universidad de san carlos de guatemala

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA
CLAVE DE EXAMEN
CURSO:
Matemática Básica 1
SEMESTRE:
Primero
CODIGO DEL CURSO:
101
TIPO DE EXAMEN:
Primer Parcial
FECHA DE EXAMEN:
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIO EL EXAMEN:
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
DIGITALIZÒ EL EXAMEN:
C. Chapas
Keith Leslie Mira
Carne 200780035
Universidad de San Carlos
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática Básica 1
Primer Examen Parcial
Temario H
Tema 1
Considere las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5, 𝑔(𝑥) = 6 − 𝑥 y 𝑕 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5. A partir de
ellas obtenga:
a.) Dominio y rango de 𝑓 + 𝑔 (𝑥)
c.)
𝑓 ∘ 𝑕 (𝑥)
b.) 𝑕−1 (𝑥)
d.) Las soluciones de la ecuación 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 1
Tema 2
La efectividad E de un anuncio publicitario es igual a tres veces el producto de personas que lo han
visto por las que no dividido 500. Si x denota el numero de personas que lo han visto en una
población de 100personas, halle a.) Una función para la efectividad del anuncio en términos de x,
b.) El dominio físico de la función y c.) El numero de personas que deben ver el anuncio para que la
efectividad sea máxima.
Tema 5
La siguiente Figura, exhibe la gráfica de una función f. A partir de ella y explicando su
razonamiento, trace la gráfica de las siguientes funciones:
a.) 𝑓(𝑥 − 1)
b.) 𝑓(2𝑥)
c.) 2𝑓(𝑥)
d.) −𝑓 𝑥 + 4
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
Tema 1 (20 pts.)
Considere las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5, 𝑔(𝑥) = 6 − 𝑥 y 𝑕 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5. A partir de
ellas obtenga:
b.) Dominio y rango de 𝑓 + 𝑔 (𝑥)
c.)
𝑓 ∘ 𝑕 (𝑥)
b.) 𝑕−1 (𝑥)
d .) Las soluciones de la ecuación
𝑓∘𝑔 𝑥 =1
SOLUCION
a.) Dominio y rango de
El dominio será la intersección del los dominios de las dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥).
Dominio de 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5
Domino de 𝑔(𝑥) = 6 − 𝑥
𝑥 ≥ 5 ( la raíz de un numero negativo no existe)
6 − 𝑥 ≥ 0 ( la raíz de un numero negativo no existe)
6 −𝑥 ≥ −6(sumarle -6 a ambos lados de la inecuación)
𝑥 − 4 + 1 ≤ 6(Multiplicar ambos lados por -1 y cambiar la
dirección del signo de la inecuación)
Entonces el dominio de 𝑓 + 𝑔 (𝑥) es 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 ó [5,6]
El rango de 𝑓 + 𝑔 (𝑥) es [1,1.4]
b.) 𝑕−1 (𝑥)
𝑕 𝑥 = 𝑦( usar y para representar h(x))
Resolver la ecuación para x
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 5 − 1
𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 4
𝑦−4+1 = 𝑥
Intercambiar x y y ………..𝑦 = 𝑥 − 4 + 1
𝑕−1 𝑥 = 𝑥 − 4 + 1
c.) 𝑓 ∘ 𝑕 (𝑥)
d.) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 1
𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑓(𝑕 𝑥 )
𝑔 𝑥 = 6−𝑥
𝑕 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
Sustituir 𝑕 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 en la función
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
de 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5
𝑓∘𝑔 𝑥 =
6−𝑥 −5
𝑥 2 − 2𝑥 + 5 − 5
𝑓 𝑕 𝑥
=
𝑓 𝑕 𝑥
= 𝑥 2 − 2𝑥
𝑓 𝑕 𝑥
= 𝑥 2 − 2𝑥
Sustituir
6 − 𝑥 − 5 en 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 1
6−𝑥 −5 =1
2
= (1)2
6−𝑥 −5
6−𝑥−5=1
6−𝑥
2
=6
6 − 𝑥 = 36
𝑥 = 30
Tema 2
La efectividad E de un anuncio publicitario es igual a tres veces el producto de personas que lo han
visto por las que no dividido 500. Si x denota el numero de personas que lo han visto en una
población de 100personas, halle a.) Una función para la efectividad del anuncio en términos de x,
b.) El dominio físico de la función y c.) El numero de personas que deben ver el anuncio para que la
efectividad sea máxima.
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 100 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑕𝑎𝑛 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜
100 − 𝑥 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 100 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑕𝑎𝑛 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜
a.) 𝐸
𝑥 =
(3 𝑥 100−𝑥 )
500
𝐸 𝑥 =
3
500(100𝑥−𝑥 2 )
𝐸 𝑥 =−
𝐸 𝑥 =−
3
3
500
3
𝑥2 + 𝑥
5
3
500
𝑥2 + 𝑥
5
b.) Dominio físico de E(x)
El dominio es los números que no hagan E(x) negativo
el dominio es [0, 10]
C.) El numero de personas que deben ver el anuncio para que la efectividad sea máxima.
−𝑏
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑓
𝑓
2𝑎
3
5
3
−500
−
2
𝐸 50 = −
=
3
500
3
5
6
50
−
𝑓
(50)2 +
3
5
50
=
𝑓(50)
= 15
El número de personas que deben ver el anuncio es 50 para tener una efectividad máxima
de 15
Tema 5
La siguiente Figura, exhibe la gráfica de una función f. A partir de ella y explicando su
razonamiento, trace la gráfica de las siguientes funciones:
a.)
b.)
c.)
d.)
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
6
5
4
Se desplaza 1 unidad a la derecha en el eje x
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
6
5
Se comprime horizontalmente en x por el
factor de 1/2
4
3
2
1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
c.)
12
10
8
6
Se alarga verticalmente por 2 unidades
4
2
-1
1
2
3
4
5
6
d.)
4
3
Se refleja en el eje x y sube 4 unidades en el
eje y
2
1
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6