INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 LENGUAJE ALGEBRAICO 1) Escribir en forma simbólica cada uno de los enunciados. a) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto. b) El producto de dos potencias de la misma base es igual a otra potencia que tiene le misma base que las anteriores y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. c) Las edades de los hermanos difieren en 6 años y el año próximo el hermano mayor tendrá el doble de años que el menor. d) El volumen de un cilindro es igual al producto de π por el cuadrado del radio de su base y por su altura. 2) Las expresiones obtenidas en el ejercicio anterior, ¿valen para cualquier valor que se les dé a las letras que intervienen en ellas? 3) Que expresión genérica le asociarías a la expresión: (3+7)2 = 102 = 100 32 + 72*+ 2.3 .7 = 9 + 49 + 42 = 100 4) Si una identidad es una igualdad algebraica que vale para cualquier letra que intervenga en ella. Completa las siguientes identidades: (a – b)2 = ---------------------a2 – b2 = ----------------------an . bn =-----------------------a . (b + c) =--------------------- 5) Que podrían deducir a partir de las identidades anteriores del ejercicio № 4. 6) Asocia cada expresión con su correspondiente expresión algebraica. a) El triple del cuadrado de a 1) 3a / 4 + b b) Las tres cuartas partes de un número más otro número 2) 7a + 13b c) Las tres cuartas partes de la suma de dos números 3) 3.a2 d) Dos números pares consecutivos 4) 2n ; 2n+2 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 e) Un múltiplo de 7 más un múltiplo de 13 5) ¾.(a+b) 7) Escribe un posible enunciado para cada una de estas expresiones algebraicas. a) n + (n-1) + (n+1) b) (2x+1) + (2x+3) c) a + 1/a 8) a) Comprueba que la igualdad: 3.(a+b).(a-b) = 3.a2 – 3.b2.¿Se cumple para los valores a=4; b=3?, ¿y para a=5; b=2?,¿Se cumple para cualquier valor de a y b?, ¿es una identidad?. b) Comprueba que la igualdad: 3(a+b).(a-b)=21.¿Se cumple para a=4; b=3. ¿Se cumple también para a=5; b=2?,¿Se cumple para cualquier valor de a y b?, ¿es una identidad?. 9) De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?. a) a + a + a=3a d) a + a + a=15 2 b) x . X = 27 c) e) m2 – m – 6 = (m+2).(m-3) x2 – 3x -5 = x2 + 2x +1 - 3 x-2 x-2 10) Completa de la forma más breve posible, el segundo término de estas igualdades para que resulten identidades. a) a . a . a . a . a = [ ? ] a.a b) 5a – 4 + a – a . a . a = [ ? ] a.a d) (1 – b).(1 + b) + b2 + a – 1= [ ? ] b) a – b + a – c + a – b = [ ? ] 11) Escribe enunciados que permitan expresar verbalmente cada una de estas propiedades. a) am . an = am+n b) n √an = a c) (a/b)n = an / bn d) a . (b-c) = a.b – a.c 12) Escribe una ecuación, de una sola incógnita, para cada uno de estos enunciados. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 a) Queremos que la expresión 3x + 2x + 7 valga 27. ¿cuánto debe valer x? b) Buscamos un número que sumado con su siguiente de 243. ¿Qué número será? c) La base de un rectángulo es 3 cm más larga que la altura. El perímetro es 26 cm. ¿Cuál es la altura? d) Un matrimonio tiene tres hijos, cada uno le lleva al siguiente dos años. Entre los tres suman 26 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? e) En un triángulo rectángulo los catetos son iguales y la hipotenusa mide 10 m. ¿Cuánto miden los catetos?. 13) Completa la tabla EXPRESIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA 1_ La edad de Ángel 2_ La edad de Marisa 3_ La edad de Ángel es el triple de la edad de Marisa 4_ La edad de Ángel dentro de 5 años 5_ La edad de Marisa dentro de 5 años 6_ La edad de Ángel dentro de 5 años será el doble de la que entonces tenga Marisa Busca por tanteo, las edades de Ángel y Marisa. 14) Construye cuatro identidades igualando parejas de estas expresiones algebraicas. a3 ; a5 ; a2 a2 - 1 ; 3b + a. a. a – 6b ; 2 (a+1).