Tesis Electrónicas UACh - Universidad Austral de Chile

Universidad Austral de Chile
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles
"MODELACIÓN NUMÉRICA DE PROCESOS
GEOLÓGICOS"
Tesis para optar al Título de:
Ingeniero Civil en Obras Civiles
Profesor Patrocinante:
Sra. Gisa Kleine-Vennekate
Ingeniero Civil
Profesor Co-Patrocinante:
Sr. Luis Collarte Concha
Ingeniero Civil. M.Sc. en Ingeniería Civil.
Especialidad Hidráulica Mecánica de Suelos
VÍCTOR MANUEL ALEJANDRO MUÑOZ MANDIOLA
VALDIVIA - CHILE
2012
Índice General
I
Introducción
1
I.1
Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2.1
Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2.2
Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I.3
II Leyes Constitutivas
4
II.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II.2 Representación Espacial del Comportamiento de Suelos . . . . . . . . . . . . . . .
5
II.3 Comportamiento Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
II.4 Estado Límite y Superficie de Fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.5 Potencial Plástico y Dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
II.6 Nociones de la Teoría Cam Clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
II.6.1
Traza de Compresión Isotrópica y Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
II.6.2
Línea de Estado Crítico (CSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
II.6.3
Curso de un Ensayo Triaxial Según la Teoría Cam Clay . . . . . . . . . . .
13
III Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
16
III.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
III.2 Parámetros Bajo Distintos Niveles de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
III.2.1 Envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
III.2.2 Parámetros Elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
III.3 Consideraciones a Distintas Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Índice General
III.3.1 Grado de Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
III.3.2 Variación de Parámetros a Distintas Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
III.4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
IV Ley Constitutiva SR3
27
IV.1 Poroelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
IV.2 Superficie de Fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
IV.3 Envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
IV.4 Regla de Fluencia y Dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
IV.5 Hardening/Softening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
IV.6 Parámetros de la Ley Constitutiva SR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
IV.6.1 Curva de Fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
IV.6.2 Potencial Plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
IV.6.3 Parámetros Elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
IV.6.4 Parámetros de Reblandecimiento/Endurecimiento . . . . . . . . . . . . . .
37
IV.6.5 Parámetro de Dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
IV.6.6 Residual Friction Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
IV.6.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
V Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
44
V.1 Ensayos de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
V.2 Simulación de los Ensayos Triaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
V.3 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
VI Conclusiones
55
A Evaluación de los Ensayos Triaxiales
60
B Ensayo de Compresión Simple
64
C Ángulo de Dilatancia
66
D Ejemplo de Aplicación
68
Índice General
D.1 Descripción del Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
D.1.1 Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
D.1.2 Montaje del Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
D.2 Determinación de la Curva de Fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Índice de Figuras
1
Representación espacial en sistema p − q − e . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Estado límite según criterio Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Resultados obtenidos en laboratorio de un ensayo de compresión simple . . . . .
7
4
Tipos de comportamientos de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5
Potencial plástico e incremento de deformación plástica; Regla de fluencia asociada
y no asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
6
Ángulo de dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7
Consolidación isotrópica y descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
8
Línea de estado crítico en diagrama p − q − e . . . . . . . . . . . . . . . .
12
9
Línea de estado crítico e incremento de deformación en estado crítico en plano p − q
12
10
Ensayo triaxial CD, probeta levemente sobreconsolidada. . . . . . . . . . . .
14
11
Ensayo triaxial CD, probeta fuertemente sobreconsolidada . . . . . . . . . . .
15
12
Criterio de falla Mohr-Coulomb en el plano τ − σn0 . . . . . . . . . . . . . .
18
13
Criterio de falla Mohr-Coulomb en el plano σ10 − σ30 . . . . . . . . . . . . .
18
14
Curva envolvente de Mohr no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
15
Variación de φ en función de σ según Baker, 2003 . . . . . . . . . . . . . .
21
16
Curva envolvente según Maksimovic y variación del ángulo de fricción en función
del esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
17
Comparación de las tres leyes poroelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
18
Superficie de fluencia en el plano p − q y en el plano desviador . . . . . . . . .
29
19
Curva de fluencia del modelo SR3 en el plano τ − σ . . . . . . . . . . . . .
30
20
Variación del ángulo de fricción interna del modelo SR3 respecto al nivel de tensiones 30
Índice de Figuras
21
Regla de fluencia en el plano p − q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
22
Modelo de endurecimiento (hardening) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
23
Curva de fluencia del modelo SR3 en el plano p − q . . . . . . . . . . . . .
33
24
Influencia del parámetro de fricción del modelo SR3 en la curva de fluencia . . . .
33
25
Curva de fluencia para diversos valores de pc . . . . . . . . . . . . . . . .
34
26
Curva de fluencia del modelo SR3 para diversos valores de n . . . . . . . . . .
34
27
Diagrama esfuerzo desviador vs deformación volumétrica . . . . . . . . . . .
35
28
Deformación axial vs deformación volumétrica . . . . . . . . . . . . . . .
36
29
Respuesta en el plano p − e para a) distintos módulos de elasticidad b) distintos
módulos de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
30
Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para tres valores de κ . . . . . .
37
31
Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de κ. . . . . . .
37
32
Respuesta en el plano p − e para tres valores de κ . . . . . . . . . . . . . .
38
33
Respuesta en el plano p − e para tres valores de λ − κ. . . . . . . . . . . . .
38
34
Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para tres valores de λ − κ . . . .
38
35
Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de λ − κ . . . . .
39
36
Deformación axial vs deformación volumétrica para dos valores del parámetro de
dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para dos valores del parámetro de
dilatancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
38
Respuesta en el plano p − e para dos valores del parámetro de dilatancia . . . . .
40
39
Traza de tensiones en el plano p − q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
40
Fluencia en las tres distintas zonas representada en el plano p − e . . . . . . . .
42
41
Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de la presión de
confinamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Deformación axial vs deformación volumétrica plástica para tres valores de la presión
de confinamiento lateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
43
Resistencia al corte vs deformación axial.. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
44
Resistencia al corte vs deformación axial, acercamiento. . . . . . . . . . . . .
45
45
Deformación volumétrica vs deformación axial. . . . . . . . . . . . . . . .
46
37
42
Índice de Figuras
46
Ajuste de los parámetros a la curva de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
Respuesta en el plano p − q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
Ajuste de la curva esfuerzo-dilatancia a los puntos experimentales. . . . . . . . .
49
49
Comparación de los resultados análogos y numéricos para E = 23.551 M P a, ν =
0.335), λ = 0.03323, κ = 0.006 y ψ = 48◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Comparación de los resultados análogos y numéricos para E = 23.551 M P a, ν =
0.335), λ = 0.18, κ = 0.006 y ψ = 48◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
51
Traza en plano p − e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
52
Traza en el plano p − e para igual índice de poros . . . . . . . . . . . . . .
51
53
Esfuerzo desviador q vs deformación radial y axial para κ = 0.006, λ = 0.18 y
ψ = 38◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Esfuerzo desviador q vs deformación volumétrica para κ = 0.006, λ = 0.18 y ψ =
38◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
55
Deformación volumétrica vs deformación radial para κ = 0.006, λ = 0.18 y ψ = 38◦
53
56
Influencia de pc en el ajuste de la curva de fluencia con los puntos obtenidos experimentalmente, para niveles de tensiones bajos a medios . . . . . . . . . . . .
56
57
Estimación del tamaño de la curva de fluencia mediante la línea odométrica . . . .
56
58
Cálculo del módulo de elasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
59
Cálculo del módulo de Poisson.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
60
Determinación de los coeficientes de deformación en el diagrama deformación-índice
de poros (logσ 0 -e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
61
Montaje de experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
62
Definición de las superficies en ELFEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
63
Representación de los puntos calculados en el plano τ − σ para la arena de cuarzo. .
71
64
Representación de los puntos calculados en el plano τ − σ para la arena corundum. .
71
65
Ajuste de la curva de fluencia del modelo SR3 a los puntos calculados para la arena
de cuarzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Ajuste de la curva de fluencia del modelo SR3 a los puntos calculados para la arena
corundum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
50
54
66
Índice de Figuras
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
13 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
74
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
17 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
75
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
21 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
76
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
25 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
77
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
29 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
78
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
33 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a]. . . . . . . . . . . . . . .
79
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 13 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
80
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 17 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
81
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 21 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
82
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 25 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
83
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 29 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
84
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 33 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
85
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 37 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
86
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 41 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
87
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 45 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
88
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 49 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
89
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 53 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
90
Índice de Figuras
84
85
86
87
88
89
90
91
92
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 57 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
91
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 61 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
92
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 65 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
93
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 65 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008. . . . . . . . . .
94
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
13 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
17 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
21 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
25 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
29 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
93
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
33 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
94
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
37 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
95
Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
41 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Índice de Tablas
1
Determinación de parámetros para distintas escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2
Ejemplo de determinación de parámetros para distintas escalas. . . . . . . . . . . .
25
3
Módulo de Elasticidad y Coeficiente de Poisson obtenidos de los ensayos de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4
Parámetros utilizados para la evaluación de los resultados numéricos . . . . . . . .
47
5
Índice de poros inicial de las probetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6
Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 100 kN/m2 . . . . . . . .
61
7
Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 200 kN/m2 . . . . . . . .
61
8
Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 400 kN/m2 . . . . . . . .
62
9
Cálculo del módulo de elasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
10
Cálculo del módulo de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
11
Puntos necesarios para la determinación de Cc y Cs . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
12
Resultados de ensayos triaxial en el momento de alcanzar la fluencia y después de
ella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
13
Ángulo de dilatancia en el momento de alcanzar la fluencia. . . . . . . . . . . . . .
67
14
Descripción de los materiales para el experimento Sandbox . . . . . . . . . . . . .
69
15
Valores de fricción entre superficies de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
16
Determinación de p y q a partir de τ y σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
17
Valores de los parámetros estudiados en el experimento sandbox y desplazamiento
alcanzado por la pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Resumen
Se propone un método para determinar los parámetros que definen la ley constitutiva SR3, implementada en un software de elementos finitos orientado a la modelación de comportamiento de
suelos. En base a ensayos de laboratorio y simulaciones numéricas se dedujo que varios parámetros del modelo SR3 no pueden ser determinados de la forma propuesta en la información teórica
disponible, por lo que se presenta un método alternativo.
Debido a que el enfoque de la ley constitutiva SR3 es representar la respuesta experimental observada en formaciones rocosas, se realiza una revisión bibliográfica respecto a la influencia del nivel
de esfuerzos en el comportamiento de suelos y cómo la ley constitutiva SR3 toma en cuenta estos
planteamientos. Conjuntamente se presentan las consideraciones que deben cumplirse para realizar
ensayos de procesos geológicos a distintas escalas.
Abstract
In order to determine the parameters defined for SR3 constitutive law, which is implemented on a
finite element software oriented to numerical modeling of soil behavior, a procedure is proposed.
Based on laboratory tests and numerical simulations, it is concluded that several parameters of SR3
model can not be determined as the available theoretical information proposes, so that an alternative method is presented.
Due to SR3 constitutive law aims to represent the experimental observed behavior of rock formations, a the state of the art review is carried out to determine how this model takes into account this
statements. Jointly, considerations that must be accomplish when considering geologic models at
different scales are presented.
Capítulo I
Introducción
La corteza terrestre se forma debido a diversos procesos geológicos. Las fallas, originadas por
movimientos de placas tectónicas, representan elementos de significativa importancia. La comprensión de la formación de fallas geológicas y de sus características mecánicas están entre los
desafíos más importantes de la geología aplicada.
Para lograr entender estos procesos naturales se recurre con frecuencia a modelos simplificados
que tomen en cuenta las variables más significativas. Una de las formas más directas de evaluar
el comportamiento de estos procesos es recurrir a modelos a escala realizados en laboratorio; por
otra parte, la aparición de métodos numéricos cada vez más eficientes en la solución de complejos problemas analíticos ha permitido el desarrollo de entornos capaces de reproducir de manera
aproximada la respuesta de suelos mediante simulaciones computacionales. Métodos como el de
elementos finitos, diferencias finitas y elementos de contorno se cuentan entre los más difundidos
en los códigos numéricos.
En las simulaciones numéricas, la ley constitutiva utilizada para modelar el comportamiento del
material resulta determinante. Para esto debe ser utilizada una ley constitutiva que represente de
forma adecuada el comportamiento tensión-deformación del material para niveles de tensiones bajos como también a altos niveles de tensiones, correspondientes a los encontrados en la naturaleza.
I.1 Planteamiento del Problema
Algunos softwares comerciales destinados a representar el comportamiento de materiales incluyen
varias leyes constitutivas. La elección de una de éstas depende de los objetivos que se busquen en
el problema específico y, desde luego, del tipo de problema que se esté abordando. Por ejemplo, en
un problema particular se puede buscar soluciones con la mayor aproximación posible sin importar
el aumento en el tiempo de cálculo que el proceso pueda tomar; en otros puede ser tolerable una
cierta merma en exactitud, privilegiando la velocidad de cálculo; o en otros puede ser deseable
utilizar una ley constitutiva que presente mayor simplicidad en la determinación de sus parámetros.
