1.5 Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

4
Ecuaciones Diferenciales de
primer Orden
1.1
1.1. Introducción
Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que
contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se Iinvierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 4 x + 4 = 0 con la variable x, en este tema vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” +
3y’ + y = 0, para determinar la función y.
El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu
para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y
fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones
de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales.
En cálculo aprendimos que la derivada, dy/dx, de la función y= f(x) es en si, otra función de x que se
2
2
2
determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y = e x , entonces dyêdx = 2 xe x . Al reemplazar e x por
el símbolo y se obtiene:
dy
dx
= 2 xy
(1)
El problema que afrontaremos en este curso no se trata de dada una función y=f(x), determinar
su deriva. El problema es dada una ecuación diferencial, ¿Hay algún método por el cual podamos determinar a la función y?.
1.2
Conceptos de ecuaciones diferenciales
La ecuación que planteamos en (1.1) se llama ecuación diferencial. Antes de avanzar más, veamos
algunas definiciones más precisas de este concepto.
D e fi n i c i ó n 1
Definición 1: [DZ,1]
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial.
2
D e fi n i c i ó n 2
Definición 1: [MS,2]
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una
función desconocida de una o más variables. Si la función desconocidad depende
sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la
ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función
desconocid depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son
derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Ejemplo 2.1
Ejemplos:
y' + x y = 3
y'' + 5 y ' + 6 y = cosHxL
L
d2 i
Hd tL2
+R
di
1
+
dt
C
i = Ew cosHwtL
Todas estas ecuaciones corresponden a ecuaciones diferenciales.
Cuando una ecuación envuelve una o más derivadas con respecto a una variable particular, esa
variable es llamada variable independiente. Una variable es llamada dependiente si en la ecuación hay
alguna derivada de esa variable. Por ejemplo:
dy
dx
=2x + y
d2 x
2
-2
dt
1.3
dx
dt
ö
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
- 15 x = 0
t es la variable independiente
x es la variable dependiente
ö
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
1.3.1 Clasificación según el tipo
1.Ecuación diferencial ordinaria:
Son aquellas ecuaciones que sólo contienen
derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.Por ejemplo:
dy
dx
= 6 x + 5;
d2 x
2
dt
-
dx
dt
= et , y
dx
dt
+
dy
dt
= 3x+ y
2.Ecuación diferencial en derivadas parciales: Son aquellas que contiene las derivadas
parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes. Por
ejemplo:
3
∑2 u
∑ x2
+
∑2 u
∑ y2
= 0,
∑2 u
=
∑ x2
∑2 u
∑t2
-2
∑u
∑x
,
∑u
y
∑y
=-
∑v
∑x
Las derivadas ordinarias tienen diversas notaciones:
dy
dx
,
d2 y
dx2
,
d3 y
dx3
ö Notación de Leibniz
y', y'', y '''
ö Notación con primas
° .. ...
y, y, y
ö Notación de Newton o de puntos
1.3.2 Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación, por
ejemplo:
d3 y
3
d y
dx3
2
+3
d y
dx2
+5
dy
dx
dx3
3
- 4 y = ex
d2 y
ö
dx2
dy
dx
Tercer orden
Segundo orden
Primer orden
1.3.3 Clasificación según la linealidad
Ecuaciones diferenciales lineales:
Otra forma de representar una ecuación diferencial es:
F Ix, y, y', ..., yHnL M = 0
(2)
Se dice que una ecuación diferencial como la (1.2) es lineal si F es lineal en y, y', y'', ..., yHn-1L .
Esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando la ecuación (1.2) es
an HxL yHnL + an-1 HxL yHn-1L + ... + a1 HxL y ' + a0 HxL y - gHxL = 0, o bien
an HxL
d HnL y
dxn
+ an-1 HxL
d Hn-1L y
dxn-1
+ ... + a1 HxL
dy
dx
+ a0 HxL y = gHxL
(3)
En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
a)
La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el exponente de todo término donde aparece y es 1.
b)
Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Las ecuaciones
Hy - xL dx + 4 xdy = 0, y '' - 2 y' + y = 0
d3 y
3
dx
+x
dy
dx
- 5 y = ex
son, a su vez, ecuaciones diferenciales ordinarias de primero, segundo y tercer orden.
