)∏ dci
i =1
La región de integración del lado derecho de la ecuación (2.22), corresponde a la
intersección de la región de decisión de la base G, con la región en la cual el óptimo de la
función objetivo (Z*) es menor que una constante arbitraria φ . Para dar un ejemplo,
32
considere la base A del problema (2.18), cuya función objetivo óptima es
Z1* =
10C1 10C2
. La región de integración viene dada por:
+
3
3
C1
10


 Z * = ( C1 + C2 ) ≤ φ ∩ C2 ≥ ∩ 2C1 ≥ C2 
3
2


(2.23)
la cual se muestra en la Figura 8.
c2
30
325
φ
10
Región de decisión
20
15
10
Z = ( C1 + C2 ) ≤ φ
3
*
1
R egión d e
in t egr a ció n
10
C2
C1
= 2
5
5
10
15
10
C
( C1 + C2 ) ≤ φ ∩ C2 ≥ 1 ∩ 2C1 ≥ C2
3
2
20
25
3φ
10
c1
30
Figura 8. Región de integración para el cálculo de la función de distribución del óptimo. Base A del
problema (2.18)
Fuente: Elaboración propia
Para integrar la ecuación (2.22) sobre la región (2.23), se debe separar en dos
regiones, tal y como se muestra en la Figura 9. La solución estará en función de la
constante arbitraria φ , y representará la probabilidad de que el óptimo sea menor o igual
a φ y la base A sea óptima.
33
c2
30
C1 =
25
1
φ
10
20
15
R2
R1
10
1
C1 = φ
5
5
c1
5
10
15
20
25
30
Figura 9. Separación de la región de integración del problema (2.18)
Fuente: Elaboración propia
PG1 = ∫∫ f (c1 , c2 )dc1dc2 + ∫∫ f (c1 , c2 )dc1dc2
(2.24)
R1
R2
1φ
10
2 c1
0
c1
2
=∫
∫
1φ 3φ
− c1
5 10
f (c1 , c2 )dc1dc2 + ∫
1φ
10
∫
f (c1 , c2 )dc1dc2
c1
2
Luego,
1 1 −3φ /100
PG1 = −
e
(100 + 3φ )
3 300
En resumen, el procedimiento para el cálculo de la solución del problema de
distribución en el Caso I sería:
1. Calcular todas las bases factibles del problema.
2. Para cada base factible, calcular la región de decisión, dada por la ecuación (2.16)
que representa la región en la cual la base se mantiene óptima.
3. Calcular la integral dada por la ecuación (2.22) para cada base, que representa la
probabilidad de que el óptimo sea menor o igual a φ y la base i sea óptima.
4. Sumar todas las probabilidades PG (φ ) de las bases factibles, es decir, calcular
P[ Z * ≤ φ ] = ∑ PG (φ )
G
34
2.3.3.2 Caso II
Un análisis similar al anterior puede ser realizado si solamente el vector de
recursos b es estocástico. En este caso, la región de decisión sería:
{
}
U i = b ( Bi −1b ) ≥ 0∀j = 1,..., m
(2.25)
j
U i corresponde a la región en la cual la base i se mantiene factible. De manera
análoga al caso anterior, se cumple que
P[U i ∩ U j ] = 0 , para i ≠ j
(2.26)
Luego, la función de distribución del óptimo se calcula mediante la siguiente
ecuación
w
P[ Z * ≤ φ ] = ∑ P[ Z * ≤ φ ∩ U i ]
(2.27)
i =1
En este caso, w es el número de bases posibles generadas por el problema lineal y
φ igualmente una constante arbitraria. Ahora, se tiene que:
PG = P[G es una base factible]
Probabilidad que se calcula mediante la siguiente ecuación:
m
PG = ∫ ... ∫ f (b)∏ dbi
(2.28)
i =1
Ui
Dado que una base puede tener probabilidad mayor que cero de ser factible y no
necesariamente satisfacer el criterio determinístico de optimalidad, se establece:
(2.29)
1, si G satisface el criterio de optimalidad
de otra manera
0,
αG = 
Entonces, la probabilidad de que Z* sea menor que φ y la base G sea factible
queda de la siguiente manera:
(2.30)
PG (φ ) = α G
∫ ...
CB B −1b ≤φ ∩U G
∫
m
f (b)∏ dbi
i =1
35
Por último, el procedimiento para calcular la función de distribución del Caso II,
queda de la siguiente manera:
1. Calcular todas las combinaciones básicas posibles dadas por el problema lineal.
Esto se traduce en una combinación de ( m + n ) variables en un vector de tamaño m.
2. Tomar en cuenta sólo a aquellas bases que cumplen el criterio determinístico de
optimalidad.
3. Calcular la región de decisión de cada base que cumpla el criterio de optimalidad,
dada por la ecuación (2.25)
4. Calcular la integral dada por la ecuación (2.30)
5. Calcular P[ Z * ≤ φ ] = ∑ PG (φ )
G
2.3.4 Transformación de Ewbank et al. (1974)
Desde el momento en que se encontró la forma de calcular la distribución de
probabilidad del óptimo de manera sistemática, como fue mostrado anteriormente, otro
problema fue la dificultad de hallar los límites de integración de las ecuaciones (2.22) y
(2.30), que representan los límites de la región de optimalidad (o factibilidad)
intersectada con la región en la cual Z* es menor a un número arbitrario φ . Los límites de
integración pueden ser fácilmente deducidos en el caso bidimensional, como en el
problema (2.18), pero cuando se trata de más de tres variables este cálculo se torna un
poco más complicado.
Para abordar este problema, Ewbank, Foote y Kumin (1974), desarrollaron una
transformación para resolver el Caso I y II del PLE utilizando el teorema del Jacobiano,
la cual simplifica las regiones de integración.
Uno de los objetivos del presente proyecto es implementar dicha transformación
en la herramienta computacional desarrollada para calcular la solución al problema de
distribución. Para ello, se presenta a continuación una breve descripción del trabajo de
Ewbank et al. (1974), el cual servirá como base teórica para la implementación del
mismo en la herramienta propuesta.
36
2.3.4.1 Transformación CASO I
Para el desarrollo de la transformación Ewbank et al (1974) se asumen las
siguientes suposiciones:
1. Hay una probabilidad positiva de que existe una solución óptima no vacía
y acotada.
2. La función de densidad de c es continua a trozos
3. No hay una solución básica factible degenerada
Dado esto, una base G satisface el criterio de optimalidad (2.2) si se cumplen las
siguientes condiciones:
C B B −1 A − C = s ≥ 0
(2.31)
y
C B B −1 = t ≥ 0
(2.32)
donde C = {c1 , c2 ,..., cn }
Se puede demostrar que si = 0 cuando xi pertenece a la base G si i ≤ n v. Por otra
parte, ti = 0 cuando xi pertenece a la base G si i > n vi. Sea h el número de variables xi
que pertenecen a la base G para i ≤ n , es decir, hay h xi ' s en la función objetivo que son
variables básicas. Entonces se plantea las siguientes definiciones:
1. Se define xˆi como las variables de decisión de la función objetivo que pertenecen a la
base, donde i = 1,..., h .
2. Se define Bˆi como la columna correspondiente a la variable xi de la matriz A vii, si xi
es una variable básica, y cuyas filas corresponden a las restricciones que se satisfacen
en forma de igualdad, es decir, que las variables de holgura correspondientes a esas
v
Es decir, ocurre cuando
vi
vii
xi es básica y no es una variable de holgura.
xi es básica y sí es una variable de holgura, por lo tanto no aparece en la función objetivo.
Decir que la variable xi está contenida en la matriz A, es equivalente a decir que i ≤ n
Cuando
37
restricciones son iguales a cero. Se puede demostrar que el número de variables de
holgura iguales a cero en cada vértice es igual a h, por lo tanto el tamaño del vector
columna Bˆi también es igual a h.
3. Se denota A como la columna correspondiente a la variable xi de la matriz A, si xi es
una variable no básica, y cuyas filas corresponden a las restricciones que se satisfacen
en forma de igualdad.
4. Se define b como el vector formado por los elementos de b, cuyas filas corresponden
a las restricciones del problema que son satisfechas en forma de igualdad.
5. Se definen los vectores, tˆ = (t1 , t2 ,..., th ) y s = ( s1 , s2 ,..., sn − h ) . De la ecuación (2.31) y
ˆ ˆ y s = CB B −1 A − C = tA
ˆ − C respectivamente.
(2.32) se deriva que cˆB = tB
Con estas definiciones se proponen las siguientes transformaciones:
(2.33)
ˆ ˆi
ci = tB
(2.34)
ˆ i − si
ci = tA
si xi es básica
si xi es no básica
El Jacobiano de la transformación está dado por:
 ∂c ∂c 
J c = det  i , p 
 ∂t j ∂sq 
h
Como para i ≤ h , ci = ∑ t j B ji , entonces
i =1
∂ci
= Bki , por lo que el Jacobiano de la
∂tk
transformación queda representado como:
J c = (−1) n − h det( Bˆ T ) = (−1)n − h det( Bˆ )
(2.35)
Luego se substituye la transformación en la función de densidad conjunta
f (c1 , c2 ,..., cn ) viii.
Ejemplo numérico de la transformación Ewbank et al (1974)
o Ejemplo 2.1. (Ewbank, 1972) -Transformación CASO I
max z ( x1 , x2 ) = C1 x1 + C2 x2
viii
Para mayor información al respecto, el lector puede referirse a Ewbank et al (1974).
38
Sujeto a:
x1 + 2 x2 + x3 = 3
3x1 + x2 + x4 = 5
(1)
(2)
4c c , 0 ≤ c1 ≤ 1, 0 ≤ c2 ≤ 1
f (c1 , c2 ) =  1 2
 0, de otra manera
Recordemos que la transformación de cada ci depende de si la variable
xi correspondiente es básica o no. Si pertenece a la base, se sustituye ci por Bˆi ti , de lo
contrario, se sustituye ci por ti A − si . Para una mejor visualización de la transformación,
a continuación se presenta la Tabla 1, que muestra cada uno de los elementos de la
transformación y el correspondiente valor según las bases originadas por el problema
estocástico del Ejemplo 2.1.
Tabla 1. Transformación Ewbank et al (1974) para cada base factible del ejemplo 2.1
Elemento
Base 1
Base 2
Base 3
xˆi
{ x1 , x2 }
{ x1}
{ x2 }
h
2
1
1
B
1 2


3 1
1 1


3 0
 2 0


1 1
Restricción
en igualdad
{1, 2}
{2}
{1}
{t1 , t2 }
{t1}
{t2 }
{∅}
{s1}
{s1}
1 2


3 1
{3}
{2}
{∅}
{1}
{1}
{3, 5}
{5}
{3}
tˆ
si
B̂
A
b
Base G 1 : { X 1 , X 2 }
Para la base 1, ambas variables ( x1 , x2 ) correspondientes a c1 y c2 , son básicas, por
 t   1 2 
lo que la transformación es la siguiente: ( c1 , c2 ) = tB =  1  . 
 = ( t1 + 3t2 , 2t1 + t2 )
 t2   3 1 
Entonces, f (ctransf . ) = f ( t1 + 3t2 , 2t1 + t2 ) = 8t12 + 28t1t2 + 12t2 2
39
J r = det( B) = 5
Los límites de la variable transformada deben cumplir los límites de la variable
aleatoria original. En este caso 0 ≤ c1 ≤ 1, 0 ≤ c2 ≤ 1 , entonces otra restricción para las
variables transformadas queda de la siguiente manera:
1, si 0 ≤ t1 + 3t2 ≤ 1

αR = 
0 ≤ 2t1 + t2 ≤ 1
0, de otra manera

∞∞
Quedando: PG1 = ∫ ∫ α R ( 8t12 + 28t1t2 + 12t2 2 ) (5)dt1dt2 . PG1 =
0 0
59
≈ 0.86
72
Para calcular la distribución del óptimo en cada base, se integra sobre la
intersección de con la región {ti | Z (ti ) ≤ φ}
11
 59
φ≥
 72
5

4
3
 259φ
0 ≤φ ≤
 4050
2
F (φ ) = 
2
4
φ
φ
φ
1125
−
16000
+
15000
−
268
3
5

≤φ ≤

29400
2
3

2
4
φ
φ
φ
5(
−
4273
+
9768
−
5850
+
375
3
−
0≤φ ≤

14112
2
Base G 2 : { X 1 , X 3 }
(c1 , c2 ) = (3t1 , t1 − s1 )
ˆ = 8t12 + 28t1t2 + 12t2 2
Z = tb
PG2 =
 181
 9φ 4
PG2 (φ ) =  1250
 0

1
18
φ > 53
0 ≤ φ ≤ 53
φ <0
40
2.3.4.2 Transformación CASO II
Ahora considere que sólo el vector b es estocástico y f (b) es la función de
densidad conjunta de b = (b1 , b2 ,..., bm ) . Se asume que hay probabilidad mayor que cero
de que exista una solución acotada. Sea X i una solución básica al problema. Esta
solución básica, representa un punto extremo de una solución factible, denotado como
E o . Como b está permitido a variar sobre su rango, el punto E o cambia su posición en el
espacio de dimensión m. Como bien se ha explicado anteriormente, el cambio de b no
afecta la condición de optimalidad del punto E o . Entonces, el primer paso es determinar
si ese punto es óptimo, para luego determinar las regiones en las cuales esa base se
mantiene factible, es decir, aquellas donde se cumple
B −1b = r ≥ 0
(2.36)
Luego, de (2.36) se obtiene que:
(2.37)
b = Br
La probabilidad de que E o permanezca óptima con la transformación de (2.37),
queda de la siguiente manera:
(2.38)
P = ∫∫
r ≥0
∫ f ( Br ) | J
r
| dr1dr2 ...drm
Donde J r es el Jacobiano de la transformación, que viene dado por:
 ∂b 
J r = det  k 
 ∂ri 
(2.39)
m
Dado que bk = ( Br )k = ∑ Bkj rj , y
j =1
(2.40)
∂bk
= Bki , esto implica que:
∂ri
J r = det[ Bki ] = det( B)
El cálculo de la distribución de Z * es la probabilidad P[ Z (b) ≤ φ y X i sea una
base factible], con Z (b) = CB r , quedando:
41
PG (φ ) = α G ∫∫
(2.41)
CB r ≤φ ∩ r ≥ 0
∫ f ( Br ) | J
r
| dr1dr2 ...rm
Ejemplo analítico de Ewbank (1974) p. 42.
max z ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 3x2
Sujeto a:
x1 + x2 + x3
= b1
x1 + 2 x2 + x4 = b2
b1 ∼ Exp(1) , b2 ∼ Exp(2)
La función de densidad conjunta queda: f (b1 , b2 ) = 2e − ( b1 + 2b2 )
b1 , b2 ≥ 0
Base G 1 : { X 1 , X 2 }
1 1   r1 
1 1 
B1 = 
 ; Br = 1 2   r  = ( r1 + r2 , r1 + 2r2 ) = ( b1 , b2 )
1 2 