1
Capítulo I. Introducción
Uno de los modelos más difundidos para la predicción de comportamiento de suelos es el modelo
Cam Clay, planteado por Roscoe y Burland (1968). Este modelo fue inicialmente desarrollado para
predecir el comportamiento de arcillas; sin embargo su uso ha sido extendido a suelos no arcillosos,
donde se ha desempeñado de forma satisfactoria.
A pesar de que la teoría Cam Clay es un modelo que muestra buenos resultados en la mayoría
de los problemas, las pretensiones de mayor exactitud han derivado en el desarrollo de nuevos
modelos. Entre éstos se cuenta el modelo SR3, desarrollado por Rockfield Software Limited y está
implementado en el software de elementos finitos ELFEN.
Con la finalidad de continuar las investigaciones referentes formación de fallas geológicas, el Instituto de Geotecnia de la Universidad Técnica de Aachen adquirió las patentes de dicho software.
Previo a su uso será necesario realizar una serie de aplicaciones teórico-practicas que ayuden a
orientar a los usuarios en las principales características de la ley constitutiva implementada, así
como también en la definición de sus parámetros. De este modo, se plantea la necesidad de hacer
un trabajo inicial de tipo exploratorio que permita focalizar futuros esfuerzos en el uso y desarrollo
de este programa, lo que origina esta tesis.
I.2 Objetivos
I.2.1
Objetivos Generales
El objetivo general de este trabajo es, mediante una revisión del estado del arte, ensayos de laboratorio y simulaciones numéricas, exponer los principales conceptos a tener en cuenta en la
representación de comportamiento de suelos utilizando el software de elementos finitos ELFEN y
la ley constitutiva SR3 implementada en él.
I.2.2
Objetivos Específicos
• A partir de revisión bibliográfica mostrar cómo influyen los diferentes niveles de tensiones y
las diferentes escalas en los parámetros de los modelos constitutivos.
• Determinar cómo la ley constitutiva SR3 considera los planteamientos del punto anterior.
• Plantear un procedimiento mediante un programa de ensayos de laboratorio que permita determinar los parámetros de la ley constitutiva SR3.
2
Capítulo I. Introducción
I.3 Metodología
Para lograr comprender la ley constitutiva SR3 se considera fundamental partir con una exposición
general de los modelos clásicos utilizados en la descripción de comportamiento de suelos, partiendo
del criterio de Mohr-Coulomb hasta la teoría Cam Clay. A la vez se complementa esta información
con estudios referentes a la influencia del nivel de tensiones en los parámetros que definen un
material y a cómo deben ser ajustados algunos parámetros al ser llevados a distintas escalas.
Teniendo esta base teórica, se introducen a continuación las características principales del modelo
SR3. Para esto se tomará como base el manual ELFEN Training Notes. Con la finalidad de mostrar
esquemáticamente la influencia de los parámetros más importantes de la ley constitutiva SR3, se
analizarán las respuestas obtenidas al variar cada uno de ellos.
Posteriormente se realizarán ensayos de laboratio para determinar de forma experimental los parámetros de la ley constitutiva SR3. Los ensayos elegidos son ensayo triaxial drenado y ensayo
edométrico que serán llevados a cabo en el Laboratorio del Instituto de Geotecnia de La Universidad Técnica de Aachen. Los parámetros así determinados serán introducidos en la ley constitutiva
SR3 y a partir de ellos se simulará un ensayo triaxial mediante el software ELFEN. Se realizará una
comparación de la respuesta obtenida experimentalmente en laboratorio y la respuesta numérica.
En base a esta comparación se determinará si los parámetros obtenidos son adecuados. De no ser
así se propondrán métodos alternativos para su estimación.
Finalmente se desarrolla un ejemplo de aplicación de un proceso geológico. Como base de esta
modelación se tomarán las restricciones establecidas por Buiter y Schreurs (2008) para el experimento 1B utilizando la ley constitutiva SR3, así como otra información significativa recabada en el
transcurso de este trabajo.
3
Capítulo II
Introducción a las Leyes Constitutivas más
Difundidas
II.1 Introducción
En este capítulo se dará una vista general sobre distintos parámetros incorporados en las leyes
constitutivas más comunes.
Una ley constitutiva es un modelo matemático que describe el comportamiento mecánico de los
materiales, tanto en el rango elástico como plástico. En nuestro caso, representa la relación entre
los esfuerzos actuantes en el suelo y las deformaciones que tienen lugar.
Componentes de una ley constitutiva son (Wood, 1990):
• Comportamiento elástico
• Superficie de fluencia
• Potencial plástico
• Hardening/Softening (endurecimiento/reblandecimiento)
Para la resolución de problemas deformación dependientes deben ser utilizados, por lo general,
procedimientos numéricos, como por ejemplo el método de elementos finitos.
En este capítulo se presenta una descripción general de los parámetros más importantes que son
utilizados en las leyes constitutivas más comunes aplicadas a la mecánica de suelos.
4
Capítulo II. Leyes Constitutivas
II.2 Representación Espacial del Comportamiento de Suelos
Un ensayo triaxial es la forma más convencional de determinar las características mecánicas de
una muestra de suelo. Para describir el comportamiento de una muestra de suelo, en un ensayo
triaxial son utilizadas variables del tipo tensión-deformación, que consideran la simetría respecto
al eje radial de la probeta. Para ensayos triaxiales los esfuerzos pueden ser expresados en términos
de las variables p y q (ec. 1).
1
p = (σ10 + 2σ30 )
3
q = σ10 − σ30 = σ1 − σ3
(1)
Para la representación del comportamiento elasto-plástico del suelo bajo condiciones de simetría
radial, se utiliza un sistema tridimensional cuyos ejes son p, q y e, donde e representa el índice de
poros. Para representar un efecto determinado se utiliza, por lo general, las proyecciones en los
planos p − q, e − p y e − lnp (vea fig. 1).
Figura 1: Representación espacial en sistema p − q − e.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
II.3 Comportamiento Elástico
El comportamiento lineal elástico es caracterizado mediante dos constantes. Normalmente son
éstas el módulo de Poisson ν y el módulo de elasticidad E, definidos según:
ν = −εr /εa ,
E = σ/εa
(2)
Donde εr es la deformación radial, εa es la deformación axial y σ el esfuerzo normal. De forma
alternativa se puede expresar el comportamiento elástico mediante el módulo de compresión K y
el módulo de corte G, definidos por:
5
Capítulo II. Leyes Constitutivas
K=
E
3(1 − 2ν)
G=
E
2(1 + ν)
(3)
Una muestra de suelo isotrópica se comporta, bajo condiciones triaxiales, según la ecuación:
dεp =
1
dp
K
dεq =
1
dq
3G
(4)
εp representa el cambio de volumen y εq el cambio de forma.
II.4 Estado Límite y Superficie de Fluencia
La existencia de estados límite es una característica típica de los suelos. En ensayos triaxiales
normalmente se representa el estado límite por la recta de Mohr-Coulomb (vea fig. 2).
Figura 2: Estado límite según criterio Mohr-Coulomb
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
La ecuación que define este estado límite es:
F (σ) = τ − c − σtanφ = 0
con
6
(5)
Capítulo II. Leyes Constitutivas
1
τ = (σ1 − σ3 )cosφ
2
y
1
1
σ = (σ1 + σ3 ) − (σ1 − σ3 )sinφ
2
2
(6)
Para representar el concepto de fluencia en suelos, se analizará un resultado típico de un ensayo
de compresión simple (fig. 3). La probeta es cargada primero desde el punto A al punto B. En
el punto B se descarga, esto es, el esfuerzo alcanzado en el punto B representa el esfuerzo de
preconsolidación. Debido a que la muestra de suelo ha sido descargada, se dice que se encuentra
sobreconsolidada. Se aprecia claramente que al realizar la descarga, la probeta no regresa al estado
inicial, lo que nos indica que deformaciones plásticas han tenido lugar. A medida que la probeta es
cargada nuevamente, se observa una variación entre la traza de carga (línea C − B) y la de descarga
(línea B − C). Esto se conoce como histéresis. Para fines de modelación se considera, en general,
que ambas trazas coinciden y que el comportamiento entre carga y descarga es puramente elástico.
Una vez que el punto B ha sido sobrepasado en el nuevo proceso de carga, el comportamiento deja
de ser elástico y el punto B pasa a representar un punto de fluencia, y con esto se alcanza un nuevo
esfuerzo de preconsolidación. Si la probeta es descargada nuevamente (punto D), nos encontramos
nuevamente en rango elástico (línea D − E).
En general, la fluencia está asociada a una variación en la inclinación de la curva tensión-deformación.
Figura 3: Resultados obtenidos en laboratorio de un ensayo de compresión simple.
El comportamiento del suelo puede ser descrito por los esquemas mostrados en la figura 4. El comportamiento elástico se caracteriza porque el esfuerzo depende sólo de la deformación alcanzada en
un determinado momento y porque al quitar la carga aplicada se vuelve al estado de deformaciones
inicial (figura 4 a)). Al alcanzar el límite de fluencia (σf en la figura 4 b), c) y d)) se observan
deformaciones permanentes. En el caso lineal-plástico ideal (figura 4 b) no es posible un aumento
7
Capítulo II. Leyes Constitutivas
de los esfuerzos tras alcanzar el estado de fluencia. Para un material plásticamente endurecido
(hardening) el límite de fluencia es alcanzado después de un ciclo carga-descarga-carga, cuyo valor
es mayor al obtenido en el primer ciclo de carga σf 1 ( fig. 4c)). Si al alcanzar el límite de fluencia
cae la resistencia del material, se habla de comportamiento blando (softening) (fig. 4 d)(Lehrstuhl
für Geotechnik im Bauwesen RWTH, 2007).
Figura 4: Tipos de comportamientos de materiales a) elástico b) lineal elástico ideal plástico c)
lineal elasto-plástico endurecido (hardening), d) lineal elástico "ablandado" (softening).
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
Para estados de tensiones en general, el conjunto de los puntos de fluencia da por resultado una
superficie F(σ) = 0 en el sistema p−q−e. Esta superficie une combinaciones de estados principales
de tensiones en los cuales ocurre fluencia. Esta superficie se conoce como superficie de fluencia.
Una función de fluencia f (σ) = 0 es la frontera que separa el estado elástico del plástico. Si los
esfuerzos son expresados en función de las variables p y q, la función de fluencia pasa a llamarse
curva de fluencia. La función de fluencia es una función que expresa los esfuerzos y las deformaciones plásticas (ec.7).
F =f (σij , εpij )
(7)
II.5 Potencial Plástico y Dilatancia
Para las deformaciones plásticas se asume que existe un potencial plástico Ψ expresado por:
dεpij = λ
∂Ψ
∂σij
(8)
Debido a las características matemáticas de una función potencial, la dirección del incremento
de la deformación plástica dεpij es perpendicular a la superficie del potencial plástico Ψ. Así, su
8
Capítulo II. Leyes Constitutivas
dirección está determinada por la magnitud escalar desconocida λ. Un potencial plástico controla
el mecanismo de deformación plástica cuando el suelo está en fluencia (Wood, 1990).
Figura 5: a) Potencial plástico e incremento de deformación plástica, b) Regla de fluencia
asociada y no asociada.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
En las leyes constitutivas elasto-plásticas más sencillas se considera a menudo que el potencial
plástico y la superficie de fluencia coinciden. Según esta definición, el incremento de la deformación plástica es también perpendicular a la superficie de fluencia. En este caso se habla de regla de
fluencia asociada. En general es f 6= Ψ y con esto dεpij no es perpendicular a f . Este caso general se
denomina regla de fluencia no asociada, en la que se utiliza habitualmente para el potencial plástico
Ψ una función análoga a la función de fluencia para la cual solamente se intercambia el ángulo de
fricción interna φ por el ángulo de dilatancia ψ, ψ < φ (vea fig. 5).
La ubicación de un punto en el potencial plástico determina la razón entre el incremento desviador
de deformación plástica δεpq y el incremento volumétrico de deformación plástica δεpv ; esto es, si el
material está siendo compactado o dilatado.
Una medida útil para visualizar la dilatancia es el ángulo β entre el vector de incremento de deformación y el eje p (vea fig. 6), donde
"
β = tan−1
δεpq
δεpv
#
(9)
II.6 Nociones de la Teoría Cam Clay
Para comprender mejor los capítulos venideros es útil presentar algunas nociones del modelo Cam
Clay.