4
Término no lineal :
Función no lineal de y
Término no lineal :
coeficiente depende de y
H1 - yL y' + 2 y = ex
1.4
d2 y
dx2
+ SenHyL = 0
Variables Separables
En algunas ocasiones las ecuaciones diferenciales se podrán resolver usando integración y quizás esta
integral requiera de algunas técnicas especiales.
1.4.1 Solución por integración:
Cuando f es independiente de la variable y, esto es
dy
dx
= gHxL
Si f g(x) es una función contínua se resolverá por integración:
y = ‡ gHxL dx + C
D e fi n i c i ó n 3
Ecuación Separable
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:
dy
dx
= gHxL hHyL
es separable, o de variables separables.
[DZ,1]
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es necesario:
dy
dx
= gHxL hHyL
1.- Reescribir la ecuación haciendo un despeje simple:
HL
= HL 2.- Integramos a ambos lados de la ecuación y nos queda como:
‡ pHyL dy = ‡ gHxL dx
PHyL + C1 = GHxL + C2
PHyL = GHxL + C
HL
= HL
5
Ejemplo 4.2
Solución :
Solución de una ecuación diferencial:
H1 + xL dy - ydx = 0
Dividimos ambos lados de la ecuación por (1+x)y:
H1 + xL dy - ydx
H1 + xL y
H1 + xL dy
H1 + xL y
dy
y
-
1
-
=0
y
H1 + xL y
dx = 0
dx = 0
1+x
Lugos pasamos a sumar al otro lado de la igualdad el término
dy
y
1
=
1+x
dx
:
1+x
dx
Integramos a ambos lados de la ecuación:
‡
=‡
dy
y
1
1+x
dx
LnHyL + C1 = LnH1 + xL + C2
Sumamos los valores constantes :
LnHyL = LnH1 + xL + C
Como necesitamos es la variable y necesitamos aplicar la operación
inversa al Ln que es la exponencial :
y = eLnH1+xL+C = eLnH1+xL eC = H1 + xL eC
y = H1 + xL c
Ejemplo 4.3
Obtener la solución de la ecuación diferencial
dy
dx
Solución :
=
-x
y
con valor inicial y(4)=-3
Aplicamos lo mismo que en el ejemplo anterior:
dy
=
-x
dx
ï
y
Integrando en ambos lados :
y2
2
y2
2
+ c1 = -
=-
x2
2
x2
2
+c
+ c2
y dy = - x dx
6
Sustituyendo el valor inicial yH4L = -3
H- 3L2
=-
2
H4L2
2
+c
Despejando a c :
2 c = 9 + 16
1.5
c=
25
2
Ecuación Diferencial Lineal de primer orden
Anteriormente se dijo que una ecuación diferencial es lineal cuando de primer grado en la variable
dependiente y en todas su derivadas.
D e fi n i c i ó n 4
Ecuación lineal
Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma
a1 HxL
dy
dx
+ a0 HxL y = gHxL
es una ecuación lineal.
ö Cuando g(x) es cero, entonces la ecuación diferencial es homogénea, en
cualquier otro caso no es homogénea.
Teorema 1
La ecuación diferencial lineal de primer orden dx + PHxL y = f HxL se puede
transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos
lados de la ecuación por el factor integrante eŸ PHxL dx .
[ES,2]
dy
1.5.1 Solución de una ecuación diferencial de primer orden
1.- Convertir una ecuación diferencial lineal a la forma estándar de una ecuación diferencial:
dy
dx
+ PHxL y = f HxL
2.- A partir de la forma estándar, identificar a P(x) y a continuación determinar el factor integrante:
eŸ PHxL dx
3.- Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la
ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto
es,
d
dx
AeŸ PHxL dx yE = eŸ PHxL dx f HxL
4.- Se integran ambos lados de esta ecuación.
7
Ejemplo 5.4
Solución :
Obtener la solución de la ecuación diferencial:
dy
dx
-3 y = 0
Aunque esta ecuación diferencial se puede resolver por variable separables, vamos a usar
este nuevo procedimiento ya que tiene la forma estándar de ecuación diferencial de primero
orden.