 2 
Entonces,
f ( Br ) = 2e −[( r1 + r2 )+ 2( r1 + 2 r2 )] = 2e− (3 r1 +5 r2 )
J r = det( B) = 1
Recordemos que para el Caso II, se debe calcular la probabilidad de que una base
sea factible. Con el cambio de variable b = Br , la condición de factibilidad queda
r = B −1b ≥ 0 . Es por ello que los límites para la transformación del Caso II siempre serán:
(2.42)
{ri | ri ≥ 0}
Sin embargo, los límites de la variable transformada deben cumplir los límites de
la variable aleatoria original. En este caso b1 , b2 ≥ 0 , entonces otra restricción para las
variables transformadas queda de la siguiente manera:
(2.43)
r1 + r2 ≥ 0

r1 + 2r2 ≥ 0
En este ejemplo, por ser distribuciones exponenciales, cumplir con (2.42) es
equivalente a cumplir (2.43), pero esta situación no se cumple para el caso de
distribuciones uniformes u otra distribución cuyos límites sean diferentes a {bi | bi ≥ 0} .
42
Finalmente, los límites de integración para calcular la probabilidad de que la base sea
factible quedan entre cero e infinito.
∞∞
PG1 = ∫ ∫ 2e− (3 r1 +5 r2 ) (1)dr1dr2 =
0 0
2
15
Base G 2 : { X 1 , X 3 }
1 1 
 1 1   r1 
B2 = 
 ; Br =  1 0   r  = ( r1 + r2 , r1 ) = ( b1 , b2 )
1 0 

 2 
−[( r1 + r2 ) + 2( r1 )]
f ( Br ) = 2e
= 2e− (3r1 + r2 )
J r = det( B) = 1
∞∞
PG2 = ∫ ∫ 2e − (3r1 + r2 ) (1)dr1dr2 =
0 0
2
3
Base G 3 : { X 2 , X 4 }
1 0
 1 0   r1 
B3 = 
 ; Br =  2 1   r  = ( r1 , 2r1 + r2 ) = ( b1 , b2 )
2 1

