Electrónica Cuántica

Definiciones
Hermitiano
Condición de Ortogonalidad
!
!
Si u n (r ) y u m (r ) son funciones propias de
 , estas satisfacen
Condición de norma
Delta de Kronecker
Función Propia arbitraria
!
Bj es la proyección ψ n (r ) a lo largo de uj
∫
f * (Âg )d 3 r =
*
∫ f (Âg )d r
*
3
3
= 0 n≠m
m
!
!
 u m (r ) = am u m (r )
!
!
 u n (r ) = an u n (r )
*
n
∫
∫
u *n u m d 3 r = 1
u *n u m d 3 r = δnm
!
ψ n (r ) =
bj =
∫
!
u *jψ (r )d 3 r
f | Â | g = Âf | g
*
Î =
∫
Valor promedio de medir Â
∑| u
∫
∫ f Âgd r = ∫ (B̂f ) gd r
[Â, B̂] = Â B̂ --- B̂ Â
*
3
2
∑ P (a ) ⋅ a
n
n
(A )
2
n
+
u *n um (r) d 3 r
+
∫
∫ f (Âg )d r
*
3
=
∫ (Âf ) gd r operador hermitiano,
*
3
u *n um (r) d 3 r
u *m (Âu n )d 3 r = a *m
∫
∫
u m u n d 3 r , (2) restando (1) --- (2)
*
u *m un (r) --- a *m
∫
u m u n d 3 r = ( an --- --- a *m ) ∫ u *m u n d 3 r = 0
*
busca que
+
∫u
*
m
u n d 3r = 0 lo que implica la condición de ortoganalidad
Normalización de funciones propias
Los valores propios de las funciones propias
 un (r) = an un (r) un funciones propias de  ,
Las funciones propias se determinan con la precisión de una constante, generalmente se
n
*
um (r) d 3 r = am
Cuando n ≠ m
⋅ an
= A; (aA ) = a A ; (AB) = A B
Funciones propias y valores propios de operadores
 ∂ 
Cada operador lineal   x ,  un(r) = an un (r) se asocian a un conjunto de números an y un
 ∂x 
 ∂ 
conjunto de funciones un (r) los cuales   x ,  un(r) = anun(r)
 ∂x 
Los números an son llamados valores propios del operador  , y las funciones propias
un(r).
1
u *n d 3 r , la primera relación
real
p̂ 2
!
+ V̂ (r )
Ĥ =
2m
"2 ˆ 2
!
∇ u E + V̂ (r ) u E = E u E ;
2m
+ +
∫
∫
Cuando n = m ( an --- --- a *m ) ∫ u *m u n d 3 r = 0, la integral es ≠ 0 entonces ( an --- --- a *m ) ent. an es
3
∑b
*
n
an
2
∫ ψ Âψd r
∗
=
(Âu )
∫
=  ∫ u *n ψd 3 r 


ˆ |ψ =
A = ψ|Α
ψ
u *m un (r) d 3 r (1)
De (1) tomando el complejo conjugado de la ultima ecuación
3
!
ψ(r , t )
Pψ (a n ) = b n
∫
u *n  um (r) d 3 r = am
∫
u m | u n = δmn
*
u *m d 3 r , la segunda relación
Dado que  es hermitiano, usamos la relación
un |
n
n
Ecuación de Sc independiente de t
∫
Similarmente multiplicando por
gd 3 r = f | g
A =
Ecuación de Schorodinger, operador de
energía
3
u *m  un (r) d 3 r = an
n
Conmutador de  y B̂
Función de onda
Probabilidad de obtener an
*
multiplicando por
n
Hermitiano (Dirac)
Operador hermitiano adjunto
∫ (Âf ) gd r , donde f(r) y g(r) son funciones arbitrarias, el operador que satisfaga
n
∫f
Dirac
=
Dem. Dado los valores propios an y am que son diferentes. Si un y um son funciones propias de
 , estos satisfacen
 um (r) = am um (r)
 un (r) = an un (r)
1 m = n
= 
0 m ≠ n
!
∑ b u (r )
n
3
esta igualdad es llamado hermitiano, cualquier operador corresponde a una variable física
Ortogonalidad de funciones propias de un operador hermitiano
Cualquiera dos funciones propias un(r) y um (r) de un operador hermitiano  satisface
! 3
* !
∫ u n (r )u m (r )d r = 0 con n≠m
!
!
∫ u (r )u (r )d r
Notación de Dirac
Operador identidad
Operador hermitiano
∫ (Âf ) gd r
+
+
∫
u *n u m d 3 r = 1,
condición de norma
Las funciones propias de un operador serán ortogonales, si
1 m = n
*
3
∫ u n u m d r = δnm = 0 m ≠ n
Espacio cerrado de las funciones propias
Las funciones propias de un (r) de un operador hermitiano Â
 un (r) = an un (r)
Las funciones propias son funciones de una variable espacial y ellas conforman una base
ortonormal completa, donde puede expandirse cualquiera función propia, es decir una
función propia arbitraria
2
!
ψ n (r ) =
Para cuantificar la interferencia entre esas dos mediciones, consideremos una partícula
en una dimensión a alguna distancia ∆x
!
∑ b u (r ) es una función Propia arbitraria
n
n
n
Los coeficientes de la expresión podemos obtenerlas de la relación anterior
! 3
! 3
*
*
*
3
∫ u j ψ n (r )d r = ∑ b n ∫ u j u n (r )d r , pero sabemos que ∫ u n u m d r = δnm ⇒ bj =
n
∫
!
u u n (r )d 3r
*
j
!
bj es la proyección de ψ n (r ) a lo largo de uj
Notación de Dirac
∫f
*
P(x ) = ψ(x )
gd 3 r = f | g notación de dirac
Î =
∑| u
n
u n | operador unitario
n
operador impulso, periódico en 0≤x<L es u n (x ) = e
in 2 πx
− im 2 πx
L
in 2 πx
L
L 3
son ortogonales ∫ u *n u m d 3 r = δnm entonces ∫ e
e
d r = δnm
!
!
Sea ψ n (r ) una función de estado arbitraria, expandir ψ n (r ) en términos de la u n (x )
!
∑ a u (r ) función propia de arbitraria
n
n
∫ u ψ (x )dx
∫ u ψ (x )dx
an =
*
n
n
*
n
∫
dado que
n
=
∑ a ∫ u (x )u dx
n
n
u *n u m d 3 r = 1, condición de norma
En notación de Dirac an = u n (x ) | ψ(x )
*
Âgd 3 r =
B̂ = Â
∫
+ +
*
3
= A; (aA ) = a * A + ; (AB) = A + B +
+
+
f | Âg ≡ f | Â | g = B̂f | g
=
Demostrar que: Si  = B̂+ y B̂ =  + entonces ( + )
+
f | B̂+ | g
=
=
B̂f | g
 + f | g
f | (Â
=
=
)
+ +
Â
|g
Demostrar que el operador: B̂ = i( + −  )es hermitiano para cualquier operador lineal  .
Hay que demostrar que el operador hermitiano y su adjunto son iguales
Se parte de f | i (Â + − Â )| g = B̂+ f | g =
=
− i(Â + − Â ) f | g
=
i (Â
+
+
− Â )f | g
=
2
2
=  ∫ u *n ψd 3 r  Probabilidad de obtener an


2
=  ∫ ψ (x )u *p (x )d 3 x 


donde u p (x ) son las funciones propias de operador momentum es dada por
P(p ) = φ(p )
u p (x ) = e
i
2
p̂x
"
∫ ψ(x )u (x )dx
*
p
=
∫e
−
x2
2 (∆ξ )2
e
−
p̂x
"
dx
 2(∆x )2 

p̂ 2 
 exp −

= 
2 
2

"
π
 (" ∆ x ) 


"
El rango del momentum de una partícula es limitado a un intervalo ∆p~
∆x
Del resultado final podemos ver la dependencia existente entre ∆p y ∆x
Potencial ∞
= φ(p )
2
(
)
− i (Â + ) − Â + f | g
+
= --
"2
∂2
∂t 2
;
a) |x| < a, V(x) = 0; b) |x| > a, v(x) ≠ 0
+
=
decrece rápidamente con x>∆x.
Se resuelve esta ecuación para dos casos:
f | Â | g = Â + | g
Si  = B̂+ y B̂ =  + entonces ( + ) = Â
f | Â | g
x2
(∆ξ )2
El hamiltoniano
∫ (Â f ) gd r
+
−−
"2 ˆ 2
∂
!
∇ u E + V̂ (r ) u E = E u E ; recordemos que p̂ = -- i" ; p̂ 2
2m
∂t
 " ∂2

+ V(x ) u E = E u E
sustituyendo en la ecuación de hamilton  −
2
2
m
x
∂


3
+
f * Âgd 3 r =
(A )
∫ (B̂f ) gd r
*
= e
La integral independiente del p̂ , por lo que P(p )
*
n
n
Operadores hermitianos adjuntos
Dado que un operador lineal  existe un operador B̂ denominado adjunto
∫f
P(a n ) = b n
φ(p ) =
n
Ejercicio: Encontrar an de
2
2
La probabilidad para hallar la partícula con un momentum p̂ es obtenida
!
Ejemplo: sea ψ n (r ) una función de estado arbitraria. El conjunto de funciones propias del
!
ψ n (r ) =
x2
−−
= e 2 (∆ x )
ψ(x )
La probabilidad de distribución para encontrar la partícula a x es proporcional a
=
 "2 ∂ 2

 "2 ∂ 2

"2 ∂ 2
a).-  −
uE + E uE = 0
+ V(x ) u E = E u E entonces  −
+ 0  u E = E u E , entonces
2
2
2
m
x
2
m
x
∂
∂
2
m ∂x 2




