MATEMÁTICA mágica Una forma lúdica de

MATEMÁTICA mágica
Una forma lúdica de acercarse
a las matemáticas
Ermínsul Palomino Bejarano. Matemático. Magíster en Educación y
Desarrollo Humano. Docente investigador Universidad Autónoma de
Occidente. Grupo de Investigación en Educación.
epalomino@uao.edu.co
Uno de los retos que tienen la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas es que el estudiante entienda la relación que estas
tienen con el mundo que lo rodea. Además, es preciso que su
aprendizaje sea divertido, efectivo y promueva la capacidad de
análisis e investigación.
Matemática Mágica
La experiencia con los cursos iniciales de matemáticas en la
universidad nos muestra que muchos estudiantes aún no han
construido los conceptos básicos y esto se convierte en desinterés
por su estudio. Así, cuando asisten a un curso, se presenta el círculo
vicioso: desinterés, falta de construcción del saber matemático,
desinterés, y así sucesivamente. Por este motivo, se debe intentar
hacer de esta materia un trabajo interesante, pues a pesar de que
hay estudiantes que aprenden con o sin maestros, para otros la
labor del profesor es imprescindible para desarrollar su curiosidad.
En esa dirección, son necesarias distintas herramientas didácticas,
que incentiven su interés y motivación. Uno de los recursos que
se puede utilizar es la matemagia, entendiendo esta la capacidad
de asombrar e interesar a los estudiantes para luego explicar algo
extraordinario, y en ocasiones aparentemente imposible, a través
de la argumentación matemática. En este texto se propone un
nuevo enfoque que busca despertar el interés de los estudiantes.
La relación entre matemática y magia es muy antigua; desde la
época de Luca Pacioli (Italia, 1445-1517), se conocen trabajos
escritos de esta índole. Entre las ventajas que tiene trabajar con
matemagia está el hecho de que, además de mostrar situaciones
que despiertan una verdadera curiosidad y motivación por saber
qué pasó, está el profesor, quien se convierte en un gran mago que
planea el efecto, realiza el acto de manera adecuada para mostrar un
resultado asombroso, y después resuelve la intriga. Es conveniente
aclarar que esta situación no pone en entredicho el prestigio de
profesores ni de magos; sólo está revelando características propias
del acto que tiene una explicación matemática y así es como la
magia se convierte en un bello instrumento para fomentar no
solo la indagación de lo desconocido, sino también el interés
por investigar y llegar al fondo de los escenarios problémicos
planteados.
Durante este proceso, los estudiantes proponen distintas
alternativas que al final se analizan a la luz de la solución expuesta
por el profesor. Una de las ventajas de realizar matemagia es que
se sale de lo rutinario; además hay varias posibilidades de solución
y se plantean teoremas matemáticos mediante interrogantes que
el estudiante desea resolver. Los fundamentos de la matemagia
van desde lo simple (operaciones básicas) hasta ejemplos con
matemática avanzada (teoría de grupos), que promueven el
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Matemática Mágica
espíritu investigativo y crítico de los estudiantes. Ellos siempre
tratarán de indagar por qué sucede dicha situación. En muchos
casos se ha notado que esta forma de indagación es más atractiva
que la demostración.
En este sentido, el objetivo de este trabajo de investigación fue
minimizar las actitudes negativas de los estudiantes, utilizando
recursos de matemática lúdica como la amistad entre los números.
A manera de ejemplo, se puede hacer el siguiente ejercicio: piensa
un número; luego súmale el número consecutivo; al resultado
agrégale 15; divide entre dos la adición anterior y una vez obtenida
la respuesta réstale el número que pensaste: ¿Verdad que el
resultado es 8? ¿Qué pasó? ¿Cómo se obtiene el mismo resultado?
¿No importa el número que se piensa?
