Fecha: Propósito: Competencia: poderosa para llegar a la ...

Fecha: Marzo 27, Abril 1, 3, 8, 10, 22, 28
Propósito: Iniciar el estudio de las expresiones algebraicas como herramienta
poderosa para llegar a la solución de problemas de matemáticas y de otras
áreas.
Competencia: Representación y descripción de fenómenos de variación y
cambio en sistemas algebraicos. Relaciones y funciones con sus
correspondientes propiedades y representaciones gráficas.
Estándar: Interpreta la representación de los números reales por medio de
expresiones algebraicas
Tema: Expresiones algebraicas
Indicadores de desempeño
Reconoce los conceptos fundamentales de las expresiones algebraicas.
Realiza operaciones de adición y sustracción de expresiones algebraicas
Realiza operaciones de multiplicación y división de expresiones algebraicas,
aplicando las propiedades de la potenciación
Asocia términos y expresiones algebraicas a las medidas de una figura y
determina magnitudes como perímetro, área y volumen.
Muestra interés por los temas en clase
Pone en práctica los conocimientos adquiridos.
Momento para Comprender
Observar los siguientes conjuntos y determina que elementos los conforman
Elementos: __________
Elementos: _______________
{ xy, x2y, xy2, 2xy, 5x, 9yx2 }
Elementos: ____________
El primer conjunto contiene 1 estrella, 2 corazones, 2 rectángulos y 3 ovalos.
¿Será posible decir que el segundo conjunto contiene 8 elementos?, la forma
mas apropiada sería decir que contiene 2 circulos, 2 triángulos, 1 trapecio, 3
cuadrados.
De igual forma se procede con el último conjunto, se reunen elementos
semejantes teniendo en cuenta que los términos algebraicos con las mismas
letras elevadas a iguales exponentes son semejantes. Esto se conoce como
reducción de términos semejantes
En las siguientes expresiones reducir los términos semejantes y encontrar los
resultados en el siguiente rectángulo
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3x2 – 8x + 5; 8x2 + 2x – 10 R. 11x2 – 6x – 5
5x2 + 3x -8; 3x2 + 5x – 10
6x2 + 5x – 8; 5x2 – 3x + 2
3x2 – 4x – 5; 5x2 + 6x
5x3 + x – 1; 2 – 4x3 R. x3 + x + 1
5x4 + x3 – 1; 3 – 9x4 – x3
10x2 – 8x + 5; 9x – 10 + 2x2
3x4 + 3x + 3; -2x + 5x4 – 3
11x4
10x5
6x3
2
5x3
9x2
11x2
4x2
8x2
8x
-18
4x2
2x
-6x
2x
-2x
2x3
5x2
-6
8x3
-5
x
5x2
-4x4
4x2
12x
3
12x2
2x
2
12x2
x
-5
8x4
2
11x2
2x4
3x3
5x4
1
x
x3
Encontrar una expresión para el perímetro de las siguientes figuras
X2 + 4x-1
X
2x + 1
5-4x2
2x2 – x + 7
4x3
Momento para aprender.
Las expresiones algebraicas son una herramienta poderosa para llegar a la
solución de problemas. Con el uso de constantes y variables se puede
representar un sinnúmero de situaciones, se generalizan eventos. A través del
algebra se simplifican y se generalizan todo aquello relacionada con los
números, operaciones y relaciones.
La caída libre de un objeto está determinada por ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 +
𝑔𝑡 2
2
. Aquí las letras
se usan para denotar magnitudes, que se reemplazan por valores dados.
Mediante números, letras y símbolos matemáticos se pueden representar
proposiciones verbales.
Ejemplos

Un medio de un número más dos es igual a cuatro veces el número
El número lo representamos por n;
1
2
𝑛 + 2 = 4n

En la clase hay el doble de niños que de niñas. Si x es el número de
niñas, ¿cuál es el número de niños? ¿cuál es el número de alumnos de
la clase?
