Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula. ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010 “IANNIS XENAKIS: MÚSICA Y MATEMÁTICAS” AUTORIA JUAN FRANCISCO PÉREZ FUENTES TEMÁTICA INTERDIPLINARIEDAD ETAPA ESO Resumen LA RELACIÓN ENTRE MÚSICA Y MATEMÁTICAS HA PERMANECIDO DURANTE SIGLOS EN LA HISTORIA DE LA MÚSICA. EL MEJOR EJEMPLO DE LA MÚSICA DEL SIGLO XX ES XENAKIS, QUE SE FORMÓ COMO MATEMÁTICO Y COMO ARQUITECTO, ADEMÁS DE CÓMO MÚSICO; LO CUAL REPERCUTE DECISIVAMENTE EN SU FORMA DE HACER MÚSICA CONTINUAMENTE RECURRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA COMPOSICIÓN DE SUS OBRAS. Palabras clave Interdisciplinariedad, matemáticas, música, Xenakis, percusión. Texto: INTRODUCCIÓN. “La concepción clásica de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la Edad Media y no fue hasta el siglo XII cuando se creó una nueva división de las ciencias, 1 llamada escolástica divina, que no la incluía específicamente.” Los términos “música” y “matemáticas” proceden de los vocablos griegos musiké, “de las musas”, y mathema, que significa “aquello que se aprende”. Fue Pitágoras quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y de placer, podía ser medida por medio de razones de números enteros. Descubrió que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído. Números y belleza eran uno. En el siglo XII, compositores e intérpretes al querer separarse de la tradición pitagórica crearon nuevos estilos y tipos de música. Los experimentos de afinación derivaron en un cambio de la afinación pitagórica a la llamada afinación justa. Las nuevas afinaciones seguían utilizando las matemáticas para calcular los intervalos, pero no necesariamente 1 GARCÍA, Mario y RÍOS, Rafael. Entre las matemáticas y la música. Valencia, Anuario de la Universidad de Valencia, 2004. C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA revistadigital@didacta21.com Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula. ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010 seguían los principios pitagóricos. Este cambio de actitud causó desacuerdo entre los matemáticos, quienes querían una adherencia estricta a sus fórmulas. La escala temperada se desarrolló para resolver problemas de afinación y llevó a una música en la que se podía modular de una tonalidad a otra sin tener que cambiar la afinación de los instrumentos. El temperamento es la forma musical de mantener series dentro de un espacio definido. La transición de la afinación pitagórica a la temperada tomó siglos, y ocurrió de una manera paralela al cambio en la relación entre música y matemáticas. Pero la acústica no es el único nexo entre música y matemáticas. A lo largo de la historia de la música encontramos numerosos ejemplos de la relación entre los números y la composición musical. Friedrich Smend introdujo en la musicología el alfabeto numérico. Smend y Martin Jansen pasaron muchos años tratando de descubrir los significados de los números que se repiten en las obras de J. S. Bach. Partieron de la premisa que cada relación numérica en la partitura fuera colocada allí conscientemente por el compositor y por lo tanto podría ser considerada como un símbolo. La ausencia de pruebas históricas sobre el empleo de números en la composición parece extraordinaria en vista de la cantidad de escritos sobre Bach y el simbolismo de número. Una serie de técnicas con números basadas en el trabajo de Smend se han ido desarrollando y han sido aceptadas a fuerza de repetirlas. Uno de los muchos ejemplos en que la música de Bach puede estar más relacionada con las matemáticas puede ser la coral del final de Kunst der Fuge (El Arte de la Fuga) de Johann Sebastian Bach. En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza musical “autosemejante” que es una característica de la geometría fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX que sería usado por algunos de los compositores más importantes de dicho siglo, entre los que destacan Messiaen; el principal maestro de Xenakis que, por su formación en ambos campos, sería el paradigma de la unión entre la música y las matemáticas “Aunque la música ya no es una disciplina estrictamente matemática, las matemáticas son 2 inherentes a la música y continuarán influyendo en la evolución de la teoría musical” IANNIS XENAKIS. Es uno de los compositores más innovadores de la música del siglo XX. Nació en Braila (Rumania) el 29 de mayo de 1922 aunque es de origen griego. Se nacionalizó francés viviendo gran parte de su vida en París, donde murió el 4 de febrero del 2001. 