La explicación de este juego de adivinación se devela de manera
clara usando expresiones algebraicas que dan cuanta de lo que hay
detrás de un número desconocido: Supongamos que el número
pensado por el lector lo representamos con la letra X, al sumarle
el siguiente, este será x + 1, al sumarle 15, obtenemos 2x + 16, y
al dividirlo entre 2, da x + 8 . Al restarle el número (que fue el
pensado inicialmente), nos da como resultado final , sin importar
el número pensado de entrada. Los pasos se pueden escribir de la
siguiente forma:
1)
Número pensado: x
2)
Al número x se, le suma el siguiente ( x + 1), así: x + ( x + 1)
3)Al resultado anterior se le suman 15, entonces queda:
x + ( x + 1) + 15
4)
Se divide por dos, así:
5)
Al restar el número pensado, x, queda: x + 8 - x = 8
Con este sencillo ejemplo podemos mostrar una relación muy
interesante entre el álgebra básica y un acto de magia. Para
explicar lo ocurrido, tengamos en cuenta que, en realidad, al
sumar un número y su consecutivo, resulta el doble del número
pensado, más uno, así: 8+9=8+8+1= 2 x 8 + 1 = 17. Al sumarle
15, sé que el resultado es 16 (17 + 15 = 32), y al dividirlo entre
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Matemática Mágica
dos, obtengo el número pensado más la mitad de 16, es decir, el
número pensado más 8. Como le resto el número pensado, solo
me queda el 8 que ya sabía, con base en el número que dije que
sumara (en este caso, 15). Si le hubiera dicho que sumara 17, el
resultado final es 17+1=18; dividido entre dos nos da 9, si le digo
que sume 23, el resultado final es 12, y así sucesivamente.
Ante la pregunta “¿Cómo hacer para que los estudiantes no
rechacen la matemática?” no hay respuesta fácil. Pero sí hay
elementos fundamentales que debemos tener los docentes para
transmitírselos a quienes nos escuchen en una clase, taller o
conferencia: debemos mostrar que nuestro trabajo es agradable
y que es posible divertirnos con los números. Aunque algunos
estudiantes no necesitan de los profesores para aprender e
incentivarse, la mayoría sí, y de nuestra actitud y claridad depende
su grado de interés. El gozo de uno se lee en los ojos, y quienes nos
atiendan lo captarán de forma inmediata. Nuestra actitud habla
por nosotros; por eso debemos ser muy recursivos didácticamente,
aprendiendo cada día más para saber guiar de manera eficiente a
nuestros estudiantes.
UN MATEMAGO
EXTRAORDINARIA
CON
UNA
MEMORIA
Puedes ser tú; hazlo y te asombrarás. Para lograr este efecto vamos
a utilizar una tabla como la que se muestra a continuación (Ver
tabla 1).
Tabla 1. Memoria numérica
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Matemática Mágica
Le diremos a nuestro amable público que sabemos cómo
aprender de memoria una tabla como esta, o incluso una mucho
más grande. A continuación les indicamos a los espectadores
que los números están organizados al azar. En este caso son 48
números dispuestos en 8 filas y 6 columnas. El matemago le dice a
alguien del público que elija un número cualquiera mientras él da
la espalda. El número elegido se tapa con algún, tal como como
una moneda. Una vez se ha ocultado el número, el matemago se
voltea y en forma instantánea dice cuál es el número tapado con
la moneda.
En realidad, el truco consiste en la disposición que tienen los
números, pues no están repartidos en forma tan aleatoria como
podría pensarse. Si se observa con detalle y nos ubicamos en una
casilla específica (en este caso el número 19), contamos cuatro
casillas en diagonal y observamos el número de la cuarta casilla,
este es el resultado de sumar 3 unidades si la diagonal es hacia
arriba (19 + 3 = 22) o restar tres unidades si la diagonal es hacia
abajo, (19 - 3 = 16) . Así lo muestran las siguientes tablas (ver tablas
2 y 3)
Escribir filas y columnas horizontal y verticalmente
Tabla 2. Resolución de la memoria numérica
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Matemática Mágica
Tabla 3. El número 19 está debajo de la moneda
Una de las ventajas de este juego es que puede incentivar a
los jóvenes a realizar sus propias tablas e investigar posibles
variaciones. Esto los ayudará a quitar el aire misterioso de las
matemáticas y a sentir que la pueden manejar. De hecho, con
explicaciones matemáticas es posible resolver preguntas como
¿por qué hay 6 columnas y 8 filas? ¿Siempre es así? Una vez se
entienda cómo funciona esta tabla, se pueden mostrar otras tablas
que funcionen contando hasta de 5 o 6 dígitos en la diagonal y es
un verdadero reto para los jóvenes encontrar el patrón utilizado.
