Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Al finalizar la unidad el resolverá problemas prácticos usando integrales Reforma Académica 2003 85 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Matemáticas IV: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Módulo 1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas. 12 h 2. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas. 30 h 3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas. 30 h 1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos. Resultados de Aprendizaje 2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y para determinar propiedades de las funciones. 2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada. 3.1 Calcular el cambio acumulado 3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 86 Reforma Académica 2003 4h 8h 15 h 15 h 15 h 15 h Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica SUMARIO 3.1. Calcular el cambio acumulado 3.1.1. Integral definida • Cambio acumulado • La integral definida • Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica 3.1.2. La integral definida como área • La integral definida como el área bajo la curva • Área entre dos curvas • El teorema fundamental del cálculo 3.2. Usar integrales en la solución de problemas 3.2.1. Antiderivadas • Derivación e integración como procesos inversos • Integrales indefinidas • Integral de una suma • Integrales inmediatas • Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas 3.2.2. Cambio de variable • Integrales reducibles a integrales inmediatas • Integrales trigonométricas • Integrales por partes • Integrales por sustitución triginométrica • Integración de fracciones racionales RESULTADOS DE APRENDIZAJE 3.1 Calcular el cambio acumulado. 3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 3.1.1. INTEGRAL DEFINIDA • Cambio acumulado En las secciones anteriores se analizó la forma de calcular la rapidez de cambio de una función, ahora se revisará el proceso inverso, es decir, si conocemos la rapidez de cambio cómo determinar cuáles son los valores de la función, o los cambios en la misma. Ejemplo 3.1 Supongamos que se conoce que la rapidez de cambio de la población de una ciudad es de 20000 por año, y que en los siguiente tres el crecimiento es de 22000 habitantes por año, para calcular el cambio total de la población en esos seis años, se calcularía el cambio en cada periodo y después se suma. Cambio total= Rapidez de cambio por año * Número de años Cambio total= 20,000(3) +22,000(3)= = 126,000 habitantes. El cambio total en la población ascendió a 126,000 habitantes en los seis años. Ejemplo 3.2 Consideremos ahora el ejemplo del capítulo anterior que se refiere a la partícula que recorre cierta distancia en un tiempo dado, la velocidad es la rapidez de Reforma Académica 2003 87 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica cambio de esa función. Supongamos que su velocidad es 10 metros por segundo, con esta información se puede calcular la distancia recorrida en 8 segundos, despejando la fórmula se obtiene: Velocidad = Distancia Tiempo m seg * 8 seg =80 m Si se traza la gráfica de la velocidad recorrida contra el tiempo se obtiene un rectángulo cuya área, base por altura, estará representando a la distancia recorrida Gráfica 3.1 m m )(4 seg) +(12 )(4 seg) seg seg = 68 m Para precisar más, ahora consideremos que se mide la velocidad de la partícula cada dos segundos, a partir del primer segundo: Tiempo Velocidad Distancia = Velocidad * Tiempo Distancia= 10 Distancia = (5 1 2 3 6 5 10 7 14 9 18 Para estimar la distancia total recorrida se podría pensar que durante los primeros dos segundos la partícula tendría por lo menos una velocidad de 2 m/seg, en los siguientes dos segundos sería por lo menos 6 m/seg, y así sucesivamente. Distancia: (2)(2) + (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)= 64 m Entonces se estima que en los 8 segundos la partícula recorre 64 m. El área sombreada en la figura 3.2 representa la distancia recorrida Gráfica 3.2 Imaginemos que la partícula se mueve a diferentes velocidades, por ejemplo, durante los primeros 4 segundos se mueve a 5 m/seg y enseguida se mueve cuatro segundos más pero ahora a una velocidad de 12 m/seg, para calcular la distancia recorrida se tienen que sumar las distancias en los dos tramos: 88 Sin embargo existe otro enfoque, se puede considerar que durante los dos primeros Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica segundos la partícula a lo mas tendría una velocidad de 6 m/seg, en los siguientes dos segundos la velocidad sería a lo mas de 10 m/seg, de esta manera la estimación de la distancia es otra cifra. La estimación de la distancia con el enfoque ‘al menos’ sería: (2)(1)+(4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)= 72 Distancia: Gráfica 3.4 (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)+ (18)(2)= 96 m Con este enfoque el área sombreada es mayor: Gráfica 3.3 y con el enfoque ‘cuando más’ (4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+ (18)(1)=88 Gráfica 3.5 La diferencia entre ambas estimaciones es de 32 metros. Se puede afirmar que la distancia recorrida por la partícula está entre 64 y 96 metros. 64< distancia< 96 Con el fin de ser aún más precisos, se podría considerar que las mediciones se realizan cada segundo, de esta manera las velocidades disponibles son las siguientes: Tiempo Velocidad 1 2 2 4 3 6 4 8 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 Con estas nuevas estimaciones la distancia se encuentra entre 72 y 88 m. Reforma Académica 2003 89 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Haciendo los intervalos más pequeños, con ∆t =1, n= 9 • La integral definida En el ejemplo 3.2, se estimó la distancia total acumulada con base en la velocidad, se observó que a medida que se disminuyen los periodos de tiempo de medición y se aumentan el número de datos entonces mejora la precisión. Ejemplo 3.3 Supongamos que se conoce la función de rapidez con la que aumenta una población de insectos, f(t) = .5t2 +t +4, durante 12 horas, y deseamos calcular el crecimiento total de la población, se usarán subintervalos de tiempo de 3, 2 y 1 hora, utilizaremos ∆t para identificar la longitud del subintervalo, y n para indicar el número de ellos. El