(a-1) 15) Al “sacar factor común” construimos una identidad. Hazlo en las siguientes expresiones. a) 3a + 3b b) 2 a2 + 6 a c) X2 + x3 d) 12 a3 b2 – 8 a2 b4 e) a(x+1) + a(x-1) f) 3ax + 3a + 2bx + 2b INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 16) Completa los pares de valores (x,y) para que sean soluciones de cada ecuación. x Y= 3x – 4 X – y=4 1 2 y x 5 0 8 2 4 y 26 0 25 9 17) Escribe una identidad con las letras a, b y c que necesite paréntesis en el primer miembro y que carezca de paréntesis en el segundo. 18) Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) El cuadrado de la diferencia de dos números. b) La diferencia de los cuadrados de dos números. c) La suma de tres números consecutivos. d) Un número impar. e) Un múltiplo de doce. f) La suma de dos impares consecutivos. 19) Expresa, mediante una ecuación, el enunciado de este problema: “si a el cuadrado de cierto número le quitas su doble, obtendrás su quíntuplo”. ¿Cuál es ese número?. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 20) Expresa mediante una ecuación con dos incógnitas cada uno de los siguientes enunciados. a) La base de un rectángulo es igual al doble de la altura. b) La suma de dos números es igual al triple del menor. c) En un garaje, entre coches y motos, hay 26 ruedas. 21) Expresa en lenguaje algebraico, mediante un sistema de ecuaciones, cada uno de estos enunciados: a) La suma de dos números es 21 y su diferencia es 7. b) La base de un rectángulo es 10 cm mayor que la altura y el perímetro de dicho rectángulo es de 80 cm. c) En un garaje el número de automóviles supera en 5 al de motocicletas. El número total de ruedas es 30. 22) ¿Cuántos números enteros cumplen 1 < x < 2? ¿Cuáles son?, ¿Y cuántos números racionales? Escribe algunos. AUTOEVALUACIÓN INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 1) Expresa, en lenguaje algebraico, las siguientes propiedades matemáticas: A a) El orden de factores no altera el producto. b) Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente a la primera. 2) Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a) “Si me gasto 2/5 de lo que tengo, y 60 PTA, me quedaré con la mitad que al principio”. b) En un rectángulo, la base es el triple que la altura y el perímetro es 16 metros. c) Somos tres amigos. Entre los tres tenemos 2500 PTA. Nos vamos a comer cada uno una hamburguesa de 300 PTA, después iremos al cine y aún nos sobrará algo. 3) Separa las identidades de las ecuaciones d) (b+ (1/b) )2 = b2 + 2 + 1 / b2 a) a.(a+m)= a2 + a. m e) (x+1).(x-1)= 0 b) a.(a+2) = 15 f) c) 2x+3= 3x+2-x+1 1) Demuestre que es cierta la identidad: 2) a) Saca factor común en: b) Transforma en producto: 3x2 – 3 = 3(x+1).(x-1) (x+2)2 – (x-2)2 = x 8 2x2 – 2x 2x2 – 2x + (x-1).(2x+1) 3) Codifica en una ecuación la condición que liga los siguientes datos: la edad de Alberto dentro de 12 años será inferior en dos años al doble de su edad actual B INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2015 1. Asignar a cada frase la expresión, escrita en lenguaje matemático, que corresponda. a. El doble de un número. b. La tercera parte de un número, más dos. c. La tercera parte de, un número más dos. d. El triple de la quinta parte de un número. e. La suma de dos números es igual a 18. f. Un número multiplicado por si mismo g. Un número más su anterior es igual a 29 h. La diferencia de dos números consecutivos elevado al cuadrado. 2. Considerando un rebaño de “x” ovejas determinar la expresión que representa cada caso a. Número de patas del rebaño. b. Número de patas si se mueren 6 ovejas. c. Número de ovejas después de nacer 18 corderos. d. Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. 3. Dada las siguientes expresiones, redactar una frase que represente cada expresión. a. 2𝑥 + 6 b. 1 𝑦 4 +2 c. 3 . (𝑥 + 1) d. 𝑎 + 2𝑎 = 21 2 3 e. 1 − (5 + 5) 4. Expresar en lenguaje simbólico las siguientes afirmaciones a. X es igual a la suma de los dos primeros números naturales. b. X es un número menor o igual a 5 c. X está comprendido entre la primer y segunda centena. d. X es un número real positivo menor que 7 3 e. X es un número impar. 