La teoría Cam Clay fue desarrollada para describir el comportamiento de suelos cohesivos en ensayos triaxiales. Es principalmente adecuada para describir el comportamiento de suelos cohesivos
9
Capítulo II. Leyes Constitutivas
Figura 6: Ángulo de dilatancia.
Fuente: ELFEN training notes.
normalmente consolidados o suelos levemente sobreconsolidados y pertenece al tipo de leyes constitutivas elasto-plásticas.
II.6.1
Traza de Compresión Isotrópica y Descarga
Una probeta de suelo que sea consolidada a una presión p = σ0 aplicada en todas direcciones,
a continuación descargada y posteriormente nuevamente cargada, se comporta como muestra la
figura 7.
Figura 7: Consolidación isotrópica y descarga. Representación normal y semilogarítmica.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
Si se omite la histéresis que se produce en los procesos descarga-carga, los trazos del ensayo pueden
ser representados con buena aproximación en un diagrama semilogarítmico para la presión media
como una línea recta.
10
Capítulo II. Leyes Constitutivas
La línea que representa la carga hidrostática primaria se conoce como Línea de Consolidación
Normal (NCL del inglés Normal Consolidation Line) (ec.10).
e = N − λln(p)
(10)
La pendiente λ es una constante del suelo. N representa en índice de poros para ln(p) = 0, esto
es, para p = 1 y con esto es también una constante del suelo que depende del sistema de unidades
utilizado. A lo largo de la línea de consolidación normal tienen lugar tanto deformaciones elásticas
como plásticas. Las deformaciones provocan, a causa de la presión hidrostática, solamente un
cambio de volumen (εp 6= 0) sin variar la forma de la probeta. La traza de descarga-carga puede
ser aproximada mediante la ecuación:
e = eκ − κln(p)
(11)
La pendiente κ es una constante del suelo, a la vez que la intersección en el eje, eκ , depende del
valor p sobre la NCL para el cual tiene lugar la descarga (Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen
RWTH, 2007).
A lo largo de las líneas descarga-carga el material se comporta de forma puramente elástica. La
probeta está en estos casos sobreconsolidada.
Las ecuaciones descritas anteriormente no pueden ser utilizadas para grandes presiones isotrópicas
p, pues en estas circunstancias el índice de poros se vuelve teóricamente menor a cero, lo cual
físicamente no es posible.
II.6.2
Línea de Estado Crítico (CSL)
La línea de estado crítico (CSL, del inglés Critical State Line) es la línea definida por los puntos
más altos de la superficie de fluencia. Estos puntos determinan un estado en el que tiene lugar un
cambio de forma sin restricción y un cambio de volumen nulo (vea. fig. 8).
Como en el modelo Cam Clay se habla de una regla asociada (potencial plástico coincide con la
curva de fluencia), es usual expresar simultáneamente en el plano p − q el cambio de volumen εpp y
el cambio de forma εpq paralelo a los ejes p y q, respectivamente (vea figura 9). En tal diagrama la
línea de estado crítico es una línea recta. El punto de intersección entre la línea de estado crítico y
la curva de fluencia representa el estado crítico, en donde el incremento de deformación plástica se
dirige verticalmente hacia arriba, lo cual significa que sólo existe un cambio de forma siendo nulo
el cambio de volumen (dεpp = 0).
11
Capítulo II. Leyes Constitutivas
Figura 8: Línea de estado crítico en diagrama p − q − e.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
Figura 9: Línea de estado crítico e incremento de deformación en estado crítico en plano p − q.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
12
Capítulo II. Leyes Constitutivas
II.6.3
Curso de un Ensayo Triaxial Según la Teoría Cam Clay
En este trabajo se consideran solamente ensayos consolidados drenados (CD). A continuación se
mostrará de forma esquemática dos ensayos triaxiales; uno que experimente el proceso llamado
hardening (endurecimiento) y el otro softening (reblandecimiento).
Probeta Levemente Sobreconsolidada en Ensayo Triaxial Consolidado Drenado
Al cargar la probeta de forma isotrópica, la traza en el diagrama p − q − e queda representado
por una línea en el plano p − e, la cual recibe el nombre de Línea de Preconsolidación Normal.
Al realizar el proceso de descarga isotrópica (punto A en la fig. 10), la traza sigue estando en el
plano p − e pero esta vez la línea definida por este trayecto se denomina Línea de Descarga (línea
A − B en la figura 10). A partir del punto B se aumenta la presión desviadora q manteniendo
constante la presión de confinamiento lateral σ3 , lo que da como resultado un trazado, que visto en
el plano p − q queda representado por un recta de la forma ∆q/∆p = 3 : 1 y en el plano p − e se
observa un retorno a través de la línea de descarga hasta alcanzar la superficie de fluencia (punto
C en la figura 10). Manteniendo las condiciones del ensayo, el trazado del diagrama en el plano
p − q sigue la tendencia lineal descrita anteriormente; en el plano p − e, a su vez, se observa una
desviación con respecto a la línea de descarga (línea A − B en la figura 10). De aquí en adelante
la traza atraviesa curvas de fluencia a las que corresponden presiones de preconsolidación mayores
respecto a la curva precedente. La curva de fluencia que posee la mayor presión de preconsolidación resulta de la intersección de la traza con la línea de estado crítico (CSL). Esta intersección
esta representada por el punto F de la figura 10. La presión de preconsolidación de esta curva se
obtiene de la proyección de punto G en el eje p.
Como a lo largo del ensayo la presión media ha sido incrementada manteniendo la probeta drenada,
el volumen de ésta se reduce. Tras alcanzar la curva de fluencia, el esfuerzo desviador q sigue
aumentando. Este comportamiento es conocido como hardening (endurecimiento).
Probeta Fuertemente Sobreconsolidada en Ensayo Triaxial Consolidado Drenado
La probeta es consolidada en todas direcciones (punto A en la figura 11) y posteriormente descargada isotrópicamente (punto B en figura 11). A partir de este punto se incrementa el esfuerzo
desviador q, manteniendo la presión de confinamiento lateral σ3 constante. En esta condición la
traza en el plano p − q está definida por la recta ∆q/∆p = 3 : 1; en el plano p − e se aprecia un
retroceso de la traza sobre la línea de descarga (línea A − B en la figura 11) hasta que se alcanza la
curva de fluencia en el punto C. En este punto se observa un quiebre de la traza en el plano p − e,
mientras en el plano p − q la traza sigue la recta definida anteriormente (∆q/∆p = 3 : 1). De
aquí en adelante el esfuerzo desviador decae hasta interceptar la línea de estado crítico (punto F
13
Capítulo II. Leyes Constitutivas
Figura 10: Ensayo triaxial CD, probeta levemente sobreconsolidada.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
14
Capítulo II. Leyes Constitutivas
en la figura 11). A partir del punto C se interceptan curvas de fluencia que poseen una presión de
preconsolidación menor a la presión de preconsolidación correspondiente a la probeta. La menor
presión de preconsolidación alcanzada (proyección del punto G en el eje p, fig. 11) corresponde a
la curva de fluencia que pasa por el punto F .
La probeta experimenta un aumento de volumen y una caída en el esfuerzo desviador q. Este
comportamiento es conocido como softening (reblandecimiento).
Figura 11: Ensayo triaxial CD, probeta fuertemente sobreconsolidada.
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007).
15
Capítulo III
Comportamiento de Suelos Bajo Diversas
Condiciones
III.1 Introducción
Bajo distintos niveles de tensiones, algunos parámetros no permanecen invariables. Si se espera que
un suelo sea sometido a esfuerzos muy variables en magnitud, se debe considerar esta variabilidad
en el modelo utilizado para predecir el comportamiento del material.
Por otro lado, los parámetros pueden experimentar una variación cuando se vean involucrados en
problemas donde sean utilizadas distintas escalas. Al estudiar el comportamiento de vastas extensiones de un continuo, es común recurrir a modelos a escala, de modo que los parámetros deben
ser ajustados al nuevo sistema.
III.2 Parámetros Bajo Distintos Niveles de Tensiones
III.2.1 Envolvente
Numerosas observaciones experimentales muestran que el criterio de falla en muchos suelos, sobre
todo en zonas de esfuerzos normales pequeños, no es lineal. En este rango de esfuerzos existe
una carencia de información experimental, que puede ser explicada por una combinación de los
siguientes motivos (Baker, 2003):
• Los valores de resistencia para esfuerzos normales pequeños son, normalmente, también
pequeños. Para determinar la resistencia para este nivel de tensiones es necesario realizar
ensayos de laboratorio costosos y refinados.
16
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
• Arcillas compactadas se encuentran fuertemente sobreconsolidadas, de modo que durante el
proceso de corte se origina presión de poros negativa. Como consecuencia, es imposible
llevar a cabo un ensayo CU con mediciones de presión de agua de poros para bajos niveles
de tensiones efectivas normales. Para obtener información de la resistencia para pequeños
esfuerzos normales efectivos es necesario realizar ensayos triaxiales consolidados drenados
(CD). Para materiales poco permeables este tipo de ensayos resulta muy costoso; su ejecución
está asociado a muchas limitaciones técnicas; y su campo de aplicación está fuera del alcance
de la mayor parte de los proyectos comerciales.
Criterio de Falla Mohr-Coulomb
El criterio de falla de Mohr-Coulomb está definido por:
τ = c + σn0 tan(φ)
ó
σ10 = σc + σ30
1 + sin(φ)
1 − sin(φ)
(12)
(13)
donde
τ = representa el esfuerzo de corte en el momento de la falla,
σn0 = el esfuerzo normal efectivo,
c = la cohesión, y
φ = el ángulo de fricción interna.
Las ecuaciones (12) y (13) son ambas líneas rectas en los planos τ − σn0 y σ10 − σ30 , respectivamente.
La resistencia uniaxial en compresión y tracción para un material que responda al criterio MohrCoulomb, σc y σt respectivamente, pueden ser expresadas por:
σc =
2c · cos(φ)
1 − sin(φ)
(14)
σt =
2c · cos(φ)
1 + sin(φ)
(15)
La resistencia a la tracción obtenida por la ecuación (15) es por lo general demasiado alta, principalmente para ángulo de fricción interna pequeños. Por este motivo es habitual establecer un valor
menor para la resistencia a la tracción mediante la definición de un "cut-off" en la zona de tracción
de la curva envolvente de falla.
17
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
Figura 12: Criterio de falla Mohr-Coulomb en el plano τ − σn0 .
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007)
Figura 13: Criterio de falla Mohr-Coulomb en el plano σ10 − σ30 .
Fuente: Lehrstuhl für Geotechnik im Bauwesen RWTH (2007)
18
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
Curva Envolvente no Lineal, Observaciones Generales
Una curva envolvente según el criterio Mohr-Coulomb τ = S(σ) es una curva tangencial a una
sucesión de círculos de Mohr en el estado de falla (figura 14). Aquí σ y τ representan los esfuerzos
normales y de corte en estado de falla, resp. Según el sistema elegido, σ puede representar esfuerzos
normales efectivos o totales. S(σ) es conocida como función de resistencia. Las funciones de
resistencia deben satisfacer los siguientes requerimientos (Baker, 2004):
Figura 14: Curva envolvente de Mohr no lineal.
Fuente: Baker (2004).
1. S(σ) es por definición no negativa (resistencia), de modo que S(σ) ≥ 0;
2. existe una constante no negativa t para la que S(σ = −t) = 0. Esta constante representa
la resistencia a la tracción de una determinada función de resistencia. Los valores válidos
para la resistencia a la tracción están restringidos al rango σ ≥ −t (figura 14). El punto
T ≡ σ = −t, τ = 0 (figura 14) se conoce como punto de resistencia a la tracción;
3. la derivada de S(σ) puede ser considerada como una variable dependiente del nivel de esfuerzos, y es conocida como ángulo de fricción interna φt (figura 14). De esta interpretación
se desprende que tan[φt (σ)] = dS/dσ ≥ 0, y que funciones de resistencia válidas son monótonamente crecientes;
4. la simetría de los círculos de Mohr y de la curva envolvente de Mohr respecto al eje σ implica
que φt (σ ≡ −t) ≡ π/2 (figura 14). Algunos modelos de resistencia comúnmente utilizados
19
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
(por ej. el de Mohr-Coulomb) muestran que la pendiente de S(σ) es discontinua en σ = −t,
esto es, que φt (σ ≡ −t) ≡ π/2 pero φt (σ → −t) = φM C < π/2. Se advierte que incluso
en este caso S(σ ≡ −t) ≡ 0; para este valor de σ la función S(σ) describe resistencia a
la tracción en lugar de resistencia de corte y que la identidad φt (σ ≡ −t) ≡ π/2 no está
relacionada a fricción física;
5. consideraciones teóricas de plasticidad indican que las funciones de fluencia legítimas deben
ser convexas, esto es, d2 S/dσ 2 ≤ 0.