 2 
−[( r1 ) + 2(2 r1 + r2 )]
f ( Br ) = 2e
= 2e − (5 r1 + 2 r2 )
J r = det( B) = 1
∞∞
PG3 = ∫ ∫ 2e− (5 r1 + 2 r2 ) (1)dr1dr2 =
0 0
1
5
Para calcular la distribución del óptimo en cada base, se integra sobre la
intersección de (2.42) con la región {ri | Z (r ) ≤ φ}
Base G 1 : { X 1 , X 2 }
Z1 (r ) = CB1r = 2r1 + 3r2
Región de integración: {2r1 + 3r2 ≤ φ ∩ r1 ≥ 0 ∩ r2 ≥ 0}
φ
φ
3
2
PG1 (φ ) = ∫
0
−
3r
2
2
∫
2e − (3r1 +5 r2 ) (1)dr1dr2 =
0
2 6 −53φ 4 −32φ
+ e − e
15 5
3
Base G 2 : { X 1 , X 3 }
Z 2 (r ) = CB 2 r = 2r1
Región de integración: {2r1 ≤ φ ∩ r1 ≥ 0 ∩ r2 ≥ 0}
∞
PG2 (φ ) = ∫
0
φ
2
∫ 2e
0
− (3 r1 + r2 )
(1)dr1dr2 =
2 2 −32φ
− e
3 3
43
Base G 3 : { X 2 , X 4 }
Z 3 (r ) = CB 3 r = 3r2
Región de integración: {3r2 ≤ φ ∩ r1 ≥ 0 ∩ r2 ≥ 0}
∞
PG1 (φ ) = ∫
0
φ
3
∫ 2e
0
− (5 r1 + 2 r2 )
1 1 −5φ
(1)dr1dr2 = + e 3
5 5
Finalmente, la función de distribución del óptimo de la función objetivo, queda de
la siguiente manera:
-5φ
-3φ
F(φ ) = 1 + e 3 - 2e 2
A lo largo de este capítulo se ha ilustrado algunos de los cálculos matemáticos
requeridos para la solución del problema. De este procedimiento se resaltan los siguientes
puntos:
1. El número de bases factibles del problema va aumentando a medida que
aumenta el número de variables y restricciones del problema, lo que
implica mayor número de iteraciones.
2. La complejidad del problema va aumentando a medida que se tienen más
parámetros estocásticos: las regiones de decisión se hacen más
complicadas, el número de integrales a resolver aumenta y a su vez se
hacen más complejas por el número de variables involucradas.
3. La única forma de resolverlo en forma cerrada es de forma manual o con
un método de programación simbólica, que de hecho no existía para el
momento en que el problema fue planteado.
Por estas razones, los científicos comenzaron a buscar métodos de aproximación
que evitaran estos cálculos de forma manual y que permitieran obtener la solución de
manera práctica y en menor tiempo.
44
2.4 Medición de la convergencia de un método de aproximación
dado a través de la forma cerrada
A continuación, se muestran algunos métodos de aproximación utilizados en la
resolución del problema. Estos métodos sólo se mencionan a manera de ilustración, pero
no se discutirán en el presente proyecto.
•
Integración Numérica (Bereanu, 1974)
•
“Quantile arithmetic” (Dempster, 1974)
•
“Minimax approach” (Dyson, 1978)
•
Simulación de Monte Carlo (Sarper, 1993)
Dicho esto, supongamos que se tiene un método para calcular de manera
aproximada la distribución del óptimo de la función objetivo, cuya solución a cierto
problema está dada por la Figura 10.
PDF Metodo
A
0.2
0.15
0.1
0.05
φ
2
4
6
8
10
Figura 10. Función de densidad del óptimo de la función objetivo calculada con el método de
aproximación A
Fuente: Elaboración propia
Ahora, supongamos que con las nuevas herramientas computacionales de la
actualidad, podemos calcular la solución exacta del problema anterior, cuya función de
densidad se muestra en la Figura 11.
45
PDF Teorica
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
φ
2
4
6
8
10
Figura 11. Función de densidad del óptimo de la función objetivo calculada en forma cerrada
Fuente: Elaboración propia
Colocando ambas distribuciones en una misma gráfica, se obtiene la Figura 12.
PDF HSimulacion
0.25
y Teorica L
1
0.2
0.15
2
0.1
0.05
φ
2
4
6
8
10
Figura 12. Gráfico de las funciones de densidad teórica y aproximada
Fuente: Elaboración propia
La pregunta planteada aquí es ¿cómo determinar si el método de aproximación es
suficientemente bueno para los efectos del tomador de decisiones, a partir de la solución
teórica?
Antes del análisis, no es siempre obvio que el error de aproximación incurrido en
el cálculo la función objetivo dé lugar a una diferencia significativa en la decisión a
tomar. Por ejemplo, en el caso del problema de programación de dos etapas, se utiliza la
esperanza del problema de segunda etapa como parámetro para decidir los valores
óptimos del problema de primera etapa. Puede ocurrir que la variación en la esperanza
del óptimo sea del 1% en comparación a la solución teórica. Si el decisor percibe que esta
variación es económicamente importante y afecta significativamente la decisión de la
primera etapa, entonces es necesario tomar medidas para que la calidad de la solución sea
aún mejor.
46
En este sentido, cabe desarrollar metodologías para la comparación entre la
solución teórica y la solución aproximada, cosa que no se hará en el presente trabajo de
manera formal, pero sí se mostrarán ejemplos de una posible comparación. Para medir la
diferencia entre las dos funciones, se puede pensar en la máxima diferencia entre la
función de distribución teórica y la función de distribución aproximada, de la siguiente
manera:
(2.44)
D = sup Fteórica ( x) − Faprox ( x)
Otra manera, es mediante la comparación de la esperanza de ambas
distribuciones.
Aunque para aplicaciones de la vida real no se resolverá el problema de
distribución en forma cerrada, siempre estaremos interesados en conocer el error
cometido al utilizar cualquier método de aproximación.
Capítulo 3
Metodología
Como se explicó inicialmente, el objetivo general de este proyecto es explorar
nuevas posibilidades en la resolución del problema de distribución de PLE en forma
cerrada. En el capítulo anterior se presentó el procedimiento para resolver este problema
analíticamente y en este capítulo se describe la metodología llevada a cabo para
implementar dicho procedimiento en una herramienta computacional. La idea es
encontrar la forma cerrada de la distribución del óptimo de varios problemas lineales
estocásticos con cuyos parámetros presentan diferentes distribuciones de probabilidad,
para diferente número de variables (n) y restricciones (m), comenzando desde tamaño
n=m=3 hasta alcanzar el máximo número que permita resolver la herramienta en un
período de tiempo prudencial.
En primer lugar, se describe el software y hardware utilizado para el desarrollo de
la herramienta y posteriormente se da una descripción más detallada del algoritmo que se
propone para la resolución del problema. Asimismo, se describen algunos comandos del
paquete que fueron los factores claves en el desarrollo de la herramienta elaborada.
3.1 Hardware
La herramienta computacional fue desarrollada en una Dell portátil Inspiron
B130, Celeron M, con las siguientes características de procesador:
Tabla 2. Propiedades del procesador utilizado
L2 Cache
Clock Speed
Front Side Bus
Memoria Cache
Memoria RAM
370 KB
1.50 GHz
400 MHz
1 MB
1GB
48
3.2 Software
Para el desarrollo de la herramienta computacional se utilizó el paquete
Mathematica 5.2®. Mathematica, es un sistema de álgebra computacional y lenguaje de
programación capaz de manejar operaciones matemáticas tanto en forma simbólica como
numérica.
La primera versión fue lanzada en 1988 y la versión 5.2 es la más actual, la cual
salió al mercado en julio 12 de 2005. En la versión 5.1, se implementó el comando
“Boole”, que es la clave para el desarrollo de la herramienta desarrollada en este
proyecto, ya que permite integrar sobre una región determinada.
3.3 Enumeración de vértices
En el Capítulo 2, se describió el procedimiento para calcular la función de
distribución del óptimo para el Caso I. El primer paso de este procedimiento consiste en
calcular todas las bases factibles del problema lineal a resolver. Según la definición del
problema lineal, esto implicaría generar todas las posibles combinaciones Cmm + n , y luego
seleccionar a aquellas bases que cumplan el criterio de factibilidad B −1b ≥ 0 . Este
procedimiento es ineficiente, en primer lugar, porque el número combinatorio
Cnm + n =
(m + n)!
, crece muy rápidamente a medida que m y n aumentan. Para dar un
n !m !
ejemplo, si n = 10 y m = 5 , el número posible de combinaciones es C515 = 3003 .
Adicionalmente, en cada iteración se debe calcular la inversa de la matriz B.
Para evitar estas ineficiencias, desde los años 60 se han venido desarrollando
algoritmos para enumerar todos los vértices de un polígono convexo dado un sistema de
ecuaciones lineales, véase por ejemplo (Balinski, 1961) y (Matheiss y Rubin, 1980). Avis
y Fukuda (1992) propusieron un método para lograr este objetivo, que posteriormente fue
implementado en un paquete del programa Mathematica® por Fokuda y Mizukoshi. Este
49
paquete se denomina "VertexEnumeration" (Enumeración de vértices), y está disponible
para ser descargado gratuitamente en la página Web de Wolfram Research®ix.
Este paquete recibe como entrada la matriz tecnológica y el vector de recursos del
problema lineal que se desea resolver. La salida del paquete es una lista de todos los
vértices factibles del problema lineal y los valores que toma cada variable en cada uno de
ellos.
El algoritmo está basado en el principio de que el método Simplex genera un
camino a través de los vértices del poliedro hasta llegar al vértice óptimo, mediante el
“pivoteo”, es decir, intercambiando una de las ecuaciones que definen el vértice con una
ecuación de las restricciones que no está siendo usada. El camino elegido desde un
vértice inicial dado hasta el vértice óptimo depende de la regla de pivoteo utilizada.
Según Avis y Fokuda (1992), su algoritmo comienza por un “vértice óptimo” y luego
traza el árbol de los caminos a los vértices conectados con una regla de pivoteo.
3.4 Distribuciones de Probabilidad a estudiar.
En el Capítulo 2, se definieron las distribuciones de probabilidad con las cuales se
modelarán los coeficientes aleatorios del problema lineal. La metodología para estudiar el
comportamiento de la herramienta consistió en fijar los parámetros de las distribuciones
mencionadas para luego realizar varios experimentos aumentando el número de variables
y restricciones. Luego, se asumió, por simplicidad, que todas las variables aleatorias eran
independientes igualmente distribuidas, aunque ésta no es condición necesaria para la
resolución del problema en la herramienta desarrollada, lo que hace falta es conocer la
función de probabilidad conjunta de todas las variables aleatorias.
Las funciones de densidad utilizadas para modelar cada variable aleatoria en las
corridas de la herramienta, se presentan a continuación:
ix
http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/440/
50
Tabla 3. Funciones de distribución utilizadas para los experimentos de la herramienta
Nombre de la distribución y ecuación
general
Exponencial: f ( x) = λ e − λ x
Uniforme: f ( x) =
1
(b − a )
Gamma:
( x − γ )α −1 exp [ −( x − γ ) / β ]
f ( x) =
β α Γ(α )
Parámetro
utilizado
Función de distribución de
probabilidad
Rango
λ =1
f ( x) = e− x
x ∈ [0, ∞)
b=8
f ( x) =
a=0
1
8
x ∈ [0,8]
β =1
α =2x
f ( x) = xe − x
x ∈ [0, ∞)
γ =0
3.5 Algoritmos para la resolución del problema
En el Capítulo 2, fueron explicados los procedimientos para calcular la forma
cerrada del problema de distribución. Se explicó el algoritmo original (Bereanu) y luego
se expuso el procedimiento de una transformación que, en teoría, hace más fácil el
cálculo de las integrales involucradas. Nótese que cualquier problema puede ser resuelto
por el Caso I o el Caso II, haciendo uso de la forma dual del problema lineal. Entonces,
surgen cuatro modalidades para la resolución del problema:
1. Algoritmo de Bereanu para Caso I
2. Algoritmo de Bereanu para Caso II
3. Transformación Ewbank et al (1974) para Caso I
4. Transformación Ewbank et al (1974) para Caso II
En esta sección se muestra la metodología para la implementación de las cuatro
formas de resolver el problema de distribución en la herramienta desarrollada. La idea es
resolver varios problemas lineales a través de las cuatro modalidades y medir el tiempo
de cómputo tomado por la herramienta a medida que se va aumentando el tamaño del
problema, es decir, el número de variables y restricciones.
x
Cuando α es un número entero y positivo, esta distribución es también llamada Erlang. Aunque el
número α utilizado es entero y positivo, se seguirá denominando distribución gamma.
51
Para resolver el problema Caso I, el vector de costos estará compuesto por
variables simbólicas de la forma c = {c1 , c2 ,..., cn } que representan los coeficientes
aleatorios del problema, donde n es el número de variables de decisión del PL. Los
elementos de la matriz A y el vector b serán valores numéricos que representan los
coeficientes determinísticos del modelo a optimizar. Análogamente, para resolver el Caso
II, el vector de recursos estará formado por variables simbólicas de la forma
b = {b1 , b2 ,..., bm } donde m es el número de restricciones. Igualmente, los otros
parámetros del problema serán valores numéricos.
En todas las modalidades de la herramienta, el usuario debe especificar el número
de variables y restricciones del problema (n y m), los coeficientes de la matriz A, la
función de densidad conjunta de las variables aleatorias del problema y el rango de las
mismas. Si se está resolviendo un problema de minimización, se deberán cambiar los
signos de las desigualdades en la condición de optimalidad.
3.5.1 Algoritmo Bereanu Caso I y Caso II
Para resolver el CASO I a través del algoritmo Bereanu, la herramienta genera un
vector con todos los vértices factibles del problema, por medio del paquete “Vertex
Enumeration”. Para cada vértice factible, se calcula la inversa de la matriz B con el fin
hallar la región de optimalidad dada por la ecuación (2.2). Asimismo, para cada vértice
factible se calcula la integral de la función de densidad conjunta sobre la región de
optimalidad intersectada con la región en la cual la función objetivo es menor a φ , es
decir, PG (φ ) , y luego se suman cada una de ellas para obtener la probabilidad total. El
diagrama de flujo se muestra en la Figura 13.
52
Comienzo
Establecer parámetros
del problema
n, m, A, b, f (c), Img(c )
Generar todas las
bases factibles
q = Total bases factibles
i =1
DistFun = 0
Es i ≤ q ?
No
Imprimir DistFunc
Si
Generar
CB i , Bi −1 , N B i , CN i ,
Parar
Z i = CB i Bi −1b
i = i +1
V = CB i Bi −1 N B i − CN i
deV
w = Tamano
j =1
R ={ci | ci ∈Img(Ci )}
Es j ≤ w ?
No
Calcular
PGi (φ ) =
j = j +1
Si
∫∫
f (c1 , c2 ,..., cn )
R ∩ Z *≤φ
R ={c |[elemento j deV ] > 0}∩R
Calcular la probabilidad total
DistFun = DistFun + PGi (φ)
Figura 13 Diagrama de Flujo para la implementación del algoritmo Bereanu para el Caso I
Fuente: Elaboración propia
53
Para el CASO II, la herramienta genera una lista con todas las posibles
combinaciones de bases del problema (utilizando el comando Combinatorica de
Matemática®) y luego verifica la condición de optimalidad (determinística). Si cumple
con la condición de optimalidad, se procede a calcular la integral de la función de
densidad conjunta sobre esta región intersectada con la región en la cual la función
objetivo es menor a φ , e igualmente se suman todas las PG (φ ) .
Comienzo
Establecer los parámetros
del problema
n, m, A, c, f (b), Img(b)
Generar todas
bases posibles
q = Total bases posibles
i =1
DistFun = 0
BasesOptimas = 0
Es i ≤ q ?
No
Imprimir DistFunc
Parar
Si
Generar condición de optimalidad
α = CB i Bi −1 N B i − CN i
i = i +1
No
Son todos
los elementos de α
Mayores que 0?
Si
BasesOptimas = BasesOptimas + 1
Generar condición de factibilidad
V = B i − 1b
deV
w = Tamano
j =1
R ={bi | bi ∈Img(bi )}
Es j ≤ w ?
j = j +1
No
Si
Calcular la probabilidad
PGi (φ ) = ∫∫
f (b1 , b2 ,..., bm )
R ∩ Z *<φ
R ={b |[elemento j deV] > 0}∩R
Calcular la función de distribución total
DistFuni = DistFun + PGi (φ )
Figura 14. Diagrama de Flujo para la implementación del algoritmo Bereanu para el Caso II
Fuente:Elaboración propia
54
3.5.2 Algoritmo para las Transformaciones de Ewbank et al (1974).
La transformación de Ewbank et al (1974), está basada en el algoritmo de
Bereanu en el sentido que itera sobre todas las bases óptimas o factibles (dependiendo si
es Caso I o Caso II). La diferencia está en la manera como determina las regiones sobre
las cuales integrar la función de densidad conjunta.
Para el CASO I, luego de generar las bases factibles del problema, también con el
paquete “Vertex Enumeration”, se itera sobre cada base y se calculan las variables xˆi , tˆ ,
ˆ , tal y como se definieron en el Capítulo 2. Recordemos que la transformación
b y Z = tb
de cada ci depende de si la variable xi correspondiente es básica o no. Es por ello que
antes de generar la transformación se verifica si la variable xi pertenece al vector base
actual. Si pertenece a la base, se genera Bˆi y se sustituye ci por Bˆi ti , de lo contrario, se
genera A y si y se sustituye ci por ti A − si . Cualquiera que haya sido la transformación,
se debe colocar la condición de que la variable transformada se encuentre dentro del
rango de la variable aleatoria original ci . La Región de Decisión R estará en función del
vector tˆ , s ó ambos. Luego se calcula la probabilidad de que la base actual sea óptima
integrando la función de densidad transformada sobre la región R correspondiente. Este
procedimiento se ilustra en el diagrama de flujo de la Figura 15.
55
Comienzo
Establecer parámetros
del problema
n, m, A, b, f (c), Img(c )
Generar todas las
bases factibles
q = Total bases factibles
i =1
DistFun = 0
No
Es i ≤ q ?
Imprimir DistFunc
Si
Parar
Generar
xˆi , tˆi , bi , Zi
j =1
i = i +1
R={}
No
Es j ≤ n ?
j = j +1
Si
Calcular
No
X j ∈ Base i ?
PGi (φ ) =
∫∫
f (ctransformada ) | det( B ) |
R ∩ Z *≤φ
Si
Generar
Bˆ j
Generar
Calcular la probabilidad total
DistFun = DistFun + PGi (φ)
c j = tˆi Aj − s j
c j = Bˆ j tˆi
{ ( )
A , si
}
R = t j | Bˆ jtˆj ∈Img(Ci ) ∩R
{
}
R = s j , t j | ( tˆi Aj − s j ) ∈Img(Ci ) ∩R
Figura 15 Diagrama de flujo para la implementación de la transformación Ewbank et al (1974) para
el Caso I
Fuente: Elaboración propia
56
Para el CASO II de la transformación Ewbank, se calculan todas las posibles
combinaciones de bases del problema y, al igual que en el algoritmo de Bereanu, se
verifica la condición determinística de optimalidad. Posteriormente, se aplica la
transformación b = Br y se impone la condición de que cada elemento del vector r
deber estar dentro del rango correspondientes a la imagen de cada variable aleatoria
bi ( i = 1,..., m ) . La región de integración será la región R = {ri | ( Bri ) ∈ Img(bi )} ∩ R .
Comienzo
Establecer los parámetros
del problema
n, m, A, c, f (b ), Img(b)
Generar todas
bases posibles
q = Total bases posibles
i =1
DistFun = 0
BasesOptimas = 0
Es i ≤ q ?
No
Parar
Imprimir DistFunc
Si
Generar condición de optimalidad
α = CBi Bi −1 N B i − CN i
i = i +1
No
Son todos
los elementos de α
Mayores que 0?
Si
BasesOptimas = BasesOptimas + 1
Transformación
b = Br
j =1
R ={ri | ri ≥ 0}
Calcular
Es j ≤ m ?
No
PGi (φ ) =
∫∫
f (btransformada ) | det( B ) |
R ∩ Z *≤φ
Si
j = j +1
R = {ri | ( Bri ) ∈Img(bi )} ∩R
Calcular la probabilidad total
DistFun = DistFun + PGi (φ)
Figura 16 Diagrama de flujo para la implementación de la transformación Ewbank et al (1974) para
el Caso I
Fuente: Elaboración propia
57
3.6 Verificación de las salidas arrojadas por la herramienta
Uno de los pasos importantes en el desarrollo del proyecto es verificar que las
salidas arrojadas por la herramienta sean efectivamente las correctas. Para realizar la
validación de la misma, se utilizaron tres ejemplos encontrados en la literatura que
fueron resueltos analíticamente. Con esos ejemplos se verificaron las cuatro modalidades
de la herramienta desarrolladas:
1. Algoritmo de Bereanu para Caso I
2. Algoritmo de Bereanu para Caso II
3. Transformación Ewbank et al (1974) para Caso I
4. Transformación Ewbank et al (1974) para Caso II
Para la comparación, se resolvió cada problema con la herramienta para las cuatro
modalidades, haciendo uso de la forma dual del problema lineal. Se imprimieron paso a
paso las salidas de la herramienta y se verificó que eran exactamente igual a las
presentadas en los ejemplos. A manera de verificación se comprobó que la función de
densidad producida porla herramienta integra 1.
3.7 Establecimiento del número máximo de variables
Se desea conocer el máximo número de variables que es capaz de manejar la
herramienta en un tiempo considerable de tiempo. Para ello, se fue aumentando tamaño
del problema (m y n) hasta que el tiempo de la herramienta llegara a una cota superior de
t = 20.000 seg (6 horas aproximadamente).
Para cada tamaño, se resolvieron diez problemas lineales diferentes y se midió
tanto el tiempo requerido por la herramienta, como el número de bases óptimas o
factibles asociados a cada uno de ellos. Para generar el problema de programación lineal
a resolver en cada corrida, se genera una matriz mxn de números enteros en un rango de
[1,20] (aleatorios uniformemente distribuidos), que representará la matriz tecnológica A
determinística. Para el CASO I, se genera un vector de tamaño m, de números enteros
entre 20 y 50 (también aleatorios), que representa el vector determinístico de recursos b.
58
El vector de costos estará formado por variables simbólicas de la forma c = {c1 , c2 ,..., cn } ,
que representan los coeficientes aleatorios del problema. Análogamente, para el CASO II,
se genera un vector de tamaño n, que representa el vector de coeficientes de costos y el
vector de recursos es un vector de variables simbólicas de la forma b = {b1 , b2 ,..., bm } .
Para la resolución del Caso I, se midió separadamente el tiempo empleado en el
algoritmo de “Vertex Enumeration” del tiempo empleado en la iteración como tal. El
tiempo de simplificación e impresión de la salida no se tomó en cuenta en la
contabilización del tiempo reportado.
Este procedimiento se llevó a cabo para coeficientes aleatorios con distribuciones
exponencial, uniforme y gamma, con los parámetros que se definen en la Tabla 3,
3.8 Metodología para la simulación de Monte Carlo
En esta sección se explica la metodología llevada a cabo para resolver un
problema a través del método de simulación de Monte Carlo, con el objetivo de mostrar
un ejemplo de cómo se puede comparar una solución aproximada con la distribución
teórica (en forma cerrada) obtenida a partir de la herramienta.
Para realizar la simulación se generan números aleatorios de la distribución
deseada y se resuelve el problema determinístico equivalente para cada réplica. Se
almacenan los datos óptimos de cada corrida y luego se ajustan los datos empíricamente a
una curva de distribución mediante el paquete EasyFit®. Este paquete ajusta diferentes
distribuciones de probabilidad a los datos y luego ordena la lista de distribuciones de
acuerdo al grado de ajuste en orden descendente, de manera que el primero sea el que
“mejor ajusta”. Entre los criterios utilizados para definir el grado de ajuste, se encuentran:
1. Prueba de Kolmogorov-Smirnov
2. Ajuste Chi-cuadrado
3. Prueba de Anderson-Darling
Luego, el usuario deberá elegir la curva que considere es la mejor para ajustar los
datos. El orden por grado de ajuste según los tres criterios no siempre es el mismo, es
59
decir, si una distribución está de posición número uno según el criterio de ajuste Chicuadrado, no necesariamente será el número uno para otro de los criterios.
En la vida real la solución al problema se resuelve de una manera similar a la
expuesta anteriormente. La curva ajustada empíricamente tendrá asociado un error que
tiene que ver con la calidad del programa de ajuste (EasyFit, por ejemplo) y con el
número de réplicas utilizado en la simulación. Si esta curva es la que se utilizará para
modelar la solución y para tomar las decisiones, de alguna manera nos interesa saber la
diferencia entre esta función ajustada y la función teórica en forma cerrada. Es por ello
que para este ejemplo, se utilizará el criterio del supremo de las diferencias de las
distribuciones (teórica y ajustada) y la diferencia entre ambas esperanzas:
1. D = sup FZ *teórica ( x) − FZ *ajustada ( x)
2. Dif % =
Eajustada ( Z *) − Eteórica ( Z *)
Eajustada ( Z *)
.100%
De esta manera, la esperanza teórica se calculará en forma cerrada a partir del
primer momento de la función de densidad y la esperanza de la simulación se calculará a
través de la esperanza de la distribución ajustada.
Capítulo 4
Resultados
4.1 Verificación de la herramienta
Para validar la herramienta se utilizaron tres ejemplos de la literatura que fueron
resueltos de forma analítica y se compararon con los resultados arrojados en las cuatro
modalidades. Una de las limitaciones para la realización de este paso fue la escasa
disponibilidad de ejemplos resueltos analíticamente que sirvieran de base para la
comparación. Se presentan los ejemplos utilizados para la verificación de la herramienta
y posteriormente los resultados obtenidos.
4.1.1 Ejemplo 1. Ejemplo analítico de Ewbank (1972) p. 42. (CASO II)
max z ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 3x2
Sujeto a:
x1 + x2 + x3
= b1
x1 + 2 x2 + x4 = b2
f (b1 , b2 ) = 2e − ( b1 + 2b2 )
La forma Dual del problema anterior se puede expresar de la siguiente manera (CASO I):
min z ( x1 , x2 ) = K1 x1 + K 2 x2
Sujeto a:
− x1 − x2 + x3
= −2
− x1 − 2 x2 + x4 = −3
f (k1 , k2 ) = 2e − ( k1 + 2 k2 )
A continuación se muestran las tablas que comparan la solución presentada en la
literatura y la solución obtenida con la herramienta. Se inicia con la comparación de las
transformaciones Ewbank et al (1974). En primer lugar, el Ejemplo 1, que es el ejemplo
utilizado en Ewbank (1972) para ilustrar la transformación del Caso II. En la parte
61
siguiente (Tabla 5) se muestran las comparaciones del ejemplo en las modalidades antes
mencionadas.
Tabla 4. Verificación de la Transformación Ewbank et al (1974) Caso II mediante Ejemplo 1
Herramienta:
Elemento del Ejemplo Analítico Ewbank
Base
Transformación (Caso
problema
(1972) p. 42 (Caso II)
II)
Expresión
2r1 + 3r2
2r1 + 3r2
función obj.
 x1 
 