2m
∂2
u E + k2 E u E = 0, en donde k2 = 2 E . Resolviendo la ecuación diferencial tenemos las
"
∂x 2
soluciones para u E : u E =cos kx;
u E = sen kx
b) V(x) ≠ ∞ ⇒ u E (x) = 0;
El principio de incertidumbre
La posición y el momentum de una partícula no pueden ser medidos simultáneamente con
precisión arbitraria. Esto es del hecho de que, p̂ , x̂ no conmuten.
3
Analizando la continuidad en x ± a;
u E = cos kx = 0
cos kx =
4
2n + 1
π =0
2
u E = sen kx = 0
sen kx =
2n
π =0
2
Conformemos las soluciones pares e impares u E (x) ∝ cos
2n + 1 xπ
1  xπ

= cos  n + 
y u E (x) ∝
2
a
2 a

1  xπ
xπ

cos  n + 
, e impares u E (x) ∝ sen n
, los coeficientes se encuentran apartir de la
2 a
a

1 m = n
u* u
ortogonalidad si su producto punto es uno. Entonces ∫ n m d 3 r = δnm = 
, en donde
k k
0 m ≠ n
el valor de k debera ser terminado apartir de la ortogonalidad, esto es que se buscara un
termino tal que al dividir lo por k sea la unidad.
1 
 2 n + 1 πx  
 2 n + 1 πx 
dx  = a; por lo tanto el valor buscado es

dx = ∫ 1 + cos 2
2 
a  
a 
 2
 2
1
entonces k =
;
a
∫ cos
2
para las soluciones pares u E (x) =
u E (x)=
|
=a;
k* k
2n + 1 xπ
1
; para las soluciones impares
cos
2
a
a
xπ
1
;
sen n
a
a
π
π
→l
2α
2α
"2  2 π2 
"2π2
"2k 2
2m
π
π
l
 ; si l es
y k= ( 2n)
=
, con k2 = 2 E ⇒ E =
→l
⇒ El = l 2
2m  4a 2 
"
2m
8ma 2
2α
2α
par ⇒ funciones impares l = 2,4,6 . . ; si l es impar ⇒ funciones pares l = 1,3,5 . .
Se introduce un nuevo contador l = n + 1; entonces las soluciones son k = ( 2n +1)
Pozo de potencial finito
Condicion de potencial en simetría V(x) = V( -- x); las soluciones deben tener simetría par V(x)
= V( -- x), y simetría impar V(x) = -- V( -- x). Buscamos soluciones empleando ambas simetrías
 "2 ∂ 2

0 x < a
 −
+ V(x ) u E = E u E ; con V(x) = 
2
V x > a
 2m ∂x

a) caso I V > E; | x | < a; que es el caso cuando V=0
 "2 ∂ 2

 "2 ∂ 2

 −
+ V(x ) u E = E u E ;  −
+ V(x ) − E  u E = 0
2
2
2
m
x
∂


 2m ∂x

"2 ∂ 2
"2 ∂ 2
u E + (V(x ) − E )u E = 0; entonces
u E + Eu E ;
−
2m ∂x 2
2m ∂x 2
Las soluciones para este case son u E = cos k0x; u E = sen k0x; en donde k02 =
2m
E
"2
b) caso II ; | x | > a; que es el caso cuando V ≠ 0
"2 ∂ 2
2m
u E − (V(x ) − E )u E = 0 ⇒ las soluciones son u E = e kx y u E = e − − kx ; con k2 = 2 (V − E )
2m ∂x 2
"
5
estamos resolviendo el problema de conocerla energía, y se encontraron las soluciones pero
no nos interesa la parte creciente, lo que solo tomamos la solucion dada por u E = e − − kx
2m
2m
en resumen caso II, k2 = 2 (V − E ) con u E = e − − kx ; caso I,
k02 = 2 E con u E = cos
"
"
k0x; u E = sen k0x
Las condiciones de continunidad en x ± a, son continuidad en ese punto en las funciones y
en las primeras derivadas
Continuidad en el punto x = a, luego con la derivada para las soluciones pares
cos k0a = C e − − kx
funcion
1a derivada
-k0 sin k0a = -kC e − − kx
dividiendo
-k0 tan k0a = - k
ak0 tan k0a = ak
Continuidad en el punto x = a, luego con la derivada para las soluciones pares
funcion
sen k0a = C e − − kx
k0 cos k0a = -kC e − − kx
1a derivada
dividiendo
k0 cot k0a = - k
ak0 cot k0a = -ak
2m
2m
(V − E ) = 2m2 V
entonces k02 + k2 = 2 E +
"2
"
"
2m
a2
k02 + k2
a2 2 V
"
Encontramos los valores de las raices de las ecuaciones para distintos valores de la barrera
2m 2
π
π
de potencial (V). Si V es tal que S
a V (S + 1) . Se tienen (S+1) estados ligados
"2
2
2
finalmente
k "2
los valores propios del a funcion propia u E . u E = cos k0x, u E =e -- kx
E n = on
2m
Postulados básicos de la mecánica cuántica
1o postulado. Cada observable física esta asociada a un operador hermitiano
!
2o postulado. Un sistema cuántico es caracterizado por una función de onda ψ(r , t ) que
contiene toda la información del sistema.
1o postulado. Observables –energía --- momentum –posición –movimiento angular, etc
Estas están asociadas con un operador hermitiano.
Cada medición de una observable esta asociada a un numero que pertenece al {a n }
valores propios del operador asociado
Estos valores propios se obtienen resolviendo una ecuación que puede ser diferencial de
!
!
la forma:
 u n (r ) = an u n (r )
Consideremos un operador  , asociado con la medición de la observable  y B̂ asociado con
la medición de la observable B̂
Determinemos primero  y luego B̂ : B̂  en sentido inverso:
 B̂
Cada medición modifica al sistema, es decir, conduce a la modificación del sistema B̂ Â ≠ Â B̂
[Â, B̂] = Â B̂ --- B̂ Â
Esta expresión es conocida como el conmutador de  y B̂ :
2o postulado.
6
!
Un sistema físico esta caracterizado por una función de onda ψ(r , t ) que contiene toda la
!
!
información del sistema que se normaliza ∫ ψ* (r , t )ψ(r , t )d 3r = 1
!
Consideremos ψ(r , t ) un conjunto de funciones propias
!
!
ψ(r , t ) = u n (r )
!
!
 u n (r ) = an u n (r )
!
Entonces la medición de u n (r ) de la observable  (esta observable  esta asociada al
operador  ) es an
La probabilidad de que la medición de  proporcione an es:
Pψ (a n ) =
an | ψ
2
proyección de la función de estado sobre una de las funciones propias
El cuadrado de la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado an
Podemos expandir
!
!
!
= ∑ b n u n (r ) función propia arbitraria. Además bj = ∫ u *jψ (r )d 3 r bj es la
ψ n (r )
n
proyección a lo largo de uj; bj ≡ u i | ψ
!
ψ(r ) ≡ ul(r); P(a l ) = 1
El valor promedio de una observable
Consideremos un gran numero de sistemas cuánticos idénticos, cada uno de ellos descrito
!
por la misma función de onda ψ(r , t )
Tomando una sola medición de  , la probabilidad de obtener el valor de an es:
2
=  ∫ u *n ψd 3 r 


