1 Capítulo 2 Redes sometidas a Excitaciones Causales 2.1 INTRODUCCIÓN a) Causalidad Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones causales. Se denomina excitación causal a una señal que es igual a cero para tiempos menores que cero. Estas señales permiten representar un cambio de condiciones en las entradas de una red, en un tiempo determinado, usualmente el tiempo cero. Es decir, una excitación causal modela la siguiente situación: se tiene una red sin excitaciones, y en un instante determinado se la somete a un estímulo que causa efectos en la variable que se está observando como respuesta. Nuestro interés será analizar las formas de ondas de la respuesta desde el instante de referencia en adelante; no nos interesamos en tiempos negativos, ya que las entradas no tienen variaciones en ese intervalo. b) Descomposición Para una mejor comprensión de los efectos producidos por el estímulo, se suele descomponer la respuesta. Una forma de descomponer es separar la señal de salida en sus partes estacionaria y transitoria. Otra descomposición, usualmente utilizada, es separar la respuesta en una parte que se debe solamente a las energías acumuladas en la red en el instante de referencia; y en la parte debida solamente a la excitación. La primera se denomina respuesta a entrada cero; la segunda; respuesta a estado cero. Los métodos que desarrollamos deberán permitir visualizar fácilmente las partes de la respuesta. c) Representación matemática Una red constituida por la interconexión de componentes lineales, concentradas e invariantes en el tiempo y sometida a excitaciones causales queda representada por un sistema de ecuaciones integro-diferenciales lineales, ordinarias y de coeficientes constantes. Un método matemático adecuado para resolver el sistema, interpretar los resultados, y lograr una percepción profunda y amplia de la red es la Transformación de Laplace. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 2 Teoría de Redes Eléctricas La Transformada de Laplace permite modificar el problema planteado anteriormente, obteniendo una representación analítica de la red más simple; se lograr modelar mediante un sistema de ecuaciones algebraicas (no diferenciales) en la variable compleja s. Existen numerosos métodos para resolver sistemas algebraicos de ecuaciones. Por ejemplo: Cramer, diagonalización de Gauss, Gauss-Jordan, etc. Adicionalmente la representación matricial del sistema de ecuaciones permite interpretar las variables de la red mediante vectores n-dimensionales, y visualizar la función que realiza la estructura interconectada como una trasformación de variables en un espacio n-dimensional. d) Condiciones iniciales Este capítulo también tiene como objetivo introducir un punto de vista de ingeniería en el tratamiento, especificación e interpretación de las condiciones iniciales. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones diferenciales será necesario conocer los valores, en el instante de referencia, de las energías acumuladas en las componentes dinámicas; o sea, es preciso tener especificado el estado inicial. La transformada de Laplace, posibilita un tratamiento simple de las condiciones iniciales; y al incorporarlas a las ecuaciones algebraicas permite visualizar con facilidad los efectos producidos por el estado inicial. e) Análisis dinámico El método de la transformada de Laplace es especialmente adecuado para estudiar redes lineales sometidas a excitaciones que contienen cambios no periódicos, permitiendo obtener analíticamente expresiones que califican cómo responde la red a esos estímulos. Este estudio se denomina: análisis dinámico de una red, también se le reconoce como análisis transitorio, pero el término es menos general. Un fenómeno transitorio es sólo una de las formas que se presentan en las respuestas de una red lineal e invariante en el tiempo sometida a excitaciones causales. f) Restricciones del método Finalizando esta introducción se hace resaltar el hecho de que el método que se desarrollará no permite resolver todos los tipos de problemas que se presentan en redes eléctricas. Por ejemplo: Redes no lineales, variantes en el tiempo, componentes distribuidas o que dependen de las variables especiales no podrán ser eficientemente tratadas con el método de la transformación de Laplace. Adicionalmente algunos problemas de geometría simple, por ejemplo: redes RC, deberán ser resueltos por métodos ya expuestos en un curso introductorio de redes; no será conveniente aplicarles el método que se estudiará, que deberá emplearse cuando las dificultades que se presentan están a la altura del procedimiento. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 3 2.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Este capítulo considera conocido el procedimiento matemático denominado transformada de Laplace. Se desarrollarán sólo los aspectos prácticos que serán especialmente interesantes en las aplicaciones que se estudiarán posteriormente. 2.2.1. Definición F (s) (2.1) f (t ) e st dt L[ f (t )] 0 Nótese que se especifica el tiempo cero menos (0 ) . Se escoge ese valor para incorporar, dentro del intervalo de interés, posibles discontinuidades en el tiempo cero. Ejemplo 2.1. Sean las siguientes señales: Figura 2.1 Entonces se tiene, aplicando la definición: F1 ( s) F2 (s) F3 (s) 1 s Nótese que la transformada de Laplace de una señal está asociado sólo a la parte de la función temporal en el intervalo; 0 hasta . También debe advertirse que las transformadas inversas entregan sólo la parte de la función temporal para t 0 . Entonces, dada una señal, la transformada de Laplace sólo dará resultados para t 0 . Y será equivalente suponer que la excitación es causal. De otra forma, la aplicación de la transformada de Laplace establece que se está tratando una red equivalente para t 0 . Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 4 Teoría de Redes Eléctricas También puede interpretarse, en caso de tener excitaciones no causales, por ejemplo la señal f3 , que se modifica la entrada multiplicándola por u (t ) . De este modo queda como excitación: f3 (t ) u (t ) que es una señal causal. En el ejemplo, para las tres señales se tendrá: L1 1 s (2.2) 1 u (t ) 2.2.2. Transformada de un impulso Aplicando la definición. (t ) e st dt L[ (t )] 0 Recordando la definición de la función impulso o delta de Dirac, se tendrá que el integrando es cero excepto en el origen. Entonces la integral sólo debe realizarse entre 0- y 0+; en ese intervalo la función exponencial vale uno. Y aplicando que: 0 (t )dt 1 resulta: 0 (2.3) L[ (t )] 1 Nótese que la especificación del tiempo cero menos permite incorporar dentro del intervalo de interés a la función impulso. Si se hubiese elegido el límite inferior en cero más (0 ) , la transformada del impulso sería cero, y en los desarrollos no se tendría explícitamente la información del cambio brusco de la excitación. 2.2.3. Condiciones iniciales La especificación del tiempo cero menos, establece que para resolver una ecuación diferencial, deberán conocerse los valores de las variables en el instante 0 . Lo anterior se desprende de la observación de la transformada de la derivada de una función: L df dt sL[ f (t )] (2.4) f (0 ) Donde f (0 ) es la condición inicial. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 5 Recordando el significado del concepto de estado, establecemos que es suficiente conocer los valores de las tensiones en los que condensadores y las corrientes en los inductores, en el instante 0 , para tener completamente especificadas las condiciones iniciales de la red. Dichos valores permiten calcular las energías acumuladas en las componentes almacenadoras; asociados a esas energías se tendrán procesos que conformarán una parte de las respuestas que se observen. La forma de la relación anterior muestra cómo el método introduce explícitamente la condición inicial. En el siguiente ejemplo se muestra cómo son consideradas las condiciones iniciales: Ejemplo 2.2. Para las señales del ejemplo 2.1.: Figura 2.2 Aplicando la relación 2.4.: L df1 dt sF1 0; L df 2 dt sF2 ( 1) Las condiciones iniciales se desprenden de la Figura 2.1. Se tenía: F1 F2 1 , nótese que a pesar de tener distintas condiciones iniciales, las s transformadas de las señales son iguales. Resultan: L df1 dt 1; L df 2 dt Profesor Leopoldo Silva Bijit 2 12-07-2010 6 Teoría de Redes Eléctricas Relaciones que también pueden obtenerse de la transformada de un impulso vista en (2.3), y de las formas de ondas de las figura 2.2. Debe notarse que en las transformadas de las derivadas va incorporada la información de que las señales tienen condiciones iniciales diferentes. De 2.4, se obtiene, el valor en el tiempo t=0+: f (0 ) lim( sF ( s)) s 2.2.4. Descomposición de la respuesta Se visualizará, mediante la resolución de una ecuación diferencial, la descomposición de la respuesta que se logra aplicando la transformación de Laplace. Sea la siguiente ecuación diferencial: d 2r dt 2 3 dr dt 2r (t ) s(t ) Donde s(t) es la excitación de la red, y r(t) la respuesta observada. La aplicación de la transformación de Laplace, y un pequeño trabajo algebraico conduce a: sr (0 ) R( s ) dr (0 ) 3r (0 ) dt s 2 3s 2 E ( s) s 3s 2 2 Expresión en que se advierten las partes de la respuesta. Una es debida a las condiciones iniciales; la otra: a la excitación. Por ejemplo, si efectuamos E ( s) 0 , tendremos la parte de la respuesta de la red lineal, que es causada por las energías acumuladas por los elementos dinámicos, en el instante cero menos. Si se tiene una red inicialmente relajada la respuesta será: R( s ) E ( s) s 3s 2 2 Análisis de la respuesta a estado cero. Supongamos que la forma de onda de la excitación estuviera descrita por: s(t ) sen(t ) Entonces: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. E (s) 7 1 s 2 1 Y se tendrá: R( s ) (s 2 1 3s 2) (2.5) Expresión que puede descomponerse según: R( s ) As B s2 1 Cs D s 3s 2 (2.6) 2 Los coeficientes A, B, C y D se calculan mediante la comparación de los coeficientes de los numeradores de 2.5 y 2.6 . Resulta: R( s) 3 1 s 10 10 s2 1 3 8 s 10 10 s 2 3s 2 (2.7) Relación que permite estudiar partes de la respuesta a estado cero de la red eléctrica lineal. Una parte es debida al brusco cambio de la excitación, y describe los cambios debidos a la particular estructura interconectada que conforma la red. Como se verá esta parte tiende a cero para tiempos grandes. La otra parte está asociada, como puede verse observando los denominadores de 2.6 y 2.7 , al tipo de excitación; esta componente estará asociada a una forma de onda sinusoidal periódica de igual frecuencia que la excitación. Se observa que el método de la transformación de Laplace permite obtener conclusiones acerca de las partes de la respuesta. Más estudios acerca de este tema se realizan en asignaturas de Sistemas Lineales. 2.2.5. Operatoria Existen dos problemas prácticos asociados al método de la transformación de Laplace aplicada al estudio de redes eléctricas. Son los problemas de Transformación y de Inversión. Se denomina Transformación a todos los procedimientos que permiten pasar de expresiones temporales a funciones de la variable s. Se recomienda disponer de tablas de transformadas de aquellas funciones temporales que más frecuentemente se presentan en Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 8 Teoría de Redes Eléctricas redes eléctricas; es decir: de un diccionario. Adicionalmente es útil disponer, en forma de tabla, de los teoremas relativos a la transformación; es decir: una gramática. Con la información anterior resulta cómodo y rápido el resolver el problema de la transformación. El problema de Inversión describe la dificultad de transformar una función de la variable s en expresiones temporales o señales. La inversión es, en general, un problema más difícil que el de transformación. Se recomienda aplicar, inteligentemente, los procedimientos de expansión en fracciones parciales. El aislar el tipo de fracciones que convienen en cada problema particular, dependerá de la experiencia que se logre tras resolver un gran número de problemas; la aplicación inteligente, demanda entonces: habilidad operatoria, el recuerdo de dificultades similares del método empleado en este caso, concentración para efectuar desarrollos algebraicos sin cometer errores, etc. Conviene adquirir habilidad en el tratamiento de señales sinusoidales, de exponenciales, de sinusoidales amortiguadas exponencialmente, escalones, ramplas, impulsos delta de Dirac. Por ejemplo, algunos elementos útiles para conformar un diccionario serían: L eat cos(bt ) s a ( s a)2 b2 (2.8) L eat sen(bt ) b ( s a)2 b2 (2.9) Ejemplo 2.3. Determinar i t para t mayor que cero, para la red de la Figura 2.3. Figura 2.3 Donde: e(t ) 12sen(5t ) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 9 L 1 R 6 C 0, 04 Condiciones iniciales: vc (0 ) 1 i (0 ) iL (0 ) 5 Solución: a) Formulación Aplicando LVK : e(t ) u (t ) di dt Ri L 1 C t 0 i( )d vc (0 ) Planteando de esta manera, se incorporan las condiciones iniciales sin dificultad. b) Transformación Resulta, aplicando las reglas gramaticales de la transformación de Laplace: L 12sen(5t ) u (t ) sI 1 ( sI 5) I 0, 04s 1 s Agrupando convenientemente: I (s) s ( s 3) 2 4 2 60 ( s 52 ) 2 5s 1 ( s 3) 2 42 excitacion I (s) I xo (s) I eo (s) c) Inversión c1) Conviene la siguiente expansión en fracciones parciales, para la respuesta a estado cero: I xo k1 5 s 52 2 k2 4 ( s 3)2 42 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 10 Teoría de Redes Eléctricas Igualando los numeradores de las expresiones para I xd , se obtienen: 4k2 5k1 30k1 (coeficiente de s 2 ) 0 (coeficiente de s1 ) 60 100k2 1251 0 (coeficiente de s 0 ) Resultan: k1 k2 2 5 , una de las expresiones permite “chequear” los valores determinados. 2 Entonces: ixo (t ) 5 3t e sen(4t ); para t 2 2sen(5t ) 0 . Nótese que el primer término es periódico, y se denomina parte estacionaria o forzada. El segundo término es transitorio, en el sentido de que tiende a cero para valores grandes de la variable independiente tiempo. Obsérvese que la primera parte o respuesta en estado estacionario podría haberse calculado, aplicando transformación fasorial, para excitaciones sinusoidales, en estado estacionario, según: Figura 2.4 I est 12 0o 6 5j 5j 2 0o iest (t ) 2sen(5t ) Se empleó transformación fasorial con referencia seno. Adviértase que la red está en 5. resonancia para la frecuencia Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 11 c2) Para I eo , se advierte que resulta cómodo expresar: 5( s 3) ( s 3)2 42 I eo ieo (t ) 5e 3t 4 4 ( s 3) 2 42 y entonces, se tiene: cos(4t ) 4e 3t sen(4t ) para t>0- Finalmente, i ieo ixo i 2sen(5t ) 5e 3t cos(4t ) 6,5e 3t sen(4t ) para t>0-. Donde la parte estacionaria corresponde a: iest 2sen(5t ) Y la parte transitoria, corresponde a: itran 5e 3t cos(4t ) 6,5e 3t sen(4t ) c3) Observaciones: 1. Nótese que se denomina transitoria a toda forma de onda que tienda a cero para tiempo tendiendo a infinito. Estos términos se presentan, generalmente, en redes en las que existen procesos de oscilación con disipación. 2 2. Los términos temporales asociados a las fracciones con denominador ( s 3) se denominan frecuencias naturales de la red. 42 , Estos términos dependen de los valores de las componentes de la red y de las condiciones iniciales. Mayor profundidad conceptual se desenvuelve en cursos de Sistemas Lineales. 2.3 MÉTODOS DE FORMULACIÓN EMPLEANDO TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. 2.3.1. Introducción Se desea desarrollar técnicas que permitan escribir fácil y directamente el sistema algebraico de ecuaciones, que representa a una red eléctrica lineal sometida a excitaciones causales, en función de las variables de la transformación de Laplace. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 12 Teoría de Redes Eléctricas La fundamentación es enteramente similar a la desarrollada en los puntos 6 y 7 del capítulo Redes Sometidas a Excitaciones Sinusoidales en Estado Estacionario, estudiados en Teoría de Redes Eléctricas I. Se procederá como sigue: Primeramente se describirán las componentes elementales mediante impedancias y admitancias en función de la variable s, estableciendo símbolos adecuados. Luego se tratan las leyes de interconexión, las componentes almacenadoras, y las fuentes en el dominio de la variable s. Posteriormente se discuten las técnicas que permiten construir diagramas de redes en el dominio de s. Finalmente se desarrollan métodos de formulación directa de las ecuaciones de una red, apoyándose en la inspección visual de los diagramas. 2.3.2. Impedancia y Admitancia Para una componente pasiva e inicialmente relajada se definen: Z ( s) I ( s) (2.10) I ( s) Y ( s) V ( s) (2.11) V ( s) Figura 2.5 Donde: V e I son las transformadas de Laplace de las variables terminales de una componente pasiva relajada inicialmente. Z ( s) e Y ( s) son la impedancia y admitancia, en el plano s, de la componente. Se suelen emplear los siguientes símbolos: Figura 2.6 Para las componentes elementales, se tienen: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. Z (s) Y ( s) 13 R 1 R Ls 1 Ls 1 Cs Cs Figura 2.7 Relaciones que pueden demostrarse sacando transformada de Laplace a las relaciones de equilibrio temporales para las componentes elementales, y luego comparando con la definición de Z e Y . 