 x2 
 x1 
 
 x3 
 x2 
 
 x4 
Región de
Integración
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
PG1
2
15
2
15
PG1 (φ )
xi
2
1 + 9e −5φ / 3 − 10e −3φ / 2 )
(
15
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
Expresión
función obj.
2r1
2r1
Región de
Integración
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
PG2
2
3
2
3
PG2 (φ )
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
Expresión
función obj.
No presentado en la literatura
3r1
Región de
Integración
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
r1 ≥ 0

r2 ≥ 0
PG3
1
5
1
5
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e−5φ / 3 − 2e −3φ / 2 , φ > 0
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e−5φ / 3 − 2e −3φ / 2 , φ > 0
PG3 (φ )
CDF
A través de la Tabla 4, podemos corroborar que ambos resultados son iguales.
xi
La expresión que aparece textualmente en el ejemplo de Ewbank (1972) es la siguiente:
2 2
4
4
P[ zi ≤ φ ] = − e −5φ / 3 − e −3φ / 2 + e −5φ / 3 . En la presente tabla se muestra la expresión simplificada para
15 15
3
3
efectos de una mejor visualización. El lector puede comprobar que ambas expresiones son equivalentes.
62
Base
x1
x2
x1
x3
x2
x4
Elemento del
problema
Expresión
función obj.
2r1 + 3r2
2r1 + 3r2
b1 + b2
Región de
Integración
r1 ≥ 0
r1 ≥ 0
2b1 − b2 ≥ 0
r2 ≥ 0
r2 ≥ 0
−b1 + b2 ≥ 0
PG1
2
15
2
15
2
15
PG1 (φ )
xiii
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
Expresión
función obj.
2r1
2r1
Región de
Integración
r1 ≥ 0
r1 ≥ 0
b2 ≥ 0
r2 ≥ 0
r2 ≥ 0
b1 − b2 ≥ 0
PG2
2
3
2
3
2
3
PG2 (φ )
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
Expresión
función obj.
No presentado en la literatura
3r1
Región de
Integración
r1 ≥ 0
r1 ≥ 0
b1 ≥ 0
r2 ≥ 0
r2 ≥ 0
−2b1 + b2 ≥ 0
PG3
1
5
1
5
1
5
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e −5φ / 3 − 2e−3φ / 2 , φ > 0
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e −5φ / 3 − 2e−3φ / 2 , φ > 0
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e −5φ / 3 − 2e−3φ / 2 , φ > 0
PG3 (φ )
CDF
xii
Tabla 5. Comparación de los resultados de la herramienta con el Ejemplo 1. Ejemplo analítico de Ewbank (1972) p. 42.
Ejemplo analítico Ewbank
Herramienta:Algoritmo
Herramienta: Dual,
Herramienta: Dual,
Herramienta:
Base
(1974) p. 42 (Caso II)
Transformación, Caso II
Caso II Bereanu
Bereanu Caso I
Transformación I
y1
y2
−3(c1 − c2 ) − 2(−2c1 + c2 )
−2t1 − 3t2
−2c1 + c2 ≤ 0 xii
t1 ≤ 0
c1 − c2 ≤ 0
t2 ≤ 0
2
15
2
15
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
2
(1 + 9e−5φ / 3 − 10e−3φ / 2 )
15
2b2
2c2
− 2 t1
−c1 + c2 ≤ 0
s1 − t2 ≤ 0
−c2 ≤ 0
−t 2 ≤ 0
y2
y4
2
3
2
3
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
2 2 −3φ / 2
− e
3 3
3b1
3c1
− 3t2
y1
y3
CDF
2c1 − c2 ≤ 0
−t1 ≤ 0
−c1 ≤ 0
− s2 − 2t1 ≤ 0
1
5
1
5
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e −5φ / 3 − 2e−3φ / 2 , φ > 0
1 1 −5φ / 3
− e
5 5
1 + e −5φ / 3 − 2e−3φ / 2 , φ > 0
Recordemos que la condición de optimalidad de la base cambia de signo (a menor o igual) por ser éste un problema de minimización (dual al de maximización).
La expresión que aparece textualmente en el ejemplo de Ewbank (1972) es la siguiente: P[ zi ≤ φ ] = 2 − 2 e−5φ / 3 − 4 e−3φ / 2 + 4 e −5φ / 3 . En la presente tabla se muestra la
15 15
3
3
expresión simplificada para efectos de una mejor visualización. El lector puede comprobar que ambas expresiones son equivalentes.
xiii
63
4.1.2 Ejemplo 2. Ejemplo analítico de Ewbank (1972) p. 45 (CASO I)
max z ( x1 , x2 ) = C1 x1 + C2 x2
Sujeto a:
x1 + 2 x2 + x3 = 3
3 x1 + x2
+ x4 = 5
f (c1 , c2 ) = 4c1c2
En la Tabla 6, se muestran paso a paso los resultados obtenidos de la transformación con
la herramienta desarrollada y los resultados del ejemplo analítico de Ewbank (1972). Algunos
campos no se encontraron explícitamente en la literatura. La columna de “Elemento”
corresponde a las definiciones y cambios de variable de la transformación, que fueron
previamente explicados en el Capítulo 2.
Tabla 6. Verificación de la Transformación Ewbank (1974) et al Caso I mediante el Ejemplo 2.
Base
Elemento
Ejemplo Analítico
Herramienta
xˆi
{ x1 , x2 }
h
2
2
B
1 2


3 1
1 2


3 1
Restricción en
igualdad
{1, 2}
{1, 2}
{t1 , t2 }
{t1 , t2 }
{∅}
{∅}
1 2
3 1


1 2
3 1


{∅}
{∅}
{3, 5}
{3,5}
tˆ
si
B̂
 x1 
 
 x2 
{ x1 , x2 }
A
b
(c1 , c2 )
ˆ
Z = tb
f (ctransf . )
(t1 + 3t2 , 2t1 + t2 )
(t1 + 3t 2 , 2t1 + t2 )
No presentado en la
literatura
3t1 + 5t2
4(2t12 + 7t1t2 + 3t2 2 )
8t12 + 28t1t2 + 12t2 2
PG
0.86
59
≈ 0.86
72
No presentado en la
literatura
11
 59
φ≥
 72
5

4
3
 259φ
0≤φ ≤
 4050
2

2
4
3
5
1125 − 16000φ + 15000φ − 268φ
≤φ ≤

29400
2
3

2
4
− 5(−4273 + 9768φ − 5850φ + 375φ 0 ≤ φ ≤ 3

14112
2
PG (φ )
64
Continuación Tabla 6. Verificación de la Transformación Ewbank (1974) et al Caso I mediante el Ejemplo 2.
Base
Elemento
Ejemplo Analítico
Herramienta
xˆi
{ x1 }
h
1
1
B
1 1


3 0
1 1


3 0
Restricción en
igualdad
{2}
{2}
{t1}
{t1}
{s1}
{s1}
{3}
{3}
{1}
{3} *
{1}
(3t1 , t1 − s1 )
(3t1 , t1 − s1 )
tˆ
si
 x1 
 
 x3 
B̂
A
b
(c1 , c2 )
ˆ
Z = tb
f (ctransf . )
12(t12 − t1 s1 )
−12 s2 t1 + 12t12
PG
1
≈ 0.06
18
1
18
PG (φ )
3t1
 181
φ
 18
0

{5}
*
φ >1
*
0 ≤φ ≤1
φ <0
xˆi
 x2 
 
 x4 
{ x1 }
5t2
 1
 18
 4
 9φ

1250
 0


φ>
0 ≤φ ≤
5
3
φ<0
{ x2 }
h
1
B
2 0


1 1
Restricción en
igualdad
{1}
tˆ
si
{s1}
B̂
1 2


3 1
A
b
(c1 , c2 )
ˆ
Z = tb
f (ctransf . )
5
3
{t2 }
No presentado en la
literatura
{1}
{3}
(t 2 − s1 , 2t2 )
3t2
−8s1t2 + 8t 2 2
PG
PG (φ )
3
1
φ>
8
2
 4
3
 2φ
0 ≤φ ≤

