Guia de Estudios MATEMATICA

Escuela
Politécnica
PROGRAMA DE PRUEBAS DE ADMISIÓN
Guía de Estudio
Prueba de
Aptitud
Académica
Matemática
Ejército de Guatemala
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INTRODUCCIÓN
Esta guía de estudio de matemática para examen de admisión a la Escuela Politécnica tiene
como fin, proporcionar al aspirante todo el contenido mínimo que debe repasar para aprobar
con éxito el examen de admisión, requisito para ser aceptado en dicha Alma Mater Militar.
La guía está estructurada con explicación por tema, ejercicios de selección múltiple, con
respuestas al final de cada ejercicio, simulando la forma en que las pruebas de admisión y
becas son realizadas en la mayoría de instituciones.
Página 1
I.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo es el valor más pequeño que puede contener a una cierta
cantidad de números o valores numéricos. El procedimiento para determinar el MCM es
bastante sencillo.
Ejemplo 1:
Determine el MCM de 3, 8, 15, 20
3 8 15 20 2
3 4 15 10 2
3 2 15 5
2
3 1 15 5
3
1 1 5
5
5
1 1 1
1
120
Se puede observar que se van dividiendo los números en los factores primos, hasta que
todos quedan igual a (1), todos los valores de la derecha se multiplican y ese es el MCM.
EJERCICIO:
Determine el MCM de los siguientes números.
RESPUESTAS:
C
II.
B
A
A
A
A
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Es un número que puede dividir exactamente a cada numero de una serie de números
dada, se utilizan los factores primos que pueden dividir exactamente a todos los números de
la serie.
Ejemplo 1:
Determine el MCD de 16, 24, 32
16
8
4
2
24
12
6
3
32
16
8
4
2
2
2
8
Página 2
Se puede observar que se van dividiendo los números en los factores primos, hasta que ya
no pueden ser divididos todos por el mismo número, todos los valores de la derecha se
multiplican y ese es el MCD.
EJERCICIO:
Determine el MCD de los siguientes números.
RESPUESTAS:
D
III.
D
D
A
C
D
FRACCIONES
Son números que representan una división, pueden ser impropias o propias, dichos
números no se operan de igual manera que los números enteros, para cada operación se
deben seguir lineamientos muy específicos.
A.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Para realizar una suma o una resta de fracciones, la parte más importante es
recordar que si los denominadores no son iguales, se debe obtener un MCM, ya que
con este valor se realiza toda la operación.
Ejemplo 1:
Realice la siguiente operación de fracciones:
Se puede ver que si el denominador es el mismo, únicamente sumamos y restamos
los numeradores y el denominador se copia.
Ejemplo 2:
Realice la siguiente operación con fracciones:
Página 3
El MCM de 3, 5 y 6 es 30, entonces tenemos, debemos dividir el MCM entre cada
denominador y multiplicarlo por su respectivo numerador, por ejemplo, 30 dividido 3
es igual a 10, multiplicado por 4 da 40.
EJERCICIO:
Realice las siguientes sumas y restas de fracciones.
Página 4
RESPUESTAS:
D
B
C
B.
D
B
D
B
D
C
D
A
D
D
B
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones es la única operación que se asemeja a la
multiplicación de números enteros, ya que se multiplica numerador con numerador y
denominador con denominador, no importa la cantidad de fracciones involucradas,
siempre se debe tener cuidado con la ley de signos para la multiplicación.
Ejemplo 1:
Realice la siguiente operación con fracciones.
( )( )(
)
(
( )( )( )
)
( )( )( )
Nunca se debe olvidar la simplificación de fracciones.
EJERCICIO:
Realice las siguientes multiplicaciones de fracciones.
Página 5
RESPUESTAS:
C
D
B
C.
C
A
A
C
A
C
A
B
D
A
C
D
DIVISIÓN DE FRACCIONES:
La división de fracciones es una operación similar a la multiplicación, solo que se
efectúa de forma cruzada, numerador por denominador y denominador por
numerador.
Ejemplo 1:
Realice la siguiente operación con fracciones.
Página 6
Ejemplo 2:
Realice la siguiente operación con fracciones.
En este caso aplicamos la conocida ley del ¨Sandwich¨ o ¨Emparedado¨ que
consiste en multiplicar los extremos y forman el numerador, multiplicar los medios y
forman el denominador.
