ELECTROMETRIA TEMA 3: CIRCUITS DE CORRENT ALTERN SINUSOIDAL. Resposta d’elements R, L, C. En tots els casos s’ha considerat com a referència la tensió d’alimentació amb un angle inicial de 0º: V v = Vmax cosω t ⇒ V = V∠ 0º , on V = màx 2 1. CIRCUIT AMB RESISTÈNCIA PURA. v i La tensió i el corrent es troben en fase. En el domini del temps: v = Vmax cosω t t ⇒ i = I max cosω t En el domini de la freqüència: Z=R I= ; V V∠ 0 º = I∠ 0 º = R R∠ 0º ; S = V I* = V∠ 0 º⋅I∠ 0 º = S∠ 0 º = P 2. CIRCUIT AMB INDUCTÀNCIA PURA. v El corrent es troba retardat 90º respecte de la tensió. i En el domini del temps: v = Vmax cosω t ⇒ t i = I max cos(ω t − 90º ) -900 En el domini de la freqüència: Z = jX L = jω L ; I= V V∠ 0º = = I∠ − 90º jX L X L ∠ 90 º S = V I* = V∠ 0º⋅I∠90 º = S∠ 90º = jQL 1 3. CIRCUIT AMB CAPACITÀNCIA PURA. v El corrent es troba avançat 90º respecte de la tensió. i En el domini del temps: v = Vmax cosω t t ⇒ i = I max cos(ω t + 90º ) +90 0 En el domini de la freqüència: Z = − jX C = − j 1 ωC I= ; V V∠ 0 º = = I∠ 90º − jX C X C ∠ − 90 º S = V I* = V∠ 0º⋅I∠ − 90º = S∠ − 90 º = − jQC 4. CIRCUIT SÈRIE RL. v El corrent està retardat un angle ϕ respecte de la tensió. i En el domini del temps: t −ϕ v = Vmax cosω t ⇒ i = I max cos(ω t − ϕ ) En el domini de la freqüència: Z = R + jX L = Z∠ ϕ I= ; V V∠ 0º = = I∠ − ϕ Z Z∠ ϕ S = V I* = V∠0º⋅I∠ ϕ = S∠ ϕ = P + jQL 5. CIRCUIT SÈRIE RC. El corrent està avançat un angle ϕ respecte de la tensió. i v t En el domini del temps: v = Vmax cosω t +ϕ ⇒ i = I max cos(ω t + ϕ ) En el domini de la freqüència: 2 Z = R − jX C = R − j 1 = Z∠ − ϕ ωC ; I= V V∠ 0º = = I∠ ϕ Z Z∠ − ϕ S = V I* = V∠0º⋅I∠ − ϕ = S∠ − ϕ = P − jQC 6. CIRCUIT SÈRIE RLC. • Primer cas, XL > XC (caràcter inductiu): el corrent està retardat un angle ϕ respecte de la tensió. v i En el domini del temps: v = Vmax cosω t ⇒ i = I max cos(ω t − ϕ ) t −ϕ En el domini de la freqüència: Z = R + j ( X L − X C ) = Z∠ ϕ I= V V∠ 0º = = I∠ − ϕ Z Z∠ ϕ ; S = V I* = V∠0º⋅I∠ ϕ = S∠ ϕ = P + jQ • Segon cas, XC > XL (caràcter capacitiu): el corrent està avançat un angle ϕ respecte de la tensió. i En el domini del temps: v = Vmax cosω t ⇒ i = I max cos(ω t + ϕ ) v t +ϕ En el domini de la freqüència: Z = R + j ( X L − X C ) = Z∠ − ϕ I= V V∠ 0º = = I∠ ϕ Z Z∠ − ϕ ; S = V I* = V∠ 0º⋅I∠ − ϕ = S∠ − ϕ = P − jQ 3 Exemples: S’ha considerat com a referència la tensió d’alimentació amb un angle inicial de 0º: V = 100∠ 0 º V , f = 50 Hz. 1. Circuit amb resistència pura. R = 5 Ω. Z=R ; I= V 100∠0º = = 20∠0º A Z 5∠ 0 º S = V I* = 100∠0º ⋅20∠0º = 2000∠0º = 2000 + j 0 VA ⇒ P = 2000 W ; Q = 0 VAr. La tensió i el corrent es troben en fase. 2. Circuit amb inductància pura. L = 20 mH. Z = jX L = jω L = j ⋅2 ⋅π ⋅50 ⋅20 ⋅10 − 3 = 6,28 Ω ; I= V 100∠0º = = 15,91∠ − 90º A Z 6,28∠90º S = V I* = 100∠0º ⋅15,91∠90º = 1591,5∠ 90º = 0 + j1591,5 VA ⇒ P = 0 W ; Q = 1591,5 VAr. El corrent es troba retardat 90º respecte de la tensió. 3. Circuit amb capacitància pura. C = 50 µF. Z = − jX C = − j 1 1 =− j = − j 63,66 Ω ωC 2 ⋅π ⋅50 ⋅50 ⋅10 − 6 ; I= V 100 ∠0º = = 1,57∠90º A Z 63,66∠ − 90º S = V I* = 100∠0º ⋅1,57∠ − 90 º = 157∠ − 90º = 0 − j 157 VA ⇒ P = 0 W ; Q = 157 VAr. El corrent es troba avançat 90º respecte de la tensió. 4 4. Acoblament dels tres elements en paral·lel. IT = I1 + I2 + I3 = 20∠0º + 15,91∠ − 90 º + 1,57∠90 º = 24,6∠ − 35,6º A ZT = 100∠ 0º V = = 4,06∠35,6º = 3,3 + j 2,36 Ω IT 24,6∠ − 35,6º ST = S1 + S 2 + S 3 = 2000 + j1591,5 − j 157 = 2000 + j1434,5 = 2461∠ 35,6º VA El corrent està retardat un angle de 35,6º respecte de la tensió. El circuit és de caràcter inductiu, sent equivalent a un circuit sèrie format per una resistència de 3,3 Ω i una inductància de 2,36 Ω. 5