2
 81
φ<0
0


Nota: Los símbolos
(*) indican errores
en los ejemplos
presentados.
65
Al observar la Tabla 6, se puede notar que los resultados obtenidos para las bases {x1 , x2 }
y {x1 , x3} , son exactamente iguales, a excepción del error cometido en la tesis de Ewbank (1972)
en el cálculo de b . Por definición, b está formado por los coeficientes de b cuyas restricciones
se cumplen en forma de igualdad. La restricción que se cumple en forma de igualdad en la base
{x1 , x3} es la segunda, por lo que b estaría formado por el segundo elemento de b , es decir,
b = {5} . Luego se observa que el error influye en otros cálculos posteriores como Z y PG (φ ) .
Lamentablemente, el ejemplo analítico de la literatura no muestra los resultados para la
base {x2 , x4 } ni la función de distribución total, que sí fue calculada con la herramienta
desarrollada y se presenta en la ecuación (4.1).
(4.1)
Ø
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
P@Z < f D = ∞
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
±
1
f ¥ 11
7971- 16280 f+9750 f2 - 625 f4
4704
80
f
25 f2
176 f4
8
5
3
< f < 11
3
2
<f § 5
5
49
-
147
4
4852 f
+
49
-
91875
5
0<f §
50625
3
3
2
Con esta función, se puede hallar el gráfico de la función acumulada del óptimo, tal y
como se muestra en la Figura 17.
P@Z <f D
1
0.8
0.6
0.4
0.2
φ
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 17 Distribución de Probabilidad del Máximo de la Función Objetivo del ejemplo analítico de
Ewbank (1972) p. 42
66
Base
Tabla 7. Comparación de los resultados analíticos con los resultados de la herramienta en las cuatro modalidades para el Ejemplo 2
Ejemplo analítico
Elemento del
Herramienta: Algoritmo
Herramienta: Dual,
Herramienta: Dual,
Herramienta:
Base
Ewbank (1972) p. 45
problema
Transformación, Caso I
Caso I Bereanu
Bereanu Caso II
Transformación Caso II
(Caso I)
7b1 4b2
Expresión
 −c 3c 
2c1 − c2 + 3  1 + 2 
+
3t1 + 5t2
3t1 + 5t2
−3r1 − 5r2
función obj.
5 
5
5
 5
c
3c
b
3b
0 ≤ t1 + 3t2 ≤ 1
0 ≤ t1 + 3t2 ≤ 1
− 5 + 5 ≥ 0 0 ≤ c1 ≤ 1
− 5 + 5 ≥ 0 0 ≤ b1 ≤ 1
0 ≥ r1 ≥ −1
Región de
2c
c
2b
b
0 ≥ r2 ≥ −1
0 ≤ c2 ≤ 1
0 ≤ b2 ≤ 1
Integración
0 ≤ 2t1 + t2 ≤ 1
0 ≤ 2t1 + t2 ≤ 1
5 − 5 ≥0
5 − 5 ≥0
1
2
1
x1
x2
x1
x3
59
≈ 0.86
72
59
72
PG1 (φ )
No disponible
59
11
φ≥
72
5
4
259φ
3
0 ≤φ ≤
4050
2
1125 − 16000φ + 15000φ 2 − 268φ 4
3
5
≤φ ≤
29400
2
3
5(−4273 + 9768φ − 5850φ 2 + 375φ 4
3
−
0 ≤φ ≤
14112
2
59
11
φ≥
72
5
4
259φ
3
0 ≤φ ≤
4050
2
1125 − 16000φ + 15000φ 2 − 268φ 4
3
5
≤φ ≤
29400
2
3
5(−4273 + 9768φ − 5850φ 2 + 375φ 4
3
−
0 ≤φ ≤
14112
2
Expresión
función obj.
3t1 *
5t1
5c1
3
0 ≤ t1 − s1 ≤ 1
0 ≤ t1 − s1 ≤ 1
1
0 ≤ t1 ≤
3
1
0 ≤ t1 ≤
3
Región de
Integración
1
18
PG2
φ >1
*
0 ≤ φ ≤1
18
φ <0
0
1
18
φ
Expresión
función obj.
No disponible
Región de
Integración
No disponible
PG3
No disponible
PG3 (φ )
No disponible
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
18
9 f4
1250
− c2 ≥ 0 0 ≤ c1 ≤ 1
c1
0 ≤ c2 ≤ 1
3 ≥0
f> 5
3
0 <f §
5
3
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
18
9 f4
1250
0 ≤ − s1 + t2 ≤ 1
1
0 ≤ 2t2 ≤
3
1
8
2 f4
81
1
8
f> 3
2
0<f§
3
2
59
72
59
72
59
11
φ≥
72
5
4
259φ
3
0 ≤φ ≤
4050
2
1125 − 16000φ + 15000φ 2 − 268φ 4
3
5
≤φ ≤
29400
2
3
5(−4273 + 9768φ − 5850φ 2 + 375φ 4
3
−
0 ≤φ ≤
14112
2
59
11
φ≥
72
5
4
259φ
3
0 ≤φ ≤
4050
2
1125 − 16000φ + 15000φ 2 − 268φ 4
3
5
≤φ ≤
29400
2
3
5(−4273 + 9768φ − 5850φ 2 + 375φ 4
3
−
0 ≤φ ≤
14112
2
5b1
3
−5r1
b1
3
y2
2
b1
3
− b2 ≥ 0 0 ≤ b1 ≤ 1
0 ≤ b2 ≤ 1
≥0
y4
1
18
f> 5
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
3
0 <f §
5
3
1
18
9 f4
1250
f> 5
3
0 <f §
5
3
3b2
2
−c1 + c22 ≥ 0 0 ≤ c1 ≤ 1
c2
0 ≤ c2 ≤ 1
2 ≥0
−b1 + b22 ≥ 0 0 ≤ b1 ≤ 1
b2
0 ≤ b2 ≤ 1
2 ≥0
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
8
2 f4
81
y3
1
8
f> 3
2
0<f §
y1
3
2
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
8
2 f4
81
0 ≥ r1 ≥ −1
0 ≥ r2 ≥ −1
1
18
3c2
2
3t2
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
y1
y2
c1
3
1
18
2
1
0.86
PG1
PG2 (φ )
x2
x4
1
2
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
18
1
18
f> 5
3
9 f4
1250
0 <f § 5
3
−3r2
1
8
f> 3
2
0<f §
3
2
0 ≥ r1 ≥ −1
0 ≥ r2 ≥ −1
Ø
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
±
1
8
2 f4
81
1
8
f> 3
2
0<f § 3
2
67
En la Tabla 7, se muestra la comparación del Ejemplo 2 (Ewbank, 1972 p. 45) con
los resultados de las cuatro modalidades de la herramienta. Se puede observar que los
resultados son equivalentes y que la diferencia entre todas las modalidades es un simple
cambio de variable. Los resultados obtenidos de la forma dual también son un método de
verificación, ya que se constata que la solución es la misma.
4.1.3 Ejemplo 3. Ejemplo analítico Zinn (1971) p. 19 (CASO I)
max z ( x1 , x2 ) = C1 x1 + C2 x2
Sujeto a:
x1 + 2 x2 + x3 = 10
2 x1 + x2
+ x4 = 10
f (c1 , c2 ) =
1 −101 ( c1 + c2 )
e
100
De la misma manera que los ejemplos anteriores, el Ejemplo 3, también fue
verificado a través de las cuatro modalidades.La Figura 18, representa la Distribución de
Probabilidad del Máximo de la función objetivo del Ejemplo 3: Zinn (1971) p. 19, cuya
−3 φ
−φ
forma cerrada está dada por la siguiente expresión: 1 − 2e 50 + e 100 (1 −
φ
100
)
P@Z <f D
1
0.8
0.6
0.4
0.2
φ
100
200
300
400
500
Figura 18. Distribución de Probabilidad del Máximo de la Función Objetivo del Ejemplo 3.
68
Gráficamente se puede observar que la función es siempre positiva, no
decreciente, su cota superior es 1 y la función es continua por la derecha. Estas
afirmaciones también se pueden verificar analíticamente estudiando las función en forma
cerrada
que
la
describe,
corroborando
que
F ( x1 ) > F ( x2 ), si x1 > x2 ,
lim F ( x) = 1 , lim F ( x) = 0 y verificando la continuidad de la función.
x→∞
x→ − ∞
4.2 Máximo número de variables
A lo largo del trabajo se ha mostrado que la solución de un problema se puede
hallar a través del Caso I ó Caso II de manera equivalente. Es por ello que los estudios
desde este punto en adelante se realizan para un solo caso (Caso II: vector de recursos
estocásticos). El análisis de la comparación entre ambos casos, en tiempo computacional,
se realiza en el Capítulo 5.
A continuación se muestran los resultados obtenidos en la medición del tiempo
computacional para el Caso II, para las diferentes distribuciones de probabilidad y para
distintos números de variables y restricciones del problema.
4.2.1
CASO II- Distribuciones Exponenciales iid.
Como bien se sabe, la solución del Caso II implica iterar sobre todas las bases del
problema que cumplen con el criterio (determinístico) de optimalidad. Se espera que para
mayor número de bases óptimas resultantes, se obtenga un tiempo de resolución mayor.
En la Tabla 8, se reporta el tiempo computacional de la herramienta, para diez
problemas diferentes con coeficientes aleatorios exponenciales iid, resueltos a través de
ambos algoritmos (Bereanu y Transformación), así como el número de bases óptimas
asociadas a cada problema. Estos datos fueron ordenados por el número de bases óptimas
en forma ascendente para una mejor visualización de los resultados. Al final de la tabla se
muestran los promedios totales y la desviación estándar del tiempo tomado por la
herramienta para resolver el problema. Asimismo, se muestra un primer reporte del
porcentaje en reducción del tiempo luego de aplicar la transformación Ewbank et al
69
(1974), ya que es en el Capítulo 5 donde se hace un estudio empírico más detallado para
analizar este efecto sobre el tiempo de la herramienta.
Tabla 8. Resultados Caso II, m=n=3. Exponenciales Independientes.
No. De la
corrida
Reducción del
Tiempo
Tiempo
Número
tiempo al
Herramienta Transformación
de bases
aplicar la
Bereanu Ewbank (1974)
óptimas
transformación
(seg)
(seg)
(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
5
5
5
5
7
7
7
7
6,4
6,8
130,3
139,4
66,9
89,0
291,2
298,6
162,4
120,2
1,1
1,2
14,5
14,3
9,6
5,3
28,3
41,1
25,6
16,8
83,0
82,4
88,9
89,7
85,6
94,1
90,3
86,2
84,3
86,0
Promedios
Totales
5,4
131,1
15,8
87,0
A simple vista pareciera haber una cierta relación directamente proporcional entre
el número de bases óptimas del problema y el tiempo requerido por la herramienta, es
decir, a mayor número de bases, mayor tiempo computacional. Sin embargo, si
comparamos la corrida número 10 de la Tabla 8 con la corrida número 4, vemos que para
éste último el tiempo computacional es menor a pesar de tener mayor número de bases
óptimas. Adicionalmente, estos primeros resultados sugieren que la transformación
Ewbank et al (1974) es bastante efectiva en la reducción del tiempo de la herramienta. En
el Capítulo 5, se presenta un estudio más detallado del efecto de la transformación.
Este mismo procedimiento se repitió para diversos tamaños del problema,
obteniendo los resultados de la Tabla 9. En este caso, sólo se muestran los resultados
obtenidos a través del algoritmo de la transformación Ewbank et al (1974).
70
Tabla 9. Tiempo computacional para transformación Caso II, desde 4x4 hasta 9x9. Exponenciales.
4x4
mxn
CASO II
Exponenciales
6x6
7x7
5x5
8x8
9x9
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
No. De la Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank
corrida Nodos (1974) Nodos (1974) Nodos (1974) Nodos (1974) Nodos (1974) Nodos (1974)
(seg)
(seg)
(seg)
(seg)
(seg)
(seg)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
25
96
47
55
100
97
74
104
119
151
Promedios
Totales
12
87
21
291
48
Desviación
estándar
2
37
8
191
15
7
11
11
11
11
12
13
13
14
29
35
48
141
177
149
229
200
435
362
528
635
75
277
511
535
604
626
487
1.090
1.478
1.453
2.297
9
13
15
19
19
19
25
25
31
35
37
38
39
43
59
61
63
139
490
526
465
734
859
1.155
1.649
2.550
2.730
4.157
936
81
634
32
45
51
53
63
63
83
91
107
117
249
1.241
1.975
2.567
1.954
2.676
2.730
4.990
9.925
6.105
15.857
1.532
176
5.002
1.240
62
4.623
89
135
140
140
143
146
232
281
204
227
229
232
241
257
261
265
270
361
365
8.414
6.608
7.034
7.306
11.865
7.487
11.602
12.058
16.408
14.170
271 10.295
51
3.403
En la Tabla 9, se puede observar que el tiempo de la herramienta crece
rápidamente a medida que se aumenta m y n. Para dar una mejor visión del crecimiento,
se realizó una gráfica de los tiempos promedios de cómputo en función su tamaño, la cual
se muestra en la Figura 19. Con el fin de tener una idea general del tiempo que se
esperaría para tamaños mayores del problema, se linealizaron los datos (aplicando
logaritmo) y se ajustó un modelo lineal.
Pronóstico del tiempo computacional en función del tamaño del
problema
Tiempo computacional de la herramienta según el tamaño del
problema. Caso II: Coeficientes de b ~ Exponenciales iid
10.000
6
9.000
5
7.000
4
6.000
Log(t)
Tiempo promedio (seg.)
8.000
5.000
4.000
3.000
2.000
Datos
3
2
Pronost
ico
1
Lineal
(Datos)
1.000
0
0
3
4
5
6
7
8
Tam año del problem a m=n (número)
9
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tamaño del problema m =n (núm ero)
12
13
y = 0,3852x + 0,5184
R2 = 0,9835
Figura 19. Gráfico del tiempo de cómputo de la herramienta según el tamaño del problema para
coeficientes distribuidos exponencialmente.
71
El pronóstico de los datos con el modelo ajustado fue el siguiente:
Tabla 10. Pronóstico del tiempo computacional según el tamaño del problema para coeficientes
distribuidos exponencialmente.
n=m
10
11
12
4.2.2
Log(t)
4,31
4,69
5,08
Pronóstico
t (seg)
20.333
49.340
119.729
t (horas)
5,6
13,7
33,3
CASO II- Distribuciones Gamma iid.
En esta parte se muestran resultados cuando los coeficientes del vector recurso
son variables aleatorias gamma iid.
Tabla 11. Resultados Caso II, m=n=3. Gamma Independientes.
No. De la
corrida
Reducción del
Tiempo
Tiempo
Número
tiempo al
Herramienta Transformación
de bases
aplicar la
Bereanu
Ewbank (1974)
óptimas
transformación
(seg)
(seg)
(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
5
5
5
5
5
5
7
7
20,8
636,6
876,3
113,3
443,1
396,0
164,1
1.248,1
1.284,1
4,7
65,8
68,2
55,7
65,6
62,8
60,2
271,8
264,0
77,5
89,7
92,2
50,9
85,2
84,2
63,3
78,2
79,4
Promedios
Totales
5,2
575,8
102,1
77,8
Al igual que en el caso de las exponenciales, se observa que en general el tiempo
aumenta a medida que aumenta el número de bases óptimas así como una importante
reducción del tiempo al aplicar la transformación Ewbank et al (1974). En este caso, la
reducción fue del 77,8% en promedio, siendo la máxima reducción del 92,2%. Los
cálculos para tamaños mayores se presentan en la Tabla 12.
72
Tabla 12. Tiempo computacional para transformación Caso II, desde 3x3 hasta 6x6. Gamma.
CASO II
Gamma
4x4
3x3
No. De la
corrida
Número
Nodos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
Tiempo
Ewbank
(1974)
(seg)
5x5
6x6
Tiempo
Número Ewbank Número
Nodos
(1974)
Nodos
(seg)
Tiempo
Ewbank
(1974)
(seg)
Tiempo
Número Ewbank
Nodos
(1974)
(seg)
27
186
230
237
319
270
960
1.119
4.291
5.598
12.777
16
16
136
122
147
259
515
654
690
1.045
757
5.009
-
3.833
10.675
10.528
14.533
32.209
-
7
5
49
56
60
63
66
66
68
264
272
Promedios
Totales
5
97
11
933
16
2.599
26
14.356
Desviación
estándar
1
92
3
1.466
7
4.055
8
10.697
5
5
5
5
5
5
5
7
7
8
8
10
11
11
11
15
16
9
9
11
11
13
13
21
23
27
22
27
30
37
-
Igualmente, se observa un crecimiento general del tiempo con el aumento del
número de nodos, así como con un aumento del tamaño del problema (ver Figura 20).
Proyección del tiempo computacional de la herramienta
según el tamaño del problema. Caso II: Coeficientes de b
~ Gamma iid.
6,00
16.000
14.000
12.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
0
5,00
Log(t)
Tiempo (seg.)
Tiempo computacional de la herramienta según el
tamaño del problema. Caso II: Coeficientes de b ~
Gamma iid.
4,00
Datos
3,00
Pronostico
2,00
Lineal (Datos)
1,00
0,00
2
2
3
4
5
6
Tam año del problem a m =n (núm ero)
7
3
4
5
6
7
8
Tam año del problem a m =n
(número)
9
y = 0,6959x + 0,0006
R2 = 0,9799
Figura 20. Gráfico del tiempo de cómputo de la herramienta según el tamaño del problema para
coeficientes distribuidos gamma.
En la Tabla 13 se muestra el pronóstico del tiempo para mayores tamaños del
problema.
73
Tabla 13. Pronóstico del tiempo computacional según el tamaño del problema para coeficientes
distribuidos gamma.
n=m
6
7
8
Log(t)
4,18
4,88
5,57
Pronóstico
t (seg) t (horas)
15.184
4,2
75.388
20,9
374.283 104,0
