Un Vistazo General a los Principios y Estándares para las
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Un Vistazo General a los Principios y Estándares
para las Matemáticas Escolares
Estándares para las Matemáticas Escolares
Los Estándares para las matemáticas escolares describen la
comprensión matemática, el conocimiento y las habilidades que
Traducción libre: Carlos Arturo Mora Ceballos
Profesor Titular
Universidad Tecnológica de Pereira
los estudiantes deben adquirir desde el prekinder hasta el grado
12. Cada Estándar consta de dos a cuatro metas específicas que
se aplican a través de todos los grados. Para los cinco
Estándares de Contenido, cada meta comprende hasta siete espectativas específicas para
las cuatro franjas de grados consideradas en los Principios y Estándares: prekinder a grado
2, grados 3-5, grados 6-8 y grados 9-12. Para cada uno de los cinco Estándares de
Procesos, las metas se describen a través de ejemplos que muestran como debería ser el
Estándar en una franja de grados y cual debería ser el rol del maestro para alcanzar el
Estándar. Aunque cada uno de estos Estándares se aplica a todos los grados, el énfasis
relativo en los Estándares particulares variará a través de las franjas.
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Los números permean todas las áreas de la matemática. Los otros cuatro Estándares de
Contenido así como los cinco Estándares de Procesos están fundamentados en el número.
El desarrollo del sentido numérico es central al Estándar de Números y Operaciones. Los
estudiantes con sentido numérico descomponen números, usan números particulares como
referentes, resuelven problemas usando relaciones entre operaciones y el conocimiento
acerca del sistema en base 10, estiman un resultado razonable para un problema y tienen
una disposición para dar sentido a los números, problemas y resultados. Por ejemplo, los
niños de los primeros grados pueden aprender que los números se pueden descomponer y
pensar de diferentes formas -- 24 es 2 decenas y 4 unidades y también dos docenas.
La fluidez computacional -- tener y usar métodos adecuados y eficientes para calcular -- es
esencial. Los estudiantes deben ser capaces de realizar cálculos de diferentes formas,
incluyendo cálculo mental, estimaciones, cálculos con lápiz y papel usando algoritmos
matemáticamente correctos. Todos los estudiantes deberían usar calculadoras en los
momentos apropiados, dejar la calculadora al lado cuando el foco instruccional está en el
desarrollo de algoritmos computacionales. La fluidez computacional se debe desarrollar en
tandem con la comprensión.
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El Algebra abarca las relaciones entre cantidades, el uso de símbolos, el modelado de
fenómenos y el estudio matemático del cambio.
La palabra álgebra no es común en las aulas de los primeros grados pero las
investigaciones matemáticas y las conversaciones de estudiantes de esos grados incluyen
con frecuencia elementos de razonamiento algebráico. Estas experiencias presentan
contextos ricos para avanzar la comprensión matemática y son un precursor importante del
estudio mas formalizado del álgebra en los grados superiores. Por ejemplo, cuando los
estudiantes de los grados 3 a 5 investigan propiedades de los números enteros, pueden
descubrir que pueden multiplicar 18 por 14 mentalmente calculando 18*10 y luego sumando
18*4, esto es, usando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en una
forma que contribuye a la comprensión algebráica.
Como los números, estos conceptos del álgebra están ligados a todas las áreas de la
matemática. Buena parte del álgebra se construye sobre la base de una amplia experiencia
de los estudiantes con números. El Algebra está también estrechamente ligada a la
Geometría y al Análisis de datos. Las ideas del Algebra constituyen una componente
principal del currículo de la matemática escolar y ayudan a unificarlo.
Una fundamentación fuerte en Algebra debería tenerse para el final del octavo grado y
todos los estudiantes de secundaria deberían perseguir metas ambiciosas en Algebra.
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La Geometría y el sentido espacial son componentes fundamentales del aprendizaje de la
matemática. Estos ofrecen formas de interpretar y reflexionar sobre nuestro ambiente físico
y pueden servir como herramientas para el estudio de otros tópicos en matemáticas y otras
ciencias.