EJERCICIO:
Realice las siguientes divisiones de fracciones.
RESPUESTAS:
A
IV.
C
C
B
A
C
C
C
C
NÚMEROS MIXTOS
Página 7
Son números que están compuestos por un número entero y una fracción, teniendo la
forma.
Para convertir un mixto a fracción el procedimiento es bastante sencillo, multiplicamos el
denominador por el entero y a este resultado le sumamos el numerador, este será el
numerador de la fracción y el denominador no cambia.
La conversión de fracción a mixto solo es posible cuando el numerador es mayor que el
denominador, se realiza una división sin decimales y se obtiene la respuesta.
Ejemplo 1:
Convertir a mixto.
Realizamos la división.
5
4
23
20
3
Ahora para poder dar la respuesta, el cociente debe ser el entero, en este caso (4), el
residuo será el numerador, en este caso (3) y el denominador siempre será el mismo (5).
Quedando el resultado como,
Para realizar operaciones básicas con números mixtos, el primer paso y fundamental es
convertir cada uno de los números mixtos a fracción. La respuesta puede aparecer como
fracción o numero mixto, eso dependerá del formato de respuesta que se elija.
EJERCICIO:
Realice las siguientes operaciones con números mixtos, fracciones y enteros.
Página 8
RESPUESTAS:
A
V.
C
C
C
C
C
D
A
A
A
D
B
C
A
A
LEY DE SIGNOS
Página 9
Debes tener en cuenta que la ley de signos en la matemática tiene dos grandes áreas
donde opera y son diferentes, una ley de signos es para la suma y la resta, y la otra para la
multiplicación y la división.
Suma y resta: Signos iguales se suman, signos diferentes se restan y se copia el signo del
número mayor.
Multiplicación y División: La multiplicación o división de signos iguales da positivo y de
signos diferentes da negativo.
VI.
JERARQUIA DE OPERADORES
Es muy importante conocer el orden de operación cuando aparecen muchas operaciones en
conjunto, entonces es importante conocer la jerarquía de dichas operaciones o signos.
operador
( ), -* +
√
Nombre
Signos de agrupación
Potencias y radicales
Multiplicación y división
Suma y resta
EJERCICIO:
Resuelva las siguientes operaciones utilizando las leyes de signos y la jerarquía de
operadores.
Página 10
RESPUESTAS:
B
C
A
A
A
B
C
C
C
A
A
A
C
C
A
C
C
D
B
A
B
A
A
A
EJERCICIO:
Resuelva las siguientes operaciones utilizando las leyes de signos, la jerarquía de operadores y las
reglas de fracciones y mixtos.
Página 11
RESPUESTAS:
C
VII.
C
A
D
A
D
C
B
C
D
B
D
LEYES DE EXPONENTES
A.
MULTIPLICACIÓN:
Cuando dos bases iguales se multiplican, se copia la base y los xponentes se
suman.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Página 12
B.
DIVISIÓN:
Cuando dos bases iguales se dividen, se copia la base y los exponentes se restan.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
VIII.
POTENCIA:
Cuando una base y su exponente son afectados por otro exponente, se copia la base y los
exponentes se multiplican.
Ejemplo 1:
(
)
(
)
Ejemplo 2:
IX.
EXPONENTES NEGATIVOS:
Un exponente negativo puede cambiar de signo al cambiar de posición junto con su base, si
se encuentra como numerador pasa a denominador y viceversa.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
EJERCICIO:
Simplifique utilizando las leyes de exponentes.
Página 13
Página 14
Página 15
RESPUESTAS:
D
B
D
C
C
B
A
B
B
D
B
D
B
A
A
B
A
B
C
A
D
C
D
A
D
C
C
B
A
C
A
B
D
B
C
A
C
B
B
A
D
C
A
A
A
X.
LEYES DE EXPONENTES
A.
MULTIPLICACIÓN:
Cuando dos bases iguales se multiplican, se copia la base y los exponentes se
suman. Además los coeficientes o números, se multiplican normalmente.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
B.
DIVISIÓN:
Cuando dos bases iguales se dividen, se copia la base y los exponentes se restan.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Página 16
C.
POTENCIA:
Cuando una base y su exponente son afectados por otro exponente, se copia la
base y los exponentes se multiplican.
Ejemplo 1:
(
)
(
)
Ejemplo 2:
XI.