4.2.3 CASO I- Distribuciones Uniformes iid.
De manera análoga, se presentan a continuación los resultados para los casos en
que los coeficientes del vector b tienen distribución uniforme.
Tabla 14. Resultados Caso II, m=n=3. Uniformes Independientes.
No. De la
corrida
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Número
Tiempo
Tiempo
Reducción con
de bases Herramienta
Transformación
transformación (%)
óptimas Bereanu (seg) Ewbank (1974) (seg)
5
26,2
15,8
39,5
5
168,7
17,0
89,9
5
238,0
14,8
93,8
5
313,5
10,2
96,8
5
364,5
24,7
93,2
5
443,3
16,9
96,2
6
123,7
24,4
80,3
6
145,6
10,0
93,1
6
203,7
31,6
84,5
Promedios
Totales
5,3
225,248
18,378
85,3
Tabla 15. Tiempo computacional para transformación Caso II, desde 3x3 hasta 6x6. Uniformes.
CASO II
Uniforme
4x4
3x3
No. De la
corrida
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5x5
6x6
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank
Nodos (1974)
Nodos
(1974) Nodos
(1974)
Nodos (1974)
(seg.)
(seg.)
(seg.)
(seg.)
6
16
17
15
10
25
17
15
24
10
32
Promedios
Totales
5
18
12
27
25
387
43
1.386
Desviación
estándar
0
7
3
21
7
344
15
1.500
5
5
5
5
5
5
5
6
6
15
15
5
6
11
50
30
13
52
35
13
59
7
7
10
11
12
14
14
14
14
24
35
21
65
159
192
221
737
456
382
1.141
492
66
112
120
131
533
868
556
1.785
2.225
2.870
4.657
19
19
19
23
29
29
31
35
25
28
38
41
42
46
53
62
74
Para tener una idea general del crecimiento en tiempo, se presenta la Figura 21,
que muestran el tiempo de cómputo de la solución en función del tamaño del problema.
Tiempo computacional de la herramienta según el tamaño del
problema. Caso II: Coeficientes de b ~ Uniform e iid
Proyección Tiempo computacional de la herramienta según el
tamaño del problema. Caso II: Coeficientes de b ~ Uniforme iid
1.600
6
5
1.200
4
1.000
Log (t)
Tiempo promedio (seg.)
1.400
800
600
Datos
3
Pronostico
Lineal (Datos)
2
400
1
200
0
0
2
3
4
5
6
0
2
Tamaño del problema m=n (número)
4
6
8
Tam año del problem a m =n (núm ero)
10 y = 0,6805x - 0,9564
R2 = 0,9362
Figura 21, Gráfico del tiempo de cómputo de la herramienta según el tamaño del problema para
coeficientes distribuidos uniforme
Con estas gráficas se realizó el pronóstico del tiempo para tamaños mayores, el
cual se presenta en la Tabla 16.
Tabla 16. Pronóstico del tiempo computacional según el tamaño del problema para coeficientes
distribuidos uniforme.
Pronóstico
t (seg)
6.368
30.479
145.881
Log(t)
3,80
4,48
5,16
n=m
7
8
9
t (horas)
1,8
8,5
40,5
En la Tabla 17, se muestran los resultados promedios para cada uno de los casos
estudiados. Se observa que cuando los coeficientes de b se distribuyen gamma el esfuerzo
computacional es mayor.
Tabla 17. Resultados promedios totales en tiempo computacional según la distribución de los
coeficientes y el tamaño del problema. Caso II.
Resultados promedios totales según la distribución de los coeficientes
3x3
mxn
Distribución
4x4
5x5
Tiempo
Tiempo
Número Ewbank Número Ewbank Número
Nodos (1974) Nodos (1974) Nodos
(seg)
(seg)
6x6
7x7
8x8
9x9
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank Número Ewbank
(1974) Nodos (1974) Nodos (1974)
Nodos (1974) Nodos (1974)
(seg)
(seg)
(seg)
(seg)
(seg)
Exponencial
5
16
12
87
21
291
48
936
81
1.532
176
5.002
273
9.452
Gamma
5
97
11
933
16
2.599
32
21.369
-
-
-
-
-
-
Uniforme
5
16
12
27
25
387
43
1.386
-
-
-
-
-
-
75
4.3 Medición de la convergencia de un método de aproximación
dado a través de la forma cerrada
4.3.1 Caso II. Coeficientes distribuidos Gamma
Considere el siguiente problema lineal estocástico Caso II:
max Z = 34 x1 + 29 x2 + 42 x3
xi
s.a. 4 x1 + 6 x2 + 19 x3 ≤ b1
(4.2)
x1 + 20 x2 + 9 x3 ≤ b2
5 x1 + 4 x2 + 3x3 ≤ b3
donde b1 , b2 , b3 ~ Gamma(1, 2) iid. Se desea hallar la función de distribución del óptimo
de la función objetivo a través dos métodos: Simulación (5000 réplicas) y la Forma
Cerrada, para luego comparar ambas soluciones.
Con los datos obtenidos de la simulación se ajustó empíricamente una curva
Gamma de parámetros (α = 2.81, λ = 3.70) . Para mayor información acerca del ajuste,
véase el Apéndice D.
Este mismo problema fue resuelto en forma cerrada a través de la herramienta
desarrollada y se obtuvo la función de probabilidad de la ecuación (4.3).
(4.3) Fteórica (φ ) =
1+
-
9 ‰- 31 fê42 H- 233373199248 - 8630134800 f + 14711388622 f2 + 1815735741 f3 L
13854509674012
‰- 5 fê17 H168361933752980 + 70611079972316 f + 6043254611341 f2 + 118182098230 f3L
198446664805892
En la Figura 22, se muestran las gráficas de la distribución del óptimo del
problema (4.2) obtenidas a través de la solución teórica y la simulación. En la Figura 23,
se muestran ambas gráficas superpuestas.
76
CDF Teorica
1
CDF Simulacion
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
φ
5
10
15
20
25
φ
30
5
10
15
20
25
30
Figura 22. Gráficos de la función de distribución del óptimo del problema (4.2). Solución teórica y
ajustada (simulación)
PDF HSimulacion
CDF
y Teorica L
0.8
Teórica
0.6
0.4
Simulación
0.2
φ
5
10
15
20
Figura 23. Gráficas superpuestas de la función de distribución obtenida por la solución teórica y la
simulación
Luego, se obtienen los valores de los criterios utilizados para comparar ambas
distribuciones, los cuales son presentados en la Tabla 18.
Tabla 18. Criterios para la comparación de la solución teórica a la aproximada para el problema
(4.2)
Criterio
D = sup FZ *teórica ( x) − FZ *ajustada ( x)
Valor
Eteorica ( Z *)
10,013
Eajustada ( Z *)
10,141
Dif % =
Eajustada ( Z *) − Eteórica ( Z *)
Eajustada ( Z *)
.100%
0,025
1,3%
77
4.3.2 Caso II. Coeficientes distribuidos Uniforme
A continuación, se realiza el mismo análisis que el anterior cuando se tiene el
siguiente problema
max Z = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3
xi
s.a. 50 x1 + 15 x2 + 29 x3 ≤ 53
(4.4)
50 x1 + 14 x2 + 4 x3 ≤ 63
21x1 + 49 x2 + 13x3 ≤ 41
donde C1 , C2 , C3 ~ Uniforme(0,8) iid.
Con los datos obtenidos de la simulación se ajustó empíricamente una curva Beta
de parámetros (α = 0.94, λ = 1.09) , la cual resultó posición numero uno según el criterio
de la prueba Anderson-Darling. La solución teórica de este problema, se presenta en la
siguiente ecuación:
(4.5) Fteórica (φ ) =
Ø
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
∞
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
±
f ¥ 9928
1
613
- 66853184+12171728 f- 375769 f2
31712000
435 f2
1186777
1666862
- 125 +
991
+
359552
613 f
7928
-
28125 f2
178158016
- 2207873734650624000- 610797804107106624 f+328026901600578480 f2 - 15229052228956825 f3
14880908180463212544
35711423744000- 31675242026304 f+9352488870480 f2 - 36481011525 f3
898309773539328
13559216461 f3
15760514637312
424
29
< f < 9928
fã
424
29
3336
305
§ f < 424
613
29
212
25
<f<
328
49
< f § 212
0<f §
3336
305
25
328
49
78
Figura 24. Gráficos de la función de distribución del óptimo del problema (4.4). Solución teórica y
ajustada (simulación)
CDF Teorica
CDF Simulacion
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
φ
5
10
15
φ
20
5
10
15
Figura 25. Gráficas superpuestas de la función de distribución obtenida por la solución teórica y la
simulación
CDF Simulacion
1
y Teorica
Teórica
0.8
0.6
Simulación
0.4
0.2
φ
5
10
15
20
Tabla 19. Criterios para la comparación de la solución teórica a la aproximada para el problema
(4.4)
Criterio
D = sup FZ *teórica ( x) − FZ *ajustada ( x)
0,2072
Eteorica ( Z *)
9,037
Eajustada ( Z *)
9,773
Dif % =
Eajustada ( Z *) − Eteórica ( Z *)
Eajustada ( Z *)
.100%
Valor
7,53%
Sin pretender ser exhaustivos en el análisis, se podría decir a simple vista que la
simulación es una muy buena aproximación a la solución teórica en el caso del problema
(4.2). En este caso, el tomador de decisiones deberá analizar si una variación del 1,3% en
la esperanza de la distribución es económicamente importante. Sin embargo, en el caso
20
79
del problema (4.4), la diferencia entre ambas distribuciones es más notable. El supremo
de las diferencia fue de 0,21 (mayor que para el primer caso) y la diferencia entre las
esperanzas también fue más grande.
4.4 Análisis de los resultados
A través de la herramienta se obtuvieron los mismos resultados que los expuestos
en los ejemplos de la literatura, tanto para el algoritmo Bereanu como para la
transformación en los Casos I y II. Adicionalmente, en cada problema resuelto con la
herramienta se verificó que la función obtenida cumpliera con las condiciones de una
distribución de probabilidad. Sin embargo, los ejemplos encontrados en la literatura
resueltos en forma cerrada fueron pocos y ninguno de ellos considera los casos en que los
coeficientes aleatorios se distribuyen uniforme y gamma. Esto constituyó una gran
limitación para realizar la validación de la herramienta de una manera más exhaustiva.
Un elemento a favor, es que, por lo menos, no se encontraron evidencias de que los
resultados fueran erróneos.
En la década de los 50, 60, 70 y 80, cuando este problema tuvo su auge, era casi
impensable que una herramienta computacional pudiera hallar de forma cerrada la
solución del problema. La razón es que la solución requiere de un programa que sea
capaz integrar simbólicamente sobre las regiones que se generan a partir de la resolución
de sistemas de inecuaciones que, de hecho, serán más y más complicadas a medida que se
aumenta el número de parámetros aleatorios del problema.
Se debe resaltar que el tiempo computacional que toma la herramienta para
resolver el problema depende de los números considerados en los elementos la matriz
tecnológica, del vector de recursos o el vector de costos, no sólo en orden de magnitud,
sino en el rango en que se encuentren los números, ya que esto determinará el número de
vértices factibles de la región. Por ello, el número máximo de variables estará sujeto al
valor de todos los parámetros mencionados.
En el caso de las simulaciones, la curva seleccionada para ajustar los datos
empíricamente, depende en alguna medida del criterio del decisor o usuario. Esto implica
80
que los resultados del análisis presentado en los ejemplos podrían variar si se selecciona
otra curva de ajuste.
Al tener dos formas para solucionar el problema de distribución de PLE, el primal
y el dual equivalente, siendo idénticas estas dos soluciones, cabe perfectamente la
pregunta de porqué se deben diseñar diferentes métodos para la solución del Caso I y
Caso II, si la solución de uno implica la solución del otro. La respuesta es la misma que
para el caso de Programación Lineal determinística, es decir, en ciertos casos, la relación
entre el primal y el dual puede ser muy útil a la hora de reducir el esfuerzo computacional
para la resolución del problema. En el caso estocástico y con la herramienta desarrollada,
aparece la pregunta de cuál método será mejor para la resolución del problema de
distribución. Quizás esta respuesta dependerá del número de variables en relación al
número de restricciones del PL, al número de coeficientes aleatorios involucrados o a la
función de distribución de los mismos. Para dar una primera aproximación a estas
respuestas, se presenta el siguiente capítulo donde se realiza un estudio empírico del
tiempo computacional asociado a la resolución del problema.
81
Capítulo 5
Estudio empírico de los resultados
de la herramienta en tiempo computacional
Hasta los momentos se han llevado a cabo todos los objetivos que fueron
planteados al inicio del proyecto: se desarrolló una herramienta computacional para
encontrar la forma cerrada de la distribución del óptimo para el Caso I y Caso II, se
implementaron las transformaciones de Ewbank et al. (1974) para la resolución de ambos
casos, se mostraron resultados en tiempo computacional para las distribuciones
estudiadas y para diferentes tamaños del problema, y por último, se mostró brevemente
cómo esta herramienta puede ser utilizada para evaluar la convergencia de otros métodos
de simulación o aproximación para la solución del problema de distribución.
Sin embargo, a lo largo de la investigación surgieron ciertas interrogantes que no
fueron planteadas en los objetivos del proyecto y resultó interesante incluir un capítulo
adicional para dar una primera respuesta a estas inquietudes presentadas. Este estudio no
pretende en ningún momento ser un análisis exhaustivo, sino mostrar un primer
acercamiento de los posibles análisis que se pueden llevar a cabo con la herramienta
desarrollada.
Las interrogantes presentadas fueron las siguientes:
1) ¿Las transformaciones de Ewbank et al (1974), son significativamente
efectivas en la disminución del tiempo computacional de la herramienta desarrollada?
2) Si se tiene, por ejemplo, un problema Caso I, ¿es mejor resolverlo por el
algoritmo del primal o a través del dual equivalente (algoritmo del Caso II)?
3) ¿El cambio de los parámetros de una distribución dada, influye en el tiempo
computacional de la herramienta?
Para responder las preguntas anteriores, se plantea la siguiente metodología de
comparación.
82
5.1 Metodología
La metodología diseñada para abordar las preguntas de la parte anterior consiste,
básicamente, en resolver diversos problemas de programación lineal estocástica de tres
coeficientes aleatorios, variando tres factores principales:
1. Método de resolución del problema: Primal o Dual.
2. Tipo de Algoritmo: Bereanu o Transformación Ewbank et al (1974).
3. Parámetros de la distribución: Exponencial: λ , Gamma: λ y α .
En la Tabla 20, se muestran los factores tomados en cuenta y sus posibles valores.
Tabla 20. Factores tomados en cuenta para el análisis de la herramienta desarrollada
D
E
Factor
Número de variables problema
Numero de restricciones
Distribución de los coeficientes
estocásticos.
Modo de resolución
Algoritmo
F
Parámetros de las distribuciones
A
B
C
Posibles Valores
3ó6
3ó6
Exp / Gamma
Caso I / Caso II
Bereanu / Transformación
Exp: λ ∈ [0, 2] ó λ ∈ [400,500] ;
Gamma:
α enteros ∈ [1,11]
La idea es realizar varios experimentos cambiando un factor a la vez y medir el
tiempo computacional de la herramienta. La Tabla 21 muestra el estado de los factores, el
elemento a determinar (pregunta a responder) y el número de réplicas utilizado en cada
uno de los siete (7) experimentos diseñados.
