Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda
solución a partir de otra ya conocida
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2.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de
primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida
Si conocemos una solución y1 diferente de cero en un intervalo I , al tener una ecuación
diferencial de segundo orden de la forma
a2 ( x) y´´+ a1 ( x) y´+ a0 ( x) y = 0
(1)
Podemos encontrar una segunda solución y2 , de tal manera que ambas soluciones formen
un conjunto linealmente independiente, entonces el cociente de ellas es otra función u ( x)
en ese intervalo I , o sea
u ( x) =
y1 ( x)
y2 ( x )
(2)
Despejando obtenemos
y2 ( x) = y1 ( x)u ( x)
(3)
Con un ejemplo observaremos el procedimiento para reducir una ecuación de segundo
orden a una de primer orden para encontrar la solución y2 , a partir de otra , o sea y1 .
Ejemplo 2.6.1.1 Teniendo
d2 y
− y = 0 , como solución en el intervalo ( −∞, ∞ ) tenemos
dy 2
y = e x Reducir el orden para determinar su segunda solución.
Siendo y = u ( x ) y1 ( x ) , por conveniencia escribimos
y = ue x
(4)
y´= ue x + u´e x
(5)
y´´= ue x + 2u´e x + u´´e x
(6)
Sustituyendo (4) y (6) en la ecuación diferencial
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Amalia C. Aguirre Parres
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 x

x
x
x
2
u
´
e
u
´´
e
+
+
 ue
N=0
 − ue
y
y´´


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(7)
Obtenemos 2u´e x + u´´e x = 0 , o bien
e x ( u´´+2u´) = 0
(8)
De la ecuación (8), si e x debe ser diferente de cero, entonces ( u´´+2u´) debe ser igual a
cero, ya que el producto de ambas es igual a cero,
Utilizando una sustitución w = u´
(9)
Entonces u´´+2u´= w´+2 w
(10)
De tal manera que el lado derecho del igual se convierte en una ecuación diferencial de
primer orden, manejando un factor integrante como e 2 x , multiplicándolo por la ecuación
anterior queda
e 2 x ( w´+2 w ) = 0
(11)
La ecuación (11), proviene de
Integrando
d
d 2x
( e w) = 0
x
∫ dx ( e w) = ∫ 0dx obtenemos e
2x
2x
w = c1 o bien w = c1e −2 x ,
Restituyendo u´= c1e −2 x , volvemos a integrar
1
u = − c1e −2 x + c2
2
(12)
Por lo tanto en nuestra ecuación original y = u ( x ) y1 ( x ) queda
 1

y =  − c1e −2 x + c2  e x
 2

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(13)
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1
Simplificando y = − c1e − x + c2 e x haciendo c1 = −2 y c2 = 0 obtenemos y2 = e − x
2
Determinando el Wronskiano, W ( e x , e − x ) =
ex
e− x
ex
−e − x
Calculando el Wronskiano para determinar si son linealmente independientes o no.
W ( e x , e − x ) = −e x e − x − e x e− x = −2
(14)
Son soluciones linealmente independiente de una ecuación de segundo orden.
Demostración de manera general
Teniendo como en (1), la forma general de una ecuación de segundo orden,
a2 ( x) y´´+ a1 ( x) y´+ a0 ( x) y = 0
Dividiendo (1) entre el coeficiente a2 ( x) nos queda
y´´+
a ( x)
a1 ( x)
y´+ 0
y=0
a2 ( x )
a2 ( x )
(15)
Rescribiéndola nos queda
y´´+ p( x) y´+ q( x) y = 0
Haciendo p ( x) =
a1 ( x)
a2 ( x)
(16)
y
q ( x) =
a0 ( x)
,
a2 ( x )
donde p( x)
y q( x) son continuas en el
intervalo I .
Suponiendo que y1 ( x) es la solución que conocemos de la ecuación de segundo orden y
que es además diferente de cero para todo valor de x en el intervalo
Siendo y = u ( x ) y1 ( x ) ,
Por conveniencia escribimos y = uy1
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(17)
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Primera derivada y´= uy1´+u´ y1
(18)
Segunda derivada y´´= uy1´´+2u´ y1´+u´´ y1
(19)
Entonces sustituyendo en la ecuación diferencial(16) obtenemos
( uy1´´+2u´ y1´+u´´ y1 ) + p ( uy1´+u´ y1 ) + q ( uy1 ) = 0
(20)
Desarrollando uy1´´+2u´ y1´+u´´ y1 + + puy1´+ pu´ y1 + quy1 = 0
Reacomodando u ( y1´´+ py1´+ qy1 ) + u´( 2 y1´+ py1 ) + u´´( y1 ) = 0
El factor que multiplica a u es igual a cero pues es la ecuación diferencial misma
De tal manera que nos queda
u´( 2 y1´+ py1 ) + u´´( y1 ) = 0
(21)
Reacomodando nuevamente u´´( y1 ) + u´( 2 y1´+ py1 ) = 0
Haciendo w = u´ entonces w´= u´´ , por lo tanto
w´( y1 ) + w ( 2 y1´+ py1 ) = 0
(22)
Separando variables (dividiendo ambos términos entre w y y1 obtenemos
w´  2 y1´+ py1 
+
=0
w 
y1