3 Comenzó a componer a los 17 ó 18 años y “siempre fui músico antes que ingeniero” su primera obra (fuera de catálogo) aplicando la matemática fue Anastenaria (1952-1953). Aunque parezca extraño, las primeras composiciones de Xenakis eran para orquesta, un medio que le permitió comprender el concepto de masas sonoras. Al principio prefirió la escritura para cuerdas debido a la abundancia de colores sonoros y la capacidad de moverse entre alturas. Fue uno de los pocos compositores de su época no interesado en el serialismo, prefirió la formalización, es decir el uso de un modelo como base de una composición. Contrario también a los movimientos vanguardistas americanos cuya cabeza más visible era John Cage, Xenakis se negaba a anular el papel del compositor como principal elemento del proceso creador, fruto de ello surgieron una serie de complejas partituras de innegables capacidades comunicativas, como Achorripsis (1956-1957). La dimensión de espacio físico adquiere gran importancia en las obras de Xenakis. Por ejemplo, en Pithoprakta (1955-6) en el cual la conclusión a unísono está distribuida por toda la sección de cuerda en armónicos muy agudos. Los sonidos de los metales son tratados de un modo muy similar en Eonta (1963-4), mientras que en Terretektorh y Nomos Gamma el público se sitúa entre los miembros de la orquesta que están dispersos por todo el espacio interpretativo. Sin 2 3 IBAIBARRIAGA, Iñigo. Música y Matemáticas. De Schoenberg a Xenakis. Bilbao, Kuraia, 2004. PARASKEVAÍDIS, Graciela. Presencia de Xenakis. Pauta, Ciudad de México, 1 – 6 – 2001, pp. 77. C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA revistadigital@didacta21.com Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula. ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010 embargo, Xenakis llegó a la conclusión de que el mejor modo de controlar la dimensión espacial estaba en el empleo de altavoces, como sucede con los varios cientos usados en Pabellón Philips. Aunque la música de Xenakis sea a menudo sumamente complicada en los detalles, esos detalles están al servicio del todo. La forma nunca surge del desarrollo de células temáticas, es la yuxtaposición parecida a un collage o la superposición de segmentos las que nos muestran fuertes conexiones internas. Las dimensiones de las partes y, la creación y relajación de la tensión en las obras son determinadas con gran instinto para la dramaturgia musical. Como arquitecto trabajó con Le Corbusier durante 12 años (1948-1959), período en el que destaca su colaboración en el diseñó del Pabellón Philips para la Exposición Internacional de Bruselas de 1958. En París, en 1966, fundó en París el Centro de Estudios Matemática y Música (CEMAMU), dando clases allí y en la Universidad de Indiana, donde fundó un centro similar. Diseñó el UPIC (Unidad Poliagógica de Información del CEMAMU), en el que se puede dibujar sobre una pantalla cualquier trazo, y la máquina lo transforma en música. Xenakis consideró este aparato como un útil campo para trasladar sus planos arquitectónicos a la música. La computadora nos permite la posibilidad de ir a la unidad mínima que produce el sonido, posibilidad que no tenía la música instrumental tradicional. Se pueden controlar tanto los encadenamientos sonoros como las orquestaciones, pero la informática es sólo una herramienta. Xenakis entiende que no hay ruptura entre el pensamiento tradicional y los aspectos modernos de la música contemporánea. La supuesta liberación de las funciones tonales alcanzada por el dodecafonismo y la música serial es más bien relativa. Educado en el campo de la ingeniería y la matemática, pasó a interesarse por acoplar ciertos tipos de cálculos matemáticos a diseños visuales para sus proyectos arquitectónicos. Atraído por las fuertes analogías existentes entre la música y la arquitectura, a las que vio como realizaciones concretas de cálculos matemáticos abstractos, comenzó a interesarse cada vez más por las cuestiones de estructura musical. XENAKIS. MÚSICA Y MATEMÁTICAS. “La música es una matriz de ideas, de acciones energéticas, de procesos mentales, reflejos a su vez de la realidad física que nos ha creado [...]. Expresión de las visiones del universo, de sus ondas, de sus árboles, de sus hombres, de la misma manera que las teorías fundamentales de la física teórica, de la 4 lógica abstracta, del álgebra moderna...” La serie de Fibonacci, la sección áurea o los alfabetos numéricos han constituido algunos de los ejemplos más comunes de la aplicación de las matemáticas a la música. Pero no se queda ahí el matrimonio que forman música y matemáticas ya que desde principios del siglo XX se han venido desarrollando otras muchas técnicas en este sentido: la probabilidad, la variabilidad o la estadística son conceptos matemáticos que han encontrado cabida en la composición musical. Sin olvidar que la música está compuesta de sonidos que podemos analizar con conceptos físicos y matemáticas gracias a la acústica. Xenakis comenzó a aplicar a la música teorías de probabilidad matemática, especialmente la “ley de los grandes números” (formulada en el siglo XVIII por el matemático suizo Jacques Bernoulli). En términos sencillos, esta ley establece que cuanto más aumente el número de ocasiones en que se produzca un hecho casual más posibilidades hay que el resultado se encamine hacia un fin determinado. Propuso el uso de una media estadística de momentos aislados y de transformaciones sonoras en un momento dado. El efecto macroscópico podría ser controlado por la media de los movimientos de los elementos seleccionados. El resultado es la introducción de la noción de probabilidad que implica, en este caso particular, el cálculo combinatorio. Escapar de esta manera a la categoría lineal en el pensamiento musical. La rigurosidad matemática de la obra de Xenakis podría hacer pensar en resultados excesivamente intelectuales, pero la contundencia de sus composiciones genera un impacto emocional ligado a una extrema claridad armónica y estructural. 