divisor: MCD y mcm

Mínimo común múltiplo
El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.
El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:
¿Qué es un "múltiplo"?
Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas
por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.
Aquí tienes ejemplos:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...
Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...
¿Qué es un "múltiplo común"?
Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas,
esos son los múltiplos comunes a los dos números.
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los
múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los
múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)
¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los
múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
Calcular el mínimo común múltiplo
En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que
coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
1
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el
15. Respuesta: 15
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)
Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.
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Cálculo del MCD
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
Por descomposición en factores primos
Artículo principal: Factorización de enteros.
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de
los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el
MCD.
Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos
El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo
calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.
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Cálculo del mínimo común múltiplo (M.C.M)
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores
primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la
mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:
Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos,
que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
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Máximo común divisor
El máximo c omú n di visor, m. c.d. de dos o más núme ros es el mayor númer o que
divide a tod os exa ct amente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se de sc om ponen los n úmer os en fact ores prim os.
2. Se t oma n los fac t ores c om une s con m enor ex ponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d . de: 72, 108 y 60.
1.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
2.
m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12
12 es el mayor númer o que divide a 72, 108 y 60.
5
Si un n úmer o es divi sor de ot ro, entonce s éste es el m. c. d.
El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Es el menor de tod os múltiplos comunes a varios núme ros , excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se de sc om ponen los n úmer os en fact ores prim os
2. Se t oma n los fac t ores c om une s y no c om une s con mayor exponente.
Ejemplo
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60 ) = 2 3 · 3 3 · 5 = 2 160
2160 es el menor núm ero que puede ser divi dido por: 72, 108 y 60.
Si un número es un m últiplo de otro, entonces es el m. c. m. de a mbos.
El número 36 es m últiplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 3 6
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Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m . c. m. (a, b) = a · b
Ejercicios
Calcular el m . c . d. y m.c.m. de:
1 428 y 376
428 = 2 2 · 107
376 = 2 3 · 47
m. c. d. (428, 376) = 2 2 = 4
m. c. m. (428, 376) = 2 3 · 107 · 47 = 4 0 23 2
2 148 y 156
148 = 2 2 · 37
156 = 2 2 · 3 · 13
m. c. d. (148 , 156) = 2 2 = 4
m. c. m. (148 , 156) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 5 772
3 600 y 1 000
600 = 2 3 · 3 · 5 2
1000 = 2 3 · 5 3
m. c. d. (600 , 1000) = 2 3 · 5 2 = 2 00
7
m. c. m. ( 600 , 1000) = 2 3 · 3 · 5 3 = 30 00
Calcular el m . c . d. y m.c.m. de:
1 1048, 786 y 3930
1048 = 2 3 · 131
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 131
m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262
m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 7 20
2 3120, 6200 y 1864
3210 = 2 4 · 3 · 5 · 13
6200 = 2 3 · 5 2 · 31
8
1864 = 2 3 · 233
m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8
m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 2 4 ·3 · 5 2 · 13 · 31 · 233 =
= 1 12 6 78 8 00
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir e n los cinco minutos sig uientes.
12 = 2 2 · 3
18 = 2· 3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.3 3 h .
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en
Barcelona.
¿Dentro de cuantos dí as volverá n a estar los dos a la vez en Barcel ona?
18 = 2 · 3 2
24 = 2 3 · 3
9
m. c. m. (18, 24) =2 3 · 3 2 = 72
Dentr o de 7 2 días.
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada
caso dar de resto 9?
m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 72 0
720 + 9 = 7 29
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su
contenido se quiere envasa r en cierto núm ero de garrafas iguale s. Calc ular las c apacidades
máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada
uno de los toneles, y e l número de garra fas q ue se necesitan.
m. c. d.(250, 360, 540 ) = 10
Capacidad de las garra fas = 10 l.
Número de garraf as de T
1
= 250 / 10 = 25
Número de garraf as de T
2
= 360 / 10 = 36
Número de garraf as de T
3
= 540 / 10 = 54
Número de garraf as = 25 + 36 + 54 = 1 15 garrafa s .
El suelo de una habitación, que se q uiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de
ancho.
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Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se
coloque sea mínimo y que no sea necesario c ortar ninguna de ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 · 3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2
A = 30 · 50 = 1500 d m 2
m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado
A
b
= 10 2 = 100 dm 2
1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 bald osa s
Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manz anas y 12 772 naranjas, de modo que
cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número
posible. Hallar el núm ero de naranja s de ca da caja y el número d e cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 7 72) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de nara njas = 1 2 772 / 124 = 103
Cajas de ma nz anas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 10 3 + 97 = 2 00
¿Cuá nto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en
una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y c uántas baldosas se necesitan?
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8 m = 80 dm 80 = 2 4 · 5
6.4 m = 64 dm64 = 2 6
m. c. d. (80, 64) = 2 4 = 1 6 dm de lado
A
b
= 16 2 = 256 dm 2
A = 80 · 64 = 5120 d m 2
5120 dm 2 : 256 dm 2 = 20 bal dosas
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