El promedio que resulta de medir  en cada sistema individual se encuentre sumando los
valores esperados de an. Cada uno multiplicado por Pψ (a n ) de que esto suceda
Pψ (a n ) = b n
A
=
2
∑ P (a ) ⋅ a
ψ
n
n
=
n
El promedio de la observable  : A
=
∑b
2
n
⋅ an
n
∫ ψ Âψd r , para demostrar la expresión anterior,
∗
3
dea
!
ψ n (r ) =
!
∑ a u (r ) función de arbitraria
n
n
n
!
!
 u n (r ) = an u n (r ) , un funció propia de Â
Funciones propias del operador de energía
p̂ 2
!
=
+ V̂ (r ) Operador de energía
Ĥ
2m
!
V̂ (r ) →función de energía de potencial
!
p̂
→ --- i"∇
Ĥu E = Eu E
"2 ˆ 2
!
∇ u E + V̂ (r ) u E = E u E Ec de Shorodinger independiente del tiempo
2m
Fundamentos Electrónica Cuántica
Una función de onda ψ que es postulada contiene toda la información que puede ser
conocida acerca del sistema, y que satisface, en el caso no relativista, la ecuación de onda de
Schrodinger para funciones de onda dependiente del tiempo
7
!
∂ψ(r , t )
!
Ec 1
Hψ(r , t ) = i"
∂t
con la notación de Dirac, la ecuación de onda para el vector Ket se convierte en
!
∂ | ψ(r , t ) >
!
H | ψ(r , t ) >= i"
∂t
y la correspondiente condición de normalización es <Ψ|Ψ> = 1
Tomemos un sistema cuántico aislado libre de cualquier interacción o perturbación con
el exterior. Para cada sistema existe un conjunto de estados, designados por |Φk>, que son
en principio encontrados resolviendo la ecuación de Schorodinger en la forma
∂ | Φκ >
Ec 2
H | Φ κ >= i"
∂t
donde H0 es el operador Hamiltoniano no --- perturbado para el sistema, se asume
independiente del tiempo, y k el k --- enésimo estado cuántico.
Si ahora consideramos un conjunto cerrado de valor propio de Ec 1 de vectores de
estado independientes del tiempo Ec 1 | u k se encuentran a partir de que individualmente
satisfacen la ecuación valor propio:
Hˆ 0 | u k >= E k | u k >
Ec 3
y la condición de ortonormalidad involucra la función delta de Kronocker, δk,l
<uk|ul> = δkl = 0 k ≠ l = 1 k = l
se encuentra que Ec 2puede ser resuelta asumiendo una solución producto de la forma
| Φ κ >= ak (t ) | uk >
Ec 4
Sustituyendo
Ec 4 y
Ec 3 en Ec 2 se obtiene
∂ (a k (t ) | uk > )
H 0 (a k (t ) | uk > ) = i"
∂t
∂a (t )
H 0 (a k (t ) | uk > ) = i" | uk > k
∂t
∂a k (t )
a k (t )H 0 | uk >= i" | uk >
∂t
∂a k (t )
a k (t )E k | u k >= i" | uk >
∂t
∂a k (t ) a k (t )E k | u k >
=
i" | u k >
∂t
E a (t )
∂a k (t )
= −i k k
"
∂t
E
−i k t
E
− iwk t
con las soluciones a k = a k (0)e
donde la frecuencia wk es dada por wk = k , a k (t ) = e "
"
Si la condición de normalización <Ψ|Ψ> = 1 se aplica a cada uno de los vectores
propios entonces, aparte de un factor de fase arbitrario, los |Φk> son dados por
| Φ κ >= e − wk t | uk > Ec 5
Si el sistema aislado no esta en uno de estos estados propios específicos, pero está en un
estado | ψ que es una combinación lineal de estados propios , el vector de estado es dado por
una superposición de vectores propios | ψ >= ∑ C k | φ k >= ∑ C k e − wk t | uk >
k
Ec 6
k
Donde |Ck|2 es la propabilidad que el sistema se encuentre en el k --- enésimo estado
(propio). La expansión de coeficientes Ck es independiente del tiempo debido a que
asumiremos que no hay interacción o perturbación presente para alterar el sistema.
8
La condición de normalización <Ψ|Ψ> = 1 implica que
∑C
2
k
= 1 , lo cual es una
k
declaración que la suma de las probabilidades de encontrar el sistema en uno u otro de estos
estados propios es igual a la unidad. En la Ec 6 el vector de estados | ψ es escrito como una
suma de términos que involucran los vectores propios del operador hamiltoniano. A veces es
útil seleccionar los vectores propios de otro operador, como momentum, para la
representación suma de | ψ . E conjunto particular de funciones que son usados en la
expansión son denominados los vectores base. En general, funciones ortonormales son
elegidas como vectores base debido a que simplifica las operaciones matemáticas. Por
ejemplo, una consecuencia directa de la propiedad ortonormal de | ψ es que Ck = φκ | ψ . El
u l | Â | u k = A ij
y A ij es denominado el ij --- enésimo elemento de la matriz del operador  . Los elementos
diagonales de la matriz son aquellos para los cuales i = j. En notación matricial un operador
 A11 A12 ... 


es escrito como un arreglo de dos dimensiones de los elementos A ij ,
 =  A 21 A 22 ... 
 ...
... ... 

Un operador útil es el operador identidad Î , el cual satisface la condición de que  Π=
Î Â =  , donde  es cualquier operador. En términos de un conjunto ortonormal de
vectores base,
Î = ∑ | u k u k | operador identidad
vector de estado | ψ a menudo es escrito como un arreglo columna de coeficientes de los
 C1 
 
vectores base ortonormal c →  C 2  lo cual es la notación matriz para el vector de estado
C 
 3
Si una perturbación o interacción H1 actúa en el sistema para alterar su estado
∂ψ
dinámico, entonces el hamiltoniano completo H = H0 + H1; Hψ = (H0 + H1) ψ = i"
∂t
!
∂Ψ (r , t )
!
debe ser usado en la solución de la Ec 1 de Schrodinger HΨ (r , t ) = i"
. Incluso en la
∂t
presencia de una interacción , sin embargo, es aún conveniente considerar una expansión en
términos de los vectores base | u k , los cuales son vectores propios de una hamiltoniano no
perturbado proporcionado por la solución
Ec 3 Hˆ 0 | u k >= E k | u k > , en este caso la
solución puede escribirse como en Ec 5 con la excepción que los coeficientes de la expansión
| ψ >= ∑ C k (t ) | φ k >= ∑ C k (t )e − wk t | uk >
son ahora tomados como función del tiempo
k
k
Algunas propiedades de los operadores
El operador es una instrucción o conjunto de instrucciones que transforman un vector
en otro. La instrucción puede ser:”Toma la derivada parcial”, “multiplica por algún factor”, la
ecuación es |W> = A|V> donde |V> y |W> son vectores y A es el operador
Un producto de un bra y un ket <u|v> es un escalar; el producto de un ket y un bra
|y><u| puede ser visto como un operador
Si  es definido como |y><u|, vemos que  |v> = |y><u|v> es visto como un
operador.
Justo como se puede expandir un vector en términos de un conjunto ortonormal de
vectores base |ui>, se puede expandir un operador en términos de un conjunto de operadores
|ui><uj|:
 = ∑ A ij | u i >< u j |
operador en términos de un conjunto de operadores |ui><uj
i, j
multiplicando por la izq. <ui| y por la derecha |uj>
u i | Â | u j = ∑ A ij u i | u i u j | u j = 1 recordar que
u i | u i = δ ii = 1 u j | u j = δ jj , entonces
Ec 7
k
Que esta expansión es un operador identidad puede ser visto escribiendo(Demostrar que la
expansión anterior es el operador unitario (identidad)), sustituyendo  y Î se tiene
 = ∑ A ij | u i >< u j |
i, j




 
Î Â = ∑ | u k u k | ∑ A ij | u i >< u j | = ∑ A ij | u k u k | u i u j | además u k | u i = δ ki
k
  i, j
i , j,k




= ∑ A ij | u k δ ki u j | con k = i = 1, y 0 para otro caso
i , j,k



= ∑ A ij | u i u j | = Â
 i, j

Los elementos matriciales para operador identidad Î , son de la Ec 7
De la relación para A ij = u l | Â | u k
Î i , j = u i | Î | u j con k = i
= 1, y 0 para otro caso, sustituyendo Î
Î i, j = u i | ∑ | u k u k | u j
∑
=
=
∑δ
ik
u i | u k u k | u j pero u i | u k = δik
u k | u j = δ kj
k
k
δ kj = δ ij esto es, los elementos diagonales son la unidad y los elementos fuera de la
i , j,k
diagonal son cero; Î i, j = δ ij
Operador de Densidad
En general, no es información suficiente decir que un sistema está caracterizado por
una función de estado especifica | ψ . Por ejemplo, suponer que se tiene dos grupos de
osciladores armónicos conformador de manera que, en t = t0,
| ψ a (t 0 ) =
∑a
k
| uk
oscilador para la función de estado ψa
k
| uk
oscilador para la función de estado ψb
k
| ψ b (t 0 ) =
∑b
k
donde las | u k son un conjunto ortonormal, | ψ a (t 0 ) es la función de estado para un grupo de
i, j
osciladores, y | ψ b (t 0 ) es la función de estado para el otro grupo en t = t0
9
10
Los valores esperados para un operador  son dados por ψ a (t ) |  | ψ a (t ) y ψ b (t ) |  | ψ b (t )
para los dos grupos separados respectivamente, además son edos. puros entonces
Â
=
ψ | Â | ψ .
Si Na numero de osciladores características para la función de estado | ψ a (t ) son mezcladors
∑
=
u k | ρˆ Â | u k donde ρ
=
k
∑| P
n
| ψ n ψ n | Ec 9 la cual es la definición de ρ , y es el
n
operador de densidad
El promedio del operador  :  viene dado como la suma de los elementos de la diagonal
= Tr (ρ )
∑
u k | ρˆ Â | u k traza de la matriz
con Nb numero de osciladores para la función de estados | ψ b (t ) , asumiendo que las partículas
principal del operador ρÂ
en los dos no interactúan entre si, entonces el promedio para la mezcla es:
A = Pa ψ a (t ) | Â | ψ a (t ) +Pb ψ b (t ) | Â | ψ b (t )
A partir de esto es posible conocer el valor de una observable, lo que implica que toda la
información del sistema se encuentre en el operador de densidad.
Consideremos que el vector de estado se representa como una combinación lineal de
funciones propias del operador Hamilton, la relación de los elementos matriciales del operador
de densidad está ligada a los coeficientes de la expansión.
donde Pa
=
Na
, es la probabilidad de que un oscilador esté caracterizado por | ψ a (t ) , Pb
Na + Nb
Nb
Na + Nb
Sin embargo, cuando es necesario describir un sistema por más de una función de
estado, el valor esperado de un operador es dado por:
Nn
A = ∑ Pn ψ n | Â | ψ n , donde Pn =
, Pn es la probabilidad de que el sistema este
n
∑ Ni
=
| ψ >= ∑ C k | φk >= ∑ C k e − w k t | u k > función de estado puro
k
k
Si esta ultima expresión se sustituye en la definición del operador de densidad , se obtiene
ρ =
∑C
n
∑C
| un ;
n
2
Estado del sistema
Edo Propio | u k
Edo puro | ψ
Edo
| ψ a | ψ b , ...
mezclado
Valores
esperados
operador Â
 = u k |  | u k
Â
=
ψ | Â | ψ
Â
=
∑P
n
del
=
A
=
=
k
∑P
n
∑P
n
=
∑P C
n
nk
ρ ij = u i | ρ | u j
*
i (w l − w k )t
nk
C e
n , k ,l
el elemento matricial ρmj viene dado por
∑P
n
ψ n | Â | ψ n en la forma
∑P C
n
∑ Pn ψ n | ÂÎ | ψ n
Ec 8
b) ϕ | ρ | φ
nm
C*nje
(
)
−i w m − w j t
∑( φ | P
∑ P (C )
2
n
nj
n, j
=
φ|ρ |ϕ
ϕ |ρ |φ
entonces
=
∑P
n
ϕ | ψn ψn | φ
=
n
)
*
| ψn ψn | ϕ
ϕ |ρ |φ
finalmente
=
∑ ϕ|P
n
| ψn ψn | φ
n
( φ |ρ |ψ )
*
c) Para encontrar la traza Tr asumimos que el | ψ n ha sido normalizado de manera que
ψ n | Â| u k u k | Â | ψ n
u k | ψ n ψ n | Â | u k
*
n
ψn | ψn
=
∑P
= 1 y que
n
= 1 de la definición de traza Tr (ρ ) =
n
∑| P
matriz, y de ρ =
n
∑
u k | ρˆ Â | u k traza de la
k
| ψn ψn |
n
Tr (ρ )
u k | Pn | ψ n ψ n | Â | u k
=
∑u
k
k
| ρˆ | u k
=
∑P
n
uk | ψn ψn | uk
k ,n
=
∑P
n
k ,n
1
11
ρjj =
para los elementos diagonales m = j
n
n ,k
n ,k
ρ mj = u m | ρ | u j
El operador de densidad tiene 2 propiedades
ρ es hermitiano
1.
Tr (ρ ) = 1 traza de la matriz
2.
Para demostrar que el operador de densidad es hermitiano:
n ,k
=
)
C*nk e i (w l − w k )t | u k u l | , la obtención del elemento matricial
Ec 8. Transponiendo los dos productos escalares en el
A
)(
e − w k t | u k C*n ,k e w l t u k |
El elemento diagonal Pjj es la probabilidad de que el sistema sea caracterizado por | u j .
n
Î = ∑ | u k u k | es el operador unitario, entonces A
nk
n ,k
n ,m, j
n
para sistema mezclado
n
A ij = u l | Â | u k
ρmj =
ψ n | Â | ψ n
El operador de densidad puede introducirse rescribiendo A
∑
n
n , k ,l
ρ mj = u m | ρ | u j
n
lado derecho de la ecuación anterior, se tiene
∑ P (C
=
n , k ,l
n
Para definir el operador de densidad
la cual es la misma que para
| ψn ψn |
n
∑P C
=
= 1
n
refleja la falta de información del sistema en el cual es posible diferentes estados | ψ n
Pn
∑| P
n
Cn coeficiente de probabilidad
|Cn|2
probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado propio | u n de un estado
=
k
| ψ n >= ∑ C n ,k | φk > función de estado mezclado
caracterizado por la función | ψ n
| ψn
=
k
i
conocido | ψ n ;
Â
12
ψn | uk uk | ψn
=
∑P
n
n
ψn | ψn
=
Encontremos los elementos matriciales,
∂ρ
i" u i |
| u j = u i | H 0ρ − ρH 0 | u j + [H 1 , ρ]ij , en donde u i |H 0 = E i u i | , y H 0 | u j
∂t
recordemos que Î = ∑ | u k u k | es el operador unitario
k
2. ---
= Tr (ρ )
Â
=
∑
u k | ρˆ Â | u k traza de la matriz
= u i | H 0ρ | u i − u j |ρH 0 | u j + [H 1 , ρ]ij ,
k
H| ψ = i"
∂| ψ
Ecuación de Schorodinger dependiente del tiempo
∂t
Diferenciando ρ respecto del tiempo se tiene
 ∂| ψ n
∂ ψn | 