Tabla 21. Diseño de experimentos para la comparación de los resultados de la herramienta
No.
1
2
3
4
Elemento a
determinar
Eficacia de
transformación
en la reducción
del tiempo
Eficiencia del
Caso I y Caso II
en la resolución
de problemas
(m = n)
A
B
C
D
3
3
Exp
Caso II
3
3
Gamma
Caso II
3
3
Exp
3
3
Gamma
No.
Réplicas
E
F
Bereanu
/ Trans.
Bereanu
/ Trans
λ =1
λ =1
α =2
200
Caso I
/Caso II
Trans.
λ =1
200
Caso I
/Caso II
Trans
β =1
α =2
200
81
83
Continuación de la Tabla 21.
Elemento a
No.
A
determinar
Eficiencia del
5
6
Caso I y Caso
II en la
resolución de
6
6
problemas
B
C
D
E
F
No.
Réplicas
3
Exp
Caso I
/Caso II
Trans.
λ =1
200
3
Gamma
Caso I
/Caso II
Trans
β =1
α =2
123
3
Exp
Caso II
Trans.
(2m = n)
7
Influencia de
los parámetros
en el tiempo
del algoritmo
3
λ ∈ [0, 2]
ó
λ ∈ [400,500]
200
En cada experimento se mide el tiempo de cómputo para las n réplicas de cada
factor diferente y se determina si las medias de ambas poblaciones son estadísticamente
diferentes a través una prueba de hipótesis para datos pareados. A continuación se explica
más detalladamente los experimentos enunciados en la Tabla 21.
5.1.1 Eficacia de transformación en la reducción del tiempo
En el Capítulo 4, se mostraron los resultados en tiempo computacional de la
herramienta para las tres distribuciones fijadas y diferentes tamaños del problema. Estos
resultados sugerían que la transformación Ewbank et al (1974) era bastante efectiva en la
reducción del tiempo computacional de la herramienta. Sin embargo, estos resultados
fueron obtenidos para un número pequeño de muestras (n=10). Con el fin de obtener
mayor evidencia estadística, se llevaron a cabo los experimentos 1 y 2, explicados en la
Tabla 21, a través de los cuales se desea saber si la transformación Ewbank et al (1974)
reduce significativamente el tiempo de la herramienta. Como se puede observar en esa
tabla, todos los factores están fijos y sólo se cambia el algoritmo de resolución (Bereanu
y transformación). Se generaron 200 problemas estocásticos diferentes (Caso II) y cada
uno fue resuelto por ambos algoritmos. Estos experimentos estudian la eficacia de la
transformación específicamente para tamaño del problema 3x3, cuando los coeficientes
estocásticos del vector de recursos se distribuyen exponencial y gamma.
En este caso la hipótesis nula será que no existe diferencia entre las medias del
tiempo, es decir, Ho : µ Bereanu = µTransformación y H A : µ Bereanu ≠ µTransformación .
84
En el caso de que las diferencias del tiempo de cómputo de ambos algoritmos
sean estadísticamente diferentes, se desea conocer, en promedio, de cuanto será esta
reducción.
5.1.2 Eficiencia del Caso I y Caso II en la resolución de problemas
Luego de desarrollar una herramienta capaz de resolver cualquier problema con
su equivalente dual, se plantea la interrogante de cuál será el mejor método de solución
para cada problema dependiendo del caso. Es decir, si se tiene un problema cuyo vector
de costos es estocástico, cabe la pregunta de si es preferible resolverlo a través del
método Caso I o a través del método Caso II (mediante el problema dual equivalente).
Otra pregunta que surge es si el método más adecuado de resolución depende del
tamaño del número de variables y restricciones. Es por ello que para estudiar la eficacia
del Caso I y Caso II en la resolución del problema, se toman en cuenta dos posibles
situaciones: 1) cuando el número de variables es igual al número de restricciones m = n ,
2) cuando el número de restricciones es el doble que el número de variables m = 2n . En
ambos casos, el número de coeficientes aleatorios es igual a tres (3). Ho : µCasoI = µCasoII
y H A : µCasoI ≠ µCasoII .
5.1.3 Influencia de los parámetros en el tiempo de la herramienta
Otra pregunta de interés es si el cambio de los parámetros de las distribuciones
afecta el tiempo del algoritmo. En el caso de distribuciones exponenciales, se resolvió el
mismo problema estocástico 200 veces con valores de λ distintos para un rango de
λ ∈ (0, 2] y otro rango de λ ∈ [400,500] . Las dos poblaciones fueron comparadas para
observar si existe diferencia significativa entre ellas. Estos rangos son totalmente
arbitrarios y se colocaron con el fin de estudiar el comportamiento ante variaciones
extremas del parámetro.
Para el caso de la distribución gamma no se realizaron pruebas de hipótesis. En
cambio, se resolvió el mismo problema estocástico, cuando los coeficientes del vector de
recursos tienen una distribución gamma estándar, para diferentes valores enteros del
85
parámetro α , que variaron de α = 1 hasta α = 11 . Recordemos que la función de
densidad de la gamma estándar es p X ( x) =
xα −1e − x
, lo que implica que un número mayor
Γ(α )
de α , hará más compleja las integrales involucradas en el cálculo de la función de
distribución.
5.2 Resultados
A continuación se presentan los resultados obtenidos a través de los experimentos
explicados en la parte anterior.
5.2.1 Eficacia de la transformación Ewbank et al (1974) en la reducción
del tiempo computacional
Como se explicó en la parte anterior, se desea saber si existe diferencia
significativa en el tiempo computacional de la herramienta a través del algoritmo Bereanu
y el tiempo con la transformación. Para un número de réplicas n = 200 , se obtuvieron los
resultados de las pruebas de hipótesis los cuales son presentados en la Tabla 22.
Tabla 22. Resultados de la prueba de hipótesis para experimentos 1 y 2
No de
experimento
¿Se rechaza
Ho al 95%?
p-valor
1
2
Sí
Sí
1,69 E-37
2,43 E-12
El tiempo promedio del algoritmo Bereanu es significativamente diferente al
tiempo promedio con la transformación para distribuciones gamma .En la Tabla 23, se
muestran
algunos
estadísticos
que
describen
el
comportamiento
del
tiempo
computacional de la herramienta mediante la resolución por el algoritmo Bereanu y el
algoritmo Transformación, en el caso de distribuciones exponenciales y gamma de
tamaño 3x3.
86
Tabla 23. Resultados del tiempo computacional para experimentos 1 y 2
No.
Distribución
Estadístico
µ
σ
1
Exponencial
min
max
Mediana
µ
σ
2
Gamma
min
max
Mediana
Tiempo
Bereanu
(seg)
143
110
6
459
122
514
460
18
2180
376
Tiempo
Transforma
ción (seg)
18
12
0,9
46
14
89
70
5
271
66
En la Tabla 23, se observa una gran diferencia entre los tiempos promedios de
cada algoritmo y de la misma manera se ve un contraste notable entre los otros
estadísticos del tiempo computacional para ambos algoritmos.
Luego de tener suficiente evidencia para decir que la transformación Ewbank et al
(1974) efectivamente influye sobre el tiempo de la herramienta, estamos interesados en
saber numéricamente cómo se comporta esta reducción. Para ello, se calculó la diferencia
porcentual del tiempo con ambos algoritmos para cada réplica y se obtuvieron los
resultados de la Tabla 24. En esta tabla se muestra el histograma y el valor de los
estadísticos básicos de las reducciones porcentuales luego de la transformación.
Tabla 24. Resultados de la reducción del tiempo computacional luego de la transformación Ewbank
et al. (1974) para distribuciones exponenciales.
No. Distribución
1
Exponencial
Estadístico
Reducción
del tiempo
Histograma de la diferencia porcentual del tiempo
Algoritmo Bereanu y tiempo transformación
µ
84,7 %
σ
7, 6 %
60
min
58,1 %
40
max
97,1 %
20
Mediana
86,4 %
40
50
60
70
80
90
100
87
Tabla 25. Resultados de la reducción del tiempo computacional luego de la transformación Ewbank
et al. (1974) para distribuciones gamma
µ
77,4 %
σ
12,8 %
30
25
20
2
Gamma
min
16,0 %
max
94,41 %
15
10
5
Mediana
79,66 %
20
40
60
80
100
A través de la Tabla 24 y Tabla 25, se puede apreciar que la transformación
Ewbank reduce significativamente el tiempo de cómputo de la herramienta. Para el caso
de exponenciales 3x3, reduce en promedio 84% y para el caso de gamma 3x3 reduce en
promedio 76,6%. Adicionalmente, los histogramas revelan que en general el porcentaje
de reducción se concentra en valores altos, entre 80 y 90 para la exponencial y
5.2.2 Eficiencia del Caso I y Caso II en la resolución del problema
En la presente sección se muestran los resultados de los experimentos del 3 al 6,
según la numeración de la Tabla 21. En este caso se desea investigar el método más
adecuado de resolución (Caso I o Caso II) de acuerdo a la relación entre el número de
variables y el número de restricciones del problema lineal estocástico.
5.2.2.1 Tamaño m=3, n=3 (m=n)
Para un tamaño 3x3, se resolvieron 200 problemas a través del algoritmo
transformación, tanto para el caso I como para el caso II. Los resultados de las pruebas de
hipótesis se presentan el la Tabla 26. Estos resultados corresponden a los experimentos 3
y 4.
Tabla 26. Resultados de la prueba de hipótesis para experimentos 3 y 4
No de
experimento
¿Se rechaza
Ho al 95%?
¿Se rechaza
Ho al 90%?
p-valor
3
4
No
Sí
Sí
Sí
0,0605
0,0013
88
En el experimento 3, a pesar que no se rechaza para un nivel del 95%, nótese que
para un nivel del 90% sí hay evidencias para rechazar la hipótesis nula, lo que
representaría que los tiempos promedios de ambos algoritmos (Caso I y Caso II) son
significativamente diferentes, con un 90% de confianza. El tiempo promedio del método
CASO I es significativamente diferente al tiempo promedio con método CASO II para
distribuciones gamma, cuando m=n, con un nivel de significancia del 95%
En la Tabla 27, se muestran los estadísticos del tiempo computacional para ambos
métodos de resolución, en los casos de coeficientes con distribución exponencial y
gamma.
Tabla 27. Resultados del tiempo computacional para experimentos 3 y 4
Distribución
Estadístico
µ
σ
3
Exponencial
min
max
Mediana
µ
σ
4
Gamma
min
max
Mediana
Tiempo con
Caso II (seg)
16,5
12
1,0
48,8
14,1
94,1
76,2
5,3
308,9
70,9
Tiempo con
Caso I (seg)
18,8
12
2,2
46,8
17,1
122,0
94,2
7,6
364,6
95,5
En la Tabla 27, se observa una diferencia más marcada entre las medias de ambos
métodos para el caso de distribuciones gamma. Igualmente, se desea saber
numéricamente cuánto más eficiente es el Caso II sobre el I, para los experimentos
estudiados. Para ello, se presenta la Tabla 28, que contiene los estadísticos y el
histograma de las diferencias entre el tiempo Caso II y Caso I.
89
Tabla 28. Resultados de la reducción del tiempo computacional Caso I en comparación con el Caso II
(m=n) para distribuciones exponenciales y gamma.
No. Distribución
3
4
Exponencial
Gamma
Estadístico
Reducción
del tiempo
µ
21,5 %
Histograma de la diferencia tiempo Caso I y tiempo
Caso II
40
σ
18,0 %
30
min
-12,9 %
20
max
58,6 %
10
Mediana
15,5 %
µ
23,6 %
25
σ
7,9 %
20
min
5,8 %
0
20
40
60
15
10
max
43,7 %
5
Mediana
24,5 %
10
20
30
40
Según la Tabla 28, el Caso II es, en promedio, 21.5% más eficiente que el Caso I
para la resolución del problema con distribuciones exponenciales, cuando el número de
variables es igual al número de restricciones (m=n=3). De la misma manera, el Caso II
es, en promedio, 22% más eficiente que el Caso I para distribuciones gamma. En el
experimento 3, en ciertos casos resultó que el Caso I tuvo menor tiempo que el Caso II,
por ello el mínimo valor de la reducción llega a ser un número negativo.
5.2.2.2 Tamaño m=3, n=6 (2m=n)
De manera análoga, en esta parte se presentan los resultados obtenidos para el
caso en que el número de restricciones es el doble que el número de variables. Los
resultados de las pruebas de hipótesis se presentan en la Tabla 29.
90
Tabla 29. Resultados de la prueba de hipótesis para experimentos 5 y 6
No de
experimento
¿Se rechaza
Ho al 95%?
¿Se rechaza
Ho al 90%?
p-valor
5
6
No
Sí
No
Sí
0,741
0,0109
Los resultados de la Tabla 29 indican que no hay evidencias suficientes para decir
que el tiempo promedio del algoritmo CASO I es significativamente diferente al tiempo
promedio con el CASO II cuando (n=2m) cuando los coeficientes se distribuyen
exponencial. Esta afirmación cambia para el caso de coeficientes gamma, donde sí existe
evidencia significativa entre el promedio de ambos métodos. En la Tabla 30, se muestran
los estadísticos básicos para los experimentos 5 y 6. Luego, para tener una mejor idea de
la eficiencia del Caso I y II para coeficientes gamma, en la Tabla 31 se muestran los
estadísticos de la diferencia en tiempo entre ambos métodos.
Tabla 30. Resultados del tiempo computacional para experimentos 5 y 6
Distribución
Estadístico
µ
σ
5
Exponencial
min
max
Mediana
µ
σ
6
Gamma
min
max
Mediana
Tiempo con
Caso II (seg)
37,2
25,1
1,2
124,5
31,1
205,0
156,5
2,1
844,5
172,7
Tiempo con
Caso I (seg)
37,9
23,2
2,5
118,3
33,6
264,1
202,0
7,8
1120,7
211,6
Tabla 31. Resultados de la reducción del tiempo computacional Caso I en comparación con el Caso II
(m=n) para distribuciones exponenciales y gamma.
No. Distribución
6
Gamma
Estadístico
Reducción
del tiempo
Histograma de la diferencia tiempo Caso I y tiempo
Caso II
µ
22,6%
40
σ
7,4%
30
min
4,7%
20
max
49,4%
10
Mediana
22,6%
10
20
30
40
50
91
Finalmente, con los resultados obtenidos, se presenta la siguiente recomendación
a la hora de resolver un problema con las mismas condiciones que las estudiadas
anteriormente:
Tabla 32. Método de resolución recomendado según el tamaño del problema
Distribución
Exponencial
Gamma
3x3 ( m = n)
Caso II
Caso II
6x3 (2m = n)
Indiferente
Caso II
5.3 Análisis de los resultados
En los experimentos 3, 4 y 6, hay evidencias estadísticas para decir que el tiempo
de la herramienta Caso I es significativamente diferente del tiempo para el Caso II.
Observando el valor de las Medias, se nota que los tiempos para el Caso II son
ligeramente menor que los del Caso I.
El algoritmo del Caso II itera sobre todas las posibles combinaciones de ( m + n )
en m, y en cada una requiere el cálculo de la inversa de la matriz B, para hallar el criterio
de optimalidad. En cambio, la transformación del Caso I no requiere el cálculo de la
inversa porque el paquete “Vertex Enummeration” permite encontrar las bases factibles
del problema lineal. En este caso (tamaño mxn = 3 x3 ), el número posible de
combinaciones básicas es C36 = 20 . Lo que quiere decir que, en el Caso II, el algoritmo
deberá calcular la inversa de 20 matrices 3x3 para hallar aquellas bases que satisfacen el