EXPONENTES NEGATIVOS:
Un exponente negativo puede cambiar de signo al cambiar de posición junto con su base, si
se encuentra como numerador pasa a denominador y viceversa.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Es importante recordar que las leyes de exponentes aplican entre variables iguales, en el
caso de la potenciación, afecta por igual a todas las variables y números.
EJERCICIO:
Simplifique utilizando las leyes de exponentes.
Página 17
Página 18
Página 19
RESPUESTAS:
A
A
C
A
D
D
B
A
D
C
C
D
D
A
A
B
A
B
C
C
XII.
A
A
A
D
D
D
A
A
C
B
RADICALES
A.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
La simplificación de radicales es un proceso muy sencillo que consiste en cambiar la
forma de un radical, un radical aunque tenga un número que no tenga raíz cuadrada
exacta, puede ser factorizado y simplificado.
Ejemplo 1:
Simplificar
√
El número (8) puede descomponerse en dos números, el (2) y el (4), la pareja de
números que se busca tiene que cumplir con un requisito importante, al menos uno
de los dos números debe tener raíz cuadrada exacta.
√
Como el (4) tiene raíz cuadrada exacta sale del radical como (2)
√
√
Ejemplo 2:
Simplificar
√
√
( )√
√
Se puede ver que el (16) salió del radical como (4) que es la raíz cuadrada exacta.
EJERCICIO:
Simplifique los siguientes radicales.
Página 20
RESPUESTAS:
A
D
D
B.
C
A
A
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales, todos deben tener el mismo radical con el
mismo número, cuando no se presenta ese caso es indicativo que se deben
simplificar los radicales antes de operarlos.
Ejemplo 1:
√
√
Se suman los coeficientes y el radical solo se copia.
√
√
√
Ejemplo 2:
√
√
√
Al simplificar los radicales, obtenemos
√
√
√
√
EJERCICIO:
Sumar y restar los siguientes radicales.
Página 21
RESPUESTAS:
D
C
D
C.
D
B
A
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
La multiplicación de radicales se realiza multiplicando los coeficientes y por aparte
se multiplican los términos dentro de los radicales, una vez realizada la
multiplicación se tiene que simplificar la respuesta.
Ejemplo 1:
Multiplicar
√
√
√
( )√
√
√
Ejemplo 2:
Multiplicar
√ (
√
)
Se multiplica el termino de afuera con cada uno de los términos de adentro
√
√
√
√
√
√
EJERCICIO:
Multiplique los siguientes radicales.
Página 22
RESPUESTAS:
C
B
C
D.
D
B
C
A
D
DIVISIÓN DE RADICALES
La división de radicales obedece a las mismas normas que la multiplicación cuando
se trata de un monomio dividido por otro monomio, pero cuando tenemos
combinaciones de binomios el método es diferente.
Monomio sobre monomio:
Las reglas son las mismas que en la multiplicación y se debe dejar la respuesta final
sin radical en el denominador, eso se logra multiplicando el numerador y el
denominador por el radical del denominador.
Ejemplo 1:
√
√
Dividimos los coeficientes y los términos del radical por separado.
√
( )
√
Ejemplo 2:
√
√
En este caso los coeficientes si se pueden dividir, pero los términos de los radicales
no son divisibles ni simplificables, así que multiplicaremos todo por el radical del
denominador.
Página 23
√
√
1.
√
√
√
√
√
√
√
Binomio sobre monomio:
El procedimiento consiste en multiplicar el numerador y el denominador por
el término radical que se encuentra en el denominador.
Ejemplo 3:
√
√
Ahora tenemos:
√
√
2.
√
√
√
√
√
√
√
( )
√
√
Monomio sobre binomio:
En este caso debemos utilizar el binomio del denominador cambiando el
signo del segundo término para multiplicar el numerador y el mismo
denominador.
Ejemplo 4:
√
√
Ahora tenemos:
√
√
√
√
√
√
√
En la parte inferior tenemos una diferencia de cuadrados.
√
√
√
√
√
( )
√
√
√
√
√
√
Al final todos los coeficientes tienen mitad, por eso se simplifican, y el signo
negativo del denominador se trasladó para el numerador.
EJERCICIO:
3.
Divida los siguientes radicales.
Página 24
RESPUESTAS:
A
XIII.
B
A
C
D
D
C
C
OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS
A.