2.3.3. Leyes de interconexión Debido a la linealidad de la Transformada de Laplace, las leyes de Kirchhoff pueden visualizarse, analítica y gráficamente, según: i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0 I1 ( s) I 2 ( s) I 3 ( s) 0 (2.12) Figura 2.9 Figura 2.10 v1 (t ) v2 (t ) v3 (t ) 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit V1 ( s) V2 ( s) V3 ( s) 0 12-07-2010 (2.13) 14 Teoría de Redes Eléctricas 2.3.4. Fuentes independientes Se emplean los siguientes símbolos: Figura 2.11 Figura 2.12 2.3.5. Componentes almacenadoras. Condiciones iniciales. a) Inductor Se tienen: Con vL L iL 0 diL dt (2.14) 0 Figura 2.13 Sacando transformada de Laplace a la relación de equilibrio (2.14), se logra: VL ( s) sL I L ( s) LiL 0 (2.15) Despejando I L ( s) , se obtiene: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. I L ( s) VL ( s) sL 15 iL 0 s (2.16) Interpretando (2.15) mediante LVK y empleando la definición de impedancia de una componente relajada, se logra el siguiente símbolo que recuerda gráficamente la relación. Figura 2.14 En la figura 2.14 se advierte que las condiciones iniciales han sido incorporadas como fuentes. Más adelante se desarrollará un procedimiento similar en redes con interruptores. Procediendo con (2.16) en forma similar, pero basándose en LCK y en la definición de admitancia, se obtiene: Figura 2.15 Observaciones: 1. Nótese que las redes son equivalentes, ya que representan la misma ecuación. Además puede establecerse una comparación con los modelos equivalentes en el dominio del tiempo, vistos en Teoría de Redes I. 2. Adviértase que los conceptos de impedancia y admitancia en la variable s permiten las mismas ventajas de manipulación algebraica y de representación simbólica simplificada, que las definiciones de impedancia y admitancia complejas, estudiados para redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. b) Condensador Procediendo en forma similar al punto 2.3.5.1, se tienen: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 16 Teoría de Redes Eléctricas ic C Con vc 0 dvc dt (2.17) 0 Figura 2.16 (2.18) I c ( s) Cs Vc ( s) Cvc (0 ) Vc ( s) I c ( s) Cs vc (0 ) s (2.19) Figura 2.17 Figura 2.18 Observaciones: 1. Nótese las referencias para las fuentes. 2. Obsérvese que una fuente constante en s, equivale a una fuente con un impulso en el tiempo. Y que una fuente con un escalón en el tiempo le corresponde una fuente proporcional a 1/s. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 17 2.3.6. Diagramas de redes en el plano s Dado el diagrama de una red en el dominio del tiempo, es sumamente sencillo obtener el diagrama en el plano s, y viceversa. La ventaja de estos diagramas es que facilitan la formulación de ecuaciones y la visualización del problema en el dominio de la variable s. Ejemplo 2.4. Para el siguiente diagrama temporal, que representa una red inicialmente relajada, determinar el diagrama de la red en el plano s. Figura 2.19 Se tiene el siguiente diagrama en s, mediante la transformación de cada elemento y de las variables: Figura 2.20 Entonces, aplicando teoremas de equivalencia, puede calcularse: Z ( s) V I 1 R Cs 1 Ls Ejemplo 2.5. Los siguientes diagramas representan la misma red. Con: iL (0 ) a vc (0 ) b Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 18 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.22 Figura 2.23 En el trabajo práctico con redes es importante destacar que en los diagramas en el plano s, pueden aplicarse las mismas técnicas vistas en Redes Eléctricas I para los diagramas en el dominio del tiempo. Es posible aplicar: superposición, Thevenin, Norton, equivalencias, divisores, sumas serie y paralelo, métodos de formulación, etc., etc. 2.3.7. Relación con redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. Los diagramas de redes en el plano s, pueden ser modificados para estudiar la conducta en estado estacionario. Basta eliminar el efecto de las fuentes asociadas a las condiciones iniciales y cambiar s por jw; además se agrega un punto bajo las variables. Esta idea puede ser aplicada con ventajas en el tratamiento algebraico de redes en estado estacionario; por un lado se logra una notación más general, ya que se pueden tratar redes con excitaciones causales o sinusoidales; por otro lado, los desarrollos para cálculos de impedancias equivalentes son más simples de efectuar sin trabajar con números complejos, y sólo terminado el proceso algebraico se reemplaza s por jw. 2.3.8. Método nodal. Formulación directa matricial. Dada una red eléctrica, mediante la aplicación del método nodal se obtienen las ecuaciones que describen la conducta de la red, en el dominio del tiempo. Aplicando a esas ecuaciones integro-diferenciales la transformación de Laplace, se obtiene un sistema algebraico de ecuaciones, en la variable compleja s. Mediante la expresión matricial de esas ecuaciones la conducta de la red, en el plano s, queda descrita según: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 19 y11 ( s ) y12 ( s ) y1n ( s ) v1 s I g1 ( s ) J1 ( S ) y21 y22 y2 n v2 Ig2 J2 yk 1 yk 2 ykn vk I gk Jk yn1 yn 2 ynn vn I gn Jn (2.20) La expresión anterior puede escribirse en forma abreviada según: [Yn ] V ] I g ] J ] nxn nx1 nx1 (2.21) nx1 Se ha indicado entre paréntesis redondos las dimensiones de las matrices. Las matrices columna también se denominan vectores; por lo tanto V , que describe las incógnitas, puede interpretarse como vector de voltajes de nodo a tierra. Nuestro interés es desarrollar un método que nos permita escribir directamente cada uno de los elementos de las matrices mediante la inspección visual del diagrama de la red, en el dominio de la variable s. Para esto estudiaremos el renglón k-ésimo de la matriz; o sea, se analizará la ecuación asociada al nodo k de la red: yk1v1 yk 2v2 ... ykk vk ... ykn vn I gk Jk (2.22) La red descrita tiene n 1 vértices, por lo tanto existen n nodos. Los Vk , con k método. 1, 2,... n, son voltajes de nodo a tierra; es decir, son las incógnitas del El renglón k-ésimo y la ecuación recién planteada están asociadas al nodo k. Nótese que cada una de las ecuaciones está asociada a un nodo. Nuestro interés es poder escribir, mediante inspección visual, los siguientes términos: yk1' yk 2 ..., ykk ,... ykn ' I gk , J k Supongamos que el nodo k tenga las siguientes componentes conectadas a él: Red en el dominio del tiempo Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 20 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.24 Red en el plano s. Figura 2.25 Planteando LCK, y orientando como positivas las corrientes que salen del nodo se tiene: I ka I kb I kc I kd 0 (2.23) Nótese que esta elección implica, como se verá luego, que el coeficiente de VK o sea : ykk tenga signo positivo. Aplicando relaciones terminales: Cs Vk Va Cvc 0 G Vk Vb (2.24) 1 Vk Vc Ls iL (0 ) If s 0 Arreglando la ecuación de tal modo que todos los términos asociados a las fuentes de corriente queden en el lado derecho, y factorizando, se tendrá: Cs G 1 Vk Ls CsVa GVb 1 Vc Ls If iL (0 ) Cvc 0 s (2.25) Observando detenidamente la ecuación anterior, podremos sacar algunas conclusiones generales, a pesar de haberla escrito para un caso particular. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 21 Términos de renglón k. Debe notarse que en la ecuación k sólo aparecen valores asociados a las componentes conectadas al nodo k. Por lo tanto, la inspección visual debe enfocarse en esos componentes para el reconocimiento de los términos que se desea escribir. Vectores de excitación. Se denomina vectores de excitación a I g ] y a J ] , debido a que incorporan el efecto de las fuentes de corriente. Nótese que en el lado derecho de la ecuación (2.22) aparecen los efectos de las componentes activas (fuentes de corriente) conectadas al nodo k. En la (2.25) algunas aparecen con signos más; otros con signo menos. Adviértase que las fuentes que “llevan corriente” al nodo k aparecen con signo positivo. Las fuentes que “sacan corriente” del nodo aparecen con signo negativo. Se introducen con un significado especial los verbos llevar y sacar, así suelen usarse en electrónica; hacemos notar que es más preciso referirse a llevar o sacar cargas que corriente. Las palabras llevar y sacar tienen, en sí mismas, asociada la idea del movimiento; la corriente también está asociada a movimiento, por esta razón hablar de “llevar corriente” es, en cierta forma, redundante. Entonces, resumiendo simbólicamente, los signos están dados por: Figura 2.26 Vector de excitación independiente. Se denomina así el vector I g . Al elemento del k-ésimo renglón Igk , se le llama: excitación independiente equivalente del nodo k. En Igk se incorpora el efecto de la totalidad de las fuentes independientes de corriente conectadas al nodo k , y que no están asociadas a las condiciones iniciales. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 22 Teoría de Redes Eléctricas Vector (de excitación) de condiciones iniciales. Se llama así a J ] . Y está constituido por las fuentes de corriente que representan las energías almacenadas en el instante cero menos. Matriz de admitancia nodal. Se denomina así a [Yn ] . Sus elementos tienen dimensiones de admitancia; se agrega nodal para recordar que está asociada al método de formulación de igual nombre. Se tienen dos tipos de elementos; los de la diagonal principal y el resto. ykk se denomina: coadmitancia propia del nodo k. Es igual a la suma de las admitancias conectadas al nodo k . ykl se denomina: coadmitancia común a los nodos k y l . Es igual a: menos la suma de la admitancias conectadas entre k y l . Debe observarse que ykl ylk ; es decir, la matriz Yn es simétrica. Ejemplo 2.6. Formular las ecuaciones que caracterizan a la siguiente red, mediante la aplicación del método recién descrito. Figura 2.27 Resultan aplicando las reglas dadas en 2.3.8. G3 1 Ls 1 Ls 1 Ls G3 0 a s a s 0 bC If v1 + G1 G2 G3 Profesor Leopoldo Silva Bijit G2 1 Ls G2 v2 G2 G3 Cs v3 12-07-2010 = Redes sometidas a excitaciones causales. 23 2.3.9. Método de mallas. Formulación directa matricial. Se desea desarrollar un procedimiento para escribir directamente las ecuaciones, que describan la conducta de una red eléctrica, obtenidas aplicando el método de mallas. Es decir, se desea poder determinar los elementos de las siguientes matrices mediante la inspección visual del diagrama de la red: [ Z m ] I ] Eg (2.26) F] Donde: [Zm ] I] Eg ] F] es la matriz de impedancias del método de mallas. es el vector de las corrientes de mallas. es el vector de excitación independiente. es la excitación causada por el estado energético inicial. Estudiaremos la secuencia de pasos que debe darse para escribir una ecuación. Sea esta ecuación la asociada al renglón k de la matriz Z m . Figura 2.29 Con: iL (0 ) a y vC (0 ) b Aplicando LVK , y considerando como positivas as las tensiones que son recorridas, desde la polaridad positiva a la negativa, por la corriente de malla, se tendrá: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 24 Teoría de Redes Eléctricas vab vbc vcd vda 0 (2.27) Aplicando relaciones de equilibrio: R (Ik I b ) Eg b s 1 (Ik Cs I c ) Ls ( I k I a ) aL 0 (2.28) Arreglando la ecuación de tal modo que todos los términos asociados a las fuentes de tensión queden en el lado derecho, y factorizando, se tendrá: R 1 Cs Ls I k RI b 1 Ic Cs LsI a Eg b aL s (2.29) Observaciones: En la ecuación asociada a la malla k sólo intervienen las componentes conectadas a esa malla. zkk la copedancia propia de la malla k , es igual a la suma de las impedancias que forman la malla k . zkl copedancia común a las mallas k y l ; está dada por zkl impedancias que son comunes a las mallas k y l ). Signo = { zlk signo (suma de las +1 Si las corrientes de mallas I k e I l tienen direcciones iguales a través del elemento común. -1 Si recorren el elemento común en direcciones opuestas. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 25 Figura 2.30 b Las fuentes de tensión conectadas en la periferia de la malla k constituyen los elementos Egk y Fk . La determinación del signo de cada fuente de tensión puede efectuarse con la ayuda de los siguientes símbolos: Figura 2.31 Ejemplo 2.7. Para la red inicialmente relajada, determinar por inspección visual las ecuaciones de mallas: Figura 2.32 Solución: Z1+Z2 Z2 0 I1 Z2 Z1+Z3 Z3 I2 0 Z3 Z3+Z4 I3 0 = Eb- Ea Eb Casos especiales: Los algoritmos descritos, para la determinación directa de los elementos de las matrices, son los suficientemente generales para ser aplicados a la casi totalidad de los casos. Sin embargo, suelen presentarse casos especiales; en estas circunstancias se recomienda revisar los distintos pasos de la secuencia que constituye el método, y detectar cuál es la modificación o consideración que debe efectuarse para superar la dificultad especial. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 26 Teoría de Redes Eléctricas Por ejemplo, en caso de tener fuentes dependientes se recomienda, en general, tratarlas como fuentes independientes, y sólo en la última etapa –una vez escritas las matricesreemplazarlas por expresiones en función de las variables de interés. Otro caso especial es el tratamiento de inductores acoplados en el método de mallas. Caso i) Los inductores acoplados pertenecen a una misma malla. Puede comprobarse, aplicando LVK en la malla k y siguiendo los pasos del método, que la única modificación se presenta en la copedancia propia de la malla k , queda: Figura 2.33 zkk L1s L2 s 2Ms Z1 Z 2 (2.30) Caso ii) Los inductores acoplados están en mallas diferentes. Figura 2.34 Preocupándonos sólo del efecto debido al acoplamiento de la malla l sobre la malla k , se tendrá: Z kl Ms (2.31) En estos casos deberá ponerse especial cuidado en los signos de los elementos que contienen M. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 27 También deberá desarrollarse una técnica particular para el tratamiento de inductores acoplados en el método nodal. En este caso la dificultad reside al aplicar la relación de equilibrio. 2.4. EL ESTADO DE UNA RED. Se estudiarán algunos aspectos teóricos relativos a las energías almacenadas por los elementos dinámicos de una red eléctrica lineal. 2.4.1. Grado de complejidad de una red eléctrica. Este concepto permite determinar, mediante la inspección visual del diagrama de la red, el orden de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de alguna de las variables de la red. Definición: El orden o grado de complejidad de una red eléctrica es igual al número de condiciones iniciales independientes que deben ser especificadas para obtener la solución. Es evidente que el grado de complejidad no es mayor que el número de elementos dinámicos de la red; a lo sumo podrá ser igual a ese número. A continuación se analizará cuándo se producen dependencias o relaciones entre los valores iniciales de las componentes almacenadoras de energía. Existe dependencia entre condiciones iniciales, si existe alguna ecuación que las relacione. Si existe un circuito formado solamente por condensadores y fuentes de tensión independientes, se tendrá una ecuación LVK que relaciona los valores instantáneos de los voltajes en los condensadores del circuito. Si existe un conjunto de corte formado solamente por inductores y fuentes de corriente independiente, se tendrá una ecuación LCK que establece dependencia entre los valores iniciales de las corrientes, en los inductores que constituyen el conjunto de corte. Las condiciones topológicas anteriores se denominan degeneraciones. Debe notarse que las relaciones son válidas durante el intervalo en que se tenga los circuitos de condensadores o los conjuntos de corte de inductores. Se hace esta observación para redes que contengan interruptores. Entonces, el grado de complejidad de una red eléctrica formada por la interconexión de resistencias, inductores, condensadores y fuentes independientes es igual al número de elementos dinámicos menos el número de degeneraciones. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 28 Teoría de Redes Eléctricas Ejemplo 2.8 Figura 2.35 Elementos dinámicos: Condensadores Inductores Total 3 2 5 Degeneraciones: 1 Circuito con fuentes de tensión y condensadores 1 Conjunto de corte de inductores Total : 2 Grupo de complejidad = 3 Si se desea determinar la corriente i , se tendrá que establecer una ecuación diferencial. El orden de la ecuación diferencial será igual a 3, ya que el grado de complejidad es 3. 2.4.2. Redes con interruptores. Existe frecuentemente el caso de redes con interruptores, e interesa estudiar el comportamiento de la red después que se abren o cierran los contactos de los interruptores. En redes de potencia los interruptores son generalmente relés; pero también se presentan interruptores electrónicos, en forma de triacs y tiristores. En redes electrónicas estos dispositivos suelen ser transistores bipolares y de efecto de campo (FET). En un caso idealizado se supone que la apertura y cierre de contactos se produce instantáneamente; sin embargo existen una serie de fenómenos como la producción de arcos, rebotes mecánicos, resistencias finitas asociadas al contacto que suelen ignorarse en un curso de redes. El objetivo de mantener modelos simples, en los cursos básicos, es permitir la concentración en el fenómeno global y facilitar la resolución del problema. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 29 Desgraciadamente esta costumbre refuerza la idea errónea de que los modelos simples son adecuados. El problema en general puede plantearse como sigue: Se conoce la solución de una red antes de la operación de un interruptor, interesa la solución de la red después de la conexión o desconexión de los contactos de un interruptor. En los métodos clásicos se dibuja el diagrama de la red para el tiempo inmediatamente después de la operación del interruptor; se plantean las ecuaciones de la red; se determinan las condiciones iniciales después de la operación, conociendo el estado antes de la operación del interruptor. En este último punto se empleaban leyes de conservación del momentum en redes eléctricas para determinar los cambios iniciales de energía debidos a la presencia de interruptores. Luego de conocidas las ventajas de la transformada de Laplace que incluya el instante t 0 , se modela los interruptores como fuentes de tensión o corriente. Los cambios en el estado inicial, en caso que se produzcan, son reflejados por la aparición de funciones discontinuas. Si bien esta técnica considera automáticamente tanto los impulsos generados internamente como los aplicados externamente a través de fuentes, en forma simple y eficiente, tiene la desventaja de obscurecer algunos fenómenos internos característicos de la conmutación en redes dinámicas. Por esta razón se tratarán leyes de conservación de carga y enlaces de flujo, ya que de este modo se facilitará la comprensión e interpretación de resultados obtenidos matemáticamente mediante la aplicación de la transformada de Laplace. Los siguientes modelos suelen emplearse en forma idealizada: Figura 2.36 Con: ig i para t 0 o para t 0 (2.32) Y para el caso de una conexión: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 30 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.37 Con: vg v para t 0 o para t 0 (2.33) Ejemplo 2.9. Se tiene la siguiente red: Ejemplo 2.9 a Con: e 5 v(0 ) 2 C 1 Determinar i (t ) y v(t ) Solución: Entonces en el plano s, se tendrá: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 31 Ejemplo 2.9 b Ejemplo 2.9 c Resulta I ( s) 3; es decir, i(t ) 3 (t ) y también v(t ) 5u (t ) . En forma gráfica: Ejemplo 2.9 d Se muestra con línea punteada, las formas de ondas que se tendrán si se considera una resistencia en el circuito. Cuanto menor es la constante de tiempo, más se aproxima a la solución con discontinuidades. En la práctica siempre hay una pequeña resistencia, lo cual garantiza que la corriente no será infinita en t 0 . Pero si será alta, y de mayor valor cuanto menor sea la constante de tiempo. El modelo original supuesto es una idealización que no considera las resistencias Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 32 Teoría de Redes Eléctricas de las componentes reales, su solución es mucho más sencilla que el caso que considera resistencias. En el laboratorio saltará una chispa de los contactos del interruptor; el pequeño arco se produce al perforarse el aire cuando la distancia entre los contactos es tal que el campo eléctrico toma el valor de ruptura. Si se considera la inductancia parásita se tendrá la siguiente forma de onda: Ejemplo 2.9 e La escala de tiempo se ha expandido para apreciar la oscilación amortiguada. Nótese que se produce una sobretensión en t1 que difícilmente puede advertirse desde el modelo idealizado. Efectos como los anteriormente descritos han producido muchas catástrofes en diseño de equipos. Nótese que al despreciar las resistencias no se producen transientes, los cambios ocurren en el instante de la conexión solamente. Esto suele usarse, en forma aproximada, para conocer las condiciones al t 0 cuando se conocen los valores iniciales al t 0 . Sin embargo el valor de las resistencias es determinante para evaluar la conducta temporal transiente. 2.4.3. Condiciones de continuidad Las componentes dinámicas pueden tener asociadas variables discontinuas, se determinarán las condiciones en que éstas se presentan. a) Para un inductor se tiene: v Empleando tendrá: d ( Li) dt Li y resolviendo la ecuación diferencial, por separación de variables se Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 33 t (t ) (t0 ) (2.34) v( )d t0 Considerando t0 0 yt 0 se obtiene: 0 (0 ) (0 ) (2.35) v( ) d 0 En la que se advierte que si el voltaje del inductor contiene impulsos y/o sus derivadas, el enlace de flujo será discontinuo. La relación (2.35) se ha planteado en torno a t 0 ; en forma similar pueden determinarse las condiciones para otro instante. b) Para un condensador se tiene: i Se obtiene: d (Cv) ; con q Cv dt 0 q (0 ) q(0 ) (2.36) i( )d 0 La carga es discontinua si la corriente a través del condensador contiene impulsos y/o sus derivadas. Las relaciones tienen su análogo mecánico. Considerando: f d (mv) dt Es decir, el momentun es una función continua si no se aplican impulsos de fuerza. Las relaciones (2.35) y (2.36) pueden plantearse en el plano s, diciendo que V ( s) e I ( s ) , respectivamente, deben ser fracciones propias. Si se expresan como cuociente de polinomios, el grado del denominador debe ser, a lo menos, mayor en uno al grado del numerador. Ejemplo 2.10 Sea V ( s) s 5 el voltaje en un inductor. s 3 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 34 Teoría de Redes Eléctricas Determinar si la corriente en t 0 es o no una función continua. Solución: V ( s) s 3 s 3 2 s 3 1 2 s 3 Entonces: v(t ) (t ) 2e 3t u (t ) Y de (2.35), se tendrá: i(0 ) i(0 ) 1 L En la que se advierte la discontinuidad de la corriente en el instante t 0 2.4.4. Leyes de Conservación. 2.4.4.1. Conservación de la carga. El aumento de la carga encerrada dentro de un volumen debe ser igual a la corriente que entra al volumen. Es decir: i dq dt (2.37) Una aplicación importante de esta relación es cuando la carga encerrada dentro del volumen no varía en el tiempo; entonces se tiene la ley de corrientes de Kirchhoff. Ejemplo 2.11. En la siguiente red se tiene un condensador; en este dispositivo se mantienen cargas separadas de igual magnitud, pero de diferente signo. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 35 Figura 2.38 a Cuando v es positivo, la carga q asociada a la placa correspondiente a la polaridad positiva, es positiva; y viceversa. a) Aplicando la ley de conservación, para la Figura 2.38b, se obtiene la siguiente relación: i dq dt Figura 2.38b b) Para la Figura 2.38c, se tiene: i1 i2 d (q q) dt 0 i1 i2 Es decir: Figura 2.38c c) Para la Figura 2.38d, se obtiene: i d ( q) ; igual expresión que en i) dt Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 36 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.38 d Ejemplo 2.12 Plantear la ecuación de conservación de la carga para el volumen que se indica: Figura 2.39.a Debe notarse que en redes eléctricas concentradas, los modelos de las componentes no dependen de variables espaciales. Por esta razón el volumen debe entenderse como las componentes que quedan encerradas dentro de la superficie que define un conjunto de corte. Figura 2.39b Para la resistencia se tiene: i1 i1 dq ; es decir q=cte. dt Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 37 Si hubiera una carga constante, dentro del volumen VR , emanarían líneas de campo eléctrico del volumen. Esas líneas terminarían en otras cargas fuera de VR . Y en ese caso se podría definir un condensador. Pero el modelo del resistor ideal sólo contempla el efecto Joule. Por esta razón tendremos q 0 . Análogo razonamiento puede aplicarse al inductor y a fuentes de tensión y de corriente. Entonces, para la Figura 2.39.a, resulta aplicando la ley de conservación de la carga: i1 i2 d (q1 q2 ) dt La carga dentro de V, es decir, (q1 q2 ) , aumenta en los instantes que (i1 i2 ) es positiva. De esta condición de conservación de carga, puede obtenerse la condición para la continuidad de la carga total. La carga total es discontinua en los instantes en que i1 o i2 contienen impulsos o sus derivadas. Cuando se tiene un conjunto de corte formado solamente por condensadores la carga total encerrada es constante. Ejemplo 2.13 Para el caso indicado, en la Figura 2.13, se tiene: 0 d ( q1 q 2 dt Es decir: q1 q2 q3 q3 ) constante Que al ser derivada implica LCK en el nodo. i1 i2 i3 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 38 Teoría de Redes Eléctricas 2.4.4.2. Conservación del flujo enlazado por un circuito. En teoría de redes no suele tratarse con detalle la variable enlace de flujo. Esto dificulta la aplicación de la ley de la conservación del flujo enlazado por un circuito; para subsanar esto se deducirá a partir de la ley de Faraday algunas relaciones que serán útiles para manipular la variable enlace de flujo. Ley de Faraday Para un camino cerrado C s que se apoya en una superficie S, la ley de Faraday puede escribirse: E dl Cs d dt (2.38) B da S Donde d y da están relacionados por la ley de la mano derecha: si se colocan los dedos, de la mano derecha, en la dirección de d , el pulgar indica la dirección de da . Figura 2.40 El flujo magnético que atraviesa la superficie se define como el flujo enlazado; entonces la (2.38) queda: Ed Cs d dt (2.39) Y será positivo en aquellos instantes en que el flujo magnético, a través de S, tenga igual dirección que la dirección asumida para el diferencial de área da . Aplicación a un inductor Nos concentraremos en evaluar el lado izquierdo de (2.39), no importando quien produzca . Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 39 Figura 2.41 El camino cerrado CS , recorre un trecho en el aire entre los puntos denominados a y b . El resto del circuito está definido por el conductor que define el enrollado. En el supuesto que todas las líneas magnéticas están concentradas dentro del enrollado, tendremos que fuera de esta zona el campo eléctrico es irrotacional o conservativo; en este caso pueden definirse como voltajes las integrales de la línea de campo eléctrico. Tendremos: b Ed va vb (2.40) vab a En los instantes en que va es mayor que vb , el campo eléctrico tiende a estar en igual dirección que d . Es decir, el campo eléctrico apunta en la dirección en que disminuye el potencial. La explicación anterior es sólo con fines de aclaración, ya que la relación (2.40) es suficientemente precisa en su significado. El resto de la integral se efectúa por dentro del conductor. En éste rige: J (2.41) E Que es la ley de Ohm para un conductor lineal. En redes se suponen conductores filamentarios con una corriente i: i (2.42) J A Donde A es la sección del conductor filamentario. Entonces: J d Ed bca bca Profesor Leopoldo Silva Bijit il A (2.43) 12-07-2010 40 Teoría de Redes Eléctricas Donde l es el largo del conductor, y se ha supuesto distribución homogénea de la densidad de corriente. Si se define: R 1 A (2.44) Como la resistencia del conductor se tendrá, reemplazando 2.43 y 2.40 en (2.39) vab d dt Ri (2.45) Debe notarse que i tiene igual dirección de referencia que la asumida para el diferencial de camino d . En física se denomina fuerza electromotriz a la integral de línea del campo eléctrico. Entonces: vab (2.46) Ri La fem es una cantidad escalar asociada al camino cerrado, y tiene dimensión igual a la variable voltaje. Entonces tenemos que la ley de Faraday puede escribirse en general, según: d dt (2.47) Figura 2.42.a Nótese que las referencias para las variables están relacionadas por la ley de la mano derecha. Resulta la referencia para la fem igual a la dirección de referencia para la corriente. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 41 En teoría de redes, el modelo del inductor no contempla los efectos debidos a la resistencia del conductor. El siguiente esquema ilustra el modelo de un inductor con las pérdidas óhmicas concentradas fuera: Figura 2.42 b Si se desprecia la resistencia, o bien si se supone un conductor perfecto sin pérdidas se tendrá en la (2.46), haciendo R 0 : (2.48) vab En la relación (2.48) se iguala un voltaje entre terminales al valor de la fem asociada al camino cerrado. Esto ha producido innumerables confusiones en las aplicaciones de la ley de Faraday. Por esta razón y dentro de un punto de vista de redes eléctricas, definiremos las variables con sus referencias según: Figura 2.43 v d dt (2.49) Donde v es el voltaje inducido como reacción al campo magnético variable. Nótese la dualidad de la relación con la definida en (2.37). La referencia para el enlace de flujo está relacionada con la de la corriente según la ley de la mano derecha. Si se coloca el pulgar derecho en el sentido de referencia asumido para , la dirección del resto de los dedos indica el terminal con polaridad negativa del voltaje. Inductor Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 42 Teoría de Redes Eléctricas En el caso de la autoinductancia, el enlace de flujo sólo es debida a la corriente: Figura 2.44 Se define el inductor según (2.50) Li Y aplicando la ley de Faraday, de la relación (2.49) se obtiene: v d dt d ( Li ) dt Si L es constante se tendrá finalmente: v L di dt (2.51) En la relación (2.51) ha desaparecido la variable enlace de flujo y suele usarse el siguiente símbolo: Figura 2.45 En redes concentradas conviene pensar que el flujo que enlaza al inductor es normal a la superficie en que se dibuja el inductor. Y que todas las vueltas están concentradas en una sola, como se insinúa en el diagrama siguiente: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 43 Figura 2.46 O bien: Figura 2.47 Sólo existe flujo magnético en el circuito definido por el solenoide. Sin estas consideraciones no es posible aplicar la ley de conservación del flujo enlazado que es el objetivo que se trata de lograr. Si el sentido del enrollado cambia en la figura 2.44 se tendrá: Figura 2.48 El inductor puede representarse por igual símbolo que el indicado en la figura 2.45; ya que sigue siendo válida la relación (2.51). Inductores acoplados Para las siguientes variables, que se indican en la figura 2.49. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 44 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.49 En este caso, la aplicación de (2.49), conduce a: v2 d 2 dt (2.52) Mi1 L2i2 (2.53) Pero ahora 2 El flujo enlazado es producido por ambas corrientes. Un diagrama de redes de la situación podría ser el siguiente: Figura 2.50 En el cual el efecto del campo inductor sobre el enrollado dos se modela con una fuente de tensión; y el campo de reacción debida a la circulación de la corriente es el enrollado dos se modela como inductor. Los conceptos de este punto son fundamentales en conversión electromagnética de energía. Aplicación a un circuito. Sea por ejemplo: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 45 Figura 2.51 De acuerdo con la definición de los modelos elementales de redes, la única componente que es enlazada por un flujo es el inductor. En la figura 2.51, ni la resistencia, ni el condensador, ni la fuente tienen flujos enlazado. En caso de que lo tuvieran debieran agregarse inductancias (parásitas) a los símbolos indicados. La aplicación de (2.39) al circuito ilustrado en la figura 2.51, y suponiendo que el inductor es ideal (sin pérdidas) se tendrá: b v3 Ed Ri , la integral se efectúa por dentro del conductor. Ed q ; en el condensador el campo es cero en los terminales del condensador, c a c v2 b ya que se supone conductores ideales. El campo es diferente de cero entre las placas. d 0 , si el conductor que forma el inductor es perfecto. Ed c a E d , sólo si en la zona no existen campos magnéticos. eg d Entonces, aplicando la ley de Faraday, al circuito de la Figura 2.51, se obtiene: Ri q eg c d dt Pero de la relación (2.49) se tiene que la tensión entre los terminales c y d, es: v1 d dt Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 46 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.52 Y se tienen, reemplazando las relaciones anteriores: eg v1 v2 v3 (2.54) 0 Que es la ley de Kirchhoff para el circuito. Vemos que LVK es una aplicación de la ley de Faraday a redes eléctricas concentradas. Ejemplo 2.14 Determinar ley de conservación del enlace de flujo para el circuito que se muestra. Ejemplo 2.14 a Si se define la dirección para el flujo enlazado por el circuito, saliendo del papel se tendrá, por LVK: vR vc vL1 vL 2 0 Y si suponemos el siguiente sentido de enrollamiento se tendrá aplicando (2.49) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 47 Ejemplo 2.14 b vL1 d 1 dt vL2 d 2 dt 1 2 Entonces: d dt vR vc Si vR y vc no contienen impulsos y/o sus derivadas se tendrá que continua. En este caso es válida. 1 (t ) 2 (t ) 1 (t ) 2 será una función (t ) Debe notarse, que no importando el sentido de los enrollamientos de los inductores, siempre se tendrá que: 1 2 . Esto puede comprobarse de la definición de enlace de flujo dada por el lado derecho de (2.38). El flujo enlazado es una integral de área, y ésta se calcula de acuerdo al sentido definido para da , que debe estar asociado al sentido de recorrido del camino. En los inductores, el flujo sólo existe en el círculo que define la sección recta del solenoide; y en esa zona debe definirse el diferencial de área según el sentido del recorrido. Ejemplo 2.15. Un caso especial ocurre en circuitos formados solamente por inductores. En este caso el flujo total enlazado será constante. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 48 Teoría de Redes Eléctricas Ejemplo 2.15 Puede comprobarse, que no importando el sentido de enrollamiento se tendrán: Donde: 1 2 5 k1 3 4 5 k2 k1 y k2 son constantes. 