Para realizar la tabla propuesta en el ejemplo se inicia escribiendo
números aleatorios en las tres primeras filas (la cuarta fila ya
depende de la diagonal contando cuatro casillas y sumando o
restando el número a considerar, en nuestro ejemplo, sumando
tres unidades hacia arriba o restando tres unidades hacia abajo).
Las filas restantes se van llenando con la suma de las tres unidades
de nuestro caso, en la diagonal que permita la tabla, ya sea hacia
la derecha o hacia la izquierda. El número de columnas depende
de la relación 2n 2, donde n es el número de casillas que se están
contando en la diagonal. En nuestro caso son cuatro, por lo que las
filas son 2(4)2= 6 columnas. Las filas son las que se quieran poner
a partir de cuatro, pues esta cuarta fila depende de la primera fila
inicial.
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Matemática Mágica
NÚMEROS PALÍNDROMOS
Recordemos que los números naturales, son aquellos que se usan
para contar de manera “natural”. Dependiendo de la postura que
se tenga respecto a ellos pueden iniciar con el cero o sin él. Se
representan con la letra N, y desde el punto de vista conjuntista se
pueden representar así: N= {1,2,3,4,…}
También tengamos en cuenta que un número primo es un número
natural mayor que 1, el cual solo es divisible por sí mismo y por la
unidad. Ejemplo de números primos son 2, 3, 5, 7 y 11.
El término palíndromo se usa para referirse a frases y palabras
que pueden ser leídas de derecha a izquierda y viceversa, y
dicen lo mismo. Por supuesto, no se tienen en cuenta espacios
ni puntuación. Ejemplos de estas frases y palabras son: la ruta
natural, luz azul, reconocer, Ana. El término palíndromo también
se usa para referirse a números. Recordemos que un número
palíndromo es aquel que al leerlo hacia la derecha o hacia la
izquierda es el mismo número. Por ejemplo, el número 121. De los
números palíndromos se saben algunas cosas, pero se desconocen
otras. Desde hace mucho tiempo se conoce una forma de generar
números palíndromos y es la siguiente: tome un número, luego
escriba sus dígitos en orden invertido y súmelo con el número
inicial. Ejemplo: Número inicial: 65
Dígitos en orden invertido: 56
Suma: 65 + 56 = 121
El número 121 es un número palíndromo obtenido en un solo paso.
El número 363 es un número palíndromo que se puede generar en
dos pasos, empezando con el 39, así: primer paso, 39 + 93 = 132.
Segundo paso, 132 + 231 = 363. En realidad, todo número cuya
suma de sus dígitos es 10, 12 ó 13, genera un número palíndromo
en dos pasos. Ejemplos: primer paso, 37 + 73 = 110; segundo paso,
110 + 011 = 121. Primer paso: 49 + 94 = 143; segundo paso, 143
+ 341 = 484. Algunos palíndromos son generados en más pasos,
por ejemplo: iniciando con el 167 se puede generar el número
palíndromo 88555588 en once pasos. Algo similar sucede con
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Matemática Mágica
el 353222353 iniciando con 365, pero en trece pasos. Hay un
número que parece no dejarse convertir en número palíndromo
mediante este proceso mencionado: arriba el 196. Por más pasos
que se realicen (en realidad, millones), no se ha podido encontrar
un palíndromo con él, aunque tampoco se ha podido demostrar
(verificar) que no genere un uno.
Entre algunas conjeturas que existen acerca de los números
palíndromos, está la que dice que todo número natural genera
un número palíndromo; sin embargo, el 196 es un contraejemplo.
Otra conjetura famosa es que hay infinitos números primos que
son números palíndromos. El número 11, además de ser primo, es
palíndromo, igual que el 101, el 131, el 151, etc. A raíz de esto se
puede preguntar: ¿son infinitos los números primos palíndromos?
la respuesta parece evidente, aunque no se ha podido probar;
se piensa que sí, pero sólo se trata de una conjetura. Existe una
variedad de números primos palindrómicos que consisten en el
número 1 repetido muchas veces; estos también son llamados
números de Repunit y el primer número es el 1 repetido 317 veces,
descubierto por Hugh C. Williams. Otros son el número 11 y los
números palíndromos formados con 19 y 23 unidades. También
se puede probar que si un número es primo de Repunit, entonces
tiene un número primo de dígitos.