SUMA
Para realizar la suma de polinomios el procedimiento que presenta menos
equivocaciones, es el de ordenar todos los términos antes de realizar la suma, la
suma como tal es únicamente de los coeficientes, ya que la variable y los
exponentes no deben sufrir cambio alguno.
Página 25
Ejemplo 1:
(
)
(
)
Ordenamos un polinomio sobre otro, este ordenamiento debe sobre la misma
variable y el mismo exponente.
Se puede observar que solo se operan los coeficientes, siguiendo las leyes de
signos para suma y resta.
Ejemplo 2:
(
B.
)
(
)
(
)
RESTA
Para restar términos las reglas son las mismas que para la suma, el polinomio que
tiene el signo negativo delante de él, es el polinomio que cambia de signos. Así que
todos los términos del polinomio sustraendo cambian de signo.
Ejemplo 1:
(
)
(
)
Podemos observar como los términos cambiaron de signo, y se realizo el mismo
procedimiento que en la suma.
Ejemplo 2:
(
)
(
)
(
)
Página 26
EJERCICIO:
Realice las siguientes sumas y restas.
RESPUESTAS:
Página 27
B
B
D
C.
A
A
D
D
B
A
C
D
D
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es un procedimiento sencillo pero que debe ser llevado
cuidadosamente, ya que debemos multiplicar signos, coeficientes y exponentes, es
importante recordar que para la multiplicación la ley de signos establece que signos
iguales da positivo y diferentes negativo. Los coeficientes se multiplican como
números y los exponentes de variables iguales se suman. Siempre se debe
multiplicar cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro
polinomio.
Ejemplo 1:
(
)(
)
Se ordenan uno sobre el otro y se empieza la multiplicación.
También se debe tener en cuenta la multiplicación con dos o más variables y tener
un orden para operar.
Ejemplo 2:
(
)(
)
EJERCICIO:
Realice las siguientes multiplicaciones.
Página 28
RESPUESTAS:
C
A
B
D.
B
B
A
C
D
D
D
B
C
DIVISIÓN
La división es una de las operaciones básicas más complejas, ya que se debe
dividir multiplicar y restar, pero el procedimiento es cíclico. Se deben tener los
polinomios ordenados y dejar los espacios en blanco si algún término no aparece.
Ejemplo 1:
(
)
(
)
Se ponen los polinomios en forma ordenada
Página 29
Se divide el primer término del polinomio dividendo dentro del primer término del
polinomio divisor.
Se multiplica ese resultado por cada término del polinomio divisor y al colocarlos
debajo del polinomio dividendo deben cambiar de signo para realizar la resta.
+4
Y el procedimiento se repite para el nuevo primer término, esto realiza mientras la
división sea posible y no queden exponentes menores a cero.
+4
+4
Siendo la respuesta,
Donde la R significa residuo.
EJERCICIO:
Realice las siguientes divisiones.
Página 30
RESPUESTAS:
A B C B D C A A D D D C A C A C C A B B D B D A A A B A D D
XIV.
PRODUCTOS NOTABLES
Reciben este nombre aquellas multiplicaciones que tienen una característica que permite
obtener la respuesta sin tener que pasar por el proceso de multiplicación.
XV.
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
La forma general de este tipo de producto es:
(
)(
)
Podemos notar que los dos paréntesis tienen los mismo términos y el único cambio es el
signo, entonces dicha multiplicación es igual a la diferencia entre cada termino elevado al
cuadrado.
Ejemplo 1:
(
)(
)
Entonces la respuesta será: el cuadrado de (2x) y el cuadrado de (3), y un signo de resta
entre ambos.
(
)(
)
Página 31
EJERCICIO:
Realice los siguientes productos notables.
RESPUESTAS:
D
D
XVI.
A
A
D
A
D
A
D
C
A
B
BINOMIO AL CUADRADO
La forma general es
(
)
Cuando tenemos dos términos elevados a la potencia (2), el resultado tiene 3 términos, el
primero y el tercer término son los cuadrados de los términos dentro del paréntesis, el
segundo término se obtiene multiplicado por (2) el primer término y el segundo término.
Ejemplo 1:
(
)
Página 32
Usando la forma general,
(
)
(
)(
)
(
)
Recordar que cualquier número elevado al cuadrado siempre dará un valor positivo es muy
importante.
(
)
EJERCICIO:
Realice los siguientes binomios al cuadrado.