Número de niños: 2x
Número de alumnos: x + 2x = 3x

La quinta parte de un número es igual a siete restado del número.
1
5
b = b – 7 donde b representa dicho número
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica que involucra la suma o diferencia
de varios términos.
Los términos son expresiones algebraicas constituidas por uno o más
símbolos, números o letras, cada símbolo se relaciona con los otros del mismo
término, por medio de una multiplicación. 9x2y, -7a 2, a5c3b8
El número con el que inicia el término, se llama coeficiente, las letras
conforman la parte literal.
En 4x3y, el coeficiente es 4 y la parte literal x3y; x2y2, el coeficiente es 1 y la
parte literal x2y2
De acuerdo con el número de términos, las expresiones algébricas se clasifican
en monomios, binomios, trinomios y polinomios.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de una expresión algebraica es la cantidad que se obtiene de
reemplazar las variables por una cantidad dada y realizar las operaciones
indicadas en el polinomio.
Ejemplos: hallar el valor numérico del polinomio 5a 3 - 2a2b3 + b + 3 para los
valores a = 3 y b = 5
Sustituyendo los valores, 5(3)3 – 2(3)2(5)3 + 5 + 3 = 5.27 -2.9.125 + 5+ 3 =
2107
Hallar el área superficial de un cilindro de radio 5m y altura 3m, si esta está
dada por S = 2πr2 + 2πrh
S = 2π (5m)2 + 2π (5m)(3m) = 80πm2
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Sumar dos o más polinomios da como resultado otro polinomio formado por la
suma de los términos de cada polinomio, si hay términos semejantes se hace
reducción de dichos términos.
La diferencia de dos polinomios equivale a sumar un polinomio con el opuesto
del segundo polinomio (sustraendo), es decir cada término del segundo
polinomio cambia de signo y después se reducen términos semejantes.
Ejemplos.
Hallar la suma de los siguientes polinomios
5ab2x – 3a2bx2 + 6xy – 7abc; -5ab2x + 4ab2x2 + 2xy – 5abc
Agrupamos los términos semejantes
(5ab2x – 5ab2x) – 3a2bx2 + (6xy + 2xy) + (-7abc – 5abc)
-3a2bx2 + 8xy – 12abc
Hallar la diferencia entre los siguientes polinomios
3mn + 9n2 + 5m2; -5mn – 17n2 + 3m2
Cambiamos los signos de los términos del segundo polinomio
3mn + 9n2 + 5m2 + 5mn + 17n2 – 3m2
Agrupamos términos semejantes
(3 + 5)mn + (9 + 17)n2 + (5 – 3)m2
8mn + 26n2 -2m2
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas se aplican las propiedades de la
potenciación
am an = am+n
(am)n = amn
PRODUCTO ENTRE MONOMIOS
El resultado de multiplicar dos monomios, es otro monomio, que se forma de
multiplicar los coeficientes y las partes literales teniendo en cuenta la
multiplicación de potencias de igual base.
Ejemplo (5x5b3c2) (-12xb2) = -60x6b5c2
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
El producto de un monomio por un polinomio, es el plinomio formado por los
monomios resultantes de cada uno de las multiplicaciones.
Ejemplo 3x3(4x – 2x2 + 6) = 3x3( 4x) + 3x3(-2x2) + 3x2(6)
= 12x4 – 6x5 + 18x2
PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS
Al realizar el producto entre polinomios se debe multiplicar cada uno de los
monomios del polinomio por cada uno de los monomios del otro polinomio, si
se presentan términos semejantes se reducen.