∂
∂
∂ρ

ψ n | +| ψ n
= i"  ∑ | Pn | ψ n ψ n |  = i" ∑ Pn 
i"
∂t n  ∂t
∂t 
∂t  n
∂t

de la ecuación de onda es posible sustituir expresiones equivalentes para las derivadas
temporales de los vectores bra y ket en la ecuación anterior. La ecuación de onda para el
∂| ψ n
vector ket es H| ψ n = i"
∂t
La ecuación de onda para los vectores bra puede obtenerse a partir de la ecuación
anterior multiplicando ambos lados por ψ n | , tomando el complejo conjugado y usando el
hecho de que H es un operador hermitiano:
1.
Multiplicando ambos lados de la ecuación de Schorodinger, por el vector bra
ψn |
ψn | H | ψn
∂
= i" ψ n | | ψ n
∂t
Como H es hermitiano ψ n | H | ψ n
=
(ψ
n
| H | ψn
)
*
= − i"| ψ n
∂
ψn |
∂t
∂
ψ n | ecuación de onda para los vectores bra
∂t
 ∂| ψ n
∂ ψn

∂
∂
∂ρ
ψ n | +| ψ n
Sustituyendo en i"
= i"  ∑ | Pn | ψ n ψ n | = i" ∑ Pn 
∂t n  ∂t
∂t
∂t  n
∂t

derivadas temporales de los vectores
Entonces ψ n | H = − i"
|
 , para las



 

∂ρ
i"
= H  ∑ Pn | ψ n ψ n | −  ∑ Pn | ψ n ψ n | H , pero recordemos que ρ = ∑ | Pn | ψ n ψ n |
∂t
n
 n
  n

= Hρ − ρH que el conmutador [H , ρ]
∂ρ
por lo tanto i"
= [H , ρ] =Hρ --- ρH
∂t
Obtención de las ecuaciones diferenciales para los elementos matriciales, partiendo
de la base de funciones propias de H (hamiltoniano) --- no perturbado
El hamiltoniano escrito como: H = H0+ H1 H0(hamiltoniano no perturbado)
∂| u k
H1(hamiltoniano interacción) donde H| u k = i"
, H| u k = E k | u k y H1es el operador de
∂t
energía para la interacción entre el medio y la perturbación, sustituyendo H:
∂| u k
i"
= (H 0 + H 1 )| u k = H 0 | u k + H 1 | u k
∂t
∂ρ
i"
= [H 0 + H 1 , ρ] = (H 0 + H 1 ) ρ -- ρ (H 0 + H 1 ) = H0 ρ -- ρ H0 + H1 ρ -- ρ H1 =
∂t
[H 0 , ρ]+ [H 1 , ρ]
13
= E j| u j
ρ ij = u i | ρ | u j ele. matriciales
∂ρ ij
= E i u i | ρ | u i − E j u j |ρ | u j + [H 1 , ρ]ij = E iρ ij − E jρ ij + [H 1 , ρ]ij , entonces
∂t
∂ρ ij
i"
= (E i − E j )ρ ij + [H 1 , ρ]ij , en donde el subíndice ij denota el elemento ij de la matriz
∂t
Términos de relajamiento
Es conveniente rescribir H1 como una suma de dos términos, el primero correspondiente a la
interacción entre el medio y una perturbación aplicada tal como un campo electromagnético, y
el segundo correspondiente a la interacción interna de energía, p.e. puede incluir
interacciones entre un átomo y la matriz cristalina o intercambio de energía resultante de
colisiones entre moléculas.
H1 = H1 +Hr
Si el termino anterior se substituye en
∂ρ ij
i"
= (E i − E j )ρ ij + [H 1 , ρ]ij , se obtiene
∂t
∂ρ ij
i"
= (E i − E j )ρ ij + H 1 + H r , ρ ij
∂t
= (E i − E j )ρ ij + H 1 , ρ ij + H r , ρ ij
i"
[
] [
[
]
]
Para valores pequeños de t, el elemento más significativo es ρ11, consideremos que el sistema
esté aislado(no existe intercambio de energía con el exterior: H1 = 0)
∂ρ1 j
i"
= (E i − E 2 )ρ1 j + ρ ij H 1r j , para j ≠ 1 elementos no diagonales
∂t
Para los elementos diagonales:
∂ρ
i" 11 = ∑ H 1r kρ k1 − ρ1κ H rk1 , con ayuda de la transformada de Laplace se puede obtener
∂t
t
[
la solución: ρ11 = e
τ −1
−
−t
τ
]
,
2πg(w1k ) H 1r k
, entonces
"2
w1 k
g (w1k ) --- densidad de estados y τ --- constante dependiente de la frecuencia. El papel de
Hr se da cuando en ausencia de señales externas, se crean cambios en ρij; con el objeto de
equilibrar el estado energético con el exterior;
Ei − E j
= wij
"
∂ρ ij
i"
i"
= "w ijρ ij + [H 1 , ρ]ij --ρ ij ,
τ
∂t
el termino [H 1 , ρ]ij se ha sustituido por los términos de relajamiento cuando H1 va 0 los
=
elementos diagonales ρ11tiende ρ11e (valores de equilibrio)
Hamiltoniano de un átomo en un campo E/M
Se comienza considerando un modelo simplificado del átomo. Se asume el átomo
consiste de un solo electrón de varga –e y masa m, que se mueve en torno a un núcleo de
masa infinita, en el campo de un potencial efectivo ν(r), donde r es la posición del e --- con
respecto al núcleo.
14
Vamos a plantear hamiltoniano
H = Ec+U+I, en donde Ec →cantidad de movimiento, U→potencial del sistema, I→termino de
interacción con el exterior
1
(p + eA )2 +V(r) -- eφ
El hamiltoniano para e --H =
2m
•
Donde p→ impulso o cantidad de movimiento canónico; p = m r -- eA
φ→potencial escalar de un campo e/ m externo
A →potencial vectorial
e = |e| → es la magnitud de la carga electrónica
H (q, p, t ) =
Lagrangiano (operador de Lagrange)
•
∑q
•
i
p i -- L( p, q, t )
i
donde q es la coordenada generalizada, qi → impulso canónico es definido por p i =
Para el sistema que analizamos:
L =
∂L
•
∂ qi
•
!
1 •2
m r --- V+ eφ --- e r⋅ Â(R , t )
2
DESCOMPOSICIÓN POR MULTIPOLOS
Es conveniente expandir el potencial vectorial A(x, y, z, t) en series de Taylor sobre la
!
posición núcleo R , como se muestra
! ! ! en el figura
! !
! !
! !
A (R + r , t ) = A( R , t ) + (r ⋅ ∇ R ) A( R , t ) +...
!
!
en la expresión anterior ∇ R esta en coordenadas rectangulares dado por ∇ R =
∂
∂
∂
! !
î +
ĵ +
k̂ , r ⋅ ∇ R → contribución en esa dirección
∂R x
∂R y
∂R z
Interacción eléctrica dipolar
El primer termino en la expansión de Fourier, cuando se sustituye en el lagrangiano
•
! ! !
!
!
1 •2
L =
m r --- V+ eφ --- e r⋅ Â(R , t ) , por la aproximación A (R + r , t ) = Â(R , t )
2
!
Esta aproximación omite la variación espacial de A sobre las dimensiones atómicas entonces
r = cte.
Debido a que la derivada total temporal puede sumarse al lagrangiano sin cambiar la ec. De
! ! !
d[r ⋅ A( R , t )]
movimiento del sistema, un término de la forma e
dt
1 •2
Puede ser agregado a la trasformada de Lagrangiano entonces L =
m r -- V+ eφ -2
! • !
e r ⋅ Â(R , t ) ,
!
∂L
!•
En este caso el impulso canónico p i = • es dado por P = m r , y el correspondiente
∂ qi
amiltoniano, encontrado H (q, p, t ) =
•
∑q
i
•
i
p i --- L( p, q, t ) ,
!
• !
p2
+V --- eφ --- e r⋅ Â(R , t )
2m
En una región libre de carga e es posible elegir las funciones potenciales de manera que
el potencial escalar φ→potencial escalar de un campo e --- m externo, y los campos puedan
ser derivadas del potencial vectorial completamente por medio de las relaciones
!
! ! !
!
∂A
B = ∇xA , E = −
∂t
15
es H =
!
•
!
p2
+V --- eφ --- e r⋅ Â(R , t ) , puede escribirse en la forma
2m
!
! !
p2
H =
+V --- µ ⋅ Ε(R , t )
2m
Donde la definición de momento dipolar eléctrico µ = --- er ha sido introducido, y ha sido
notado que en el núcleo:
!
!
• !
! !
d (R , t )
∂Â(R , t )
=
= -- Ε(R , t )
Â(R , t )≡
dt
∂t
basada en el primer termino de la expansión
! ! !La derivación arriba mencionada,
!
A (R + r , t ) sobre la posición nuclear R , es llamada la aproximación eléctrica dipolar (AED),
debido a que la interacción entre el electrón y el campo externo en la forma característica de
un dipolo eléctrico en un campo cuasi estático
Interacción eléctrica cuadruple, magnética y diamagnética
de la
! ! El! segundo
! !termino
! aproximación
!
! !
A (R + r , t ) = A( R , t ) + (r ⋅ ∇ R ) A( R , t ) +...es incluido en el Lagrangiano, sistema que analizamos:
!
!
1 •2
!• ! !
!• ! !
L =
m r --- V+ --- e r ⋅ r ⋅ ∇ R Â (R , t ), un termino adicional --- e r ⋅ r ⋅ ∇ R Â (R , t ), aparece en el
2
lagrangiano siguiendo el procedimiento establecido en el caso dipolar, agregando una derivada
!
! ! !
e r ⋅ r ⋅ ∇ R Â (R , t )
,
temporal de la forma d
2
dt
Desarrollando la derivada anterior
!
!
! 
!
!
! 
e  !• ! !
e  !• ! !
!  !• !
! !•
! !• !
!  ! !•
 r r ⋅ ∇ R Â(R , t ) + r  r ⋅ ∇ R Â(R , t ) + r ⋅ ∇ R Â (R , t )  =
 r r ⋅ ∇ R Â(R , t ) + r r ⋅ ∇ R Â (R , t ) + r  r ⋅ ∇ R Â(R , t ) 
2 
2 