Distintas funciones de resistencia (envolventes de Mohr) serán presentadas a continuación con la
finalidad de describir la resistencia no lineal de suelos.
Ejemplos de Curvas Envolventes
Baker (2003) utiliza un criterio no lineal para describir las curvas envolventes. Éste está definido
por:
n
σ
τ = SN L (σ | A, n, T ) = Pa A
+T
(16)
Pa
donde Pa es la presión atmosférica, A, n, T son parámetros de resistencia adimensionales y SN L es
una función de resistencia no lineal. Según la convención utilizada por Baker (2003), las cantidades
ubicadas a la derecha de la línea vertical se consideran dadas. Para garantizar las condiciones
impuestas anteriormente, se debe cumplir que [A > 0, 1/2 ≤ n ≤ 1, T ≥ 0] (Baker, 2004). n ≤ 1
resulta de los requisitos de convexidad. La restricción n ≥ 1/2 resulta del hecho que para n < 1/2
el radio de curvatura de SN L (σ) es menor que el radio del circulo de Mohr tangencial (Jiang et. al,
2003 citado en Baker, 2003). Para n = 1 se reduce la función lineal SN L (σ | n, A, T ) al criterio
Mohr-Coulomb lineal con tan(φ) = A y T = c/Pa tan(φ). El caso con c = 0, en un material que
responda al criterio Mohr-Coulomb, es conocido como puramente friccional (PF: purely frictional).
tN L = Pa T juega un papel similar a tM C = c/tan(φ) en el plano Mohr-Coulomb y T representa
una resistencia a la tracción adimensional en SN L (σ | n, A, T ).
El ángulo de fricción interna, φt , asociado con SN L (σ), está definido por (Baker, 2004):
tan[φt (σ | A, n, T )] ≡
An
dSN L (σ | A, n, T )
=
dσ
(σ/Pa + T )( 1 − n)
(17)
En la figura 14 se muestra el comportamiento de φt . La ecuación (17) muestra que φt (σ →
−Pa T ) → π/2. Como consecuencia, el modelo no lineal de resistencia es continuo en el límite de
tracción, y no tiene la discontinuidad que presenta el modelo Mohr-Coulomb (Baker, 2004).
En la figura 15 se muestra la variación de φ (para A = 0.535, n = 0.604, T = 0.0015 y P a =
100 kP a).
20
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
Figura 15: Variación de φ en función de σ según envolvente definido por Baker (2003).
Otro modelo es presentado por Maksimović (1992). Maksimović plantea que una función del tipo
hiperbólica presenta excelentes características para una descripción sencilla de curvas envolventes
de falla en un amplio rango de esfuerzos, desde cero hasta prácticamente infinito, para la mayor
parte de los suelos no cementados.
Newland y Allely (1957) (citado en Maksimović, 1992), relacionan el ángulo de resistencia de
corte, la dilatancia y el ángulo de fricción interna, vea ec. 18.
φ = φB + ψ
(18)
Donde φB representa la fricción física y ψ la dilatancia.
Maksimović (1992) propone que mientras el esfuerzo normal es incrementado, se reduce el efecto
de la dilatancia como se puede observar en la ecuación 19.
ψ=
∆φ
1 + σn /pN
(19)
Esta ecuación describe la tasa de disminución de la dilatancia a medida que el nivel de esfuerzos
aumenta. Esta disminución asintótica tiende a cero al aumentar el nivel de tensiones. El ángulo
conjunto de resistencia de corte tiende al valor mínimo, el cual es conocido como ángulo de fricción
básico φB . El ángulo inicial, φ0 , el cual es tangente a la curva envolvente de falla en el origen, es
igual a la suma del ángulo de fricción básico y la inclinación de las asperezas de la superficie
(φB + ∆φ), vea figura 16.
La curva envolvente definida por Maksimović (1992) está definida por:
21
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
"
∆φ
τf = σn tan φB +
1 + σn /pN
#
(20)
Figura 16: Curva envolvente según Maksimovic y variación del ángulo de fricción en función del
esfuerzo normal.
Fuente: Maksimovic (1992).
φB es el ángulo básico de fricción residual (residual basic angle of friction), el ángulo movilizado
de la resistencia de corte para altos niveles de tensiones, para el cual los efectos de la dilatancia
desaparecen. Este puede ser considerado como la fricción física entre las partículas de suelo.
∆φ representa la rugosidad de la superficie. Es la dilatancia asociada a esta superficie para esfuerzos nulos, en otras palabra, representa el ángulo dilatancia máximo para una superficie no dañada.
PN es la "presión de ángulo medio" (the median angle pressure), y es igual al valor del esfuerzo
normal para el cual la contribución de la dilatancia es igual a la mitad del ángulo de dilatancia para
un esfuerzo normal nulo.
El significado de los parámetros descritos se muestra en la figura 16.
III.2.2 Parámetros Elásticos
Otros parámetros que se ven influidos por el nivel de tensiones, son los parámetros elásticos.
El módulo de elasticidad muestra un comportamiento no lineal y puede ser expresado por la
ecuación:
!m
p
E = Eref
(21)
pref
22
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
donde p es el esfuerzo hidrostático, pref = 100 [kP a], Eref es un módulo de elasticidad referencial
y m es un parámetro del material (Janbu, 1963). Brinkgreve (2005) plantea que el exponente m se
encuentra en el rango de 0.4 a 0.7, siendo 0.5 una aproximación razonable para suelos arenosos.
Análogo comportamiento muestra el módulo de cizalle. Seed e Idriss (1970) plantean que éste
puede ser expresado por:
G = 218.8 · K2 p1/2
(22)
donde K2 representa una constante, la cual depende de la densidad del suelo. Aquí p debe está
definida en kP a. De forma más general Hardin y Richart (1963) citado en Ling y Liu (2003)
plantean para el módulo de cizalle la expresión:
Gmax = G0
p0
pa
!m
(23)
De esto se pueden deducir relaciones dependientes del nivel de esfuerzos para el coeficiente de
Poisson y el módulo de compresión (vea ec. 2 y 3).
III.3 Consideraciones a Distintas Escalas
En ciencia se recurre en forma frecuente a modelos a escala para analizar el comportamiento de un
determinado sistema. En estos casos se debe considerar que un cambio en la escala puede conllevar
una variación de algunos parámetros. La magnitud de estos cambios puede ser estudiada mediante
un análisis de similitud. Hubbert (1937) plantea los fundamentos de este análisis para estructuras
geológicas.
III.3.1 Grado de Similitud
Para poder llevar a cabo un análisis de similitud se debe comprobar que se cumpla:
• Similitud geométrica: Dos cuerpos son geométricamente similares si sus dimensiones son
proporcionales y sus ángulos iguales.
• Similitud cinemática: Si dos cuerpos geométricamente similares experimentan un cambio de
forma y/o de tamaño, se dirá que ellos son cinemáticamente similares si el tiempo que toma
realizar cualquier cambio en uno de los cuerpos es proporcional al tiempo que toma realizar
el mismo cambio en el otro.
• Similitud de velocidades y aceleraciones: Si dos cuerpos son cinemáticamente similares, las
velocidades y las aceleraciones de los puntos correspondientes deben ser proporcionales.
23
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
• Similitud dinámica: Debido a que todos los cuerpos poseen masa, ésta debe ser considerada.
La presencia de masa origina fuerzas debido a los campos gravitacionales y movimientos
acelerados. Así, el modelo debe tener una distribución de masa similar al original de modo
que la relación entre una porción de masa dm1 en el cuerpo 1 y una porción dm2 en el cuerpo
2 debe ser constante, siempre que el volumen de las porciones sea proporcional.
III.3.2 Variación de Parámetros a Distintas Escalas
Partiendo de la base que los requerimientos de la sección anterior son satisfechos, puede determinarse, mediante un análisis dimensional, de qué forma influye un cambio en la escala sobre los
parámetros del material.
Sean el cuerpo 1 y el cuerpo 2 dos cuerpos geométricamente similares; F1 y F2 fuerzas sobre
el cuerpo 1 y el cuerpo 2, respectivamente (ambas con la misma dirección y aplicadas en los puntos
análogos de cada cuerpo); l1 y l2 longitudes del cuerpo 1 y del cuerpo 2, resp.; dm1 y dm2 las
masas de un elemento de volumen dv en el cuerpo 1 y el cuerpo 2 (de aquí resultan las densidades
ρ1 y ρ2 ); y t1 y t2 los tiempos en que tienen lugar variaciones en los cuerpos 1 y 2, resp. Con estas
definiciones se pueden establecer las siguientes relaciones:
φ=
F1
,
F2
λ=
l1
,
l2
ν=
dm1
,
dm2
δ=
ρ1
,
ρ2
τ=
t1
t2
(24)
Con ayuda de estas relaciones pueden ser deducidas formulaciones para los parámetros en distintas
escalas. Por ejemplo, sean E1 y E2 los módulos de elasticidad de dos cuerpos similares en distintas
escalas. La relación E1 /E2 puede ser expresada como:
E1
esf uerzo1 def ormacion2
=
E2
esf uerzo2 def ormacion1
(25)
La razón def ormacion1 /def ormacion2 es 1 debido a la similitud geométrica. Los esfuerzos
tienen unidades Fuerza/Área, de modo que la relación se puede reescribir como
E1
= φλ−2
E2
(26)
Si ambos cuerpos se encuentran en la superficie terrestre, la relación entre las fuerzas de gravedad
sobre cada cuerpo es γg = g1 /g2 = 1, donde g1 y g2 son las fuerzas de gravedad sobre los cuerpos
1 y 2, respectivamente. Muchos procesos geológicos tienen lugar a muy bajas velocidades, por lo
que la aceleración puede ser despreciada. Por esto, puede considerarse que la única aceleración
24
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
implicada en tales casos es la aceleración de gravedad. La razón entre las fuerzas de cada modelo
pueden ser expresadas, de este modo, por:
φ = νγg = ν = δλ3
(27)
Así, se puede escribir la razón entre los módulos de elasticidad como:
E1
= δλ
E2
(28)
Si las unidades de tiempo, longitud y de masa (o en su lugar densidad) son tomadas como unidades
fundamentales, pueden ser deducidas, a partir de éstas, cualesquiera otra; y así pueden obtenerse
las razones entre los parámetros del material en función de τ , λ y ν (o bien δ). Esto es, τ , λ y ν
(ó δ) pueden ser definidos a conveniencia para construir un modelo que resulte adecuado. Se debe
poner atención en que, si bien parece existir mucha libertad en la elección de las razones τ , λ y ν
(ó δ), los parámetros resultantes de esta elección deben tener un significado real, de modo que el
modelo a escala sea viable.
En la tabla 1 se muestra cómo pueden ser determinados otros parámetros.
Tabla 1: Determinación de parámetros para distintas escalas.
Parámetro
Relación
E
δλ
Cohesión
δλ
Viscosidad
δλτ
Fuente: Hubbert (1937).
Tabla 2: Ejemplo de determinación de parámetros para distintas escalas.
Parámetro
E
Cohesión
Viscosidad
Factor de Conversión de cm a km
105
105
1015
El coeficiente de Poisson, el ángulo de fricción y el ángulo de dilatancia no experimentan una
variación debido a que son parámetros adimensionales, es decir, no varían en función de la escala
utilizada.
Como ejemplo podemos considerar como unidades fundamentales los parámetros de tiempo τ =
1010 , longitud λ = 105 (correspondiente una variación de escala de centímetros a kilómetros) y
25
Capítulo III. Comportamiento de Suelos Bajo Diversas Condiciones
densidad δ = 1 (densidad en la superficie terreste) y en base a las relaciones dadas en la tabla 1
obtenemos los factores de conversión indicados en la tabla 2.
III.4 Resumen
Con los modelos de Baker (2003) y Maksimović (1992) se obtienen resistencias muy similares
en el rango de esfuerzos normales medios en relación al modelo Mohr-Coulomb. Sus pronósticos
se diferencian claramente en zonas de pequeños y grandes niveles de esfuerzos. En estos rangos
entregan las funciones no lineales estimados más conservadores de la resistencia que el criterio
de Mohr-Coulomb. El hecho que leyes no lineales entreguen estimados conservadores de la resistencia en zonas donde no existe información experimental, es una ventaja que presenta este tipo
de funciones. En el rango de esfuerzos medios, los valores de resistencia obtenidos mediante los
métodos no lineales resultan mayores a los que resultan por el método de Mohr-Coulomb debido a
la convexidad de estas funciones.
El modelo propuesto por Maksimović (1992) tiene la ventaja que los parámetros tienen un significado físico y es fácil de manejar desde el punto de vista matemático. Tanto el modelo de Baker
(2003) y el de Maksimović (1992) son válidos desde cero a infinito.