Ejemplos (3ab – a + 8b) (3a – 9b)
= 3ab(3a) + 3ab(-9b) – a(3a) –a(-9b) + 8b(3a) +8b(-9b)
= 9a 2b – 27ab2 – 3a2 + 9ab + 24ab -72b2
= 9a2b – 27ab2 – 3a2 + 33ab -72b2
semejantes
Reducción de términos
4x2 – 3x + 1
2x - 2
Hallar una expresión para el área de la figura anterior
A = base x altura
A = (4x2- 3x +1) (2x – 2)
A = 8x3 – 8x2 – 6x2 + 6x + 2x – 2
A = 8x3 – 14x2 + 8x -2
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Recordar que para dividir potencias de bases iguales, se deja la base y se
restan los exponenetes
am ÷ an = am-n
División entre Monomios
Para dividir dos monomios se simplifican sus coeficientes, si es posible y luego
se aplica la propiedad anterior en la parte literal
Ejemplo
72x7 ÷ 8x3 =
72𝑥 7
8𝑥 3
= 9x7-3 = 9x4
División de Polinomio entre Monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos
del polinomio entre el monomio
Ejemplo (8x3 – 15x2 + 3x) ÷ 3x
8𝑥 3 15𝑥 2 3𝑥 8 2
−
+
= 𝑥 − 5𝑥 + 1
3𝑥
3𝑥
3𝑥 3
División de Polinomio entre Polinomio
Se utiliza el mismo algorítmo empleado para dividir números enteros,
escribiendo la resta, los pasos son los siguientes:

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en orden
descendente, si el polinomio no es completo se dejan los espacios de
los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del
dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término
del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer
término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta
del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo
parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término
del divisor.
Ejemplos
Momento para Aplicar
El álgebra geométrica está formada por figuras bidimensionales y
tridimensionales, utilizando las siguientes piezas desarrollar las actividades
propuestas.
1
b
a
a
a
b
1.
2.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Formar cuadriláteros cuyos perímetros sean los siguientes:
2b + 4
4b + 2
6b + 2
2(b + a + 1)
2a + 4b
Dibujar tres cuadriláteros diferentes a los obtenidos y determinar su
perímetro
A modo de ejemplo
El perímetro de la figura es 2(a +b + 1) + 2b = 2a + 4b + 2
3. Hallar la diferencia entre los siguientes polinomios
a. 4ab2 + 2bc – 3a2c + abc; 5abc – 2ac2 + 3bc – 11ab2
b. 2x3y4 + x4y - 6x2y2 – 5; 2x4y + 7x2y2 – 2x3y4
c. -9x4y3 + x3y2 – 6x2 – 12xy; -2x3y2 – 9x4y3 – 5xy + 10
4xy
3x2y
x
2x2
3
4. Determinar el área de la región sombreada en cada figura si el área del
cuadrado es 12x2 – 3xy, el área del rectángulo x2 – 5x2y + 4x y el área
5x2
del trapecio 3xy +
3
5. Representar geométricamente las siguientes expresiones
a. 4x3 + 2x2
b. 8x4 + 5x – (x2 – 5x3)
c. 8x -1 + 6x5
d. 16x3
e. 2x – 9 – (3x + x2)
Otro ejemplo
Hallar el área de la figura
Altura del rectángulo (a + 1)
Largo del rectángulo (b + a)
Àrea del rectángulo (a + 1) (b + a) = ab + a2 + b + a
Igual resultando obtenemos si sumamos las áreas de las cuatro figuras que
conforman el rectángulo.
6. Hallar la expresión para el volumen de la siguiente figura conformada
por cubos
b+1
7. Usando las figuras planas del algebra geometrica, completar la siguiente
tabla
Largo
Ancho
a+b
b+1
Área como producto
de las dimensiones
Área como suma de
áreas las piezas
usadas
b2 + ab + b
(b + 1) (a + b)
a + b+ 1
b+2
2a 2 + 5ab + 3b2
(2a + 2b) (a + b + 1)
8. Completar la siguiente tabla
Figura
Área
Base
Altura
3
2
Rectángulo
x +3x -43x+15
x-5
Triángulo
x2 - 3x+2 4x2-8x-5
Cuadrado
3x2+8x
Rectángulo
50+45x2-45x+5x3
x+10
Triángulo
3x2 - 8x+5 4x2-2x+2
Cuadrado
3x3+2x2-3
3
2
2𝑥 + 6𝑥 − 13𝑥 + 5
Triángulo
2x2+8x-5
2
9. Realizar las siguientes divisiones
a. x3+3x2+55 ÷ x+5
b. 21x6+33x5 ÷ 3x4
c. -8x3+12x2+28x ÷ -4x
d. 12x4-18x3+24x2-12x ÷ 4x
Evaluación
Co n sid e ra r lo s sigu ie n te s re ct án gu los
a.