Simplificando
(23)

w´  2 y1´
+
+ p = 0
w  y1

Integrando obtenemos ln ( w ) + 2 ln ( y1 ) + ∫ pdx = c1
Aplicando propiedades de logaritmos ln ( wy12 ) = − ∫ pdx + c1
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Aplicando antilogaritmo e
ce ∫
Despejando w = 1 2
y1
− pdx
(
ln wy12
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) = e− ∫ pdx + c obtenemos wy 2 = c e− ∫ pdx
1
1
1
ce ∫
, pero como w = u´ entonces u´= 1 2
y1
− pdx
− pdx
e ∫
dx + c2 de la solución general
Volviendo a integrar obtenemos u = c1 ∫
y12
y = c1 y1 + c2 y2
(24)
Haciendo c1 = 1 y c2 = 0 , nos quedaría y = u ( x) y1 ( x) de tal manera que
 e − ∫ p ( x ) dx 
 dx
y2 ( x) = y1 ( x ) ∫ 
 y1 ( x) 2 


(25)
La cual se conoce como segunda solución y2 , a partir de otra , o sea y1 .
Ejemplo 2.6.1.2 Siendo y1 = x 2 , solución de: x 2 y´´−3xy´+4 y = 0 determinar la solución
general en el intervalo (0, ∞) .
2
Dividiendo la ecuación entre x , nos quedaría
Es decir y´´−
x2
3x
4
y´´− 2 y´+ 2 y = 0
2
x
x
x
3
4
y´+ 2 y = 0 , en la forma estándar.
x
x
Haciendo p ( x) = −
3
− − ) dx
x
∫
3
e
entonces nos queda y2 ( x) = x 2 ∫
dx
x
( x 2 )2
3
eln( x )
x3
Simplificando y2 ( x) = x ∫ 4 dx , o bien y2 ( x) = x 2 ∫ 4 dx
x
x
2
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De tal manera que y2 ( x) = x 2 ∫
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dx
, integrando obtenemos que y2 ( x) = x 2 ln( x)
x
Y la solución general es y = c1 x 2 + c2 x 2 ln ( x )
El método de reducción de orden demuestra que si se tiene una solución y1 de una
ecuación homogénea, entonces siempre se puede obtener la segunda solución y2 , (Sin
embargo no existe un método general para obtener una solución de la ecuación
homogénea).
Suponga que se quiere resolver la ecuación homogénea y ′′( x) + p ( x) y ′( x) + q ( x) y ( x) = 0.
Y que se ha tenido la suficiente suerte como para conocer una solución y1 ( x) de
y ′′( x) + p( x) y ′( x) + q( x) y ( x) = 0. La clave es buscar soluciones de la ecuación diferencial
en la forma y = uy1
Donde u es una función desconocida de x y y1 es la solución conocida de la ecuación
homogénea de segundo orden y ′′( x) + p( x) y ′( x) + q( x) y ( x) = 0.
Ejemplo 2.6.1.3 Teniendo que y1 = x es una solución de x 2 y´´+3xy´−3 y = 0
Encuentre una segunda solución de la ecuación diferencial y muestre la solución general
Sea y = uy1 o bien y = ux , sustituyendo el valor en la ecuación de segundo orden tenemos
y´= u + xu´ y y´´= u´´x + 2u´ tenemos x 2 ( u´´x + 2u´) + 3 x ( xu´+u ) − 3 ( ux ) = 0
Reacomodando
u´´x 3 + 2 x 2 u´+3x 2 u´+3xu − 3ux = 0
(26)
Simplificando x3 u´´+5 x 2 u´= 0 haciendo w = u´ entonces
x3 w´+5 x 2 w = 0
(27)
5
Dividiendo (27) entre x 3 , w´+ w = 0
x
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quedando una ecuación de un orden menor, reacomodando
w´ 5
+ =0
w x
(28)