2.5. GENERALIZACIÓN DE REDES EMPLEANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE. 2.5.1. Introducción Aprovechando el grado de generalidad alcanzado con la introducción de la transformación de Laplace aplicada al estudio de redes eléctricas, se desarrollarán algunos aspectos teóricos generales. El conocimiento de algunas características generales de las redes eléctricas, nos permitirá entender mejor el comportamiento y las posibles utilizaciones de estructuras interconectadas que suelen presentarse en los ramos de ingeniería. Basaremos la deducción de las propiedades generales en los métodos de análisis, que hemos denominado de formulación directa. Una red eléctrica puede ser representada analíticamente mediante un sistema algebraico de ecuaciones en la variable compleja s . Cualquiera que sea el método de formulación que se emplee, se llegará a expresiones con la siguiente forma: F11 F1n R1 s E1 Fn1 Fnn Rn s En (2.55) Matriz de la red Profesor Leopoldo Silva Bijit Respuestas Excitaciones 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 49 Empleando notación matricial: (2.56) [ F ] R] E ] Que puede representarse según: Figura 2.53 Nótese que la representación matricial, permite estudiar una red compleja como si fuera una componente elemental; esto se visualiza con claridad en el símbolo gráfico de la red, en la figura 2.53. El vector de excitación puede ser descompuesto en términos de los generadores independientes y de las fuentes que representan las condiciones iniciales. El vector de respuestas, representa las incógnitas de los distintos métodos. 2.5.2. Redes consistentes y no consistentes En un caso general, la solución de la red será: (2.57) R] [ F ] 1 E ] Se dice que una red es consistente si tiene solución única. Es decir, si el determinante de [ F ] es distinto de cero. Que también puede expresarse diciendo que [ F ] debe ser no singular. Puede demostrarse que una red lineal e invariante, formada por resistores, condensadores e inductores tendrá solución única para cualquier conjunto dado de condiciones iniciales y para cualquier conjunto admisible de excitaciones independientes aplicadas. Si la red contiene fuentes dependientes puede que no exista una solución única para ciertos valores de los parámetros de la red. Debe recordarse, en estos casos, que el diagrama de la red se establece a partir de un dispositivo físico; y si al modelar se desprecian ciertos efectos, pueden presentarse diagramas que acepten múltiples soluciones. Se enfatiza que el aparato físico sólo tendrá solución única. La detección de una inconsistencia refleja un modelo incompleto. Ejemplo 2.16 Red relajada inicialmente Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 50 Teoría de Redes Eléctricas Ejemplo 2.16 Aplicando método de las mallas: 4s 6s I1 0 6s 9s I2 0 Se tiene matriz de la red singular. Luego la red es inconsistente, y acepta soluciones múltiples. Por ejemplo: i1 (t ) 3 f (t ) i2 (t ) 2 f (t ) Serán soluciones para cualquier f (t ) que cumpla con f (0) con las condiciones iniciales. 0 , con esto último se cumple Como puede notarse, repasando conceptos físicos, debe tenerse: M2 L1 L2 Esto debido a que el acoplamiento magnético no es perfecto; es decir, algunas líneas magnéticas no enlazan a ambos solenoides (por ejemplo: algunas se cierran sólo abrazando a un enrollado). Si se construye el transformador empleando fierro de la mejor calidad y enrollando en forma especial los devanados, es posible lograr un factor de acoplamiento muy cercano a uno, pero siempre menor. M K L1 L2 ; K 1 En la red del ejemplo 2.16, se tiene M 2 L1 L2 , lo que produce la inconsistencia. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 51 2.5.3. Forma general de la respuesta Según se vio en (2.56), una red eléctrica queda representada analíticamente por: [ F ] R] E ] . Si la red es consistente, se tendrá que las respuestas quedan determinadas por: R] [ F ] 1 E ] Existen procedimientos diversos para expresar la respuesta según la forma anterior. Todos ellos están basados en la inversión de la matriz de la red F. Se recuerda que el problema es obtener la solución del sistema simultáneo de ecuaciones. Expresando detalladamente: R1 RK Rn D Donde: D jk D11 D21 D D Dn1 D D1k D Dnk D D1n D Dnn D E1 EK (2.58) En det[ F ] Cofactor jk de [F] ( 1) j k M jk M jk es el menor complementario de [ F ] ; resulta de eliminar el renglón j y la columna k. Nótese los subíndices, y repase la definición de matriz inversa y de traspuesta. Podremos expresar cualquier respuesta de la red, según: RK D1k E1 D Dnk En D n D jk E j j 1 D (2.59) Si expresamos con Egj a los generadores independientes, con ECIj a las fuentes asociadas a las condiciones iniciales del renglón j, tendremos: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 52 Teoría de Redes Eléctricas D jk n Rk j 1 D n D jk j 1 D Egj RK xo (2.60) ECIj RKeo En la relación (2.60) se advierte la descomposición de la respuesta en partes; a estado cero y a entrada cero. Nótese que ambas partes tienen iguales denominadores, salvo cancelaciones que pueden producirse. Se recuerda que los factores del denominador se emplean en la expansión en fracciones parciales, que posteriormente (al invertir) determinan las formas de ondas que tendrá la respuesta rk (t ) . Otros factores del denominador son aportados por las excitaciones. La expresión (2.59) es una demostración general del principio de superposición, empleado en el curso de introductorio de redes. Ya que es evidente que Rk es una combinación lineal de las excitaciones. Cada elemento de la sumatoria debe interpretarse como el aporte a la respuesta total causado por cada excitación, cuando las otras excitaciones se han igualado a cero. 2.5.4. Funciones de redes Los coeficientes de la relación lineal anterior se denominan funciones de redes. Por ejemplo: D jk D es una función de red que indica el aporte de la excitación Ej a la respuesta Rk . Debe notarse que las funciones de redes: a) Son funciones de la variable s. b) Sólo dependen de la red. Ya que son determinantes que se calculan a partir de la matriz F de la red. Y esa matriz contiene la información del tipo de componentes que tiene la red y de cómo están interconectados. Se insiste: las funciones de redes no dependen de las excitaciones; son una forma resumida de representar, desde un punto de vista externo, a la red eléctrica. Clasificación de las funciones de redes. Funciones de punto motriz Se denomina función de punto motriz o de punto de alimentación, a aquella que relacione una excitación con la respuesta en un mismo par de terminales. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 53 Ejemplo 2.17 Sea una red con solo una excitación. Ejemplo 2.17 Fa s I1 E1 Respuesta Excitacion Nótese que las variables I1 y E1 están asociadas al mismo par de terminales. De acuerdo con definiciones anteriores, la dimensión de Fa es igual que la de una admitancia. Razón por la cual se denomina función admitancia de punto motriz. Es usual también denominar a Fa s , admitancia de entrada de la red. Ejemplo 2.18 Fb ( s) E1 I1 Respuesta Excitacion Fb = Función de punto motriz = Impedancia de punto motriz = Impedancia de entrada Ejemplo 2.18 Observación: se denominan funciones de punto motriz, ya que, generalmente, en el par de terminales en los que se estudia la relación se aplica un generador. Punto motriz debe interpretarse como un punto de acceso energético a la red; o sea, a dos terminales que permitan sostener una tensión y una circulación de corriente. Funciones de transferencia Si la excitación y la respuesta están asociados a pares de terminales diferentes, la función que las relaciona se denomina: función de transferencia. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 54 Teoría de Redes Eléctricas Ejemplo 2.19 Sea una red que no tenga fuentes independientes. Ejemplo 2.19 Se puede expresar, la respuesta I 2 , según: I2 F1E1 F2 E2 F1 = Función de transferencia F1 = Admitancia de transferencias entre I 2 y E1 F2 = es admitancia de entrada, en los terminales ab Ejemplo 2.20. Para la red indicada, se tiene Ejemplo 2.20 I3 F3 I1 V2 F4 I1 F3 = Ganancia de corriente = función de transferencia entre I 3 e I1 . F4 = Impedancia de transferencia entre V2 e I1 . Ejemplo 2.21. Para la siguiente red, se tiene Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 55 Ejemplo 2.21 V2 F E1 F = Función de transferencia entre V2 y E1 = Ganancia de voltaje. 2.5.5 Red lineal Existe una forma de describir una red lineal, desde sus terminales, basándose en la relación (2.59). La red L es lineal; la red R puede ser cualquiera. Figura 2.54 Aplicando teorema de substitución por fuente de voltaje se tendrá: Figura 2.55 Y de la relación (2.59): I FV G Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 56 Teoría de Redes Eléctricas Donde F es una función de red y G es un cuociente de polinomios en s, en el cual se han reemplazado las excitaciones por sus correspondientes funciones de s. Si se aplica teorema de substitución por fuente de corriente se obtendrá: V HI J Entonces, en general: AV BI (2.61) C Donde A, B y C son funciones de S. Relación que puede representarse según: Figura 2.56 Siempre que A sea diferente de cero. Un caso particular es cuando B equivalente Thevenin de L. 0 . La red es el También, si B es diferente de cero, puede representarse L según la red Norton que se muestra: Figura 2.57 Un caso particular corresponde a A igual a cero. Si en L las fuentes son cero, o se igualan a cero, se tendrá: C 0 La relación (2.61) ha probado ser útil en desarrollos en los que interese mostrar algebraicamente que L es una red lineal. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 57 2.6. Problemas resueltos. P2.1. Transformada de Laplace para entrada cero. Para la siguiente red: Figura 2.58 Con: e(t ) sen(2t ) v(0 ) 0 i(0 ) 3 Determinar la transformada de Laplace de iR para entrada cero. Solución: En las condiciones dadas se tiene: Figura 2.59 Con: I x ( s) L[iRE 0 ] La red Norton equivalente, para la red de la Figura 2.59, es: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 58 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.60 Y aplicando un divisor de corriente se logra: I x ( s) 24s 2 6 2s 3 P2.2. Determinar la impedancia de la red Thevenin, vista por la red R. Figura 2.61 Con: iL (0 ) 3 vc (0 ) 2 ig (t ) 2t u (t ) vg (t ) 3sen(3t ) u (t ) Solución: En el plano s: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 59 Figura 2.62 La fuente controlada por una fuente de corriente puede tratarse como una fuente de tensión independiente. Haciendo cero las fuentes, se tiene: Figura 2.62 Resulta: ZT ( s ) 3 6s 1 P2.3. Determinar V ( s) Figura 2.63 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 60 Con Teoría de Redes Eléctricas i (0 ) Io v(0 ) Vo Solución: Se tienen: e v Ro v dv dt di R i L dt i C Aplicando transformada de Laplace. E V V Ro I R Ls I RC (sV V0 ) L Io Eliminando la variable I, se obtiene: V R sL E sLCVo Ro s 2 LC s L Ro LI o RC RCVo 1 R Ro P2.4. Ganancia de voltaje. Para la siguiente red, inicialmente relajada: Figura 2.64 Determinar la ganancia de voltaje. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 61 Solución. Aplicando movilidad de fuentes, y transformaciones a fuentes de corriente, se logra: Figura 2.65 Aplicando método nodal: sC2 1 R2 s(C1 C2 ) sC2 sC2 1 R1 Despejando la relación V2 / V1 , se obtiene: V2 V1 s2 s2 s s 1 R1C1 1 R1C2 1 R1C2 1 R1C1 1 R1 R2C1C2 1 R2C1 1 R1 R2C1C2 P2.5. Obtener transformada inversa de un voltaje. Para la siguiente red, determinar v(t ) Figura 2.66 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Vb Va = V1sC1 V1 / R1 62 Teoría de Redes Eléctricas Solución: Si se supone en estado estacionario antes de abrir el interruptor, se tendrá: E iL (0 ) R1 R2 vc (0 ) R2iL (0 ) Con la red, en el plano s, se obtiene: E 2C ( R1 R2 ) V ( s) 1 s2 1 2CR1 R2 s L R2 1 1 LC 2 R1 Para determinar v(t ) , se obtiene la inversa, de acuerdo con los valores numéricos. Pueden presentarse tres casos; lo que es típico en sistemas de segundo orden. P2.6. Transformada inversa de una corriente. Para la siguiente red, determinar i(t) Figura 2.67 Solución: Se tienen eg R i L i C Eg RI di vc dt dvC dt En el plano s: LsI Li(0 ) vc Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. I 63 CsVc Cvc (0 ) Entonces: vc (0 ) s 1 R Ls Cs Eg Li (0 ) I I s Eg L s2 Para eg (t ) vc (0 ) L si (0 ) R s L 1 LC E u (t ) se tienen tres tipos de soluciones, de acuerdo con los valores de los parámetros R, L y C. Las raíces del denominador están dadas por: s1,2 R 2L R 2L 2 1 LC a) Si b es real, es decir, si R s x ( s y )( s z ) L x y e z y a b 2 L , la solución puede obtenerse mediante: C yt z x e z y zt La solución consta de dos exponenciales decrecientes, con diferentes constantes de tiempo. Este caso se llama sobreamortiguado; como se verá después, una de las formas de la solución es una oscilación amortiguada, y este caso se denomina subamortiguado. El prefijo sobre insinúa que no habrá oscilación debido a un gran amortiguamiento. b) Con b 0 ; es decir, con R 2 L , se tiene una raíz doble, y la solución puede C obtenerse de: s x (s y)2 L[( x y )t 1]e yt En este caso no hay términos oscilatorios, y se denomina amortiguamiento crítico. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 64 Teoría de Redes Eléctricas c) Con b imaginario; es decir con R s x ( s y)2 z 2 Con g ( x y)2 z L arctg z2 2 L , la solución puede escribirse: C e yt sen( zt g) z x y Este caso es el oscilatorio amortiguado y se conoce con el nombre de subamortiguado. Las soluciones obtenidas son características de sistemas de segundo orden. Sobre este tema existen completos desarrollos en textos de sistemas lineales. P2.7. Red de tercer orden. Para la siguiente red, determinar I1 s . Figura 2.68 Solución: Se tienen: i1 (0 ) i2 (0 ) vg (0 ) 4 8 5 12 v1 (0 ) 4 i1 (0 ) 1, 67 v2 (0 ) vg (0 ) v1 (0 ) 3,33 v3 (0 ) 8 i1 (0 ) 3,33 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 65 Planteando las ecuaciones de la red, se tienen: vg v1 v2 2 i1 v8 4 i 2 v2 v8 v3 3 5 v3 v1 2 v1 3 v 2 i1 4 i1 i2 0 v8 5v3 i1 8 Eliminando variables: i2 , v2 y v8 se logra: 6 i1 v3 15 v3 v1 v1 5 v1 i1 4 v3 55 v3 a) vg b) 3 vg c) 8 i1 En el plano S 6 s I1 1 15s V3 V1 I1 8 I1 0 V3 2 52, 45 s 1 5s V1 4 1 55s V3 0 V1 0, 65 183,15 Despejando I1 resulta: I1 ( s) 0, 416 ( s 3 0, 0474s 2 8, 015 10 3 s 7,35 10 4 ) s( s 3 0, 432s 2 0, 076s 1,82 10 3 ) P2.8. Valor inicial. Determinar el valor inicial de la primera derivada de una función, en términos de su transformada de Laplace y del valor inicial de la función. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 66 Teoría de Redes Eléctricas Solución: Se tienen: df s F ( s ) f (0 ) dt f (0 ) lim s F ( s) L s Siempre que F ( s) sea fracción propia. Entonces: df (t ) dt t df dt lim s L 0 s lim s 2 F ( s ) s f (0 ) s P2.9. Función con retardo. s Con F ( s ) 4e 2 s2 4 Determinar f (t ) . Solución: F ( s) e s 2 22 s2 22 Entonces: f (t ) 2 sen(2t )u t 2 P2.10. Determinar constante. Se tienen: F ( s) 3s 2 17 s 47 s 3 6s 2 37 s 58 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. f (t ) ae 2t 67 bg (t ) Donde a es constante y g (t ) una función de tiempo. Determinar la constante a y la función g (t ) Solución: Sacando transformada de Laplace a f (t ) resulta: F ( s) a s 2 G( s) Entonces: a F ( s )( s 2) s Siempre que G ( s )( s 2 2) s 0 2 La ocurrencia del término e 2t garantiza que un polo de F ( s) está en s Se tiene ( s 3 6s 2 37 s 58) : ( s 2) s 2 4s 29 Entonces: a 3s 217 s 47 s 2 4 s 29 s 1 2 2s 9 , con g ( 2) s 4s 29 Resulta además G( s) 2 1 5 Lo cual asegura que: G ( s )( s 2) s 2 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 2 68 Teoría de Redes Eléctricas P2.11. Identificación de constantes. Se tiene: s 5 2( s 4s 7) L A e at sen (bt c) 2 Determinar las constantes A, a, b y c. Solución: Se tiene de trigometría: f A e at sen(bt c) L( f ) A cos c Se tiene además: s 2 A e at (cos(c)sen(bt ) sen(c) cos(bt )) b ( s a) 2 b 2 Asen(c) s a ( s a) 2 b 2 4s 7 ( s 22 ) 3 Entonces: sAsen(c) A(b cos(c) asen(c )) ( s a)2 b 2 s 2 5 2 ( s 2) 2 3 Comparando coeficientes resultan: A 2 b 3 Asen(c) 1 2 A( 3 cos(c) 2 sen(c)) 5 2 Las dos últimas implican: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. Asen(c) 1 2 A2 ( sen 2 c cos 2 c) A cos(c) 69 1 4 3 1 4 3 2 Entonces: c 30º y A 1 P2.12. Determinar un valor de una resistencia. Se tiene la siguiente red en el tiempo, inicialmente relajada: Figura 2.69 Y se conoce, para esta red, su equivalencia en el plano s. Figura 2.70 Determinar el valor de R2 . Solución: Método 1. Si s tiende a cero, se tendrá que la red equivalente en el tiempo es: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 70 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.71 Las impedancias de los condensadores, en esta condición, tienden a infinito. Han sido reemplazados por circuitos abiertos. Entonces: R2 Z (0) 1 Método 2. Calculando la impedancia de la red es términos de sus componentes, resulta: sR2 ( R1C1 R1C2 ) R2 s ( R1R2C1C2 ) s ( R1C1 R1C2 R2C2 ) 1 Z ( s) 2 Comparando coeficientes resulta también: R2 1 Y pueden determinarse: R1 1 C1 1 C2 1 Método 3. Se tiene Y 1 R2 1 1 sC2 1 1 R1 sC1 Y de la impedancia dada se tiene: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. Y Entonces: 1 3s s 2 1 2s 1 sC2 1 R1 1 1 R1 s s2 1 2s 1 sC1 sC1 1 s 1 2s s s2 71 R2 1 s 1 s s s2 C2 1 R1 1 C1 1 P2.13. Calcular corriente. Para la siguiente red Figura 2.72 Con e 3, vc (0 ) 3 determinar i Solución: Figura 2.73 Resulta: I 0; entonces, i(t ) 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 72 Teoría de Redes Eléctricas P2.14. Admitancia en s y en el dominio del tiempo. Para la red dada, determinar la red en el dominio del tiempo equivalente a la admitancia: 2 3s Figura 2.74 Solución: En el tiempo se tiene Figura 2.75 Entre c y b hay una admitancia, que puede descomponerse en dos admitancias en paralelo. P2.15. Transiente en red oscilatoria. Para la siguiente red: Figura 2.76 Con v(t ) 2 u(t ) determinar i(t ) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 73 Solución: Se tiene vc (0 ) v(0 ) 2 En el plano s: Figura 2.77 Dividiendo la corriente, resulta: I 1 3s 1 3s s 3 6 6 s 2 1 En el tiempo: i(t ) 6 sen(t ) u (t ) P2.16. Forma de onda en oscilador. Para la siguiente red: Figura 2.78 Con: 1 2 v(0 ) 2 i (0 ) Determinar i (t ) . Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 74 Teoría de Redes Eléctricas Solución: Se tiene: I (s) v(0 ) s Ls L i (0 ) 1 Cs v(0 ) s i (0 ) 2 s2 1 Es decir: i(t ) Entonces: v(0 ) sen(t ) i(0 ) cos(t ) 2 i(t ) sen(t ) 1 cos(t ) 2 P2.17. Corriente a entrada cero. Determinar la corriente i a entrada cero. Figura 2.79 Con: v1 (0 ) 3 v2 (0 ) 1 Solución: Haciendo vs 0 se tiene: Figura 2.80 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 75 Aplicando equivalencias para el sector izquierdo de la red se logra: Figura 2.81 Resulta: I eo 4s 1 4 s 11s 4 I eo A s 0, 43 2 1 4 ( s 0, 43)( s 2,32) s Con: B s 2,32 Resultan: A 0, 43 0, 25 0, 43 2,32 B 1,36 0,36 Entonces: ieo (t ) ( 0,36 e 0,43t 1,36 e 2,32 t )u (t ) P2.18. Excitación exponencial en una frecuencia natural. Para la siguiente red Figura 2.82 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 76 Teoría de Redes Eléctricas Con v(0 ) 0, 2 determinar i(t ) , e i(0 ) Solución: En el plano s Figura 2.83 Resulta: I ( s) 1 ( s 2 15s 60) 10 ( s 5)( s 2 11s 30) I ( s) (0,1s 2 1,5s 6) ( s 5)( s 5)( s 6) I ( s) 1 ( s 5)2 i (t ) te 5t 1 1 3 1 2 ( s 5) 5 ( s 6) 1 e 2 5t 3 e 5 6t u (t ) Aplicando teorema valor inicial: i(0 ) 1 10 También puede obtenerse de la expresión temporal de i (t ) P2.19. Análisis transitorio. Determinar v(t ) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 77 Figura 2.84 Solución: La tensión continua se supone conectada largo tiempo antes de t 0 ; de este modo la corriente fluye en el condensador es cero; y éste tiene una tensión vc (0 ) que puede determinarse mediante el siguiente diagrama: Figura 2.85 Se tienen: vc (0 ) 2 R i1 R i2 i1 E ; i2 R 2R E R R Resulta: vc (0 ) Para t E 6 0 , en el plano s, se tiene: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 78 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.86 I E 1 6s 1 (2 R // 3R) Cs 5E 36 R 1 5 6 RC s Con el divisor de corriente, se calcula la corriente por la resistencia, para el voltaje se tiene: V I V E 9 1 3R 2 R 2R 4R I 5 1 s Entonces para t v(t ) 2R E e 9 1 6 RC 5 0 , se tendrá: t / 6 RC / 5 u (t ) P2.20. Análisis transitorio, red de segundo orden. Para la siguiente red, determinar v(t ) Figura 2.87 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. Se tienen: 79 vc (0 ) 1 iL (0 ) 1 La red en el plano s: Figura 2.88 Aplicando método nodal: 2 s s 2 s 2 s 1 2 s Va V Resultan: Va s 1 s 2s 2 V s 2 s 2s 2 2 2 Pero, s 2 2s 2 s 1 2 1 Entonces: v(t ) e t (cos t sent )u (t ) va (t ) e t cos(t ) u (t ) P2.21. Cambio de condiciones iniciales. Determinar i2 (t ) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 1 s 1 = 1 s 80 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.89 Solución: 2 1 2 iL (0 ) 4 vc (0 ) iL (0 ) Para t 1 2 2 0 , en el plano s: Figura 2.90 Para calcular I 2 , puede escribirse la siguiente red equivalente: Figura 2.91 Resulta: I2 I2 1 1/ 5 5s 8s 3 ( s 1)( s 3/ 5) 0,5 0,5 s 1 s 3/ 5 2 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 81 Entonces: t i2 (t ) 0,5( e e 0,6 t ) u t En forma similar puede calcularse la corriente en el inductor, resulta: iL (t ) (0,5 e t 2,5 e 0,6 t 6) u t P2.22. Excitación en una frecuencia natural. Determinar i t Figura 2.91 e 5t 10 Con vg (t ) Solución: En el plano s Figura 2.92 Nótese que las condiciones iniciales han sido consideradas iguales a cero. Se tiene: I 2 s I1 2 I1 2 s ( s 1) En la siguiente red, puede calcularse I1 : Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 82 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.93 Resulta: s 1 ( s 5)( s 2 11s 30) I1 Pero ( s 2 11s 30) ( s 5)( s 6) Entonces: 1 ( s 5)2 ( s 6) I Descomponiendo en fracciones parciales: 1 ( s 5)2 I 1 1 ( s 5) ( s 6) Resulta: i(t ) (t 1) e 5t e 6t u t Debe notarse que la impedancia de entrada tiene un polo igual al de la excitación. Esta coincidencia origina el término proporcional a t en la respuesta. P2.23. Exponencial amortiguada. Se tiene la siguiente red: Figura 2.94 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. Con ig 83 3 u (t ); R 1 vc (o ) 0; C 1 iL (0 ) 0; L 1 4 Determinar vc (t ) . Solución: Para 0 t 1 Vc 1 3 s s 1 s1 4 s 43 s ( s 2) 2 a s b ( s 2) 2 Resultan: Vc 3 1 3 2 s ( s 2) 2 vc / t ) 3(1 2te 2t 1 ( s 2) e 2t ) u t vc ( 1) 1, 78 Para t 1 en el plano s, se tiene: Figura 2.95 Resulta: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 c s 2 84 Teoría de Redes Eléctricas Vc 3 0, 41 s s 1 3 1, 22 5 ( s 1) vc (t ') (3 1, 22e t ' ) u t ' Donde: Figura 2.96 Entonces, para todo t : vc (t ) 3(1 t e 2t 2e 2t ) (u (t ) u (t 1)) (3 0, 41 e P2.24. Cálculo de condiciones iniciales. Para la siguiente red Figura 2.96 Con q(0 ) 10 y Figura 2.97 Determinar: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 t 1 ) u t 1 Redes sometidas a excitaciones causales. 85 a) i (0 ), i (1 ), vc (1 ) b) i(t ) Solución: Para 0 t 1 Figura 2.98 Ya que i(0 ) 0 , pues el inductor está abierto. Entonces: I 2 s ( s 0, 7) 2,86 i(t ) 2,86(1 e 0,7 t 1 s ) u (t ) 1 s 0, 7 0 t 1 i(1 ) 1, 44 vc (1 ) Para t 10 2 5 1 Figura 2.99 I 1, 44 s 0, 7 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 86 Teoría de Redes Eléctricas I (t ') 1, 44 e 0,7 t ' t 1 t' t 1 P2.25. Condiciones iniciales en red de primer orden. En la siguiente red Figura 2.100 Con I ( s) 3s 4 ( s 1)( s 2) Determinar: i(0 ) e i(0 ) Solución: En el plano s: Figura 2.101 Resulta: I 1 i(0 )( s 1) ( s 1)( s 2) Comparando coeficientes: i(0 ) 3 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 87 Por el teorema del valor inicial i(0 ) lim sI ( s) s Resulta: i(0 ) 3 P2.26. Carga por gotas. Se tiene la siguiente red: Figura 2.102 Con ig (t ) Figura 2.103 Se tiene que es una fuente de corriente, que envía pulsos en forma periódica. Determinar la forma de onda de voltaje que muestre cómo se carga el condensador. Solución: Se tiene i dq dt y v q c Entonces: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 88 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.104 El pulso de corriente tiene una carga asociada igual a TI . Que es la carga de una “gota” Por cada “gota” de carga que ingresa al condensador, éste aumenta su voltaje en TI / C . Esta forma de cargar a un condensador se emplea cuando se dispone de una fuente de corriente que no puede suministrar toda la carga en un intervalo de tiempo. P2.27. Desconexión de cargas inductivas. Estudiaremos primero desconexión de inductores por los que circula corriente continua. Figura 2.105 Si el interruptor ha estado conectado un tiempo suficientemente largo (mayor que 4L/R). Se tendrá con buena aproximación que: i E R En el inductor se tendrá: v L di dt Al efectuar la desconexión, la corriente en el inductor será cero, una vez abierto el contacto; entonces, la forma de onda de la corriente será: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 89 Figura 2.106 Y el voltaje en el inductor será: v LE (t ) R La tensión infinita no puede producirse en la práctica. Sin embargo, con buena aproximación hemos determinado que en el contacto b aparecerá una tensión negativa muy grande. Para entender mejor lo que sucede en la práctica, deberá refinarse el modelo. Una posibilidad es considerar que existe una resistencia en el contacto, y que al comenzar a abrirse existe un condensador entre las placas de los contactos. Pero inmediatamente se perfora el dieléctrico debido a la alta tensión entre los contactos. Mientras hay chispa debe considerarse una baja resistencia entre los contactos. La energía que debe disiparse será: L i (0 ) 2 2 L E2 2 R2 A medida que el inductor disminuye su energía interna, la tensión va bajando; y de pronto se interrumpirá el arco. Existen varias forma de evitar la producción del alto voltaje, una de ellas es conectar un diodo en el inductor, en la forma que se indica: Figura 2.107 De esta forma, con el contacto cerrado, el diodo no conduce y puede considerarse abierto. En la desconexión la corriente en el inductor no irá a cero, pues podrá circular por el diodo. Cuando el diodo conduce podrá considerarse como una resistencia y la corriente Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 90 Teoría de Redes Eléctricas decaerá exponencialmente, con una constate de tiempo dada por L / Rd . Donde Rd es la resistencia del diodo. Otra forma es colocar un circuito especial entre los contactos: Figura 2.108 Se tendrá ahora: s E R I s2 Con i (0 ) (1/ LC ) i Ae Con a at R L R r s L 1 LC E y no habrá discontinuidad en la corriente. Puede comprobarse que si R ( R r / 2 L) 2 se tendrá respuesta oscilatoria amortiguada, de la forma: sen(bt ) R r / 2L y b 1 LC R r 2L 2 Figura 2.109 Las oscilaciones terminan aproximadamente en t 4/ a . Aplicando el teorema del valor inicial, puede comprobarse que v(0 ) r E R Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 91 Aumentando r se logra mayor amortiguación, menor voltaje máximo; pero las oscilaciones tendrán mayor período. Las desconexiones de cargas inductivas excitadas con tensiones alternas pueden analizarse en forma similar. En este caso la solución con diodo no puede aplicarse. Existen diferentes criterios de diseño dependiendo del tipo del elemento de conmutación. En algunos casos desea evitarse grandes valores de la derivada del voltaje; en otros importa el máximo valor alcanzado por la tensión. Los desarrollos analíticos son dificultosos, incluso empleando transformación de Laplace. Con este ejemplo se desea mostrar que los circuitos más simples usados en la ingeniería tienen un grado de complejidad creciente cuando se intenta refinar el modelo. En las redes que se analizan debían agregarse componentes parásitas. Por ejemplo, la resistencia de pérdidas de la bobina, las capacidades de la bobina y conexiones, una resistencia de fuga en los condensadores, etc. En esas condiciones el modelo ya no es manejable y debe resolverse en un computador. P2.28. Interruptores y fuentes. Representar la red con interruptores, mediante fuentes independientes. Figura 2.110 Solución: Si se supone el condensador cargado de tal modo que su tensión sea la de la fuente, entonces la red R ve la siguiente situación: Figura 2.111 Pero el condensador se supone descargado; en el plano s se tendrá: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 92 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.112 O bien, Figura 2.113 P2.29. Impulso en el voltaje. En la siguiente red Figura 2.114 Se tiene Figura 2.115 Determinar v para todo t. Solución: a) En el tiempo Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 93 Se tiene: v 4dig dt Es decir: v 4 (t ) . b) En el plano s Figura 2.116 Se tiene iL (0 ) 3 2 s I g ( s) La tensión en la impedancia está dada por: V v(t ) 4s 2 3 s s 4 4 (t ) P2.30. Discontinuidad en la corriente. Para la red indicada Figura 2.117 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 94 Teoría de Redes Eléctricas Con ig (t ) 3u (t 1) 2 u (t ) Determinar: a) v(t ) b) i (0 ) e i(0 ) Solución: Obviamente i(0 ) Se tiene 0 ; pues estaba abierto el circuito. Figura 2.118 Entonces, I g 5/ s En el plano s: Con: V 5 2s 10 s Figura 2.119 Entonces: v t 10 (t ) Con: Figura 2.120 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 95 P2.31. Corriente con impulso. Determinar condiciones para que la corriente contenga un impulso. Figura 2.121 Solución: Aplicando transformación de Laplace se obtiene: I 1 ( sE v(0 )) 1 R s RC Sea: E a Es decir: b s c s2 ..... e(t ) a (t ) b u (t ) c r (t ) .... Entonces: I I i (t ) 1 (as v(0 )) R s 1 RC a R b s c s2 R s .... 1 RC (aT v(0 )) .... 1 R s RC a (t ) R aT v(0 ) e R t / RC u (t ) .. Si e(t ) contiene impulsos, también los tendrá i (t ) , Pero si e(t ) no contiene impulsos, se tendrá a 0 y en este caso no se tendrá impulsos en la corriente. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 96 En t Teoría de Redes Eléctricas 0 se tendrá: v(0 ) v(0 ) a / R P2.32. Red con inductancias. Para la siguiente red Figura 2.122 Determinar i (t ) e i (0 ) Solución: Método 1. 50 10 Se tiene i(0 ) 5 En el plano s: Figura 2.123 Con: Figura 2.124 Entonces I g 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 97 Resulta: 50 10 s 25 3s I (s) 2 s 4 3s 25 Entonces: i (t ) 4 e 3 2 25t / 3 u (t ) Y se tiene 10 3 i(0 ) Método 2. Mediante LVK se logra: d (2i i ig ) dt 50 25i 15 ig Donde el flujo total enlazado por el circuito es (3i ig ) Integrando la ecuación diferencial entre 0 y 0 , se obtiene: 0 (0 ) 0 (0 ) 50t 0 0 25 i( )d 0 15 ig ( )d 0 La primera y tercera integral, del lado derecho, son ceros. Y si i (t ) no contiene impulsos, el enlace total de flujo es continuo. Si este es el caso, se tendrá 3i(0 ) ig (0 ) 3i(0 ) ig (0 ) Reemplazando los valores conocidos, se tiene: 3i(0 ) 0 3 5 5 Resulta: i(0 ) 10 3 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 98 Teoría de Redes Eléctricas Para la red dada, se tiene t 0 : di 50 25i 3 dt Cuya solución es: i 2 4 e 3 25t / 3 Se advierte de la gráfica de i (t ) que ésta no contiene impulsos. Lo cual podría haberse deducido, ya que en el circuito no hay impulsos externos aplicados. Figura 2.125 La tensión en las inductancias contendrá un impulso. En la práctica no pueden producirs, en una red real, tensiones infinitas. Debe suponerse que el modelo dado es inexacto, seguramente en el interruptor se producirá un arco; que podría modelarse con una resistencia no lineal. Además habría que considerar en el modelo algunas capacidades parásitas. Sin embargo al simplificar el modelo se obtuvo fácilmente una solución; ésta nos indica que habría altos voltajes en la conmutación, y que mientras dure la desconexión nuestra solución estará alejada de la realidad. P2.33. Determinar los valores iniciales en t=0+. Si se conocen: C1 1 C2 2 vc1 0 2 vc 2 0 4 Figura 2.126 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 99 Solución: Se tiene que para tiempos menores que cero, las corrientes son cero. Nótese que si en la red no hubiera interruptor, existiría un voltaje dependiente del otro; en este caso no podrían ser los valores 2 y 4, ya que su suma es diferente de 3. Para tiempos mayores que cero se tiene: LVK : 3 v1 (t ) v2 (t ) Derivando se obtiene: 0 i c1 Con solución i i de , ya que c2 dt 0y dv1 dt 1 c1 0 para t mayor que cero. Se tiene: 3 v1 (0 ) v2 (0 ) , y la única forma de calcular los valores al tiempo cero más es aplicando la ley de continuidad, que proporciona otra relación entre las incógnitas. Se tiene: q2 q1 cte; c2v2 (0 ) c1v1 (0 ) c2v2 (0 ) c1v1 (0 ) Reemplazando valores, resulta: 2v2 (0 ) v1 (0 ) 6 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen: v2 (0 ) 3 v1 (0 ) 0 Gráficamente: Figura 2.127 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 100 Teoría de Redes Eléctricas Obsérvese que en el instante cero se produce una corriente con discontinuidad infinita (impulso delta de Dirac.). Su interpretación, del punto de vista de redes, es que en el instante cero se produce un movimiento instantáneo de 2 Coulombs. Debe notarse que un artefacto físico tendrá resistencias, en el diagrama de redes del problema se las ha aproximado a cero; esta simplificación conduce a la red con sólo condensadores, en la cual se producen movimientos instantáneos de carga (el impulso de corriente), que son imposibles de interpretar físicamente. Sin embargo, los resultados obtenidos con los modelos (idealizados mediante aproximaciones) de redes pueden ser interpretados y además se simplifica la operatoria matemática para obtener los resultados. Puede comprobarse que si se agregan resistencias, los voltajes no pueden ser discontinuos; el paso de un valor estacionario al otro se produce después de un cierto tiempo. Dicho tiempo, en el ejemplo, se estima mediante las constantes de tiempo de la red RC. El problema anterior, será resuelto ahora aplicando las técnicas de la transformación de Laplace. Según se verá no será necesario incorporar los conceptos recién descritos; esta ventaja es debida a la definición de las transformadas a partir del tiempo cero menos. Diagrama en el plano s. Figura 2.128 Aplicando método de las mallas, se tiene: I (s) 3 s 2 s 1 s 4 5 2 2 s Sacando transformada inversa: i(t ) 2 (t ) También pueden determinarse, las tensiones en los condensadores, por ejemplo: V1 ( s) I ( s) 1 s 2 s Profesor Leopoldo Silva Bijit 0 v1 (t ) 0 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. V2 ( s) I ( s) 1 2s 4 s 3 s 101 v2 (t ) 3 u(t ) Obs.: Los problemas asociados a redes con discontinuidades en las condiciones iniciales, o bien con excitaciones que contengan impulsos, pueden ser eficientemente solucionados aplicando el método de la transformación de Laplace. Las leyes de continuidad permiten una mejor captación e interpretación de los resultados que se obtengan aplicando métodos de transformación. P2.34. Conservación enlaces de flujo. Para la siguiente red: Figura 2.129 Con: Figura 2.130 Determinar i (0 ) Solución: Método 1. Se tiene i (0 ) ig (0 ) 1 En el plano s Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 