5. Determinar cuál de las siguientes expresiones corresponde a la afirmación dada. a. La suma de un número, su doble y su triple es 42 A + B + C = 42 X +X/2 + X/3 = 42 X + 2X + 3X = 42 (X +1) + (X +2) + (X+3)= 42 b. La suma de tres números consecutivos es igual a 61 A + B + C = 61 X + 2X + 3X = 61 (X +1) + (X +2) + (X+3)= 61 X + X + 1 + X + 2 = 61 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 c. La suma de un número con su tercera parte X + X/3 X + 3X X + 1/3 3X + X/X d. El recíproco de un número X -X 1/X X2 e. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos (Teorema de Pitágoras) c2 = (a + b)2 2c = 2a + 2b c2 = a2 + b2 c = √𝑎2 + 𝑏 2 6. Escribe el área de la zona sombreada en cada una de las figuras a. r b. x 4x INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 c. h b-h b INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 NÚMEROS REALES Introducción El conjunto de números reales está formado por distintos subconjuntos que fueron surgiendo para satisfacer distintas necesidades. A su vez el conjunto de números reales está contenido en otro conjunto más amplio que es el conjunto de los números complejos; el que da solución a problemáticas donde los números reales no pueden satisfacerlas. Ambos conjuntos son las “herramientas de cálculo” para resolver distintos problemas en diferentes áreas y temáticas . Números Naturales El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto numérico que surge con la necesidad del hombre de contar y numerar objetos de la naturaleza: N = {1,2,3,...,n,...} Piensa: Este conjunto, ¿tiene primer elemento?, ¿tiene úl timo elemento?, ¿cada uno de estos números tiene un siguiente? De acuerdo a su respuesta analizar si coincide con las proposiciones siguientes: “1” es el primer elemento y precede a los demás. “2” es el segundo elemento y precede a los demás. Luego, dado cualquier número natural “n” siempre habrá un número natural “n+1” que le sigue y no existe ningún número natural entre “n” y “n+1”. n+1 es el consecutivo de n Por lo tanto: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 N es un conjunto ordenado. Este conjunto no tiene último elemento, lo que indica que: N es un conjunto infinito de números Operaciones con los Números Naturales Piensa: ¿Se puede realizar cualquier Operación con los números naturales? Los Números Naturales se pueden sumar y multiplicar. El resultado de estas operaciones es siempre un número natural, es decir: Si a , b N entonces a b N ; a b N Esta propiedad se expresa diciendo: ”El conjunto de los números naturales es cerrado respecto de las operaciones suma y producto”. Números Enteros ¿Será posible realizar las siguientes operaciones en N? 2-6=? 5-5=? 3:7=? Para dar solución a la primera diferencia surge la necesidad de introducir el conjunto de los números “opuestos de los naturales”. Opuestos de los Naturales: son los números naturales precedidos por el signo menos (-). Este conjunto se designa por –N, luego: –N = {.....,-n,....,-3,-2,-1}. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Con los números pertenecientes a –N, podemos representar temperaturas bajo cero, saldos negativos en el banco, etc. Para dar solución a la segunda diferencia surge la necesidad de introducir el “0” como la diferencia de cualquier número natural consigo mismo. 0 N , 0 N El conjunto formado por N, -N, y “0”, se llama”conjunto de los números enteros” y se designa por Z, luego: Z N 0 N ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... Conclusión: N Z , es decir: “todo número natural es entero”. Responde: ¿Cuál es el opuesto de 4? ¿Cuál es el opuesto de –3? ¿Si a N , q u é s i g n o t i e n e – a ? Operaciones con los Números Enteros Los números enteros se pueden sumar, restar, multiplicar. El resultado de estas operaciones es siempre un número entero. Si a , b Z entonces a b Z ; a b Z ; a b Z Esta propiedad se expresa diciendo: “El conjunto de los números enteros es cerrado respecto de las operaciones suma, diferencia, y producto”. Números Racionales Un problema tal como es la división de 8 en 2, muestra que esta operación es posible en Z. En cambio, no existe ningún número entero que sea el cociente de dividir a 3 en 7. Para dar solución a esta diferencia se introducen los números “fraccionarios puros “y se