RESPUESTAS:
B
B
XVII.
A
A
D
D
B
C
C
D
C
C
BINOMIO AL CUBO
La forma general para un binomio al cubo es:
(
)
Página 33
Los signos son muy importantes, si no se quiere tener problema con la operatoria de signos
y exponentes, lo más sencillo es recordar que si el signo en el binomio es positivo todos los
términos serán positivos, cuando el signo es negativo, los signos van alternados (
)
y en el caso de ambos fuesen negativos, entonces todos los términos serian negativos.
Ejemplo 1:
(
)
Usando la forma general
(
)
(
) ( )
(
)( )
Es importante recordar que de primero se operan las potencias y luego las multiplicaciones.
Ejemplo 2:
(
)
Ahora tenemos un signo negativo.
( )
( ) (
)
( )(
)
(
)
Ahora recordemos que un signo negativo elevado a una potencia par dará positivo y
elevado a una potencia impar dará negativo.
Podemos ver como los signos quedan alternos.
EJERCICIO:
Realice los siguientes binomios al cubo.
Página 34
RESPUESTAS:
B
D
XVIII.
C
B
B
A
A
D
B
D
A
C
FACTORIZACIÓN
Método por el cual se busca la simplificación de términos algebraicos de la forma de suma y
resta a la forma de producto notable o multiplicación.
A.
FACTOR COMÚN
Es el caso de factorización más importante y consiste en identificar que hay en
común entre los valores numéricos y las variables de varios términos algebraicos.
Este caso puede estar presente en cualquiera de los demás casos de factorización.
Ejemplo 1:
En este caso el factor común es únicamente numérico, ya que todos los números
son divisibles dentro de (2), ninguna de las variables se repite por los tanto no hay
factor común con las variables.
(
)
Página 35
Se coloca el (2) fuera de un paréntesis, y se divide cada termino entre ese valor
para colocarlos dentro.
Ejemplo 2:
En este caso no hay un número distinto de (1) que divida a todos los valores
numéricos, pero la variable (x) se repite en todos los términos, así que el factor
común es la variable con el menor exponente de toda la expresión, en este caso es
(x).
(
)
Es importante recordar que en la división con variables los exponentes se restan.
Ejemplo 3:
En este caso el factor común es
(
)
Podemos ver que (c) no es factor común porque no aparece en cada término.
EJERCICIO:
Factorizar utilizando factor común.
RESPUESTAS:
Página 36
A
B
XIX.
A
D
D
A
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Este caso de factorización tiene características propias:
A.
B.
C.
Son dos términos
Es una resta o diferencia
Ambos términos tienen raíz cuadrada exacta (este requisito no es obligatorio, ya
que se puede aplicar en casos donde no existe raíz cuadrada exacta)
La forma general de este caso es:
(
)(
)
Para este caso la raíz cuadrada de
y la raíz cuadrada de
Entonces
se abren dos paréntesis y se colocan las raíces, en un paréntesis con signo positivo
entre ambos términos y en el otro signo negativo entre ambos.
Ejemplo 1:
La raíz cuadrada de
, la raíz cuadrada de 1 es 1. Siendo la respuesta,
(
)(
)
Ejemplo 2:
En este caso se puede ver que ambos casos no tienen raíz cuadrada exacta, sin
embargo es visible el caso de factor común, entonces factorizamos primero el factor
común.
(
)
Ahora podemos observar que lo que se encuentra dentro del paréntesis si es un
caso de diferencia de cuadrados, ya que ambos términos tienen raíz cuadrada
exacta.
(
)(
)
El (2) que esta como factor común no desaparece.
Ejemplo 3:
De igual manera ambos términos no tienen raíz cuadrada exacta, pero si factor
común.
(
)
Ahora lo que está dentro del paréntesis si es un caso de diferencia de cuadrados.
Página 37
(
)(
)
EJERCICIO:
Factorizar utilizando diferencia de cuadrados y factor común si es necesario.
RESPUESTAS:
C
XX.
C
D
B
C
B
A
C
B
A
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Características de este caso:
Página 38
A.
B.
C.
Son dos términos
Puede ser suma o resta
Ambos términos tiene raíz cúbica exacta.
La forma general de este caso es:
(
)(
)
(
)(
)
Podemos observar que en ambos casos los términos son iguales, el cambio se da
en los signos que se utilizan para cada uno de los casos.