102 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.131 Resulta: 4 3s I 4 u (t ) 3 En el tiempo i (t ) En t 0 , se tiene: 4 3 i(0 ) Método 2 Aplicando ley de conservación del enlace de flujo. Figura 2.132 Se tiene v1 v2 0 1 2 Es decir: d ( dt ) 0 O sea, Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. L1 i1 L2 i2 103 cte. Entonces: 1 i1 (0 ) 2 i2 (0 ) 1 i1 (0 ) 2 i2 (0 ) Pero: i1 (0 ) 0; i2 (0 ) 1 Y resulta: i1 (0 ) 2 i2 (0 ) 2 Además en t 0 se cumple LCK, que evaluada en 0 implica: i1 (0 ) i2 (0 ) ig (0 ) 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones, resulta: i2 (0 ) i1 (0 ) 4 3 2 3 Debe notarse que se ha planteado LVK para el circuito formado por inductores, sólo con objeto de plantear la ley de conservación con sus signos correctos. Pues para tiempos menores que cero no existe circuito. P2.35. Red de segundo orden. Determinar i t para la red inicialmente relajada que se muestra: Figura 2.133 Solución: Método 1. Se tienen: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 104 Teoría de Redes Eléctricas e Ri L i Cdvc dt di vc dt (i) (ii) Sacando transformada de Laplace, se tienen: E RI s LI Vc I Cs Vc Eliminando Vc y reemplazando los valores numéricos: 1 2 103 I (0,1 10 6 s) 1 I s 0, 4 I Entonces: I 0, 4s s 2000 s 107 2 Resulta: i (t ) e 2500 t 2,5cos 4330t 1, 44 sen 4330t Método 2 (clásico) Consiste en determinar las condiciones iniciales en t diferencial de la red para t 0 De las ecuaciones i) e ii), con e di 2 L 2 dt R di dt i C 0 , y luego resolver la ecuación 0 , se obtiene: 0 La excitación es cero para t 0 . Y la corriente se debe a las condiciones iniciales. Como se verá el impulso fija las condiciones iniciales. Observando i) se advierte que i no puede contener impulsos, pues si los tuviere aparecería un doblete en el lado izquierdo. Entonces si se integra desde 0 Profesor Leopoldo Silva Bijit a 0 se tendrá: 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 0 0 ( )d 0 R i ( )d 0 105 0 L di ( ) 0 0 vc ( ) d 0 De ii) se advierte que vc tampoco puede contener impulsos; si los tuviera resultaría que i tendría dobletes. Incluso se puede establecer que vc debe ser continua; pues si tuviera una discontinuidad finita resultaría i con impulsos. Entonces: 1 L(i(0 ) i(0 )) Se obtiene: i (0 ) 1 0, 4 2,5 Integrando ii) se logra: 0 id C (vc (0 ) vc (0 )) 0 Pero como i no tiene impulsos resulta: vc (0 ) vc (0 ) 0 Si se desea obtener la condición inicial de la primera derivada de la corriente, haciendo t 0 en i) se obtiene: 0 R i (0 ) L di dt 0 0 Entonces: di dt 0 R i (0 ) L 12.500 P2.36. Transformada de la derivada. Se tienen: V ( s) 5 s I ( s) 4 di dt 2t u (t ) Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 106 Teoría de Redes Eléctricas i(0 ) 2 Determinar v t . Solución: Sacando transformada de Laplace a di / dt , se logra sI i (0 ) 2 / s 2 De la que resulta: sI 2 2 / s2 Entonces: V ( s) 6 10 s2 P2.37. Impedancia en el plano s. De la que se obtiene: v(t ) 10t u (t ) 6 (t ) Se tiene: Figura 2.134 Determinar: Z ( s) V ( s) I ( s) Solución: Se tiene: Figura 2.134 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. V1 s L1 I s MI 2 V2 s MI 2 L2 sI 2 I2 sC ( V2 ) V IR V1 107 Despejando lo pedido resulta: Z (s) R s L1 s 3 M 2C /(1 L2Cs 2 ) P2.38. Inductores acoplados. La red está en estado estacionario para tiempos menores que cero. Figura 2.135 Las fuentes son continuas: eg 2, ig 2 Determinar: a) i1 (0 ) e i2 (0 ) b) v2 (t ) para todo t. Solución: En estado estacionario i1 (0 ) 2 / 2 1 i2 (0 ) Para t ig 0 se tienen: 4 di1 e 2 i1 dt 2 3 di2 dt Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 108 Teoría de Redes Eléctricas v2 3 i2 i2 0 3 di2 dt 3 di1 dt Aplicando transformada de Laplace: 2 s 2 I1 4s I1 4 3s 0 3( 2) V2 6 3s I1 3 Resulta: 3s 6 2s 1 V2 3 2 9 4 1 2 s Entonces: v2 (t ) Para t 3 9 (t ) e 2 4 t/2 para t 0 0 se tiene v2 3 i2 3( ig ) 6 P2.39. Condiciones iniciales en inductores acoplados. Se tiene un sector de una red Figura 2.136 Y se cumple que: V1 Con i1 (0 ) 3 s I1 2s I 2 2 2 determinar i2 (0 ) . Solución: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 109 Sacando transformada de Laplace a la ecuación de equilibrio de los inductores acoplados, se tiene V1 s L1 I1 s MI 2 L1i1 (0 ) M i2 (0 ) Comparando coeficientes se tienen: L1 3 M 2 L1 i1 (0 ) M i2 (0 ) 2 De la última relación: i2 (0 ) (2 3 2) / 2 2 P2.40. Copedancia propia. Determinar la copedancia propia de la malla por la que circula i2 (t ) Figura 2.137 Solución: Planteando LVK en la malla y suponiendo cero el resto de las corrientes de mallas, se tendrá que el factor de I 2 será la copendancia pedida. Para la malla dada se tiene: vR1 vL1 vL1 L1 vL2 vL3 0 Con di2 dt M12 di2 dt Profesor Leopoldo Silva Bijit M13 di2 dt 12-07-2010 110 Teoría de Redes Eléctricas di2 dt M 23 di2 dt vL2 L2 vL3 ( L3 M 31 M 32 ) M 21 di2 dt di2 dt Donde M ij implica el aporte de tensión en la rama de i debida la circulación de corriente en la rama j. Como se cumple que M ij z22 ( s) ( L1 L2 M ji se tendrá: L3 2M12 2M13 2M 23 ) s R1 P2.41. Ecuaciones de mallas. Determinar las ecuaciones de malla en el plano s. Figura 2.138 Con vc (0 ) b y las corrientes iniciales en los inductores iguales a cero. Solución: ( s L1 2sM ( sL2 sM ) I1 ( sL1 sM ) I1 sL2 ) I1 ( sL2 sM ) I 2 ( sL1 sM ) I 3 1 Cb I 2 sM I 3 E sC s sM I 2 ( sL1 R) I 3 E sL2 Adicionalmente: I I3 P2.42. Consistencia de una red. Para la siguiente red, determinar condiciones de consistencia Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 kI Redes sometidas a excitaciones causales. 111 Figura 2.139 Solución: Aplicando método nodal: Y1 Y2 Y2 Y2 V1 Y2 Y3 V2 El determinante de la matriz de admitancia nodal es det F (Y1 Y2 )(Y2 Y3 k ) Y22 det F Y1Y2 (Y1 Y2 )(Y3 k ) Entonces, si k Y1 Y2 Y1 Y2 Y3 La red será consistente. P2.43. Condición para que un voltaje sea cero. Determinar condición que asegure que V será cero. Figura 2.140 Solución: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 = I1 kV2 112 Teoría de Redes Eléctricas Condiciones triviales son Z 4 Por otra parte, con Z 5 0 ; o bien, Z 6 0 también se tendrá V 0. Se intenta encontrar condición cuando no se cumplen las anteriores; es decir, cuando Z 4 0, Z 6 0 y Z5 . Aplicando el método nodal puede determinarse que: Y5 ( E1 YY I (Y1 Y2 Y3 )) 1 3 V Y5Y3 (Y1 Y2 ) (Y4 Y6 ) Y5 (Y1 Y2 Y3 ) Y3 (Y1 Y2 ) Entonces, V 0 cuando: a) E1Y1Y3 I (Y1 Y2 Y3 ), o b) Z 5 Y5 c) Z 4 0, o d ) Z6 0 0 ,o P2.44. Reducción de redes. Se tiene una red con 5 vértices Figura 2.141 a) Determinar una red equivalente de 4 vértices y tal que se mantengan los valores de los voltajes en los nodos 1, 2 y 3. b) Dibujar la red equivalente, obtenida en a) Solución: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 113 a) En redes de potencia interesa reducir un sistema complejo en otro equivalente con un número menor de nodos. Un método será efectuar reducciones mediante transformaciones estrella-triángulo. De este modo se elimina el nodo interno de la estrella. Procederemos a reducir a partir de la matriz de admitancia nodal. Esto permitirá visualizar un método general susceptible de ser programado en un computador digital. Se tiene: 3 -1 0 -1 V1 -1 4 -1 -1 V2 0 -1 3 -1 V3 I2 -1 -1 -1 3 V4 0 I1 = 0 Dividiendo la cuarta ecuación por 3, y sumándola a las tres primeras se obtiene: 2,67 -1,33 -0,33 0 V1 -1,33 3,67 -1,33 0 V2 -0,33 -1,33 2,67 0 V3 I2 -0,33 -0,33 -0,33 1 V4 0 I1 = 0 Puede verse que el procedimiento general consiste en dejar ceros en la columna de la variable que se desea eliminar; excepto en el coeficiente de la ecuación (que se emplea para reducir) asociado a la variable que se elimina (al coeficiente se lo denomina el pivote). De este modo las tres primeras ecuaciones no dependen de V4 y se puede escribir: 2,67 -1,33 -0,33 0 V1 -1,33 3,67 -1,33 0 V2 -0,33 -1,33 2,67 0 V3 La red asociada es: Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 I1 = 0 I2 114 Teoría de Redes Eléctricas Figura 2.142 Nótese que idéntico resultado se habría obtenido al transformar la estrella en triángulo y sumar las admitancias en paralelo. Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 115 Índice general. CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................................. 1 REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES CAUSALES ...................................................................... 1 2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 1 a) Causalidad ..................................................................................................................................... 1 b) Descomposición .............................................................................................................................. 1 c) Representación matemática ............................................................................................................ 1 d) Condiciones iniciales ...................................................................................................................... 2 e) Análisis dinámico ............................................................................................................................ 2 f) Restricciones del método ................................................................................................................. 2 2.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.................................................................................................. 3 2.2.1. Definición .................................................................................................................................. 3 Ejemplo 2.1. ..................................................................................................................................................... 3 2.2.2. Transformada de un impulso ................................................................................................... 4 2.2.3. Condiciones iniciales ................................................................................................................. 4 Ejemplo 2.2. ..................................................................................................................................................... 5 2.2.4. Descomposición de la respuesta ............................................................................................... 6 Análisis de la respuesta a estado cero. ............................................................................................................. 6 2.2.5. Operatoria ................................................................................................................................. 7 Ejemplo 2.3. ........................................................................................................................................ 8 a) Formulación ................................................................................................................................................. 9 b) Transformación ........................................................................................................................................... 9 c) Inversión ...................................................................................................................................................... 9 2.3 MÉTODOS DE FORMULACIÓN EMPLEANDO TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. ...................... 11 2.3.1. Introducción ............................................................................................................................ 11 2.3.2. Impedancia y Admitancia ....................................................................................................... 12 2.3.3. Leyes de interconexión ............................................................................................................ 13 2.3.4. Fuentes independientes .......................................................................................................... 14 2.3.5. Componentes almacenadoras. Condiciones iniciales. ............................................................ 14 a) Inductor .................................................................................................................................................... 14 Observaciones: .......................................................................................................................................... 15 b) Condensador ............................................................................................................................................ 15 Observaciones: .......................................................................................................................................... 16 2.3.6. Diagramas de redes en el plano s ........................................................................................... 17 Ejemplo 2.4. ................................................................................................................................................... 17 Ejemplo 2.5. ................................................................................................................................................... 17 2.3.7. Relación con redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. ........... 18 2.3.8. Método nodal. Formulación directa matricial. ...................................................................... 18 Red en el dominio del tiempo ................................................................................................................... 19 Red en el plano s. ...................................................................................................................................... 20 Ejemplo 2.6. ................................................................................................................................................... 22 2.3.9. Método de mallas. Formulación directa matricial. ................................................................ 23 Observaciones:............................................................................................................................................... 24 Ejemplo 2.7. ................................................................................................................................................... 25 Casos especiales: ........................................................................................................................................... 25 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 116 Teoría de Redes Eléctricas 2.4. EL ESTADO DE UNA RED................................................................................................................27 2.4.1. Grado de complejidad de una red eléctrica.............................................................................27 Ejemplo 2.8 .................................................................................................................................................... 28 2.4.2. Redes con interruptores. ..........................................................................................................28 Ejemplo 2.9. ................................................................................................................................................... 30 2.4.3. Condiciones de continuidad .....................................................................................................32 Ejemplo 2.10 .................................................................................................................................................. 33 2.4.4. Leyes de Conservación. ............................................................................................................34 2.4.4.1. Conservación de la carga. .................................................................................................................. 34 Ejemplo 2.11. ............................................................................................................................................ 34 Ejemplo 2.12 ............................................................................................................................................. 36 2.4.4.2. Conservación del flujo enlazado por un circuito. .............................................................................. 38 Ley de Faraday .......................................................................................................................................... 38 Aplicación a un inductor ........................................................................................................................... 38 Inductor ..................................................................................................................................................... 41 Inductores acoplados ................................................................................................................................. 43 Aplicación a un circuito. ........................................................................................................................... 44 Ejemplo 2.14 ............................................................................................................................................. 46 Ejemplo 2.15. ............................................................................................................................................ 