designa por F INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Fraccionarios puros: son los números que pueden escribirse como el cociente entre dos números enteros distintos de cero y tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor. Son racionales los números: 3 , 7 1 , 5 7 6 El conjunto formado por los números enteros y los fraccionarios puros se llama “conjunto de los números racionales” y se designa por Q, luego: Q ZF Conclusión: Z Q , es decir: “todo número entero es racional”. “Un número racional se puede definir como el cociente entre dos números enteros p y q, con q 0”. Es decir: p Q x x , p, q Z , q 0 q Proponer ejemplos. Con los números fraccionarios podemos expresar “partes de la unidad”. Ejemplo: Repartir 29 kilos de pan entre 4 familias. No es posible que cada familia reciba un número entero de kilos de pan. Se entrega 7 kilos a cada una de las familias y sobra 1 kilo para repartir entre las 4 familias. Por lo tanto, se les da ¼ kilo de pan más a cada una de ellas . “Con los números fraccionarios podemos representar situaciones donde queremos dividir cada unidad en n partes y tomar m partes de ellas”. Operaciones con los Números Racionales INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Los números racionales se pueden sumar, restar, multiplicar, y dividir. El resultado de estas operaciones es siempre un número racional. “Q es cerrado respecto de dichas operaciones”. Recordar: Todo número entero se puede expresar como un número racional con denominador 1. Todo número racional en el cual el numerador es múltiplo del denominador es un número entero. No todo número racional es un número entero. (dar ejemplos) Los números racionales se caracterizan porque pueden escribirse como una expresión decimal infinita periódica. Ejemplos: 2 2,0000... 29 4,83 6 1 0,2500 ... 4 5 1,24 9 4 Números Irracionales INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Los números racionales no abarcan la totalidad de los números ni son suficientes para la resolución de ciertos problemas de aritmética. Por ejemplo: Si x es un número tal que x 2 2 , puede demostrarse que x no es racional. Existen números que no pueden representarse como el cociente p con p, q Z , q 0 , es q decir, no son racionales. Estos números tienen las característica de ser expresiones decimales infinitas no periódicas. Este conjunto de números se llama “Conjunto de Números Irracionales” y se designa por “I”. Son irracionales los números: 2 01,4142135...... 3,1415926....... ¿Qué otro ejemplos puedes dar? Importante INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 “El conjunto de los números Irracionales no es cerrado respecto de las cuatro operaciones fundamentales”. Números Reales El conjunto formado por los números racionales ( Q ) y los números irracionales ( I ) forman un nuevo conjunto llamado “conjunto de números reales “ y se designa por R. Tanto los números racionales como los irracionales son números reales. QI R Los conjuntos Q y I son disjuntos, esto significa que no tienen ningún elemento en común, luego: QI Conclusión: Q R ; I R R Q I INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Relación de contenencia de los conjuntos numéricos N Cero -N Números Naturales 0 Opuestos de Naturales 1, 2, 12, 17 -2, -8, -15,- 27 F 1 1 Z Números Fraccionarios Números Enteros 1 3 7 , , 2 7 6 -15, -1, 0, 2, 11, 20 1 Q I Números Racionales Números Irracionales , -2, 0, 15 R Números Reales 3 , 2 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Representación de los números reales Si sobre una recta se fija un origen, un segmento unidad y un sentido positivo, a cada punto de la recta le corresponde un único número real y, a cada número real, le corresponde un único punto de la recta. Por ello se llama recta real o recta numérica. 0 1 Operaciones con los números reales INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Realiza estas operaciones: 0 1 ? 2 10 10 ? 3 3 ? 3: 3 ? 