Además vale la pena destacar que es una ecuación diferencial lineal de primer orden
homogénea.
1. - Comparamos la ecuación con la forma estándar :
dy
dx
-3 y = 0
dy
ó
dx
+ PHxL y = f HxL
2. - Para determinar el factor integrante usamos :
eŸ PHxL dx = eŸ -3 dx = e-3 x
3. - Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante a ambos lados :
dy
dx
d
dx
d
dx
d
dx
-3 y = 0
ï
e-3 x
IeŸ PHxL dx yM = eŸ PHxL dx f HxL
Ie-3 x yM = e-3 x .0
Ie-3 x yM = 0
4. - Integramos ambos lados de la ecuación :
‡
d
dx
Ie-3 x yM = ‡ 0
dy
dx
- 3 e-3 x y = 0
8
e-3 x y = C
C
y=
e
Ejemplo 5.5
Solución :
-3 x
Despejamos el valor de y
= Ce3 x
Obtener la solución de la ecuación diferencial:
dy
dx
- 3 x2 y = x2
Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea de la forma estándar
dy
dx
+ PHxL y = f HxL podemos usar el procedimiento anterior:
f HxL = x2
1. - PHxL = -3 x2
2. - El factor integrante será :
eŸ PHxL dx = eŸ -3 x
2
dx
= e-x
3
3. - Multiplicamos la ecuación por el factor integrante :
e-x
dy
3
3
3
- 3 x2 e-x y = e-x x2 esto nos queda de la forma
dx
Ie-x yM = e-x x2
d
3
dx
3
4. - Integramos ambos lados de la ecuación :
‡
e
d
3
dx
-x3
Ie-x yM = ‡ e-x x2 dx
3
y=· e
u = - x3
-x3
-du
3
3
y=
y=
Ejemplo 5.6
1
3
1
3
-1
3
3
3
-1
3
3
e-x ex + Cex
+ Cex
=
e-x + C
3
Cambio de Variable :
3
eu + C =
-1
3
3
e-x + C
Despejamos a y
Simplificando nos queda
3
Obtener la solución de la ecuación diferencial:
x
dy
dx
du = -3 x2 dx
-du
3
e-x y = ‡ eu
e-x y =
x2 dx
- 4 y = x6 e x
= x2 dx
9
Solución :
Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea pero aún no está
escrita de la forma estándar
dy
dx
forma:
+ PHxL y = f HxL, por lo que primero debemos llevarla a esa
1. - Reescribimos la ecuación
dy
x
x
- 4 y = x6 e x
dx
dy
dx
-4 y
x dy
x dx
dy
-
x6 e x
=
x
4
x
dx
4
x
Separamos la suma
x
y=
x6
x
ex
Simplificamos
y = x5 e x
2. - Obtenemos a PHxL y f HxL
PHxL =
Dividimos la ecuación entre x
-4
x
f HxL = x5 ex
3. - Determinamos el factor integrante
eŸ PHxL dx = eŸ
-4
x
dx
= e-4 LnHxL = eLnIx
-4 M
= x-4
3. - Multiplicamos la ecuación por el factor integrante :
x-4
d
dx
d
dy
dy
dx
-
4
x
x-4 y = x-4 x5 ex esto nos queda de la forma
Ix-4 yM = x-4 x5 ex
Simplificamos
Ix-4 yM = x-4+5 ex = xex
4. - Integramos ambos lados de la ecuación :
‡
d
dx
Ix-4 yM = ‡ x ex dx
x-4 y = ‡ x ex dx
Integración por parte :
u=x
du = dx
x-4 y = u v - ‡ vdu = x ex - ‡ ex dx = x ex - ex + C
x-4 y = x ex - ex + C
Despejamos a y
dv = ex dx
v = ex
10
x
y =
x-4
ex -
ex
x-4
+
C
Simplificamos
x-4
y = x5 ex - x4 ex + Cx4
Ejemplo 5.7
Solución :
Obtener la solución de la ecuación diferencial:
dy
dx
+y=x
yH0L = 4
Seguimos los mismos pasos
f HxL = x
PHxL = 1
eŸ dx = ex
d
dx
‡
Factor integrante
Hex yL = x ex
d
dx
He x yL = ‡ x ex dx
ex y = ‡ x ex dx
Integración por parte :
u=x
du = dx
dv = e x dx
v = ex
ex y = u v - Ÿ vdu = x e x - Ÿ ex dx = x ex - ex + C
ex y = x ex - ex + C
Despejamos a y
y =x ex - ex + C
Evaluamos el valor inicial y(0) = 4
x=0
y=4
y =x ex - ex + C
4 = 0. e0 - e0 + C
4 = -1 + C
C=5
La solución de la ecuación diferencial será:
y =x ex - ex + 5