criterio de optimalidad, a diferencia del Caso I, donde el número promedio de bases
factibles es 5 y en el cual no se requiere el cálculo de la inversa. Si a pesar de las
ineficiencias del Caso II, éste resulta un poco más rápido que el I para resolver el
problema, esto sugiere que de alguna manera la transformación para el Caso II produce
una mejor simplificación de las regiones de integración, lo que se refleja en una mayor
ventaja sobre el Caso I.
Esto explicaría porqué en un problema de mayor tamaño resulta indiferente
resolver el problema por el Caso I ó II (para el caso de distribuciones exponenciales). La
hipótesis planteada es la siguiente:
92
Considere el caso del experimento 5, donde mxn = 6 x3 . El número posible de
combinaciones básicas es C39 = 84 . Esto quiere decir que el aumento en el esfuerzo
computacional por el cálculo de la inversa de 84 matrices para el Caso II, hace que los
tiempos de ambos métodos se igualen. Con esto, se esperaría que para tamaños mayores
(donde el número de combinaciones va creciendo de manera exponencial), el Caso I
resulte más eficiente en la resolución del problema.
5.3.1 Influencia de los parámetros en el tiempo del algoritmo
Los resultados del experimento 7, relacionados con la influencia del parámetro λ
en el tiempo de la herramienta, se muestran en la Tabla 33.
Tabla 33. Resultados de la prueba de hipótesis para experimento 9
No de
experimento
¿Se rechaza
Ho al 95%?
p-valor
9
Sí
0,9 E-4
Con estos resultados hay evidencias para decir que el cambio del parámetro λ en
la distribución exponencial, afecta el tiempo de cómputo del algoritmo. Para medir el
efecto de cambiar el parámetro α en la distribución gamma, no se realizaron pruebas de
hipótesis. A simple vista, se observa que el tiempo crece a medida que se aumenta el
valor del parámetro, así como se muestra en la Tabla 34.
Tabla 34. Resultados del tiempo computacional para experimento 10
Valor del parámetro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
α
Tiempo de la herramienta (seg)
19
72
116
304
592
1.127
1.976
2.259
3.333
5.255
7.915
93
Capítulo 6
Conclusiones y Recomendaciones
En el presente proyecto se desarrolló una herramienta computacional que incluye
algoritmos de Bereanu (1963) y Ewbank et al (1974) para encontrar la forma cerrada de
la distribución del óptimo de la función objetivo, cuando se tiene un Problema de
Programación Lineal en el cual el vector de costos o el vector de recursos son vectores
aleatorios con distribución de probabilidad conjunta conocida.
A pesar de que en esta investigación se realizó la contabilización del tiempo, es
importante destacar que estos resultados deben ser tomados sólo como referencia de la
complejidad del problema, pues el tiempo de la herramienta está estrechamente
relacionado a la eficiencia del código de programación utilizado. Por ello se resalta que el
objetivo de la herramienta desarrollada no es encontrar la mayor eficiencia
computacional, sino mostrar que efectivamente se puede hallar la solución en forma
cerrada del problema de Distribución de PLE, cuando se tienen más de dos parámetros
aleatorios.
Gracias al avance de la tecnología y al desarrollo la presente tesis de grado, es la
primera vez (a conocimiento del autor) que se obtienen resultados de forma cerrada para
un problema con más de dos parámetros aleatorios. Dentro de la bibliografía consultada,
no se encontró ningún trabajo que incluyera la cantidad de parámetros aleatorios
abarcados en este proyecto y haya obtenido la solución en forma cerrada. Aunque el
máximo número de variables tratadas en este proyecto fue de nueve (9) para el caso de
las distribuciones exponenciales y seis (6) para el caso de gammas y uniformes, este
número puede aumentar si se implementa la herramienta en procesadores más veloces.
La implementación de la transformación Ewbank et al (1974) resultó ser muy
efectiva en la disminución del tiempo computacional para el caso de problemas de
tamaño m = n = 3 , ya que para el caso de exponenciales, el promedio de reducción del
tiempo luego de la aplicación de la transformación fue del 84%, y para el caso de
distribuciones gamma, la reducción fue del 76%. Con esto se destaca que si no se hubiese
94
implementado la transformación, muy probablemente no se hubiese podido llegar hasta el
máximo número de variables anteriormente descrito.
A pesar de que esta transformación fue introducida hace más de 30 años, no
existe ningún trabajo (en la bibliografía consultada) que compare de manera empírica la
efectividad de la transformación en disminuir la complejidad del problema. Este proyecto
es uno de los primeros intentos en este área y, de hecho, se muestran ejemplos de que la
transformación puede llegar a ser muy efectiva en la disminución del tiempo
computacional. Adicionalmente, uno de los inconvenientes en la aplicación de esta
transformación era la dificultad de utilizar distribuciones uniformes. Con esta
herramienta desarrollada, se pudo implementar la transformación para distribuciones
uniformes de una manera satisfactoria. Estos resultados son muy alentadores pues
sugieren que la transformación podría resultar igual de efectiva en otros casos no
considerados en este proyecto, ni estudiados anteriormente.
A través del estudio empírico se obtuvo que cuando se tiene un problema 3x3, con
distribuciones gamma o exponencial, es más conveniente la resolución a través del Caso
II. Por otra parte, cuando se tiene un problema con 3 coeficientes aleatorios de 6
restricciones y 3 variables, resulta indiferente resolverlo por cualquier método. Esto
pareciera indicar que la transformación aplicada al Caso II es más eficiente que la
transformación del Caso I en la simplificación de las regiones de integración, pero la
manera como se implementa el algoritmo de la modalidad del Caso II, hace que quizás
este método no será el más adecuado para tamaños mayores del problema. Para
dimensiones mayores se espera que el caso más conveniente de resolución sea el Caso I.
Una de las hipótesis que se plantea luego de observar los resultados es que, si de
alguna manera se desarrollara un paquete análogo al “VertexEnummeration”, pero en este
caso calculara los vértices que cumplan el criterio de optimalidad, podría ser que la
Transformación Caso II fuera la más conveniente para resolver cualquier tamaño del
problema. Por ello, es recomendable extender el estudio y dar una conclusión más precisa
acerca del comportamiento de las modalidades según el número de variables y
restricciones involucradas.
95
Una de las grandes ventajas de la herramienta desarrollada es la facilidad para
implementarse en procesadores en paralelo, ya que la solución de cada una de las bases
factibles es independiente de las demás y la solución final es simplemente la suma de
todas ellas. Este procedimiento podría ser estudiado si se tiene la necesidad de obtener la
solución para un número mayor de variables, en un tiempo menor. Esta misma necesidad
también puede llevar al uso de procesadores más poderosos que permitan obtener la
solución en menor tiempo.
Mediante dos ejemplos sencillos en los cuales se comparó la solución del
problema de distribución en forma cerrada con una solución aproximada, se mostró que
la “medida” de la diferencia entre la solución teórica y la aproximada puede variar según
las condiciones del problema. Por ejemplo, el supremo de la diferencias entre la solución
teórica y la aproximada fue de 0,02 para el caso de coeficientes gamma, mientras que
para el caso de coeficientes uniformes (mediante el mismo método) el supremo resultó
0,21, es decir, notablemente mayor. Por esta razón, no se debe asumir que un método es
de “buena calidad” sin antes hacer un estudio del error involucrado, tomando en cuenta
las condiciones particulares del problema.
Aquí, una vez más se destaca la importancia de contar con una herramienta, como
la desarrollada en el presente proyecto, que permita medir el error incurrido al resolver el
problema con un método de aproximación. A pesar de que no se desarrollaron
metodologías para evaluar la calidad de la solución, brindar la herramienta de
comparación es un primer paso en este análisis.
Hasta los momentos se han identificado las nuevas posibilidades para la solución
del problema de distribución en forma cerrada. A continuación, se exponen las
principales limitaciones que se visualizaron a lo largo del proyecto.
En primer lugar, la limitación más evidente es que el tiempo computacional de la
herramienta crece de manera exponencial a medida que se va aumentando el tamaño del
problema. A pesar de que se puedan utilizar computadoras más veloces y se pueda
implementar la herramienta en procesadores en paralelo, la solución en forma cerrada
seguirá siendo un problema de alta complejidad.
96
Adicionalmente, hay muchos parámetros que influyen sobre el tiempo
computacional de la herramienta (el orden de magnitud de los coeficientes de la matriz
tecnológica del problema, la distribución y el valor de los respectivos parámetros para
modelar los coeficientes aleatorios, el número de bases factibles, entre otros), lo que hace
que sea un poco difícil estimar, de manera directa, el tiempo esperado de resolución para
un problema determinado. En tal caso, haría falta estudiar el impacto de todos estos
factores en el tiempo de la herramienta y tener una mejor idea de su posible
comportamiento para otros casos no estudiados en este trabajo.
Dirección para futuras investigaciones
La herramienta desarrollada en este proyecto no contempla los casos en los cuales
ambos vectores, c y b, son simultáneamente vectores aleatorios. Esta condición ofrece un
área de futura investigación y una posible extensión de este trabajo.
Otra posibilidad es extender el estudio empírico y evaluar de manera más precisa
el impacto que tienen los parámetros de la distribución en la tiempo de la herramienta, así
como el estudio de la eficiencia del Caso I y Caso II para tamaños mayores del problema.
De la misma forma, sería interesante la utilización de otras distribuciones de probabilidad
como, por ejemplo, Weibull, Beta, entre otras, así como el análisis para variables
aleatorias dependientes.
Un gran aporte para incrementar las posibilidades de resolución en forma cerrada,
que involucra a expertos en el área de la computación, sería la evaluación y mejora de la
eficiencia del código en requerimientos de tiempo y espacio de almacenamiento.
También resulta conveniente el desarrollo de una metodología para determinar la
calidad de cualquier método de aproximación a través de la forma cerrada. Asimismo,
para cualquier método de aproximación, se podría estudiar la rapidez de convergencia de
la solución aproximada a la solución teórica y medir el número de réplicas necesarias
para obtener cierta calidad deseada.
Finalmente, la dirección de futuros proyectos, quizás más aplicables en el área de
Ingeniería de Producción, es el estudio del impacto que tiene el error de la aproximación
de la función de distribución en la toma de decisiones.
97
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103
Apéndice A.
Código de la herramienta en Mathematica 5.2 ®
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
Apéndice B.
Ejemplos numéricos
Ejemplos numéricos
Tabla 35. Ejemplos numéricos Caso I. Uniformes (0, 8) iid.
No.
1
A
ij 50 15 29 yz
jj
z
jj 50 14 4 zzz
j
z
k 21 49 13 {
b
853, 63, 41<
No.
Bases
óptimas
6
CDF
Ø
1
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
- 66853184+12171728 f- 375769 f2
≤
≤
≤
≤
31712000
≤
≤
≤
≤
≤
≤
435 f2
1186777
≤
≤
+
≤
≤
≤
1666862
359552
≤
≤
≤
≤
≤
≤ 125
613 f
28125 f2
+
∞
≤
991
7928
178158016
≤
≤
≤
≤
≤
≤
2207873734650624000
- 610797804107106624 f+328026901600578480 f2 - 15229052228956825 f3
≤
≤
≤
≤
14880908180463212544
≤
≤
≤
≤
≤
≤
35711423744000
31675242026304
f+
9352488870480 f2 -36481011525 f3
≤
≤
≤
≤
≤
898309773539328
≤
≤
≤
≤
≤
3
≤
13559216461
f
≤
± 15760514637312
1
0.8
0.6
Gráfico
CDF
0.4
0.2
5
10
15
20
f ¥ 9928
613
424
29
< f < 9928
fã
424
29
3336
305
§ f < 424
613
29
212
25
<f<
328
49
< f § 212
0<f §
3336
305
25
328
49
114
Distribución bi
Exp
( λ = 1)
iid
Tabla 36. Ejemplos numéricos Caso II: b estocástico
No.
Bases
C
factibles
A
i 25
j
j
j
1
j
j
j
j
38
j
j
j
j
36
j
j
j
j
10
j
j
j
j
j
j 26
k 29
12
43
22
21
57
69
18
70
40
24
8
31
32
36
29
21
69
2
53
20
70
62
48
33
5
22
54
39
47
26
25
60
44
8
48
55 y
z
z
23 z
z
z
z
16 z
z
z
z
44 z
z
z
z
6 z
z
z
z
64 z
z
z
58 {
Tamaño: 7x7
Exp
( λ = 1)
iid
21
i
j
j
j
3
j
j
j
j
30
j
j
j
j
15
j
j
j
j
j 20
j
j
j
35
j
j
j
j
j 50
j
j
j
62
j
j
k 28
46
52
42
67
51
19
8
42
42
58
8
42
11
50
56
54
35
51
64
38
13
17
2
65
23
68
10
38
18
29
65
25
70
24
67
67
29
41
36
70
41
41
16
23
5
Tamaño 9x9
Gamma
(α = 2,
β = 1)
8
i
j
j
j
j 12
j
k 10
7 12 y
z
z
3 20 z
z
z
8 2 {
Tamaño 3x3
16
7
14
49
17
13
16
42
61
21
13
60
6
62
2
29
5
4
54 y
z
z
56 z
z
z
z
13 z
z
z
z
29 z
z
z
z
43 z
z
z
z
27 z
z
z
z
64 z
z
z
z
64 z
z
z
63 {
32 y
i
j
z
j
j
z
55 z
j
j z
z
j
z
j
z
51
j
j z
z
j
z
j
40
j z
z
j
z
j
z
j
j 76 z
z
j
z
j
z
j
z
j
j 42 z
z
k 77 {
68 y
i
j
z
j
j
z
57 z
j
j z
z
j
z
j
63
j z
z
j
z
j
z
j
j 58 z
z
j
z
j
j
z
32 z
j
z
j
z
j
z
j
z
64
j
z
j
z
j
j
z
62 z
j
j z
z
j
z
j
71
j z
z
j
z
k 35 {
21 y
i
j
z
j
z
j
z
j
j 42 z
z
39
k {
CDF
279606329816137 −33 φê5 831261638483 −43 φê7
+
+
3706048191339648
11723417536896
176819726157223 −165 φê32 33104263047 −241 φê51 1006308772933 −22 φê5
+
+
+
881225572296069
1076131111048
2785360529952
994493743074095905184 −263 φê76 8966378504460313 −38 φê11
−
3548421284862197205
31812378118560
1−
139
1341254452151 −123 φê19 997664683672039 −150 φê29
+
−
71025126754230
7315626895815168
7645003870664 −151 φê32 108261361807 −66 φê17
−
+
26418068059185
6179070720
75008285751368455 −235 φê62 118652752499988954431 −202 φê71
−
3503976745070214
24969878994535073280
1+
229
38 −34 φê39 H− 5529736953 − 1278443595 φ + 52877968 φ2 + 25768160 φ3L
−
385319832183
−3 φê7 H15629133492 + 18707049900 φ + 2805472483 φ2 + 102428436 φ3L
34375369644
1+
5
115
Apéndice C.
Resultados de la simulación
1) Coeficientes de b~Gamma iid
116
2) Coeficientes de b~Uniformes iid