7 Observa: el resultado de cada una de ellas es un número real Luego: “El conjunto de los números reales es cerrado respecto a las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, producto y cociente”. Para trabajar con los números reales se tendrán en cuenta las propiedades más importantes que verifican sus elementos. Propiedades de la igualdad 1 . P r o p i e d a d R e f l e x i v a : aR ; a a 2 . P r o p i e d a d S i m é t r i c a : a , b , a , bR ; a b b a 3. Propiedad Transitiva: a , b , c ; a , b , c R ; a b y b c a c 4. Propiedad Uniforme: a , b , a , b R : i) a b a c b c ii ) a b a c b c ; c 0 Propiedades de las operaciones Suma y Producto 1. Propiedad conmutativa: a , b , a , bR abba , ab ba INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Ejemplos: 2+3=3+2 5=5 2·3=3·2 6=6 2. Propiedad asociativa: a , b , c ; a , b , c R (a b) c a (b c) , (a b) c a (b c) Ejemplos: (2+3) +6 = 2 + (3+6) 5 +6 = 2 + 9 11 = 11 (2 · 8) · (-6) = 2 · (8 · (-6)) 16· (-6) = 2 · (-48) -96 = -96 3. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a , b , c , a , b , c R (a + b) · c = a · c + b · c , c · (a + b) = c · a + c · b + 2) · (-3) = 5 · (-3) + 2 · (-3) 7 · (-3) = -15 – 6 -21 = -21 (-3) · (5 + 2) = (-3) ·5 + (-3) · 2 (-3) · 7 = -15 + (-6) -21 = -21 4. Existencia de elementos neutros: existen dos números r e a l e s y d i s t i n t o s , e l 0 y 1 t a l e s q u e aR , s e v e r i f i c a que: a + 0 = a ; “0” neutro aditivo a · 1 = a ; “1” neutro multiplicativo Ej e m pl o: (5 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Ejemplos: 3 + 0 = 3 , 1 1 1 5 5 5. Existencia de elementos inversos: a ) a R ; ! a R / a (a) 0 , -a: inverso aditivo u opuesto de a. b ) a R ; a 0 ; ! a 1 R / a a 1 1 , a 1 1 : inverso multiplicativo o recíproco de a. a Ejemplos: 6 + (-6) = 0 - 6 + 6=0 1 3 31 3. 1 3 1 31 3 .3 1 3 -6: es el opuesto de 6 6 : es el opuesto de -6 1 : es el recíproco de 3 3 1 3 : e s e l r e c í p r o c o d e 31 3 31 Importante: 0(cero) no tiene recíproco Si bien tenemos una idea intuitiva de restar y dividir dos números reales, a continuación se dan las definiciones rigurosas usando el concepto de suma y producto. Resta: Definición: Dados dos números reales a y b, si existe un único número real “x” tal que a+x = b, entonces x = b – a y se llama diferencia entre b y a. b – a = b + (-a) INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Ejemplo: 5 9 5 (9) 4 División: Definición: Dados dos números reales a y b con existe un único número real “x” tal que x b y se llama cociente entre a b b . a 1 ; a 0 a a·x = b a 0, si entonces b y a. Ejemplo: 4 1 4.51 4. 5 5 Importante: a R ; a 0 s e v e r i f i c a q u e : a 1 porque a a · 1 = a por definición 0 0 porque a a · 0 = 0 por definición a no está definido porque no existe un único número que 0 multiplicado por 0 sea igual a “a”. 0 no se puede resolver, porque existen infinitos 0 números que multiplicados por 0 dan como resultado 0. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Conclusión: “ No es posible la división por cero” Propiedad: “La división es distributiva con respecto a la suma y resta solamente por derecha” O sea: a , b , c ; a , b , c R ; c 0 (a + b) : c = a : c + b : c (a – b) : c= a : c – b : c Ejemplos: 4 6 2 3 3 3 2 ( 2 ) : 3 3 4 6 : 2 5 1 7 7 7: 71 2 5 : 7 3 Contraejemplo: 2 2 7 3 1 2 2 20 2 : 10 5 7 3 21 1 20 5 21 2 : 7 3 Es un ejemplo para verificar que no es cierta la propiedad. Potenciación D e f i n i c i ó n : a R y n N s e d e f i n e l a p o t e n c i a e n é s i m a d e “a”, como el producto de “n” factores iguales a “a”. Es decir: an = a · a · .... · a D o n d e : “ a ” e s l a b a s e d e l a p o t e n cni a f a c t o r e s “n” es el exponente de la potencia “an” es la potencia enésima de a. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Ejemplo: 23 2 2 2 8 2 1 1 1 1 4 4 16 4 Conclusión: “ La potencia solo es negativa cuando la base es negativa y el exponente impar”. En todos los otros casos es positiva. Propiedades de la Potenciación: 1) “El producto de potencia de igual base es otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes dados”. Es decir: Si a R y m , n N , entonces a m a n a m n Recíprocamente: Si a R , m , n , m , n N : a m n a m a n Ejemplo: 32·33 = 9·27 =243 32+3 = 35 = 243 2) “El cociente de potencias de igual base (no nula) es otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes dados”. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Es decir: S i a R ; a 0 , m, n N con m n e n t o n c e s : am an am n Recíprocamente: Ejemplo: 23 2 a R , a 0 , m , n , m , n N ; m n : a m n am an 8 2 4 2 232 21 2 3) “La potencia de otra potencia es otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes dados”. Es decir: n amn Si a R y m , n N , entonces a m Recíprocamente: a R, m, n, m, n N : a m n a m n 2 2 1 2 1 1 E j e m p l o : 256 16 4 1 4 22 4 1 1 256 4 4) “La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores”. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Es decir: si a, b R y m N, entonces : a bn an bn Recíprocamente: a, b R y n N : an bn a bn Ejemplo: 3 2 2 62 36 32 2 2 9 4 36 x y3 x3 y3 5) “La potencia de un cociente (con denominador no nulo) es igual a la potencia del numerador dividida por la potencia del denominador”. Es decir: n an a si a , b R ; b 0 y n N , entonces : n b b Recíprocamente: an a a, b, a, b R, b 0 , n N, entonces: n b b n Ejemplo: 2 2 1 2 1 4 4 2 22 4 2 4 1 16 4 Conclusión: “La potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta” INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 a bn an bn Ejemplo: 2 52 7 2 49 2 2 52 4 25 29 2 52 2 2 52 49 29 Potencia de exponente entero Extendemos todas las consideraciones anteriores para el caso en que el exponente sea cero o entero negativo. Esta extensión debe preservar las propiedades antes mencionadas. am am n an 1) Si m=n (exponente cero) Vimos: am an an an a n n a 0 1; n an a 1n 1 n a a () Es decir: “toda potencia de exponente cero y base distinta de cero es igual a 1”. Ejemplo: 35 35 3 55 0 3 1. 35 5 3 15 1 5 3 3 2) Si m<n (exponente negativo) m n0 o n m0 am an am n a n m 1 an m 1 a n m () Es decir: “toda potencia de exponente negativo se puede escribir como potencia positiva invirtiendo la base de la potencia dada”. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Ejemplo: 1) 33 35 33 35 33 5 3 2 33 33 33 33 1 5 3 3 5 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 35 3 3 2 1 1 3 2 9 3 2) 2 5 2 1 2 5 2 o b i e n : 5 2 2 1 25 2 2 25 2 25 5 2 2 De y podemos decir que la propiedad 2 sigue siendo válida para m y n Z es decir: am am n an podemos demostrar a R y a 0 m , n , m , n Z : De la misma forma que las otras propiedades siguen siendo válidas para m y n números enteros. Radicación Definición: Dado un número real “a” y un número entero positivo “n”, se llama raíz enésima de “a” a otro número real “x” tal que “x” elevado a “n” es igual a “a”. E s d e c i r : a R, n N; n a x xn a donde: “n” es el índice de la raíz “x” es la raíz enésima de “a” “a” es el radicando “ Ejemplos: 5 ” es el signo radical. 32 2 p o r q u e 2 5 32 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 3 8 2 p o r q u e 2 3 8 Atención: Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando. Ejemplo: 3 8 2 porque y 23 8 Si el índice es par, existen 2 raíces reales opuestas. Elegimos en este caso como resultado la raíz positiva, a la cual denominamos raíz principal o raíz aritmética. Ejemplo: 9 3 ; Otro 4 81 3 ejemplo: 9 x x2 9 . No existe n número real cuyo cuadrado sea igual a –9. 9 no tiene solución en R. Atención: Ninguna raíz de índice par y radicando negativo tiene solución en R. La radicación no es cerrada en R. Por lo antedicho, podemos expresar la definición dada de la siguiente manera: a R; n N : n a x xn a bajo la condición de que si “n” es par entonces a es mayor o igual a cero. Propiedades a , b , a , b R , m , n , m , n N , m y n pares a 0 y b 0 b0 valen las siguientes propiedades: 1) n ab n a n b INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 2) n 3) mn 4) a:b n a :n b n p b0 a mn a a m p n a m ; p N Recíprocamente: 1) n a n b n ab 2) n a :n b n a:b 3) mn 4) n b0 a m n a am n p a m p ; p N Proponer ejemplos mencionadas. para cada una de las propiedades Importante: La radicación no es distributiva respecto de la adición ni de la resta: n