m +n
b.
n +1
3a +2
a +1
1. Los perímetros de los rectángulos a y b son:
a.
b.
c.
d.
(m + n)(n+1) y ( 8a +6)
(m + n)(n +1) y (3a +2)(a + 1)
2m +4n +2 y 8 a + 6
2m +4n +2 y 6 a +3
2. Si le damos valores numéricos así: m = 2, n = 5 y a = 6. Entonces sus
perímetros son:
a.
b.
c.
d.
49 y 140
49 y 54
26 y 54
12 y 14
3. Considere los polinomios
P(x) = 4x2 – 1
1
S(x) = 2 x2 + 4
Q(x) = x3 – 3x2 + 6x -2
R(x) = 6x2 + x + 1
3
T(x) = 2 x2 + 5
Calcular los siguientes polinomios
a. Q(x) + S(x)
b. P(x) – R(x)
c. T(x) S(x)
d. S(x) S(x) – 3Q
4. Realizar la siguiente división
2x2 – x4 + 3x – x3 + 1 entre x + 1
Bibliografía
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3es
o/algebra/simbolizacion/simbolizacion.htm
Arbeláez P. Hugo Javier y otros. Lecciones de Precálculo, Escuela de
Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
Dueñas Peña William y otros. Aciertos matemáticos 8. Grupo editorial Educar,
Bogotá 2007
Fecha: Mayo 6, 8, 13, 15, 20, 22, 29, Junio 3, 5
Propósito: Hallar el espacio muestral y el subconjunto correspondiente de un
evento simple para determinar la probabilidad del evento.
Competencia: Relaciona la aleatoriedad con el azar y explica sucesos que no
son predecibles.
Estándares: Calcular probabilidad de eventos simples usando métodos
diversos
Usar comceptos básicos de probabilidad
Tema: Probabilidad
Indicadores de desempeño:




Realiza con interés las actividades propuestas en clase.
Cumple con las tareas asignadas
Conoce y aplica técnicas de conteo, permutaciones y combinaciones
para resolver situaciones que lo requieran.
Usa técnicas como diagrama de árbol, técnicas de conteo, listados,
para calcular probabilidad de eventos simples
Momento para Comprender
En pequeños grupos solucionar las siguientes situaciones:
1. De un grupo formado por Ana, Maria, Luis y Camilo, se seleccionan tres
personas. Escribir las formas posibles en que se puede realizar la
selección
2. Si las tres personas seleccionadas ocuparan los cargos de
Representante de Grupo, Secretario y Fiscal, ¿De cuales formas se
puede hacer la selección?
3. Juan posee tres camisas de diferentes colores: blanca, azul y amarilla;
además posee dos corbatas una gris y otra verde y dos pantalones: uno
negro y otro negro. Escribir las posibles formas en que puede combinar
su ropa.
4. En una bolsa se tienen tres bolas iguales numeradas de 1 al 3. Se
extrae una por una al azar, ¿cuáles son las posibles formas en que se
pueden extraer?
5. Luisa, Ana y Pablo, juegan lanzando un par de dados, si la suma
obtenida es 3, 5, 4 gana Luisa, si la suma es 7, 6 o 2 gana Ana, en los
demás casos gana Pablo. ¿Quién tiene más probabilidades de ganar?
Depués de solucionar las situaciones, responder las siguientes pregunas:
¿Por qué se obtienen mas formas de selección en la situación 2 que en la 1?