47 2.5. GENERALIZACIÓN DE REDES EMPLEANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE............................48 2.5.1. Introducción.............................................................................................................................48 2.5.2. Redes consistentes y no consistentes .......................................................................................49 Ejemplo 2.16 .................................................................................................................................................. 49 2.5.3. Forma general de la respuesta ................................................................................................51 2.5.4. Funciones de redes ...................................................................................................................52 Clasificación de las funciones de redes. ......................................................................................................... 52 Funciones de punto motriz ........................................................................................................................ 52 Ejemplo 2.17 ............................................................................................................................................. 53 Ejemplo 2.18 ............................................................................................................................................. 53 Funciones de transferencia ........................................................................................................................ 53 Ejemplo 2.19 ............................................................................................................................................. 54 Ejemplo 2.20. ............................................................................................................................................ 54 Ejemplo 2.21. ............................................................................................................................................ 54 2.5.5 Red lineal ..................................................................................................................................55 2.6. PROBLEMAS RESUELTOS...................................................................................................................57 P2.1. Transformada de Laplace para entrada cero. ..........................................................................57 P2.2. Determinar la impedancia de la red Thevenin, vista por la red R. ..........................................58 P2.3. Determinar V ( s ) .....................................................................................................................59 P2.4. Ganancia de voltaje. .................................................................................................................60 P2.5. Obtener transformada inversa de un voltaje. ..........................................................................61 P2.6. Transformada inversa de una corriente. ..................................................................................62 P2.7. Red de tercer orden. .................................................................................................................64 P2.8. Valor inicial. .............................................................................................................................65 P2.9. Función con retardo. ................................................................................................................66 P2.10. Determinar constante. ............................................................................................................66 P2.11. Identificación de constantes. ..................................................................................................68 P2.12. Determinar un valor de una resistencia. ................................................................................69 P2.13. Calcular corriente. .................................................................................................................71 P2.14. Admitancia en s y en el dominio del tiempo. ..........................................................................72 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 117 P2.15. Transiente en red oscilatoria. ................................................................................................ 72 P2.16. Forma de onda en oscilador. ................................................................................................. 73 P2.17. Corriente a entrada cero........................................................................................................ 74 P2.18. Excitación exponencial en una frecuencia natural. ............................................................... 75 P2.19. Análisis transitorio................................................................................................................. 76 P2.20. Análisis transitorio, red de segundo orden. ........................................................................... 78 P2.21. Cambio de condiciones iniciales. ........................................................................................... 79 P2.22. Excitación en una frecuencia natural. ................................................................................... 81 P2.23. Exponencial amortiguada. ..................................................................................................... 82 P2.24. Cálculo de condiciones iniciales. ........................................................................................... 84 P2.25. Condiciones iniciales en red de primer orden. ...................................................................... 86 P2.26. Carga por gotas. .................................................................................................................... 87 P2.27. Desconexión de cargas inductivas. ........................................................................................ 88 P2.28. Interruptores y fuentes. .......................................................................................................... 91 P2.29. Impulso en el voltaje. ............................................................................................................. 92 P2.30. Discontinuidad en la corriente............................................................................................... 93 P2.31. Corriente con impulso. ........................................................................................................... 95 P2.32. Red con inductancias. ............................................................................................................ 96 P2.33. Determinar los valores iniciales en t=0+. ............................................................................. 98 P2.34. Conservación enlaces de flujo. ............................................................................................ 101 P2.35. Red de segundo orden. ......................................................................................................... 103 P2.36. Transformada de la derivada. .............................................................................................. 105 P2.37. Impedancia en el plano s. .................................................................................................... 106 P2.38. Inductores acoplados. .......................................................................................................... 107 P2.39. Condiciones iniciales en inductores acoplados. .................................................................. 108 P2.40. Copedancia propia............................................................................................................... 109 P2.41. Ecuaciones de mallas. .......................................................................................................... 110 P2.42. Consistencia de una red. ...................................................................................................... 110 P2.43. Condición para que un voltaje sea cero............................................................................... 111 P2.44. Reducción de redes. ............................................................................................................. 112 ÍNDICE GENERAL. ................................................................................................................................. 115 ÍNDICE DE FIGURAS............................................................................................................................... 118 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 118 Teoría de Redes Eléctricas Índice de figuras. FIGURA 2.1 ....................................................................................................................................................3 FIGURA 2.2 ...................................................................................................................................................5 FIGURA 2.3 ....................................................................................................................................................8 FIGURA 2.4 ..................................................................................................................................................10 FIGURA 2.5 ..................................................................................................................................................12 FIGURA 2.6 ..................................................................................................................................................12 FIGURA 2.7 ..................................................................................................................................................13 FIGURA 2.9 ..................................................................................................................................................13 FIGURA 2.10 ................................................................................................................................................13 FIGURA 2.11 ................................................................................................................................................14 FIGURA 2.12 ................................................................................................................................................14 FIGURA 2.13 ................................................................................................................................................14 FIGURA 2.14 ................................................................................................................................................15 FIGURA 2.15 ................................................................................................................................................15 FIGURA 2.16 ................................................................................................................................................16 FIGURA 2.17 ................................................................................................................................................16 FIGURA 2.18 ................................................................................................................................................16 FIGURA 2.19 ................................................................................................................................................17 FIGURA 2.20 ................................................................................................................................................17 FIGURA 2.22 ................................................................................................................................................18 FIGURA 2.23 ................................................................................................................................................18 FIGURA 2.24 ................................................................................................................................................20 FIGURA 2.25 ................................................................................................................................................20 FIGURA 2.26 ................................................................................................................................................21 FIGURA 2.27 ................................................................................................................................................22 FIGURA 2.29 ................................................................................................................................................23 FIGURA 2.30 B .............................................................................................................................................25 FIGURA 2.31 ................................................................................................................................................25 FIGURA 2.32 ................................................................................................................................................25 FIGURA 2.33 ................................................................................................................................................26 FIGURA 2.34 ................................................................................................................................................26 FIGURA 2.35 ................................................................................................................................................28 FIGURA 2.36 ................................................................................................................................................29 FIGURA 2.37 ................................................................................................................................................30 EJEMPLO 2.9 A .............................................................................................................................................30 EJEMPLO 2.9 B .............................................................................................................................................31 EJEMPLO 2.9 C .............................................................................................................................................31 EJEMPLO 2.9 D .............................................................................................................................................31 EJEMPLO 2.9 E .............................................................................................................................................32 FIGURA 2.38 A .............................................................................................................................................35 FIGURA 2.38B ..............................................................................................................................................35 FIGURA 2.38C ..............................................................................................................................................35 FIGURA 2.38 D .............................................................................................................................................36 FIGURA 2.39.A .............................................................................................................................................36 FIGURA 2.39B ..............................................................................................................................................36 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 119 EJEMPLO 2.13 ............................................................................................................................................. 37 FIGURA 2.40 ............................................................................................................................................... 38 FIGURA 2.41 ............................................................................................................................................... 39 FIGURA 2.42.A ............................................................................................................................................ 40 FIGURA 2.42 B ............................................................................................................................................ 41 FIGURA 2.43 ............................................................................................................................................... 41 FIGURA 2.44 ............................................................................................................................................... 42 FIGURA 2.45 ............................................................................................................................................... 42 FIGURA 2.46 ............................................................................................................................................... 