Ejemplo: 25 25 50 25 25 5 5 10 ab na nb 50 10 Operaciones con radicales Radicales semejantes: Son aquellos radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo: 2 3 y 5 3 son radicales semejantes cuyos coeficientes son 2 y –5. Sumas algebraicas de radicales: La suma algebraica de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de los radicales dados. E j e m p l o : 2 5 5 3 5 5 2 1 3 4 5 Aplicando propiedades, se reducen los radicales de expresión dada a radicales semejantes para poder operar: 3 Ejemplo: 8 2 3 24 3 8 1 2 3 8 3 3 8 3 1 2 3 8 123 3 2 123 3 3 Cuando los radicales no se pueden semejantes, la operación queda indicada. una 8 3 3 reducir a radicales Racionalización del divisor Se llama racionalización de una expresión fraccionaria al procedimiento mediante el cual se logra que el denominador sea un número racional. Consideremos los siguientes casos: 1) El denominador es un número que contiene un radical a) El radical es de índice 2 3 Ejemplo: 8 ¿Por qué número multiplicamos 8 para obtener un número racional? Si multiplicamos a 8 por 8 obtenemos: 8 8 82 8 Entonces multiplicamos al numerador y al denominador por no se altera racionalizado. el cociente dado 3 8 3 3 8 8 8 8 8 Denominador Denominador y el denominador 8, queda INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Irracional Racional b) El radical no es índice 2 En este caso conviene multiplicar por otro radical del mismo índice que el del denominador, de tal modo que en el radical que se obtenga, todos los exponente de las potencias del radicando sean múltiplo del índice. Ejemplo: i) 1 5 5 53 5 1 53 1 5 53 5 1 52 5 5 53 52 5 52 5 55 5 52 5 x ii) 3 a b6 c8 Multiplicamos numerador y denominador por 3 a2 c . El exponente de b no se modifica pues es múltiplo de 3. x 3 a b6 c8 3 x a2 c 3 3 a b6 c8 a 2 c 3 x a2 c 3 a 3 b6 c9 3 x a2 c a b2 c3 2) El denominador es un binomio cuadráticos Ejemplos: 3 a) (denominador irracional) 5 2 que contiene radicales Para obtener un número racional, multiplicamos numerador y 5 2 (conjugado de denominador por 5 2) Utilizando el resultado: (a+b)·(a -b)=a2-b2, obtenemos: 1 5 2 c) 5 2 3 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 Denominador racional 5 2 52 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 2 1 2 3 3 13 3 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 1 3 1 3 1 3 12 3 42 2 2 Potencia de exponente racional Usando el concepto de radicación, extendemos la definición de potenciación para el caso de exponentes racionales. D e f i n i c i ó n : a R , n N a 0 cuando n es par ; 1 n a na Ejemplos: 1 a ) 64 3 3 64 4 b) 1 2 9 9 3 m ¿Qué podemos decir respecto de a n ; m , n N, a R (a 0 si n es par)? Como m 1 1 podemos escribir: m m n n n m m 1 1 1 m m n n n n ó a a a a am n n a m De estas consideraciones surge la siguiente definición: m an 1 m n a D e f i n i c i ó n : a R ; m, n , m, n N, ( a 0 s i n e s p a r ) : Ejemplos: a) b) 2 125 3 3 125 2 52 25 4 4 8 3 3 8 2 4 16 m an n am n a m INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 c) 9 2 9 y 3 3 9 no está definida en R. Desigualdades Una propiedad importante de los números reales que se puede ordenar. Los números reales distintos de cero se dividen dos conjuntos, los reales positivos (R+) y los reales negativos (R-). Definición: Dados dos números a y b, decimos que a>b si y solo si a-b es positivo. Es decir: a R , b R ; a b a b p ; p R a b a b 0 . G e o mé t ric am en te : a> b a e st á a la der e ch a de b en l a re c ta . b a Ejemplos: a) 6 3 6 3 3 R . P o r l o t a n t o 6 e s t á a l a d e r e c h a d e 3 n l a recta real. b) 0 c) 3 6 5 (7) 2 ; 2 R 5 7 Definición: Dados dos números reales a y b decimos que a< b si y solo si aes negativo. Es decir: a R, b R , a b a q , q R a b a b 0 . Geométricamente: a<b si y solo si a está a la izquierda de b en la recta real. a b INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 Otros símbolos de desigualdad son: “ ” que se lee mayor o igual abab ó ab “ ” que se lee menor o igual abab ó ab Ejemplo: Exprese en símbolos los siguientes enunciados: a) a es un número que puede valer a lo sumo cuatro. a4 b) La diferencia de x y 5 s inferior a 7. x-5<7 c) Exprese con notación de conjunto l siguiente enunciado: a es un número racional que supera a - 3 . 