La Geometría es un área natural de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento y
las habilidades de justificación de los estudiantes que se construyen a través de los
diferentes grados. Cuando el estudio de las relaciones entre formas se hace mas abstracto,
los estudiantes deben lograr un entendiminto del papel de las definiciones y teoremas y ser
capaces de construir sus propias demostraciones. Por ejemplo, los estudiantes de
bachillerato debe ser capaces de probar que el área de un triángulo determinado por
vértices que bisectan los lados de un triángulo mayor, es un cuarto del área de dicho
triángulo.
Los Principios y Estándares requieren que la Geometría sea aprendida usando modelos
concretos, dibujos y software dinámico. Con actividades y herramientas apropiadas y con
apoyo del profesor, los estudiantes deben formular y explorar conjeturas en Geometría y
razonar cuidadosamente acerca de ideas geométricas.
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El estudio de la medida es crucial en el currículo de matemáticas previo al grado 12 debido
a su practicalidad y a la penetración en muchos aspectos de la vida diaria. El estudio de la
medida ofrece también la oportunidad para aprender acerca de otras áreas de la
matemática, tales como operaciones numéricas, ideas geométricas, conceptos estadísticos
y la noción de función.
Medir es asignar un valor numérico a un atributo de un objeto, En los primeros grados los
estudiantes deben comparar y ordenar objetos usando expresiones tales como más largo o
más corto. Cuando avancen a través de los grados, la colección de los atributos medibles,
la comprensión de las relaciones entre atributos y la comprensión de la precisión en la
medición por parte de los estudiantes, debe expandirse. En los últimos grados, por ejemplo,
los estudiantes deben reconocer la necesidad de reportar un número apropiado de dígitos
significativos al calcular con medidas.
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Para razonar estadísticamente -- lo cual es esencial para ser un ciudadano, empleado y
consumidor informado -- los estudiantes necesitan aprender acerca del análisis de datos y
tópicos de Probabilidad relacionados.
La cantidad de información estadística disponible para ayudar en la toma de decisiones en
los negocios, la política, la investigación y la vida diaria es impresionante. Los sondeos de
consumidores guían el desarrollo y el mercadeo de productos. Los experimentos evaluan la
seguridad y la eficacia de nuevos tratamientos médicos. Las estadísticas hacen oscilar la
opinión pública sobre temas e indican (o distorsionan) la calidad y efectividad de productos
comerciales. A través de la experiencia con la recolección y el análisis de datos, los
estudiantes aprenden a interpretar este tipo de información.
Lo niños no desarrollarán un razonamiento estadístico si no es incluído en el currículo.
Trabajar en análisis de datos y en Probabilidad ofrece a los estudiantes una forma natural
de conectar la Matemática con otras asignaturas escolares y con experiencias cotidianas.
Por ejemplo, los estudiantes de los grados 9-12 debería entender los diversos propósitos de
las encuestas, estudios observacionales y experimentos.
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La resolución de problemas es una parte integral de todo aprendizaje en matemáticas. En
la vida diaria y en el lugar de trabajo el ser capaz de resolver problemas puede traer
grandes ventajas. Sin embargo, resolver problemas no es sólo una meta del aprendizaje de
las matemáticas sino uno de los principales medios para lograrlo. La resolución de
problemas no debería ser una parte aislada del currículo de matemáticas sino que debería
involucrar todos los Estándares de Contenido.
Resolver problemas significa involucrarse en una tarea para la cual no se conoce la
solución de antemano. Los buenos solucionadores de problemas tienen una "disposición
matemática": analizan las situaciones cuidadosamente en términos matemáticos y en forma
natural llegan a plantear problemas basados en las situaciones que observan. Por ejemplo,
un niño podría preguntarse: Qué tanto tiempo tomará el contar hasta un millón?