También podemos hablar de los números primos palindrómicos
gemelos, que son los números primos que contienen un número
distinto de 1 y, a cada lado, el número 1 repetido muchas veces.
Ejemplo:
1111111111111111111111111111111111111111111114111111
111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111115111111
111111111111111111111111111111111111111
¿Podría usted encontrar otros primos palíndromos gemelos?
Otro hecho interesante es que si un número palíndromo tiene un
número par de dígitos, entonces es divisible por 11. ¿Puede usted
probarlo?
Ejemplo: 731137 y 95344359
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Matemática Mágica
Por último, hay exactamente 198 números palíndromos entre el 1
y el 9999. Veamos: del número1 al número 9 todos son números
palíndromos, ya que al ser de un solo dígito se lee de una sola
manera de derecha a izquierda o de izquierda a derecha; del
número10 al número 99 son solo palíndromos aquellos formados
por dos dígitos iguales (el 11, 22, 33, etc.), es decir, nueve números.
Entre 100 y 999 se puede elegir entre el 1 y el 9 para ser el primer
dígito y el 0 y el 9 para ser el último; luego hay 9 x 10 = 90 de
estos números. Entre 1000 y 9999 podemos elegir del número 1
al número 9 para ser el primero y el cuarto dígitos y del 0 al 9 para
ser el segundo y el tercer dígitos; luego hay 9 x 10 = 90 de este tipo
de números.
En total hay 9 + 9 + 90 + 90 = 198 palíndromos del 1 al 9999. ¿Podría
usted encontrar todos los números por medio de un algoritmo?
Inténtelo, vale la pena.
MIS AMIGOS LOS NÚMEROS
A pesar de los notorios avances en las nuevas tecnologías, así
como en la didáctica y la pedagogía, para muchas personas
las matemáticas siguen siendo un campo complejo y extraño,
accesible solo a unos pocos. Para contrarrestar esta concepción,
la herramienta didáctica utilizada en este enfoque consiste en
usar el concepto de amistad para generar mucha motivación en
el estudio de las matemáticas y así acercarse al conocimiento de
los números sin ningún temor. Como todos los amigos, hay varias
clases de amistades numéricas. Mencionaremos algunas, luego
de definir lo que se entiende por números amigos:
Números amigos
Los números amigos se reúnen en parejas a compartir una
característica: la suma de sus divisores (excepto ellos mismos) es
igual al otro número. Ejemplo: 220 y 284 son números amigos,
pues:
La suma de los divisores de 220 = 1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22
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Matemática Mágica
+ 44 + 55 + 110 = 284
La suma de los divisores de 284 = 1 + 2 + 4 + 71 +142 = 220
Otras parejas de números amigos son 2620 y 2924; 9437056 y
9363284
Amigos mágicos
Aquí encontramos números que parecen mágicos porque siempre
traen una sorpresa y una maniobra para mostrarse al público, y al
final se destacan.
Caso 1: Piense en un número de cinco cifras, de tal manera que la
primera y la última no sean iguales. Luego intercambie el primer
dígito con el último. De estos dos números que quedan, reste el
mayor al menor. A continuación intercambie la primera y la última
cifra del resultado y súmelo con el resultado del tercer paso. El
número que resulta es 109989. Puedes conjeturar, amigo lector,
cuál es la razón para que esto ocurra. Por ejemplo, como una pista,
puedes escribir la expresión en forma decimal del número. En el
caso de 139, tenemos: 139: 3 x 100 + 3 x 10 + 9. Hazlo con un
número de cinco cifras, siguiendo las instrucciones anteriores.
Caso 2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Piensa en un número de tres cifras
Toma la primera cifra y multiplícala por 2
Al resultado súmale tres
Multiplica por 5 el valor obtenido
A ese resultado, súmale la segunda cifra del número pensado originalmente
Multiplica por 10 el nuevo resultado.
Suma la tercera cifra del número pensado inicialmente
Resta 150 al nuevo resultado
¿Qué valor obtienes?
