Problema 405 de triánguloscabri . Dados dos triángulos ABC y A0B 0 C 0 cumpliendo 1. los ángulos B y B 0 son iguales y la suma de los ángulos A y A0 es igual dos rectos, o 2. los ángulos A y A0 son mayores o iguales que un recto, probar que entre sus lados se verifica la siguiente desigualdad: √ bb0 + √ √ cc0 6 2aa0. ¿Cuándo se verifica la igualdad? Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez. Solución de Francisco Javier Garcı́a Capitán. Supongamos primero que los triángulos ABC y A0B 0 C 0 cumplen la primera condición. Tracemos por C 0 la paralela a C 0B 0 cortando a la recta AB en B 00 y formando el triángulo isósceles CB 00B. C C' a a b a' b' c c' B" B' A B En este triángulo tenemos BB 00 = 2a cos B = 2a · a 2 + c2 − b 2 a 2 + c2 − b 2 = , 2ac c B 00A = BB 00 − AB = a 2 + c2 − b 2 a 2 − b2 −c= . c c de donde Ahora, usando los triángulos semejantes AB 00C y AB 0C 0, tenemos que c0 b0 a0 = = . B 00A b a A partir de aquı́, 0 ba c0 b0 0 0 2 0 2 0 ⇒bcc = b a − b b ⇒ bcc = a 2 − b0 b2 2 2 = a −b b a c ⇒bcc0 = baa0 − b2 b0 ⇒ bb0 + cc0 = aa0. Ahora usamos la Desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática. Si x e y son números no negativos se cumple que r x+y x2 + y 2 6 . 2 2 La igualdad se cumple si y solo si x = y. Demostración. Basta tener en cuenta la identidad 2 x2 + y 2 x+y 1 − 6 (x − y)2. 2 2 4 Entonces será r r √ √ √ √ √ bb0 + cc0 bb0 + cc0 aa0 6 = ⇒ bb0 + cc0 6 2aa0. 2 2 2 0 La igualdad se cumplirá cuando bb = cc0 . Como también es aa0 = bb0 +cc0 , resulta aa0 = 2bb0 . Entonces, teniendo en cuenta las relaciones B = B 0 y A + A0 = 180◦ y usando el teorema de los senos, resulta b a0 b0 sen2 A a a0 aa0 a = , = ⇒ = · = = 2, sen A sen B sen A sen B sen2 B b b0 bb0 √ es decir, sen A = 2 sen B, y por lo tanto, a a0 √ = 0 = 2. b b Geométricamente, los puntos C y C 0 deberán estar en las circunferen√ cias de Apolonio√Γ y Γ0 formadas por los puntos tales que CB/CA = 2 y C 0 B 0/C 0A0 = 2 respectivamente. Para visualizar todas estas soluciones situamos el punto A = A0 sobre una recta, los puntos B y B 0 también sobre esa recta, cada uno en una de las semirrectas determinadas por A, y trazamos las mencionadas circunferencias de Apolonio. Para cualquier punto C sobre Γ, la recta CB 0 determina el vértice C 0 sobre la circunferencia Γ0 . C C' B' A B — Supongamos ahora que A > 90◦ y A0 > 90◦ . En este caso, usaremos la Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Si u = (u1 , u2) y v = (v1, v2) son dos vectores se verifica q q u1 v1 + u2v2 6 u21 + u22 v12 + v22, cumpliéndose la desigualdad si y solo si los vectores son proporcionales. Observemos antes que si aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática en un triángulo ABC con A > 90◦ tendremos r √ b 2 + c2 b+c a 6 6 √ ⇒ b + c 6 2a, 2 2 2 cumpliéndose la igualdad si y solo si A = 90◦ y b = c. √ √ √ √ Ahora, si aplicamos esta desigualdad a los vectores ( b, c) y ( b0 , c0 ) tendremos q q √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 0 √ 0 0 0 0 0 bb + cc = b b + c c 6 b + c b + c 6 2a 2a0 = 2aa0, cumpliéndose la igualdad si y solo si los dos triángulos son rectángulos isósceles (b = c y b0 = c0 ).