4 XENAKIS, Iannis. Música. Arquitectura, trad. por Anna Bofill. Barcelona, Antoni Bosch, 1982 [1ª ed.: Musique. Architecture. París, Casterman, 1976]. C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA revistadigital@didacta21.com Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula. ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-18 –MARZO DE 2010 Xenakis crea en 1954 una música basaba en el principio de indeterminismo, y que dos años más tarde llamó música estocástica. La música estocástica se caracteriza por masas de sonido, “nubes”, “galaxias”, donde el número de elementos es tan grande que la conducta de un elemento individual no puede ser determinada, pero sí la del todo. La palabra estocástico proviene del griego “tendencia hacia una meta”. Esto significa que la música es indeterminada en sus detalles, sin embargo tiende a una meta definida. Una de las obras más famosas de Xenakis es Metástasis (1954), su primera pieza estocástica, para orquesta de 61 músicos. Esta pieza está basada en el desplazamiento continuo de una línea recta. Tal modelo se representa en la música como un glissando continuo. Esta obra sirvió como modelo para la construcción del pabellón Philips que, junto con Le Corbusier, Xenakis diseñó para la exposición internacional de Bruselas de 1958. En relación con la aplicación de teorías probabilísticas, muchas de las piezas de Xenakis son, en sus propias palabras: “una forma de composición que no es el objeto en sí, sino una idea en sí, esto es, los comienzos de una familia de 5 6 composiciones” . En 1962 publicó Musiques Formelles , posteriormente revisada, expandida y publicada en inglés como Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition en 1971; una colección de ensayos sobre sus ideas musicales y técnicas compositivas, considerada una de las contribuciones más importantes a la teoría de la música del siglo XX. Se trata de un concepto filosófico y estético regido por las leyes de la teoría de las probabilidades y por las funciones matemáticas que formulan un nuevo dominio de coherencia. La música de Xenakis está construida sobre el lenguaje de las matemáticas. Aunque en sí misma no constituye un lenguaje, cada pieza musical es compleja que puede ser interpretada de mil maneras diferentes, sin que alguna de ellas sea la mejor o más verdadera. Algunos de los modelos matemáticos que el compositor utiliza en sus obras musicales así como en algunas de las arquitectónicas son: 1. Ley de Maxwell-Boltzmann (es una función estadística desarrollada para modelizar el comportamiento de sistemas físicos regidos por la mecánica clásica. Esta función estadística fue formulada por los físicos J.C. Maxwell y L. Boltzmann, rige la distribución de un conjunto de partículas en función de los posibles valores de energía) en Pithoprakta (1955-1956). 2. Restricciones o limitaciones mínimas en Achorripsis (1956-1957) 3. Distribución aleatoria de puntos en un plano en Diamorphoses (1957). 4. Cadenas de Markov (es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior) en Analogiques (1958-1959). 5. Distribución de Gauss (distribución probabilística que con más frecuencia aparece en fenómenos reales, también llamada distribución normal) en ST/10-1,080262 (1956-1962) y en Atreés (1956-1962). 6. La teoría de juegos (utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos, los llamados “juegos”, y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos) en Duel (1959) y en Stratégie (1962) 7. El álgebra booleana creada por George Boole (1815-1864). Una estructura algebraica definida para un conjunto de elementos junto con dos operadores que satisfacen ciertas propiedades en Herma (1961) y Eonta (1964). 8. La teoría de grupos, que estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos (sus clasificaciones, propiedades y aplicaciones) en Nomos Alpha (1966) Estos métodos matemáticos fueron introducidos por Xenakis a partir de 1955, otorgándole a la música un carácter determinado que puede sintetizarse en tres estados: 1. Música estocástica: basada en el en el cálculo de probabilidades. 2. Teoría del juego como estrategia musical. 3. Teoría del conjunto y de la lógica matemática como música simbólica. BIBLIOGRAFÍA. 5 6 XENAKIS, I. Musiques Formelles [Músicas formales]. París, 1963. XENAKIS, I. Musiques Formelles [Músicas formales]. París, 1963. C/Maestro Cebrián, 4 - Bajo 9. - Teléfono 958 10 72 90 - 18003- GRANADA ESPAÑA revistadigital@didacta21.com Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula. 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