DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Múltiplos y divisores

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Múltiplos y divisores
Un polinomio D(x) es divisor de otro polinomio P(x) si la división P(x) : D(x) es exacta.
En ese caso, decimos que P(x) es un múltiplo de D(x) , puesto que P(x) = D(x) · Q(x).
D(x) = x3 + x2 - 9x - 9 es divisor de
P(x) = x4 - 10x2 + 9 y por tanto, P(x) es multiplo de D(x) , porque:
P(x) = x4 - 10x2 + 9 = (x3 + x2 - 9x - 9) (x - 1) = D(x) · Q(x)
TEOREMA DEL RESTO
El teorema del resto permite calcular el residuo entre una división de polinomios, siempre y cuando el divisor
sea de primer grado
Ejemplo: Dividir 4 x2 – 3 x + 2 entre x + 2
 Pasos: Igualamos a cero el divisor x + 2 = 0
x = -2
 El valor de x se reemplaza en el divisor
 P(-2) = 4 (-22) – 3(-2) + 2 = 24
 24 es el resto de la división
REGLA DE RUFFINI
Para
aplicar
la
regla
de
Ruffini,
se
ponen
los
coeficientes
del
dividendo
-completo y ordenado de mayor a menor grado, y el opuesto del número "a" del divisor (el opuesto del
término independiente. si es una suma, queda un número negativo. si es una resta, queda un número
positivo). las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver
en la explicación todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el resto de la
división; y los otros números son los coeficientes del cociente (resultado de la división), a los que hay que
agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y
disminuyendo
hasta
llegar
a
un
término
independiente
(grado
cero).
Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera
para que la tengan, y así luego poder usar la regla de Ruffini.
Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por
ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.
A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3
B=x+2
A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =
1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5
2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2
-3
-2
2
10
0
-5
6 -16 12 -24
-3
8
Cociente = -3x3
-6 12
-29
+ 8x2 - 6x + 12
Resto: -29
POLINOMIOS IRREDUCIBLES
Un polinomio se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior al suyo es divisor de él.
1) P(x) = x2 + 2, es irreducible.
2) Q(x) = 3x + 15, es irreducible aunque sea divisible por x + 5 , ya que son del mismo grado.
3) R(x) = x2 - 3x - 4, no es irreducible ya que es igual a (x + 1) · (x - 4)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE POLINOMIOS
El máximo común divisor (M.C.D.) de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor común
de todos ellos.
Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes
elevados a la menor potencia.
El mínimo común multiplo (m.c.m.) de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de
todos ellos.
Para hallar el m.c.m. de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes
y no comunes elevados a la mayor potencia.