Para pequeños niveles de esfuerzos muestra tanto el modelo de Baker (2003) como el de Maksimović (1992) una gran variación del ángulo de fricción interna. Cuando el nivel de esfuerzos
aumenta, el ángulo de fricción tiende a un valor constante.
Una desventaja del modelo propuesto por Maksimović (1992) es que solamente es aplicable a suelos no cohesivos.
De lo expuesto se concluye tanto parámetros de resistencia como parámetros elásticos son dependientes de el nivel de esfuerzos a los que están sometidos.
A su vez, cuando son llevado a cabo ensayos en distintas escalas, algunos parámetros deben ser
ajustados a la nueva escala. Esta variación puede ser determinada mediante análisis dimensionales
y de similitud.
26
Capítulo IV
Ley Constitutiva SR3
En el capítulo II fueron presentados los componentes principales de una ley constitutiva elastoplástica. Ahora, con la ayuda de estos principios, será presentada la ley constitutiva SR3.
SR3 es una ley constitutiva que, junto a otras leyes constitutivas elementales, está implementada en
el software de elementos finitos ELFEN.
El objetivo del modelo SR3 es representar la respuesta experimental observada en formaciones
rocosas (ELFEN Training Notes). SR3 es una extensión del modelo Cam Clay original y posee
características análogas, como por ejemplo, que al alcanzar la curva de fluencia en un diagrama
p − q − e se diferencian claramente dos zonas: la zona "húmeda", donde el material manifiesta
endurecimiento (hardening) y la zona "seca", donde el material es dilatado (softening).
A continuación se presenta un extracto del manual ELFEN Training Notes, en el que se describen
las características principales de la ley constitutiva SR3.
IV.1 Poroelasticidad
Aparte de la elasticidad lineal isotrópica y ortotrópica, pueden ser utilizadas tres leyes poroelásticas
con el modelo SR3, las cuales definen un módulo de elasticidad E y un coeficiente de Poisson ν
que varían en función del esfuerzo medio efectivo, p0 :
• Modelo Empírico I.
• Cam Clay.
• Modelo Empírico II.
La figura 17 muestra estas tres leyes.
27
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 17: Comparación de las tres leyes poroelásticas.
Fuente: ELFEN training notes.
IV.2 Superficie de Fluencia
La superficie de fluencia intercepta el eje de tensión hidrostático p tanto en compresión como en
tracción, y está definido por:
p − pc
Φ(σ, εpν ) = g(θ, p)q + (p − pt )tanβ
pt − p c
!1/n
(29)
donde p representa la tensión hidrostática,
q el esfuerzo desviador,
θ el ángulo de Lode 1 ,
pt es la intersección en el eje de tensión hidrostática en tracción,
pc es la intersección en el eje de tensión hidrostática en compresión,
β, n son parámetros que definen la forma de la curva de fluencia en el plano p − q , y
g(θ, p) es la función que controla la forma de la curva de fluencia en el plano desviador (vea la
figura 18), y está definida por:
"
1
1 + β π (p)sin3θ
g(θ, p) =
π
1 − β (p)
donde
β π (p) = β0π exp β1π p
pc
p0c
!#α
(30)
!
(31)
El ángulo de Lode θ está definido por sin3θ = r3 /q 3 , donde r3 = 9/2(S · S : S) y S es el tensor del esfuerzo
desviador
1
28
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
β0π , β1π y α son parámetros del material; p0c es el esfuerzo de preconsolidación inicial y pc el esfuerzo
de preconsolidación actual.
Figura 18: Superficie de fluencia en el plano p − q y en el plano desviador.
Fuente: ELFEN training notes.
IV.3 Envolvente
La curva de fluencia del modelo SR3 está definida en el plano τ − σ por:
σ1 − σ3 σ1 + σ3
p − pc
+
sinφ − psinφ + (p − pt )sinφ
2
2
pt − pc
!1/n
(32)
donde σi representa los esfuerzos principales, φ el ángulo de fricción interna, y pt y pc la resistencia
a la compresión y a la tracción, respectivamente (ELFEN-Explicit User Manual). La forma de la
curva está esquematizada en la figura 19. Se observa que la envolvente no posee una curvatura
pronunciada para niveles de tensiones bajos. Esto puede ser notado claramente en la figura 20, en
donde se presenta el ángulo de fricción interna (calculado como dτ /dσ, con: φ = 30, pc = 0,
pt = 300 y n = 2). La variación del ángulo de fricción interna respecto al esfuerzo normal es
aproximadamente lineal.
IV.4 Regla de Fluencia y Dilatancia
Como fue dicho en la sección II.5, para deformaciones plásticas se asume que existe un potencial
plástico Ψ, definido por:
∂Ψ
(33)
∆εp = ∆λ
∂σ
29
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 19: Curva de fluencia del modelo SR3 en el plano τ − σ.
Figura 20: Variación del ángulo de fricción interna del modelo SR3 respecto al nivel de tensiones.
30
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
La superficie del potencial plástico de SR3 queda expresada mediante:
p − pc
Ψ(σ, εpν ) = g(θ, p)q + (p − pt )tanψ
p t − pc
!1/n
(34)
Así, Ψ tiene la misma forma que la superficie de fluencia pero con tanψ en lugar de tanβ.
Figura 21: Regla de fluencia en el plano p − q.
Fuente: ELFEN training notes.
IV.5 Hardening/Softening
La superficie de fluencia está definida por la relación del esfuerzo de preconsolidación (pc ) y la
intersección en la zona de tracción (pt ) con la deformación volumétrica plástica (εpv ), de la forma:
pc = f (εpv ),
pt = g(εpv )
(35)
El estado de endurecimiento es controlado por los parámetros κ y λ (figura 22). Las curvas de
endurecimiento están definidas por:
"
p0c = p0c0 + A exp
v∆εpv
−
λ−κ
!
"
p0t = max[pt0 , p∗t ],
donde
A = p0c0 − p0c(resid)
y
p∗t = p0t0 + B exp
#
−1
v∆εpv
−
λ−κ
(36)
!
#
−1
(37)
B = p0t0 − p0t(resid)
p0c(resid) y p0t(resid) garantizan que la curva de fluencia tenga siempre una dimensión finita (ELFEN
Training Notes).
Se debe hacer notar que la respuesta elástica depende solamente de la ley elástica o poroelástica
31
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 22: Modelo de endurecimiento (hardening).
Fuente: ELFEN training notes.
elegida y de los parámetros elásticos, ν y E; no de κ. Esto advierte una diferencia esencial con la
teoría Cam Clay. Otra diferencia con la teoría Cam Clay es que el modelo SR3 admite esfuerzos
de tracción (ec. 37).
IV.6 Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Para conocer la influencia que tienen los parámetros del modelo SR3 de mayor relevancia en este
trabajo, se mostrarán ejemplos en los cuales un determinado parámetro será variado mientras los
restantes se mantendrán fijos.
IV.6.1 Curva de Fluencia
La curva de fluencia del modelo SR3 está definida por la ecuación 29 y tiene la forma mostrada en
la figura 23.
De aquí en adelante se tomarán como referencia los valores mostrados en la tabla siguiente. Cuando
se desee estudiar la influencia de algún parámetro particular, será variado únicamente éste.
E (psi)
ν
Pc (psi)
φ
Pt (psi)
n
ψ
500000
0.2
8400
63
−80
2.3
55
32
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 23: Curva de fluencia del modelo SR3 en el plano p − q.
Parámetro de Fricción
El parámetro de fricción del modelo SR3 controla la "inclinación" de la curva de fluencia (de la
misma forma que el ángulo de fricción interna en el criterio Mohr-Coulomb). De esta forma φ
influye directamente en la amplitud de la curva, sin variar su longitud (vea figura 24).
Figura 24: Influencia del parámetro de fricción del modelo SR3 en la curva de fluencia.
Se debe hacer notar que el parámetro de fricción del modelo SR3 no está directamente relacionado
con el ángulo de fricción interna del criterio Mohr-Coulomb.
Parámetro de Presión de Preconsolidación e Intercepto en Zona de Tracción
Los parámetros de presión de preconsolidación pc y el intercepto en la zona de tracción pt gobiernan
el tamaño de la curva de fluencia. Una variación en los valores de pc y/o pt no tienen consecuencias
33
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
en la forma de la curva de fluencia. En la figura 25 se muestran los resultados obtenidos mediante
variaciones sucesivas del parámetro pc . Resultados análogos se desprenden para pt .
Figura 25: Curva de fluencia para diversos valores de pc .
Exponente n
El exponente n domina la forma de la curva de fluencia, influyendo también en su amplitud. Para
n = 1 la curva es simétrica, para n menor a 1 la curva está sesgada hacia la izquierda y para n
mayor a 1 hacia la derecha.
Figura 26: Curva de fluencia del modelo SR3 para diversos valores de n.
34
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
IV.6.2 Potencial Plástico
Como en el modelo SR3 (y en general en la mayoría de los modelos elasto-plásticos) la curva de
fluencia y el potencial plástico se diferencian solamente en los parámetros φ (parámetro de fricción)
y ψ (parámetro de dilatancia) (vea ec. 29 y 34), son válidas las mismas observaciones para n, pc ,
pt y ψ en lugar de φ, descritos anteriormente para el potencial plástico.
IV.6.3 Parámetros Elásticos
Para mostrar la influencia de los parámetros elásticos E y ν, se optó por simular un ensayo triaxial
en ELFEN. Las características del material son las mismas utilizadas en los ejemplos precedentes.
Además de éstos, es necesario introducir los parámetros κ y λ, los cuales se definieron como
muestra la siguiente tabla.
κ
λ
0.08
0.008
En total fueron ejecutadas seis simulaciones en ELFEN, tres con distintos módulos de elasticidad
E y tres con distintos coeficientes de Poisson ν. Las respuestas obtenidas en ambos casos son
similares: para valores pequeños de los parámetros (E o ν) se observan mayores deformaciones
para un mismo nivel de esfuerzos (vea figura 27).
Figura 27: Diagrama esfuerzo desviador vs deformación volumétrica para a) diversos módulos de
elasticidad b) diversos coeficientes de Poisson.
En la figura 28 se observan también mayores deformaciones para valores pequeños de los parámetros elásticos, pero ambos diagramas se diferencian en la desviación de las líneas en el rango
elástico en la figura 28 b). En la figura 28 a) no se observa una desviación en la zona elástica, pues
εp /εa =
2εr + εa
= 2ν + 1
εa
35
(38)
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
De esta forma, sólo una variación en el coeficiente de Poisson llevaría a una desviación en este
diagrama. En la figura 28 b) se presentan las respuestas para varios coeficientes de Poisson.
Figura 28: Deformación axial vs deformación volumétrica para a) varios módulos de elasticidad
b) varios módulos de Poisson.
Como se dijo en la sección IV.5, la respuesta en rango elástico del modelo SR3 depende únicamente
de los parámetros elásticos y no de κ (en comparación con la teoría Cam Clay). Esto indica que la
pendiente de las trazas de descarga-carga está definida por E y ν. En la figura 29 se puede ver que la
respuesta elástica varía cuando los parámetros elásticos son variados (líneas A − B). La ecuación
29 representa la deformación volumétrica elástica εep en función del módulo de compresión K
(εep = 1/K · dp). Para mayores valores de E y ν, K se vuelve mayor, y así la pendiente 1/K se
hace menor; o dicho de otra forma un mayor módulo de compresión K ofrecerá mayor resistencia
a sufrir deformaciones para una magnitud dada del esfuerzo medio, p (ver figura 29).
Figura 29: Respuesta en el plano p − e para a) distintos módulos de elasticidad b) distintos
módulos de Poisson.
36
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
IV.6.4 Parámetros de Reblandecimiento/Endurecimiento
Para verificar que el parámetro κ no incide en la respuesta elástica, se llevarán a cabo tres simulaciones en las que este parámetro será variado. En las figuras 30, 31 y 32 se aprecia que mientras la
probeta se encuentra en zona elástica las trazas no muestran una diferencia.
Figura 30: Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para tres valores de κ.
Figura 31: Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de κ.
Las ecuaciones 36 y 37 muestran que una variación en los parámetros κ y λ tienen una influencia sólo cuando la diferencia λ − κ varía. Para distintos valores de λ − κ, manteniendo los otros
parámetros invariables, la respuesta elástica no sufre cambios (vea las figuras 33, 34 y 35). En
la zona plástica, cuando el valor de λ − κ es mayor, la "inclinación" de las líneas de reblandecimiento/endurecimiento en el plano p−e se vuelven también mayores (figura 33). Esto significa que
para mayores valores de λ−κ (mayor "inclinación" de las curvas reblandecimiento/endurecimiento)
causan mayores deformaciones volumétricas plásticas (vea figuras 34 y 35).
37
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 32: Respuesta en el plano p − e para tres valores de κ.
Figura 33: Respuesta en el plano p − e para tres valores de λ − κ.
Figura 34: Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para tres valores de λ − κ.