Sí. Obtienes el número que habías pensado. Bien, hagámoslo con
un número en particular, por ejemplo el 426. Los pasos son los
siguientes:
10
Matemática Mágica
a)426
b)4x2=8
c)8+3=11
d)11x5=55
e)55+2=57
f)57x10=570
g)570+6=576
h)
576 150= 426
i)426
Para explicarlo, tomemos un número de tres cifras cualquiera: xyz,
el cual en su expresión decimal resulta ser xyz = 100x + 10 y+ z.
Ahora sigamos los pasos de nuevo con el número xyz:
a)xyz
b)2x
c)2x+3
d)(2x+3)x5=10x+15
e)10x+15+y
f)(10x+y+15)x10=100x+10y+150
g)100x+10y+150+z=100x+10y+z+150
h)100x+10y+z+150=150=100x+10y+z
i)100x+10y+z
En realidad, las operaciones que se realizan sobre el número inicial,
lo dejan de la misma manera, solo dan un poco de sorpresa para
distraer, pero queda intacto. Fácil, ¿verdad? Por favor, intenta con
otro número.
Amigos grandes
A continuación presentamos algunos ejemplos de números
grandes, en relación con ciertas propiedades que cumplen.
Ejemplos:
1) Un número narciso (ver definición más adelante) grande es:
115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401
2) Un número vampiro grande es:
11
Matemática Mágica
1.234.554.321*9.162.361.086=11.311.432.469.283.552.606
Recordemos que un número vampiro es aquel que resulta de
la multiplicación de dos números (llamados progenitores), con
cantidad de dígitos par. El resultado involucra los números
multiplicados sin importar su orden. Los progenitores no deben
terminar en ceros.
3) Un número sublime (ver definición más adelante) grande es: 60
8655567023837898967037173424316962265783077335188597
0528324860512791691264
4) Un número primo grande es: 232582657 - 1
Recordemos que un número primo es aquel que solo es divisible
por sí mismo y por la unidad (por ejemplo, los números 5, 7, 11
y 1). De hecho, este es el número primo más grande conocido y
consta de 9.808.358 dígitos. Este número también es conocido
como número de Mersenne y es el más grande conocido hasta
ahora. Existe un valioso premio para quien halle un número primo
con más de 10 millones de dígitos.
5) Un número capicúa (o palíndromo, es decir, aquel que se lee de
la misma forma de derecha a izquierda y de izquierda a derecha)
grande es 1023456987896543201, aunque también es al mismo
tiempo el número palíndromo más pequeño en contener los
dígitos del 0 al 9
Amigos geométricos
Son aquellos que se pueden representar por ciertas figuras
geométricas, llamadas polígonos, de tal manera que se construyan
con igual número de puntos que representen los números. En el
caso de tres puntos se habla de números triangulares; de cuatro
puntos, se habla de números cuadrados; cinco puntos son números
pentagonales, y así sucesivamente. El número 1, por definición, es
un número poligonal.
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Matemática Mágica
Ejemplos de números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, y su
representación geométrica:
Ejemplos de números cuadrados: 1,4, 9, 16, 25,36, y su
representación geométrica.
Ejemplos de números pentagonales: 1,5, 12, 22, y su representación
geométrica:
13
Matemática Mágica
Ejemplos de números hexagonales: 1, 6, 15, 28, y su representación
geométrica:
Amigos perfectos
Entre nuestros amigos hay algunos perfectos, gracias a la
propiedad que cumplen: se dice que un número natural n es
perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, es decir,
todos sus divisores, excepto él mismo. Ejemplo: El número 6 es
perfecto, pues sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma es 6.
Otro número perfecto es el 28, pues sus divisores son 1,2,4,7
y 14, cuya suma es 28. Un número perfecto más grande es el
8589869056. En la actualidad solo se conocen 46 números
perfectos, y sus aplicaciones tienen que ver con el avance de los
computadores, pues entre más grande es el número, más difícil es
para calcularse. Así, se puede medir la capacidad de un ordenador,
según su capacidad de encontrar números como estos. Algunas
preguntas sin respuesta conocida, respecto a los números
perfectos, son: ¿Existen infinitos números perfectos? ¿Todos los
números perfectos son pares?