incremento en la población de insectos está dado por: f(t) = .5t2 +t +4 número de insectos por hora en donde t está en horas, y se calculará el cambio total con base en subintervalos ∆t y se utilizará el enfoque de cambio ‘al menos’. Tabla 3.1 T (horas) 1 f(t) insectos por hora 2 2 3 4 5 6 7 8 9 4 6 8 10 12 14 16 18 Si ∆t =3, n=3 Cambio total = (2)(3) + (8)(3) +(14)(3) =72 90 Cambio total = (2)(1) +(4) (2) +(6) (1) +(8)(10)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1) =90 La estimación del cambio total se puede hacer más precisa si la longitud de los intervalos se hace cada vez más pequeña, y n crece; la estimación será exacta si se calcula la suma de los rectángulos cuando n→∞ Considere que f(t) es una función continua en el intervalo (a,b), y se definen n subintervalos iguales, cada uno de longitud ∆t, de tal forma que: ∆t = b−a n Sean to, t1, t2, t3, .... tn, los puntos que definen los subintervalos, y definimos la suma de los rectángulos considerando los dos enfoques, ‘al menos’ y ‘cuando más’, en el primer caso, suma por la izquierda, la altura del rectángulo se define por el valor izquierdo del intervalo; y para el otro caso, la suma por la derecha se utilizan los valores de la derecha de cada intervalo para calcular la altura del rectángulo Suma por la izquierda= f(to)∆t + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn-1) ∆t Suma por la derecha = f(t1)∆t + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t Podemos abreviar las sumas utilizando el símbolo de ∑ que es la letra griega S, y que representa la suma: Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica n Suma por la derecha = ∑ f (t i )Δt = f(t1)∆t i =1 + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t n −1 Suma por la izquierda= ∑ f(t i )Δt = f(to)∆t i =1 + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(n-1) ∆t Cuando la función es continua y el límite de estas sumas cuando n → ∞ coincide para ambas sumas, entonces se dice que existe el límite y se le conoce como integral definida. La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como: [a,b] intervalo de integración f es el integrando • Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica Para evaluar la integral a partir de una tabla se calculan las sumas por la izquierda y por la derecha, veamos un ejemplo: En la tabla 3.2 se presentan valores de una función de ingreso marginal de un fabricante. Se desea calcular el ingreso total del fabricante cuando la producción aumenta de 10 a 20. Tabla 3.2 b ∫a f (t )dt es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande. b ∫a f (t )dt = lim (suma por la izquierda) = n →∞ n −1 lim ∑ f (t i )Δt n →∞ i =1 b (suma por la derecha)= nlim ∫ f (t )dt = nlim →∞ →∞ a n ∑ f (t i ) Δt = i =1 q Ingreso 10 12 14 16 18 20 235 220 202 182 160 135 Para calcular 20 ∫ f (q )dq se utilizarán los 10 valores de la función en la tabla para determinar la suma por la izquierda y por la derecha: Suma por la izquierda =f(10)*2 +f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2 =235*2 +220*2 +202*2 +182*2 +160*2 =1998 y la suma por la derecha sería: Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Los elementos que aparecen en la notación de la integral son: a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral x es la variable de la integral Suma por la izquierda = f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2 +f(20)*2 =220*2 +202*2 +182*2 +160*2 + 135*2 =1798 Reforma Académica 2003 91 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica entonces: Longitud de la base 1998< ∫ f (q )dq <1798 6/4 7/4 0.125 0.125 Para efectos prácticos la integral de la función de ingreso marginal la obtenemos promediando ambas sumas: Para facilitar la estimación de la integral podemos utilizar en la computadora una hoja de cálculo, al capturar los datos observamos que las fracciones se transforman en decimales, de una forma muy ágil calculamos las suma por la izquierda y la suma por la derecha. 10 20 ∫ f (q )dq =(1998 +1798)/2 = 1898 10 7/4 8/4 Es importante destacar que la unidad de medida para 20 ∫ f (q )dq está dada por las 10 unidades de medida para f(q) y q, en este ejemplo el resultado de la integral son $1898 pesos, porque el ingreso marginal está dado en $ por unidad vendida y dq son unidades vendidas. Los $1,898 representan el cambio total en el ingreso por el incremento en las ventas de 10 a 20 productos. Veamos otro ejemplo, para calcular el área bajo la curva y=x2 y la línea x=2, podemos utilizar 8 rectángulos, dividimos el intervalo, [0,2], en ocho subintervalos de longitud 1/4, esto es [0,1/4] [1/4,2/4] [2/4,3/4] [4/4,5/4] [6/4,7/4] [7/4,8/4]; en cada intervalo calculamos la altura del rectángulo con y= x2 , la aproximación de la integral será la suma de las áreas de los ocho subintervalos. Intervalo Longitud de la base 0 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 92 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 Altura y=x2 Área Base*altura Reforma Académica 2003 Altura y=x2 Área Base*altura Intervalo 20 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 2 2.1875< ∫ x 2 dx <3.1875 0 Al sumar obtenemos valores que son sólo es una aproximación de la integral, y es razonable pensar que entre mayor sea el número intervalos más precisa será la estimación del área. Si en lugar de disponer de una tabla se tiene una gráfica entonces el cálculo de la integral se obtiene definiendo el tamaño de los intervalos, trazando los rectángulos, y sumando las áreas de los mismos. También se calculan las sumas por la izquierda (conocidas también sumas por Reforma Académica 2003 93 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica defecto) y por la derecha (sumas por exceso), para ello, en el primer caso el rectángulo se traza considerando la altura como la ordenada del primer valor del intervalo, en cambio, en el segundo caso, la altura se define con la ordenada del segundo valor del intervalo.. En la gráfica 3.6 se puede apreciar que los rectángulos se trazan considerando la ordenada del primer valor del subintervalo, en cambio en la gráfica 3.7 se observa que los rectángulos se trazan con la segunda ordenada. En la primera los rectángulos quedan por debajo de la función, y en la segunda están por encima de la función, en el primer caso las