2 3 a Q / a 2 Propiedades de las desigualdades 1. Propiedad transitiva: a, b, c, a , b , c R ; a b y b c a c 2. Propiedad de monotonía de la adición: a, b, c, a , b , c R ; a b a c b c 3. Propiedad de monotonía de la multiplicación y la adición a, b, c, a , b , c R i) ii) a b c c a b a b y c0 a c bc y c c a b y c 0 a c bc y Doble desigualdad INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 A dos desigualdades de igual sentido que se verifican simultáneamente, las podemos escribir juntas como una doble desigualdad. Si a b y b c a b c Resolver los siguientes cálculos combinados: 1) a ) (1,2 − 0, 2̂) ∶ 7 8 3 b ) √1 − 1 1 9 − 0, 7̂ = −9 7 + ( 1 c ) √2 . √2 + 2−1 ∶ 1 4 2 7 ̂+ ) = .0, 25 + √0,04 = −1 d ) 2 . √2, 7̂ − (1, 3̂) .0,04̂ + 2−2 = 4 1 25 3 e ) 0,08̂ . [(2) . √8 + √64] − 0,26̂ = 2) Sumar los siguientes radicales a ) √27 − √50 + √12 + √8 = 3 b ) 5√125 + 6 √45 − 7√20 + 2 √80 = 3 3 3 3 c ) 3 √16 − 2√250 + 5√54 − 4√2 = 3) Racionalizar a) √2 −3 √2+ 3 = INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 b) 2 = 4 √2𝑥 2 𝑦 3 c)2 3 √3−√5 = 4) Hallar el o los valores de “x”, representar en la recta numérica. a) 𝑥+5+2𝑥+3 2 = 9𝑥+6−3𝑥 3 b ) 5 . (𝑥 − 4) = 2. (𝑥 − 5) 1 c ) √2 𝑥 − 1 = 4 d ) −3(𝑥 − 5) < −2 (5𝑥 + 1) e ) 5 (2𝑥 − 4) > 4(𝑥 − 1) + 𝑥 f) 1 2 2 3 . (𝑥 − 3) ≤ − (3𝑥 − 5) TRABAJO PRÁCTICO 1. Clasificar los siguientes números indicando al conjunto al que pertenecen y luego da una relación de inclusión desde éste conjunto hasta llegar al conjunto de los números Reales. 𝟕, 𝟓 𝟐 𝟔 𝟔 𝟐 √𝟖 𝟐 𝟒 −𝟑 √𝟏𝟔 𝟎 𝟏𝟐 − 𝟏𝟕 𝟒𝟕 𝟑 √−𝟐𝟕 𝟎 𝟏 𝟏 2𝟓 𝟏 ̂ 𝟔𝟑, 𝟓𝟑 2. Dados los siguientes números convertir en fracción aquellos que no se encuentre 𝑎 𝑟 expresados como tal. Luego las fracciones obtenidas expresarlas como: 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ; aplicando el algoritmo de la división. 3,1 3 54 4, 555 … 10, 4222 … 50 3 52 13 (−3) 8 3. Ubicar los siguientes números en la recta numérica. − 16 6 33 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 − 3 5 2,5 12 7 3 √2 √8 − √7 4. Resolver las siguientes operaciones combinadas y analizar en cada caso las propiedades utilizadas. a. [82 + 23 − 2. (15 + 5) − 2] + 5. (4 − 8) = b. 1 2 [(5+ − 2) . 4,7 + 6]+ 4 − ( −√9 3 3 5 3 13 1 − ) 3 2 2 4 = 3 7 0 c. (√(4 + 1) : 2 + 2 + 2) . [√(7 − 1) . (−8) + 2] = 5. Aplica las propiedades de la potencia para reducir las siguientes expresiones a. 𝑎4 . (−𝑎) ∶ 𝑎2 b. 𝑥 .𝑥 . 𝑥 3 (𝑥 .𝑦)2 c. 102𝑛+1 10𝑛+1 d. e. . 3𝑦 6𝑥 2 [(2𝑥+3𝑥)2 ] −3 . 125𝑥 10 25𝑥 2 10𝑥+𝑦 .10𝑦−𝑥 .10𝑦+1 10𝑦+1 .102𝑦+1 6. Teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación, demostrar que: ∀𝑎 ≠ 0 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎0 = 1 7. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores: 𝑎 = 0,027 a. 𝑎−𝑚 . 𝑎𝑛/𝑚 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 { 𝑛 = 2 𝑚=3 𝑎 = 0,002 𝑚 b. 𝑎𝑛 : (𝑎𝑛 )𝑚 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 { 𝑛 = 2 𝑚=0 8. Resolver aplicando las propiedades de la radicación 3 a. √4 .16 + √27 = 4 16 b. √256 = c. 3√2 − √8 = 1/3 d. (√64) = 4 e. 4√𝑎 . √𝑎3 + 2𝑎 = 𝟑 f. √𝒂 . √𝒂𝟐 = 3 4 g. 5 . √3 .2 √√9 = 3 4 h. 2√𝑚 . 8√𝑚2 . 3√𝑚3 = i. (2√3 . 4. 41/2 ) + 5√12 − (√4 . √3) = INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 𝟑 j. k. 𝟑 √𝟐 . √𝟑𝟐 𝟑 √𝟖 3 √3 .𝑚4/3 = = 9 √27𝑚2 9. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones. 𝟓 a. 𝟑 b. 𝟓 c. 𝟑 √𝟒 𝟐 √𝟐𝒙𝟐 𝟏 √𝟐𝟒 √𝟐√𝟐 𝟑√𝟐 d. = 𝟒 √𝟖 𝟒 𝒑 𝟔 𝒒 e. √ ∶ √ = 𝒒 𝒑 f. g. 𝟐 𝟐−√𝟓 𝟐√𝟑−𝟑√𝟐 𝟐√𝟑+𝟑√𝟐 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014 10. Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es de 12√3 cm y la base tiene una longitud de √3 cm. Determinar la altura del rectángulo. 11. Determinar la superficie del sector sombreado sabiendo que la altura (paralela a la base del rectángulo) del triángulo es la tercera parte del lado mayor del rectángulo. √ 3√16 3 √54 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 22 – PROFESORADO DE MATEMÁTICA CURSO DE INGRESO 2014