!
! 
e  !• ! !
!  ! !•
=
 2 r r ⋅ ∇ R Â(R , t ) + r  r ⋅ ∇ R Â (R , t ) 
2 


!
!
! !• !
!• ! !
!• ! !
el vector identidad
r ⋅ r ⋅ ∇ R Â(R , t ) = r ⋅ r ⋅ ∇ R Â + r ⋅ r × [∇ R × Â (R , t )]
conduce al lagrangiano
!
1 •2
e! ! ! • !
e !• ! !
! • !
L =
m r --- V+ eφ --- e r ⋅ Â(R , t ) + r ⋅ r ⋅ ∇ R Â(R , t )+ r ⋅ r × [∇ R × Â(R , t )]
2
2
2
∂L
Se pueden calcular los impulsos canónicos
pi = •
∂ qi
!
!
!• e ! !
En este caso p = m r + r × [∇ R × Â (R , t )], entonces el hamiltoniano H toma la forma
2
2
! !
1 ! e ! ! ! 
e! ! ! ! !
H =
p − r × B(R , t ) +V --- µ ⋅ Ε(R , t )+ r ⋅ r ⋅ ∇ R E(R , t )

2m 
2
2

Donde nuevamente las funciones potenciales son elegidas de manera que el potencial escalar
φ→0y que los campos eléctricos y magnéticos son determinados por el potencial vectorial
!
! ! !
!
∂A
A(x,y,z) , B = ∇xA , E = −
∂t
Si el termino entre corchetes de la ecuación H es elevado al cuadrado y reagrupando
obtenemos
! !
! !
1 !2
e! ! ! ! !
e2 ! ! ! 2
[r × B(R , t )]
H =
p +V --- µ ⋅ Ε(R , t ) --- m ⋅ B( R , t ) + r ⋅ r ⋅ ∇ R E(R , t ) +
2m
2
8m
Los primeros términos constituyen el hamiltoniano no perturbado en ausencia de un
campo eléctrico aplicado; el tercer y cuarto términos corresponden a los términos de
Entonces, el hamiltoniano H =
16
interacción dipolar eléctrica y magnética respectivamente; el quinto termino representa la
interacción eléctrica cuadripolar que involucra el gradiente del campo eléctrico, y el sexto
termino representa las pro piedades diamagnéticas del medio.
Sistema de muchas partículas
Para sistemas que involucran muchas partículas, tal como un átomo multielectrones o
un cristal. Es apropiado considerar la interacción dipolar eléctrica para este caso. El
! !
1 !2
p +V --- µ ⋅ Ε(R , t ) se generaliza de un forma directa como la suma sobre
hamiltoniano H =
2m
todas las energías elegidas
!
1
!
!
H =
∑ p 2k + V(rk ) --- µ ⋅ Ε ,
2m k
!
donde el momento dipolar eléctrico del sistema es dado por µ = −e∑ rk y el termino de energía
k
!
potencial V(rk ) incluye interacciones columbianas entre e --- individuales localizadas en
!
coordenadas rk también como entre los e --- y el núcleo.
!
1
!
!
El hamiltoniano anterior H =
∑ p 2k + V(rk ) --- µ ⋅ Ε , puede escribirse como H = H0+H’,
2m k
donde H0 es el hamiltoniano no perturbado en ausencia de un campo e --- m externo
1
!
!
H0 =
∑ p 2k + V(rk ) , y H’ es el hamiltoniano de interacción
2m k
Elementos matriciales y paridad
La interacción de un sistema atómico o molecular con un campo e --- m resulta de la
presencia de un termino H’ en el hamiltoniano. La intensidad de la interacción de pende de las
elementos matriciales de H’ los cuales en principio pueden ser determinados por mecánica
cuántica si las funciones de onda son conocidas.
(1)
Transición eléctrica dipolar TED. Para la interacción eléctrica dipolar, los
elementos matriciales de H’ son de la forma
!
H 'mn = u m | H ' | u n = --- u m | µ ⋅ Ε | u n
donde bra u n | y ket | u n son funciones propias del hamiltoniano no perturbado H0 que
satisface la ecuación H 0 | u n
! !
!
! !
!
Si H0( r1 , r2 , ... , rn ) el cambio de signo en las r1 , r2 , ... , rn debe darse simultáneamente
La condición de invariancia de da para medios con centro de simetría. Consideremos
que H0 si cumple con la condición de simetría y además las funciones propias del
hamiltoniano no es degenerado
!
!
!
!
H 0 (r )u n (r ) = E n (r )u n (r )
aplicando la operación r → --- r y usando la condición de par
!
!
!
!
H 0 (− r )u n (− r ) = E n (− r )u n (− r )
!
!
u n (r ) y u n (− r ) son funciones propias que corresponden al mismo valor propio En para
un nivel de energía no degenerado es solo una función propia; por consiguiente, de
acuerdo a las dos ultimas ecuaciones
!
!
u n (− r ) = ± u n (r )
!
Las funciones propias son bien funciones de r par o impar. La propiedad de
!
denominada. Paridad. Cuando la función propia es una función par de r , se dice que una
función par de paridad par y el correspondiente estado se dice es un estado de paridad
par.
Conclusión: si el hamiltoniano es invariable bajo la transformación r → --- r, entonces
función propia tienen la propiedad de paridad.
Sean 2 funciones un, um con igual paridad entonces µmn = 0, entre ellas no hay
interacción no hay TED , si dos estados propios | u m y | u n pertenecen a diferentes valores
propios de energía Em y En tienen la misma paridad, entonces el elemento matricial µmn→0,
debido a que el calculo involucra integrales sobre todo el espacio de la forma
!
* ! !
∫ u m (r )r u n (r )dV y el integrando es de paridad impar.
Si el elemento matricial es cero, las transiciones entre los dos estados debido a un
campo e --- m aplicado están prohibidos
REGLA DE SELECCIÓN
La TED tiene lugar únicamente entre estados con paridad contraria
Si dos eigen estados | u m y | u n corresponden a diferentes valores propios de energía Em y
En tienen paridad opuesta, entonces el elemento matricial →0, debido a que el calculo
!
* !
∫ u m (r )xyu n (r )dV y el integrando es de
involucra integrales sobre todo el espacio del a forma
= En | un
En un sitio atómico dado el campo eléctrico es función del tiempo únicamente y puede
tomarse fuera el producto escalar mecánica cuántica en H 'mn = u m | H ' | u n = --!
u m | µ ⋅ Ε | u n . Como resultado, los elementos matriciales de H’ son simplemente los elementos
matriciales del operador eléctrico dipolar µ con el campo eléctrico E como multiplicando H 'mn
!
!
= u m | H ' | u n = --- u m | µ | u n Ε = --- µmn ⋅ Ε
¿Cuáles elementos matriciales µmn son cero y cuales diferentes de cero? La respuesta a
esta cuestión permite afirmar acerca de la existencia de un momento dipolar constante entre
algún par de estados.
Se puede afirmar si es posible TED
CONDICIÓN DE INVARIANCIA
Para una amplia categoría de sistemas la operación r → --- r aplicada al hamiltoniano
!
no perturbado H 0 (r ) permite la forma del hamiltoniano sin cambio esto es
!
!
H 0 (r ) = H 0 (− r )
! !
!
si el hamiltoniano es función de varias coordenadas r1 , r2 , ... , rn esta operación es
aplicada simultáneamente todas las coordenadas.
17
paridad impar.
Por consiguiente, la transición eléctrica cuadripolar puede ocurrir únicamente entre
estados de la misma paridad.
La transición dipolar magnética puede ocurrir únicamente entre estados de la misma
paridad
Ecuaciones de movimiento para la TDE
Hamiltoniano:
La interacción que toma lugar entre un campo e --- m clásico y un medio cuantiazable
por medio de l transición dipolar eléctrica puede ser descrita por un conjunto de ecuaciones
aplicadas no lineales
El estudio de la TED es relevante porque permite analizar fenómenos espectrales que
corresponden al Uv, visible, IR cercano.
Se asume que el medio consiste de una colección de átomos o moléculas que poseen un par
de funciones propias no degeneradas de paridad opuestas | u1 y | u 2 , separados en energía
por E 2 − E1 = "Ω
18
El hamiltoniano para el sistema es dado por H = H0+ H’, donde H0 es el hamiltoniano
no perturbado, H’ es el hamiltniano de la interacción correspondiente a la TDE
!
H’ =
--- µ ⋅ Ε = --- ∑ µ α ⋅ E α = --- µ α ⋅ E α , el subíndice α = x+y+z, denota la dirección
µα E2 
µ α   E1 0 
 0
 0
 E1 0   0 µ α 
 ---  *
 =  *