1.6
Ecuaciones Exactas
D e fi n i c i ó n 5
Ecuación Exacta
Una expresión diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy es una diferencial
exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de
alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden, de la
forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
es una ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
11
Por ejemplo una ecuación diferencial exacta sería:
x2 y3 dx + x3 y2 dy = 0
donde
M Hx, yL = x2 y3
Teorema 2
y
NHx, yL = x3 y2
Criterio para una diferencial exacta
Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en
una región rectangular, R, definida por a<x<b, c<y<d. Entonces, una
condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy sea una
diferencial exacta es que
∂M
∂y
Ejemplo 6.8
Solución :
=
∂N
∂x
Solución de la ecuación diferencial exacta 2 xydx + Ix2 + 1M dy = 0
Lo primero que debemos hacer es comparar nuestra ecuación diferencial con la forma que
plantea la definición de la ecuación diferencial exacta:
Y verificamos que realmente es una ecuación diferencial exacta haciendo uso del
Teorema 2:
∑M
∑y
=
∑N
∑M
∑y
= 2x Ñ
∑x
∑N
∑x
= 2x Ñ
Por lo que debe existir una función f(x,y) tal que:
∑f
∑x
∑f
∑y
= 2 xy
H1L Integramos esta ecuación respecto a x
= Ix2 + 1M
H2L Integramos esta ecuación respecto a y
Tomamos la primera ecuación :
f Hx, yL = x2 y + gHyL
H3L
Tomamos ésta última ecuación y la derivamos respecto a y y la igualamos a (2):
∑f
∑y
= x2 + g ' HyL = x2 + 1
12
x2 + g ' HyL = x2 + 1
g ' HyL = 1
Despejamos a g ' HyL
Integramos respecto a y
gHyL = y
Sustituimos éste resultado en la ecuación H3L :
f Hx, yL = x2 y + gHyL
f Hx, yL = x2 y + y
Ejemplo 6.9
Solución :
Solución de la ecuación diferencial exacta
Ie2 y - y cos xyM dx + I2 x e2 y - x cos xy + 2 yM dy = 0
De la ecuación obtenemos que:
M Hx, yL = e2 y - y cos xy
NHx, yL = 2 x e2 y - x cos xy + 2 y
∑M
Derivando
= 2 e2 y - cosxy + xysenHxyL
∑y
Derivando
∑N
∑x
= 2 e2 y - cosxy + xysenHxyL
Sabemos que :
∑f
∑x
∑f
∑y
= M Hx, yL = e2 y - y cos xy
= NHx, yL = 2 x e2 y - x cos xy + 2 y
Ahora integramos la ecuación H2L :
f Hx, yL = ‡ I2 x e2 y - x cos xy + 2 yM „ y =
f Hx, yL = x e2 y - SenHxyL + y2 + hHxL
Derivamos la ecuación H3L :
∑
∑x
H1L
H2L
2 x e2 y
-
2
H3L
xSenHxyL
x
+
2 y2
2
+ hHxL
f Hx, yL = e2 y - y cosHxyL + 0 + h ' HxL = M Hx, yL = e2 y - y cos xy
e2 y - y cosHxyL + 0 + h' HxL = e2 y - y cos xy
h' HxL = 0
Integramos este resultado :
Sustituimos en la ecuación H3L a hHxL
f Hx, yL = x e2 y - SenHxyL + y2 + c
Simplificando nos queda :
hHxL = c
13
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
Dennis Zill y Michael Cullen “ECUACIONES DIFERENCIALES”, 5ta y 6ta edición.
[2]
Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición
[3]
N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición
[4]
Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición
[5]
James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".
[6]
Murray Spiegel, “ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS”, 3era edición.
14