Ejemplo 1:
En este ejemplo, la raíz cubica de
y la raíz cubica de 8 es 2.
Siendo la factorización de la siguiente manera:
(
)(
)
Recordar que en el segundo paréntesis la operatoria es con los términos del primer
paréntesis, el primer término al cuadrado, el primer término por el segundo y el
segundo término al cuadrado.
En la diferencia también se cumple la misma operatoria con el cambio de signos
respectivo.
Ejemplo 2:
Primero factor común
(
)
Y ahora podemos ver que el paréntesis es un caso de diferencia de cubos,
obteniendo
(
)(
)
Ejemplo 3:
Primero factor común
(
)
Y ahora el paréntesis por diferencia de cubos
(
)(
)
Página 39
EJERCICIO:
Factorizar utilizando suma o diferencia de cubos y factor común si es necesario.
RESPUESTAS:
A
A
XXI.
A
A
B
D
C
B
C
C
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio tiene tres términos y esa es la característica principal, además las variables
tienen una relación en sus exponentes muy particular. El trinomio cuadrado perfecto es
identificable fácilmente. También puede haber factor común antes de la factorización de
trinomio en sí.
Página 40
La forma general es:
(
)
Ejemplo 1:
Comprobación: la raíz cuadrada de
y la raíz cuadrada de 9 es 3. Entonces
multiplicamos ( )( )
, que es el mismo valor que se encuentra como segundo
término del trinomio. Así que la respuesta es:
(
)
El signo del segundo término es el signo que debe ir entre los dos términos en el paréntesis.
Ejemplo 2:
El factor común es 4.
(
)
El trinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto.
(
)
EJERCICIO:
Factorizar utilizando el procedimiento para un trinomio cuadrado perfecto y factor común si
es necesario.
Página 41
RESPUESTAS:
C
C
XXII.
A
D
B
B
TRINOMIO DE LA FORMA
Tiene las mismas características de un trinomio, pero en esta ocasión el coeficiente del
término cuadrático es (1).
Ejemplo 1:
El primer paso es colocar la raíz cuadrada de
en cada paréntesis, los signos deben ir de
la siguiente manera, el primer paréntesis lleva el signo del segundo término del trinomio y el
segundo paréntesis lleva por signo el resultado de la multiplicación del signo del segundo y
tercer término.
(
)(
)
Ahora buscamos dos números que multiplicados den el tercer término (6) y que sumados
den el coeficiente del segundo término (5). Para este ejemplo serán los números (2) y (3).
(
)(
)
Ejemplo 2:
Los paréntesis deberán llevar los signos siguientes:
(
)(
)
Dos números que multiplicados den (10) y restados den (-3), los números son, (5) y (2).
(
)(
)
Ejemplo 3:
El trinomio tiene factor común (3).
(
)
Página 42
Ahora el paréntesis es un trinomio de la forma
(
)(
)
EJERCICIO:
Factorizar utilizando el procedimiento para trinomio de la forma
es necesario.
y factor común si
RESPUESTAS:
B
A
XIII.
A
C
A
A
TRINOMIO DE LA FORMA
Este tipo de trinomio se caracteriza porque el coeficiente que acompaña al termino
cuadrático no es (1), previamente verificar que no haya factor común.
Ejemplo 1:
El primer paso consiste en multiplicar por el coeficiente del término cuadrático todo el
trinomio de la siguiente manera.
( )
En el segundo término la multiplicación queda indicada.
Página 43
Ahora ponemos los paréntesis de la siguiente manera, colocando la raíz cuadrada de
los signos siguen la misma regla que el caso de factorización de trinomio de la forma
.
(
)(
y
)
Ahora buscamos dos números que multiplicados den (24) y restados (-5).
(
)(
)
Ahora siempre habrá en uno o en los dos paréntesis un caso de factor común, para este
ejemplo el primer paréntesis tiene factor común (2).
(
)(
)
Ahora tanto el (2) de arriba como el (2) del denominador se eliminan quedando como
respuesta, el número del denominador siempre debe ser eliminado.
(
)(
)
Ejemplo 2:
Podemos observar que el factor común es
, quedando el trinomio de la siguiente manera
(
)
Ahora podemos factorizar por separado el trinomio y al final unir este resultado con el
resultado del factor común.
( )
Separamos en los paréntesis y buscaremos dos números que multiplicados den (210) y
restados (23).