Amigos cíclicos
Un número natural de n dígitos es cíclico si, al multiplicar por un
múltiplo menor o igual a n, el producto tiene los mismos dígitos
siguiendo un orden cíclico. Ejemplo: Si dividimos 1 entre 7, da
como resultado 1/7 = 0.142857172857142857... Como se puede
notar, este es un número periódico, con período igual a 142857
, que al ser multiplicado por los números del 1 al 6, nos da el
mismo número, solo que desplazando sus unidades. Realicemos
14
Matemática Mágica
los casos:
142857*2 =285714
142857*3 =428571
142857*4 =571428
142857*5 =714285
142857*6 =857142
Otros números cíclicos son 1/17, 1/47, 1/61, 1/17389
Amigos narcisos
Se llama así a los números que cumplen la siguiente propiedad:
para todo número natural n, si n es igual a la suma de las potencias
de sus dígitos, decimos que n es narciso. En otras palabras, si n es
un número de m dígitos, entonces este resulta ser igual a la suma
de las potencias de sus dígitos, elevados al orden m Ejemplos:
153 =13 + 53 + 33
370 =33 + 73 + 03
371 =33 + 73 + 13
¿Puedes encontrar otros números narcisos?
Amigos oblongos
Estos amigos son aquellos números que resultan de multiplicar
dos números naturales consecutivos. Como ejemplos tenemos:
12 = 3*4
20 = 4*5
56 = 7*8
Amigos felices
Se llama así a todo número natural que cumple con la siguiente
condición: al sumar los cuadrados de cada uno de sus dígitos,
siguiendo la serie, la solución que se obtiene es 1.
Ejemplo: el número 203 es un número feliz, ya que 22 + 02 + 32 = 13
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Matemática Mágica
Otros números felices son: 10, 13, 19, 23, 203, 404
¿Puedes comprobar la felicidad de estos bellos números?
Dado que muchos se preguntarán para qué sirven estos números,
o para qué clasificarlos de esa manera, se pueden proponer
respuestas muy diversas; en este caso quiero mencionar que no
todas las aplicaciones en matemáticas ocurren necesariamente
en la vida práctica, y aunque muchos de estos números,
como los números primos, en épocas anteriores no tuvieron
aplicaciones prácticas, hoy son una fuente inagotable de utilidad,
especialmente en criptografía (mensajes cifrados, para no ser
leídos o comprendidos por cualquier persona), en donde juegan
un papel fundamental, pues hoy la criptografía se aplica, por
ejemplo, en inteligencia militar, bancos, tarjetas de crédito, envío
de información empresarial, etc. Es posible que algunos de estos
tipos especiales de números no parezcan tener una aplicación
práctica en este momento, pero en el futuro, la pueden tener.
Además, el solo hecho de convertirse en una fuente de procesos
de pensamiento matemático, ya provee una aplicación , pues con
este tipo de relaciones numéricas también se generan teorías que
pueden dar soporte a posibles desarrollos matemáticos futuros
(como el caso de los números poligonales).
Por último, se puede responder de manera simple a la pregunta
¿para qué sirven? Sirven para incentivar y promover el interés
por el estudio de las matemáticas, y especialmente para generar
curiosidad y agrado, y redescubrir relaciones matemáticas que
están ahí, pero que necesitan una mente curiosa que las revele.
En esta fuente de curiosidad, se recrearon muchos de nuestros
más insignes matemáticos y científicos, como Gauss, Newton,
Bachet, Einstein, Fermat y muchos más, que en algunos casos se
motivaron así para adentrarse en esa bella jungla numérica , lo que
posteriormente los llevó a profundizar en los grandes tratados de
matemáticas que existían en su época y a desarrollar sus propias
teorías.
16
Ejemplos como éstos son adecuados para desarrollar en talleres y
conferencias como las que realizamos para diferentes instituciones
de la ciudad, la región, el país y en otros países a donde hemos
sido invitados. También hemos llevado a cabo talleres de hasta
450 estudiantes de manera simultánea y los resultados han sido
satisfactorios, ya que estos talleres generan gran interés por las
matemáticas y sus enigmas.