Buenos problemas dan al estudiante la oportunidad de solidificar y expandir su
conocimiento y estimular nuevos aprendizajes. La mayoría de los conceptos matemáticos
pueden ser introducidos a través de problemas basados en experiencias familiares que
provienen de la vida de los estudiantes o de contextos matemáticos. Por ejemplo,
estudiantes de los grados intermedios podrían investigar cual de las recetas para jugo de
frutas "sabe más a fruta", dadas varias cantidades de agua y de jugos. Cuando los
estudiantes intentan varias ideas, el profesor puede ayudarles a converger en el uso de
proporciones, logrando así una introducción significativa a un concepto dificil.
Los estudiantes necesitan desarrollar un rango de estrategias para resolver problemas,
tales como el uso de diagramas, la búsqueda de patrones o intentando con valores o casos
especiales. Estas estrategias necesitan atención instruccional si queremos que los
estudiantes las aprendan. Sin embargo, la exposición a las estrategias de resolución de
problemas debe estar inmersa a través del currículo. Los estudiantes también necesitan
aprender a monitorear y ajustar las estrategias usadas mientras resuelven un problema.
Los profesores juegan un papel importante en el desarrollo de la disposición de los
estudiantes para resolver problemas. Ellos deben seleccionar problemas que enganchen a
los estudiantes. Deben crear un ambiente que aliente a los estudiantes a explorar, a tomar
riesgos, compartir éxitos y fracasos y a cuestionarse unos a otros. En tales ambientes
propicios los estudiantes desarrollan la confianza necesaria para explorar problemas y la
habilidad para hacer ajustes en su estrategia de resolución de problemas.
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El razonamiento sistemático es un aspecto definitorio de las matemáticas. Explorar,
justificar y usar conjeturas son comunes a todas las áreas de contenido y, con diferentes
niveles de rigor, a todos los grados. A través del razonamiento los estudiantes aprenden
que la Matemática tiene sentido. El razonamiento y la demostración deben constituir parte
de las experiencias matemáticas desde el prekinder hasta el último grado.
Razonar matemáticamente es un hábito mental y, como todos los hábitos, se debe
desarrollar a través del uso consistente en muchos contextos y desde los primeros grados.
En todos los niveles los estudiantes razonan inductivamente a partir de patrones y casos
específicos. Por ejemplo, incluso un estudiante de primer grado puede usar una prueba
informal por contradicción para argumentar que 0 es un número par: " Si 0 fuera impar,
entonces 0 y 1 serían dos números consecutivos impares. Pero los números pares e
impares deben alternarse. Por tanto 0 debe ser par".
En forma creciente con respecto a los grados, los estudiantes deben aprender también a
hacer razonamientos deductivos efectivos, usando las verdades matemáticas que han
establecido en la clase. Al final de la escuela secundaria, los estudiantes deben ser
capaces de entender y producir algunas demostraciones matemáticas (deducciones
logicamente rigurosas de conclusiones a partir de hipótesis) y deberían apreciar el valor de
tales argumentos.
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Cuando a los estudiantes se les pide comunicar acerca de las matemáticas que están
estudiando (para justificar su razonamiento ante un compañero o para formular una
pregunta acerca de algo enigmático) ganan entendimiento acerca de su pensamiento. Para
comunicar su pensamiento a otros, los estudiantes reflexionan sobre su aprendizaje y
organizan y consolidan su pensamiento acerca de la Matemática.
Los estudiantes deben ser animados a incrementar su habilidad para expresarse clara y
coherentemente. Con los años, sus estilos de argumentación y diálogo deberían adherir
estrechamente a las convenciones establecidas y deberían volverse más alertas y
responsables ante su audiencia. La habilidad para escribir sobre matemáticas debe ser
particularmente cultivado a través de los grados.
Al trabajar en problemas con compañeros, los estudiantes tiene también oportunidades
para apreciar las perspectivas y los métodos de otros. Pueden aprender a entender y
evaluar el pensamiento de otros y a construir a partir de sus ideas. Por ejemplo, algunos
estudiantes al tratar de resolver algebráicamente el siguiente problema pueden tener
dificultades para establecer las ecuaciones:
Hay algunos conejos y algunas conejeras. Si cada conejo se guarda en cada conejera, un
conejo se queda sin conejera. Si se acomodan dos conejos por cada conejera, una
conejera se queda vacía. Cuántos conejos y cuántas conejeras hay?