¿Si en la situación 4 se extraen las 3 bolas juntas, cambiará lo planteado?
Momento para Aprender
Experiencias como lanzar un dado, lanzar una moneda, seleccionar de una
bolsa una bola de 10 bolas de varios colores, determinar el resultado de un
partido de fútbol y muchos otros, tienen una característica común: sus posibles
resultados se conocen, pero no se puede saber con seguridad anticipada cuál
ocurrira.
Estas preciciones involucran el concepto de probabilidad o posiblidida de que
ocurra un evento, dadas unas condiciones particulares.
El conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se llama
espacio muestal.
En las actividades propuestas en el momento para
comprender se determinó el espacio muestral.
Ejemplo: determinar el espacio muestral del experimento lanzar tres monedas,
una a una
E = { (ccc) (ccs) (csc) (scc) (css) (scs) (ssc) (sss) }
Esta situación se puede representar mediante un diagrama de árbol, como se
ilulsta en la figura
Cuando no importa el orden de selección y no se repiten elementos, también se
puede utilizar el triángulo de Pascal, para conocer el número de elementos del
espacio muestral.
Por ejemplo: Para preparar una pizza se dispone de los siguientes
ingredientes: maíz tierno, piña, tomate, peperoni, queso, salami y
champiñones. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar dos ingredientes
para la preparación de la pizza?
No importa el orden de selección ya que es lo mismo una pizza con piña y
queso que con queso y piña, no se repiten elementos ya que no se puede
proponer una pizza de tomate y tomate.
Como se tienen 8 ingredientes, nos ubicamos en la última fila del triángulo
anterior, Si se utiliza un ingrediente, el número de formas posibles serían 8,
para dos ingredientes son 28 formas posibles, si fueran tres se tendrian 56
formas y asi sucesivamente.
Con dos ingredientes, la pizza se puede preparar de 28 formas diferentes.
Cuando importa el orden de selección de los elementos y se pueden repetir o
no, utilizamos el principio de multiplicación
En esta técnica se tiene en cuenta el número de formas en que se puede
seleccionar cada uno de los elementos.
Ejemplos: ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas si solamente hay
dos sillas disponibles?
5 x 4
S1
S2
En la primera silla (S1) se pueden sentar cualquiera de las cinco personas y en
la otra silla se pueden sentar cualquiera de las cuatro restantes, luego hay 20
formas de ubicarse 5 personas en las dos sillas (5 x 4 = 20)
Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 4, 5 y 7
a. No se repiten digítos y el número debe ser par
b. Se repiten dígitos y el número formado debe ser impar
c. Se repiten dígitos
Solución
a. Si el número formado debe ser par, en las unidades solamente pueden
ubicarse el dos o el cuatro, en las decenas va cualquiera de los otros 4
dígitos y el las centenas cualquiera de los tres restantes, ya que no se
repiten dígitos
3 X
4 x 2
C
D
U
Se pueden formar 24 (3 x 4 x 2) números pares de tres cifras, sin repetir
dígitos
b. Si el número debe ser impar, hay tres dígitos que pueden ocupar el lugar
de las unidades. Cualquiera de los cinco dígitos puede ocupar el lugar
de las decenas y de las centenas.
5 X
5 x 3
C
D
U
Se pueden formar 75 (5 x 5 x 3 = 75) números de tres dígitos, impares
con repetición de dígitos
c. Si se pueden repetir los dígitos y el número puede ser par o impar, se
tiene
5 x 5 x 5
C
D
U
Se pueden formar 125 números diferentes
Antes de aplicar cualquiera de estas técnicas es muy importante definir si
importa o no el orden y si se pueden repetir elementos.
PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida o un número que indica la posibilidad de que
ocurra un evento, dadas unas condiciones particulares y se calcula como la
razón entre el número de eventos favorables y el total de eventos posibles.
P(A) =
𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Ejemplo
Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un divisor de 6?