(
)(
)
Ahora operamos el factor común del primer paréntesis.
(
)(
)
El 5 del numerador y el 5 del denominador se eliminan, unimos los dos paréntesis al factor
común
del inicio y damos la respuesta.
(
)(
)
Ejemplo 3:
Página 44
En este caso tenemos dos variables, el procedimiento numéricamente es el mismo, se debe
tener cuidado con no omitir la segunda variable.
( )
Ahora necesitamos dos términos que al multiplicarlos den (
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
) y restados (
).
Factor común,
Siendo la respuesta
EJERCICIO:
Factorizar utilizando los procedimientos para trinomio de la forma
común si es necesario.
y factor
RESPUESTAS:
C
B
C
C
D
A
Página 45
XXIV. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Este caso se caracteriza por tener 4 términos. Y lo que se busca es agrupar en parejas de
términos que tengan algo en común entre ellos.
Ejemplo 1:
Descartando la existencia de factor común para los cuatro términos, agrupamos los
términos en parejas. Para este ejemplo agruparemos los dos primeros y los dos últimos.
(
)
(
)
Para el primer paréntesis el factor común es
y para el segundo
.
Quedando así,
(
)
(
)
Podemos observar que los dos paréntesis quedaron iguales, este paso es fundamental, ya
que si no son iguales no podemos continuar. Ahora la respuesta se conforma colocando el
paréntesis repetido una sola vez, y en otro paréntesis colocar los términos que quedaron
fuera de los paréntesis.
(
)(
)
Ejemplo 2:
Agrupamos
(
)
(
)
Factorizamos, factor común
(
)
(
)
Ahora podemos observar que los dos paréntesis tienen los mismos términos pero con
signos contrarios, este pequeño problema se resuelve cambiando el signo positivo que se
encuentra entre los dos paréntesis por un signo negativo y esto automáticamente cambia
los signos de los términos del segundo paréntesis.
(
)
(
)
Ahora si podemos dar una respuesta.
(
)(
)
EJERCICIO:
Factorizar utilizando agrupación de términos y factor común si es necesario.
Página 46
RESPUESTAS:
C
A
XXV.
B
B
A
B
ECUACIONES
A.
ECUACIONES LINEALES
Son todas aquellas ecuaciones donde el exponente máximo para la variable es (1),
por lo tanto la ecuación tiene una solución.
Ejemplo 1:
En este caso pasaremos todos los términos que contienen la variable de un solo
lado de la ecuación, y los términos numéricos del otro lado respetando el cambio de
signo por cambiar de lugar en la ecuación.
Sumamos y restamos,
El número que acompaña a la (x) está multiplicando pasa al otro lado de la ecuación
a dividir.
Página 47
Entonces el valor de (x) para esta ecuación es (6).
Ejemplo 2:
(
)
(
)
El primer paso es operar los paréntesis con el número que se encuentra afuera.
Ahora el procedimiento es similar al ejemplo anterior.
Ejemplo 3:
(
)
Cuando las ecuaciones tienen fracciones se deben operar como fracciones y lo
demás se resuelve siguiendo las mismas reglas del ejemplo 2.
( )
EJERCICIO:
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.
Página 48
Página 49
Página 50
RESPUESTAS:
D
C
A
C
C
C
C
D
C
D
A
B
A
B
C
A
A
A
A
A
C
A
A
C
A
D
C
C
D
B
B
B
A
A
A
D
D
C
A
C
B.
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las ecuaciones cuadráticas reciben su nombre por el exponente mayor de la
ecuación, que es de grado dos, eso quiere decir que la variable tendrá un
exponente (2). Existen diversos métodos de solución de ecuaciones cuadráticas,
aunque el método que siempre puede ser utilizado es aquel que utiliza la formula
cuadrática.
C.
POR FACTORIZACION:
Este método solo se puede utilizar si la ecuación cuadrática es factorizable, ya sea
como trinomio, factor común o diferencia de cuadrados.
Ejemplo 1:
Determine las soluciones para:
Podemos observar que el trinomio es factorizable.
(
)(
)
Ahora cada paréntesis se iguala a cero, y se despeja la variable.
Página 51
Entonces las soluciones de la ecuación son:
*
+
Ejemplo 2:
Determine las soluciones para:
El factor común es
(
)
Ahora igualamos a cero el paréntesis y el término que se encuentra fuera del
paréntesis.