 --- 
  *

 µ E1

µ E2
0   0 E 2 
0
 0 E2  µ α 0 
 α

 α
µα 
 0


= "Ω  *
 separados en energía por E 2 − E1 = "Ω
− µα 0 
 0
=  *
µ α
α
de cuadratura, la suma sobre índices repetidos se entiende, que es: µ α ⋅ E α =
µx ⋅ Ex + µ y ⋅ Ey + µz ⋅ Ez
El hamiltoniano base H0 que satisface la ecuación de valores propio H 0 | u n
tiene los elementos matriciales | H 0
mn
=
um | H0 | un
[µ
= En | un
= E n δ mn , entonces puede escribirse en
 E1 0 
forma de matriz: H0 = 

 0 E2 
’
Construyamos H el operador eléctrico dipolar de interés para un sistema de dos niveles
que poseen estados propios de degenerados de paridad contraria es dada por
 0 µα 

µ α =  *

µ α 0 
en la matriz anterior el elemento matricial αx, por ejemplo, es simplemente la componente x
del elemento matricial del operador α tomada de entre estados | u1 y | u2 , αx = u 1 | µ | u 2 ⋅ 1x ,
α
, H'
]
= µα H ' − µαH '
µα Eα 
 0 µα   0
 0
 *
 ---  *
=  *
  − µ Eα
 − µ Eα

0
0
µ
α
α
 α



finalmente se tiene que:
µα Eα 

0 
 0
 *
µ
 α
µα 
 = 0
0 
µα 
 0
 separados en energía por E 2 − E1 = "Ω
= "Ω  *
0 
−
µ
α

La expresión para la segunda derivada de µ α , da por
[µ α , H 0 ]+ [µ α , H ' ]
••
µα +
2 •
1
µα + 2 µα
T2
T2
=
1
"2
[[µ α , H ], H ]
[
donde el segundo termino del lado derecho →0, debido a que µ α , H '
]
donde ⋅ 1x es un vector unitario en la dirección x
El conjugado complejo que aparece en µ α satisface el requerimiento que α, el cual
corresponde a una observable física, debe ser representada por un operador hermitiano
Con el operador eléctrico dipolar dada por (2) el correspondiente hamitoniano de interacción
!
H’ =
--- µ ⋅ Ε = --- ∑ µ α ⋅ E α = --- µ α ⋅ E α , es por consiguiente dado por
 0
interior del lado derecho de la ecuación anterior es dado por "Ω  *
− µα
− µα Eα 
 0

H’ =  *
0 
 − µαEα
Momento eléctrico dipolar
Obtención de las ecuaciones de movimiento para las observables
Una observable importante e interés en el caso dipolar eléctrico es el valor esperado del
!
momento dipolar µ α , dado por la traza, de acuerdo con H’ =
--- µ ⋅ Ε = --- ∑ µ α ⋅ E α =
 E1
 *
 − µ Eα
α

α
α
--- µ α ⋅ E α ,, los elementos diagonales de µα son cero
Tr (ρµ α ) =
µ α traza
Por lo tanto, la ecuación de movimiento para la 1a derivada de µ α es dada por
•
µα
1
[µ α , H ]
=
i"
T2
Evaluando el conmutador [µ α , H ],
µα +
[µ α , H ]
[
= µα , H 0 + H '
]
=
conmutador procede similarmente:
 E1
= [µ α , H ]H − H[µ α , H ], además H = H0+H’ = 
0
µα Eα 

E 2 
[[µ α , H ], H ]
µ α   E1
µα Eα 
 0
 E
 *
 ---  *1
= "Ω  *

 − µ Eα
E 2 
α
 − µ α 0   − µ α Eα

*
2 2
 − 2 "Ω µ α µ β E β
" Ω µα 

= 
 " 2 Ω 2µ *
2"Ωµ αµ *β E β 
α

Se usa el hecho que µ αµ *β es real
= 0. El conmutador
µα 
 , la evaluación del
0 
0  0
 + *
E 2   − µ α E α
µα Eα 

E 2 
 0
 *
− µ
α

µα Eα 
 =
0 
µα 
 "Ω
0 
La matriz anterior puede ser separada en dos matrices, una de las cuales corresponde al
 0 µα 
 , la otra es la matriz diagonal
operador momento dipolar µ α dado por  *

µ α 0 
1 0
 0 µ 
[[µ α , H ], H ] = " 2Ω 2  * α  --- 2"Ωµ αµ*β Eβ 
 = " 2 Ω 2µ α --- 2"Ωµ αµ *β E β ⋅ D , donde D es la
 0 − 1
µ α 0 
1 0 
matriz diagonal D = 

 0 − 1
Determinar cual observable representa la matriz diagonal D, note que de Tr (ρµ α ) =
µ α (H 0 + H ' ) --- (H 0 + H ' )µ α =
µ α H 0 + µ α H ' --- H 0µ α − H 'µ α =
[µ α , H 0 ]+ [µ α , H ' ]
[µ α , H ] = [µ α , H 0 ]+ [µ α , H ' ]
[µ α , H 0 ]
µ α E1 
 =
0 
µ α traza
D
= µα H 0 − µαH 0
19
= Tr (ρD ) traza
ρ 21  1 0 
 ρ
= Tr  11

 =
 ρ 21 ρ 22  0 − 1
20
(ρ11 − ρ 22 )
La matriz diagonal D corresponde a la probabilidad de diferencia de población entre los
niveles propios inferior y superior para el átomo de 2 niveles. La ecuación la segunda derivada
de µ α , da por
••
µα +
2 •
1
µα + 2 µα
T2
T2
=
1
"2
[[µ α , H ], H ]
por consiguiente proporciona la siguiente ecuación de movimiento para el momento dipolar
eléctrico
la segunda derivada de µ α , da por
••
µα +
2 •
µα + Ω2 µα
T2
=
2Ω
µ α µ *β (ρ11 − ρ 22 ) eβloc
"
eβloc → es un campo considerado dentro de la molécula
se toma Ω 2 >>
1
1
,
→tiempo de relajación transversal ancho de la transición
T22 T 2
Promedio molecular
Ν
Se asume que N =
átomos o moléculas por unidad de volumen
V
1 N
'
Polarización macroscópica total Pα =
∑ µ α = N v µ α , en donde la barra indica el
V i=1
promedio sobre todas las moléculas, el valor para µ α puede variar de una molécula a otra
debido a que cada molécula puede tener una orientación diferente
Tomando la orientación promedio de ambos lados de
••
2 •
2Ω
µα +
µα + Ω2 µα =
µ αµ*β (ρ11 − ρ 22 ) eβloc , se encuentra que del lado derecho el termino
T2
"
N v µ αµ *β (ρ11 − ρ 22 )
se asume que
eβloc →es constante a lo largo de todo el volumen
ρij→probabilidad de ocupar el estado ii --- enésimo
Nvρij , ρij promedio por orientación del valor promedio del numero de moléculas en el estado i
por unidad de volumen
Se define la diferencia de población como
(N1 – N2)≡ N V ρ11 --- N V ρ 22 = N v D
la ec de movimiento para la población macroscópica Pα = N v D , encontrada sumando que
da
••
Pα +
2 •
2Ω
Pα + Ω 2 Pα =
T2
"
µ αµ *β
Diferencia de poblaciones
(N1 – N2) ≡ N V (ρ11 − ρ 22 ) = N v D
1 0
Nv numero de atomos moléculas por unidad de volumen D= 