Divisores de 6 {1, 2, 3, 6} eventos favorables
Eventos posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(A) =
4
6
= 0.66…
Un juego de dominó tiene 28 fichas numeradas del (0, 0) al (6, 6). Se saca una
ficha al azar, calcular las siguientes probabilidades:
a. Sacar una ficha doble
b. Sacar una ficha cuyo puntaje sea mayor o igual que 8
c. Sacar una ficha cuyo puntaje sea mayor que 15
Solución
Fichas dobles se tienen 7
P(A) =
7
28
=
1
4
= 0.25
Las fichas cuyo puntaje es igual o mayor que 8 son (2,6) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5)
(4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 6); en total 9
P(B) =
9
28
= 0.32
No hay fichas cuyo puntaje sea mayor que 15, el puntaje mayor se obtiene con
la ficha (6,6)
P (C) = 0
La probabilidad de ocurrencia de un suceso siempre es un número mayor o
igual a cero y menor o igual a uno.
Momento para Aplicar
Con la participación de todos los estudiantes se resuelve una a una las
siguientes situaciones:
1. Con los dígitos 2, 4, 5 y 6 se forman números de tres cifras, si no se
repiten dígitos,
a. ¿cuántos números se pueden formar?
b. ¿cuántos de ellos son pares y cuántos impares?
c. ¿cuál es la probabilidad de formar un número par?
2. Una urna contiene 4 bolas de diferentes colores, roja, azul, blanca y
negra. Se seleccionan tres al azar, una a una, calcular la probabilidad de
que entre las tres bolas seleccionadas una sea blanca y otra azul.
¿Cuál sería la probabilidad de este evento, si se extraen las tres bolas a
la vez?
3. 15 estudiantes participan en una competencia atlética, los cuatro
primeros clasifican a las semifinales. ¿de cuántas maneras se pueden
obtener los cuatro finalistas?
4. Se lanzan dos dados normales, hallar la probabilidad que la suma de los
valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
5. Del grado 8-02 se seleccionan dos estudiantes, cual es la probabilidad
de
a. Los dos son hombres
b. Los dos son mujeres
c. Se seleccionan un hombre y una mujer.
6. Se lanzan dos dados normales, hallar la probabilidad que la suma de los
valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
7. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una
al azar, calcular la probabilidad de que:
a. Sea roja
b. Sea verde
c. Sea amarilla
d. No sea roja
e. No sea amarilla
8. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6
negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál
es la probabilidad de que no sea blanca?
9. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay
4 sitios disponibles?
10. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de
cuántos modos puede hacerse si:
a. los premios son diferentes
b. los premios son iguales
11. Un estudiante tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De
cuántas maneras puede elegirlas?
Evaluación
-
En el grupo C del mundial 2014 Colombia compite con Grecia, Japón y
Costa de Marfil.
a. De cuántas formas se pueden obtener primero y segundo del
grupo
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Colombia sea el primero del
grupo?
-
Se tienen cuatro candidatos para un comercial: Sebastián, Ana, Karina y
Fernando. Si se seleccionan dos de ellos
a. ¿cuál es la probabilidad de que Sebastián sea seleccionado?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen dos mujeres?
-
Para un examen un joven ha estudiado 13 de las 15 preguntas de un
cuestionario. El estudiante debe seleccionar dos preguntas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que seleccione dos de las preguntas
estudiadas?
-
En una clase hay 10 niñas de cabello claro, 20 de cabello oscuro, 5
niños de cabello claro y 10 de cabello oscuro. Se selecciona un
estudiante al azar, determinar la probabilidad de que sea:
a. De cabello oscuro
b. De cabello claro y no sea mujer.
Además se tendrá en cuenta la actitud de los estudiantes durante el desarrollo
de las actividades propuestas
Bibliografía
http://actividadesinfor.webcindario.com/probabilidad.htm
Dueñas Peña, William y otros. Aciertos Matemáticos 8. Grupo editorial educar,
2007, Bogotá