Geometría Analítica 3 LA CIRCUNFERENCIA d(P; 0) Elevando al cuadrado Definición Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C). La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio. Ecuación de la circunferencia A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio r. Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es: x 2 y2 r x2 y2 r2 x h 2 y k 2 R2 Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro (0; 0) y radio r Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia con centro en C (h; k) y radio igual a r, entonces la distancia de P al centro es: d(P; C) (x h)2 (y k)2 r Elevando al cuadrado: (x h)2 (y k)2 r2 Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h; k) y radio r Javier Trigoso/Freddy Liñán Página 1 Geometría Analítica 3 Ecuación general de la circunferencia Desarrollando la fórmula anterior obtenemos: x 2 2hx h2 y2 2ky k 2 r 2 x 2 2hx y 2 Ordenando: 2ky h 2 2 2 k 2 r 2 0 2 Haciendo: -2h = D; -2k = E; h + k – r = F y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos: x2 y2 Dx Ey F 0 Conocida como la ecuación general de la circunferencia. PARA LA CLASE.. 01. Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias: x 2 y 2 100 ( x 2) 2 y 2 64 x 2 ( y 3) 2 121 ( x 1) 2 ( y 1) 2 49 ( x 5) 2 ( y 4) 2 50 02. Deduce la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias: Javier Trigoso/Freddy Liñán centro en (-3; 5) y radio 2 centro en (2; -5) y radio 3 centro en (4; 0) y radio 2 centro en (0; -2) y radio 1 03. Determina la ecuación de la circunferencia que satisface las siguientes condiciones: centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4) centro en (3; -2) y pasa por (11; -2) centro en (2; 4) y tangente al eje X centro en (-3; -2) y tangente al eje Y. 04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuación de esta. 05. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos (2; 2) y (6; -4). 06. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: L1: x – 2y = 1; L2: x + 3y = 6 07. Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes circunferencias: x 2 6x y 2 10y 2 x 2 8x y 2 6y 15 9x 2 12x 9 y 2 77 Página 2 Geometría Analítica 3 16x 2 8x 16y 2 32y 127 15. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y que es tangente a la circunferencia de ecuación 08. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-3; 4) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación: C : x2 6x y2 2y 5 0 en el punto (-2; 1). C : x2 y2 6x 2y 6 0 16. La circunferencia de ecuación C : x2 y2 40 es 09. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices (0; -1), (4; -5) y (0; -9) intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas coordenadas son (2 ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcula el valor de a + b, si a > 0 y b > 0 10. La ecuación de una circunferencia es 2 C : (x 4) (y 3) 2 20 . Halla la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7) 17. Encuentra la ecuación de la circunferencia que está inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: L1: 4x + 3y – 21=0, L2: 3x – 4y –22 = 0 y L3: x + 6 = 0 11. Dada la circunferencia C : (x 2)2 (y 3)2 5 . Halla la ecuación de la tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto (3; 3). PARA LA CASA.. 12. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(-2; 2) y radio r = 2 A. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 B. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 6 C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 D. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 circunferencia C : x2 y2 4x 6y 17 0 y que sea tangente a la recta L: 3x - 4y + 7 = 0 13. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1; 3) y (3; -1) y cuyo centro está en la recta: L1: x - 3y + 2 = 0 14. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta: L: 3x - 2y + 12 = 0, en el segundo cuadrante. Javier Trigoso/Freddy Liñán 02. Determina el diámetro de la circunferencia de ecuación C : (x 3)2 (y 7)2 49 A. 3u C. 7u B. 5u D. 14u Página 3 Geometría Analítica 3 03. Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia: C: (x – 2)2 + (y + 9)2 = 4 A. (2; -9) ; r = 2 B. (-2; 9) ; r = 4 C. (2; 9) ; r = 2 D. (2; -9) ; r = 4 04. Halla el área de la circunferencia, si P (6; 0) y Q (0; 6) A. 6π u2 B. 24π u2 C. 12π u2 D. 36π u2 08. Determina el radio de la circunferencia de ecuación C : x2 y2 8x 6y 0 A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 09. Dada la ecuación C : 3x2 3y2 4y 7 0 , encuentra su Y centro. A. (0; -3/2) C. (3/2; 0) Q P X B. (0; -2/3) D. (2/3; 0) 10. Halla la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: C : 25x2 30x 25y2 20y 62 05. Halla la ecuación general de la circunferencia de centro (–5; 12) y radio 13. A. x² + y² + 10x – 24y = 0 B. x² + y² - 10x + 24y = 0 B. x² + y² + 24x – 10y = 0 D. x² + y² - 24x + 10y = 0 A. 3π B. 6π C. π 3 D. 2π 3 06. Una circunferencia de centro (3; -2) pasa por el punto (12; 0). Indica otro punto por donde pasa esta circunferencia. A. (9; 5) B. (7; 8) C. (10; 3) D. (8; 6) A. 2π u2 C. 4π u2 07. Hallar la distancia máxima y mínima del punto (-7 ; 2) a la circunferencia: C: x²+y²-10x-14y -151=0 A. 28 y 26 C. 13 y 15 Javier Trigoso/Freddy Liñán B. 28 y 2 D. 1 y 20 11. Calcula el área del círculo cuya circunferencia está representada por la ecuación C: 4x²+4y²-24x+4y +17=0 B. 3π u2 D. 5π u2 12. La circunferencia C : x2 y2 9x 2y 18 0 , en qué puntos intercepta al eje X? A. (0; 3) y (0; 6) B. (0; 0) y (3; 6) C. (-3; 0) y (-6; 0) D. (3; 0) y (6; 0) 13. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-4; -1) y que es tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0 A. (x - 4)² + (y - 1)² = 52 B. (x + 4)² + (y + 1)² = 52 Página 4 Geometría Analítica 3 C. (x + 4)² + (y - 1)² = 52 D. (x - 4)² + (y + 1)² = 52 14. La circunferencia de centro (3; 4) y tangente al eje X, corta al eje Y en los puntos A y B. Determina la longitud de la cuerda AB. A. 4 B. 5 C. 7 D. 2 7 15. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (1; 0), sabiendo que es concéntrica a la circunferencia representada por la ecuación C:x²+ y² - 2x - 8y + 13 = 0 A. (x - 1)² + (y - 4)² = 16 C. (x - 1)² + (y + 4)² = 9 B. (x + 1)² + (y - 4)² = 16 D. (x + 1)² + (y + 4)² = 16 16. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8; -2) y B (4; 6). Obtén la ecuación de dicha circunferencia. A. (x - 2)² + (y - 2)² = 52 B. (x + 2)² + (y - 2)² = 52 C. (x + 2)² + (y + 2)² = 52 D. (x - 2)² + (y + 2)² = 52 17. Determina el valor de M para que la circunferencia de ecuación C:x²+y²-6x+8y=M , tenga como radio 2. A. -29 C. 4 B. -21 D.21 18. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X, tiene 10 u de radio y su centro está sobre la recta L: x – 2y = 0 A. x² + y² + 40x – 20y + 400 = 0 Javier Trigoso/Freddy Liñán B. x² + y² - 40x + 20y + 400 = 0 C. x² + y² - 40x - 20y + 400 = 0 D. x² + y² - 20x + 40y + 400 = 0 19. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje X y es tangente a la circunferencia C:x²+y²-6x-12y=7 en el punto (-3; 2) A. (x + 6)2 + y2 = 13 C. x2 + (y + 6)2 = 13 B. (x - 6)2 + y2 = 13 D. x2 + (y - 6) 2= 13 20. Las circunferencias: C1: x2 + y2 – 12x – 6y + 25 =0 C2: x2 + y2 +2x + y = 10. Son tangentes en el punto “P”. Las coordenadas del punto P son: A. (3; 2) B. (1; 2) C. (-2; -1) D. (2; 1) 21. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de las ordenadas en (0; 6) y cuyo centro está contenido en la recta L: y - 3x = 0. A. (x - 2)² + (y - 6)² = 4 B. (x + 2)² + (y - 6)² = 4 C. (x - 2)² + (y - 6)² = 4 D. (x + 2)² + (y + 6)² = 4 22. Halla la longitud de la circunferencia que pasa por los puntosa (3; 0), B (1; 0) y C (0; 1) A. 2 2 π u B. 3 2 π u C. 2 5 π u D. 5π u 23. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (1; -0,5) sabiendo que es tangente a la recta L: 4x + 3y – 15 = 0 Página 5 Geometría Analítica 3 A. 4x2 + 4y2 – 8x + 4y – 15 = 0 C. x2 + y2 – 4x - 2y + 1 = 0 B. x2 + y2 – 2x + y – 7 = 0 D. x2 + y2 – 2x + y - 5 = 0 24. Determina la ecuación de la recta ortogonal a la cuerda común de las circunferencias: C1:x²+y² 8y=32 ; C2:x²+y² 6x=16 A. 3x–4y+16=0 C. 4x-3y-12=0 B. 3x+4y-16=0 D. 4x+3y+12=0 25. Halla las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias dadas por las ecuaciones: C1:x²+y²-4x 6y 9 0 ;C2:x²+y² 8x-2y 13 0 A. (2;1) y (4;3) C. (2; 3) y (4; 1) B. (1; 2) y (3; 4) D. (1; 3) y (2; 4) 26. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-2; 5), B(4; 3) y C(6; -1) A. x2 + y2 – 2x - 6y – 38 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 4y – 45 = 0 C. x2 + y2 – 2x - 2y - 35 = 0 D. x2 + y2 – 8x - 2y - 8 = 0 27. Determina el área del triángulo cuyos vértices son N (2; 4) y las intersecciones de la circunferencia C:(x-2)²+(y-4)²=25 con el eje de las abscisas. A. 6 u2 C. 12 u2 Javier Trigoso/Freddy Liñán 28. El centro de una circunferencia está dado por la intersección de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si pasa por el punto S (6; 2), halla su ecuación ordinaria. A. (x + 2)² + (y - 5)² = 25 B. (x - 2)² + (y - 5)² = 25 C. (x - 2)² + (y + 5)² = 25 D. (x - 5)² + (y + 2)² = 25 29. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si L3: 5x + 2y + 9 = 0 es tangente a ella, determina su ecuación ordinaria. A. (x + 2)² + (y - 5)² = 29 B. (x - 2)² + (y - 5)² = 29 C. (x - 2)² + (y + 5)² = 29 D. (x - 5)² + (y + 2)² = 29 30. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro está sobre la recta L: x + 2y + 5 = 0 A. x² + 4y² + 2x – 4y = 0 B. x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0 C. x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0 D. x² + y² - 24x + 10y + 9= 0 B. 8 u2 D. 16 u2 Página 6