Integrando ln ( w ) = −5ln ( x + c1 ) aplicando antilogaritmo eln ( w) = e
(
ln x −5 + c1
) , resulta
w = c1 x −5
(29)
Restituyendo ya que w = u´ entonces u´= c1 x −5 , integrando nuevamente u =
Entonces y =
c1 −4
x
−4
c1 −4
x x , la segunda solución
−4
y = c2 x −3
(30)
De tal manera que la solución general quedaría como
y = c1 x + c2 x −3
(31)
Derivando y´= c1 − 3c2 x −4
(32)
La segunda derivada y´´= 12c2 x −5
(33)
Sustituyendo en la ecuación diferencial (32) y (33), nos damos cuenta que sí la satisface por
lo tanto sí es una solución.
Teniendo la ecuación diferencial x 2 y´´+3xy´−3 y = 0
Sustituyendo la solución general y sus derivadas
x 2 (12c2 x −5 ) + 3x ( c1 − 3c2 x −4 ) − 3 ( c1 x + c2 x −3 ) = 0
(34)
Desarrollando 12c2 x −3 + 3c1 x − 9c2 x −3 − 3c1 x − 3c2 x −3 = 0 lo cual queda demostrado.
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Ejemplo 2.6.1.4 Teniendo que y1 = x es una solución de y´´− xy´+ y = 0 encuentre una
segunda solución de la ecuación diferencial y muestre la solución general.
Sea y = uy1 o bien y = ux , sustituyendo el valor en la ecuación de segundo orden tenemos
y´= u + xu´ y y´´= u´´x + 2u´ , así
( u´´x + 2u´) − x ( xu´+u ) + ( ux ) = 0
Reacomodando u´´x + 2u´−u´x 2 − ux + ux = 0
Simplificando u´´x + u´( 2 − x 2 ) = 0
 2 − x2 
Haciendo w = u´ y dividiendo entre x nos queda w´+ w 
=0
 x 
w´  2 − x 2 
Una ecuación de menor orden, reacomodando (dividiendo entre w )
+
=0
w  x 
Integrando ln ( w ) + 2 ln ( x ) −
w=e


−2 1 2
 ln x + x + c1 
2



1 2
x
−2  2 
o bien w = c1 x e
1 2
x
−2  2 
Entonces u´= c1 x e
1
 −2 ln x + x
1 2
2
x = c1 , aplicando antilogaritmo eln w = e
2
2

+ c1 

,
de tal manera que si restituimos el valor de w = u´
1 2
x
−2  2 
al integrar u = c1 ∫ x e
dx , de tal manera que la antiderivada
x
1 2
t
−2  2 
requiere de una integral definida para encontrar u o sea u = c1 ∫ t e
1
dt
 x −2  12 t 2  
 x −2  12 t 2  


dt  y1 o sea y =  ∫ t e  dt  x
Por lo que la solución y =  ∫ t e
 1

 1





 x −2  12 t 2  
La solución general sería y = c1 x + c2 x  ∫ t e  dt 
 1



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Resumen de reducción de orden
El método de reducción de orden se puede usar para encontrar un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuación homogénea y´´+ py´+ qy = 0 con una solución dada y1 , como
sigue:
1. Se hace y = uy1 y se sustituye en la ecuación diferencial
2. Esto lleva a una ecuación lineal de segundo orden en y sólo con términos en u y u´ .
Se hace w = u´ para obtener una ecuación lineal de primer orden en w .
3. Se encuentra una solución para w ya sea por separación de variables o por factores
integrantes.
4. Sea u una antiderivada de w .
5. Se hace y2 = uy1 Entonces
{ y1 , y2 }
es un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y´´+ py´+ qy = 0
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