áreas de los rectángulos ri subestiman el verdadero valor del área bajo la curva, y en el segundo los rectángulos Ri sobreestiman el valor del área. Está claro que entre más pequeños sean los subintervalos y por lo tanto sean más rectángulos, se obtiene mayor precisión en la estimación de la integral. Gráfica 3.6 Gráfica 3.7 3.1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA • La integral definida como el área bajo la curva Con los ejemplos de las secciones anteriores, se puede apreciar que a medida que el ancho ∆t de los rectángulos se aproxima a cero, los rectángulos se aproximan más a la gráfica de la curva, por lo que la suma de sus áreas se acerca más al área bajo la curva. Si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b b ∫ f ( x )dx a Las gráficas 3.6 y 3.7 en donde se calcularon las áreas ri y Ri son aproximaciones de las áreas Ai que en conjunto son: b Área = ∫ f ( x )dx a 94 Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica En otro ejemplo, la gráfica 3.8. , muestra la gráfica de una función, para calcular la integral entre 0 y 5, hay que medir el área bajo la curva en ese intervalo ver gráficas 3.9. En muchas ocasiones, las gráficas abarcan áreas por debajo del eje de las abscisas, en donde la función toma valores negativos, en esos casos, f(x)∆x es negativo, y el área se contabiliza en forma negativa. Gráfica 3.8 Veamos un ejemplo, para calcular 2.22 ∫ f ( x )dx , gráfica 3.10., − 2.22 se obtiene el área la curva y el eje de las x entre -2.22 y 2.22, el área sombreada es 86.7, por lo tanto 2.22 ∫ f ( x )dx =-86.7 − 2.22 3 El área se cubre con 16 cuadros de 4 dimensiones 5*1, entonces 5 ∫ f ( x )dx =16.75*5=83.8 Gráfica 3.10 unidades 0 cuadradas Gráfica 3.9 Reforma Académica 2003 95 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica En general si una curva presenta áreas positivas y negativas el cálculo del área sería de la siguiente manera: procedimiento analizado en la sección anterior. Gráfica 3.11 • Área entre dos curvas En esta sección, se verá como calcular el área de una región delimitada por varias curvas. En forma similar a lo antes visto, el procedimiento consiste en trazar rectángulos y utilizar la integral definida, la altura del rectángulo será f(x)–g(x) y el área f(x)–g(x)*∆x. de esta manera podemos calcular la integral 4.47 2 ∫ ((− x + 2 x + 20) − (2 x ))dx = 60.5 0 Gráfica 3.12 Si f y g son funciones continuas en [a,b] y g(x) ≤ f(x) entonces el área entre las gráficas f(x) y g(x) entre a y b es: 35 b 30 a 25 ∫ (f ( x ) − g ( x ))dx Consideremos que f(x)= - x2+ 2x +20 y g(x)= 2x, para obtener el área entre ambas funciones, gráfica 3.11, se sigue el procedimiento de definir rectángulos entre 0 y 4.47, que es el valor de la abscisa en donde se intersectan ambas funciones, utilizando una hoja de cálculo en la computadora se calcula la integral, con el 96 y y=-x^2+2x+20 20 y=2x 15 Area= 60.55 10 5 0 1 2 Reforma Académica 2003 3 4 5 6 7 x Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica • El teorema fundamental del cálculo En las secciones anteriores se vio como la integral definida es el cambio total en una función calculado con base en la rapidez de cambio de la función. También se estableció que dada una función F(t) su rapidez de cambio es la derivada, F’(t). Recordemos que para estimar el cambio total, en un intervalo [a,b], se definen n subintervalos iguales en to, t1,t2,...tn-1, tn , además se definió ∆t como la longitud de los subintervalos y se calcula como →∞, de esta manera la suma se convierte en integral: Cambio total en F entre a y b:= lim n →∞ n ∑ F ' (t i )Δt = i =1 b ∫ F ' (t )dt a Como el cambio total está dado también por F(b) – F(a) se relaciona con el resultado anterior y se obtiene: Teorema fundamental del Cálculo Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces b−a ∆t= . n b ∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a) a Ahora bien, si en el primer subintervalo, se aproxima la rapidez de cambio con F’(t1) entonces: Cambio en F =Rapidez * Tiempo ≈ F’(t1) ∆t si consideramos en cada subintervalo i la rapidez de cambio se aproxima con F’(ti), entonces: Cambio en F = Rapidez * Tiempo ≈ F’(ti) ∆t y por lo tanto el cambio total estará dado por: Cambio total en F entre a y b:= F’(t1) ∆t +F’(t2) ∆t+....+ F’(tn) ∆t= n ∑ F ' (t )Δt Veamos un ejemplo, se conoce que un cuerpo se mueve en una recta con aceleración v’(t)= 6t, también se conoce que la velocidad del cuerpo es v(t)= 3t2 m/seg entre t=0 y t=10 minutos, se estimará el cambio la velocidad total aplicando el Teorema fundamental del Cálculo: Recordemos que la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad, esto es el cambio experimentado por la velocidad por segundo, entonces sus unidades son m m / seg = seg seg 2 10 ∫ v ' (t )dt = v(10) – v(0) 0 10 i =1 y además dt=seg 2 2 ∫ 6(t )dt = 3(10 ) - 3(0) Para mejorar el resultado, se generan más intervalos, tomando el límite cuando n =300 m/seg 0 El cambio total en la velocidad en ese periodo es de 300 m/seg Reforma Académica 2003 97 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica RESULTADO DE APRENDIZAJE Generalizando: d d d (F ( x ) + C )) = F (x ) + (C ) dx dx dx d = F (x ) dx 3.2. Usar integrales en la solución de problemas = f(x) 3.2.1. ANTIDERIVADAS • Derivación e integración procesos inversos como La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original, para llegar al resultado idéntico se tiene que especificar la constante de integración que se explicará mas adelante. Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x). Así, por la constante, no queda determinada completamente una función cuya derivada se conoce. • Integrales indefinidas La antiderivada de una función f(x) difiere de cualquier otra en una constante, todas las antiderivadas de f(x) son de la forma F(x) + C, la forma más general de denotarlas es con: ∫ f ( x )dx y se le denomina integral indefinida de f(x). ∫ f ( x )dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x) Al símbolo ∫ se le denomina símbolo de integral, f(x) es el integrando, y C es la constante de integración. Por ejemplo la derivada de x3 es 3x2 por ello se dice que x3 es la antiderivada de 3x2 La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe ∫ f ( x )dx , y Observemos que 3x2 también es la derivada de x3+4, y también es la derivada de x3+C, para cualquier valor de C constante denota una antiderivada arbitraria de f. b ∫ f ( x )dx En efecto y a d ( x 3 + C ) = 3x2 dx por tal razón se dice que x3+C es la familia de antiderivadas de 3x2 98 Es importante resaltar la diferencia entre ∫ f ( x )dx , la primera expresión es un número, en cambio la segunda denota una familia de funciones. Se usa de manera indistinta la palabra integración ya sea para encontrar la antiderivada como para calcular integrales definidas. Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica • Integral de una suma f) Entre las propiedades de la antiderivada se encuentran las siguientes: g) ∫e kx dx = x ∫ a dx = 1 kx e +c k ax + c; a = cte ln a Una antiderivada de la suma de dos funciones es la suma de sus antiderivadas. Ocurre lo mismo con la diferencia. h) ∫ xe x dx = e x ( x − 1) + c ∫ [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx i) ∫ ln xdx =x(lnx-1) + c Una antiderivada de una constante por una función es la constante por una antiderivada de la función: j) ∫ ln( xy )dx = x ln( xy ) − x + c ∫ c (f ( x ))dx = c ∫ f ( x )dx Ejemplos: ∫ En la siguiente sección veremos algunos ejemplos. 3 4dx = 3 4 x +C 3 3 ∫ − 5 dx = - 5 x + C ∫ 5dt = 5t +C • Integrales inmediatas Las reglas para la integración que se obtienen directamente al invertir las reglas correspondientes a la diferenciación son las siguientes: b) ∫ Kdx = K ∫ dx = Kx + C cualquier constante c) ∫x n dx = x n +1 1 d) ∫ dx = ln | x | + c x e) ∫e x 2 ∫ x dx = x2 + C)= x2 +C 2 x3 +C 3 x −3 +C −3 1 8x 8x ∫ e dx = 8 e + C 1 -0.03t −0.03t +C ∫ e dt = − .0.03 e −4 ∫ x dx = a) ∫ dx = x + C n +1 ∫ 2 xdx = 2 ∫ xdx =2( n≠ -1 en donde K es ∫ (2 x + cos x )dx = ∫ 2 xdx + ∫ cos xdx = x2 + sen x 1 1 ∫ 5 • x dx = 5 • ∫ x dx = 5·Lnx +C dx = e x + c Reforma Académica 2003 99 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica • Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas Con base en el Teorema Fundamental del Cálculo y utilizando las reglas de las antiderivadas se pueden calcular, de una manera más eficiente, las integrales definidas, en efecto, el Teorema nos dice si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces b ∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a) a La función de costo marginal de un fabricante es d C = 0.6q +2, dq si conocemos que la producción actual es igual a q=80 unidades por semana, para calcular qué tanto más costaría incrementar la producción a100 unidades por semana, se utiliza la integral definida. Como se conoce el costo marginal, al integrar se determina el costo: Nos permite calcular de una manera exacta las áreas bajo la curva, así como el cambio total acumulado de la funciones. C(100) – c(80) = 100 Observemos que al tomar la diferencia F(b) - F(a) se cancela la constante de integración. Ejemplos: Consideremos la función de la velocidad de una partícula en movimiento rectilíneo, que se analizó en alguna sección anterior: Como ∫ 2 xdx = x2 +C entonces 9 ∫ 2tdt ∫ 80 100 ⎤ ⎡ 0.6q 2 dc + 2q ⎥ = ⎢ = dq ⎦ 80 ⎣ 2 (0.3(1002 + 2(100)) – (0.3(802 + 2(80))= 3200 – 2080. Ejemplo Si co es el consumo anual de un mineral en el tiempo t=0, entonces con un consumo continuo la cantidad total de mineral que se utiliza en el intervalo [0,t1] es: ∫ c0e kt dt . 0 = F(9) – F(1) =[(9)2 +C] - [(1)2 +C] = 1 (9) 2 - (1)2 = 83 Recordemos que en nuestra mejor aproximación habíamos estimado, con n =8, que 77<velocidad <88 Ejemplo Determinemos la integral para una mineral se ha determinado que co = 3000 unidades y k=0.05: t1 ∫ 3000e 0 .05t 3000 .05t dt = e .05 t1 = 0 (60000 e kt1 - 60000e0)= 60000( e kt1 -1) Veamos otros ejemplos: 100 t1 Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 9 9 t2 tdt =2( ∫ 2 1 5 ∫ (− x 2 Si bien no está definido el límite superior, se observa que el área converge a un número. ) 1 3.2.2. CAMBIO DE VARIABLE + 2 x + 20)dx = 0 En los análisis anteriores, se ha supuesto que la integral definida b ∫ f ( x )dx a tiene límites de integración finitos, y el integrando f es continuo. Sin embargo, se presentan casos en los que uno de los límites (o ambos) es infinito o no existe, esta clase de integrales se les conoce como integrales impropias. A pesar de no tener definido un límite, algunas convergen a un número, este es el caso de y= 1 , en el que x2 Gráfica 3.13 • Integrales reducibles a integrales inmediatas En ocasiones, es posible modificar algebraicamente una función, de tal manera que se convierte en una expresión cuya integral es inmediata. Por ejemplo ∫e x2 xdx , se reduce a 1 u e du simplemente 2∫ considerando u=x2 , y du= 2xdx. Ejemplo Obtener ∫ x 2 x + 1dx ∞ 1 ∫ x 2 dx =1 1 u= Se resuelve considerando entonces x=u-1 dx =du x+1 x2 = (u-1)2 = u2 -2u +1 y 1 x +1 = u2 Así: 1 2 ∫ x x + 1dx = 2 ∫ (u − 2u + 1)u 2 du =∫ 5 u2 − 3 2u 2 7 + 5 1 u 2 du 3 2 4 2 2 u + u2 + c 3 7 5 7 5 2 4 = ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 7 5 = u2 - 2 3 3 + ( x + 1) 2 + c Reforma Académica 2003 101 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica • Integrales trigonométricas Las integrales trigonométricas más usuales son: ∫ senxdx = -cosx + c ∫ cos xdx = senx + c • Integrales por partes Existe otro método muy útil de integración, se le denomina integración por partes, éste proviene de la fórmula para la derivada del producto de dos. Si f y g son funciones diferenciables: ∫ tan xdx = ln | sec x | +c ∫ cot xdx = ln | sin x | +c ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +c ∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +c ∫ sec xdx = tan x + c ∫ csc xdx = − cot x + c ∫ sec x tan xdx = sec x + c ∫ csc x cot xdx = − csc x + c dx 1 x ∫ x + a = a arctan a ∫ f ( x) g ' ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f ' ( x)dx A la ecuación anterior se le llama fórmula de integración por partes. Se le puede expresar de otra manera al considerar: 2 u = f ( x) y v = g ( x) 2 2 ∫x 2 Entonces tenemos du = f ' ( x) y v = g ( x) con lo que se transforma a: ∫ udv = uv − ∫ vdu 2 dx 1 x−a = ln +c 2 2a x + a −a Está formula expresa la integral términos de otra integral, 1 a+x dx ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + c Es posible resolver otras integrales con base en las anteriores realizando algunas sustituciones algebraicas y