Matemática Mágica
CUBO MÁGICO
Este cubo es muy especial porque tiene la propiedad de “saber”
la fecha de cumpleaños de cualquier persona. El procedimiento
es el siguiente: primero observa que el cubo tiene la siguiente
particularidad: cada una de las cinco caras que contienen números
forman un cuadrado mágico, es decir, que al sumar las filas,
columnas o diagonales de cada cara, siempre da como resultado
un número constante. Ahora procede a buscar las caras del cubo
en donde esté el día de tu cumpleaños. Para cada una de ellas,
apunta el número que está en la esquina superior izquierda. Luego
suma todos los valores apuntados. El resultado será el mismo día
de tu cumpleaños.
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La explicación se puede dar de varias maneras, pero una de las
más simples es que los números de la parte superior izquierda
de cada esquina, de las cinco caras del cubo, son potencias del
número dos. Es decir: 1, 2, 4, 8, 16, y cualquier número del 1 al 31,
puede ser expresado de manera única como una combinación de
estos números, por lo que basta con escribir en cada cara del cubo
los números en los que está su respectiva potencia, y tendremos
todas las fechas deseadas.
Matemática Mágica
A manera de ejemplo, supongamos que su cumpleaños es el
día 15 (no importa el mes). En el cubo, el número 15 aparece en
las caras que tienen en la parte superior izquierda los números
8, 4, 2 y 1 ya que 15= 8 + 4 + 2 + 1 De esta manera podemos
estudiar fácilmente, con un divertido juego de adivinación de
fecha de cumpleaños, las potencias de dos, la suma de números
mentalmente, las combinaciones lineales, y, en cursos más
avanzados, los números binarios, pues las potencias de dos se
pueden representar con estos números (es decir, base 2). Los
números binarios son un tema de estudio en diferentes cursos
universitarios, especialmente en carreras de ingeniería. Su estudio
se puede iniciar con una actividad tan interesante como adivinar
una fecha de cumpleaños (en muchos casos, también se utiliza
para “adivinar” la edad de un grupo, cuya edad, por supuesto, no
supere los 31 años)
En conclusión, podemos decir que el aprendizaje y la enseñanza
de la matemática pueden ser divertidos y efectivos, y generar en
los estudiantes y el público en general una manera de indagar
sobre la explicación profunda de un hecho que parece imposible.
Es aquí donde la magia del profesor muestra su lado amable y
corrobora que sí se puede aprender matemáticas sin perder el
rigor científico, que es un requisito en cualquier ciencia. Además,
cuando los jóvenes desarrollan el gusto por las matemáticas,
de manera directa se empieza a avanzar en la ciencia y en las
diversas investigaciones en los diferentes campos del saber y,
en consecuencia, se encuentran las múltiples aplicaciones de las
matemáticas.
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Matemática Mágica
REFERENCIAS
Blas Torrecillas, J. (1999). El mago de los números. Madrid: Nivolar.
Blasco, F. (2007). Matemagia. Madrid. Temas de Hoy.
Coto, A. (2006). Entrenamiento mental. Madrid. Edaf.
De Guzmán, M. (2003). Cuentos con cuentas. Madrid. Nivela libros editores.
Dols Capó, Miquel (2012). Magia matemática. Barcelon. Editorial B. Grupo Z.
Enzensberger, H. M. (1997). El diablo de los números. Madrid.Siruela.
Flores, P. (2003). Humor gráfico en el aula. Barcelona.Arial Ediciones.
García, L. (2007). La sonrisa de Pitágoras. Barcelona. Debate.
Gardner, M. (1988). Matemáticas para divertirse. Barcelona. Granica.
(1993). Juegos y enigmas de otros mundos. Barcelona. Gedisa.
(2010). Viajes por el tiempo. Barcelona.RBA libros. Granica.
Hawking, S. (2007). Dios creó los números. Barcelona. Crítica
Muñoz, J. (2006). Ernesto, el aprendiz de matemago. Madrid. Nivola.
Pickover, A. (2000a). El prodigio de los números. Barcelona. Robinbook
(2000b). La maravilla de los números. Barcelona. Robinbook.
Recaman, B. (2002). Los números: Una historia para contar. Bogotá Taurus.
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