38
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 35: Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de λ − κ.
IV.6.5 Parámetro de Dilatancia
En la sección IV.6.2 se explicó que el parámetro de dilatancia influye sobre la forma del potencial
plástico. Ahora se mostrará cómo este parámetro actúa sobre la respuesta plástica.
La dilatancia define la relación entre la deformación plástica volumétrica εpp y la variación de la
forma εpq . Por esto se observa claramente una desviación en la repuesta plástica en un diagrama en
el que estén expresadas la deformación volumétrica y la deformación axial (vea figura 36).
En diagramas en los que se expresen esfuerzos y deformaciones, no se observan grandes diferencias
si el parámetro de dilatancia es variado (vea figuras 37 y 38).
En el modelo SR3 el parámetro de dilatancia ψ no puede valer cero.
Figura 36: Deformación axial vs deformación volumétrica para dos valores del parámetro de
dilatancia.
39
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 37: Deformación volumétrica vs esfuerzo desviador para dos valores del parámetro de
dilatancia.
Figura 38: Respuesta en el plano p − e para dos valores del parámetro de dilatancia.
40
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
IV.6.6 Residual Friction Line
Análoga a la línea de estado crítico de la teoría Cam Clay (vea sección II.6.2), la Residual Friction
Line del modelo SR3 representa el ápice de la curva de fluencia y separa la zona "seca" de la zona
"húmeda".
Para ejemplificar este concepto se llevaron a cabo tres ensayos triaxiales con distintas presiones de
confinamiento lateral σ3 en ELFEN. Los ensayos se eligieron de tal forma que la curva de fluencia
sea alcanzada en sus tres zonas distintas (vea figura 39).
Figura 39: Traza de tensiones en el plano p − q.
La respuesta elástica se indica en la figura 40 por la líneas Ai -Bi . Después de alcanzar la curva de
fluencia, cada ensayo muestra un comportamiento distinto:
• El ensayo realizado con σ3 = 1000 psi se encuentra en zona "seca", por lo que tras alcanzar la
curva de fluencia experimenta un reblandecimiento (aumento del índice de poros, vea figura
40). A partir del punto donde se alcanza la fluencia, la traza cruza curvas de fluencia que
poseen una presión de consolidación menor que la probeta (línea B1-C1 en la figura 40). En
el plano p − q se observa un retroceso en la traza de tensiones una vez alcanzada la fluencia.
• El ensayo al cual corresponde una presión de confinamiento σ3 = 3500 psi, alcanza la curva
de fluencia directamente en el ápice. A causa de esto, la probeta experimenta un cambio de
volumen nulo, ya que en este punto se dice que la probeta está en estado crítico. En la figura
40 se aprecia que los puntos B2 y C2 coinciden.
• El ensayo con σ3 = 6000 psi alcanza la curva de fluencia en la zona "húmeda". Como
consecuencia la probeta sufre un endurecimiento tras fluir (reducción del índice de poros,
vea figura 40). Después de alcanzar la curva de fluencia, la traza (línea B3 − C3 en la
figura 40) cruza a su camino curvas de fluencia a los cuales corresponde una presión de
preconsolidación cada vez mayor (curvas de fluencia más grandes). Por este motivo, se
observa en el plano p − q que la traza de tensiones avanza más allá del punto de fluencia.
41
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
Figura 40: Fluencia en las tres distintas zonas representada en el plano p − e.
Figura 41: Deformación axial vs deformación volumétrica para tres valores de la presión de
confinamiento lateral.
Figura 42: Deformación axial vs deformación volumétrica plástica para tres valores de la presión
de confinamiento lateral.
42
Capítulo IV. Ley Constitutiva SR3
En la figura 41 se observa que las tres probetas experimentan en un principio una reducción de
volumen. A continuación, al alcanzar la fluencia, cada probeta experimenta un comportamiento
distinto. Para el ensayo con σ3 = 1000 psi tiene lugar un aumento de volumen, para el ensayo
con σ3 = 6000 psi una disminución de volumen y para el ensayo con σ3 = 3500 psi se llega de
inmediato al estado crítico, por lo que no hay un cambio de volumen. El comportamiento posterior
a la fluencia puede ser expresado a través de la deformación volumétrica plástica (vea figura 42).
IV.6.7 Resumen
En este capítulo se presenta el modelo SR3 y su comportamiento para distintas condiciones y distintos valores de sus parámetros.
Entre sus características más importantes se cuentan:
• La regla de fluencia es no asociada;
• dispone de leyes poroelásticas dependientes del nivel de esfuerzos medios;
• el parámetro de fricción muestra una variación lineal con el esfuerzo normal;
• si bien los parámetros κ y λ de la teoría Cam Clay son introducidos en este modelo, tienen
un significado distinto;
• el modelo SR3 admite esfuerzos de tracción en el suelo.
43
Capítulo V
Determinación de los Parámetros de la Ley
Constitutiva SR3
En este capítulo se propone una metodología en base a ensayos de laboratorio habituales para la
determinación de los parámetros de la ley constitutiva SR3 para una muestra de arena. Los ensayos fueron llevados a cabo en el laboratorio de ensayo de materiales del Instituto de Geotecnia
de la universidad RWTH Aachen. Con los parámetros obtenidos se simulará un ensayo triaxial con
ELFEN utilizando el modelo SR3 y se contrastará con la respuesta real cuantificada en laboratorio.
A partir de esta comparación se probará la idoneidad de la metodología propuesta.
V.1 Ensayos de Laboratorio
En el laboratorio se ensayó una arena densa mediante compresión triaxial drenada. Tres probetas fueron ensayadas y llevadas a la falla bajo distintas presiones de confinamiento: 100 kN/m2 ,
200 kN/m2 y 400 kN/m2 . Se evaluó, entre otras cosas, la deformación axial, la deformación volumétrica y la carga axial. Los resultados son mostrados esquemáticamente en las figuras 43 y 45.
Como es de esperar, la probeta con mayor presión de confinamiento muestra una mayor resistencia
a la falla (figura 43). Para deformaciones axiales pequeñas se observa una desviación de la probeta
con σ3 = 100 (kN/m2 ) (vea fig. 44): para un esfuerzo dado esta probeta experimenta, para una
presión de confinamiento menor, menores deformaciones. Esto se verá reflejado en el módulo de
elasticidad obtenido a partir de los ensayos.
La figura 45 muestra el comportamiento típico de una arena densa. En un primer momento experimentan las probetas una reducción de volumen seguido por un comportamiento dilatante.
44
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 43: Resistencia al corte vs deformación axial.
Figura 44: Resistencia al corte vs deformación axial, acercamiento.
45
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 45: Deformación volumétrica vs deformación axial.
De los ensayos de laboratorio resultan para E y ν los valores presentados en la tabla 3. Una
descripción detallada del cálculo se puede encontrar en el apéndice A.
Tabla 3: Módulo de Elasticidad y Coeficiente de Poisson obtenidos de los ensayos de laboratorio.
Presión de confinamiento (kN/m2 )
100
200
400
E (M P a)
39.98
11.94
18.74
ν
0, 351
0, 328
0, 326
V.2 Simulación de los Ensayos Triaxiales
Para evaluar el comportamiento del modelo SR3 implementado en el software ELFEN, se simularon tres ensayos triaxiales drenados en el ordenador, con las respectivas presiones de confinamiento.
Los valores para el módulo de elasticidad y el módulo de Poisson fueron calculados como el promedio de los mismos obtenidos de los ensayos de laboratorio (E = 23.551 M P a y ν = 0.335).
Parámetros como pt , que representa la intersección de la curva de fluencia con el eje hidrostático
p en la zona de tracción; pc , la intersección de la curva de fluencia con el eje hidrostático p en
compresión; β y n parámetros del material que definen la forma de la curva de fluencia en el plano
46
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
p − q, fueron determinados por medio de ajuste a la curva de fluencia de los puntos máximos de resistencia entregados por los ensayos (vea figura 46). En la tabla 4 se presentan los valores obtenidos.
Tabla 4: Parámetros utilizados para la evaluación de los resultados numéricos.
pc M P a
4.14
pt M P a
-0.01
β◦
51
ψ◦
38
n
2
λ
0.18
κ
0.006
Figura 46: Ajuste de los parámetros a la curva de fluencia.
Se debe observar que, a razón que sólo ensayos de compresión triaxial fueron llevados a cabo, la
función g(θ, p) (ecuación 30), que controla la forma de la curva de fluencia en el plano desviador,
es igual a 1 (sin3θ = −1); lo que quiere decir que los parámetros involucrados en esta ecuación no
deben ser considerados.
La figura 47 muestra la respuesta numérica y análoga en el plano p − q. En un principio cada
probeta es cargada isótropamente hasta llegar a la presión de confinamiento que se mantendrá
constante(σ1 = σ3 = 100 kN/m2 , 200 kN/m2 , 400 kN/m2 ). Al incrementar en esfuerzo desviador q, manteniendo la presión lateral constante σ3 (∆q/∆p = 3 : 1), se alcanza la curva de fluencia.
Como el punto de intersección se encuentra a la izquierda de la Residual Friction Line del modelo
SR3 (figura 46) ("zona seca"), el vector de incremento de deformaciones plásticas se dirige hacia la
izquierda. Esto significa que al continuar el ensayo tienen lugar deformaciones plásticas negativas,
es decir, extensión plástica volumétrica. Cuando la curva de fluencia es alcanzada, la traza en el
plano p − q vuelve por la línea definida por ∆q/∆p = 3 : 1.
47
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 47: Respuesta en el plano p − q.
Se intentó determinar los parámetros κ y λ según las siguientes relaciones presentadas por Brinkgreve
(2005).
Cc
λ=
(39)
ln10
Cs
κ=
(40)
ln10
Donde Cc es el coeficiente de compresión y Cs el coeficiente de dilatación y fueron obtenidos
mediante un ensayo de compresión unidimensional según la norma DIN 18135 (vea apéndice B).
De este cálculo resultan λ = 0.03323 y κ = 0.006.
El parámetro de dilatancia se determinó con ayuda de un diagrama esfuerzo-dilatancia (figura
48). Tres valores de ángulo de dilatancia fueron determinados de los ensayos de laboratorio (vea
apéndice C) y en la figura 48 proyectados. El parámetro de dilatancia se obtiene mediante ajuste de
la curva esfuerzo-dilatancia a los puntos antes determinados. De esta forma resulta ψ = 48◦ .
Con estos valores de los parámetros se realizó una simulación en ELFEN. Al comparar la respuesta
análoga y la numérica se observa una gran desviación (vea figura 49). Esta discordancia se hace
evidente tras alcanzar la fluencia, de modo que es prudente suponer que una mejora se lograría
variando los parámetros que controlan la respuesta plástica (parámetro de dilatancia ψ, κ y λ).
Como se mencionó en el capítulo IV la diferencia λ − κ es más significativa que los valores individuales de λ y κ, por lo que se modificó el valor de λ hasta lograr una respuesta lo más cercana
al comportamiento real de la probeta de suelo sometida a esfuerzos triaxiales, siendo λ = 0.18 el
valor obtenido. Para este valor de λ se observa una mejora en los resultados. A pesar de esto, en la
figura 50 c) se aprecia aún una desviación: la pendiente de las curvas obtenidas en las simulaciones
48
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 48: Ajuste de la curva esfuerzo-dilatancia a los puntos experimentales.
Figura 49: Comparación de los resultados análogos y numéricos para E = 23.551 M P a,
ν = 0.335), λ = 0.03323, κ = 0.006 y ψ = 48◦ .
49
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
es mayor a las obtenidas en laboratorio. Para contrarrestar la desviación aún presente, se varió el
parámetro de dilatancia ψ. Se definió ψ = 38◦ .
Figura 50: Comparación de los resultados análogos y numéricos para E = 23.551 M P a,
ν = 0.335), λ = 0.18, κ = 0.006 y ψ = 48◦ .
A continuación se analizarán los resultados de los ensayos numéricos y análogos para κ = 0.006,
λ = 0.18 y ψ = 38◦ .
Con este cambio en el parámetro de dilatancia la respuesta análoga y numérica logran una mejor
aproximación en el plano p − e (vea figura 51). En esta figura deberían en un principio, según la
teoría, las tres curvas moverse sobre la misma línea (línea de carga-descarga), lo cual no es cierto en
este plano. Esto se puede explicar por la diferencia existente en el índice de poros que cada probeta
posee (vea tabla 5). Una diferencia en el índice de poros inicial puede ser interpretado como un
es fuerzo de preconsolidación diferente. Esto puede corresponder, por ejemplo, a que las probetas
sean sacadas de distintas profundidades o que tengas distintos niveles de alteración.
Tabla 5: Índice de poros inicial de las probetas
Probeta Nr.