trigonométricas. Ejemplo: ∫ sen 3 x dx = 2 = = -cosx + 2 1 cos3x + c 3 en ∫ vdu . Por medio de una elección adecuada de u y dv, puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la primera. Cuando se eligen sustituciones para u y dv, por lo general se desea que dv sea el factor más complicado del integrando que se pueda integrar directamente y que u sea una función cuya derivada sea una función más simple. Ejemplo: senx dx ∫ (1 − cos x )senxdx 2 ∫ senxdx + ∫ cos x (−senx )dx = 102 ∫ sen ∫ udv Encontrar ∫ xe x dx Consideremos u =x y dv = exdx Entonces du=dx y v= ∫ e x dx =ex + c Por lo tanto: Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica ∫ xe x dx = uv - ∫ vdudx =x(ex +c1)- ∫ (e x + c1 ))dx = xex +c1x –ex – c1x +c = xex – ex +c = ex( x-1) +c Ejemplo: 1 − sin 2 θ = cos 2 θ Determinar 1 + sin 2 θ = sec 2 θ ∫ x cos xdx sec 2 θ − 1 = tan 2 θ Sea u=x y dv=cosxdx. CASO I. Integrandos que contienen Entonces du=dx y v=sinx a2 − x2 , Por lo tanto, tenemos ∫ = x sin x + cos x + c Determinar ∫ tan −1 a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 θ = a 2 (1 − sin 2 θ ) xdx Sea u=tan-1x y dv=dx. dx Entonces du= y v=x 1+ x2 = a 2 cos 2 θ = a cos θ Cuando a 2 − x 2 aparece en el denominador de un integrando; existe la restricción adicional -π/2 ≤ θ ≤ π/2 De esta forma, −1 xdx = x tan −1 x − ∫ xdx 1+ x2 1 = x tan −1 x − ln(1 + x 2 ) + C 2 • Integrales por trigonométrica CASO II. a2 + x2 , sustitución Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones a2 − x2 , a 2 + x 2 , o bien a>0 Consideremos: x=a sinθ , -π/2 ≤ θ ≤ π/2 entonces x cos x = x sin x − ∫ sin xdx ∫ tan es posible que se pueda evaluar las integrales por medio de una sustitución trigonométrica. Los tres casos considerados a continuación dependen, respectivamente de las identidades: x2 − a2 , a > 0 Integrandos a>0 que contienen Supongamos que x=a tanθ, en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. Entonces a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 (1 + tan 2 θ ) = a 2 sec 2 θ = a sec θ Reforma Académica 2003 103 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Después de la integración puede eliminarse la variable θ empleando un triangulo Caso III. x2 − a2 , Integrandos a>0 que rectángulo en donde tan θ=x/a. Veamos la siguiente figura. contienen ∫ Si en este último caso se utiliza la sustitución x = a sec θ, en donde 0 ≤ θ ≤ π/2, o bien π ≤ θ ≤ 3π /2, entonces ∫ = a (sec θ − 1) 2 = a 2 tan 2 θ ∫ x2 9 − x2 dx La identificación sustituciones x=3sen θ x2 9− x dx = 2 9 − 9 sin θ 2 (3 cosθdθ ) = 9∫ sin 2 θdθ 9 9 9 (1 − cos 2θ )dθ = θ − sin 2θ + c ∫ 2 2 4 sin θ = x / 3, cosθ = 1− sin2 θ = 9 - x2 / 3, y θ = sin-1(x/3) a=3 conduce a las puesto que 2θ = 2 senθ cos θ , resulta que ∫ dx=3cosθ dθ x2 9− x 2 dx = en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. La integral se convierte en 104 9 sin 2 Para expresar este resultado otra ves en término de la variable x, observamos que = a tan θ Evaluar 9− x 2 dx = ∫ Recuerda que para evaluar está última integral trigonométrica se hace uso de sin 2 θ = (1 − cos 2θ ) / 2 x 2 − a 2 = a 2 sec 2 θ − a 2 2 x2 Reforma Académica 2003 9 −1 x 1 − x 9 − x2 + c sin 2 3 2 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica • Integración racionales de fracciones menor grado denominador. que el polinomio del Veamos el procedimiento: Una función algebraica se puede expresar como el cociente de dos polinomios. En teoría toda función racional tiene una integral que puede expresarse en términos de funciones elementales. Si una función racional no se puede integrar directamente, se utiliza el método de fracciones parciales para transformar la fracción racional en una suma de funciones más sencillas que pueden integrarse por medio de las fórmulas normales. a) Se expresa el denominador de la fracción como un producto de factores lineales de la forma ax + by de factores cuadráticos irreductibles de la forma ax2+bx +c. b) Se determina la forma de las fracciones parciales, y dependerá de los factores que se definan en el denominador: Este método se utiliza únicamente para a fracciones propias, esto es aquellas en la que el polinomio del numerador es de Factor presente en el denominador Fracción parcial correspondiente a) Factor lineal único: ax +b A siendo A una constante que debe ax + b determinarse b)Factor lineal repetido: (ax-b)n A1 A2 An + +.....+ ax + b ax + b ax + b en donde A1, A2,... An son constantes que deben determinarse c)Factor cuadrático único ax2 +bx +c Ax + B ax + bx + c 2 en donde A y B son constantes que deben determinarse d) Factor cuadrático repetido: (ax2 +bx +c )n A1 x + B1 ax 2 + bx + c A2 x + B 2 + 2 ax + bx + c +...+ Reforma Académica 2003 An x + B n ax 2 + bx + c 105 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Y c) Determinar las constantes que se presentan en los numeradores de las fracciones parciales. Cuando se descompone una fracción racional en fracciones parciales, la ecuación resultante es una identidad, o sea, que es verdadera para todos los valores significativos de las variables. El método para evaluar las constantes que se presentan en las fracciones parciales está basado en un teorema de álgebra que establece que si dos polinomios de un mismo grado son idénticos, deben ser iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales de la variable, en ambos polinomios Ejemplo Determinar ( x + 3)dx ∫ x 2 + 3x + 2 ( x + 3)dx ( x + 3)dx 2dx dx ∫ ( x + 1)( x + 2) = ∫ x + 1 - ∫ x + 2 =2 ln(x+1) –ln(x+2) +c =ln Competencia analítica. Calcular integrales integración. 1 ∫ 2 dx 3) ∫ (r 5 − 5r )dr B ⎤ ⎡ A + ⎥dx ⎣ x +1 x − 2⎦ ⎡ A( x + 2) + B ( x + 1)dx ⎤ = ∫⎢ ⎥dx ( x + 1)( x + 2) ⎦ ⎣ =∫⎢ Por lo tanto: 4) 2 ∫ e − x dx ∫ dw 6) ∫ ( x + 3) 8 dx 7) ∫ 3x 2 ( x 3 + 7) 3 dx 2 8) ∫ 2 xe x dx 5) 2 X+3 = A(x+2) +B(x+1) =(A+B)x + (2A +B) 9) ∫ − 4t − 4 dt Igualando los coeficientes de potencias iguales: 10) ∫ ( x + 1)e x 1 3 1 A+B = 1 2A+B = 3 A=2 B= -1 106 usando fórmulas Determina las integrales que se indican: 2) ∫ x 8dx ( x + 3)dx +c Realización del ejercicio 1) ∫ x 2 + 3x + 2 = ∫ ( x + 1)( x + 2) ( x − 1) 2 x+2 Reforma Académica 2003 2 +2 x dx de Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 7 Nombre de la práctica Modelación matemática de problemas de poblaciones. Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de poblaciones usando integrales. Escenario Aula Duración 2h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta . • Bitácora • Papel • Lápiz Reforma Académica 2003 107 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 108 Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Procedimiento ­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. Se predice que la población mundial t años después del 2000 será de P = 6.1e0.0125t miles de millones. , ¿Qué población se predice que habrá en el 2010?, ¿Cuál es la población promedio quCe se predice que habrá entre el 2000 y el 2010? b. Un pueblo tiene una población de 1000. Llene la siguiente tabla suponiendo que la población crece a: 50 personas por año y al 5% por año Año 0 Población 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c. El tamaño de una población de bacterias es de 4000. Encuentre una fórmula para el tamaño, P, de la población t horas después si la población está disminuyendo a: 100 bacterias por hora y al 5% por hora. ¿En qué caso la población de bacterias llega primero al 0? d. Con frecuencia, las tasas de nacimiento y mortalidad se registran como nacimientos o muertes por miles de habitantes de la población. ¿Cuál es la razón de crecimiento relativa de una población con una tasa de nacimientos de 30 nacimientos por 1000 y una tasa de mortalidad de 20 muertes por 1000? e. Una población tiene 100 habitantes en un tiempo t = 0, con t en años. Si la población tiene una razón de crecimiento absoluta constante de 10 personas por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Si la población tiene una razón de crecimiento relativa constante del 10% por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Grafique ambas funciones en los mismos ejes. 2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado Reforma Académica 2003 109 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Procedimiento para su posterior envió a reciclaje. 110 Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7: Modelación matemática de problemas de poblaciones Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica ­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e 2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator • El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas 4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica 2003 111 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 112 Reforma Académica 2003 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 8 Nombre de la práctica Determinación de áreas usando integrales Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el alumno determinará áreas usando integrales. Escenario Aula Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría Reforma Académica 2003 113 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Procedimiento ­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. Use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la gráfica de f(x) = 1/(x+1) entre x = 0 y x= 2. b. Use el Teorema Fundamental para calcular el valor de b si el área bajo la gráfica de f(x) = 4x entre x = 1 y x = b es igual a 240. Suponga que b > 1. ∞ c. i) Grafique el área representada por la integral impropia b ∫ xe −x ∫ xe 0 −x dx ii) Calcule dx para b = 5, 10, 20. La integral impropia (i) converge. iii) Utilice sus respuestas del inciso (ii) para evaluar su valor. 0 2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 114 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8: Determinación de áreas usando integrales Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica ­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c 2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator • El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas 4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica 2003 115 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 116 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 9 Nombre de la práctica Resolución de integrales por partes. Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales usando la fórmula de la integración por partes. Escenario Aula Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel Reforma Académica 2003 117 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento ­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a.∫ x cos xdx b.∫ xe ax dx c.∫ ln xdx d .∫ eθ cos θ dθ e.∫ x 2 e − x dx 2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA, utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la competencia. 118 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9: Resolución de integrales por partes. Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica ­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e 2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator • El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas 4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica 2003 119 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 120 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 10 Nombre de la práctica Resolución de integrales de fracciones parciales. Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales de fracciones parciales. Escenario Aula Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel Reforma Académica 2003 121 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento ­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes, de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a.∫ 2x + 3 dx x + x2 − 2 x b.∫ x3 + 1 dx x( x − 1)3 c.∫ 4dx x + 4x 3 3 2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 122 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10: Resolución de integrales de fracciones parciales. Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica ­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c 2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator • El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas 4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica 2003 123 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 124 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1,2,3 Práctica número 11 Nombre de la práctica Determinación del excedente del consumidor Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el alumno determinará el excedente del consumidor utilizando integrales. Escenario Aula Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría Reforma Académica 2003 125 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento ­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Lee con cuidado lo siguiente: Excedente del Consumidor Una de aplicación de las integrales en Economía, es la determinación del Excedente del Consumidor. En la gráfica 1, se presentan las curvas de oferta y demanda de un producto, en la primera se observa el precio p por unidad al cual el fabricante vende (ofrece) q unidades. En la segunda, demanda, se aprecia el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (po, qo)en donde se intersectan las curvas se le denomina punto de equilibrio, sus elementos se interpretan de la siguiente manera: po es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad qo que los fabricantes desean vender a ese precio. Si el mercado se encuentra en equilibrio y el precio del producto es po, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que estarían dispuestos a pagar más que po , por ejemplo al precio p1 los consumidores comprarían q1 unidades, estos consumidores se benefician del menor precio de equilibrio. El rectángulo sombreado en la figura 1, representa el área p∆q que es la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando ∆q unidades si el precio fuera p, como el precio es po los consumidores sólo gastan po ∆q y se benefician con la cantidad p∆q - po∆q, que se puede escribir como (p- po)∆q, ver figura 2. Figura 1 126 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento Figura 2 p0 ∆q Considerando las áreas de todas los rectángulos de q= 0 a q= qo, el área se obtiene mediante la integral: q0 ∫ ( p − p )dq o 0 La integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio y se le denomina excedente de los consumidores ver figura 3. Figura 3 EC p0 qo Reforma Académica 2003 127 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento 2. Analizar en grupo la lectura anterior. 3. Resolver en grupo el siguiente problema: Las siguientes ecuaciones representan la demanda y la oferta de un producto: P=900 – q2 P=100 + q2 encuentrar el precio y cantidad de equilibrio, graficar y determinar el excedente del consumidor. 4. En grupo elaborarán conclusiones. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 128 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento Reforma Académica 2003 129 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 11: Determinación del excedente del consumidor Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí ­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Leyó con atención la teoría 2. Analizó en grupo el concepto de excedente del consumidor 3. Resolvió en grupo el problema 4. Participó en la elaboración de conclusiones del problema 5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 130 Reforma Académica 2003 No No aplica PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESUMEN Conociendo la rapidez de cambio de una función se puede determinar los valores de la función y los cambios totales en la misma, esto es se puede seguir el proceso inverso a lo visto en la sección anterior. x es la variable de la integral [a,b] intervalo de integración f es el integrando Así , si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b b La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como: ∫ f ( x )dx a El Teorema fundamental del Cálculo señala b ∫ f (t )dt a es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande. n −1 b ∫ f (t )dt = lim ∑ n∞ a b ∫ a f (t )dt = f (ti )Δt b ∫ F ' (t )dt a = F(b) - F(a) La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original i =1 n lim ∑ n→∞ i =1 Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces f (ti )Δt = Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) Los elementos que aparecen en la notación de la integral son: a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x). ∫ f ( x )dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x) Reforma Académica 2003 131 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 1. ¿Cuál es el concepto de Límite? 2. ¿Qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado? 3. ¿Qué es el incremento de una variable? 4. ¿Cómo se representa el incremento de una variable? 5. ¿Cómo se le llama a una función que tiene derivada? 6. ¿Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función? 7. ¿Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada? 8. Hallar la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7 9. Aplique la definición (°) para hallar la derivada de la función en a: ƒ(X)=2-X3; a=-2 10. ¿Cuáles son los criterios de continuidad en un número? (Expresar el concepto en lenguaje algebraico) 11. ¿Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función? 12. Resuelva el siguiente ejercicio: Trace la gráfica de la función; luego, observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua. Muestre cuál criterio no se cumple de la definición de continuidad de una función en un punto. 13. ¿Cuál es la función de los teoremas? 14. Teorema de derivadas: “la derivada de una función multiplicada por una constante es igual al producto de la constante por la derivada de la función” Sea K una constante cualquiera y f y g dos funciones, tales que f (x) = k g(x), entonces, si g'(x) está definida, f '(x) = k g'(x), ¿Cómo quedaría la conclusión del teorema en lenguaje algebraico? 132 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 15. ¿Cuál es la definición de diferencial? 16. Un barco sale de un puerto al mediodía y viaje hacia el oeste a 20 nudos. Al mediodía del día siguiente, un segundo barco sale del mismo puerto con dirección noroeste a la velocidad de 15 nudos. ¿Con qué rapidez se alejan entre sí los dos barcos cuando el segundo de ellos ha recorrido 90 millas náuticas? 17. ¿A qué se le llama rapidez de variación de la función? 18. Halle la derivada de la función correspondiente mediante la aplicación de los teoremas de los siguientes ejercicios: 19. Resuelva los siguientes ejercicios: elabore una tabla de valores de x, y, y m en el intervalo [a, b]; incluya todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal. Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados. 20. ¿Qué es la operación sumatoria? 