LA INTEGRAL DE RIEMANN La integral de Riemann se utiliza para

LA INTEGRAL DE RIEMANN
La integral de Riemann se utiliza para calcular el área exacta bajo una
curva en un intervalo finito [a, b], siempre y cuando la curva, f(x), sea
continua en ese intervalo y esté acotada.
La idea que se utiliza en el cálculo de la integral de Riemana es
dividir la región coloreada en rectángulos, de tal forma que nos
permitan aproximar el valor del área de una curva, mediante la suma
del área de rectángulos conocidas por todos (S= área base x altura)
Para poder entender el concepto de integral de Riemann, es necesario que definamos en
primer lugar una serie de conceptos:
Llamamos partición (P) de un intervalo cerrado [a, b] a una sucesión de puntos finita y
ordenada, donde el primer término es a y el último término es b, de tal forma que
obtendríamos: a = x0<x1<...<xn = b, por tanto P={x0,x1,...,xn}.
Bajo las condiciones anteriores definimos la suma inferior de f:
s (f, P) =
, donde
.
Análogamente, definimos la suma superior de f:
S (f,P) =
, donde
.
Cuando el extremo inferior del conjunto de las sumas superiores coincide con el
extremo superior del conjunto de las sumas inferiores entonces diremos que la función
es integrable o que es una integral de Riemann.
𝑏
Inf {S(f,P) / P es partición de [a,b]}=Sup{s(f,P)/ P es partición de [a,b]}= ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Propiedades de las funciones integrables:
𝑏
𝑎
i)
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
ii)
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
iii)
∫𝑎 (𝑓 + 𝑔) = ∫𝑎 𝑓 + ∫𝑎 𝑔.
iv)
Para todo valor α de los números reales: ∫𝑎 𝛼𝑓 = 𝛼 ∫𝑎 𝑓.
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
v)
Para todo α y β de los números reales: ∫𝑎 (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝛼 ∫𝑎 𝑓 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔.
vi)
Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a,b], entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
𝑏
𝑏
Casos para calcular áreas:
Cuando calculamos áreas bajo una curva, nos podemos encontrar con varias situaciones:
Caso 1: La curva se encuentra en la parte inferior del eje de abscisas:
𝑏
𝑏
S= − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = | ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 |
Caso 2: La curva corta al eje de abscisas:
Caso 3: Área limitada entre dos curvas:
Aparte del cálculo de áreas, la integral de Riemann también se utiliza para calcular
volúmenes engendrados por cuerpos de revolución. Además también tiene aplicaciones
en otros campos relacionados con las matemáticas, como por ejemplo en física, donde la
integral de Riemann se utiliza para calcular la masa distribuida en un barra o el torque
(o primer momento) en una barra, entre otros. Vamos a ver un ejemplo de uno de estos
casos:
Calcular la masa distribuida en una barra: Si tenemos una barra sobre la que se han
ejercido fuerzas diferentes en distintos puntos, las cuales corresponden a distribuciones
de masas de una barra con sus densidades correspondientes, entonces podemos calcular
la masa total de la barra.
Para ello, realizamos una partición de la barra, de tal forma que la masa de cada trozo
será el producto de la densidad por el volumen. Con esta idea de partición y de sumar la
masa de cada uno de los trozos podemos establecer una relación con lo visto con
anterioridad, y definir la masa total como la siguiente integral de Riemann:
Donde ρ(x) es la densidad de la barra en el punto x y s(x) la sección de la barra
en el punto x.