1
2
3
presión lateral (kN/m2 )
100
200
400
50
Índice de poros inicial e
0.536
0.568
0.552
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 51: Traza en plano p − e.
Figura 52: Traza en el plano p − e para igual índice de poros.
51
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Si se supone que las tres probetas poseen el mismo índice de poros (en este caso tomado igual al
promedio de los tres, 0.553), las tres curvas se sitúan sobre la misma curva (figura 52) en el plano
p − e, como lo predice la teoría.
A continuación, tras alcanzar la curva de fluencia, la traza de tensiones regresa por la misma línea.
De ahí en adelante se cruzan curvas de fluencia a las cuales corresponde un esfuerzo de preconsolidación menor al de la probeta. Debido a que las probetas experimentan un aumento de volumen
tras alcanzar la curva de fluencia, se dice que la probeta se reblandece.
Las figuras 53, 54 y 55 muestran otros diagramas en los que se comparan las respuestas análogas y
numéricas. En las figuras 53 y 54 se observa que los resultados obtenidos con ELFEN se acercan a
los resultados de laboratorio a medida que los parámetros que controlan el comportamiento plástico
son variados.
Figura 53: Esfuerzo desviador q vs deformación radial y axial para κ = 0.006, λ = 0.18 y
ψ = 38◦ .
V.3 Resumen
A partir de ensayos de laboratorio se intentó determinar los parámetros de la ley constitutiva
SR3. Una comparación de las respuestas obtenidas de manera análoga y numérica no coinciden
en primera instancia de forma satisfactoria, principalmente en el rango plástico. Para lograr que
ambas respuestas se aproximen, se debe realizar una variación en algunos parámetros que dominan el comportamiento plástico. Debido a que sólo la diferencia entre los parámetros λ y κ es de
importancia, se varió λ al valor 0.18. Con este valor de λ se observa una tendencia dilatante que
puede ser ajustada variando el parámetro de dilatancia a un valor de ψ = 38◦ , obteniéndose de esta
forma la mejor aproximación numérica mediante la ley constitutiva SR3.
52
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Figura 54: Esfuerzo desviador q vs deformación volumétrica para κ = 0.006, λ = 0.18 y ψ = 38◦ .
Figura 55: Deformación volumétrica vs deformación radial para κ = 0.006, λ = 0.18 y ψ = 38◦ .
53
Capítulo V. Determinación de los Parámetros de la Ley Constitutiva SR3
Los parámetros elásticos obtenidos del laboratorio no debieron ser variados.
54
Capítulo VI
Conclusiones
En la sección III.2 se presentaron planteamientos de cómo los suelos se ven afectados al ser sometidos a diferentes niveles de esfuerzos. Según lo expuesto ahí y en el capítulo IV para la Ley constitutiva SR3 podemos decir que:
• El modelo SR3 muestra una variación lineal del ángulo de fricción interna respecto al nivel
de esfuerzos (vea sección IV.3). Este comportamiento no coincide con los planteamientos de
Maksimović (1992) y Baker (2003). Sin embargo, la variación lineal del ángulo de fricción
interna es una mejor aproximación que la que presenta el criterio Mohr-Coulomb.
• La ley Constitutiva SR3 dispone de leyes poroelásticas dependientes del esfuerzos, lo cual
coincide con los planteamientos de Janbu (1963) y Seed e Idriss (1970), entre otros.
Los valores para κ, λ obtenidas en el laboratorio de forma análoga a los parámetros del modelo
Cam Clay no resultan adecuadas para ser introducidos en la ley SR3. Éstos deberían ser obtenidos
mediante procesos iterativos, de forma que los resultados obtenidos por las simulaciones se ajusten
a los resultados experimentales.
La parámetro de dilatancia obtenido por ajuste de un diagrama esfuerzo-dilatancia a los puntos
experimentale entrega resultados que pueden ser mejorados ajustando su magnitud hasta lograr el
mejor acercamiento a la curva experimental en un plano de deformaciones axiales vs deformaciones
volumétricas.
El parámetro de fricción del modelo SR3 no representa el ángulo de fricción interna del suelo del
modelo Mohr-Coulomb. Como en nuestro estudio no fue necesario realizar la transformación de
un modelo a otro, no se buscó expresiones que lleven a determinar la relación existente entre estos
dos parámetros. Cuando se deba utilizar un ángulo de fricción determinado, debe ser establecida
esta relación, de forma que la simulación se lleve a cabo de la forma más exacta posible.
55
Capítulo VI. Conclusiones
Si se busca predecir un determinado proceso geológico a escala real, aparece la dificultad que el
tamaño de la curva de fluencia es desconocida. La elección de la presión de preconsolidación pc
controla este tamaño. Para niveles de tensiones pequeños hasta medios de la presión de preconsolidación pc , no se observa un desajuste importante de la curva de fluencia del modelo SR3 sobre los
puntos experimentales (vea figura 56). El tamaño de la curva de fluencia determina la ubicación del
ápice de la curva, y de esta forma, las zonas de endurecimiento y reblandecimiento. El tamaño de
la curva de fluencia puede ser determinado aproximadamente por medio de la presión de preconsolidación de un ensayo de compresión simple σvc . En el plano p − q se puede calcular una recta,
llamada línea edométrica, mediante la ecuación siguiente (Wood, 1990), vea figura 57.
p+
2q
= σvc
3
Figura 56: Influencia de pc en el ajuste de la curva de fluencia con los puntos obtenidos
experimentalmente, para niveles de tensiones bajos a medios.
Figura 57: Estimación del tamaño de la curva de fluencia mediante la línea odométrica.
56
(41)
Capítulo VI. Conclusiones
La imposibilidad de reproducir procesos geológicos a escalas reales (tanto en tamaño como en
tiempo) deriva en la necesidad de realizar modelaciones a escalas manejables practicamente. Para
modelos llevados a cabo en laboratorio como para simulaciones numéricas deben ajustarse ciertos
parámetros de las leyes constitutivas con la finalidad de considerar este cambio de escala. En la
sección III.3.2 se presentó en qué medida se ven afectados los parámetros para un cambio de escala
determinado.
57
Bibliografía
BUITER, S; G. SCHREURS. 2008. Analoge-Numerical Model Comparisons. (Disponible en:
www.geodynamic.no/benchmarks. Consultado el 28 de abril de 2008).
BRINKGREVE, R. 2005. Selection of Soil Models and Parameters for Geotechnical Engineering
Application. Geotechnical Special Publication. 128: 69 − 98.
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- Eindimensionaler Kompressionsversuch (Noma DIN 18135). Berlin, Beuth-Verlag. 38
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HUBBERT, M. 1937. Theory of Scale Models as Applied to the Study of Geologic Structures.
Bulletin of the G. Soc. of America. 48(10): 1459 − 1520.
JANBU, N. 1963. Soil Compressibility as Determined by Oedometer and Triaxial Test.
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1: 19 − 25.
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860.
MAKSIMOVIC, M. 1992. New Description of the Shear Strength for Rock Joints. Rock
Mechanics and Rock Eng. 25(4): 275 − 284.
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ROSCOE, K.H; J.B, BURLAND. 1968. On the Generalized Stress-Strain Behaviour of "Wet"
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Cambridge University Press. Pp. 535 – 609.
58
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Analysis. Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkley. 45
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LEHRSTUHL FÜR GEOTECHNIK IM BAUWESEN RWTH. 2007. Mecánica de Suelos III. No
publicado.
LEHRSTUHL FÜR GEOTECHNIK IM BAUWESEN TU DARMSTADT. 2005. Anwendungen
der FEM in der Geotechnik. No publicado.
WOOD, D. 1990. Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics. UK, Cambridge University
Press. 486 p.
59
Apéndice A
Evaluación de los Ensayos Triaxiales
Los resultados de los ensayos triaxial obtenidos en el laboratorio se muestran en las tablas 6, 7 y 8.
En forma experimental se determina el módulo de elasticidad a partir de la línea tensión-deformación.
Se utiliza para esto el tramo definido entre cero y un medio (o bien un tercio) de la carga de falla
(vea figura 58).
Aquí se utiliza el tramo entre cero y un medio de la carga de falla. Los valores de la carga de falla,
su mitad, y las correspondientes deformaciones se muestran en la tabla 9.
Por definición el módulo de Poisson ν debe estar entre 0, 5 (material sólido) y 0 (material sin resistencia al corte). Cuando en un ensayo triaxial se mide la deformación longitudinal y radial, el
módulo de Poisson puede ser obtenido por el cuociente entre la deformación vertical y la deformación radial (Apuntes de Mecánica de Suelos TU-Darmstadt), vea figura 59.
∆εv
∆εlangs
1
1−
ν=−
=
∆εquer
2
∆ε
El cálculo del módulo de Poisson es resumido en la tabla 10.
60
!
(42)
Apéndice A. Evaluación de los Ensayos Triaxiales
Tabla 6: Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 100 kN/m2
Probeta 1 (σ3 = 100 kN/m2 )
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
0.00
0.18
0.38
0.57
0.97
1.44
1.77
2.26
2.56
2.97
3.37
3.79
4.22
4.53
4.98
5.35
0.0000
-0.0011
-0.0011
-0.0011
0.0011
0.0033
0.0067
0.0100
0.0123
0.0156
0.0190
0.0224
0.0246
0.0268
0.0302
0.0336
4.256
69.932
89.66
101.36
113.758
120.46
125.18
127.245
127.852
127.917
127.239
125.945
124.505
123.593
121.35
120.543
5.77
6.31
6.57
6.96
7.37
7.77
8.18
8.57
8.93
9.38
9.78
10.17
10.58
11.02
11.43
0.0358
0.0392
0.0403
0.0414
0.0436
0.0459
0.0470
0.0492
0.0504
0.0515
0.0537
0.0548
0.0560
0.0582
0.0526
118.844
118.57
117.013
116.334
115.876
116.186
115.641
115.592
114.899
114.261
113.743
113.43
112.318
111.991
110.375
Tabla 7: Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 200 kN/m2
Probeta 2 (σ3 = 200 kN/m2 )
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
0.00
0.18
0.37
0.56
0.96
1.35
1.73
2.19
2.48
2.88
3.27
3.69
4.11
4.43
4.81
5.21
0.0000
-0.0011
-0.0011
-0.0022
-0.0033
-0.0033
-0.0022
-0.0011
0.0000
0.0011
0.0033
0.0066
0.0088
0.0099
0.0132
0.0165
0.000
40.741
63.315
80.822
111.458
135.965
156.595
176.388
184.487
193.132
199.922
204.782
206.981
207.390
207.714
207.110
5.59
6.06
6.36
6.73
7.14
7.52
7.92
8.30
8.71
9.07
9.43
9.84
10.25
10.68
11.04
0.0187
0.0209
0.0231
0.0252
0.0285
0.0296
0.0318
0.0340
0.0351
0.0362
0.0373
0.0406
0.0417
0.0428
0.0439
205.227
203.171
201.869
199.851
197.678
194.488
191.884
189.108
186.604
184.307
181.643
180.090
177.182
175.342
173.593
61
Apéndice A. Evaluación de los Ensayos Triaxiales
Tabla 8: Resultados del ensayo triaxial para la probeta con σ3 = 400 kN/m2
Probeta 3 (σ3 = 400 kN/m2 )
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
ε(%)
εv
(σ1 − σ3 )/2 [kN/m2 ]
0.00
0.15
0.32
0.49
0.85
1.23
1.59
2.06
2.36
2.76
3.15
3.57
3.99
4.33
4.74
5.13
0.0000
-0.0011
-0.0022
-0.0022
-0.0033
-0.0044
-0.0055
-0.0044
-0.0044
-0.0033
-0.0033
-0.0011
0.0000
0.0000
0.0022
0.0044
0.001
40.607
70.991
102.875
156.583
229.287
245.124
283.050
299.843
317.326
330.292
342.542
349.357
353.386
356.458
358.962
5.53
6.03
6.33
6.71
7.14
7.52
7.94
8.31
8.74
9.11
9.50
9.90
10.31
10.74
11.13
0.0072
0.0089
0.100
0.0122
0.0133
0.0155
0.0166
0.0177
0.0200
0.0211
0.0211
0.0233
0.0244
0.0255
0.0266
359.869
359.369
359.271
357.668
355.872
352.961
351.429
347.861
344.276
342.282
339.888
338.474
336.863
336.510
334.430
Figura 58: Cálculo del módulo de elasticidad.
62
Apéndice A. Evaluación de los Ensayos Triaxiales
Figura 59: Cálculo del módulo de Poisson.
Tabla 9: Cálculo del módulo de elasticidad.
Probeta
1
2
3
Presión de conf.
[kN/m2 ]
100
200
300
(σ1 −σ3 )
2
max
2
[kN/m ]
127.917
207.714
359.869
(σ1 −σ3 )
/2
2
max
2
ε (%)
[kN/m ]
63.96
103.86
179.93
0.16
0.87
0.96
E
[M P a]
39.975
11.937
18.742
Tabla 10: Cálculo del módulo de Poisson.