21. ¿Qué signo se utiliza para la notación de sumatoria? 22. Evalúe la integral definida del siguiente ejercicio: Reforma Académica 2003 133 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 23. Calcule la derivada del siguiente ejercicio: 24. Menciona los dos teoremas fundamentales del cálculo 134 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS Reforma Académica 2003 135 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 1. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. 2. La función se acerca a un valor constante, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. 3. Es la diferencia entre el valor final y el valor inicial. 4. Se representa por la letra correspondiente de la variable, precedida de la letra griega delta; y se lee "delta de x", "delta de y" 5. Diferenciable 6. Diferenciación 7. La primera para obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto determinado y la segunda para calcular la velocidad instantánea de un móvil en un instante dado. 8. 9. 136 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS Con este valor y, aplicando la fórmula, se obtiene: 10. Una función f es continua en un número a de su dominio si se cumplen las tres condiciones siguientes: 11. La discontinuidad de una función en un punto puede ser una discontinuidad esencial o una discontinuidad eliminable. 12. (Abajo se observa la gráfica de esta función). Como f (-3) no existe, la parte (i) de la Definición de continuidad de una función en un número no se cumple y; por lo tanto f es discontinua en -3. Reforma Académica 2003 137 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 13. Nos facilitan el aspecto operativo de la tarea de derivación. 14. 15. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencia de la variable independiente 16. 138 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 17. A la intensidad de variación respecto al tiempo. 18. 1. Solución Reforma Académica 2003 139 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 2. Solución 3. Solución 19. 1. Solución m(1) = 0 x y m -1 -6 8 0 0 4 1 2 0 2 0 -4 2.5 -2.5 -6 3 -6 -8 140 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 2. Solución x y m -2 -7 12 -1 0 3 0 1 0 1 2 3 2 9 12 Reforma Académica 2003 141 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 3 Solución Para ningún valor de x1, m(x1) es cero x f (x) m -5 3 -0,17 0 2 -0,25 3 1 -0,5 4 0 No existe 20. Es la suma de muchos números. 142 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 21. Para la notación de sumatoria se utiliza la letra griega sigma mayúscula: 22. Solución: 23. Solución: 24. Primer Teorema fundamental del cálculo: Segundo Teorema fundamental del cálculo: Reforma Académica 2003 143 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 144 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 1 1) Maíz 1 3 2) p = q + 50 3 3) v = 50000 - 5000t 4) (100,5) 5) 4 6) 3927568 7) a)10 mg b).17 c)5.6 8) a)6 b)-32 9) a) 2 4 6 + + 1 b) 2 2 (t − 1) (t + 3t } (t − 1) Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 2 1) a) 20 b) -1 c) 0 d) 0 2) f(2) existe y es igual a. lim f(x) x →2 3). -34 4) -20 Reforma Académica 2003 145 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 5) a) 3 2 1 x2 b) -2t-1 1 c) 3 2 4 x d) t + 3 2 t e) 48x2 +18x f) −3 ( x − 1) 2 g) 18(3x+2)5 h)18 e3x 6) 7) y 60 40 20 -5 146 0 5 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 8) q=40 costo promedio=23 Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 3 1) 1 x +c 2 2) x9 +c 9 3) r 6 5r 2 − +c 6 2 4)2ex +c 5) w + c 6) ( x + 3) 9 +c 9 7) ( x 3 + 7) 4 +c 4 2 8) e x + c 9)- 7 6 10) e 3 12 (e − 1) 2 Reforma Académica 2003 147 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 148 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral GLOSARIO DE TÉRMINOS Antiderivada De una función f es una función F tal que F’(x) = f(x). Contradominio Son los valores de salida de una función Derivada de una función Para cualquier función f, se define la función derivada , f’ f(a + h ) - f(a) lim h por: f’(a) = h→0 Derivada de una función Geométricamente se define como la pendiente de la tangente a la curva en un punto Dominio De la función, son los valores de entrada de una función Función Es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Función continua Se dice que una función f es continua en un número c si, f(c) lim lim está definida, si x→c f(x) existe y si x→c f(x) = f(c) Integral definida b En f en el intervalo [a,b] se denota como: ∫ f (t )dt , y es a n lim ∑ f (t i ) Δt n →∞ i =1 Integral definida En f en el intervalo [a,b], también se le define como área bajo b la gráfica de f entre a y b y se denota como ∫ f ( x )dx a Integral indefinida De una función f con respecto a x se escribe ∫ f ( x )dx , y denota una antiderivada arbitraria de f. Límite De f(x), se define cuando x tiende a c como el número L, y se denota lim f(x) = L, si f(x) está arbitrariamente cerca de L x→ c para toda x suficientemente cercana a c, pero sin ser igual a c. Reforma Académica 2003 149 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral GLOSARIO DE TÉRMINOS Pendiente de la curva La pendiente de la tangente a la curva en un punto Rapidez de cambio Promedio de una variable y entre el tiempo a y b, se define como: Cambio de la variable y entre el cambio de la variable tiempo. Teorema fundamental del Cálculo Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces b ∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a) a 150 Reforma Académica 2003 PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral REFERENCIAS DOCUMENTALES 1. Hughes, Cálculo Aplicado, México, CECSA, 2004. 2. Granville, W. Cálculo diferencial e integral. 15° México, Limusa, 1992. 3. Faires, Douglas J. y James DeFranzo. 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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA e-cbcc Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas 153 Reforma Académica 2003 conalep PT-Bachiller Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Matemáticas IV: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral Manual Teórico-Práctico del Módulo Autocontenido Integrador Matemáticas IV Introducción al Cálculo Diferencial e Integral e-cbcc 154 EducaciónCapacitación Basadas en Competencias Contextualizadas Reforma Académica 2003