Estos estudiantes podrían beneficiarse de la perspicacia de aquellos estudiantes que
resuelven el problema usando una representación visual. Los estudiantes necesitan
aprender a sopesar las virtudes y limitaciones de los diferentes enfoques, convirtiéndose así
en pensadores críticos acerca de las matemáticas.
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La Matemática es un campo de estudio integrado, a pesar de que a menudo se particiona
en tópicos separados. Los estudiantes desde prekinder hasta grado 12 deberían ver y
experimentar la rica interacción entre diferentes tópicos matemáticos, entre la Matemática y
otras ciencias y entre la Matemática y sus propios intereses. Ver la Matemática como un
todo ayuda tambén a los estudiantes a ver que la Matemática no es un conjunto de
habilidades aisladas y reglas arbitrarias.
Un énfasis en conecciones matemáticas ayuda a los estudiantes a reconocer como se
relacionan ideas en diferentes áreas. Los estudiantes deberían llegar a esperar y explotar
estas conecciones, usando conocimiento obtenido en un contexto para verificar conjeturas
en otro. Por ejemplo, estudiantes de primaria ligan su conocimiento acerca de la sustracción
de números enteros con la sustracción de decimales o de fracciones. Estudiantes de
Educación Media podrían recolectar y graficar datos para la circunferencia (C) y el diámetro
(d) de varios círculos. Podrían extender su conocimiento previo en álgebra y análisis de
datos para reconocer que los valores forman casi una línea recta, por tanto C/d está entre
3.1 y 3.2 ( una aproximación tosca a π).
La oportunidad de experimentar matemáticas en contexto es importante. Los estudiantes
deberían conectar los conceptos matemáticos a sus vidas diarias, así como a situaciones
provenientes de las ciencias, las ciencias sociales, medicina y el comercio. Por ejemplo,
algunos estudiantes de bachillerato trabajaron con una cadena de droguerías para
determinar dónde debería localizarse una nueva farmacia, en base a análisis de datos
demográficos y económicos. Los estudiantes deberían reconocer el valor de las
matemáticas al examinar asuntos personales y sociales.
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Las representaciones son necesarias para la comprensión de los estudiantes de los
conceptos y relaciones matemáticos. Las representaciones permiten a los estudiantes
comunicar enfoques matemáticos, argumentos y comprensión a sí mismos y a otros. Ellos
permiten a los estudiantes reconocer conecciones entre conceptos relacionados y aplicar la
Matemática a problemas realistas.
Para llegar a ser profundamente conocedores acerca de las fracciones, por ejemplo, los
estudiantes necesitan una variedad de representaciones para soportar su comprensión.
Necesitan entender diversas interpretaciones de las fracciones, tales como razón, división
indicada o fracción de un número. Necesitan entender otras representaciones comunes
para fracciones, tales como puntos sobre una recta.
Algunas formas de representación, tales como diagramas, gráficos y expresiones
simbólicas, han sido parte de las matemáticas escolares por mucho tiempo.
Desafortunadamente, estas y otras representaciones han sido enseñadas y aprendidas
como si fueran un fín en sí mismas. Este enfoque limita el poder y la utilidad de las
representaciones como herramientas para aprender y hacer matemáticas.
Es importante animar a los estudiantes para que representen sus ideas matemáticas en
formas significativas para ellos, aún si estas representaciones no son convencionales. Al
mismo tiempo, los estudiantes deben aprender las formas convencionales de
representación en formas que faciliten su aprendizaje de las matemáticas y la comunicación
con otros acerca de ideas matemáticas. La integración de la tecnología en la enseñanza de
la matemática incrementa aún más la necesidad para el estudiante de familiarizarse con
nuevas representaciones matemáticas.
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