Probeta nro.
1
2
3
Presión de confinamiento [kN/m2 ]
100
200
300
63
∆εv (%)
0.112
0.329
0.554
∆ε (%)
0.376
0.956
1.594
ν
0.351
0.328
0.326
Apéndice B
Ensayo de Compresión Simple
En la norma DIN 18135 se explica cómo pueden ser determinados los coeficientes de compresión
Cc y de expansión Cs . El coeficiente de compresión Cc representa la inclinación de la línea de carga
en un diagrama esfuerzo-índice de poros, con el índice de poros como ordenada y el logaritmo de
los esfuerzos como abcisa. El coeficiente de expansión Cs representa la inclinación de la línea de
descarga en un diagrama semilogarítmico esfuerzo-índice de poros (DIN 18135), vea figura 60.
Figura 60: Determinación de los coeficientes de deformación en el diagrama deformación-índice
de poros (logσ 0 -e).
Para determinar Cc y Cs se anotan los puntos A, B, C y D del diagrama esfuerzos-índice de poros
(logσ 0 -e) en la tabla 11.
64
Apéndice B. Ensayo de Compresión Simple
De esto resulta: Cs = 0.0138316 y Cc = 0.076505218.
Tabla 11: Puntos necesarios para la determinación de Cc y Cs .
Punto
A
B
C
D
e
0.487515801
0.473686485
0.459533045
0.454130968
65
log(σ 0 )
2.414973348
3.41480628
3.645225712
3.715836275
Apéndice C
Ángulo de Dilatancia
El ángulo de dilatancia es el ángulo β entre el vector de incremento de deformaciones y el eje p, en
estado fluencia (vea figura 6).
La tabla 12 presenta valores de deformación axial εa , deformación radial εr , deformación volumétrica εp , cambio de forma εq , esfuerzo desviador q y esfuerzo hidrostático p obtenidos de ensayos
triaxiales realizados en el laboratorio, en el momento de alcanzar la fluencia y después de ella para
tres presiones de confinamiento distintas.
Tabla 12: Resultados de ensayos triaxial en el momento de alcanzar la fluencia y después de ella.
σ3 [kN/m2 ]
100
200
400
εa
0.029703
0.033707
0.04429
0.04806
0.05128
0.05526
εr
-0.00701
-0.00733
-0.01721
-0.01745
-2.34E-02
-2.40E-02
εp
0.015680
0.019040
0.009878
0.013170
0.004436
0.007208
εq
0.024477
0.027360
4.10E-02
4.37E-02
0.05526
0.06026
q[M P a]
0.255834
0.254478
0.41478
0.415428
0.717924
0.719738
p[M P a]
0.18528
0.18483
0.33826
0.33848
0.63931
0.63991
La deformación volumétrica εp y el cambio de forma εq se calculan mediante la siguiente relación:
2
εq = (εa − εr )
3
εp = εa + 2εr ,
(43)
A partir de esto, se puede obtener la razón q/p, la dilatación (Dilation) y el ángulo de dilatancia.
El cálculo de la dilatación y del ángulo de dilatancia ψ se lleva a cabo como sigue:
Dilation =
δεp
δεq
ψ = 180◦ − tan−1 (1/Dilation)
66
(44)
(45)
Apéndice C. Ángulo de Dilatancia
La tabla 13 muestra los valores de la razón q/p, la dilatación y el ángulo de dilatancia ψ.
Tabla 13: Ángulo de dilatancia en el momento de alcanzar la fluencia.
σ3 [kN/m2 ]
100
200
400
q/p
1.38
1.23
1.125
δεp
3.36E-03
3.29E-03
2.77E-03
67
δεq
2.88E-03
2.68E-03
3.05E-03
δεp /δεq
1.165
1.230
0.909
ψ
139.36
140.89
132.27
Apéndice D
Ejemplo de Aplicación
D.1
Descripción del Experimento
A modo de ejemplo se llevará a cabo un experimento Sandbox cuyas bases fueron descargadas del
sitio http://www.geodynamics.no/benchmarks/benchmark. Se acordó con la profesora guía simular
el experimento 1B, con el objeto de analizar la ley constitutiva SR3. Se seguirán las descripciones
establecidas en las bases sólo parcialmente.
D.1.1
Materiales
Para el ensayo se utilizarán dos tipos de arena, las cuales poseen características definidas en las
bases y que deben ser consideradas en la modelación. Los parámetros a considerar se muestran en
la tabla 14.
Debido a que la ley constitutiva SR3 es independiente de las velocidades, el parámetro de viscosidad
no es requerido. Los valores de dilatancia, ψ, igual a cero y de los parámetros elásticos, E y ν,
fueron alterados por considerar que éstos no son realistas1 . De este modo se estableció ψ = 10◦ ,
E = 5 · 106 P a y ν = 0.25.
D.1.2
Montaje del Experimento
Tres capas de arena dispuestas horizontalmente son comprimidas por una pared horizontal (vea
figura 61). Cada capa tiene un espesor de 1 cm.. En las especificaciones del Grupo Benchamark
se establece que la velocidad a la cual esta pared debe moverse debe ser igual 2.5 cm/h, pero,
como fue mencionado anteriormente, el modelo SR3 es independiente de las velocidades, por lo
que puede ser utilizada otra velocidad, siempre que esta sea lo suficientemente lenta para no influir
en los resultados.
1
En las bases se recomienda estos valores para desactivar la respuesta elástica.
68
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Tabla 14: Descripción de los materiales para el experimento Sandbox.
Parámetro
Arena de Cuarzo
densidad
ángulo de fricción interna
cohesión aparente
fricción del borde
ángulo de dilatancia
Arena Corundum
densidad
ángulo de fricción interna
cohesión aparente
fricción del borde
ángulo de dilatancia
viscosidad
aceleración de gravedad
E
ν
Valor
1560 kg m3
35◦
30 P a
15◦
10◦
1890 kg m3
36◦
30 P a
25◦
10◦
1012 P a s
9.81 m s−2
5 · 106 P a
0.25
Figura 61: Montaje de experimento.
Fuente: Buiter und Schreurs (2008).
Para construir el modelo en ELFEN se definieron 6 superficies (vea figura 62, en la figura separadas
30 mm entre sí, para mejor visualización). Las superficie 1-2-3-4 representa la pared rígida fija,
la 5-6-7-8 la placa base, la 9-10-11-12 la pared móvil, la 13-14-15-16 la capa inferior de arena
de cuarzo, la 17-18-19-20 la capa de arena de corundum, y la 21-22-23-24-25 la capa superior de
arena de cuarzo. Entre cada superficie se deben definir líneas de contacto con el valor de fricción
respectiva a cada interfase. En la tabla 15 se presentan estos valores. Como la fricción debe
ser ingresada como un valor adimensional, ésta se determina como la tangente de los ángulos de
fricción especificados anteriormente (tan(15◦ ) = 0.2679 y tan(25◦ ) = 0.4663). Entre las capas de
arena se supuso una fricción igual a 35.5◦ (el valor medio entre los ángulo de fricción de cada tipo
de arena, tan(35.5◦ ) = 0.7133).
La fuerza de gravedad se aplica como una fuerza de cuerpo (Body Force). Para la arena de cuarzo
la fuerza de gravedad vale 15.3036 P a/mm (1560 kg/m3 · 9.81 m/s2 1 · 103 ) y para la arena
corundum 18.5409 P a/mm (1890 kg/m3 · 9.81 m/s2 1 · 103 ).
Debido a que en los experimentos sandbox se espera que se produzcan grandes deformaciones en
69
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
la mallas de elementos finitos, se utiliza un algoritmo para actualizar la malla (re-meshing). El
tamaño inicial de la malla es igual a 5 mm. Al iniciarse la actualización de la malla, el tamaño de
ésta en las zonas con mayor deformación estará entre 1 y 2 mm.
Tabla 15: Valores de fricción entre superficies de contacto.
línea 1
3-4
3-4
3-4
3-4
7-8
9-12
9-12
9-12
9-12
15-16
18-19
línea 2
13-16
19-20
24-25
23-24
13-14
14-15
17-18
21-22
22-23
17-20
21-25
fricción
0.2679
0.4663
0.2679
0.2679
0.2679
0.2679
0.4663
0.2679
0.2679
0.7133
0.7133
Figura 62: Definición de las superficies en ELFEN.
D.2
Determinación de la Curva de Fluencia
A partir de los parámetros definidos en la tabla 14 debe determinarse la curva de fluencia del la
ley constitutiva SR3 que mejor ajuste los datos. Para esto se calcularon cuatro puntos en el plano
τ − σ según el criterio Mohr-Coulomb, para cada arena (vea figuras 63 y 64). Como en este caso
se desarrollan pequeños esfuerzos, se eligieron valores de σ que pertenezcan a este rango. A partir
de los valores de τ y σ se calcularon los valores de p y q respectivos (vea tabla 16). Los puntos
obtenidos fueron trazados en el plano p − q para determinar el valor de los parámetros que deben
ser ingresados en el modelo SR3 (mediante ajuste de la curva de fluencia a los puntos). La curvas
elegidas se muestran en las figuras 65 y 66.
70
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 63: Representación de los puntos calculados en el plano τ − σ para la arena de cuarzo.
Figura 64: Representación de los puntos calculados en el plano τ − σ para la arena corundum.
71
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 65: Ajuste de la curva de fluencia del modelo SR3 a los puntos calculados para la arena de
cuarzo.
Figura 66: Ajuste de la curva de fluencia del modelo SR3 a los puntos calculados para la arena
corundum.
72
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Tabla 16: Determinación de p y q a partir de τ y σ.
Tipo de arena
σ
[kN/m2 ]
τ
[kN/m2 ]
σ1
[kN/m2 ]
σ3
[kN/m2 ]
p [P a]
q [P a]
5
10
20
50
3.5310
7.0320
14.0341
35.0403
11.7830
23.5084
46.9593
117.3119
3.1618
6.3393
12.6942
31.7591
6035.59218
12062.3859
24115.9733
60276.7355
8621.2021
17169.1579
34265.0693
85552.8034
5
10
20
50
3.6627
7.2954
14.5608
36.3571
12.1884
24.3180
48.5772
121.3548
3.1337
6.2827
12.5808
31.4751
6151.9959
12294.5562
24579.6768
61435.0386
9054.7236
18035.2831
35996.4022
89879.7594
arena de cuarzo
arena corundum
En la tabla 17 se muestran los valores de los parámetros de la ley SR3 que fueron estudiados en la
modelación del experimento sandbox. Se indica además el tiempo de cálculo (representado como
desplazamiento de la pared).
Tabla 17: Valores de los parámetros estudiados en el experimento sandbox y desplazamiento
alcanzado por la pared.
Experimento
A
B
C
D
E [P a]
5 · 106
5 · 106
5 · 105
5 · 106
ν
0.25
0.25
0.25
0.25
ψ◦
10
10
10
5
λ−κ
0.08-0.008
0.04-0.008
0.08-0.008
0.08-0.008
Despl. pared [mm]
69
93
39
42
El desplazamiento máximo para la pared fue fijado en 100 mm. Ninguna simulación logró completar el experimento hasta el desplazamiento deseado. Figuras de las simulaciones se presentan a
continuación. En cada ilustración se precisan las deformaciones plásticas efectivas resultantes en
cada zona del continuo, para distintos valores de algunos parámetros del modelo SR3 y a distintos
desplazamientos de la pared móvil.
73
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 67: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
13 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
74
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 68: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
17 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
75
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 69: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
21 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
76
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 70: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
25 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
77
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 71: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
29 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
78
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 72: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de E. Desplazamiento de
33 mm a) E = 5 · 106 [P a] y b) E = 5 · 105 [P a].
79
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 73: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 13 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
80
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 74: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 17 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
81
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 75: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 21 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
82
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 76: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 25 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
83
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 77: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 29 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
84
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 78: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 33 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
85
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 79: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 37 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
86
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 80: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 41 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
87
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 81: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 45 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
88
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 82: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 49 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
89
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 83: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 53 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
90
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 84: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 57 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
91
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 85: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 61 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
92
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 86: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 65 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
93
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 87: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de λ − κ. Desplazamiento
de 65 mm a) λ − κ = 0.08 − 0.008 y b) λ − κ = 0.04 − 0.008.
94
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 88: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
13 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
95
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 89: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
17 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
96
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 90: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
21 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
97
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 91: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
25 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
98
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 92: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
29 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
99
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 93: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
33 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
100
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 94: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
37 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
101
Apéndice D. Ejemplo de Aplicación
Figura 95: Comparación de un ensayo sandbox para distintos valores de ψ. Desplazamiento de
41 mm a) ψ = 10◦ y b) ψ = 5◦ .
102