0 1
La diferencia de población es una medida de la energia almacenada en el medio cuantizable P
∂  "Ω
∂E
=
⇒ P = -(N1 − N 2 ) , D = ρ11 − −ρ 22
∂t  2
∂t

e
(
ρ11 − ρ 22 ) − (ρ11 − ρ 22 )
1
∂
(ρ11 − ρ 22 ) +
([D, H ]) evaluando el conmutador con ayuda de [D, H ] =
=
i"
T1
∂t
Para un medio isoterioco
! 2
! 2 ! 2 ! 2
! 2
µ12 = µ x + µ y + µ z = 3 µ x
! 2
••
2 •
2Ω µ x
(N1 − N 2 ) Eβloc
Pα + Pα + Ω 2 Pα =
T2
"
3
21
]
] [
]
Resumen de resultados
Pα +
µ αµ *β es el promedio de todas las orientaciones posibles
0
Ecs. Para el campo e/m para un medio óptico
Ecuaciones
de Maxwell
! !
! ! en el medio isotropico y en ausencia de cargas libres
∇ ⋅ B =0
∇ ⋅ D =0
!
! !
! !
∂D
∂B
∇×H= J +
∇ × E = -∂t
∂t
D = ε0E + P tot J = σE Termino para considerar las perdidas
B = µ0H
!
!
B = µ 0 H
!
!
tot
D = ε 0 E + P
Relaciones constitutivas  !
s
 D = εΕ + P
!
J = σ ⋅ Ε

Para llegar a la ecuación de onda
!
!
!
!
!
!
Aη ∂E
η2 ∂ 2 E
∂ 2 PS
P S polarización de transición
+ 2 2 = -- µ 2
∇ × (∇ × E ) +
c ∂t
c ∂t
∂t
ε
µ σc
1
c2 =
A= 0
coeficientes de amortiguamiento
η=
ε0
µ 0 ε0
η
••
(N1 − N 2 ) Eβloc
[
µα 
 0

+ H 1 = [D, H 0 ] + D, H 1 = D, H 1 = − −2 E α 
 − −µ α 0 
combinando las relaciones anteriores podemos llegar a la relación
e
•
∂
(N1 − N 2 ) + (N 1 − N 2 ) − (N 1 − N 2 ) = − − 2 P α E α10C
T1
"Ω
∂t
[D, H
! 2
2Ω µ x
2 •
(N1 − N 2 ) Eβloc
Pα + Ω 2 Pα =
"
3
T2
•
∂
(N1 − N 2 ) + (N 1 − N 2 ) − (N 1 − N 2 ) = − − 2 P α E α10C
T1
"Ω
∂t
!
!
!
!
!
!
Aη ∂E
η2 ∂ 2 E
∂ 2 PS
P S polarización de transición
+ 2 2 = -- µ 2
∇ × (∇ × E ) +
c ∂t
c ∂t
∂t
••
•• S !
!
1 !•
1
Resonador
E + ω2C E = E C ∫ P ⋅ E C dV
E +
τC
ε
e
22
~
P
1
1
1
1
=
+ +
τC
τ m τS τ d
donde
χ (ω )
Resumen de resultados
! 2
••
2 •
2Ω µ x
(N1 − N 2 ) Eβloc
Pα + Pα + Ω 2 Pα =
T2
"
3

1
1
1 T2
1
1
 . La susceptibilidad tiene parte
g~L (ω , Ω ) =
= 
−i
π (ω − Ω ) + i (1 T2 ) π  (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
(Ω − ω )2 + (1 T2 )2 
•
∂
(N1 − N 2 ) + (N 1 − N 2 ) − (N 1 − N 2 ) = − − 2 P α E α10C
T1
"Ω
∂t
!
!
!
!
!
!
Aη ∂E
η2 ∂ 2 E
∂ 2 PS
P S polarización de transición
+ 2 2 = -- µ 2
∇ × (∇ × E ) +
c ∂t
c ∂t
∂t
••
•• S !
!
1
1 !•
E +
Resonador
E + ω2C E = E C ∫ P ⋅ E C dV
ε
τC
1
1
1
1
donde
=
+ +
τC
τ m τS τ d
e
Procesos resonantes
Cuando un campo electromagnético de una frecuencia dada interactúa con un medio
que tiene una frecuencia de transición cercana a la misma, la interacción es resonante, y
varios fenómenos importantes asociados con la resonancia ocurren. Por ejemplo, la radiación
puede ser absorbida cuando pasa a través del medio, resultando el decaimiento de la onda
incidente. Esto es conocido como absorción resonante. O una onda incidente pasando a
través del medio puede experimentar incremento en vez de decaimiento debido al proceso
conocido como absorción negativa o emisión estimulada. Estos ocurren cuando las
poblaciones atómicas de los niveles involucrados en la transición son invertidos, esto es,
cuando el medio es excitado por alguna fuente adicional de manera que son más átomos en el
estado de energía más alto que en el más bajo. El máser y láser dependen de este proceso
para su operación. Otro importante fenómeno asociado con la resonancia es la saturación de
la transición por una señal intensa de manera que la absorción no toma lugar. La radiación
entonces pasa a través del medio no atenuada. Este efecto es denominado blanqueado de la
transición y tiene importantes aplicaciones en el control de láser para obtener grandes picos
en la potencia de salida
Buscamos la polarizacion a la frecuencia ω inducida a la misma frecuencia ( ω-Ω), con Ω
frecuencia de transición.
!
1 ~ i (ωt − kz )
Consideremos una onda plana propagándose en la dirección z P =
+c.c. y
Pe
2
!
1 ~ i (ωt − kz )
similarmente E = E e
+c.c. , ademas (~) indica la magnitud compleja
2
! 2
••
2Ω µ x
2 •
(N1 − N 2 ) Eβloc es
La solucion de la ecuación Pα + Pα + Ω 2 Pα =
"
3
T2
1
~ = 1 L µ12 (N − N )
L es la normalizacion de Lorent. Usamos la
P
E~
1
2
(ω − Ω ) + i(1 T2 )
"
3
condicion de resonancia ω ≈ Ω. La inversión se asume independiente del tiempo.
~ = ε χ (ω ) E~ , ε es la permitividad en el espacio libre
Se escribe P
0
0
χ (ω )
~
P
~ (E)
= P
µ
π
=
L 12 (N1 − N 2 )g~L (ω , Ω ) , susceptibilidad lineal del medio g~L (ω , Ω ) forma de la linea
ε 0"
3
es la susceptibilidad lineal del medio y χ (ω ) =
= ε 0 χ (ω ) (1) E1 + χ (ω ) (2) E2 + χ (ω ) (3) E3 +
23
µ
π
1
L 12 (N1 − N 2 )
ε 0"
(ω − Ω ) + i(1 T2 )
3
real yparte imginaria χ (ω ) = χ 1 (ω ) +i χ 11 (ω ); en donde
µ
1
π
1
χ 1 (ω ) =
L 12 (N1 − N 2 )
ε 0"
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
3
µ
1 T2
π
1
L 12 (N1 − N 2 )
ε 0"
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
3
!
1 ~ i (ωt − kz )
~ = ε χ (ω ) E~ , ε en la
Consideremos una onda plana: P = P
e
+c.c. y la relacion P
0
0
2
!
2!
2!S
2
!
!
!
Aη ∂E
η ∂ E
∂ P
expresión para el campo ∇ × (∇ × E ) +
P S polarización de
+ 2 2 = -- µ 2
c ∂t
c ∂t
∂t
transición
2 2
!
~ = ε χ (ω ) E~ , k2 = η ω 1 + χ (ω )  ; η = ε
Sustituimos E y P
0
ε0
η 2 
c 2 
χ (ω )
<< 1
Consideremos una transición debil
η2
ηω
ηω  1 χ (ω ) 
1 χ (ω )
1 +

k=
1+
≈
c
2 η2
c  2 η 2 
χ 11 (ω ) =
k = k1 + ik11
k=
ηω  1 χ 1 (ω ) 1 χ 11 (ω ) 
1 +