43 FIGURA 2.47 ............................................................................................................................................... 43 FIGURA 2.48 ............................................................................................................................................... 43 FIGURA 2.49 ............................................................................................................................................... 44 FIGURA 2.50 ............................................................................................................................................... 44 FIGURA 2.51 ............................................................................................................................................... 45 FIGURA 2.52 ............................................................................................................................................... 46 EJEMPLO 2.14 A .......................................................................................................................................... 46 EJEMPLO 2.14 B .......................................................................................................................................... 47 EJEMPLO 2.15 ............................................................................................................................................. 48 FIGURA 2.53 ............................................................................................................................................... 49 EJEMPLO 2.16 ............................................................................................................................................. 50 EJEMPLO 2.17 ............................................................................................................................................. 53 EJEMPLO 2.18 ............................................................................................................................................. 53 EJEMPLO 2.19 ............................................................................................................................................. 54 EJEMPLO 2.20 ............................................................................................................................................. 54 EJEMPLO 2.21 ............................................................................................................................................. 55 FIGURA 2.54 ............................................................................................................................................... 55 FIGURA 2.55 ............................................................................................................................................... 55 FIGURA 2.56 ............................................................................................................................................... 56 FIGURA 2.57 ............................................................................................................................................... 56 FIGURA 2.58 ............................................................................................................................................... 57 FIGURA 2.59 ............................................................................................................................................... 57 FIGURA 2.60 ............................................................................................................................................... 58 FIGURA 2.61 ............................................................................................................................................... 58 FIGURA 2.62 ............................................................................................................................................... 59 FIGURA 2.62 ............................................................................................................................................... 59 FIGURA 2.63 ............................................................................................................................................... 59 FIGURA 2.64 ............................................................................................................................................... 60 FIGURA 2.65 ............................................................................................................................................... 61 FIGURA 2.66 ............................................................................................................................................... 61 FIGURA 2.67 ............................................................................................................................................... 62 FIGURA 2.68 ............................................................................................................................................... 64 FIGURA 2.69 ............................................................................................................................................... 69 FIGURA 2.70 ............................................................................................................................................... 69 FIGURA 2.71 ............................................................................................................................................... 70 FIGURA 2.72 ............................................................................................................................................... 71 FIGURA 2.73 ............................................................................................................................................... 71 FIGURA 2.74 ............................................................................................................................................... 72 FIGURA 2.75 ............................................................................................................................................... 72 FIGURA 2.76 ............................................................................................................................................... 72 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 120 Teoría de Redes Eléctricas FIGURA 2.77 ................................................................................................................................................73 FIGURA 2.78 ................................................................................................................................................73 FIGURA 2.79 ................................................................................................................................................74 FIGURA 2.80 ................................................................................................................................................74 FIGURA 2.81 ................................................................................................................................................75 FIGURA 2.82 ................................................................................................................................................75 FIGURA 2.83 ................................................................................................................................................76 FIGURA 2.84 ................................................................................................................................................77 FIGURA 2.85 ................................................................................................................................................77 FIGURA 2.86 ................................................................................................................................................78 FIGURA 2.87 ................................................................................................................................................78 FIGURA 2.88 ................................................................................................................................................79 FIGURA 2.89 ................................................................................................................................................80 FIGURA 2.90 ................................................................................................................................................80 FIGURA 2.91 ................................................................................................................................................80 FIGURA 2.91 ................................................................................................................................................81 FIGURA 2.92 ................................................................................................................................................81 FIGURA 2.93 ................................................................................................................................................82 FIGURA 2.94 ................................................................................................................................................82 FIGURA 2.95 ................................................................................................................................................83 FIGURA 2.96 ................................................................................................................................................84 FIGURA 2.96 ................................................................................................................................................84 FIGURA 2.97 ................................................................................................................................................84 FIGURA 2.98 ................................................................................................................................................85 FIGURA 2.99 ................................................................................................................................................85 FIGURA 2.100 ..............................................................................................................................................86 FIGURA 2.101 ..............................................................................................................................................86 FIGURA 2.102 ..............................................................................................................................................87 FIGURA 2.103 ..............................................................................................................................................87 FIGURA 2.104 ..............................................................................................................................................88 FIGURA 2.105 ..............................................................................................................................................88 FIGURA 2.106 ..............................................................................................................................................89 FIGURA 2.107 ..............................................................................................................................................89 FIGURA 2.108 ..............................................................................................................................................90 FIGURA 2.109 ..............................................................................................................................................90 FIGURA 2.110 ..............................................................................................................................................91 FIGURA 2.111 ..............................................................................................................................................91 FIGURA 2.112 ..............................................................................................................................................92 FIGURA 2.113 ..............................................................................................................................................92 FIGURA 2.114 ..............................................................................................................................................92 FIGURA 2.115 ..............................................................................................................................................92 FIGURA 2.116 ..............................................................................................................................................93 FIGURA 2.117 ..............................................................................................................................................93 FIGURA 2.118 ..............................................................................................................................................94 FIGURA 2.119 ..............................................................................................................................................94 FIGURA 2.120 ..............................................................................................................................................94 FIGURA 2.121 ..............................................................................................................................................95 FIGURA 2.122 ..............................................................................................................................................96 FIGURA 2.123 ..............................................................................................................................................96 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010 Redes sometidas a excitaciones causales. 121 FIGURA 2.124 ............................................................................................................................................. 96 FIGURA 2.125 ............................................................................................................................................. 98 FIGURA 2.126 ............................................................................................................................................. 98 FIGURA 2.127 ............................................................................................................................................. 99 FIGURA 2.128 ........................................................................................................................................... 100 FIGURA 2.129 ........................................................................................................................................... 101 FIGURA 2.130 ........................................................................................................................................... 101 FIGURA 2.131 ........................................................................................................................................... 102 FIGURA 2.132 ........................................................................................................................................... 102 FIGURA 2.133 ........................................................................................................................................... 103 FIGURA 2.134 ........................................................................................................................................... 106 FIGURA 2.134 ........................................................................................................................................... 106 FIGURA 2.135 ........................................................................................................................................... 107 FIGURA 2.136 ........................................................................................................................................... 108 FIGURA 2.137 ........................................................................................................................................... 109 FIGURA 2.138 ........................................................................................................................................... 110 FIGURA 2.139 ........................................................................................................................................... 111 FIGURA 2.140 ........................................................................................................................................... 111 FIGURA 2.141 ........................................................................................................................................... 112 FIGURA 2.142 ........................................................................................................................................... 114 Profesor Leopoldo Silva Bijit 12-07-2010