Siendo las soluciones.
*
+
Ejemplo 3:
Determine las soluciones para:
En este caso hay una diferencia de cuadrados.
(
)(
)
Al igualar los paréntesis a cero, obtenemos como soluciones:
*
D.
+
COMPLETACIÓN DE CUADRADOS
Este método de solución es bastante utilizado ya evita utilizar la formula cuadrática,
aunque cuando se trabaja con fracciones o decimales puede volverse muy
complicado.
Página 52
Ejemplo 1:
Determine las soluciones para:
Ya que el trinomio no es factorizable, pasamos el número sin variable del otro lado
de la ecuación.
Ahora completamos el cuadrado, obteniendo la mitad de (4) y elevando al cuadrado
el resultado, este valor se debe sumar de ambos lados de la ecuación.
Factorizando del lado izquierdo, trinomio cuadrado perfecto.
(
)
Despejando la variable.
√
√
Si necesitamos valores en decimales se opera el radical y damos las dos respuestas
en decimales, caso contrario se pueden dar respuestas en forma indicada o de
radical.
{
E.
√
√
}
FORMULA CUADRÁTICA
Este método es el más utilizado, ya que permite resolver cualquier ecuación
cuadrática.
La fórmula cuadrática es:
√
Siendo: (a) el coeficiente del término cuadrático, (b) el coeficiente del término lineal
y (c) el coeficiente sin variable.
Ejemplo 1:
Determine las soluciones para:
Página 53
Para poder utilizar la formula cuadrática, la ecuación debe estar igualada a cero.
Para este ejemplo:
Sustituyendo valores,
√
( )(
( )
√
)
√
Ahora podemos ver que tendremos dos respuestas, una utilizando el signo de suma
y el otro utilizando el signo de resta.
Ahora podemos dar las soluciones de la ecuación.
{
}
EJERCICIO:
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método indicado.
Por factorización.
Página 54
RESPUESTAS:
A
B
A
F.
B
D
B
B
D
A
A
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Existen sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas, 3 incógnitas y más.
Estudiaremos los métodos más conocidos para la solución de ecuaciones
simultáneas, también llamado sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Existen diversos métodos para llegar a una solución, entre ellos se pueden
mencionar, igualación, sustitución, método de suma y resta, siendo los más
conocidos, también existen métodos matriciales que son poco usados por su
complejidad y tiempo que se debe invertir.
G.
IGUALACIÓN:
En este método se debe despejar una de las variables e igualar para encontrar la
solución.
Ejemplo 1:
Resolver el sistema,
(1)
(2)
Despejamos (y) en la ecuación (1)
Despejando (y) en la ecuación (2)
Ahora igualamos,
Realizamos una multiplicación cruzada con los denominadores y obtenemos,
(
)
(
)
Página 55
Y tenemos una ecuación lineal, fácil de resolver.
Entonces el valor de (x) es (2). Para determinar el valor de (y), sustituimos el valor
de (x) en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original. Para este ejemplo
utilizaremos la ecuación (1).
( )
Entonces el valor de (y) es (-3). Siendo la respuesta final,
(
H.
)
SUSTITUCIÓN:
Este método consiste en despejar una variable y sustituirla en la otra ecuación para
llegar a la solución de una de ellas.
Ejemplo 1:
(1)
(2)
Despejando (y) en la ecuación (1),
Ahora sustituimos (y) en la ecuación (2),
(
)
Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador,
(
)
El procedimiento para determinar (y) es el mismo, sustituimos (x) en cualquiera de
las ecuaciones originales, obtendremos una (y) igual a (-3).
Página 56
I.
ELIMINACIÓN:
Este método consiste en igualar una de las variables para poder ser eliminado por
suma y resta.
Ejemplo 1:
(1)
(2)
Podemos observar que para eliminar la (y) el (4) y el (-5) deben ser iguales, la forma
más fácil de realizar esta operación es multiplicar toda la ecuación (1) por (5), y toda
la ecuación (2) por (4). Obteniendo,
46
Siendo la (x),
Para determinar el valor de (y), siempre sustituimos en cualquiera de las dos
ecuaciones originales.
EJERCICIO:
Determine el valor de las variables para cada sistema de ecuaciones.
Página 57
RESPUESTAS:
D
C
A
B
D
C
D
D
A
B
Página 58