+i
c  2 η 2
2 η 2 
 1 χ 1 (ω ) 
ηω 1 χ 11 (ω )
1 +

k11 =
2
c 2 η2
 2 η 
ω
ω
Vf =
, entonces V f =
, la velocidad de fase ya no es constante, depende de la
k
k (ω )
frecuencia ω
k = k1 + ik11 ; Im(k)= k11
11
E ∝ e i (kz − wt )
E ∝ e − k z e i (kz − wt )
k1 =
ηω
c
Amortiguamiento absorcion de la onda (decaimiento )
I(z) = I0 e −2 k z
Γ = 2k11.
El coeficiente de absorcion Γ lo encontramos poniendo en χ11 ω ≈ Ω
µ
Ωπ
L 12 (N1 − N 2 )g L (ω , Ω )
Γ=
ε 0 "cη
3
1 T2
1
g L (ω , Ω ) =
, Γ depende de ω. Sin embargo para condiciones dadas lo
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
fundamental es que depende de (N1 − N 2 ).
Γ máximo valor cuando N2 = 0 entonces
todos los atomos moléculas se encuentran en su base dI ∝ Idz; dI = - Γ dz
11
24
Propiedades 1)
∫
∞
−∞
g L (ω , Ω )dw = 1; 2) ∆ω L =
2
ancho a la mitad del valor máximo ∆ω L =
T2
ω2-ω1
Demostración
∫
∞
−∞
g L (ω , Ω )dw = 1;
Sea z = ω - Ω;
1
π
1
π
2
(
1
π
=
1 T2
∫ (Ω − ω ) + (1 T ) dω ;
2
2
2
)
∫
2
Entonces ∆ω L =
T2
1 T2
1 T2
1
1
g L (ω , Ω ) =
=
;
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
π 0 + (1 T2 )2
2
2
2
= Ω − ω * + (1 T2 )
2
T2
(
2
2
a =  1  ; a 2 tan 2 θ + 1 = a 2 sec 2 θ ; z = +inf ent θ= π/2; z = -inf
 T2 
a 2 sec 2 θ
dθ
a 2 sec 2 θ
dz = dω;
ent θ= π/2 entonces
1 T2
∫ (Ω − ω ) + (1 T ) dω
(
)
1 T2
1 T2
=
2 π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
gL ω*, Ω =
)
Para f (ω , Ω ) = κe
−−−
(ω −Ω )
ω0 2
2
, encontrar el ancho
− −−
κ
= κe
2
(ω −Ω )
ω0 2
2
; ∆ω = 2 ln 2ω 0
Donde el asterisco denota el conjugado complejo. Debido a que la polarización puede ser
~ =∈ χ (ω )E~ como
expresada en términos del campo de acuerdo con P
0
~
~
P =∈0 χ (ω )E =∈0 (χ ' (ω ) + iχ ' ' (ω ))E~
donde χ (ω ) es la susceptibilidad lineal del medio
La ecuación (2) puede ser escrita en la forma
e
2
"Ω (N1 − N 2 ) − (N1 − N 2 ) 1
= Ωχ ' ' (ω ) E~ ... (3)
2
T1
2
El significado físico de (3) es que en estado de equilibrio el tiempo promedio de la diferencia de
población se ajusta de manera que la potencia neta perdida en el medio circundante
corresponda a la potencia entregada al sistema dipolar durante el proceso de absorción.
La susceptibilidad puede ser eliminada de (3) con ayuda de
2

1
µ
π
1 T2
, proporcionando, para la línea de
χ ' ' (ω ) = −
L 12 (N 1 − N 2 )
2
2 
"ε 0
3
 π (Ω − ω ) + (1 T 2 ) 
ensanchamiento homogéo,
e
(N 1 − N 2 ) = (NI1 −gN(2ω), Ω )
... (4)
L
1+
I sat T2 π
2
donde I = ηε c E~ 2 es la potencia por unidad de área portada por la onda y η es el índice de
0
Saturación
Cuando la radiación es absorbida, la energía promedio entregada al sistema dipolar de
dos niveles es generalmente perdida muy rápidamente al medio circundante debido al proceso
de relajación. Las características del sistema dipolar son inalteradas por el proceso de
absorción. Si la intensidad es bastante alta, sin embargo, el proceso de relajación no puede
ser suficientemente rápido para disipar la energía absorbida sin un reajuste significante de los
niveles de población de manera que las propiedades de absorción y dispersión empiezan a
saturarse. Para estudiar este fenómeno tomaremos en cuenta las consecuencias de la
solución a la ecuación de diferencia de población, enunciada a continuación:
refracción del medio. El termino I sat es un parámetro de saturación definido por
ηε 0c
I sat ≡
... (5)
2
µ
2 T1T2 " 2 L 12
3
donde I sat es la potencia por unidad de área que una onda en resonancia debe portar para
reducir la diferencia de población a una mitad de su valor no saturado.
La ecuación (4) es graficada en la figura 1.
(
)
→ →
∂
(N 1 − N 2 ) + (N 1 − N 2 ) − (N1 − N 2 ) = − 2 P⋅ E
...(1)
T1
"Ω
∂t
El primer término representa la potencia entregada al sistema dipolar, el segundo
representa el intercambio de potencia neta con el medio circundante, y el lado derecho de la
ecuación (1) corresponde a la potencia entregada por el campo aplicado.
En ausencia de un campo aplicado E, la solución en estado de equilibrio de la ecuación
de diferencia de población es simplemente
(N 1 − N 2 ) = (N 1 − N 2 )e
Esto es, el intercambio neto con el medio circundante es cero, y la diferencia de
población asume un valor constante de equilibrio. Si el sistema esta en equilibrio térmico con
su circundante entonces el equilibrio de población es dado por la distribución de Boltzman.
Si tomamos en cuenta los efectos del campo aplicado resultante del término del lado
derecho de (1), sin embargo, encontramos que la potencia entregada al sistema dipolar
produce el establecimiento de un nuevo valor de equilibrio. Se asumen ondas viajeras de la
→
→
1 ~ i (ωt −kz )
1
forma P = P
e
+ c.c. para P y E = E~e i (ωt −kz ) + c.c. para E e igualando las componentes
2
2
independientes del tiempo en cualquier lado de (1), obtenemos
e
"Ω (N 1 − N 2 ) − (N 1 − N 2 )
iω ~ ~ * ~ * ~
(P ⋅ E − P ⋅ E )
... (2)
=−
2
4
T1
Fig. 1 Saturación de diferencia de población por unidad
de volumen con intensidad de campo creciente
En campos altamente intensos se ve que la diferencia de población se aproxima a cero, esto
es, las poblaciones de los niveles superior e inferior llegan a ser casi iguales. A pesar de la
intensidad del campo aplicado, es imposible por el proceso de absorción resonante descrito
aquí invertir la diferencia de población, es decir, poner más átomos en el nivel superior que en
el nivel inferior. La inversión de población, la cual es requerida en la operación de láseres y
máseres, es cumplida por procesos que involucran otros niveles de energía. El factor que
multiplica I I sat en (4) y en la figura 1 es la unidad para ω=Ω y menor en cualquier otro caso,
indicando que la eficiencia del campo en saturación de transición es más alta en resonancia.
25
26
e
∗
La combinación de
µ
Ωπ
L 12 (N 1 − N 2 )g L (ω , Ω ) ,
" ε 0 nη
3
1 T2
1
g L (ω , Ω ) =
y
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
2
Γ=
(N 1 − N 2 ) =
(N 1 − N 2 )e
I g L (ω , Ω )
1+
I sat
T2 π
proporciona una expresión para la constante de absorción cuando la saturación llega a ser
importante,
2
µ
1 T2
Ωπ
e 1
L 12 (N 1 − N 2 )
|
... (6)
Γ=
π (Ω − ω )2 + (1 T2 )2
"ε 0 nη
3
El valor no saturado para Γ puede obtenerse de (6) poniendo I=0. Los efectos de
saturación son el achatamiento y ensanchamiento del factor de la forma de la línea de manera
que el pico de absorción disminuye por la cantidad
1
... (7)
Γ(Ω ) = Γunsat (Ω )
1 + (I I sat )
y el ancho de línea aumenta según la cantidad
∆ω L = ∆ω Lunsat ∆ 1 + (I I sat ) ...8
Estos efectos se ilustran en la figura 2
Fig. 2 Constante de absorción
bajo condiciones de saturación
Como los niveles de potencia en saturación son aproximados, la combinación de una
absorción constante decreciente con la intensidad creciente conduce al resultado de que la
potencia absorbida por unidad de volumen, P = ΓI , saturada en un nivel constante Psat
mostrada en la figura 3.
Fig. 3 Potencia absorbida por unidad de volumen
en resonancia bajo condiciones de saturación.
combinando las ecuaciones (4), (5), y (6), para I I sat >> 1 obtenemos en resonancia
Psat (Ω ) = Γunsat (Ω )I sat =
"Ω (N1 − N 2 )
2
T1
e
... (9)
De la primera igualdad en (9) vemos que en saturación completa la potencia absorbida
por unidad de volumen se aproxima al valor correspondiente al cual se absorbería en un nivel
de intensidad I = I sat si la constante de absorción se mantuviera en su valor no saturado.
Puesto que hasta aquí la potencia puede ser absorbida por el sistema dipolar bajo esta
condición, se dice que la transición es “blanqueada”, y cualquier potencia adicional agregada
a la onda se propaga a través del medio no atenuada.
La medida de los efectos de saturación es algunas veces es útil determinando el tiempo
de relajación constante T1 . Todo es requerido en la medición de la constante de absorción no
saturada y el ancho de la línea ( determinar lo elementos matriciales µ12
2
y ancho de la línea
∆ω Lunsat = 1 T2 ) seguido por la medición de la constante de absorción o el ancho de la línea bajo
condiciones de saturación para determinar el parámetro I sat de Γ(Ω ) = Γunsat (Ω )
1
o
1 + (I I sat )
∆ω L = ∆ω Lunsat ∆ 1 + (I I sat ) . la constante de tiempo T1 puede entonces obtenerse resolviendo
I sat ≡
ηε 0 c
(2T1T2 )L
µ12
3
2
.
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